UNITAT 7 Problemes mètrics Resolucions de l’autoavaluació 1 ° x = 11 + 4l § r1: ¢ y = 5 + 2l § £ z = 7 + 3l Pàg. 1 de 5 ° x = 11 – 9l § r2: ¢ y = 5 – 5l § £ z = 7 – 7l a) Troba les distàncies entre els punts de tall de r1 i r2 amb π: 2x – 5y + 3z – 4 = 0. b) Troba l’angle de r1 amb r2. c) Troba l’angle de r1 amb π. Resolució a) En primer lloc veiem que r1 i r2 es tallen amb π, és a dir, que no són perpendiculars al vector normal π. (4, 2, 3) · (2, –5, 3) = 7 ? 0 ò r1 talla π (–9, –5, –7) · (2, –5, 3) = –14 ? 0 ò r2 talla π Ara trobem els punts de tall de r1 i r2 amb π. Per fer-ho, substituïm en cada punt les coordenades del punt genèric de la recta en l’equació del pla: • r1 amb π: 2(11 + 4l) – 5(5 + 2l) + 3(7 + 3l) – 4 = 0 Si fem l’operació obtenim l = –2. Per tant, el punt de tall és P (3, 1, 1). • r2 amb π: 2(11 – 9l) – 5(5 – 5l) + 3(7 – 7l) – 4 = 0 Si fem l’operació obtenim l = 1. Per tant, el punt de tall és Q (2, 0, 0). La distància entre tots dos punts és: dist (P, Q ) = √(3 – 2)2 + (1 – 0)2 + (1 – 0)2 = √3 b) Les rectes r1 i r2 es tallen, òbviament, en el punt (11, 5, 7). Vegem-ne l’angle: ì cos ( r1, r2 ) = |4 · (–9) + 2 · (–5) + 3 · (–7)| 67 = — — = 0,99933237 —— √42 + 22 + 32 · √ 92 + 52 + 72 √ 29 · √ 155 ì r1, r2 = 2° 5' 38'' ì c) cos (90° – ( π, r1 )) = |4 · 2 + 2 · (–5) + 3 · 3| 7 = — — = 0,2108663 —— √ 29 · √ 38 √29 · √ 22 + 52 + 32 ì 90° – ( π, r1 ) = 77° 49' 37'' ì ( π, r1 ) = 12° 10' 23'' UNITAT 7 Problemes mètrics Resolucions de l’autoavaluació 2 Pàg. 2 de 5 a: 2x + 5y – 7z + 4 = 0 b: 5x – y + z – 4 = 0 g: 2x + 5y – 7z + 49 = 0 Calcula la distància entre a i b i entre a i g. Resolució Els plans a i b es tallen, perquè els seus coeficients no són proporcionals. Per tant, la distància entre a i b és zero. Els plans a i g són paral·lels, ja que els seus coeficients són proporcionals. Per tant, la distància entre ells és la distància d’un punt qualsevol d’un dels plans a l’altre. P (–2, 0, 0) és un punt de a. Per tant: |2 · (–2) + 5 · 0 – 7 · 0 + 49| dist (a, g) = dist (P, g) = 3 45 = √22 + 52 + 72 = √78 15√78 26 Calcula m per tal que dist (P, Q ) = 5, essent P (3, –1, 11) i Q (7, –1, m ). Resolució dist (P, Q ) = √(7 – 3)2 + (–1 + 1)2 + (m – 11)2 = 5 8 42 + (m – 11)2 = 25 Hi ha dues solucions: m = 14 i m = 8 4 Troba la distància de P (1, – 4, 3) a la recta: r : x – 2 4 – 2y z + 1 = = 5 2 3 (Compte amb el numerador de la segona fracció). Resolució La recta r pot expressar-se com: x–2 y–2 z+1 = = 5 –1 3 En la segona fracció hem dividit numerador i denominador entre 2 perquè el coeficient de y sigui 1. 8 El vector director de r és d = (5, –1, 3). 8 8 Trobem el vector PQ , essent Q (2, 2, –1) un punt de la recta r. PQ = (1, 6, –4) 8 8 |PQ Ò d | dist (P, r) = 8 |d| |1 · 5 + 6 · (–1) – 4 · 3| = 13 = √52 + 12 + 32 = √35 13√35 35 UNITAT 7 Problemes mètrics Resolucions de l’autoavaluació 5 Pàg. 3 de 5 Calcula la distància entre les rectes: ° x = 3 + 2l § r: ¢ y = 5 – l § £z = 4 + l ° 2x – y + z + 4 = 0 s: ¢ + 3z =0 £ x Resolució Expressem la recta s en equacions paramètriques per a què sigui fàcil prendre’n un punt, P, i un vector director, 8 d s. Fem z = l i aïllem: °x = –3l § s: ¢ y = 4 – 5l § l £z= 8 P (0, 4, 0) é s d s (–3, –5, 1) 8 Q i d r són un punt i un vector director de la recta r , respectivament: 8 d r (2, –1, 1) Q (3, 5, 4) é r 8 Trobem el vector PQ = (3, 1, 4) 8 dist (r, s) = 8 8 |[d , d , PQ]| r s 8 8 |dr Ò ds| | 2 –1 8 8 8 [dr , ds , PQ] = –3 –5 3 1 8 | 1 1 = –45 4 8 |dr Ò ds| = |–4, 5, 13| = √42 + 52 + 132 = √210 |–45| dist (r, s) = 45 = √210 6 = √210 3√210 14 Troba les equacions de la recta que talla perpendicularment r i s. ° x = –3 + l § r : ¢ y = –2 + 5l § £z = 0 °x = 3 § s : ¢ y = –6 + 4l § £z = 2 + l Resolució Les rectes r i s es creuen. Com que la recta que busquem, t, és perpendicular a r i a s, el vector director n’és: 8 8 8 dt = dr Ò ds = (1, 5, 0) Ò (0, 4, 1) = (5, –1, 4) Ara definirem la recta t com a intersecció de dos plans: Pla a: conté r i t. El vector normal al pla serà: 8 8 dt Ò dr = (5, –1, 4) Ò (1, 5, 0) = (–20, 4, 26) // (–10, 2, 13) Com que conté r, passa pel punt (–3, –2, 0). Per tant: a: –10(x + 3) + 2(y + 2) + 13z = 0 a: –10x + 2y + 13z – 26 = 0 UNITAT 7 Problemes mètrics Resolucions de l’autoavaluació Pàg. 4 de 5 Pla b: conté la recta s i la t. El vector normal al pla serà: 8 8 dt Ò ds = (5, –1, 4) Ò (0, 4, 1) = (–17, –5, 20) Com que conté la recta s, passa pel punt (3, –6, 2). Per tant: b: –17(x – 3) – 5(y + 6) + 20(z – 2) = 0 b: –17x – 5y + 20z – 19 = 0 Per tant, la recta t és: ° –10x + 2y + 13z – 26 = 0 ¢ £ –17x – 5y + 20z – 19 = 0 En paramètriques: ° x = –2 + 5l § t: ¢ y = 3 – l § 4l £z = 7 a) Troba l’àrea del triangle determinat pels punts de tall del pla 3x + y + 2z – 6 = 0 amb els tres eixos coordenats. b) Troba el volum de la piràmide determinada per aquests tres mateixos punts i l’origen de coordenades. Resolució a) Trobem els punts de tall del pla amb els eixos coordenats: °y = 0 • Eix X: ¢ £z = 0 3x – 6 = 0 8 x = 2; P (2, 0, 0) °x = 0 • Eix Y: ¢ £z = 0 y – 6 = 0 8 y = 6; Q (0, 6, 0) °x = 0 • Eix Z : ¢ £y = 0 2z – 6 = 0 8 z = 3; R (0, 0, 3) L’àrea del triangle els vèrtexs del qual són P, Q i R és la meitat de l’àrea del paral·lelogram format pels vec8 8 tors PQ i PR . 8 ATRIANGLE 8 |PQ Ò PR | |(–2, 6, 0) Ò (–2, 0, 3)| |(18, 6, –12)| √182 + 62 + 122 = = = = = 3 √14 u2 2 2 2 2 UNITAT 7 Problemes mètrics Resolucions de l’autoavaluació Pàg. 5 de 5 Àrea triangle · altura 3 b) VTETRÀEDRE = L’altura és la distància de l’origen de coordenades al pla. |–6| 6 altura = = √32 + 12 + 22 VTETRÀEDRE u √14 — 6 3√ 14 · — — √ 14 = = 6u3 3 Una altra forma de resoldre-ho: 8 v La piràmide és la sisena part de l’ortoedre les arestes del qual són 2, 3 i 6. V= 8 u 1 · 2 · 3 · 6 = 6 u3 6 8 w 8 a) Troba el centre i el radi de l’esfera: S: x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 2z – 20 = 0 b) Calcula el radi de la circumferència que determina el pla 3x – 4z + 5 = 0 quan talla S. Resolució a) Completem quadrats en l’equació de l’esfera: (x – 2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 52 Per tant, el radi és 5 i el centre, C (2, 0, –1). b) Trobem la distància del centre de l’esfera al pla π: 3x – 4z + 5 = 0: |3 · 2 – 4(–1) + 5| dist (C, π) = = √32 5 C + 42 5 3 3 15 =3u 5 r Segons Pitàgores: r = √52 – 32 = 4 u