V - Departamento de Inteligencia Artificial

Sistemas de ayuda a la decisión
Modelización de la incertidumbre
Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad
Indice
1) Sucesos aleatorios. Espacio muestral.
2) Operaciones con sucesos.
3) Enfoques de la Probabilidad.
4) Axiomas de Kolmogorov.
5) Axiomas de la Probabilidad subjetiva.
6) Resultados básicos con probabilidades.
7) Variables aleatorias.
8) Educción de probabilidades.
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades
•
Estimación de probabilidades
•
Estimación objetiva (frecuencia relativa) y subjetiva (expertos)
•
Asignación de probabilidades: tarea compleja.
Métodos rigurosos y sistemáticos (requisitos)
Métodos directos e indirectos (estrategias)
Probabilidades para variables discretas y continuas (herramientas)
Morgan y Henrion (1990)
•
2 fuentes estrategias de adquisición de conocimiento probabilístico
1. Pregunta directa al experto
2. Inferencia indirecta mediante comparaciones (escenarios artificiales)
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades. Métodos de asignación
Datos.
•Momentos (Pearson)
Los k parámetros θ son funciones de los momentos m1,…mk
Los momentos muestrales definen k ecuaciones.
Estimaciones insesgadas (E[θ’]= θ), efiecientes (min Var(θ)),
consistentes (E[θ’n] → θ)y robustas ((1-α)f(X)+ α g(X)). ECM(θ’) = E[(θ- θ’)2]
•EMV (Fisher)
Maxima verosimilitud, estimar los parámetros de la distribución que
maximizan la probabilidad de la muestra observada. Se supone que los
datos son variables aleatorios identicamente distribuidas e independientes.
Estimaciones insesgadas (E[θ’]= θ)
•Otros métodos.
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades. Métodos de asignación
•Discretas
Asignación directa (simple y poco fiable)
Asignación basada en apuestas (motivación económica, punto de
indiferencia, favorable → desfavorable → favorable → …. Convergencia)
Asignación basada en loterías (comparar sorteos con uno de referencia)
Representación con árboles de sucesos
•Continuas
Utilizar los métodos anteriores para asignar ciertas probabilidades
acumuladas y ajustar una función de distribución
Solicitar ciertos cuantiles (percentiles y cuartiles) y ajustar la F
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades.
probabilidades Métodos de asignación
Otros métodos - mejoras
•Método de la probabilidad: sesgo de confianza y anclaje, construir la F en
ciertos intervalos, contrastar y revisar los resultados
•Método de las alturas relativas: escalas termométricas. Pj, f(x)
•Método de Raiffa-Schlaifer: moda, hipótesis de apuntamiento elevado y
probabilidad baja de valores alejados de la moda
•Descomposición y asignación de probabilidades: puede ser en principio
más sencillo asignar probabilidades condicionadas y tendencias.
Árboles de probabilidad – escenarios condicionantes
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Educción de probabilidades.
probabilidades Métodos de asignación
•Fases de educción
Adquisición de conocimiento (PROBABILISTICO) – Inteligencia Artificial.
Marco: encuesta / entrevista + diseño y preparación y ejecución y análisis
1. Motivación: importancia y propósito
2. Estructuración: definición de las variables y distribuciones de
interés. Escalas, tablas, parametros, características, funciones,…
Dependencias.
3. Condicionamiento: identificar sesgos y
las causas (experto, técnicas,…)
•Tarea compleja en tiempo.
•SRI: fases 1, 2, 3 y
4. Codificación: valores extremos (sesgos), redundancia (inconsistencias),
revisión, sensibilidad del experto al nivel de información o evidencia
5. Verificación: refleja la asignación las creencias del experto?
Cuestionario derivado del modelo de probabilidad asignado.
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades.
probabilidades Métodos de asignación
•Comparativa de métodos.
- Depende del problema, del experto/decisor
- Recomendado: utilizar variso métodos.
•Contraste de Consistencia de los resultados o juicios.
Las inconsistencias pueden resolverse o no en el marco del modelo.
•Contraste de Coherencia entre sucesos complementarios. El espacio muestral
tiene probabilidad 1.
•Calibración: ensayar el método/técnica en un problema sencillo no trivial
antes de atacar la asignación en el problema real
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades.
probabilidades Métodos de asignación
Sucesos muy raros
Asignación de probabilidades pequeñas de sucesos sin precentes.
Estimaciones subjetivas muy sensibles al sesgo (infra/sobrestimación)
Difícil discriminar ordenes de magnitud en las probabilidad pequeñas.
•Procedimientos de asignación: descomposición e identificación de factores
que determinan escenarios con probabilidades significativas del suceso raro
sr1
•Arboles de sucesos: árboles de probabilidad,
etapa ~ factor. El Cálculo de Probabilidades
suministra la probabilidad global a partir de
las de los factores. Sucesos raros (sr) → hojas
¬sr
¬sr
sr2
¬sr
¬sr
•Arboles de fallos: descomposición causal
del suceso raro. Causas → hojas.
o
c1
sr
y
c2
c3
c31
c32
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Educción de probabilidades.
probabilidades Métodos de asignación
Heurísticas y sesgos.
1. Disponibilidad de la heurística.
Recuerdos fuertes, Imaginación, correlaciones falsas
2. Representividad de la heurística.
Ignorancia de las tasas frecuencia, secuencias de artefactos o patrones previos,
ignorancia de la regresión a la media, conjunción de falacias
3. Ajuste de la heurística.
Insuficiencia, sobreestimación de conjunción de eventos, infraestimación de
disyunciones de eventos.
4. Otros sesgos en los juicios.
Sobre estimar los sucesos deseables, propagar la covarianza entre sucesos
• Calidad de los juicios probabilísticos: expertos reales, problemas reales no de
laboratorio, asignación comprensible, motivación, frecuencia ~ probabilidad
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades. Métodos de asignación
•Asignación basada en apuestas (motivación económica, punto de
indiferencia, favorable → desfavorable → favorable → …. Convergencia)
Ejemplo: el EURIBOR supera el 4% en 2007 ≡ A
Se plantean dos apuestas simétricas al experto:
Donde x e y representa el dinero que está dispuesto a ganar/perder al apostar
Apuesta1
Gana x si A
Pierde y si ¬A
Apuesta2
Pierde x si A
Gana y si ¬A
Si ninguna de las apuestas es preferida la indiferencia implica que los valores
esperados (la suma ponderada con la probabilidad de las perdidas/ganancias)
serán iguales
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades. Métodos de asignación
x
A
Apuesta por A
¬A
A
-y
-x
Apuesta por ¬A
¬A
y
Indiferencia o equilibrio entre las apuestas →
Ganancias esperadas en la Apuesta 1: xP(A) + (-y)P(¬A) =
Ganancias esperadas en la Apuesta 2: (-x)P(A) + yP(¬A),
donde P(A) = 1 – P(¬A) → P(A) = y/(x+y), x = yP(¬A)/P(A)
Por ejemplo: x=100, y=10 → P(A)=0.091
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades. Métodos de asignación
•Asignación basada en loterías (comparar sorteos con uno de referencia)
Ejemplo: el EURIBOR supera el 4% en 2007 ≡ A
Se plantean dos sorteos con premios
S1 -- un ordenador portatil y
S2 – un televisor de plasma (suponemos que S1 es preferido a S2)
Lotería1 gana S1 si A
gana S2 si ¬A
Lotería2
gana S1 con probabilidad p
gana S2 con probabilidad 1-p
La segunda es la lotería de referencia
Se interroga al experto sobre
la posible indiferencia entre las loterias
para algún valor de p especificada mediante
una rueda de la fortuna o una urna de bolas.
p
1-p
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Educción de probabilidades. Métodos de asignación
S1
A
Loteria1
¬A
p
S2
S1
Lotería2
1-p
Se propone un valor inicial para p.
Si prefiere la Lotería1 se debe incrementar p
Si prefiere la Lotería2 se debe disminuir p
Si no prefiere ninguna P(A) = p.
S2
p
p
1-p
……..
1-p
Si asignamos a un sistema completo de sucesos {Ai}ni=1
se hace la asignación secuencialmente y al final se normaliza la ∑ni=1 pi = 1
Modelización de la incertidumbre
Educción de probabilidades. Discretización
•Características de variables aleatorias continuas
Simulación, integración, discretización
•Discretización: perdida de información mínima
Por niveles en cada nivel la media o mediana
Uniforme, ajuste de error
No Uniforme, para variables aleatorias multidimensionales
Divergencia de Kullback y Leibler