UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai Resolucions de l’autoavaluació 1 Sabem que A (–4, 3, 3) i B (6, 3, –2). Calcula: a) El punt mig de AB. b) El punt simètric del punt B respecte de A. c) El punt Q : A Q B Resolució a) MAB = ( –4 + 6 3 + 3 3 – 2 1 , , = 1, 3, 2 2 2 2 ) ( ) b) Anomenem S (a, b, g) al punt simètric de B respecte de A. Així: 6+a = –4 2 ° 8 a = –14 § § § § 8 b = 3 ¢ S (–14, 3, 8) § § § 8 g=8 § £ 3+b =3 2 –2 + g =3 2 8 8 8 8 c) OQ = OA + AQ = OA + 2 8 2 AB = (– 4, 3, 3) + (10, 0, –5) = (–4, 3, 3) + (4, 0, –2) = (0, 3, 1) 5 5 Per tant, Q (0, 3, 1). 2 Donats els punts A (1, 3, –2), B (–5, 4, 1) i C (7, 2, 4): a) Determina la recta r que passa per A i B. b) Troba m i n per tal que P (3, m, n) pertanyi a r. c) Determina l’equació del pla π que passa per A, B i C. d) Troba k per tal que Q (k, 7, –1) pertanyi a π. e) Quina és la posició relativa de r i π? Resolució ° x = 1 – 6l § a) AB (–6, 1, 3), r : ¢ y = 3 + l § £ z = –2 + 3l 8 b) Substituint P (3, m, n) en les equacions de r : –1 ° § 3 = 1 – 6l 8 l = 3 § § –1 8 § = ¢ m = 3 + l ÄÄÄÄÄ8 m = 3 + 3 3 § § § –1 § n = –2 + 3l ÄÄÄÄ8 n = –2 + 3 · 8 n = –3 3 £ Així, m = ( ) ( ) ( ) 8 8 i n = –3, per tant, P 3, , –3 . 3 3 Pàg. 1 de 4 UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai Resolucions de l’autoavaluació 8 8 c) AB (–6, 1, 3); AC (6, –1, 6) 8 8 Trobem un vector perpendicular a AB i AC : 8 8 AB Ò AC = (–6, 1, 3) Ò (6, –1, 6) = (9, 54, 0) // (1, 6, 0) Per tant, l’equació de π serà: (x – 1) + 6(y – 3) + 0(z + 2) = 0 x + 6y – 19 = 0 • Una altra forma de fer-ho seria: | x–1 –6 6 y–3 1 –1 | z–2 3 = 0 8 x + 6y – 19 = 0 6 Sens dubte, arribaríem a la mateixa conclusió. • Una altra forma: π: ax + by + cz + d = 0 Aéπ 8 a + 3b – 2c + d = 0 ° § B é π 8 –5a + 4b + c + d = 0 ¢ § C é π 8 7a + 2b + 4c + d = 0 £ Resolent el sistema obtenim una solució indeterminada: a=l b=6l c=0 d = –19 l Fent l = 1 arribem a la conclusió anterior: x + 6y – 19 = 0 d) Si Q (k, 7, –1) é π, ha de complir-ne l’equació: k + 6 · 7 – 19 = 0 ò k = –23 8 Q (–23, 7, –1) é π e) Com que r passa per A i B, i π passa per A, B i C, òbviament r està continguda en π. 3 x – 17 y – 1 z – 8 r: = = 7 0 2 ° x = 15 + 4l § s : ¢ y = –2 – l § £ z = 19 + kl Troba la posició relativa de les rectes r i s (si es tallen, digues en quin punt): a) Per a k = 2. b) Per a k = 5. Resolució a) k = 2 8 dr (7, 0, 2); R (17, 1, 8) é r ° 8 ¢ SR (2, 3, –11) ds (4, –1, 2); S (15, –2, 19) é s £ 8 Vegem el rang de tots tres vectors: | 7 4 2 | 0 2 –1 2 = 77 + 24 + 4 – 42 = 63 ? 0 3 –11 Tots tres vectors són linealment independents. Per tant, les rectes es tallen. Pàg. 2 de 4 UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai Resolucions de l’autoavaluació Pàg. 3 de 4 b) k = 5 8 dr (7, 0, 2); R (17, 1, 8) é r ° 8 ¢ SR (2, 3, –11) ds (4, –1, 5); S (15, –2, 19) é s £ 8 Vegem el rang de tots tres vectors: | 7 4 2 | 0 2 –1 5 = 0 3 –11 8 8 8 El vector SR depèn linealment de d r i d s . Per tant, les rectes es tallen. Expressem r en paramètrics i igualem coordenada a coordenada: ° x = 17 + 7µ ° 17 + 7µ = 15 + 4l ° § § § 1 = –2 – l ¢ El sistema té solució: l = –3; µ = –2 r: ¢ y = 1 8 ¢ § § § £ z = 8 + 2µ £ 8 + 2µ = 19 + 5l £ Substituïm l = –3 en s : x = 15 + 4 (–3) = 3 ° § y = –2 – (–3) = 1 ¢ Es tallen en el punt (3, 1, 4) § z = 19 + 5(–3) = 4 £ Substituint µ = –2 en les equacions de r s’obté el mateix punt. 4 Determina les equacions de la recta que talla r i s, i és paral·lela a t : °x = 2 + l § r : ¢ y = –3 – l § £z = 6 + l °x = 3 § l s: ¢ y = § z = –9 – l £ °x = 8 – l § t: ¢ y = 5 + l § £ z = –6 + 2l Resolució Prenem un punt genèric de r, R (2 + l, –3 – l, 6 + l), i un altre de s, S (3, µ, –9 – µ). 8 Fem que el vector RS sigui paral·lel al vector director de t, (–1, 1, 2), fent-ne les coordenades proporcionals. 8 RS = (1 – l, 3 + l + µ, –15 – l – µ) // (–1, 1, 2) °1 – l 3 +l +µ =— §— 1 –1 ¢ 1 – l –15 –l –µ § — = —— 2 £ –1 ° § ¢ La solució d’aquest sistema és: l = –3, µ = –4 § £ Per a l = –3 obtenim el punt (–1, 0, 3), que pertany a r i a la recta buscada. Per tant, l’equació és: ° x = –1 – l § l ¢y = § £ z = 3 + 2l UNITAT 6 Punts, rectes i plans en l’espai Resolucions de l’autoavaluació 5 Pàg. 4 de 4 Considera el punt P (2, 0, 1) i les rectes: °x = 1 § r1: ¢ y = 5 + l § £ z = 2 + 2l °x = 7 – l § r2: ¢ y = –15 + 3l § £z = 7 Troba una recta s que passa per P i talla r1 i r2. Resolució La recta que busquem, s, serà la intersecció de dos plans: • π1, que conté P i a r1. • π2, que conté P i a r2. 8 El vector director de la recta r1, d1(0, 1, 2), és paral·lel al pla i el vector que va des del punt P al punt R1(1, 5, 8 2) de la recta r1, PR 1(–1, 5, 1), també ho és. Per tant, el pla π1 serà: | x–2 –1 0 | z–1 1 = 0 8 9(x – 2) + 2y – (z – 1) = 0 2 y 5 1 π1: 9x + 2y – z – 17 = 0 De manera anàloga, π2 serà: | | x–2 y z–1 5 –15 6 = 0 8 –18(x – 2) – 6y = 0 –1 3 0 π2: 3x + y – 6 = 0 s és la intersecció dels plans π1 i π2: ° x=l 9x + 2y – z – 17 = 0 ° § ¢ 8 y = 6 – 3l ¢ 3x + y – 6 = 0£ § z = –5 + 3l £ 6 Descriu i representa cada una de les figures següents: a) y = 3 °x = 0 § b) ¢ y = 3 § £z = l °x = 0 § c) ¢ y = 3 § £z = 0 °x = 0 d) ¢ £z = 0 °x = l § e) ¢ y = µ § £z = 0 f) x = y = z Resolució Z a) Pla Z a) Z b) c) b) Recta c) Punt d) Recta Y X Y X X Z e) Pla Y Z d) Z e) f) f) Recta Y X Y X Y X