Correcciones de las hojas 2 (final) y 3 (principio) 11∗ La presión a

Correcciones de las hojas 2 (final) y 3 (principio)
11∗ La presión a una profundidad H será:
P = Patm + ρgH
donde Patm es la presión atmosférica, ρ la densidad del lı́quido (agua en este caso) y g la
gravedad. Como se pretende que la presión sea tres veces la atmosférica se deberá cumplir:
3Patm = Patm + ρgH
Entonces, considerando Patm = 101300P a, ρ = 103 Kg/m3 y g=9.8m/s2 , se obtiene
atm
H = 2Pρg
=20.672 m
12∗
Figure 1: Figura del problema 12
a) La fuerza neta sobre el globo será
F = E − P − Pc
donde E es el empuje por el fluido desalojado (aire frio en este caso) y se calcula mediante
la expresin E = ρf V g, siendo ρf la densidad del fluido y V el volumen del cuerpo. P ser el
peso del globo (sin considerar la carga), la calculamos como P = ρV g, con ρ la densidad
del cuerpo, en este caso aire caliente. Pc es el peso de la carga. Para que el globo suba
será necario que F sea positiva (hacia arriba), calculamos el caso lmite, con F=0, entonces
ρf V g − ρV g − M g = 0
Las densidades las calculamos mediante la formula
mP
ρ = nPVm = PRT
donde se considera que se trata de gases ideales, siendo Pm el peso molecular, que por
tratarse de aire estimamos con la siguiente expresin:
O2 + x
N2
Pm = xO2 Pm
N 2 Pm
Donde xO2 es la fracin en volumen de O2 de volumen del O2 en el aire xN 2 la del N2 . De
esta forma, considerando los datos
xO2 =0.22
xN 2 =0.78
Obtenemos Pm =28.88 gr/mol
Sustituyendo en la ecuacin anterior, considerando que la presin es P=1 atm, el aire exterior
es TF =293 K, y que el volumen del globo es V = 100m3
101300 · 28.88 · 10−3
101300 · 28.88 · 10−3
100 · 9.8 − 50 · 9.8 = 0
100 · 9.8 −
8.31 · 293
8.31 · TC
De donde se obtiene que
TC =501.49 K
b)
Si se trata de He, con peso molecular Pm =4, a igual temperatura que el ambiente:
101300 · 28.88 · 10−3
101300 · 4 · 10−3
100 · 9.8 −
100 · 9.8 − M · 9.8 = 0
8.31 · 293
8.31 · 293
Obtenemos M = 103.5
13.
Figure 2: Figura del problema 13
ρ = 0.8g/cm3 = 800kg/m3
La ecuación de Bernouilli
P1 + 1/2ρv12 + ρgH1 = P2 + 1/2ρv22 + ρgH2
por tanto
h
i2
v2 = ρ2 ((P1 − P2 ) + 1/2ρv12 − ρg(H2 − H1 )
Obteniendo
v2 =22.55 m/s2
14. Para la variación de velocidad, depende a qué: Respecto a la región no obstruida, por
la ecuación de continuidad
S1 v1 = S2 v2 , entonces si disminuye S aumenta v.
De Bernouilli, considerando que la altura es la misma en todos los puntos P1 + 1/2ρv12 =
P2 + 1/2ρv22 , si aumenta la velocidad disminuye la presión.
En conclusión: si disminuye la sección aumenta la velocidad y disminuye la presión. Este
es conocido como efecto Venturi.
Con respecto a la situación en que no hubiera obstrucción, la velocidad disminuye, ya que
el caudal disminuye conforme a la ley de Poiseuille:
Figure 3: Figura del problema 14
4
Q1 = Q2 = Q = πR
8ηL ∆P
Si disminuye R el caudal disminuye, y también la velocidad.
En esta situación (descenso de velocidad), conforme a la ecuación de Bernouilli, se produce
un aumento de la presión.
CONSECUENCIAS: El descenso de la presion en la zona obstruida con respecto a la zona
no obstruida provoca, en un capilar flexible, un adelgazamiento del mayor, conduciendo a
una mayor obstrucción.
Una mayor obstrución tiende a disminuir el caudal (Q), con lo que el corazón tiene que
ejercer más presión (∆P ) para mantener el riego sanguı́neo.
15.∗ F = 6πRηv
R = 1µm = 1 · 10−6 m
v = 500nm/s = 500 · 10−9 m/s
η = 1mN sm−2 = 1 · 10−3 N sm−2
Según la ley de Stokes, la fuerza viscosa:
F = 6πRηv = 6π10−6 10−3 500−9 =9.4210−15 N
El empuje
E = ρV g = ρ4/3πR3 V =4.09710−14 N
b) Los lı́quidos disminuyen su viscosidad al aumentar la temperatura, por tanto la bacteria
necesitarı́a menos energı́a para mantener la velocidad.
16. En un cuerpo en un fluido, las fuerzas que actúan son el peso (hacia abajo) y la fuerza
viscosa y el empuje (hacia arriba), por lo que la segunda ley de newton queda
ΣF = E − P + Fvis = ma
Con el tiempo la gota de agua alcanza una velocidad máxima y permanece a esa velocidad.
Como la velocidad es constante la aceleración es nula, en esta situación
E − P + Fvis = 0
Teniendo en cuenta la expresión para la fuerza viscosa, el peso y el empuje se obtiene que
ρaire V g − ρagua V g + 6πRηv = 0
de donde la velocidad m’axima es
2
Vg
v = 6πRη
(ρagua − ρaire ) = 26 Rη g (ρagua − ρaire
Se comprueba entonces que si aumenta el radio de la gota aumenta la velocidad de caida.
Con los datos del problema
R = 1mm = 1 · 10−3m
η = 1.81 · 10−5N ms−2
ρaire =1.22 Kg/m3
ρagua =1000 Kg/m3
se obtiene una velocidad
v=120.3 m/s
17 ∗ Las gotas son esféricas puesto que la esfera es la figura geométrica con menos superficie
para un volumen dado, de forma que disminuye la energa positiva (desfavorable) debido
a la tensión superficial.
La energı́a necesaria para un cálculo infinitesimal
dW = σdS
Para crecer una gota desde R=Rmin a R=Rmax
Z
W
=
Z
Rmax
dW =
σdS
Rmin
Z
Rmax
σ8πRdR
=
Rmin
2
2
= 4πσ(Rmax
− Rmin
)
Con los datos del problema
Rmin = 1mm = 10−3 m
Rmax = 1.1mm = 1.1 · 10−3 m
σ = 0.465N/m
Obtenemos W =1.227·10−6
18∗ . La fuerza ascensional es la debida a la tensión superficial, hacia abajo tira la presión
hidroestática.
En el equilibrio, utilizando la ley de Young-Laplace
cos θ
Pc = Patm = P atm + ρgH − 2σ R
Suponiendo que θ = 0 y despejando
2σ
H = ρgR
Entonces si aumenta R disminuye la altura a la que el lı́quido sube por el capilar.
Con los datos del problema para el xilema
R = 0.5 · 10−5 m
σ = 73 · 10−3N/m
ρ = 1000kg/m3
Se obtiene que H =2.96 m
Si los capilares del roble son cinco veces los capilares del pino se obtiene que Hpino = 5Hroble