Matemáticas de las operaciones financieras I

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I
08.01.03
Una persona decide montar un restaurante. Para ello decide adquirir hoy un local comercial que deberá
ser acondicionado. El coste total de adquisición del local asciende a 100.000 €, que se financiará
mediante la solicitud de un préstamo amortizable mediante el pago de mensualidades constantes y
vencidas, durante 10 años, a un interés del 6% anual pagadero mensualmente.
Las obras de acondicionamiento del local ascienden a 50.000 € pagaderos hoy. Para hacer frente al
pago de las mismas, entrega el saldo acumulado en una cuenta que abrió hace 5 años y en la que ha
ido efectuando imposiciones anticipadas trimestrales, crecientes en un 4% anual acumulativo. La
primera imposición fue de 1.500 € y la cuenta ha rendido un interés del 4% efectivo anual. El resto lo
entrega en efectivo.
El restaurante iniciará su actividad dentro de 6 meses, durante los cuales se efectuarán las obras para el
acondicionamiento del local. Se estima que los gastos e ingresos derivados de la explotación serán los
siguientes:
Gastos. 4.000 € al inicio de cada mes durante el primer año, aumentando anualmente en 800 €
al mes.
Ingresos. Se consideran situados al final de cada mes. Durante el primer mes se esperan servir
1.500 cubiertos, y cada mes se incrementará en 20 el número de cubiertos servidos, estabilizándose en
la cifra alcanzada el último mes del primer año. El precio del cubierto durante el primer año es de 10 €,
incrementándose anualmente en un 3% acumulativo.
Se pide:
1. Respecto al préstamo:
1.1. Tres primeras líneas del cuadro de amortización.
1.2. Desglose de la mensualidad correspondiente al primer mes del séptimo año.
1.3. Resto pendiente y reserva matemática a los 6 años y 15 días de concedido.
1.4. Nuda propiedad a los 6 años de concedido si el tanto de interés del mercado en ese momento es
del 5% efectivo anual.
2. Cantidad entregada en efectivo para pagar las obras de acondicionamiento.
3. Si el tanto de interés de valoración es del 5% efectivo anual, y considerando un horizonte temporal de
15 años:
3.1. Valor hoy de todos los gastos, teniendo en cuenta la financiación de la compra del local.
3.2. Valor hoy de todos los ingresos derivados de la explotación.
Solución:
1. Respecto al préstamo:
1.1. Tres primeras líneas del cuadro de amortización.
1.2. Desglose de la mensualidad correspondiente al primer mes del séptimo año.
1.3. Resto pendiente y reserva matemática a los 6 años y 15 días de concedido.
1.4. Nuda propiedad a los 6 años de concedido si el tanto de interés del mercado en ese
momento es del 5% efectivo anual.
1 − ( 1 + I)
a( n , I) :=
−n
I
Mensualidad del préstamo.
C := 100000
i12
I12 :=
12
i12 := 0.06
α :=
C
(
a 120 , I12
I12 = 0.005
α = 1110.21
)
Tres primeras líneas del cuadro de amortización.
r := 0 .. 3
R := C
0
Y := I12⋅ R
1
0
r=
A := α − Y
1
M := A
1
1
R := C − M
1
1
Y := I12⋅ R
2
1
A := α − Y
M := M + A
R := C − M
Y := I12⋅ R
3
2
A := α − Y
M := M + A
R := C − M
2
3
Y +A =
r
2
3
Y =
r
2
1
3
2
2
3
A =
r
2
3
M =
r
1
2
3
R =
r
r
0
0
0
0
0
100000
1
1110.21
500
610.21
610.21
99389.79
2
1110.21
496.95
613.26
1223.46
98776.54
3
1110.21
493.88
616.32
1839.78
98160.22
Desglose de la mensualidad del primer mes del séptimo año.
r := 6⋅ 12 + 1
r = 73
(
)
R72 := α ⋅ a 120 − 72 , I12
Y73 := R72⋅ I12
(
R72 = 47272.88
Y73 = 236.36
)
A73 := A ⋅ 1 + I12
1
72
A73 = 873.84
Y73 + A73 = 1110.21
Resto pendiente y reserva matemática a los 6 años y 15 días de concedido.
r := 12⋅ 6
El resto pendiente en 6 años (72 meses) coincide con el
resto pendiente en 6 años y 15 días.
r = 72
(
)
R72 := α ⋅ a 120 − 72 , I12
R72 = 47272.88
(
)
Reservapasiva_6_años := α ⋅ a 120 − 72 , I12
Reservapasiva_6_años = 47272.88
1
(
)2
Reservapasiva_6_años_15_días := Reservapasiva_6_años⋅ 1 + I12
Reservapasiva_6_años_15_días = 47390.92
Nuda propiedad a los 6 años de concedido si el tanto de interés del mercado en ese momento
es del 5% efectivo anual.
1
(
I1 := 0.05
) 12 − 1
I12 := 1 + I1
120− 72
N72 := A73⋅
1 − 1.005
(
⋅ 1 + I12
I12 = 0.00407412
)− ( 120−72)
N72 = 42692.33
1 + I12 − 1.005
Valor actual de una renta variable en
progresión geométrica de razón q := 1.005
2. Cantidad entregada en efectivo para pagar las obras de acondicionamiento.
La cantidad entregada en efectivo es la diferencia entre los 50000 € y el saldo acumulado en la cuenta
bancaria.
1
I1 := 0.04
(
)4 − 1
I4 := 1 + I1
I4 = 0.009853
Tanto efectivo
trimestral equivalente
i4 := 4⋅ I4
i4 = 0.039414
(
i1 := I1
i1
)5−1⋅ i ⋅ (1 + I4)
Saldo := 4⋅ α 1⋅ 5⋅ 1 + I1
4
Valor final de una renta variable en
progresión geométrica, fraccionada,
anticipada
q := 1 + I1
q = 1.04
Saldo = 35968.85
α 1 := 1500
Cantidadefectivo := 50000 − Saldo
Cantidadefectivo = 14031.15
3. Si el tanto de interés de valoración es del 5% efectivo anual, y considerando un horizonte
temporal 15 años:
3.1. Valor hoy de todos los gastos, teniendo en cuenta la financiación de la compra del local.
3.2. Valor hoy de todos los ingresos derivados de la explotación.
1
(
I1 := 0.05
)
I12 := 1 + I1
12
−1
I12 = 0.004074
Tanto efectivo
mensual equivalente
i12 := 12⋅ I12
i12 = 0.048889 i1 := I1
h := 800
h = 800
α 1 := 4000
Para calcular el valor actual de todos los gastos se ha de calcular, en primer lugar, el valor
actual de los gastos de explotación:
Vexplotación :=
 12.⋅ α + 12⋅ h + 15⋅ 12⋅ h ⋅ a 15 , I − 15⋅ 12⋅ h ⋅ i1 ⋅ 1 + I − 5
( 1)
( 12)

1
I1
I1  i12



Valor actual de una renta variable en progresión aritmética,
fraccionada, anticipada y diferida 6 meses
Vexplotación = 1108148.1
Los gastos de la financiación de la compra del local serán:
(
)
Vfinanciación := α ⋅ a 120 , I12
Vfinanciación = 105209.23
Además se ha de considerar el coste de las obras de acondicionamiento:
Vobras := 50000
El valor actual de todos los gastos asciende a:
Vgastos := Vexplotación + Vfinanciación + Vobras
Vgastos = 1263357.33
Respecto a los ingresos, calculando por separado los correspondientes al primer año de
explotación y los derivados de los 14 años restantes se tendrá:
α 1 := 1500⋅ 10
α 1 = 15000
Ingresosprimer_año :=
h := 20⋅ 10
h = 200
 α + h + 12⋅ h ⋅ a 12 , I − 12⋅ h ⋅ 1 + I − 6
( 12) I  ( 12)
 1 I
12
12 


Valor actual de una renta variable en progresión aritmética,
vencida y diferida 6 meses
Ingresosprimer_año = 183533.88
(
)
α´1 := α 1 + 11⋅ h ⋅ 1.03
α´1 = 17716
14
Ingresosresto_años := 12⋅ α´1⋅
(
)− 14
1 − q ⋅ 1 + I1
(1 + I1) − q
q := 1.03
⋅
i1
i12
(
)− 18
⋅ 1 + I12
Valor actual de una renta variable en progresión geométrica,
fraccionada, vencida y diferida 18 meses
Ingresosresto_años = 2384910.14
Vingresos := Ingresosprimer_año + Ingresosresto_años
Vingresos = 2568444.03