AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. La Distancia en R. Definici on

ANALISIS
MATEMATICO
BASICO.
La Distancia en R.
Denicion. 1. Dado x 2 R llamamos valor
positivo
jxj =
si
si
x;
x;
Figura 1.
absoluto
de
x
al numero real
0;
x
x<
0.
Valor absoluto.
El valor absoluto mide la distancia de un numero real x al punto 0:
Tambien podemos ver el valor absoluto como una aplicacion j j : R ! R
cuya graca es:
Figura 2.
Funcion valor absoluto.
Proposicion. 1. (Propiedades
del valor absoluto.)
Para todo par de
se verican estas tres propiedades:
2R
jxj 0; ademas jxj = 0 si y solo si x = 0:
jxyj = jxjjyj
jx + yj jxj + jyj (Propiedad triangular).
numeros reales
x; y
1
2
C. RUIZ
Demostracion: Las dos primeras propiedades son faciles de probar y se
dejan como ejercicio. Veamos la tercera. En primer lugar observemos que
para todo a 2 R se verica que a jaj: As
x
y
Por otro lado
x
y
j
j
jxj
jyj
j = jxj
j = jyj
x
y
y por tanto
y por tanto
x+y
jxj + jyj:
x + ( y)
De lo que se deduce que jx + y j jxj + jy j
= (x + y ) jxj + jy j:
Denicion. 2. (Distancia en R) Se dene la distancia entre dos numeros
reales
x; y
2 R por
dist(x; y )
= jx
j
y:
El concepto de distancia es esencial para poder denir y entender el concepto de lmite (y por tanto de funcion continua, derivable o integrable)
que veremos mas adelante.
Proposicion. 2. (Propiedades
x; y; z
de la distancia.)
Dados cualesquiera
numeros reales, se verican estas tres propiedades:
2R
jx yj 0; ademas jx yj = 0 si y solo si x = y:
jx yj = jy xj
jx yj jx zj + jy zj (Propiedad triangular).
Demostracion: Las demostraciones se basan en las propiedades del valor
absoluto. Las dos primeras son muy faciles. Para convencernos de la tercera
(la propiedad triangular) bastara el siguiente dibujo
Figura 3.
Propiedad triangular de la distancia.
que dice que "para ir de
z ".
x
a
y
siempre es mas corto si no pasamos por
Ejemplo. 1. Resolver la ecuacion jx 3j + jx 7j = 4:
APUNTES MMI
3
Demostracion: Si no estuviesen los valores absolutos, estaramos ante una
ecuacion de primer grado facil de resolver. Como no es el caso, veamos que
hacer. Lo primero es llevar los puntos 3; 7 y x sobre la recta real.
Figura 4.
Posicion relativa de puntos sobre la recta.
Una observacion directa sobre el dibujo nos dice que los numeros a menores que 3 y los mayores de 7 no pueden ser solucion de la ecuacion. Tenemos
que buscar entre los numeros c que esten entre 3 y 7; de modo que la suma
de distancia de c a 3 y de c a 7 sea 4. En este caso es facil ver que todo x = c
esta en tales condiciones.
De forma general este tipo de problemas se puede hacer del siguiente
modo sistematico. Del dibujo vemos que tenemos tres casos:
si
3 y por tanto la ecuacion queda x + 3 + ( x) + 7 = 4; as
2x = 6 y as x = 3; lo cual es incompatible con x < 3;
si 3 x < 7 y por tanto la ecuacion queda x 3 + ( x) + 7 = 4; as
4 = 4 lo cual es cierto, por tanto para todo x 3; y x < 7 se verica
la ecuacion;
si x 7 la ecuacion queda x 3 + x 7 = 4; de lo que se deduce que
2x = 14 y as x = 7 es solucion.
x <
Luego las soluciones de esta ecuacion son todos los x 2 [3; 7] Intervalos. Los intervalos son los conjuntos mas utilizados al trabajar
sobre R:
Denicion. 3. Dados
extremos
a
y
b
a; b
2 R;
a < b;
se llama
intervalo abierto
al conjunto de la recta
(a; b) = fr 2 R
Figura 5.
:
g
a<r<b :
Intervalo abierto.
de
4
C. RUIZ
Sea x0 2 R y
Ejemplos. 1.
(x0
; x0 +)
= fr 2 R
:
x0
> 0;
se considera el intervalo abierto
< r < x0 +
g = fr 2 R
:
jr
j
Este es el conjunto de todos los reales que distan de x0 menos que
Figura 6.
(7
1
2:
g
x0 < :
:
Intervalo de centro x0 y radio .
1
1
2 ; 7 + 2 ) son todos los numeros reales que distan de 7 menos que
Denicion. 4.
Intervalo cerrado:
[a; b] = fr 2 R
:
a
r b g:
Semirrecta cerrada:
[a; 1) = fr 2 R
:
a
r g:
Semirrecta abierta:
(
(
1; b) = fr 2 R
:
g
r<b :
1; 1) = R:
Ejemplo. 2. Hay que determinar el conjunto
A
= fx 2 R
:
j2x + 3j < 6 g:
Demostracion: Para quitar el valor absoluto debemos distinguir dos casos:
Luego
2x + 3 0 (es decir x 23 ), en este caso tenemos la desigualdad
2x + 3 < 6 y despejando x < 23 : Luego x 2 [ 23 ; 32 ):
En otro caso x < 23 ; y la desigualdad queda, 2x 3 < 6 y despejando la x; x > 92 : As x 2 ( 92 ; 23 )
A
=(
9 3 [ 3 3
9 3
;
) [ ; ) = ( ; ):
2 2
2 2
2 2
Ejemplo. 3. Dados a < b dos numeros reales, el numero
medio del segmento que une
a
con
b:
a+b
2
es el punto
APUNTES MMI
5
Demostracion: La distancia que sepera a a y b es exactmente b
a+b
a: Buscaa+b a =
mos un punto entre a y b que equidiste de ambos. As ja
2 j= 2
b a : Por otro lado, j a+b
a
+
b
b
b
a+b
bj = b
2
2
2 = 2 : Luego efectivamnete 2
equidista de a y b; luego es el punto medio buscado. Referencias
lisis Matema
tico, Facultad de Matema
ticas, UniverDepartamento de Ana
sidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
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Cesar [email protected]