Análisis Matemático II – Recuperatorio 2doparcial – 04/12/06 1 2 3 4 5 6 Tema A Apellido y Nombre: JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS x2 y2 2y ln( x 2 y ) y x2 4 a) Halle su dominio D y grafíquelo. b) Exprese ac(D ) y decida si D es cerrado. Si no, muestre un punto como justificación. Exprese D 0 y decida si D es abierto. Si no, muestre un punto como justificación. 1. Sea f ( x , y ) f ( 0 ,0 ) y f ( 0 ,0 ) x Plano tangente a G f en (0,0, ln 2) lim ( x , y ) ( 2, 0 ) f ( x, y ) ( x y x) 2 2. Sean f ( x , y ) x 4 ( y 1) 2 A c) Sin hacer cuentas y siendo G f la gráfica de f , ¿de cuáles de las siguientes no tiene sentido hablar? ¿Porqué? si y 1 x2, y 1 x2 si y 1 x2 y 1 x2 a) Determine si existe el límite radial de f ( x , y ) para ( x , y ) (0,1) Estudie luego el lim f ( x, g( x )) siendo g( x ) x 4 x 2 1 x 0 b) ¿Existe algún valor de la constante A de modo que f resulte continua en ( 0,1) ? ey ex 3. Dada f ( x , y ) ex a) Determine imagen y curvas de nivel. b) Demuestre que f es perpendicular a la curva de nivel f ( x , y ) 2 c) Halle los puntos de la curva de nivel f ( x , y ) 2 donde la máxima derivada direccional vale 3. x y 4. Sea S : z Halle, si existen, los puntos (a , b, c ) S donde la recta normal a S es paralela y x 2 xz0 L: x y 2z 0 5. Sea w F ( x , y, z ) ln( y x ) xz 3 e y a) Si y g ( x , z ) y se define la composición H ( x , z ) F ( x , g( x , z ), z ) , exprese H x ' a la recta b) Si x x (t ) , y y(t ) , z z (t ) , exprese dw dt 6. a) Defina el concepto de diferenciabilidad de f ( x , y ) en Po ( x o , y o ) . Ejemplifique luego la def. para f ( x , y ) x ( x y ) en Po (1,2) . Finalmente compruebe la diferenciabilidad de alguna otra forma. b) Sea f ( x , y ) ln( g ( x , y )) siendo g ( x , y ) 0 . Demuestre que f y g son paralelos.