Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Junio 2010
OPCIÓN A
PROBLEMA 3. Se sabe que p(B/A) = 0,9, p(A/B) = 0,2 y p(A) = 0,1.
a) Calcula p(A∩B) y p(B)
b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?
c) Calcula p A ∪ B , donde B representa el suceso complementario de B.
(
)
Solución:
De los datos del problema, conocemos:
p (B I A )
(1) p B = 0´9 → (2)
= 0´9
A
p ( A)
p( A I B )
(3) p A = 0´2 → (4)
= 0´9
B
p( B)
(5) p ( A) = 0,1
( )
( )
a) Calculemos p(A∩B) y p(B)
p( A I B)
= 0´9 → p ( A I B ) = 0´09 (6)
0´1
0´09
0´09
= 0´2 → p ( B ) =
= 0´45
p( B)
0´2
A partir de las expresiones (2) y (5)
A partir de las expresiones (4) y (6)
b) Para que los sucesos A y B sean independientes debe cumplirse: p(A∩B) = p(A) . p(B)
Sustituyendo los valores de las probabilidades: 0`09 = 0´1 . 0´45 = 0´045 falso
Por lo tanto A y B no son independientes.
c)
(
)
() (
p A ∪ B = p ( A) + p B − p A I B
)
Calculemos las tres probabilidades de la parte derecha.
Ya conocemos el valor de p(A) = 0´1
()
p B = 1 − p( B) = 1 − 0´45 = 0´55
La última probabilidad la obtenemos de la siguiente forma: llamando E al suceso seguro, sabemos que
(
)
) por lo que
p ( A) = p[( A I B ) U (A I B )] = p ( A I B ) + p (A I B ) − p[( A I B ) I (A I B )] =
como ( A I B ) I (A I B ) = A I B I B = A I ∅ = ∅
= p ( A I B ) + p (A I B ) − p (∅) = p ( A I B ) + p (A I B ) − 0 = p ( A I B ) + p (A I B )
Luego
p ( A) = p ( A I B ) + p (A I B )
Sustituyendo las probabilidades conocidas queda:
(
0´1 = 0´09 + p A I B
Finalmente
(
(
A = A I E = A I B U B = (A I B) U A I B
E = B U B luego,
)
→
)
(
)
p A I B = 0´1 − 0´09 = 0´01
p A U B = 0´1 + 0´55 − 0´01 = 0´64
0
