UTN FRBA EXAMEN FINAL 1. Un sistema consiste de dos

UTN FRBA
EXAMEN FINAL
1.
Un sistema consiste de dos componentes A y B conectadas en paralelo. La
probabilidad de falla durante el período de operaciones es de 0.2 para A y 0.1 para B.
La probabilidad de que ninguna de ambas falle es 0.72. Para que el sistema funcione
tiene que funcionar por lo menos una de ambas componentes. Designe con A al
suceso ”la componente A funciona durante todo el periodo de operaciones” y con B al
suceso ”la componente B funciona durante todo el periodo de operaciones”.
a) ¿Son A y B sucesos independientes?
b) Calcule la probabilidad de que el sistema funcione durante todo el periodo de
operaciones.
2.
Suponga que se está diseñando un panel de instrumentos para una gran
máquina industrial que requiere un alcance de 59 cm desde determinada posición. Se
sabe que el alcance desde esa posición para adultos presenta una media de 80 cm
con un desvío estándar de 15 cm y distribución normal. Si se implementa este diseño,
¿qué porcentaje de operarios no podrá trabajar con ese panel de instrumentos?
3.
Un proveedor ofrece lotes de tela a un industrial textil. El industrial desea
conocer si la resistencia promedio de ruptura de la tela ofrecida excede los 200 psi. Si
es así, aceptará el lote. La experiencia pasada indica que un razonable valor para la
varianza de esa resistencia es 100 psi². El industrial recibe un lote de la tela y
selecciona al azar cinco especimenes. Al probarlos determina una resistencia media
de los mismos de 207 psi. Suponga que la resistencia de ruptura de la tela sigue una
distribución normal.
a) Usando un nivel de significación del 5%, ¿debe el industrial aceptar el lote?
b) Si el industrial decide aceptar el lote cuando la resistencia media de los cinco
especimenes es por lo menos 210 psi ¿cuál es con esta regla de decisión el
nivel de significación utilizado?
4.
Estimación por intervalos
Suponga que usted obtuvo un intervalo de nivel de confianza 0,95 para la
media de una población normal a partir de una muestra de tamaño n.
Una de las siguientes opciones es verdadera y la otra es falsa. Explique por qué la
verdadera lo es y por qué la otra no lo es.
a) Se espera que pertenezca al 95% de los intervalos que se construyan de la
misma manera con muestras de tamaño n.
b) La probabilidad de que el intervalo obtenido contenga a la verdadera media
poblacional es 0,95.
5.
Modelo de regresión lineal simple.
a) Exprese el modelo con una fórmula apropiada y describa los elementos que la
componen.
b) ¿Cuál es y en qué consiste el criterio usado para obtener los coeficientes de la
ecuación de la recta de regresión muestral?
F61
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Probabilidad y Estadística
EXAMEN FINAL
1. Un trabajador cuentapropista se dedica al lavado de alfombras. Para realizar esa tarea
dispone de un equipo pesado. El acarreo del equipo tiene un costo fijo de $10 más $2
por cuadra. La distancia en cuadras a las viviendas que atiende es una variable aleatoria
con función de probabilidad f(x).
x
f(x)
1
0,03
2
0,03
3
0,04
4
0,13
5
0,27
6
0,22
7
0,18
8
0,05
9
0,03
10
0,02
a) ¿Cuál es el costo promedio por acarreo del equipo?
b) ¿Qué costo de acarreo debe prever por servicio si desea cubrirlo el 90%
de las veces?
2. La duración en horas de ciertas lámparas obedece a una ley de probabilidad
exponencial de media β.
a) Halle β sabiendo que la probabilidad de que una lámpara dure por lo
menos 50 horas es 0.95. Exprese β con dos posiciones decimales.
b) Calcule la probabilidad de que una lámpara dure entre 60 y 90 horas.
3. Datos históricos señalan que la eficiencia productiva media de ciertos
aparatos es 30. El fabricante afirma que los cambios efectuados en el proceso
de fabricación aumentaron dicha eficiencia en más de un 10%. Para verificarlo
se tomaron nueve aparatos y se determinó sus eficiencias resultando:
34
36
37
32
35
36
32
33
35
a) ¿Apoyan estos datos la afirmación del fabricante?
b) Indique las suposiciones empleadas que le otorgan validez a la
respuesta dada en el punto anterior.
4. Función de distribución.
a) Defínala y enuncie sus propiedades características.
b) ¿Cómo se relaciona la función de distribución con la función de
probabilidad de una variable aleatoria discreta?
c) ¿Cómo se relaciona la función de distribución con la función de
densidad de una variable aleatoria continua?
5. Estimación.
a) Explique el concepto de estimador de un parámetro. ¿Qué es un
estimador insesgado?
b) Dé un ejemplo de estimador insesgado. Defínalo indicando los
requisitos teóricos que deben cumplirse para que el estimador tenga
esa propiedad.
F59
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Probabilidad y Estadística
Examen final
Apellido y Nombre:
1) La vida útil de ciertas lámparas es exponencial de media 200 horas. Se prueban 10 lámparas
que han superado las 150 horas de duración,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara que duró 150 horas supere las 250 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos tres de estas diez lámparas superen las 250
horas de vida útil?
2) Se fabrican cohetes que alcanzan una altura media de 2,5 km. Teóricamente se supone que el
alcance se reduce si una vez fabricados son almacenados durante un cierto período de tiempo.
Seis cohetes son almacenados durante dicho periodo y se determinan sus alcances en
kilómetros, que resultan: 2,48; 2,52; 2,36; 2,41; 2,31; 2,43.
a) Asumiendo que el alcance de un cohete se distribuye normalmente, ¿concluiría que al
alcance es más corto después del almacenamiento con un nivel de significación del 5%?
b) Enuncie los errores tipo 1 y 2 que pueden cometerse en el contexto del problema.
3) Se ha observado que para predecir la demanda de combustible para calefacción resulta ser
más preciso el pronóstico a largo plazo de las temperaturas y el uso de la relación temperatura –
consumo que el tratar de pronosticar directamente demanda analizando las ventas de
combustible. Un distribuidor de combustibles mantiene un registro de ventas mensuales de
combustible y de temperaturas máximas en esos meses.
Los datos de nueve meses tomados al azar aparecen en la siguiente tabla:
Volumen de
ventas (Y )
Promedio de
temperaturas
máximas (X)
26,2 17,4
7,8
12,3
35,9
42,1
26,4
19
10,1
8
18,4
16,8
5,5
3,7
6,5
11
15,5
12,5
a) ¿Qué porcentaje de la variación en las ventas mensuales se explica por la variación en las
temperaturas máximas promedio? Explique su respuesta.
b) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media del volumen de ventas si el
promedio de temperaturas máximas es 15 grados.
4) Estimación.
Explique en que consiste la estimación puntual y la estimación con un intervalo de confianza.
Establezca su diferencia. Ejemplifique.
5) Sucesos Independientes.
Definición: Los sucesos A y B son independientes sii P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Explique el
concepto de independencia y de donde surge esta definición.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
EXAMEN FINAL
Apellido y Nombre:
1. Los alumnos de un curso de capacitación técnica tienen que realizar dos pruebas, una
teórica y otra práctica. La probabilidad de que un alumno apruebe la prueba teórica es de 0.6,
la probabilidad de que apruebe la prueba práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe
ambas pruebas es 0.5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguna de las dos pruebas?
b) Se sabe que un alumno no aprobó la prueba teórica. ¿Cuál es la probabilidad de que
no apruebe tampoco la prueba práctica?
2. El tiempo total en horas que una persona utiliza su teléfono celular en un período de un mes,
es una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de densidad:
⎧1
0 < x < 10
⎪ x
f ( x) = ⎨ 50
⎪⎩0
en otro caso
2
a) Calcular E ( X ) y E X − 1
(
)
b) Si se sabe que el tiempo total que una persona utilizó su teléfono celular fue de más de
5 horas en un mes ¿ cuál es la probabilidad de que el tiempo total que utilizó el teléfono celular
sea menor al tiempo total esperado?
3. Se está estudiando el rendimiento de un sistema de procesamiento de información que es
medido en una escala conveniente. De la experiencia previa se sabe que el rendimiento sigue
una distribución normal con varianza igual a 5. El responsable del procesamiento sospecha
que el rendimiento medio es menor a 90 y para confirmar sus sospechas decide tomar una
muestra de 25 días de operación.
a) Plantee las hipótesis y la región de rechazo adecuadas para un nivel de significación
de 0.05
b) En una muestra de 25 días de operación se obtuvo un promedio muestral de 88.7
¿cuál es el p-valor en este caso? ¿cuál es su conclusión a nivel 0.05?
4. Sea X una variable aleatoria, F su función de distribución acumulada y b un valor
perteneciente al rango de dicha variable:
a) ¿qué representa F(b)?
b) ¿es F(b-1)< F(b)? Justifique su respuesta
5. Sea X una variable aleatoria y E(X) su esperanza. ¿Cómo construiría un intervalo de
confianza para E(X)?