Inecuaciones y Valor Absoluto: Apuntes de Clase

Inecuaciones
Valor absoluto
Se tiene la costumbre de decir que
x 2  x y esto sólo es cierto cuando x  0 .
La función valor absoluto cumple:
si x  0
x
, elevando al cuadrado ambos
x 
 x si x  0
miembros x 2  x
2
y aplicando la raíz cuadrada
x2  x
El valor absoluto es siempre un número positivo x  0 .
Ejemplo:
Si x es un número real, por ejemplo x  4 , aplicando la definición:
4  22  2  2 ó
4
 2
2
 2  2 como vemos la raíz de 4 es 2 y no
2 .
Para resolver la ecuación x 2  4 , extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros
x 2  4  x  2 y de aquí obtenemos las soluciones x  2 y x  2 .
Si se trata de una expresión matemática:
 algo si algo  0
algo  
algo si algo  0
Ejemplo:
2

 x 2  x  2 si x 2  x  2  0
 x  x  2 si

 2
x x2   2
2


 x  x  2 si x  x  2  0
 x  x  2 si
 x 2  x  2 si x  1 ó x  2

x2  x  2   2

 x  x  2 si  1  x  2
2
 x 1 x  2   0

 x  1 x  2   0
Desigualdades con valor absoluto
La expresión x  r es equivalente a r  x  r .
o
También x  s  r es equivalente a r  x  s  r y por tanto a
sr  x  sr
x  r

o La expresión x  r es equivalente a ó bien .
 x  r

Ejemplos:

3  2 x  1   1  3  2 x  1  1  x  2  x  1, 2

x 1  2 
x  3 




x  1  2  ó
  ó
  x  , 1  3, 
 x  1  2 
 x  1



