UCAB
Extensión Guayana
Escuela de Ingeniería Industrial
Cátedra: Vectores e inferencia
Profesor: Alessandre Bastardo
Ejemplos: Pruebas de Hipótesis continuación
Ejemplo 4
Contrastar la hipótesis de que la varianza de una población normal es 2, si en
una muestra de quince elementos la varianza muestral fue 3, 𝛼 = 0.05
Solución
𝐻0 : 𝜎 2 = 2
𝐻𝑎 : 𝜎 2 ≠2
Como 𝐻𝑎 : 𝜎 2 ≠2, tenemos el contraste de dos colas
ℎ1
ℎ2
Calculemos los valores críticos ℎ1 y ℎ2 , como el parámetro es la varianza
poblacional usamos Chi cuadrada
2
ℎ1 = 𝑋1−𝛼⁄
𝜎2
2 𝑛
2
2
𝑋1−
𝛼⁄ =𝑋1−0.975 (14)= 5,63.recuerda g.l = n – 1 =15- 1 =14
;
2
Luego
2
ℎ1 = 𝑋1−𝛼⁄
𝜎2
2 𝑛
=5.63
2
15
= 0.75
1
2
ℎ2 = 𝑋𝛼⁄
𝜎2
2 𝑛
2
ℎ2 = 𝑋𝛼⁄
𝜎2
2 𝑛
;
2
𝑋𝛼2⁄ = 𝑋0.025
(14) = 26.1
2
=26.1
2
15
= 3.48
Finalmente ℎ1 = 0.75 y ℎ2 = 3.48
𝑆 2 = 3 está entre ℎ1 = 0.75 y ℎ2 = 3.48; por lo que no se rechaza 𝐻0
Ejemplo 5
Contrastar la hipótesis nula 𝐻0 : 𝜎 2 = 8 contra la hipótesis alterna 𝐻𝑎 : 𝑠 2 >6, si
en una muestra de 20 elementos 𝑠 2 = 11, 𝛼 = 0.10
Solución
Contraste de una cola por la derecha
h
h= 𝑋𝛼2
h= 𝑋𝛼2
𝜎2
𝑛
𝜎2
𝑛
2
; 𝑋𝛼2 = 𝑋𝛼.1
(19) = 27.3
= 27.3
8
20
= 10.88
Contrastemos 𝑠 2 y h
Como 𝑠 2 = 11> h =10.88, se rechaza la hipótesis nula 𝐻0
2
Ejemplo 6
En una población se tomó una muestra de 21 elementos, siendo 𝑋̅ =200 y
𝑠𝑥2 = 40.. En otra población una muestra aleatoria de 31 elementos dio
𝑦̅ =180 y 𝑠𝑦2 = 30. ¿Hay una diferencia significativa en las varianzas?.
Tome 𝛼 = 0.05
Solución
Empleamos la distribución F porque queremos saber si hay diferencia de
las varianzas de las dos poblaciones
Hipótesis
𝐻0 : 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2
𝐻𝑎 : 𝜎𝑦2 ≠ 𝜎𝑦2
𝑛𝑥 =21; 𝑠𝑥2 = 40
𝑛𝑦 =31; 𝑠𝑦2 = 30
1
𝐹1−𝛼⁄2 (𝑛𝑥 − 1; 𝑛𝑦 − 1) =
𝐹𝛼⁄ (𝑛𝑦 −1;𝑛𝑥 −1)
2
𝐹0,975 (20; 30) =
1
𝐹0.025 (30;20)
=
1
2.35
𝐹𝛼⁄2 (𝑛𝑥 − 1; 𝑛𝑦 − 1) = 𝐹0.025 (20; 30)= 2.20
Calculemos ahora
nx s2x (nx −1)
ny s2y (ny −1)
=
21∗40∗30
31∗30∗20
= 1,354
Como 1,354 está entre 0,425 y 2,20, se acepta 𝐻0 :
3
Ejemplo 7
Se quiere determinar si los estudiantes diurnos y nocturnos de la
facultad de Ciencias Económicas y Sociales dedican el mismo tiempo a sus
estudios. Por estimaciones anteriores se supone que las varianzas ene le
tiempo de estudios semanales son 8 y 5 horas respectivamente. Una muestra
aleatoria de 100 estudiantes diurnos dio un promedio de 12 horas semanales,
mientras que una muestra de 80 estudiantes nocturnos dio un promedio de 9
horas semanales. ¿Con un nivel de significancia del 5% hay una diferencia
significativa en las horas estudiada por cada grupo?
Solución
Sea x; muestra estudiantes diurnos
Y muestra de estudiantes nocturnos
Planteamiento de hipótesis
𝐻0 :𝜇𝑥 = 𝜇𝑦
𝐻𝑎: : 𝜇𝑥 ≠ 𝜇𝑦
contraste de dos colas
Datos
̅=12 𝒚
̅ =9 𝝈𝟐𝒙 = 8 𝝈𝟐𝒚 = 5 𝒏𝒙 =100 𝒏𝒚 = 80
𝒙
𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.025 = 1,96
Calculemos
𝜎2
𝜎2
𝑥
𝑦
8
5
𝒉𝟏 = - 𝑧𝛼⁄2 √𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 =- 1,96√100 + 80 = -0.74
𝒉𝟏 =0.74
𝜎2
𝜎2
𝑥
𝑦
8
5
𝒉𝟐 =𝑧𝛼⁄2 √𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 = 1,96√100 + 80 = 0.74
𝒉𝟐 = 0.74
4
Por otro lado
̅=12 𝒚
̅ =9 y
𝒙
̅ - 𝒚
̅ = 3 > 𝒉𝟐 = 0.74
𝒙
Luego se rechaza la hipótesis nula
Atte Alessandre B
5
0
