Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería
Instituto de Ciencias Básicas
Pauta de Corrección
Primer Control
Estadística
1.- Supóngase que la variable aleatoria X distribuye según la siguiente función
de probabilidad :
x 1 (1 P) x 2 P 2
f ( x, P )
0
,
x 2,3,,
,
t.o.l.
Basado en una muestra aleatoria de tamaño n, encuentre el E.M.V para el
parámetro P.
n
( xi 2 )
n
L( x1 , x2 , x3......xn , p) ( xi 1)(1 p) i 1
p2n
i 1
n
n
i 1
i 1
ln L( x1 , x2 ,........xn , p) ln ( xi 1) ( xi 2) ln( 1 p ) 2n ln p
n
( x 2)
ln L
0
p
i
i 1
1 p
n
( x 2)
i
i 1
1 pˆ
pˆ
2n
n
x
i 1
i
2
x
2n
pˆ
2n
p
/ ln
2.- Se tiene la siguiente distribución de ingreso mensual (en M$) de una
muestra de100 trabajadores de cierto sector económico.
Ing
mensual
50-110
110-170
N°
trabajadores
15
18
170-230
32
230-270
270-350
25
10
100
Suponiendo que esta muestra es representativa de todo el sector:
a) ¿Es posible afirmar con un 95% de confianza que el ingreso medio
mensual es igual a $ 250.000?
x 194,7
s 2 4661,53
194,7 1,96 *
n=100
68,275
10
181,32;208,08 miles de pesos.
Dado que los 250 mil pesos no está contenido en el intervalo; no hay
evidencia para decir que el ingreso mensual promedio es de 250 mil pesos.
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la variabilidad de los
ingresos de estos trabajadores.
99 * 4661,53 99 * 4661,53
;
128,42
73,36
3593,61;6290,78
La varianza correspondiente al ingreso de los trabajadores estaría
contenida en el intervalo 3.593,6 – 6.290,78 miles de pesos al cuadrado con un
nivel de confianza del 95%.
3.- Sea ( x1 , x2 , x3 , x4 ) una m.a.(4) de una población con distribución exponencial de
parámetro . De las siguientes estadísticas ¿cuáles son estimadores insesgados del parámetro
? y ¿ cuál de los 3 es el estimador más eficiente ?
T1
( x1 x2 )
6
( x 2 x 2 3 x3 4 x 4 )
( x x 2 x3 x 4 )
( x3 x4 )
; T2 1
; T3 1
3
10
4
Insesgamiento
E (T1 )
E (T2 )
E (T3 )
E ( x1 ) E ( x2 ) E ( x3 ) E ( x4 ) 2 2
6
3
6
3
2 3 4
10
4
4
10
10
Insesgado
Insesgado
Insesgado
Eficiencia
V (T1 )
1
1
1
1
5
(V ( x1 ) V ( x2 )) (V ( x3 ) V ( x4 ))
2 2 2 2
36
9
36
9
18
V (T2 )
1
3
(V ( x1 ) 4V ( x2 ) 9V ( x3 ) 16V ( x4 )) 2
100
10
V (T3 )
2
4
Por lo tanto T3 es el estimador más eficiente, ya que tiene la menor varianza.
0
