Daniipalacio98 www.wuolah.com/student/Daniipalacio98 598 Flujo Potencial.pdf Flujo Potencial 2º Mecánica de Fluidos II Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Superior de Ingeniería Universidad de Cádiz Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. MECÁNICA DE FLUIDOS II GRADO EN INGENIERÍA AEROESPACIAL FLUJO POTENCIAL Daniel Palacio Moreno Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. UNIVERSIDAD DE CÁDIZ ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Linguaskilldesde casa. lnternational House Madrid + Lingua kill fro Cambridge + Acredita tu nivel de inglés en 48 horas con el nuevo test de Cambridge English. UCambridge Assessment V English Authorised Unguaskíll Agent MECÁNICA DE FLUIDOS II ÍNDICE Índice 2. Flujo Potencial 4 2.1. Ecuación de Cauchy-Riemann .................................................................................... 6 2.2. Flujo uniforme ...................................................................................................................... 6 2.3. Flujo sobre esquinas ........................................................................................................... 7 2.4. Manantial o sumidero: ........................................................................................................ 8 2.5. Torbellino o vórtice: ............................................................................................................ 8 2.6. Doblete o dipolo ......................................................................................................................... 9 2.7. Semicuerpo de Rankine ................................................................................................... 10 2.8. Óvalo de Rankine ......................................................................................................... 11 2.9. Circunferencia ............................................................................................................... 11 2.10. ........................................................................................................................... Cilindro con circulación ............................................................................................................................ 12 2.11. Fuerzas sobre cuerpos ................................................................................................. 13 2.12.Sustentación ........................................................................................................................ 13 2.13.Resistencia aerodinámica ................................................................................................. 13 2.14............................................................................................................................. Teorema de Blasius .................................................................................................................................. 13 2.15.Método de las imágenes .................................................................................................. 14 2.16............................................................................................................................. Teorema del círculo (Milne-Thomson) ........................................................................................... 14 2.17. Transformación conforme................................................................................................. 14 2.17.1. Transformación de Joukovski .................................................................................. 15 1 Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. 1. Introducción 2 1.1. Ecuaciones de Euler ..................................................................................................................... 2 MECÁNICA DE FLUIDOS II ÍNDICE IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge MECÁNICA DE FLUIDOS II 1. 1. INTRODUCCIÓN Introducción Como bien es conocido los fluidos se pueden clasificar en líquidos y gases, el caso de dichos fluidos reales no se van a estudiar en esta asignatura. Se tiene que para un líquido perfecto ρ = cte y para un gas perfecto se cumple la ecuación de los gases perfectos P = Rg T. ρ Para líquidos caloríficamente perfectos se tiene que (1) e = e0 + cT (2) e = e0 + c v T (3) En cuanto a la viscosidad se refiere, se procederá a ir desde el caso donde esta es más restrictiva hasta aquel donde esté más simplificada dentro de los casos que se estudiarán. El primer caso es cuando se encuentra un fluido isótropo donde µ no depende de la dirección. El siguiente nivel que se encuentra es para fluidos Newtonianos, donde µ = cte y por último se tiene el caso de fluido ideal, donde µ = 0 y, como es gas ideal, su conductividad térmica, k también es nula. Para el caso ideal, las simplificaciones son válidas para la mayoría del campo fluido en movimientos estacionarios para números de Reynolds muy grandes ρU l Re = µ (4) >> 1 excepto: -en una capa delgada entorno al sólido (capa límite); -en una región de dimensiones transversales pequeñas aguas abajo del sólido (estela); -en capas delgadas en el interior del campo fluido (ondas de choque) 1.1. Ecuaciones de Euler - Continuidad(sin cambios) Para el caso de gases la ecuación resulta ∂ρ ∂t + v · ∇ρ + ρ∇ · v = 0 (5) y para el caso de líquidos se obtiene que ∇·v =0 (6) - Cantidad de movimiento Se tiene la ecuación de cantidad de movimiento en forma diferencial ∂v + ρv · ∇v = −∇p + ∇τ̄ + ρf m (7) ∂t que se multiplicará por el cociente entre una longitud característica, lc y una densidad multiplilc cada por una velocidad característica al cuadrado ( ρU 2 ) Una vez se han multiplicado los términos de la ecuación se hallarán los órdenes de magnitud de la ecuación, que resultan tal que ρ µ ∆P fm l l +1= 2 + + 2 v c tc ρv c ρlU vc que sustituyendo por números adimensionales queda tal que St + 1 = Eu + 1 Re + 1 Fr y simplificando el término de la viscosidad de la ecuación queda Dv ρ = −∇p + ρf m; Re >> 1 Dt (8) 2 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. al igual que para gases ideales donde MECÁNICA DE FLUIDOS II 1. INTRODUCCIÓN - Entropía = Dt - Energía interna ρ ∇ · (k∇ ✟ T ) + Φ✓v✓ + Q̇ ✟ ✟✟ ρT ρT ✟ ✓ρT De = −p∇ · v + Q̇ Dt (9) (10) - Entalpía ρ - Energía cinética Dh Dt = DP Dt + Q̇ (11) 2 ρ D( v ) 2 Dt - Energía interna total = −v · ∇p + ρf m · v (12) 2 ρ D(e + v ) 2 Dt ρ D(h + = −∇ · (ρv) + ρf m · v v2 ) 2 (13) ∂p = + ρfm · v (14) Dt ∂t Para la resolución de estas ecuaciones se deben aplicar condiciones iniciales y de contorno, donde las primeras serás las mismas que se usaron en la asignatura de "Mecánica de Fluidos I las condiciones de contorno varían. Las condiciones de contorno, según Navier-Stokes, las soluciones a las ecuaciones son parabólicas, por lo que no tendrían solución ya que son procesos irreversibles, sin embargo las soluciones a las ecuaciones según Euler son lineales, o lo que es lo mismo, son procesos reversibles los que ocurren al aplicar las ecuaciones. Dichas condiciones de contorno, en el infinito (∞) no varían, ya que el fluido no estaría afectado por las perturbaciones. Ahora bien, si se tiene un sólido sobre el que impacte el fluido, se tiene que la velocidad en el campo fluido no coincide con la velocidad del sólido, puesto que se supone que el fluido desliza sobre la pared (v✚ =vs) y para que esta pueda resolverse de forma adecuada, dichas velocidades se multiplican escalarmente por las normales (v · n = vs · n). También podría tenerse en cuenta las temperaturas en el sólido y en el fluido, cosa que realmente da igual dado que al ser un fluido ideal, el fluido no transmite el calor y esto es irrelevante. También se analiza la continuidad, existencia y unicidad de la ecuación, es decir si existe la solución de las ecuaciones, esta será continua y única. Realmente la solución de las ecuaciones de Euler no es continua, es decir, existen saltos y discontinuidades. Hay regiones muy pequeñas donde hay grandes variaciones, pero en realidad son continuas debido a la viscosidad y a la conducción de calor. En la figura 1 se puede ver una representación del perfil de velocidades. Figura 1: Capa límite según Euler En la figura 2 puede observarse esquemáticamente cómo avanza el perfil de velocidades, con el desprendimiento de la capa límite creando una estela turbulenta. 3 Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. Ds MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL Figura 2: Capa límite y estela en un cuerpo fuselado 2. Flujo Potencial 0 ✼ ∂ v✓ ρ ✓ + ρv · ∇v = −∇p + ρfm (15) ∂t ✓ Se supone que las fuerzas másicas derivan de un potencial (f m = −∇U ), de tal forma que la ecuación queda 0 ✘ ✿ −∇P ✼ ∂ v✓ ✘✘ ✓ ρ + ρv · ∇v = ✘ −∇ ✘p✘− ρ∇U Analizando el segundo término ✓ de∂tla ecuación se tiene ✿0 ✘✘ 2 ✘ v · ∇v = ∇ v − v ∧ ∇ ∧ v) ✘ ✘(✘ 2 Analizando de nuevo el segundo término, se puede hacer cero por dos motivos: siendo un flujo irrotacional (∇ ∧ v = 0) o proyectándolo sobre una línea de corriente (v · (v ∧ (∇ ∧ v))). Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, la ecuación 15 queda tal que =v2−∇P 2 ρ∇ Donde P es la presión de remanso; considerando ρ constante, se tiene: P v2 + ρ 2 ∇ (16) =0 lo que implica que v2 2 + P ρ = C. Operando resulta lo siguiente: ∂v + ρv · ∇v = −∇p + ∇τ̄ + ρf m ∂t Dividiendo por ρ y haciendo el rotor a toda la ecuación (∇∧) ρ ∇∧ ∂v ∂t + ∇ ∧ (v · ∇v) = −∇ ∧ +∇∧ ∇P ρ ∇· τ̄ + ∇ ∧ fm ρ donde aplicando algunas propiedades de cálculo vectorial ( ( \ ✯0 ∇ ∧ ∇P✟ 1 ω "" ∇ ∧ ∇τ̄ 1 ∂ 1 ✿ 2 ✘ ✘ ✘ ✘ + ∇ ∧ ∇τ̄ + ∇ ∧ f"m (∇ ∇ ∧ ∇|v| − " v ∧ (∇ ∧ " v ) = ( \ ✘ \ − ✟ −∇ ∧ ∇p − ✟ ∂t ∧ "v ) + 2 ✟ ρ ρ ρ tras otras operaciones y eliminando unos términos, la ecuación se queda 4 ρ Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. ∂ Se tiene el flujo de un líquido (ρ = cte), ideal (µ = 0) y con un movimiento estacionario (∂t = 0), donde la ecuación de la conservación de la masa queda de forma que ∇ · v = 0 La ecuación de cantidad de movimiento, aplicando las condiciones citadas arriba, queda tal que MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL Dω _, 1 ∂ω ✿ Dt ✘✘ ✘✘ ∇ω − v∇ · ω + ω∇ · v = ω · ∇v − ∇ ✘✘+ v· + ∂t ρ ∧ ∇p ∇ ∧ ∇τ̄ +∇ ρ 1 ∧ ∇τ̄ + ∇ ∧ fm ρ Sabiendo que ∇ · v = 0, ρ = cte, que las fuerzas másicas derivan de un potencial (f m = −∇U ) y que ∇ ∧ ∇τ̄ = ∇ ∧ (µ∇2 v) = ∇2 (µ∇ ∧ v) = µ∇2 ω . Tras todas esas operaciones y consideraciones se obtiene que Dω = ω · v + ν∇2 ω Dt (17) ∇∧v = 0 (18) Es bien conocido por la asignatura Mecánica de Fluidos I que si el flujo es irrotacional, existe un potencial de velocidades, Φ, y si el flujo es solenoidal y 2D, existe una función de corriente, Ψ. Si dicho potencial de velocidades existe, la velocidad se puede escribir como v = ∇Φ, donde el rotor del potencial es nulo (∇ ∧ ∇Φ = 0). Aplicando la condición de flujo solenoidal se obtiene la ecuación de Laplace: ∇2 Φ = 0 (19) esta ecuación tiene una solución lineal y admite superposición de soluciones. A la hora de plantear el problema en flujo potencial se debe resolver ∇2Φ = 0, a continuación obtener el perfil de velocidades mediante v = ∇Φ y a partir de ahí obtener la presión. Para el último paso hay dos vías: 1.|v|2 ∂v + ∇ p+ +U = 0 ρ 2 ∂t 2.- ∂Φ ∂t ∂Ψ ∂x P + ρ 1 + 2 ∇Φ · ∇Φ + U = F (t) Como bien se citó anteriormente, si el flujo es solenoidal existe una función de corriente, donde ∂Ψ = −v y ∂y = u, siendo ∂Ψ Si se impone ∇ ∧ v = 0 ∂Ψ =0 ∂x ∂y 2 ∂ Ψ ∂2 Ψ − =0 ∂x∂y ∂x∂y dΨ = −vdx + udy; Ψ = cte => dΨ = 0 dy v = dx u ∂v − + ∂u k = (∇ ∧ v)k ∂y 2 ∂ Ψ ∂2Ψ − 2 ∂x + =0 ∂y 2 De todas estas operaciones y simplificaciones se obtiene finalmente que ∂x ∇2 Ψ = 0 (20) 5 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. Si a parte de asumir todas las consideraciones anteriores se supone flujo bidimensional se tiene que ω = 0, o lo que es lo mismo MECÁNICA DE FLUIDOS II 2.1. 2. FLUJO POTENCIAL Ecuación de Cauchy-Riemann ∇Ψ · ∇Φ = 0 (21) donde ∇Ψ = ∂Ψ i + ∂Ψ j = −v i + uj ∂x ∂y ∂Φ ∇Φ = i + ∂Φ j = ui + vj ∂x · −→ −vu + vu = 0 ∂y De las ecuaciones anteriores se deduce pues que ∂Φ = ∂Ψ ∂x ∂y ∂Φ ∂Φ v= =− ∂y ∂x Cuando esto se cumple se obtiene una función holomórfica, es decir, que cumple todas las propiedades de las funciones y además es compleja diferenciable, y tiene la forma W = Φ + iΨ. Para realizar cálculos con esta nueva función se utiliza una variable compleja, z, que cumple z = x + iy, siendo la función, función de z (W (z)). A modo de resumen, se trata de definir un problema mediante las ecuaciones de Laplace, ya sea con la función potencial como con la función de corriente (∇2Φ = 0 ó ∇2Ψ = 0, respectivamente.), y posteriormente se definen unas condiciones de contorno que, para el primer caso será que la derivada de la función en la normal se anula (ya que tiene que ser tangente al movimiento) y para ∂Φ el segundo caso tiene que ser la derivada de la función en la tangente tiene que ser cero ( ∂n =0o ∂Ψ = 0). ∂s Ideas fundamentales: 1.- Las ecuaciones son lineales, por lo que se puede aplicar el principio de superposición. 2.- Buscar soluciones que cumplan las condiciones de contorno y cambiarlas para encontrar las soluciones deseadas. 3.- z = x + iy, W (z) = Φ + iΨ, por lo que W (z) es analítica y compleja. 4.- Tanto la parte real como la imaginaria de W son soluciones de la ecuación de Laplace y por lo tanto son soluciones del flujo potencial. 5.- Hay que buscar funciones W cuya parte imaginaria, Ψ, sea constante en las líneas de corriente, por ejemplo en paredes. 6.- dW dz (ur = u − iv → es la velocidad compleja conjugada. Esta se expresa en polares como − iuθ )e−iθ A continuación se van a describir unos tipos de flujo, donde se va a calcular el potencial complejo (W(z)) y las velocidades a modo de ejercicios: 2.2. Flujo uniforme Sabiendo que el perfil de velocidades tiene la forma v = U (cos α, sin α) se pide calcular el potencial complejo Teniendo en cuenta que u= v= ∂Φ ∂x ∂Φ ∂y = U cos α = U sin α 6 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. u= MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL ❃ se tiene que Φ = U x cos α + U y sin α + ✚ Φ✚ 0 Sabiendo también que 0 ❃0 se tiene que Ψ = −U x sin α + U y cos α + ✚ Ψ✚ 0 Atendiendo a la definición de potencial complejo, donde W (z) = Φ + iΨ, y sustituyendo los valores obtenidos anteriormente se tiene W = Ux cos α + Uy sin α + i[−Ux sin α + Uy cos α] U [x cos α + y sin α − ix sin α] −iz z α + iy cos✘ ✿ ✿ ✘ ✘ sin α(✘ ✘ ✘✘ ✘✘ U [cos α(✘ x+ y− iy) + ix)] Uz[cos α − sin α] Resultando entonces el potencial complejo de un flujo uniforme con un ángulo: W (z) = Uze −iα (22) Ahora bien, para calcular la velocidad compleja conjugada se deriva el potencial complejo en z: dW ✿ u ✘ ✘✘ ✘ ✿v = U e−iα → ✘ U✘ c ✘ − i✘ U si os α nα dz Para los casos de flujo que se van a exponer a continuación, se dará el potencial complejo y de ahí se deberán obtener las funciones potencial y de corriente, donde se hará más hincapié en la función de corriente, puesto que de ellas se puede obtener las líneas de corriente y tener una mejor apreciación de cómo es dicho flujo. 2.3. Flujo sobre esquinas Para la resolución de este caso de flujo potencial es de gran ayuda realizar el problemas en coordenadas polares (z = reiθ ) Se tiene que el potencial complejo se expresa como W (z) = Azn, que haciendo el cambio a coordenadas polares se obtiene Arneiθn = Arn[cos (θn) + i sin (θn)] Ahora para analizar el flujo se observa que la función de corriente, Ψ, tiene que ser constante para que esta sea una línea de corriente, de tal forma que Ψ = Arn sin (nθ) → Arn sin (nθ) = C Se va a analizar el caso más sencillo, donde la constante vale cero; sabiendo que A no puede serlo, porque sino, no habría flujo, se analiza el resto de la ecuación (rn sin (nθ) = 0), y se tiene que se hace cero en r = 0 (que no sería una línea de corriente sino un punto) y para sin (nθ) = 0. Hay que tener en cuenta que para que se cumplan las condiciones de que sea función de corriente los valores del ángulo deben estar comprendidos entre 0 ≤ θ < 2π Este último caso ocurre cuando θ = 0, ó θ = π/n ó θ = 2π/n. En el caso en el que se tenga una sola esquina, se considera sólo el flujo dentro de la esquina Teniendo n = 1 y θ = π se tiene que W (z) = Az, es decir, que el flujo uniforme es un caso particular de flujo en esquinas. 7 Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. ∂Ψ = −U sin α ∂x ∂Ψ u= = U cos α ∂y −v = MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL Al calcular la velocidad compleja en el caso general se tiene que W (z) = Azn dW = Anz (n−1) dz De ahí se deduce que para valores de n > 1 se tienen puntos de remanso y para valores de n < 1 se tienen puntos singulares. Manantial o sumidero: m W (z) = ln z 2π En este caso también se van a utilizar las coordenadas polares donde, a modo de recordatorio, z = reiθ , el flujo quedaría m (ln r + iθ) 2π Mirando la parte real e imaginaria se tiene que Ψ = m ln r y Φ = W (z) = 2π m θ. 2π Para que sea línea de corriente, la función de corriente tiene que ser constante (Ψ = cte), para ello m θ = cte ⇒ θ = cte 2π A la hora de calcular la velocidad compleja se tiene dW dz m = m e−iθ 2πr m ur = 2πr uθ = 0 = 2πz Si Q ≡ m>0, el flujo sale del origen y va hacia todas direcciones y se comporta como una fuente y si Q ≡ m<0, el flujo va desde fuera hasta el origen y se comporta como un sumidero. r θ=2π mr Q= · dθ = m 2π θ=0 W (z) = Q 2π ln z En este caso se va a calcular la circulación, Γ, que es el producto escalar de la velocidad con una zona diferencial de línea a lo largo de la misma r r ur er · eθ rdθ = 0 Γ = v · dl = l circ La circulación en este caso es nula porque los vectores son perpendiculares. 2.5. Torbellino o vórtice: W (z) = i n 2π ln z Realizando el problema en coordenadas polares se tiene que n W (z) = i (ln r + iθ) 2π 8 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. 2.4. MECÁNICA DE FLUIDOS II de tal forma que Φ = − θn y Ψ = 2. FLUJO POTENCIAL n 2π ln r = cte, siendo Ψ línea de corriente, por eso es constante. 2π Al calcular la velocidad compleja se tiene dW n =i dz 2πz ur = 0 n uθ = − 2πr En este caso el caudal, Q = 0 porque ∇ · v = 0, pero la circulación es r 2π − Γ= n rdθ ⇒ Γ = −n 2πr 0 W (z) = −i 2.6. Γ 2π ln z Doblete o dipolo Se puede definir como dos vórtices, manantiales o sumideros que están muy cerca y son opuestos. A continuación se va a analizar el caso de dos vórtices que están a una distancia muy pequeña, ε, y giran en sentidos opuestos, siendo su potencial complejo Q W (z) = Q ln (z − z0 ) − ln (z − z0 ) 2π Q 2π [ln (z + ε) − ln (z − ε)] 2π Q lı́m [ln (z + ε) − ln (z − ε)] ε→0 2π Q z+ε W (z) = lı́m 2π ε→0 z − ε Ahora se aproxima el límite por series de Taylor a orden uno: f (ε) = f (0) + εf ′(0) + · · · + o(ε) 1 + z + ε (−1)(−1) f (ε) = 1 + (z − ε)2 z−ε 1 z 2 ε=0→ + 2 = z z z Ahora sustituyendo la aproximación en el potencial complejo queda W (z) = Q r l lı́m ln 1 + 2ε + o(ε) 2π ε→0 z Volviendo a aproximar mediante serie de Taylor, se tiene F (ε) = 1 + 1 F ′(ε) = 1+ 2ε z · + o(ε) 2ε z + o(ε) 2 + o(ε) z ε → 0 ⇒ F (ε) = 2 z 9 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. Cumpliéndose de esta manera que el potencial complejo de un flujo con un vórtice es MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL Para finalizar con las simplificaciones, se define que Qε = cte Qε µ= π W (z) = µ z En la figura 3 se puede observar cómo serían las líneas de corriente para un doblete, que son de la forma µ µy Ψ = − sin θ = − 2 x + y2 r dW dz =− µ z2 Figura 3: Líneas de corriente de un doblete 2.7. Semicuerpo de Rankine El semicuerpo de Rankine se puede obtener con la suma de dos flujos, uno uniforme y un manantial, siendo su potencial complejo Q W (z) = Uz + ln z (23) 2π la función de corriente queda tal que Ψ = Ur sin θ + Q θ 2π (24) uθ = U sin θ (25) y las componentes de la velocidad resultan como Q ur = U cos θ + 2πr , - Coeficiente de presión Este coeficiente relaciona la presión estática frente a la presión dinámica, de tal forma que se define como 10 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. y la velocidad compleja queda como MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL Cp = P − P∞ (26) 1 2 2 ρU ∞ De esta expresión se pueden deducir varios casos: Cp = 1, si p = P0 Se conoce que la ecuación de Bernoulli es de la forma: 1 p + ρ |v|2 = P0 2 1 2 1 2 p∞ + ρU ∞ = P0 = p + ρ |v| . 2 2 Despejando de la última ecuación la presión,p, y sustituyéndola en la expresión del coeficiente de presión, se obtiene 2 P✟ P✟ |v|2 ✟ ∞ + //ρU∞ − //ρ |v| − ✟ ∞ 1 1 2 2 ⇒ Cp = 1 − U2 Cp = 1 22 ∞ //ρU ∞ 2 2.8. Óvalo de Rankine El óvalo de Rankine se obtiene mediante la suma de una corriente incidente, un manantial y un sumidero, siendo su potencial complejo Q Q ln (z − a) (27) 2π 2π donde el sumidero y la fuente están a una distancia a del centro de simetría. Haciendo un cambio a coordenadas polares, el potencial complejo resulta tal que ´ W (z) = Uz + ln (z + a) − W (z) = Uz + Q 2π ln r1eiθ1 r2eiθ2 y la función de corriente, Ψ, quedaría Ψ = Uy + Q Q (θ1 − θ2) ⇒ Ψ = Ur sin θ + 2π 2π arctan 2ar sin θ r2 − a2 (28) Para llegar a esta expresión se ha realizado una serie de relaciones entre los ángulos: h tan θ1 = h , tan θ2 = L h L − 2a L−a sin θ = , cos θ = r r r sin θ r sin θ tan θ1 = , tan θ2 = a + r cos θ r cos θ − a tan θ1 − tan θ2 2ar sin θ = 2 tan θ1 − θ2 = r − a2 1 + tan θ1 tan θ2 2.9. Circunferencia Una circunferencia se obtiene mediante un flujo incidente y un doblete, siendo su potencial complejo µ µ (29) W (z) = Uz + = U (r cos θ + ir sin θ) + (cos θ − i sin θ) z r donde la función potencial y la función de corriente son: 11 Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. Cp = 0, si p = p∞ MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL Φ = Ur cos θ + Ψ = Ur sin θ − µ r µ cos θ (30) sin θ (31) cos θ (32) r Así como las velocidades, que resultan µ ur = U cos θ − r2µ uθ = −U sin θ + |v| Cp = 1 − 2 2 U∞ ; Cp = 1 − 4U 2 sin2 θ 2 ⇒ Cp = 1 − 4 sin θ U2 Esta ecuación es el caso ideal de flujo sobre una circunferencia y la ecuación representa lo que se observa en la figura 4 Figura 4: Representación del coeficiente de presiones 2.10. Cilindro con circulación Un cilindro con circulación se obtiene mediante un flujo incidente, U , un doblete, (Ua 2 ) y un torbellino, Γ, de tal forma que el potencial complejo queda como W (z) = U iΓ 2 ln z z+ a − z 2π (34) y las componentes de la velocidad son 2 ur = U cos θ 1 − a r2 Γ uθ = −U sin θ 1 + a2 + . 2πr r2 12 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. sin θ (33) r2 Si se analiza el coeficiente de presiones en la circunferencia se obtiene, basándose en las ecuaciones anteriores, MECÁNICA DE FLUIDOS II 2. FLUJO POTENCIAL A continuación se analizan los casos para los que v = 0, resultando cos θ, r = a ⇒ −U −2U sin θ + Γ 2πa 1+ a2 r2 = 0 ⇒ sin θ = Γ + 2πr Γ 4πUa Figura 5: Representación de cilindros con distintas circulaciones 2.11. Fuerzas sobre cuerpos Se sabe por definición que r F= P nds S de esta forma se define el lift o sustentación como la fuerza que ejerce el sólido sobre el fluido en la componente Y : r pn · jds. L= S De igual manera se puede definir al drag o resistencia aerodinámica como la fuerza que ejerce el sólido hacia el fluido en la componente horizontal X: r pn · ids D= S 2.12. Sustentación Aplicando la ecuación de Bernoulli, sustituyendo la presión de la misma ecuación, suponiendo una normal con componentes arbitrarias (con ángulos variables) y sabiendo que uθ2 = 4U 2 sin2 θ − 2 4U Γ Γ sin θ + 4π2 a2 , la ecuación de la sustentación para un flujo en dos dimensiones, también conocida como ecuación de Kutta queda como 2πa L2D = −ρU Γ 2.13. Resistencia aerodinámica Se conoce como paradoja de D’Alembert al caso de la resistencia aerodinámica que resulta cero, a pesar de que se conocía que se generaba arrastre. Luego se descubrió que ese arrastre se generaba por la capa límite. D2D = 0 2.14. Teorema de Blasius F = D − iL = i ρ dW dz 2 2 dz → D − iL = iρΓU 13 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. En la figura 5 se puede apreciar como el caso a) tiene circulación Γ = 0, el caso b) tiene circulación 0 < Γ < 4πUa, el caso c) tiene circulación Γ = 4πUa y el caso d) tiene una circulación Γ > 4πUa MECÁNICA DE FLUIDOS II 2.15. 2. FLUJO POTENCIAL Método de las imágenes Figura 6: Método de las imágenes en forma gráfica. 2.16. Teorema del círculo (Milne-Thomson) El teorema del círculo es un método que permite obtener una línea de corriente circular a partir de la superposición de manantiales, sumideros, torbellinos, dobletes, etc., colocadas a una distancia mayor que a. El potencial complejo que se genera de este teorema es ω(z) = W (z) + W a2 z donde para |z| = a hay una línea de corriente (el círculo como tal); W (z) representa el flujo r \2 fuera, el cual no tiene singularidades para |z| < a y W a z representa el flujo de las singularidades dentro del círculo. 2.17. Transformación conforme La transformación conforme, consta en esencia de un cambio de planos, donde se puede obtener, de un flujo que no se sabe resolver tras hacer las transformaciones de dominios pertinentes, obtener un flujo sencillo de resolver. La transformación principal es pasar del plano complejo al plano "η" ζ = f (z) donde f es una función analítica compleja (holomórfica), lo que quiere decir es que conserva los ángulos al hacer el cambio; hay que tener especial cuidado con los puntos donde la derivada de la función es nula (f ′(z) = 0). 14 IH Madrid - Acredita tu nivel de inglés en 48h con el nuevo test de Cambridge Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. El método de las imágenes consiste en, aquellos casos donde hay una pared, añadir al otro lado de la pared un elemento semejante que haga que cumpla que dicha pared sea línea de corriente. Para el caso de un torbellino, se colocará otro de misma intensidad pero distinto signo separado una distancia a del eje, y para el caso de fuentes o sumideros se colocará otra fuente o sumidero al otro lado de la pared a una distancia a del eje, tal y como se puede observar en la imagen 6. MECÁNICA DE FLUIDOS II ∇2 Φ = 2. FLUJO POTENCIAL 2 ∂ Φ 2 + ∂ Φ f (z) 2 2 ∂ Φ 2 ∂ Φ − + −−→ ∇ Φ = ∂y2 − ∂ξ 2 ∂η 2 dW (ζ) dζ dW (z) W (z) −−−−→ W (ζ); = dz dζ dz dW (ζ) dW (z) dz = dζ dz dζ ∂x2 dz donde dζ es la derivada de una función g (g′(ζ)) y ζ = f (z). A la hora de resolver ejercicios de transformación conforme se tienen que seguir las siguientes pautas: - Resolver el problema en una región sencilla conocida - Transformar la región sencilla en la región que se quiere estudiar - Transformar la solución usando la misma función - La solución transformada es la verdadera solución. 2.17.1. Transformación de Joukovski Es un caso particular de las muchas transformaciones conformes existentes, donde a2 . z Distintas aplicaciones de este tipo de transformación se muestran en la gráfica 7 obtenida del libro Aerodinámica Básica, de Meseguer ζ=z+ Figura 7: Transformadas de Joukovski. 15 Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. ζ=f (z)
