cálculo promedia, el caso de la media aritmética

Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
Promedial calculus. The average case
Carlos Rondero Guerrero
RESUMEN
PALABRAS CLAVE:
- Cálculo promedial
- Exceso y defecto
- Rescate epistemológico
- Articulación de saberes
En este trabajo se presenta un enfoque acerca de cómo es que
la noción de promediación aparece en la construcción de lo
que se denomina el cálculo promedial. Se muestran diferentes
contextos en los que algún tipo de promedio es usado para
la realización de los cálculos correspondientes de áreas,
sumas finitas, integrales definidas, valores esperados y otros
conceptos de la estadística. El tratamiento gira principalmente
en torno de la media aritmética que es el promedio prototípico
y del cuál se hace un rescate epistemológico que es el exceso y
el defecto que deviene de las consideraciones de Arquímedes.
ABSTRACT
This paper presents an approach on how the promediation
notion is shown in the construction of what is termed
the promedial calculus. Show different contexts in which some
kind of average is used for carrying out the calculations of
areas, finite sums, definite integrals, expected values and other
concepts of statistics. Treatment revolves mainly around the
arithmetic mean is the prototype of the average, and what is a
rescue that epistemology is the excess and defect that stems
from considerations of Archimedes.
KEY WORDS:
- Promedial calculus
- Excess and defect
- Epistemological rescue
- The articulation of
knowledge
RESUMO
Este trabalho apresenta uma abordagem sobre a forma como
o noção promediación é mostrada na construção daquilo que
se designa o cálculo promedial. Mostrar diferentes contextos
em que algum tipo de média é utilizada para a realização
dos cálculos de áreas, finito montantes, definida integrais,
valores esperados e outros conceitos de estatísticas. Tratamento
gira principalmente em torno de metade do que é a média
aritmética considerado como o protótipo do média, e que é um
salvamento epistemologica del excesso e defeito e que decorre
de considerações de Arquimedes.
PALAVRAS CHAVE:
- Cálculo promedial
- Excesso e defeito
- O salvamento
epistemologia
- A articulação de
conhecimentos
Relime (2010) 13 (4-II): 387-408. Recepción: Junio 3, 2009 / Aceptación:
Junio
23, 2010.
Relime, Vol.
13 (4-II),
Diciembre de 2010 387
Carlos Rondero Guerrero
RÉSUMÉ
1
MOTS CLÉS:
- Calcul promedial
- L’excès et défaut
- Le sauvetage épistémologic
- De l’articulation de la
connaissance
Ce document présente une approche sur la manière dont la notion
de promediacion est montré dans la construction de ce que
l’on appelle le calcul promedial. Voir les différents contextes
dans lesquels une sorte de moyen est utilisé pour effectuer
les calculs de aires, sommes finies, les intégrales définies, les
valeurs attendues et d’autres concepts de la statistique.
Le traitement s’articule essentiellement autour de la moyenne
arithmétique considéré comme le prototype de moyenne, et
ce qui est une opération de sauvetage épistémologic est l’excès
et défaut qui découle de considérations d’Archimède.
Introducción
l Cálculo promedial está sustentado precisamente en la noción de
promediación, considerada a su vez como una idea germinal, en el sentido
de que de ella se desprenden definiciones, teoremas y teorías, identificadas
todas ellas como categorías constructivas del conocimiento matemático (Rondero,
2001a).
E
Es posible mostrar dentro del corpus del Cálculo la persistente presencia
manifiesta del Cálculo promedial, que además aparece a su vez en el corpus
estructural de muchas otras áreas de la matemática como es el caso de la
probabilidad y la estadística.
Uno de los conceptos de promedio más conocido y usado para la realización
de diferentes cálculos, es indudablemente la media aritmética, la cual
tiene diferentes acepciones que la didáctica tradicional no remarca ni hace
explícitas, como puede ser el caso de ocuparla para calcular áreas de triángulos
y trapecios, sumas finitas de enteros positivos e integrales definidas de
funciones con exponente entero positivo, valores esperados y varianza de variables
aleatorias, entre otros.
En el Cálculo promedial aparecen otros tipos de promedio, no sólo la
media aritmética, en tal caso se pueden mencionar dos teoremas del Cálculo,
relacionados con el concepto de promedio, como son el Teorema del valor
medio para derivadas, que nos dice la forma en que se relacionan la razón de
cambio promedio de una función continua con la razón de cambio instantáneo,
bajo condiciones dadas y el Teorema del valor medio para integrales, que propicia
una forma de calcular la altura promedio de una función continua en un intervalo
dado [a,b] , mediante la cual es posible encontrar el área bajo la curva, al
multiplicar el tamaño del intervalo por dicha altura promedio. Es de hacerse notar
388
Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
la desarticulación didáctica que se manifiesta en el sentido de que no se hacen
explícitas las relaciones conceptuales entre los diferentes tipos de promedio que
aparecen en la matemática escolar. Es entonces conveniente el poder realizar
una articulación del saber matemático denominado genéricamente como
promedio y mostrar de ese modo las bondades de relacionarlo conceptualmente
desde la Matemática Elemental hasta la Matemática Avanzada.
Por otra parte, los usos sociales del promedio son amplios, como método
de medición intermedia, valor representativo de otros, referencia obligada
como un índice indicador de fácil manejo, entre otros. Cabe señalar que tales usos
sociales le dan pertinencia al concepto mismo de promedio, pero adicionalmente
propician su desarrollo en múltiples áreas del conocimiento, economía, ingeniería,
física y química, además de la propia matemática. Los usos y las prácticas sociales
impulsan y crean condiciones que a su vez propician la construcción social del
conocimiento, sin el cual muchos saberes quedarían inertes.
La media aritmética
2
La perspectiva teórica de este trabajo tiene dos vertientes principales,
el rescate epistemológico y la articulación de los saberes matemáticos. En la
primera se intenta después de realizar, a un cierto nivel de profundidad, un análisis
epistemológico del saber referido, en este caso el promedio, mediante el cual se
haga evidente su potencial constructor de conocimiento matemático, rescatarlo
precisamente para llevarlo a la didáctica actual. En la segunda vertiente, se trata
de resaltar el modo en que los saberes matemáticos se articulan, buscando hacer
explícitas las relaciones conceptuales entre los mismos, dado que ello puede
propiciar en quienes aprenden el enriquecimiento cognitivo al develarse las
múltiples formas que adopta el mismo saber dentro de las diferentes áreas o
asignaturas en que está divida la matemática para su aprendizaje escolar.
Un primer rescate de carácter epistemológico que se ha hecho del promedio, es
el que se refiere a la equiparación del exceso y el defecto. Arquímedes usó en
muchos de sus trabajos el principio de la balanza para el descubrimiento de
propiedades geométricas, su sustento epistemológico es el de equilibrio
mecánico entre figuras geométricas, como lo hizo al calcular el área de un sector
parabólico. Este equilibrio entre el exceso y el defecto, se puede considerar a su
vez como el sustento de la media aritmética.
Por supuesto es posible hacer la identificación del método del excesodefecto, para dos valores reales positivos a y b, con a < b, para lo cual
_procedemos_ de la siguiente forma, el exceso de a respecto a un valor intermedio
x , con a < x < b , que tiene la característica conceptual de ser el que equipara,
Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
389
Carlos Rondero Guerrero
_
_
_
es x - a, mientras que el defecto de b respecto
a x , es x - b, en forma tal que
_
al equipararse
se
tiene,
considerando
que
x
a
,
es un valor positivo, mientras
_
que x - b, es negativo
_
_
x - a + x - b =0
de donde,
_
2x =a+b
o sea,
_ a+b
x= 2
Desde un punto de vista conceptual, es mucho más enriquecedor para
un estudiante, partir de considerar el exceso y el defecto de los valores a y b
b,
en lugar definirse la media aritmética de dos valores, como usualmente se
hace en la didáctica. Ello posibilita una especie de imposición conceptual,
de la cual un estudiante difícilmente se puede sustraer, pero al mismo tiempo se
convierte en un obstáculo didáctico que le imposibilita el darle otros significados
institucionales y personales a la misma.
En (Ramos & Font, 2008) se señala respecto a los significados institucionales
de los objetos matemáticos el de tipo Referencial, que concierne al sistema de
prácticas que se usa como referencia para elaborar el significado pretendido;
que se determina mediante un estudio histórico-epistemológico para mostrar
la diversidad de contextos de su uso. Precisamente uno de los propósitos de
este trabajo reside en mostrar cómo pueden ser ampliados los significados
institucionales del Cálculo promedial, particularmente en referencia al objeto
matemático de la media aritmética como una de tantas formas de promedio, a
través de las aportaciones del estudio epistemológico, lo que se irá mostrando
en el desarrollo del mismo.
Siguiendo
el tratamiento
discutido, podemos pasar al caso de n
2.1. Lacon
media
aritmética deanteriormente
n valores
valores x1, x2, . . . , xn , bajo la consideración general de que la suma de los excesos y los
defectos
debe con
ser el
nula,
respecto precisamente
valor de podemos
la mediapasar
aritmética
Siguiendo
tratamiento
anteriormentealdiscutido,
al casox , es
decir,
de n valores x1, x 2, . . . , xn , bajo la consideración general de que la suma de los
excesos y los
_ defectos debe ser nula, respecto precisamente al valor de la media
aritmética x , es decir,
x x1 x x 2 x x3 / x x n 0
_
_
_
_
x -x1+x -x2+x -x3+Λ+x -xn = 0
de donde, de donde,
n
x
¦x
k 1
k
n
Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
390 Relime,
Es posible
trabajar
con estas dos representaciones para la media aritmética,
n
i) La comparación de dos tipos de totales, x
¦x
k 1
k
de donde,
de donde,
de donde,
n
x
n
n
k
k
n
k
k 1
k 1
k k1
k 1
¦ x ¦¦xx
xx¦ x
n n
¦x
n
x
n
k 1
x
n
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
k
n
EsEs
posible
trabajar
con
estas
dos
representaciones
para
la
media
aritmética,
Es
trabajar
con
estas
dos
representaciones
para
media
aritmética,
posible
trabajar
con
estas
dos
representaciones
para
la la
media
aritmética,
Esposible
posible
trabajar
con
estas
dos
representaciones
la
media
aritmética,
n para
n
n
Es posible trabajar con estas dos representaciones para
la
media
aritmética,
x k¦ x para la media aritmética,
¦
Es posible trabajar con estas dos representaciones
k
n ¦x
k
k 1
k 1
n
i) Lai)comparación
de
dos
tipos
de
totales,
x
La
comparación
de
dos
tipos
de
totales,
x
k
1
x
i) La
comparación
de dos
tipos
de totales, xn¦ nk
i) La
comparación
de dos
tipos
de totales,
xk
¦
i) La comparación de dos tipos de totales, x k 1 n
k 1
i) La comparación de dos tipos de totales,
n x
n
n
xk n n x
ii)
acumulación
dedecantidades
relativas,
x x ¦ xk k
dedecantidades
relativas,
ii) Laii)
La
acumulación
cantidades
relativas,
n
ii)La
Laacumulación
acumulación
cantidades
relativas,¦
k 1x nk ¦
x1 k n
n
xk
k 1 n
Lalas
acumulación
de cantidades
relativas, xinterpretación
¦
cadacada
una ii)
de
cuales
tiene
su
correspondiente
aunque
ambas se se
ii)
La
acumulación
de
cantidades
relativas,
x
una
de
las
cuales
tiene
su
correspondiente
interpretación
aunque
n
¦
k 1interpretación
cada
una
de
las
cuales
tiene
su
correspondiente
aunque ambas
ambas s
n
complementan
en
su
resignificación.
k
1
complementan
en
susuresignificación.
cada
una
cuales
tiene
su correspondiente
interpretación
aunque
ambasambas se
cada
unadedelaslas
cuales
tiene
su correspondiente
interpretación
aunque
complementan
en
resignificación.
cada en
una
deresignifi
las cuales
tiene su correspondiente interpretación aunque am
se
complementan
en
cación.
complementan
su su
resignificación.
Existen
al menos
otrasotras
dos formas
representadas
por,
complementan
en su
resignificación.
Existen
al
menos
dos
formas
representadas
Existen al menos otras dos formas representadaspor,
por,
Existenalalmenos
menosotras
otrasdos
dosformas
formasrepresentadas
representadaspor,
por,
Existen
n
n
Existen al menos otras dos formas representadas
por,
iii) La
suma
total total
es igual
a n veces
la media,
x k nnxx n x
¦
iii)
La
suma
es
igual
a
n
veces
la
media,
kx
¦
iii) La suma total es igual a n veces la media,
nx
n
k 1
k
k¦
1
n
k 1
suma
totalesesigual
iguala an nveces
veces
media,
x
n
x
nlala
n
iii)iii)LaLasuma
total
media,
k
¦
n
n
iii)
La
suma
total
es
igual
a
n
nveces la
nmedia, ¦ x k
k
1
iv) La
sumasuma
nula de lasdediferencias
d k¦ d¦ ( x¦
(xxk ) x 0)k 1 0 n x
¦
iv)
k )
k
n ¦d
n ¦ (x x
iv)La
La sumanula
nula delas
lasdiferencias
diferencias
0
k
k
k 1
k
1
iv) La suma nula de las diferencias ¦k dk1 k1 ¦k n(k1x1 x k ) n 0
Lade
suma
nula de las diferencias
iv) La sumaiv)
nula
las diferencias
¦ ( x xk ) 0
k 1
k 1¦ d k
k 1
k 1
Todas
las anteriores
se pueden
considerar
comocomo
representaciones
semióticas
de un
Todas
las
anteriores
sese pueden
considerar
representaciones
semióticas
de
Todas
las
anteriores
se pueden
considerar
como
representaciones
Todas
las
anteriores
pueden
considerar
como
representaciones
semióticas
de un
un
mismo
objeto
matemático,
en este
caso caso
la media
aritmética,
no sólo
cumplen
la función
mismo
objeto
matemático,
en
este
la
media
aritmética,
no
sólo
cumplen
la
función
Todas
las objeto
anteriores
seobjeto
pueden
considerar
como
representaciones
semióticas
defunción
un
semióticas
de
un matemático,
mismo
matemático,
en
estearitmética,
caso la media
aritmética,
mismo
en
este
caso
la
media
no
sólo
cumplen
la
de comunicación,
sino
además
con
las
funciones
primordiales
de tratamiento
de lade la
Todas
las sino
anteriores
se con
pueden
considerar
comonorepresentaciones
de
comunicación,
además
las
funciones
primordiales
tratamiento
mismo
objeto
matemático,
en
caso
lalasmedia
aritmética,
cumplen
la semiótica
función
no
sólo
cumplen
la función
deeste
comunicación,
comunicación
sino
además
consólo
las de
funciones
de
comunicación,
sino
además
con
funciones
primordiales
deno
tratamiento
de la
información
ymismo
de yobjetivación
o toma
de
consciencia
(Duval,
2004a).
objeto
matemático,
en
este
caso
la
media
aritmética,
sólo
cumplen
información
de
objetivación
o
toma
de
consciencia
(Duval,
2004a).
de información
comunicación,
sino
además
con
las
funciones
primordiales
de
tratamiento
de lala
primordiales
dey tratamiento
de
la
información
y
de
objetivación
o
toma
de
de
objetivación
o
toma
de
consciencia
(Duval,
2004a).
de ycomunicación,
sino
además
con las funciones
primordiales de tratamient
información
de objetivación
o toma
de consciencia
(Duval, 2004a).
consciencia
(Duval,
2004a).
información y de objetivación o toma de consciencia (Duval, 2004a).
La media
aritmética ponderada
La
Lamedia
mediaaritmética
aritméticaponderada
ponderada
2.2.
La
media
aritmética
ponderada
La media aritmética
ponderada
Precisamente
enmedia
laenbúsqueda
de significados,
la media
aritmética
tomatoma
otra otra
dimensión
La
aritmética
ponderada
Precisamente
la
búsqueda
de
significados,
lalamedia
aritmética
dimensión
Precisamente
en
la
búsqueda
de
significados,
media
aritmética
toma
otra
Precisamente
en
la
búsqueda
de
signifi
cados,
la
media
aritmética
toma
otra
sexkle
cuando
aparece
la
llamada
media
aritmética
ponderada,
en
donde
a
cada
valor
xk, dimensión
, ,seselel
cuando
aparece
la
llamada
media
aritmética
ponderada,
en
donde
a
cada
valor
Precisamente
en la labúsqueda
de
significados,
laponderada,
media aritmética
toma
otra valor
dimensión
cuando
aparece
llamada
media
aritmética
en
donde
a
cada
xsu
k
dimensión
cuando
aparece
la
llamada
media
aritmética
ponderada,
en
donde
es,
cada
valor
se
multiplica
por
asocia
su correspondiente
ponderación
pk.deEsto
Precisamente
en
la
búsqueda
significados,
la
media
aritmética
toma
otra
dim
.
Esto
es,
cada
valor
se
multiplica
por
asocia
su
correspondiente
ponderación
p
lesu
cuando
aparece
lalellamada
media
aritméticapk kponderación
ponderada,
en
donde
a cada
cadamultiplica
valor xk, se
.
Esto
es,
cada
valor
se
por
su
asocia
su
correspondiente
ponderación
a
cada
valor
x
,
se
asocia
su
correspondiente
p
.
Esto
es,
valor
respectiva
ponderación,
la suma
queda
expresada
como,
cuando
aparece
la
llamada
media
aritmética
ponderada,
en
donde
a
cada
valor
k
k
respectiva
ponderación,
la
suma
queda
expresada
como,
.
Esto
es,
cada
valor
se
multiplica
por
su
asocia
su
correspondiente
ponderación
p
k
respectivapor
ponderación,
la suma
queda expresada
como, es, cada como,
se multiplica
su
ponderación,
la sumapqueda
valor se multiplica
surespectiva
correspondiente
k. Estoexpresada
respectivaasocia
ponderación,
la suma quedaponderación
expresada
como,
n
n
n
respectiva ponderación, la suma queda expresada
como,
donde la suma de todas sus ponderaciones
es,
.n = x k pnkx p
. .N+x p+x
=
x1 p1+x
2+.
np
xx1 p2p1p+x
2 p2+. . n.¦
nk p¦
k p
k
n¦ x
1 1+x2 p2+. .k. 1+xn p
k
k
k n1= k ¦
1
n
k
1
p
+x
p
+.
.
.
+x
p
=
x
x
p
1 1
2 2
n n n ¦ k k
La media ponderada es,
p
=
x1 p1+x2 p2+. . . +x
xk p k
n
n
¦
donde la
la suma
suma de
de todas
todas sus
sus ponderaciones
ponderaciones es,
donde
es, N ¦ kp k1 .
k 1
La media ponderada es,
La media ponderada es, x p
n
k 1
n
¦ xk pk
k 1
n
¦ p ¦x
k 1
xp
k 1
n
¦ xk pk
k
k 1
n
k
N
pk
¦p
k
n
¦x
k 1
k
N
pk
Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
391
De tal manera que el proceso es muy similar, en el caso de la media simple se puede
considerar que cada valor tiene asignado un mismo peso o ponderación que es 1, o sea
que la suma correspondiente es:
k 1
kN1
x p ¦k k1pn 1k
N
De tal manera que el proceso es muyk 1similar,
p k en el caso de la media simple se puede
¦
considerar
queque
cada
valor
tiene
mismo
pesosimple
o ponderación
que es
o sea
k 1unde
tal elmanera
proceso
es asignado
muy
en
caso
de
la media
simple
se 1,
puede
aneraDe
que
proceso
eselmuy
similar,
en elsimilar,
caso
la el
media
se puede
Delatal
manera
que
el proceso
es muy
similar,
enpeso
el caso
deesla1,media
simple
puede
que
suma
correspondiente
considerar
que
cada
valor
tiene
asignado
un
o que
ponderación
que
es 1, se
o sea
r que
cada
valor
tiene
asignado
unes:
mismo
peso
omismo
ponderación
o sea
considerar
que
cada
valor
tiene
asignado
un
mismo
peso
o
ponderación
que
es
1,
o sea
Carlos
Rondero
Guerrero
De
tal
manera
que
el
proceso
es
muy
similar,
en
el
caso
de
la
media
simple
se
puede
que la suma correspondiente
es:
ma correspondiente
es:
n
que
la
suma
correspondiente
es:
considerar
que cada
tiene asignado
un mismo
o ponderación
es 1,seo puede
sea
De tal manera
quevalor
el proceso
es muy similar,
en peso
el caso
de la mediaque
simple
. .un
+xmismo
1=n¦peso
xel1 1+x
xien
1 el
2 n1+.es
n similar,
talcada
manera
que
proceso
muy
caso
de la media
simple
queconsiderar
la suma De
correspondiente
es:
que
valor
tiene
asignado
o
ponderación
que
es
1,
o sea
i 1n
1+x
1+.
.1+xn 1=
xi 1un mismo peso o ponderación
se suma
puedecorrespondiente
asignado
. .x+x
xconsiderar
x.itiene
1 cada
2 valor
1 1+x2 1+.que
n 1=
¦
¦
que la
es:
1+xi 21 1+. . . +xn 1=
x1 correspondiente
i n1 ¦ xi 1
que es 1, o sea que la suma
es:
n
x1 1+x2 1+. . . +xn 1= ixni11
donde la suma de ponderaciones es igual a n, ¦
esto es, n n¦ 1 . Luego la media
in 1
x1 1+x2 1+. . . +xn 1= ¦ xi 1
n. Luego la media
donde
la suma de ponderaciones
igual
n ¦
suma
de ponderaciones
es igual a n,esesto
es,a nn, esto
Luego
lak 11media
1i .1es,
¦
donde laqueda
sumaexpresada
de ponderaciones
es igual a n,
esto
es,
n
aritmética
como,
k n1 ¦ 1 . Luego la media
k 1
n
donde
la
suma
de
ponderaciones
es
igual
a
n
,
esto
es,
donde
la queda
suma
de ponderaciones
Luegolalamedia
media
aritmética
expresada
como, es igual a n, esto es, n ¦ 1kn..1 Luego
a queda
expresada
como,
aritmética
queda
expresada
n¦ x k
k 1
ncomo,
aritmética
queda
expresada
como,
donde la suma de ponderaciones es igual
a
n,
esto
es,
.
Luego
la
media
n
1
¦
xk
x ¦k x1nk
aritmética queda expresada como,
¦
k 1
n xk
1
x k n1 ¦
x k como,
aritmética queda expresada
k 1
x
x ¦n n k
n
x k 1¦nx k
nk 1 simple la podemos llevar al caso de la
De donde seDedesprende
que la media aritmética
donde se desprende que lax media aritmética simple la podemos llevar
media
hacer
una la
comparación
dosllevar
totales
respectivos,
nsimple
donde
se
que
laalmedia
aritmética
laentre
podemos
caso
de
la
se De
desprende
quedesprende
la media
aritmética
simple
podemos
llevar
alsus
caso
de
la al entre
alaritmética
caso
laponderada,
media
aritmética
ponderada,
alsimple
hacer
una
comparación
susde
donde
sede
desprende
que
la media
aritmética
la
podemos
llevar
al la
caso
la
tiene
asociado
un
peso
o
ponderación
igual
a
1
en
media
enDe
el aritmética
que
cada
cantidad
x
media
ponderada,
al
hacer
una
comparación
entre
sus
dos
totales
respectivos,
i
tmética
ponderada,
al
hacer
una
comparación
entre
sus
dos
totales
respectivos,
dos totales respectivos, en el que cada cantidad x i tiene asociado un peso o
media
aritmética
ponderada,
al
hacer
una
comparación
entre
sus
dos
totales
respectivos,
De
donde
se
desprende
que
la
media
aritmética
simple
la
podemos
llevar
al
caso
de
la
para
laasociado
media
ocada
pxik tiene
asociado
un pesoo po igual
ponderación
igual
a 1 en la media
ensimple,
el que
cantidad
xai tiene
un
o ponderación
a 1media
en la
media
cada
cantidad
ponderación
igual
1ponderada.
en peso
la
media
simple,
para la
ponderada.
k o ponderación igual a 1 en la media
asociado
un peso
en
el
cada
cantidad
xialtiene
media
aritmética
hacer
unaaritmética
comparación
entre
dos totales
De
donde
se desprende
que
la
media
simple
la sus
podemos
llevarrespectivos,
al caso de la
laponderada,
media ponderada.
simple,
oque
pk para
la media
ponderada.
pk para
pueden
las igual
siguen
la
media
ponderada.
simple,
o pSe
uncomparación
peso
o ponderación
a 1 se
en respectivos,
lacomo
mediala
en
elpueden
quearitmética
cada
cantidad
xdesprender
k para
i tiene
Semedia
desprender
algunas
propiedades
laspropiedades
cuales
seentre
siguen
cumpliendo,
ponderada,
alasociado
haceralgunas
una
sus cuales
dos totales
cumpliendo,
como
la
antes
referida
a
la
suma
de
las
diferencias
nula,
n
n
para
la
media
ponderada.
simple,
o
p
k
tiene
asociado
un
peso
o
ponderación
igual
a
1
en
la
media
en
el
que
cada
cantidad
x
Se
pueden
desprender
algunas
propiedades
las
cuales
se
siguen
cumpliendo,
como
la
n desprender algunas propiedades
i las cuales se siguen cumpliendo, como la
ahorala
antes
referida
a la la
suma
de
las diferencias
nula,
d i n¦
x xi ) cumpliendo,
0 , sólo quecomo
Se
pueden
algunas
propiedades
lasn¦
cuales
se (siguen
n
n
para
media
ponderada.
simple,
o pkdesprender
ahora
referida
alasla diferencias
sumaalgunas
de lasnula,
diferencias
(1xn que
xi )cumpliendo,
0 , sólo que
, isiguen
sólo
ahora
ridaantes
a lapueden
suma
de
d i nula,
( x cuales
ixdi1)ni se
0¦
Se
desprender
propiedades
las
como
la
¦
¦
¦
anteslareferida
a la suma
de nlas
diferencias
0 , sólo que ahora
toma
forma siguiente
para
cantidades:
i n1 ¦ d i i n1 ¦ ( x x i )
i 1
i 1 nula,
Se pueden desprender algunas propiedades las cuales
se siguen cumpliendo, como la
antes
anlacantidades:
sumapara
de las
diferencias nula, ¦ idn1i ¦ i(nx1 xi ) 0 , sólo que ahora
lareferida
forma
siguiente
n cantidades:
ormatoma
siguiente
para
sólo
que ahora
tomapara
la forma
siguiente
para
n
n i 1n cantidades:
toma
la
forma
siguiente
n
cantidades:
ahora
antes referida a la suma de las diferencias
d=i i01 ¦
, ( x xi ) 0 , sólo que
n
x p i nula,
n¦ x¦
ii pi
toma la forma siguienten para n cantidades:
n n¦ p
1
i 1
i
i
1
1
Si ahora consideramos que
elptotal
de
xnp =ponderaciones
p0i , ¦ xni pi = 0es,igual a un valor N ¦ mk ,
x ppara
n¦
xi las
pi
¦
¦
toma la forma siguiente
cantidades:
Si iahora
consideramos
que el total de las ponderaciones
k 1 es igual a un val
i 1
i 1 i n1 ¦ x p p ii n1 ¦ x i pi = 0 ,
i
i
1
1
seotendrá
que
bien, se puede expresar en términos
de
como:
xn p diferencias
p i ¦ xni piponderadas
=0 ,
o bien, se puede expresar
en ¦
términos
dei diferencias
ponderadas como:
se
tendrá
ique
1ponderadas
1 como:
o bien,
se puede
expresardeendiferencias
términos
de
diferencias
ponderadas
como:
puede
expresar
en términos
,
x
p
x
pi
=
0
¦
¦
i
i
n de pdiferencias
n
n
o bien, se puede expresar en términos
ponderadas como:
i 1
i 1
n
x
m
N
M
D
(
x
x
)
p. i 0 como:
¦
k
k
¦
¦
i
p
i
n
n
o bien, se puede expresar
en términos
de diferencias
ponderadas
n
n
x k mk Nn M .
i 1n
i 1nk 1
¦
D dei¦
(0x p - x i ) pponderadas
0
Di en
( x¦
i
¦
¦
p - x ii ) p
o bien,
se puede expresar
términos
diferencias
como:
kvalor
1
Si ahora
consideramos
que
el
total
de
las
ponderaciones
es
igual
a
un
N ¦ mk ,
D
(
x
x
)
p
0
i n1 ¦
i 1
1
p
i
i i n1 ¦
lo cual es una ivariante
del resultado
anterior
en iel que
la suma de los excesos
y
1
i
i
1
1
Esto
es,
lo cual es una variante del resultado
anterior
y
D
(nx p -en
x i )elp i que0 la suma de los k excesos
¦
¦
n i
defectos
se
anula.
se tendrá
que anula.
Esto
es,i 1 anterior
i 1 la en
lodefectos
cual esseuna
variante del
resultado
el
que
la
suma
de
los
excesos
y
s una
variante
del resultado
anterior
en¦elDque
suma
de
los
excesos
y
(
x
x
)
p
0
¦
i
p n
i
i
ahora
consideramos
quei n1el total
de las
es igual
a un excesos
valor
lo cual
esSiuna
variante
del resultado
anterior
enponderaciones
el que
la suma
de los
y
i 1
defectos
se anula.
e anula.
n
n
n
n
x
m
M
m
¦
¦
x
k
k
lo defectos
cual es se
unaanula.
variante
del
resultado
anterior
en
el
que
la
suma
de
los
excesos
y
a un valor N ¦ mk , se tendrá que ¦k x1 k mk N Mk .1 Esto es, ¦ x x mk M ¦ mk
defectos
anula.
lo cualse es
anterior en el que la ksuma
de los k 1excesos y
k 1
1
k 1una variante del resultado
defectos
se
anula.
Otra representación para la medialaaritmética
ponderada
es:
media aritmética
es:
Esto es, Otra representación para
Otra representación
para ponderada
la media aritmética
ponderada es:
M
¦ x x mk
n
n
§ mk ·
¸.
k ¹
¦Mx ¨© mN
¦
n
§ mk ·
¨
¸.
k 1
k 1
© N ¹
k 1
Nótese 392
que Relime,
en esta
representación, se puede considerar que la ponderación es de la
Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
Otra representación
para
la media
aritmética
es:
Nótese
que enponderada
esta representación,
se puede considerar que la ponder
mk
, lo que se puede identificar
forma
mk como ponderación relativa, ya que se expresa
N
, lon que§ se
identificar como ponderación relativa, ya
forma
m puede
·
N
M la cantidad
x k ¨ kdada
como la razón entre la ponderación de
¸ . entre la ponderación total.
¦
© laN ponderación
¹
como la razónk entre
de la cantidad dada entre la ponderaci
1
k 1
k
M
n
¦x
k
Otra representación para la media aritmética ponderada es:
M
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
n
¦x
k 1
k
§ mk ·
¨
¸.
© N ¹
Nótese
esta representación,
se considerar
puede considerar
que la ponderación
es de
Nótese
que enque
estaenrepresentación,
se puede
que la ponderación
es
mk
, lo
lo que
quesesepuede
puedeidentifi
identificar
como
ponderación
relativa,
car como
ponderación
relativa,
ya ya
queque se expr
N
se expresa
la entre
razónlaentre
la ponderación
de la cantidad
entre la total.
como como
la razón
ponderación
de la cantidad
dada entredada
la ponderación
de la forma
ponderación total.
Estas son las únicas propiedades que mantienen cierta semejanza respecto a las
mencionadas para la media aritmética simple, sin embargo, es de considerarse
Estas son las únicas propiedades que mantienen cierta semejanza respecto
resignificación adicional que conlleva la media ponderada, dado que hay una asignac
a las ya mencionadas para la media aritmética simple, sin embargo, es de
que pondera o da peso a cada valor que interviene en la misma. Aquí se muestra
considerarse la resignificación adicional que conlleva la media ponderada, dado
actividad cognitiva de “tratamiento” ya que se presenta cuando la transformac
que hay una asignación que pondera o da peso a cada valor que interviene en
produce otra representación en un mismo registro, en este caso el numérico.
la misma. Aquí se muestra la actividad cognitiva de “tratamiento” ya que se
presenta cuando la transformación produce otra representación en un mismo
La en
media
en el cálculo de áreas
registro,
estearitmética
caso el numérico.
Es posible considerar que la media aritmética tiene la característica de ser un tipo
promedio
precisamente
por
ser aquel
valor que representa al conjunto de valores da
2.3. La
media aritmética
en el
cálculo
de áreas
originalmente. Pero al mismo tiempo es el valor que equilibra, en el sentido
Es posible
considerar
que la media
tiene laesta
característica
ser un
equiparar
los excesos
y los aritmética
defectos, siendo
cualidad ladeque
permite crear
tipo de
promedio
precisamente
por
ser
aquel
valor
que
representa
al
conjunto
proceso de cálculo.
de valores
dados originalmente.
Pero al va
mismo
que equilibra,
Precisamente
tal característica
mástiempo
allá es
de ellovalor
numérico,
instalándose en
en el sentido
de
equiparar
los
excesos
y
los
defectos
defectos,
,
siendo
esta
cualidad
la que
geométrico, como es el caso del cálculo de áreas de figuras regulares
como el triáng
permite
al proceso de cálculo.
y elcrear
trapecio.
Precisamente
característica
más Duval
allá de(2004a)
lo numérico,
instalándose
en
En este caso tal
se muestra,
comovadice
una propiedad
fundamental
de
lo geométrico,
como
es
el
caso
del
cálculo
de
áreas
de
fi
guras
regulares
como
el
representaciones semióticas: su transformabilidad en otras representaciones
triángulo
y el trapecio.
conservan
ya sea todo el contenido de la representación inicial, o bien sólo una pa
de ese
aclarar
en este
caso seuna
presenta
la “conversión”
En
estecontenido.
caso se Aunque
muestra,vale
como
diceque
Duval
(2004a)
propiedad
que la transformación
produce semióticas:
una representación
de un registro-el
numérico- a o
fundamental
de las representaciones
su transformabilidad
en otras
registro distinto,
el geométrico.
representaciones
que conservan
ya sea todo el contenido de la representación
Veamos
en una
primer
caso delAunque
triángulo
de baseque
b en
y este
altura
h, al ocupar
inicial,
o bien sólo
partelugar
de eseel
contenido.
vale aclarar
caso
argumento
del exceso
y elladefecto,
apareceproduce
necesariamente
la media aritmética,
se presenta
la “conversión”
ya que
transformación
una representación
de un registro -el numérico- a otro registro distinto, el geométrico.
Veamos en primer lugar el caso del triángulo de base b y altura h , al
ocupar el argumento del exceso y el defecto, aparece necesariamente la media
aritmética, en forma tal que una resignificación para el área del triángulo puede
formasertalconstruida
que una de
resignificación
forma tal que,para el área del triángulo puede ser construida de
forma tal que,
§h·
b¨ ¸
©2¹
y se interpreta como el área de un rectángulo de base b y altura h/2
y se interpreta como el área de un rectángulo de base b y altura h/2
h
A
IRelime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010 393
h/2
II
forma tal que una resignificación para el área del triángulo puede ser construida de
forma
tal que, para el área del triángulo puede ser construida de
que una resignificación
§h·
ue,
forma tal que una resignificación
A b¨para¸ el área del triángulo puede ser construida de
©2¹
forma tal Aque,b§¨ h ·¸
2
y se interpreta como el área
de
un
rectángulo
de base b§Carlos
yh altura
h/2 Guerrero
© ¹
· Rondero
A
b
¸
¨
eta como el área de un rectángulo de base b y altura h/2
©2¹
Este rectángulo htiene la misma área del
y se interpreta como el área de un
rectángulo
de base b y altura h/2
triángulo original porque los triángulos por
h ser construida de
resignificación para el área del triángulo puede
exceso I y porI defecto II, son efectivamente
h
I
iguales, lo cualh/2se puede
demostrar
§h·
A b¨ ¸
h/2
geométricamente.
Otra
interpretación
se
©2¹
Iquepara
refi
ere
al
hecho
de
h/2
es
la
altura
forma
tal
que
una
resignificación
el
área
del
triángulo puede
o el área de un rectángulo de base b yIIaltura h/2
h/2
II
promedio,
considerando
los
valores
0
y
h
.
forma tal que,
Aparece
nuevamente
el
constructo
teórico
h
§h·
b
A “exceso
b¨ ¸
II Figura
b
dado1. por Arquímedes del
y
©2¹
Figura I1.
el defecto”,
”, de manera que cuando
y se interpreta
como
el área
de un rectángulo
de
b y altura h/2
Figura 1.
h/2
boriginal
se triángulo
equiparan,
siempre
aparece
unbase
valor
Estela rectángulo
la misma
área porque
del
porque
los triángulos
por
gulo tiene
misma área tiene
del triángulo
original
los
triángulos
por
Figura
promedial,
en1.estelo
caso
la altura
promedio.
exceso
I
y
por
defecto
II,
son
efectivamente
iguales,
cual
se
puede
demostrar
por defecto
II, son efectivamente iguales, lo cual se puede demostrar
II
h
Otra
interpretación
refiere es
al lahecho
de que h/2 es la altura
mente. geométricamente.
Otra interpretación
se refiere
al la
hecho
dese que
alturaoriginal
Este rectángulo
tiene
misma
área h/2
del triángulo
porque los triángulos por
promedio,
considerando
los
valores
0
y
h.
Aparece
nuevamente
el constructo teórico
considerando los exceso
valoresb 0I yy h.por
Aparece
nuevamente
el
constructo teórico
I puede
defecto
II,
son
efectivamente
iguales,
lo
se puede
demostrar
forma
una
resignificación
para elque
área
delcual
triángulo
ser cons
Figuray1.el defecto”,
dadodelpor
Arquímedes
del tal
“exceso
y elque
defecto”,
deequiparan,
manera
cuando
se equiparan,
Arquímedes
“exceso
deque
manera
cuandosese
h/2
geométricamente.
Otra
interpretación
refiere
al
hecho
de
que
h/2
es
la altura
forma
tal
que,
El área
delcaso
trapecio
aparece
uneste
valor
promedial,
en este caso la altura promedio.
arece unsiempre
valor2.3.1.
promedial,
en
la alturalos
promedio.
promedio,
considerando
valores
0 y h.porAparece nuevamente
el constructo teórico
ene
la misma
área
triángulo
original porque
los triángulos
§h·
El área
deldel
trapecio
trapecio
A
b
II
¸
¨
dado
por
Arquímedes
del
“exceso
y
el
defecto”,
de
manera
que
cuando
se equiparan,
efecto II, son
efectivamente
iguales,
lo
cual
se
puede
demostrar
el
caso
trapecio
by yalturas
alturas
y h2,, el
área
calcular
o del trapecio
base
b ydel
alturas
h1deyde
h2,base
el bárea
se
puede
la se
Para Para
eldecaso
del
trapecio
base
hh1 calcular
elpor
área
se©puede
calcularpor
por la
1 y h2
2puede
¹
Otra interpretación
se
refiere
al
hecho
de
que
h/2
es
la
altura
siempre
aparece
un
valor
promedial,
en
este
caso
la
altura
promedio.
la expresión,
expresión,
se interpreta
el área de
un rectángulo de base bb y altura h/2
rando los valores El
0 yárea
h. Aparece
nuevamentecomo
el constructo
teórico
dely trapecio
h2 · que cuando §seh1equiparan,
§deh1 manera
h
·
des del “exceso yPara
el defecto”,
2
elAcaso
deA base
h1 y h2, el Figura
área se1. puede calcular por la
b¨ del trapecio
¸
b¨ b y alturas
¸
valor promedial, expresión,
en este caso la© altura
2 promedio.
h
¹
2
¹
©
io
de interpretar
al
área
del
trapecio
es
considerar
como
equivalente
al
área
de
Este
rectángulo
tiene
la
misma
área
del
triángulo
original
Una forma de interpretar
al áreasedelpuede
trapecio
es considerar
de porque
§ hla1 h2 ·como equivalente al área
apecio de base b y alturas
h1 y h2, el área
calcular
por
A
b
hforma
¸
¨
I
exceso
I
y
por
defecto
II,
son
efectivamente
iguales,
lo cual se
Una
al
área
del
trapecio
es
considerar
como
equivalente
1 h2 de interpretar
h1 es
h2 la altura promedio
ulo con base
b y altura con base
, aunque
ahora ésta
entre
2 ésta
¹ es la altura
© interpretación
un rectángulo
b y altura
aunque
ahora
promedio
h/2al entre
geométricamente.
Otra
se refiere
hecho de que
al área de un2 rectángulo
con base b y,altura
· interpretar al 2área del trapecio es considerar como equivalente al área de
§ h1 h2de
promedio, considerando los valores 0 y h. Aparece nuevamente el
ras que intervienenUna
trapecio.
A enbelforma
¸
las dos alturas¨©que2 intervienen
en el trapecio.h h
¹
h12II 2 , aunque
dadob por
Arquímedes
del “exceso
el defecto”,
de manera que cua
rectángulo
con base
yequivalente
altura
ahorayésta
h2 es la altura promedio entre
pretar al área del un
trapecio
es considerar
como
al
área
de
I
2
siempre aparece un valor promedial, en este caso la altura promedio.
I
h1 h2
(h
)/2 dos alturas
las ahora
dos
alturas
que
intervienen
elentre
trapecio.
1+hentre
2las
b que intervienen en
base b y altura
, aunque
ahora
lapromedio
altura
promedio
Elesárea
delentrapecio
aunque
ésta
es
laésta
altura
(h1+h2)/2
2
II
Para el caso del trapecio de Figura
base b1.y alturas
hh1 2y h2, el área se pue
eleltrapecio.
II
intervienen en
trapecio.
h1
I
expresión,
Nuevamente
triángulos
I y II, son
h1 htiene
2
Este rectángulo
la misma
área del los
triángulo
original
porque
(h1+h
2)/2 los trián
h
§
I
1 h2 ·y el
iguales pues equiparan
el
exceso
A
b
¸
¨
exceso I y por defecto
II,
son
efectivamente
iguales,
lo
cual
se puede
(h1+h2)/2 II
2 de¹ ser
defecto por el hecho mismo
©
geométricamente. Otra
h interpretación se refiere al hecho de que h/2 es
II
forma de1 interpretar
trapecionuevamente
es considerar
equ
promedio,Una
considerando
los valoresal 0área
y h.delAparece
el como
construc
h1
h1 h2 de manera que cuando se e
dado por un
Arquímedes
el defecto”,
rectángulo del
con“exceso
base b yyaltura
, aunque ahora ésta es la alt
2 la altura promedio.
siempre aparece
un
valor
promedial,
en
este
caso
b
las2.
dos alturas que intervienen en el trapecio.
El área
del
trapecio
Figura
el b
promedio
de lashalturas.
Esto es,
h
Para pues
el caso
del trapecio
deFigura
b y alturas
e los triángulos I y II, son iguales
equiparan
el exceso
y base
el defecto
por
1 y h2, el área se puede calcu
2.
I
expresión,
h
h
triángulos
y II, son
pues equiparan el exceso y el defecto por
smo de Nuevamente
ser 1 2 , el los
promedio
de lasIalturas.
Estoiguales
es,
b§ h1 h2 ·
b h1 h2
2
b¨ 2.
Figura
el hecho mismo deFigura
ser 2.
, el promedio de las alturas.A
Esto
es,2 II¸
¹ el exceso y el defecto por
©
Figura
2.
2
triángulos
I y II,
iguales
ángulos I y II, sonNuevamente
iguales pues los
equiparan
el exceso
y elson
defecto
por pues hequiparan
1
Una
forma
de
interpretar
al
área
del
trapecio
es
considerar
como equivalente
h h
hes,
1 h2
ser 1 2 , el
promedio
de13
las(4-II),
alturas.
Relime,
Vol.
Diciembre
394
el
hecho
mismo
de Esto
serde 2010
, el promedio de
las
alturas.
Esto
es,
h
h
2
un rectángulo con
2 base b y altura 1 2 , aunque ahora ésta es la altura prom
2
las dos alturas que intervienen en el trapecio.
h2
A
§h h ·
b¨ 1 2 ¸
2 ¹
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética©
Es de resaltarse que el tránsito entre la representación numérica y la geométrica,
así como en otras que se tratarán adelante, aparece como un invariante
epistemológico
el que
exceso
y el defecto,
que particularmente
la forma así como
Es de resaltarse
en tránsito
entre la representación
numérica yen
la geométrica,
otras quede
se latratarán
aparece
como
invariante
epistemológico
de promedio
media adelante,
aritmética,
además
de un
ser un
único valor,
es a su vezel exceso y
defecto,
particularmente
en lanumérico
forma de promedio
de valores
la mediaque
aritmética,
además de ser
el valor
queque
equilibra,
en el caso
a todos los
aparecen
es a de
su triángulos
vez el valor
que equilibra,
en el caso
a todos
y en único
el casovalor,
del área
y trapecios
a las alturas
quenumérico
intervienen,
paralos valores q
aparecen
y en el caso
del área
triángulosde
y trapecios
a las alturas que intervienen, para pod
poder
así encontrar
la altura
del de
rectángulo
área equivalente.
así encontrar la altura del rectángulo de área equivalente.
el tamaño de la base, esto es,
de triángulos
y trapecios
referidos
a un sistema
cartesiano
2.3.2.Áreas
Áreas
de triángulos
y trapecios
referidos
a un sistema
cartesiano
Cada vez la idea germinal del exceso y del defecto va desplegando su potenc
Cadaconstructor
vez la idea
del exceso
y del posible
defectomostrar
va desplegando
su realizar
de germinal
conocimiento,
en entonces
cómo se puede
potencial
constructor
de
conocimiento,
es
entonces
posible
mostrar
cómo
cálculo de áreas de triángulos y trapecios pero ahora vistas como áreas bajo la curva
se puede
realizar
el cálculo
de áreas de triángulos y trapecios pero ahora
funciones
elementales
dadas.
vistasEncomo
áreas
bajo
la
curva
de funcioneséste
elementales
el caso de un triángulo rectángulo,
se generadadas.
a través de la función y =f(x)= x,
En el caso de el
unárea
triángulo
se genera
a través
de es
la función
considerando
bajo larectángulo,
recta entreéste
0 y un
valor dado
a, que
el tamaño de la bas
y = f esto
(x) =es,
x, considerando el área bajo la recta entre 0 y un valor dado a, que es
y=x
a
f(x)
0
a/2
a
x
Figura3.3.
Figura
En la
la figura
figura anterior
anterior se
se muestra
muestra que
que el
el triángulo
triángulo rectángulo
rectángulo ee isósceles
isósceles de
En
de base y altu
base y altura iguales al valor a, tiene un área que es base por altura sobre dos,
iguales al valor a, tiene un área que es base por altura sobre dos, o sea, A =a (a/2
o sea, A =a ((a/2), equivalente al área de un rectángulo de base a y altura (a/2),
equivalente al área de un rectángulo de base a y altura (a/2), que podemos considerar
que podemos considerarla como una altura promedio, argumento que ahora
como una altura promedio, argumento que ahora es mostrado con un significado y q
es mostrado con un significado y que posteriormente se usará en el cálculo de
posteriormente se usará en el cálculo de integrales definidas.
integrales definidas.
Tambiénsesepuede
puede
interpretar
eldel
área
del triángulo
descrito
como a la mitad
También
interpretar
el área
triángulo
descrito como
equivalente
2
2 a2, esto es, A = a2/2, el cual resulta
equivalente
a
la
mitad
del
cuadrado
de
área
del cuadrado de área a , esto es, A = a /2, el cual resulta ser un argumento básico para
ser un
argumento
básico para la integral definida,
integral
definida,
a
³ xdx
0
1 Relime,
Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010 395
a2
2
Ahora con la misma función y = f(x)= x, se puede generar un trapecio si en lugar de
como una altura promedio, argumento que ahora es mostrado con un significado y que
posteriormente se usará en el cálculo de integrales definidas.
También se puede interpretar el área del triángulo descrito como equivalente a la mitad
resulta
ser un argumento básico para la
del cuadrado de área a2, esto es, A = a2/2, el cualCarlos
Rondero Guerrero
integral definida,
a
³ xdx
0
1 2
a
2
Ahora con la misma función y = f (x)= x, se puede generar un trapecio si en
Ahora
la misma
y = f(x)=
generar
un trapecio si en lugar de
lugar
de con
recorrer
de 0 función
a a, se recorre
de ax,aseb,puede
con a<b
,
aaa
a
aaa
bbb
Figura 4.
Figura
Figura4.4.
b
xxx
x
a
(a+b)/2
recorrer
de 0 a a, se recorre de a a b, con a< b,
f(x)
f(x)
y=x
y=x
f(x)
y=x
f(x)
y=x
bbb
b
(a+b)/2
(a+b)/2
(a+b)/2
Figura
Figura 4.
4.
En este
este caso,
caso, elel
el área
área del
del trapecio
trapecio está
está dada
dada por
por elel
el tamaño
tamaño de
de lala
la base
base que
que eses
esb-a,
b-a,
En
En
este
caso,
área
del
trapecio
está
dada
por
tamaño
de
base
que
b-a,
En
este
caso,
el
área
del
trapecio
está
dada
por
el
tamaño
de
la
base
que
es
En
este
caso,
el
área
del
trapecio
está
dada
por
el
tamaño
de
la
base
que
multiplicadopor
porlala
laaltura
alturapromedio
promedio(a+b)/2,
(a+b)/2,eses
esdecir,
decir,AA
A=(b-a)
=(b-a)(a+b)/2.
(a+b)/2.Nótese
Nóteseque
quelos
los es b-a,
multiplicado
multiplicado
por
altura
promedio
(a+b)/2,
decir,
=(b-a)
(a+b)/2.
Nótese
que
los
-a, multiplicado
-a) (a+b)/
b
por
la
altura
promedio
(a+b)/
/
2
,
es
decir,
A
=
(b
2
.
multiplicado
alturayyypromedio
(a+b)/2,
es decir,
=(b-a)que
(a+b)/2.
Nótese que los
triángulos
quequedan
quedanpor
porla
exceso
defectoson
soniguales,
iguales,
detal
talAmanera
manera
queelel
eltrapecio
trapecio
triángulos
que
exceso
defecto
de
triángulos
que
quedan
por
exceso
defecto
iguales,
de
tal
manera
que
trapecio
Nótese que
los
triángulos
que quedan
por son
exceso
y defecto
son
iguales,
de tal
triángulos
que
quedan
por
exceso
y
defecto
son
iguales,
de
tal
manera
que
el trapecio
tiene
un
área
igual
al
rectángulo
de
área
equivalente.
tiene
un
área
igual
al
rectángulo
de
área
equivalente.
tiene
un área
al rectángulo
deárea
área igual
equivalente.
manera
queigual
el trapecio
tiene un
al rectángulo de área equivalente.
tiene
un
área
igual
al
rectángulo
de
área
equivalente.
Al
realizar
los
cálculos
equivalentes,
se
obtiene
la
integral
definida
de
f(x)
en
el
Al
los
equivalentes,
sese obtiene
lala integral
definida
de
f(x)
en
Al realizar
realizar
los cálculos
cálculos
equivalentes,
obtiene
integral
definida
de
f(x)
en elel
Al
realizar
los
cálculos
equivalentes,
se
obtiene
la
integral
defi
nida
de
f
(x)
los cálculos
equivalentes,
se
a,brealizar
intervalo>Al
laintegral
integral
correspondiente
quedade
delaobtiene
laforma,
forma,la integral definida de f(x) en el
a,
intervalo
queda
>>a,
bb@ ,@@ ,,lala
intervalo
integral
queda
de
la
forma,
en el interval
o [a,b],
, lacorrespondiente
icorrespondiente
ntegral correspondiente
queda
de la forma,
intervalo >a, b@ , la integral correspondiente queda de la forma,
b bb
(a(abb) )
aaa) )) (a b), ,, (a b)
(b((bbb
a aa
³a xdx (2b22 a) 2 ,
Loque
queposteriormente
posteriormentesese
seformaliza
formalizaaaatravés
travésdel
delcálculo
cálculode
delala
laprimitiva
primitivayyydel
delteorema
teorema
Lo
Lo
que
posteriormente
formaliza
través
del
cálculo
de
primitiva
del
teorema
Lo
que
posteriormente
se
formaliza
a
través
del
cálculo
de
la
primitiva
y
del
Lo
que
posteriormente
se
formaliza
a
través
del
cálculo
de
la
primitiva
y del teorema
fundamental
del
cálculo
como,
fundamental
del
fundamental
delcálculo
cálculocomo,
como,
teorema
fundamental
cálculo
como,
fundamental
del del
cálculo
como,
2
2
b bb
aaa2 22
xxx2b2 b bb bbb2 2
xdx
2
xdx
³a ³³a xdx 222 xdx
x 22 b b 2 a 2
a aa
2
³a
a
2 a
2
Porsupuesto
supuesto
laaltura
altura
promedio
queda
expresada
como,
Por
lala
promedio
queda
expresada
como,
Por
supuesto
la altura
promedio
queda
expresada
como,
Por
supuesto
altura
promedio
queda
expresada
como,
Por supuesto la altura promedio queda expresada como,
bb
111 b
aa bb
xdx1 ab b
xdx
³
xdx
³
aaaa ³a
bbb
222xdx a b
a
b a ³a
2
laque
que
a Relime,
suvez
vez
puede
calcular
pormedio
mediodel
delteorema
teoremadel
delvalor
valormedio
mediopara
paraintegrales,
integrales,
lala
sese
puede
calcular
por
que
su
vez
puede
calcular
Vol.se
13 (4-II),
Diciembre
de 2010por medio del teorema del valor medio para integrales,
396aasu
la
que
a
su
vez
se
puede
calcular
por
medio
del
teorema
del
valor
medio
para integrales,
el
cual
se
cumple
bajo
la
hipótesis
de
que
si
f(x)
es
una
función
continua
en
el
intervalo
elelcual
cualsesecumple
cumplebajo
bajolalahipótesis
hipótesisde
deque
quesisif(x)
f(x)esesuna
unafunción
funcióncontinua
continuaen
enelelintervalo
intervalo
el
cual
se
cumple
bajo
la
hipótesis
de
que
si
f(x)
es
una
función
continua
en se
elseintervalo
a,bbb@ ,@@ ,,entonces
entoncessese
seasegura
aseguralala
laexistencia
existenciade
deun
unvalor
valorccc
(a((aa, b,, bb) )), ,,de
demanera
maneratal
talque
que
>a,>>a,
entonces
asegura
existencia
de
un
valor
de
manera
tal
que
se
satisface,>a, b@ , entonces se asegura la existencia de un valor c  (a, b) , de manera tal que se
satisface,
satisface,
satisface,
xdx
xdx
³³³xdx
b
ab
2
1
xdx
b a ³a
la que a su vezCálculo
se puede
calcular
por
medio
del teorema del valor medio para integrales,
promedial.
El caso
de la
media aritmética
el cual se cumple bajo la hipótesis de que si f(x) es una función continua en el intervalo
que a su vez
se puedelacalcular
por de
medio
del teorema
valor
mediotal
para
>a, b@la, entonces
se asegura
existencia
un valor
c  (a, bdel
manera
que se
) , de
integrales,
el
cual
se
cumple
bajo
la
hipótesis
de
que
si
f
(x)
es
una
función
satisface,
continua en el intervalo [a,b], entonces se asegura la existencia de un valor
c∈(a,b) , de manera tal que se satisface,
b
1
f ( x)dx
b a ³a b b
b
f (c ) .
)³dxf ( x)dx
³a ³af f( x( x)dx
O equivalentemente, se puede expresar
de
dos
f f(c(c) ) f (cb)b ab b formas diferentes,b
O equivalentemente, se puede expresar de dos
formas
f ( x)diferentes,
dx
b dx
dx ³a ³ dx
³
³
³a f ( x)dx
f (aca)f ( x)dx
ab
f
(
c
)
bb
b
b
dx
b
fx)(dx
cdx)f ( (xb()abdx
³
b
baa
f
f
(
x
(
)
)
)
(
f
b
f
(
c
(
c
)
a
)
)
f
(
c
)
f ( x)dxa
³³ ³
³ dx
³ f ( x)dx
aa
ab
f (c )
³
³ dx
³
a
a
( x)dxa dx(b a ) f (cb)
f (c )
³ f valor
b
b ³
b
)de
dx
(de
bfunción
laa )función
f en
(en
c)elel en el
f f(c(c) ), ,esfes(cel
) ,valor
Donde
DondeDonde
evidentemente
evidentemente
evidentemente
valor
es aelpromedio
promedio
promedio
dedelos
losde
valores
valores
delalafunción
bel
³losf ( xvalores
a
a
³
b
³ f ( x)³dxf ( x)dx
³
³
dx >a,
f(b-a),
(fba(cel) atamaño
) del
f (cmismo.Una
) dela mismo.Una
>a,bb@ @ y>ya,(b-a),
b(@ xb y)dx
adel
el
(b-a),
mismo.Una
vez
vezmás
más
vezsesemás
puede
puede
se puede
intervalo
intervalo
intervalo
dedeintegración
integración
de integración
fel
(ctamaño
) tamaño
b
b
a
f
(
x
)
dx
(
b
a
)
f
(
c
)
a)el
³
observar
observar
observar
el
el
modo
modo
el
en
modo
en
que
que
en
actúa
actúa
que
actúa
el
cálculo
cálculo
el
cálculo
promedial,
promedial,
promedial,
en
en
el
el
sentido
en
sentido
el
sentido
de
de
mostrar
mostrar
de
mostrar
un
un un
f
(c
Donde
evidentemente
,
es
el
valor
promedio
de
los
valores
de
la
función
en el
dx
dx
³a ³
a
b
fade
(cde) ,lala
Donde
evidentemente
esde
el
valor
promedio
de intervalo
los valores de
significado
significado
significado
preponderante
preponderante
preponderante
a
a
la
la
altura
a
altura
la
altura
promedio
promedio
promedio
función
función
la
función
en
en
el
el
en
intervalo
intervalo
el
(b-a),
el tamañodedel
más se puede
intervalo
b
fevidentemente
( x)dxdeyyaintegración
(ablala
obtención
a )a fla(cobtención
) ,>a,del
Donde
esb@elyb valor
promedio
losmismo.Una
valores de vez
la función
correspondiente
correspondiente
correspondiente
área
del
del
equivalente
equivalente
lafunción
la
de
dealafunción
laen
figura
de
figura
figura
fvalor
(integración
x)del
dx
()brectángulo
a )(bf (rectángulo
c>de
)ade
a,) fblos
y valores
(b-a),
tamaño
del
de
fyobtención
(cen)intervalo
Donde
evidentemente
, que
promedio
la
en el un v
fárea
( xrectángulo
dxdel
(equivalente
c@los
) valores
fes
(c)el
Donde evidentemente
, del
esvalor
el³área
promedio
de ael
laade
el lamismo.Una
³
a intervalo
observar
el
modo
actúa
el
cálculo
promedial,
en
el
sentido
de
mostrar
en
el
de
integración
[a,b]
y
(b-a)
b-a)
b-a
)
,
el
tamaño
del
mismo.Una
vez
más
a
a
dada.
dada. dada.
>
a,
b
@
y
(b-a),
el
tamaño
del
mismo.Una
vez
más
se
puede
intervalo
de
integración
observar
el
modo
en
que
actúa
el
cálculo
promedial,
en
el sentid
>germinal
a,germinal
b@ en
y (b-a),
el
tamaño
delpromedial,
mismo.Una
vez
más
selas
intervalo
desulaintegración
significado
preponderante
adel
laexceso
altura
promedio
deeste
laen
función
en
el
intervalo
sesusu
puede
observar
el modo
que
actúa
cálculo
enreferido
el
sentido
depuede
AA
vez,
vez,
A observar
la
vez,
misma
misma
la
misma
idea
idea
idea
del
exceso
del promedio
exceso
yelyel
el
defecto,
defecto,
y el
defecto,
en
en
este
caso
caso
este
referido
caso
referido
aun
ade
las
a las
elDonde
modo
en
quefgerminal
actúa
el
cálculo
promedial,
en
elvalores
sentido
defunción
mostrar
(c
)
Donde
evidentemente
,
es
el
valor
de
los
valores
de
la
función
en
el
significado
preponderante
a
la
altura
promedio
la
función
f
(c
)
evidentemente
,
es
el
valor
promedio
de
los
de
la
en
el
ydebajo
laactúa
obtención
del
área
delfunción
rectángulo
a mostrar
laen
deella figura
mostrar
un
signifi
cado
preponderante
aaltura
la
altura
promedio
de
lacaso
función
modo
que
ella
cálculo
promedial,
en
elvez
sentido
de
un
f (cáreas
)áreas
ntemente observar
, escorrespondiente
elsignificado
valor
promedio
de
los
valores
detamaño
lapromedio,
elequivalente
por
áreas
por
encima
encima
por
encima
yen
yintervalo
por
por
yadebajo
por
debajo
dede
la
altura
altura
de
la promedio,
promedio,
se
se
lleva
lleva
seen
desde
desde
lleva
eldesde
el
elelemental
elemental
caso
elemental
preponderante
aa,
función
encaso
elpuede
intervalo
>
bla
@
ya,altura
(b-a),
elpromedio
del de
mismo.Una
más
semás
intervalo
de integración
>
b@ y (b-a),
el tamaño
dellamismo.Una
vez
se puede
de
integración
correspondiente
y
a
la
obtención
del
área
del
rectángulo
equivalente
dada.
intervalo
correspondiente
y que
ala
laactúa
obtención
del
área
del
rectángulo
equivalente
preponderante
adel
altura
promedio
de
en
elen
triángulo
triángulo
yobservar
yel
trapecio,
trapecio,
yel trapecio,
elhasta
el
área
elactúa
bajo
bajo
área
la
bajo
curva
curva
lapromedial,
de
curva
de
una
una
de
función
función
una
continua
enintervalo
elelaen el
correspondiente
ymodo
ahasta
lamodo
obtención
área
rectángulo
equivalente
amostrar
lacontinua
la
figura
en
el
cálculo
promedial,
en
ella
sentido
defunción
uncontinua
observar
elhasta
enárea
quedel
elladel
cálculo
en
elfunción
sentido
dede
mostrar
un
>del
a,del
b@triángulo
ydel(b-a),
tamaño
mismo.Una
vez
más
se
puede
integraciónsignificado
dada.
A
su
vez,
la
misma
idea
germinal
del
exceso
y
el
defecto,
en
este
caso
referido
a las
dada.
significado
preponderante
a
la
altura
promedio
de
la
función
en
el
intervalo
la
de
la
fi
gura
dada.
significado
preponderante
a
la
altura
promedio
de
la
función
en
el
intervalo
@ , losela
>a,>a,A
bb@ ,@ ,lo
>lo
a,cual
bcual
secual
vevereflejado
reflejado
se verectángulo
reflejado
enenelelsignificado
significado
enequivalente
el significado
del
delTeorema
Teorema
Teorema
del
delfigura
del
intervalo
intervalo
intervalo
dedeintegración
integración
correspondiente
ydea integración
la obtención
del
área
del
a del
la de
la
misma
idea
germinal
del
exceso
elfigura
defecto,
en este ca
modo en que actúa
el
cálculo
promedial,
enobtención
eldel
sentido
de
mostrar
un
correspondiente
yidea
a su
ladebajo
obtención
área
rectángulo
equivalente
a caso
la
deadesde
la
figura
ygerminal
avez,
la
deldel
área
equivalente
deylael
A por
su
vez,
lacorrespondiente
misma
del
exceso
y del
el rectángulo
defecto,
en
este
referido
acaso
las elemental
áreas
encima
y
por
de
la
altura
promedio,
se
lleva
dada.
Valor
ValorMedio
Valor
Medio
para
para
integrales.
integrales.
para
integrales.
laMedio
misma
idea
germinal
del
exceso
y el
defecto,
en
este
caso
referido
dada.
dada.
áreas
ypromedio,
por
debajo
de de
la
altura
promedio,
se lleva
áreas
por
encima
y por
debajo
la altura
seintervalo
lleva
desde
el caso
elemental
preponderante Aasudel
lavez,
altura
promedio
de por
ladeencima
función
en
el
triángulo
yidea
trapecio,
el
área
bajo
la
curva
una
función
endesde
el e
A su vez,
lavez,
misma
ideahasta
germinal
del
exceso
yaltura
el
defecto,
en este
caso
referido
a lasreferido
A
su
la
misma
idea
germinal
del
exceso
y
el
defecto,
en
este
caso
referido
a continua
lasel el a las
A sua vez,
la
misma
germinal
del
exceso
y
el
defecto,
en
este
caso
las
áreas
por
encima
y
por
debajo
de
la
promedio,
se
lleva
desde
del triángulo
y rectángulo
trapecio,
hastaequivalente
el área
bajo
la
curva
de
una
función
continua
en
del
triángulo
y
trapecio,
hasta
el
área
bajo
la
curva
de
una
funció
nte y a la obtención
del
área
del
a
la
de
la
figura
áreas
por
encima
ysiguiente
por
de la
altura
promedio,
se lleva
elsignificado
casoelelemental
áreas
porla
encima
ydebajo
defiguras:
lasealtura
promedio,
se desde
llevaeldesde
caso elemental
>trapecio,
a,
bpor
lo
cual
vefiguras:
reflejado
en
del
Teorema
del
intervalo
de
Esto
Esto
se
seEsto
muestra
muestra
se muestra
enenintegración
la
la
siguiente
siguiente
en
secuencia
secuencia
secuencia
dede
figuras:
de
áreas
por
encima
por
debajo
de
altura
promedio,
lleva
desde
elen caso
@y,@lalo, debajo
bhasta
cual
se
ve
reflejado
en
ello
significado
delcontinua
Teorema
intervalo
integración
caso
elemental
del
triángulo
trapecio,
hasta
bajo
la
curva
dedel
una
delyde
triángulo
y trapecio,
el integración
área
labajo
curva
de
una
función
continua
el en
del
triángulo
y>a,
hasta
el bajo
área
laa,el
curva
de
una
función
elelemental
>
b@se
,área
cual
se
ve
reflejado
en
el significado
intervalo
de
Valor
Medio
para
integrales.
>el
a, b@área
,de
ve reflejado
en el de
significado
del
Teorema
del
de el
integración
Valor
Medio
para
integrales.
@ , bajo
>loa, bcual
losecual
se
reflejado
eluna
significado
del Teorema
del
intervalo
de integración
del función
triángulo
y intervalo
trapecio,
hasta
lavecurva
función
continua
en el
continua
en
[a,b]
,enlo
Valor
Medio
para
integrales.
misma idea germinal
del Valor
exceso
elintervalo
defecto,
enintegración
estef(x)
caso f(x)
referido
acual
las se ve reflejado en
f(x)
MedioyMedio
para
integrales.
Valor
para
integrales.
el
signifi
cado
del
Teorema
del
Valor
Medio
para
integrales.
intervalo de integración >a, b@ , lo cual se ve reflejado en el significado del Teorema del
se muestra
siguiente
secuencia
de figuras:
cima y por debajo Esto
de Esto
lasealtura
promedio,
se lleva
desde
el caso
elemental
f(x)
f(x) f(x)
muestra
enenlalaensiguiente
secuencia
de
figuras:
seEsto
muestra
la siguiente
secuencia
de figuras:
en
la siguiente
secuencia
figuras:
Valor
Medio
para
integrales.
Esto
seEsto
muestra
enEsto
la
siguiente
secuencia
de figuras:
se
muestra
en
la de
siguiente
secuencia
y trapecio,
hasta
el
área
bajo
lase muestra
curva
de
una función
continua
en el de figuras:
f(x)
f(x)
Teorema del
ntegración >a, b@ , lo cual se ve reflejado en el significadof(x)delf(x)
f f(c(c) ) f (c)
f(x) f(x)
f(x)
f(x)
Esto se muestra en la siguiente secuencia de figuras:
f(x)
para integrales.
f (c) ff (c
(c)
f(x)
tra en la siguiente secuencia de figuras:
f(x) f (c)
f(x)
f(x)
a aa
Figura 5.
Figura Figura
5.
5.
Figura
Figura5.Figura
5.
5.
Figura 6.
Figura Figura
6.
6.
Figura
Figura6.Figura
6.
6.
f (c)
aa
f (c)
a
b
b bb
x
b
bx x x
x
x
Figura 7.
Figura Figura
7.
7.
Figura
Figura7.Figura
7.
7.
b lo 397 x
Relime,
13 existe
(4-II),
Diciembre
Cabe
destacar
la filiación
de carácter
epistemológico
queaVol.
existe
entre
parte parte
de de
lo 2010
destacar
la filiación
de carácter
epistemológico
que
entre
de
Figura
5. Cabe
Figura
6.
Figura
7.
anteriormente
señalado,
con lacon
idealadeidea
la “regla
del grado
medio”,
dada por
y ay
anteriormente
señalado,
de la “regla
del grado
medio”,
dadaGalileo
por Galileo
posteriormente
trabajada
por
y que yepistemológico
facilita
la obtención
del
de
unade de
posteriormente
por
Oresme
que facilita
la obtención
del
promedio
una
Cabe
Cabe destacar
Cabe
destacar
destacar
lala filiación
filiación
la filiación
dedetrabajada
carácter
carácter
deOresme
carácter
epistemológico
epistemológico
que
que
existe
existe
quepromedio
existe
entre
entre
parte
entre
parte
parte
de lolo de lo
Cabe cualidad
destacar
la filiación
de con
carácter
epistemológico
que
existe
entre
parte
de lo
intensiva
que
varía
relación
a una
fijada
de antemano,
(Fernández
cualidad
intensiva
que
varía
con
relación
aescala
una
escala
fijada
demedio”,
antemano,
(Fernández
anteriormente
anteriormente
anteriormente
señalado,
señalado,
señalado,
con
con
la
la
idea
con
idea
la
de
de
idea
la
la
“regla
“regla
de
la
“regla
del
del
grado
grado
del
medio”,
grado
medio”,
dada
dada
por
por
dada
Galileo
Galileo
por
yy
y
anteriormente
señalado,
con la idea de la “regla del grado medio”, dada por Galileo yGalileo
& Rondero,
2004).2004).
& Rondero,
posteriormente
posteriormente
posteriormente
trabajada
trabajada
trabajada
por
porOresme
Oresme
porOresme
Oresme
yyque
que
facilita
yfacilita
que
facilita
lalaala
obtención
obtención
la obtención
del
delpromedio
promedio
del promedio
dede
una
unade
x una
b de
posteriormente
trabajada
por
y que
facilita
obtención
del
promedio
una
Figura 5.
Figura 6.
Figura 7.
La media aritmética en el cálculo de sumas
La media
el cálculopara
de sumas
Es
posiblearitmética
ocupar elenpromedio
calcular la suma de los n primeros números
Carlos Rondero Guerrero
naturales,
es, el promedio para calcular la suma
Es posibleesto
ocupar
de los n primeros números
naturales,
es,
La mediaesto
aritmética
en el cálculo de sumas
Cabe destacar la filiación de carácter epistemológico que existe entre parte
s = 1+2+3+4+...+n.
Es posible
ocupar el promedio
calcular
n primeros
números
de lo anteriormente
señalado,para
con la
idea delala suma
“reglade
dellos
grado
medio”, dada
Para
tal
fin,
se
calcula
la
media
aritmética
de esos mismos valores, esto es,
s = 1+2+3+4+...+n.
naturales,
esto
es,
por
Galileo
y
posteriormente
trabajada
por
Oresme
y
que
facilita
la
obtención
La media aritmética en el cálculo de sumas
Para tal
fin,
se calcula
la media
aritmética
de esos
mismos con
valores, esto es,
promedio
cualidadpara
intensiva
que lavaría
a una escala
Es del
posible
ocuparde eluna
promedio
calcular
suma derelación
los n primeros
números
s =&1+2+3+4+...+n.
fi
jada
de
antemano
(Fernández
Rondero,
2004).
naturales, esto es,
1  2  3 de
4 esos
 mismos
n
Para tal fin, se calcula la media aritmética
valores, esto es,
,
1  2  3 n4    n
,
= 1+2+3+4+...+n.
2.4. La media aritmética en els cálculo
n de sumas
Para tal fin, se calcula la media aritmética de esos mismos valores, esto es,
dado que el numerador es la suma de
deuna
1  n2 términos
 3  4 
n progresión aritmética, entonces
, progresión
Es posible
ocupar
el
la una
suma
dede
loslos
n primeros
números
su
media
aritmética
es igual
a su vez
lacalcular
media
aritmética
valores
extremos,
es
dado
que
el numerador
es promedio
la suma
depara
na términos
de
aritmética,
entonces
n
naturales,
esto
es,
decir,
su media aritmética es igual a su vez a la media aritmética de los valores extremos, es
1  2 1+2+3+4+...+n.
3  4  n
decir,
dado que el numerador es la suma des n= términos
de una, progresión aritmética, entonces
n n n  1
1

2

3

4


su media aritmética
a su
a laaritmética
media aritmética
de los valores,
valores extremos,
Para tal fin,esseigual
calcula
la vez
media
de esos mismos
esto es, es
1  2  3 n4    n n 2 1
decir,
dado que el numerador es la suma de n términosde una progresión aritmética, entonces
n
2
n,
su media aritmética es igual a su vez 1+2+3+4+...+n,
a la media aritmética
de los valores extremos, es
1

2

3

4



n
n
1
n
Luego
decir,entonces, la suma buscada es,

n
2
Luego entonces, la suma buscada es,
dado que el numerador es la suma de n términos de una progresión aritmética,
1 2  3  4  n n 1
entonces su media aritmética es igual a su vez
n(na la1)media aritmética de los
Luego
entonces,
la
suma
buscada
2
1  2 es,
 3  4 n   n 
valores extremos, es decir,
n(n2 1)
1  2  1+2+3+4+...+
3

4



n

1+2+3+4+...+n = n2+1
n
Luego entonces, la suma buscada es,
2
n(n  1)
1

2

3

4



n

Si este mismo resultado se expresa en términos de una sumatoria, se obtiene,
Luego entonces, la suma buscada es,
2
Si este mismo resultado se expresa en términos de una sumatoria, se obtiene,
n(n  1)
1n  2  3  4    n 
(n  1) de
1 2 sumatoria,
1 2
Si este mismo resultado se expresa
en ntérminos
se obtiene,
 nuna
 n
n k 

n
(
n

1
)
1
1 sumatoria, se obtiene,
2de una
2
2
Si este mismo resultado se kexpresa
en2 términos
1 k 
 n  n

2
2
2
k 1
Si este mismo resultado se expresa
en términos de una sumatoria, se obtiene,
n
n(n  1) 1 2 1
k tipo de sumas
 n(Edward,
 n 1979),
O en la notación de Bernoulli paraeste
2
2
2
k 1
O en la notación de Bernoulli para este
tipo de sumas (Edward, 1979),
n
n(n  1) 1 2 1
k este tipo de
 sumas
n  (Edward,
n
O en la notación de Bernoulli
para
1979),
2
1 2de
1 2 (Edward,
2 sumas
O en la notación de Bernoulli parak 1esten tipo
1979),
  21n 2  21 n .
 n  2n  2 n .
DeOdónde
la
media
aritmética
de
estos
mismos
números
representa
como,
en la notación de Bernoulli para este
tipo de
sumas se
(Edward,
1979),
1
1
2
De dónde
la media
aritmética
de estos
como,como,
De dónde
la media
aritmética
de mismos
estos
se representa
nnúmeros
 números
n . se representa
 n  mismos
2
2
n
1 mismos
1
11 números
2
De dónde la media aritmética de estos
n nk  nn 
n . se representa como,


1
1
n k 1 k 22 n  21
 2 2
n 1
De mismo
dónde la
media aritmética
de estosksemismos
números
se representa
como,
Este
resultado
se ocupa cuando
quiere entrar
a calcular
la integral
definida,
11 n
1
1
Este mismo
resultado
se
ocupa
cuando
se
quiere
entrar
a
calcular
la
integral
definida,
1 k  12 n  2
398 Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
n1 xk dx
1
n  2
01xdx
1 entrar
1

Este mismo resultado se ocupa cuando sequiere
la integral definida,
2 promedio,
n  a calcular
cuyo argumento central se da en términos
dekun
en este caso el de la media
0
n1 k 1
2
2
1
aritmética.
cuyo argumento central se da en términos xde
dx un
 promedio, en este caso el de la media
De dónde la media aritmética de estos mismos números se representa como,
1
Cálculo promedial. El caso de la1media aritmética
n
1
k  2 n  2
n
k 1
Este mismo resultado se ocupa cuando se quiere entrar a calcular la integral
Estedefi
mismo
nida,resultado se ocupa cuando se quiere entrar a calcular la integral definida,
1
1
 xdx  2
0
cuyocuyo
argumento
central
se da
de un
en este
casocaso
el deellademedia
argumento
central
seen
datérminos
en términos
depromedio,
un promedio,
en este
la
aritmética.
media aritmética.
Aquí se ha usado implícitamente una propiedad de la media aritmética,
Aquílaseque
ha usado
una de
propiedad
de es
la media
que se
se refiimplícitamente
ere a que la suma
n valores
igual aaritmética,
n veces ellavalor
derefiere
la
a quemedia,
la suma
de es,
n valores es igual a n veces el valor de la media, esto es,
esto
n
Aquí se ha usado
implícitamente una propiedad de la media aritmética
x

x .la media
a
que
la
suma
de
n
es igual
a n veces
valor
de la media, esto
 k nvalores
Aquí se ha usado implícitamente una propiedad
de
aritmética,
la el
que
se refiere
k 1
n
a que la suma de n valores es igual a n veces el valor de la media, esto xes, n x .

k
n
k 1
Cuando
un tratamiento
como
el
que
viene
realizando,
además
Cuando se
hace se
unhace
tratamiento
como
el
que
viene
realizando,
además
dedehacer
.
x

n
x

k
hacer
explícitos
algunos
de
los
contextos
donde
la
media
aritmética
funciona
k
1
explícitos algunos de los contextos donde la media aritmética funciona como eje de
Cuando
se hacematemáticos,
un tratamiento
como eluna
que
viene realizando,
como eje
de los saberes
se propicia
Idoneidad
articulación
dedelosarticulación
saberes matemáticos,
se propicia una Idoneidad
epistémica,
como lo
explícitos
algunos
de
los
contextos
donde
la
media
aritmética
epistémica,
como
mencionancomo
(Godino,
Contreras
Font,
2006),
que al
se de
refi
ere de func
Cuando
se (Godino,
hace
un lotratamiento
el que
viene &
realizando,
además
hacer
mencionan
Contreras
&
Font,
2006),
que
se
refiere
grado
articulación
de
los
saberes
matemáticos,
se
propicia
una
ep
al grado
de representatividad
los la
signifi
cados
institucionales
respecto
aIdoneidad
explícitos
algunos
contextos de
donde
media
aritmética
funciona
como ejeya
deque
representatividad
dedeloslos
significados
institucionales
respecto
a&los
de referencia,
mencionan
(Godino,
Contreras
Font,
2006),
que
se
refier
los de referencia,
ya quematemáticos,
se busca entre
objetivos
el incidirepistémica,
en los significomo
cadoslo
los saberes
se otros
propicia
una Idoneidad
searticulación
busca entredeotros
objetivos
el incidir en
losdesignificados
personales.
En el caso
de la
representatividad
los significados
institucionales
respecto
personales.
En el caso
de la media
aritmética,
esa representatividad
viene
mencionan
(Godino,
Contreras
& Font,
2006),
que
se refiere
al grado
de a los de
media aritmética, esa representatividad
viene
dada
por
la
diversidad
de
formas
que
seformas
busca institucionales
entre
otros objetivos
el aincidir
los significados
dada por la diversidad
de
que adquiere
y sus signifi
cados
institucionales
representatividad
de los significados
respecto
los
deen
referencia,
ya que personales
adquiere y sus significados institucionales
que
son
amplios
en
diferentes
ámbitos
tanto
media
aritmética,
esa
representatividad
viene
dada
que son
amplios
en diferentes
ámbitos
tanto
de la
matemática
delala diversida
se busca
entre
otros objetivos
el incidir
en los significados
personales.
En elcomo
caso por
de
demedia
laotras
matemática
como
de
otras
áreas
del
conocimiento.
adquiere
y
sus
significados
institucionales
que
son
amplios
áreas del conocimiento.
aritmética,
esa representatividad viene dada por la diversidad de formas que en diferen
de la matemática
de otras áreas
del conocimiento.
adquiere y sus significados institucionales
quecomo
son amplios
en diferentes
ámbitos tanto
Lademedia
aritmética
en
el
cálculo
de
integrales
definidas
la matemática como de otras áreas del conocimiento.
Laen
media
aritmética
en el cálculo
de integrales definidas
2.5. La media aritmética
el cálculo
de integrales
definidas
Una
más donde
aritmética
es el que se refiere al cálculo de
La contexto
media aritmética
en elaparece
cálculo la
demedia
integrales
definidas
Un
contexto
más
donde
aparece
la
media
aritmética
es xelk, que
sek refi
ere
al cálculo
Una
contexto
más
donde
aparece
la media
aritmética
es el que se ref
integrales definidas para funciones de la forma y = f(x) =
con
=
1,2.
k
de
integrales
defi
nidas
para
funciones
de
la
forma
y=f
(x)=x
,
con
k=1,2
.
integrales
definidas
para
funciones
de
la
forma
y
=
f(x)
= de
xk, de
con k = 1
SeUna
puede
ocuparmás
estedonde
resultado
para
en formaesdiscreta
área bajo
la curva
contexto
aparece
la calcular
media aritmética
el que seelrefiere
al cálculo
k para calcular en forma discreta el áre
Se
puede
ocupar
este
resultado
puedeenocupar
este resultado
para
forma
el área
definidas
para
funciones
forma
y =calcular
f(x)
= x en
, Realizando
con
k = discreta
1,2.una equipartición
laintegrales
funciónSe
f(x)=x,
el intervalo
2001b).
0de,1la, (Rondero,
la función
f(x)=x,
enforma
el intervalo
(Rondero,
2001b).

0,el
1, ,área
bajo
la
curva
de
la
función
f
(x)
=
x
,
en
el
intervalo
[0,1]
(Rondero,
2001b).
Se
puede
ocupar
este
resultado
para
calcular
en
discreta
bajo
la
curva
deRealizando
del intervalo, xk: 0/n, 1/n, 2/n, …,n/n, como f(xk)=k/n, se considera la integral
definida
del
intervalo,
x
:
0/n,
1/n,
2/n,
…,n/n,
como
f(x
)=k/n,
se
Realizando
una
intervalo,
xk: 0/n,
1/n, 2/n,
…,
n/n
k
k , como considera la
la función
f(x)=x,
en equipartición
el intervalo
2001b).
Realizando
una
equipartición
 , (Rondero,
0,1del
como
la media
aritmética
de las correspondientes
alturas,
dadas
por
los
valores de la
como
la
media
aritmética
de
las
correspondientes
alturas,
((xx k es
) =decir,
k / nx,k: se
considera
integral
defi
como la media aritmética de
las dadas por
delf intervalo,
0/n,
1/n, 2/n, la
…,n/n,
como
f(xnida
k)=k/n, se considera la integral definida
función,
es decir,
correspondientes
alturas,
dadas
por
los valores alturas,
de la función,
es decir,
como
la media aritmética
defunción,
las correspondientes
dadas por
los valores de la
función, 1es decir, n
1 1  nn 
1 k 1 n
1
1 n 1k  11 1n n 2  11 n1n 
 1   1  1 n 2  1  
   2  k  xdx
2 
2 k 
0 1xdx  n 





2
2

2k 10n  1nn 1 k2 0 1 n2 1 221 2n n 2  2
2
1k n0 nk  n1 k n 0 0 n
1 nnn
xdx


k

 
 n2  2   n2  2 n2  2   2  2n
0
n k 0  n  n2 k 0
de manera que si se consideradeque
que:que n   , se obtiene que:
n que
 , siseseobtiene
manera
considera
1
1
1
1
de manera que si se considera que n  x,dx
que:
de manera que si se considera que n
→se∞obtiene
, se obtiene que:
xdx 

1
2
2
1
0
0
xdx 
Este desde
último0 una
resultado,
muestra
desde que
una perspectiva
discreta
Este último resultado, muestra
perspectiva
discreta
efectivamente
la que
2
media
aritmética
es
un
eje
articulador
de
saberes,
desde
la
matemática
Relime,
Vol.
13
(4-II),
Diciembre
de
2010
399
media
aritmética
es
un
eje
articulador
de
saberes,
desde
la
matemática
elemental
hasta
Este último resultado, muestra desde una perspectiva discreta que efectivamente la la
matemática
matemática
avanzada.
media aritmética
es un eje articulador
de avanzada.
saberes, desde la matemática elemental hasta la
2
Repitiendo
el caso
de la función,
f(x)=x2, de
definida
Repitiendo
proceso para el caso de el
la proceso
función,para
f(x)=x
, definida
en el intervalo
matemáticaelavanzada.
2 la misma equipartición del interv


0
,
1
referencia
,
realizando
Repitiendo0el,1proceso
para el caso
de la función,
f(x)=x , definida
en el intervalo
de
referencia
, realizando
la misma
equipartición
del intervalo
y evaluando
2
1
función, es decir,
n
k
1
n
1  nn  1  1  1 2
 2 n 
2 
 2  n 2
 xdx  n   n   n  k  n
2
k 0
0
k 0
1 n k 1 n
1  nn  1  1  1 2 1  1 1
xdx

   2 k  2 
 2 n   

0
n k 0  n  n k 0
n manera
2 que
2 considera
2  2 que
2n n   , se obtiene que:
 nsise
de
1
Carlos Rondero Guerrero 1
1
de manera que si se considera que n   , se obtiene que:
0 xdx  2
1
Este último resultado, muestra desde
una1 perspectiva discreta que efectivamente
Este
resultado,
muestra
una perspectiva discreta
la media aritmética es un eje articulador
de
saberes,
desde desde
la matemática
0 xdx último
2
media
aritmética
es un eje articulador de saberes, desde la matem
elemental hasta la matemática avanzada.
Este último resultado, muestra desdematemática
una perspectiva
discreta que efectivamente
la
avanzada.
2
Repitiendo
el eje
proceso
paradeelsaberes,
caso de
la la
función,
f
(x)
=
x
, defi
nida
en el
media aritmética
es un
articulador
desde
matemática
elemental
hasta
Repitiendo el proceso para el caso de lalafunción, f(x)=x2, defin
intervalo
de
referencia
[0,1]
,
realizando
la
misma
equipartición
del
intervalo
y
matemática avanzada.
referencia 0,1 , 2 realizando la misma equipartición del i
evaluando
Repitiendo el proceso para el caso de la función, f(x)=x
, definida en el intervalo de
2
k
referencia 0,1 , realizando la misma
equipartición
del intervalo
y definida,
evaluando calculada a través de
la integral
f ( x k )    ; ahora
2
n


k
calculadadea la
través de ladada,
mediasearitmética
dees:
f ( x k )    ; ahora la integral definida,
los avalores
tiene
que
ahora
la integral
definida, calculada
través de lafunción
media aritmética
de los
valores
n
de
la
función
dada,
se
tiene
que
es:
los valores de la función dada, se tiene que
es:
2
1
1  nn  1(2n  1)  1  1 3
 3
 3 n
 n 3
k 0
k 0 2
1 k
1
1 n  1 1 6 1
0
2
2
3
1
   3 k  3 
  3  n  n  n    2
0 x dx  n 
1
2
2
6  3 2n 6n
n k 0
n 
k 0  n 
x 6dx   . n  3
De manera que
si se toma el límite cuando n   , queda,
3
10
De manera
manera
se toma
el límite
1→ ∞, queda,
n2  , nqueda,
De
queque
si sesitoma
el límite
cuandocuando
2
1
n
2
n
k
1
n
1
 x dx       k
1  nn  1(2n n1)   n1  1 n 1
2
3
n

10
x dx  .

3
En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética
de los valores de la función que
1
x
dx

.
interviene. Igualmente se puede calcular
el
promedio
de
las áreas de los rectángulos de

3
2
0
baselos1/ncálculos
y alturaanteriores
el correspondiente
valor
de la
función de
en los
el extremo
de cada
En
se ocupó la
media
aritmética
valores izquierdo
de la función
que
subintervalo.
Por
supuesto
los
resultados
de
las
integrales
definidas
que
se
calculan
son
interviene.
Igualmente
se
puede
calcular
el
promedio
de
las
áreas
de
los
rectángulos
de
En los cálculos anteriores se ocupó la media aritmética de los valores de la
En
los1/ncálculos
anteriores
se ocupó
la
media
aritmética
de
los
valores
de
la
función
que
iguales
afunción
ya que
obtenidos.
base
ylos
altura
el interviene.
correspondiente
valor
de
la
función
en
el
extremo
izquierdo
de
cada
Igualmente se puede calcular el promedio de las áreas
interviene.
Igualmente
puede
calcular
el
de las
áreas
los
rectángulos
de
de los
rectángulos
de
baseresultados
1/n
/n y altura
correspondiente
valor
dedela
función
en de son
Este mismo
método
de se
cálculo
promedial
seelpromedio
usa
para calcular
la integral
definida
una
subintervalo.
Por
supuesto
los
de
las
integrales
definidas
que
se
calculan
k
el
extremo
izquierdo
de
cada
subintervalo.
Por
supuesto,
los
resultados
de
las
base
1/n
y
altura
el
correspondiente
valor
de
la
función
en
el
extremo
izquierdo
de
cada
iguales
a
los
ya
obtenidos.
función de la forma f ( x)  x , con x definida en el intervalo 0,1 , obteniéndose el
integrales
defide
nidas
que
calculan son
a los
ya obtenidos.
subintervalo.
Por supuesto
losseresultados
de
las integrales
definidas
que definida
se calculan
Este
mismo
método
cálculo
promedial
seiguales
usa
para
calcular
la integral
de son
una
resultado
conocido,
k de cálculo promedial se usa para calcular la integral
Este
mismo
método
iguales
a
los
ya
obtenidos.
función de la forma f ( x)  x , con x definida ken el intervalo 0,1 , obteniéndose el
definida
de una
función promedial
de la formasef (x)=x
, con
x definida
en el intervalo
Este
mismo
método
de cálculo
usa para
calcular
la integral
definida de una
1
resultado
conocido,
1
[0,1]
, obteniéndose el resultado
conocido,
k
k
función de la forma f ( x)  x , con xx definida
en el intervalo 0,1 , obteniéndose el
dx 
k

1
10
resultado conocido,
1
x k dx 

1
10
Que a su vez se generaliza cuando para
esta kmisma
función, se tiene el intervalo de
1
k
x
dx

integración
,


a,
b
0 para estakmisma
Que a su vez se generaliza cuando
se tiene el intervalo
 1 función,
Que a sudevez
se
generaliza
cuando
para
esta misma
función, se tiene el intervalo de
integración [a,b],
integración a, b ,
Que a su vez se generaliza cuando
para esta misma función, se tiene el intervalo de
b
1
k
k 1
k 1
integración a, b ,
a x dx  k  1 (b  a )
b
1
x k dx 
(b k 1  a k 1 )

k

1
Cuyo valor promedio es fácil deba ver que corresponde
a,
1
k
k 1
x dx 
(b  a k 1 )

1
b
Cuyo valor
deadever
que kcorresponde
a,
Relime, Vol. 13 es
Diciembre
2010 1
400 promedio
1(4-II),fácil
k
k
k 1
x
dx

(
a

a
b


 ab k 1  b k )
a
b

a
k

1
b
Cuyo valor promedio es
a,
1 fácilk de ver 1que corresponde
k
k 1
x
dx

(
a

a
b


 ab k 1  b k )
ba
k 1
b
1
 x dx  k 1 1 (b
 x dx  k  1 (b
b
a
k
k
k 1
 a k 1 )
k 1
 a k 1 )
a
Cálculo
El caso
la media
aritmética
Cuyo valor promedio
espromedial.
fácil de
ver deque
corresponde
a,
Cuyo valor
promedio
es fácil
de ver que corresponde a,
Cuyo
valor promedio
b es fácil de ver que corresponde a,
1
1
x k dx 
(a k  a k 1b    ab k 1  b k )
b
b 1 a a k
k 1 1 k
x dx 
(a  a k 1b    ab k 1  b k )

ba a
k 1
donde precisamente aparece otro tipo de promedio al que denominamos media
donde
precisamente
aparece otro tipo de promedio al que denominamos media
potenciada,
(Rondero,
2001a),
donde
precisamente
aparece
otro tipo de promedio al que denominamos media
potenciada, (Rondero, 2001a),
potenciada, (Rondero, 2001a),
a b
( a, b)   a b
k 1
Mk
M k ( a, b) 
k
n 0
n 0
k n
n
k n
n
k 1
2.6. La media aritmética en la Estadística
k
La media aritmética en la Estadística
No es el interés de este trabajo profundizar acerca de cómo es que interviene
La media
en la Estadística
la aritmética
media aritmética
en la Estadística, más bien de lo que se trata es
No es elde
interés
de
este
trabajo
profundizar
acerca
es queseinterviene
mostrar la forma
en que
ciertos saberes
de de
tipocómo
estadístico
construyenla media
aritmética
en
la
Estadística,
más
bien
de
lo
que
se
trata
es
de
mostrar
la forma
que
base adelaeste
media
aritmética.
Algunasacerca
de susdepropiedades
relevantes
son,la en
No es el en
interés
trabajo
profundizar
cómo es que
interviene
media
ciertos saberes
tipo estadístico
se construyen
base es
a lademedia
aritmética.
Batanero
(2005):
aritmética
en lade
Estadística,
más bien
de lo que en
se trata
mostrar
la formaAlgunas
en que
de
sus
propiedades
relevantes
son,
Batanero,
C.
(2005):
ciertos saberes de tipo estadístico se construyen en base a la media aritmética. Algunas
de sus propiedades
relevantes
son, Batanero, C. (2005):
En el aspecto
estadístico:
En el aspecto estadístico:
En el aspecto i)estadístico:
mediasesesitúa
sitúa entre
entre los
i)
LaLa
media
los valores
valoresextremos,
extremos,
ii) La suma de las desviaciones es cero,
i)
LaLa
media
se toma
sitúa entre
los valores
extremos,
iii)
media
en cuenta
todos los
valores y no sus promedios
parciales.
En el aspecto abstracto:
i)
La media no tiene por qué coincidir con alguno de los valores que han
sido promediados,
ii) La media, puede ser un número que no tenga sentido en el contexto
propuesto,
iii) Cuando se calcula la media, si aparece el cero, debe tenerse en cuenta.
En el aspecto de la representatividad:
i)
La media es representativa de los valores promediados.
Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
401
En el
el aspecto
aspecto de
de la
la representatividad:
representatividad:
En
En el aspecto de la representatividad:
En el aspecto de la representatividad:
En el aspecto de la representatividad:
La media
media es
es representativa
representativa de
de los
los valores
valores promediados.
promediados.
i)i) La
i) La media es representativa
de
los
valores
promediados.
i) La media
representativa
de los valores promediados.
i) La media es representativa
de losesvalores
promediados.
Carlos Rondero Guerrero
En todas
todas las
las propiedades
propiedades anteriores,
anteriores, el
el hecho
hecho relevante
relevante que
que permite
permite hacer
hacer una
una
En
En todas las
propiedades
anteriores,
el hechoanteriores,
relevante
quehecho
permite
hacer
una permi
resignificación
a
la
media
aritmética
es
precisamente
es
la
consideración
de
ser
el
valor
En
todas
las
propiedades
el
relevante
que
resignificación
a propiedades
la las
media
aritmética
es precisamente
esrelevante
la consideración
de ser
el valor
Enresignificación
todasEn las
anteriores,
elprecisamente
hecho
relevante
que
permite
hacer
una
todas
propiedades
anteriores,
el hecho
que permite
hacer
a
la
media
aritmética
es
es
la
consideración
de
ser
el
valor
que
equipara los
los excesos
defectos,
sea
el media
valor que
que
equilibra.
aritmética
es la
precisamente
que
equipara
yyladefectos,
oo sea
el
valor
equilibra.
resignificación
a laexcesos
media
aritmética
esao la
precisamente
es equilibra.
la consideración
de es
serla
elconsideración
valor
unaequipara
resignifiexcesos
cación
aresignificación
media
aritmética
precisamente
consideración
de
que
los
y defectos,
sea
elesvalor
que
Existen
otras
formas
de
significación
del
concepto
de
la
media
aritmética,
que
como
se
que
equipara
los
excesos
y
defectos,
o
sea
el
valor
que
equilibra.
Existen
otras
formas
de significación
del
concepto
de
laequilibra.
media
aritmética,
que como se
que
equipara
los
excesos
y
defectos,
o
sea
el
valor
que
ser
el
valor
que
equipara
los
excesos
y
defectos,
o
sea
el
valor
que
equilibra.
Existen otras
formasExisten
de
significación
del
concepto
de uno
la media
aritmética,
que
comoaritmética
se
ha
señalado
se
desprende
de
la
noción
de
promediación,
más
de
tales
significados
otras
formas
de
significación
del
concepto
de
la
media
haExisten
señalado
se desprende
de
ladenoción
de
promediación,
uno
más
de tales
significados
otras
formas
de
significación
del
concepto
de
la
media
aritmética,
que
como
se
Existen
otras
formas
signifi
cación
del
concepto
de
la
media
aritmética,
ha señalado se desprende
de la noción
de promediación,
uno
más
de tales significados
señalado
se desprende
de cual
la noción
de
promediación,
unola
más de tale
eshael
elseñalado
correspondiente
a lo
lo
“frecuencial”,
en el
el
cual
se
puede
versignificados
como
la
xpromediación,
se
de“frecuencial”,
la desprende
noción
de de
promediación,
más
de tales
es
correspondiente
aha
en
,, se
puede
ver
como
xuno
se desprende
ha señalado
se
la noción
de
unover
máscomo
esqueelcomo
correspondiente
a
lo
“frecuencial”,
en
el
cual
,
se
puede
la
x
x
es
el
correspondiente
a
lo
“frecuencial”,
en
el
cual
,
se
x
x kk“frecuencial”,
es de
el tales
correspondiente
aesindividuales
loel correspondiente
“frecuencial”,
ena lo
el
cual
, se puede
ver como
la puede
xes,
significados
en el cual,
se
acumulación
de
frecuencias
dadas
por,
,
esto
acumulación
de frecuencias
individuales
dadas por, individuales
, xesto
es,
k
puede ver como
la acumulación
de
acumulación
de frecuencias
individuales
dadas por,
, esto dadas
es, por, x k
nnx k , esto
acumulación
de frecuencias
frecuencias
acumulación de frecuencias
individuales
dadas por,individuales
es,dadas por, n , esto es,
n
n
n
xx11  xx22    xxnn  n xxknk .
esto es,
x

n
x  n x1n x

x n nx . xk x
xk
xnx1 n
xn n
x1k  . 2    xn 
x2 2  nn
k 
1 
.
kx1n

.
x






n
n
n
n

k

1
nn nde
n aritmética
Es precisamente
precisamente aa través
través de
de este
este significado
significado
comonel
el concepto
concepto
de la
la media
media
aritmética
se
k 1 n
n
n
Es
como
se
k

1
Es precisamente
a través
esteensignifi
cado como
elfrecuencias
concepto
la media
Es precisamente
a través
de estedesignificado
como
el las
concepto
decomo
la de
media
aritmética
se
articula
con
la
estadística
descriptiva
relación
a
relativas
y
lade
Es
precisamente
a
través
de
este
significado
el
concepto
la media
articula
con laseestadística
en descriptiva
relación
lasrelación
frecuencias
relativas
y la
Esarticula
precisamente
a través
dedescriptiva
este
significado
como
elaconcepto
de
lalas
media
aritmética
se la
aritmética
articula
con
la
estadística
en
a
frecuencias
con
la
estadística
descriptiva
en
relación
a
las
frecuencias
relativas
y
frecuencia
acumulada,
al
trabajarse
en
términos
de
frecuencias,
como
si
fuese
una
media
conen la
estadística
descriptiva
en relación
a las
frecuencias
frecuencia
acumulada,
alarticula
trabajarse
términos
de frecuencias,
como
fuese
una
media
articula
con
la
estadística
descriptiva
entrabajarse
relación
a las
frecuencias
relativas
la
relativas
yacumulada,
la frecuencia
acumulada,
en
términos
desi frecuencias,
frecuencia
al trabajarse
en al
términos
de frecuencias,
como
si frecuencias,
fuese una ymedia
aritmética
ponderada,
se
tiene,
frecuencia
acumulada,
al
trabajarse
en
términos
de
como
si fu
aritmética
ponderada,
se
tiene,
frecuencia
alsetrabajarse
en términos
de se
frecuencias,
como si fuese una media
como si acumulada,
fuese
una media
aritmética
ponderada,
tiene,
aritmética
ponderada,
tiene,
aritmética
ponderada,
se
tiene,
aritmética ponderada, se tiene,
n
n
x kn f k

n

nx k f k
k 1  x k f k
xk f k
k 1
x


x 
n x f
k 1
x kn1k f1nk k
x n
x 

k
nf k
f
k 1
k 1  k
 fk
f

n
n
k 1k
siendo N
el número
número total
total de
dendatos.
datos. k 1
N   ff kn ,, el
siendo
n k
siendo N
siendo
k 
1  f k ,, el número total de datos.
siendo total
, el número total de datos.
N 
f k datos.
1
siendo
, el número
de
datos.
Nsekpuede

k f1k entonces
La
misma
rescribir
como,
k

1
La misma se puede
entonces rescribir como,
k 1
La misma se puede entonces
rescribir
como,
La misma
se puede
entonces rescribir como,
La misma se puede entonces
rescribir
como,
n
La misma se puede
entonces rescribir como,
n
xkn f k

n

nxk f k
k 1  xk f k
ff11  x ff22 
ff3   x ffnn ,
k 1
x


x
x
fx1 22 fx2 33 x3k fkf
x 

xnfn N , f nf
kx
1k f k x11
f
f
N1
Nxf1 N
Nxf2 k 1N
Nxf33 3x
x 1
N
1Nxfn
2,
n
 x3 3    xn n ,
1 x  x2N
x  kN


,
N  x1 1 N x2x 2 N xN
N
3
n
N N N
N
N
N
N
N
N
k 1
~~
si cada valor
con una
relativa,
si cadafk/N,
valorlofkasociamos
/N, lo asociamos
con frecuencia
una frecuencia
relativa,f k f, se
, setiene
tieneque
que ,,
si cada valor f k /N, lo asociamos con una frecuencia relativa,
k,
se tiene que,
n
n
~ ~
x x
x
k fx
kk fk
k 1 k 1
estade
forma
de promedio,
repercusión
enestructura
la estructura
losvalores
valores esperados
esperados en
esta forma
promedio,
tendrátendrá
repercusión
en la
dedelos
en
esta
forma
de
promedio,
tendrá
repercusión
en
la
estructura
de
los
probabilidad.
probabilidad.
valores esperados en probabilidad.
El valor esperado
El valor esperado
En estadística valor esperado de una variable aleatoria discreta X, está definido como,
En estadística valor esperado de una variable
X, está definido como,
   xk pdiscreta
EXaleatoria
( xk )
402 Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
EX    xxk p( xk )
k
xk
donde p(xk), es la función de densidad de probabilidad
para la correspondiente variable
aleatoria
X,
la
cual
puede
tener
un
número
finito
de
o bien ser infinitos
donde p(xk), es la función de densidad de probabilidad para valores
la correspondiente
variable
p(x ) , sea
cuyo caso
cumplirsefinito
que de xvalores
convergente
para
aleatorianumerables,
X, la cualenpuede
tener debe
un número
o bien
ser infinitos
si cada valor
ffk/N,
lo asociamos
con
frecuencia
tiene
f k ,, se
si cada
valor ~fkrelativa,
/N, lo asociamos
con que
una ,frecuencia relativa, f k
valor
asociamos
con una
una
frecuencia
k/N, lo con
da valorsi fcada
asociamos
una frecuencia
, se tiene fque
, tiene que ,
f k relativa,
k se
k/N, lo
~ relativa,
n
N, lo asociamos con una frecuencia relativa, f k , se tiene~que
,
~
n x k f k ~ relativa, f , se tiene que ,
n
si cada
valor
fk/N, lo asociamos
con unax 
frecuencia

ada valor
fk/N, lo
asociamos
con una frecuencia
relativa,
,
~~ f k , se tiene que
k
~
n
n
k 1 x f
~ xx  
x

xk f k
k
k

x
f
x

x
f
n

k
k
k k
k 1 en la estructura de los valores esperados
k 1
esta forma de promedio, ~tendrárepercusión
en
n1

k nEl
1 caso de la kmedia
x Cálculo
x k promedial.
ftendrá
aritmética
~ estructura

k
~x forma
esta
forma
de
promedio,
repercusión
en
la
de
los
valores
esperados
en
esta
de
promedio,
tendrá
repercusión
en
la
estructura d
probabilidad.
x k la
f kde
estapromedio,
forma de tendrá
promedio,
tendrá
repercusión
en
estructura
de los
valoresen
esperados en
x

k repercusión
1
forma de
enx klaf kestructura
los valores
esperados
probabilidad.
probabilidad.
k 1
probabilidad.
omedio,
tendrá repercusión en la estructura
de losk 1valores esperados en
abilidad.
El
forma
de promedio,
tendrá repercusión
en la de
estructura
de los
valores en
esperados en
Elesperado
valor
esperado
forma esta
de valor
promedio,
tendrá
repercusión
en la estructura
los valores
esperados
El
valor
esperado
El
valor
esperado
probabilidad.
babilidad.
El valor esperado
alor esperado
En estadística valor esperado de una variable aleatoria discreta X, está definido como,
o
En estadística valor esperado de una variable aleatoria discreta X, está definido
En
estadística
valor
de
variable
X,
definido
como,
En
esperado
de una
variable
aleatoria discreta
El
esperado
X discreta
Eestadística
aleatoria
xkvalor
p( xdiscreta
alor esperado
En valor
estadística
valordeesperado
esperado
de una
una
variable
aleatoria
discreta
X, está
está
definido
como,

k ) definido
como,
stadística
valor
esperado
una variable
aleatoria
X,
está
como,
x k x p( x )


E
X



E
X

xk p( xk )


alor esperado de una variable aleatoria
definido
pX( xestá
k)aleatoria
xkk p( xkk como,
)

Ede
X discreta
 variable
xEk X,

xk
xk
En
estadística
valor
esperado
una
discreta
X,
está
definido
como,
donde
p(x
),
es
la
función
de
densidad
de
probabilidad
para
la
correspondiente
variable
estadística valor esperado
variable
discreta
X, está definido como,
k
xk
xk
EXde una
xk p( xk ) aleatoria

donde
p(x
),
es
la
función
de
densidad
de
probabilidad
para
la
correspondiente
variable
donde
p(x
),
es
la
densidad
de probabilidad
para la
aleatoria
la
cual
puede
tener
un
número
finito
de
o bien ser
infinitos
kX,
k


E
X

x
p
( xfunción
) valores


E
X

x
p
(
x
)

x
k
kpara
la
densidad
de
la de
correspondiente
variable
k), es de
de p(xk),donde
es la p(x
función
densidad
probabilidad
la correspondiente
variable para

k probabilidad
kpara
donde
p (función
x k puede
) , k esdede
la
función
de
densidad
de
probabilidad
la
aleatoria
X,
la
cual
tener
un
número
finito
de
valores
o
bien
ser
infinitos
x
aleatoria
X,
la
cual
puede
tener
un
número
finito
de
val
k
x k número que
xokvariable
pbien
( xk ) ,ser
numerables,
en de
cuyo
caso
debe
cumplirse
sea
convergente
para
X,
la
cual
puede
tener
un
finito
de
valores
oinfinitos
bien
ser infinitos

a función
densidad
probabilidad
para
la correspondiente
oria
X,aleatoria
ladecual
puede
tener
un
número
finito
de
valores
correspondiente
variable
aleatoria
X
,
la
cual
puede
tener
un
número
fi
nito
xcuyo
donde
p(x
es
la
función
dedebe
densidad
de probabilidad
la) ,correspondiente
variable
p((xcaso
en
cuyo
caso
cumplirse
que
convergente
para
xk p( xk
numerables,
en ser
debe
cumplirse
que
k xpara
k), un
de
p(xpuede
),
es lacuyo
función
densidad
probabilidad
correspondiente
variable
kinfinitos
knumerables,
cual
tener
número
finito
denitos
valores
bien
xcuyo
xkkcaso
) , sea
numerables,
en de
cuyo
caso
debe
cumplirse
que
sea
convergente
para 
de valores
o bien
serde
infi
numerables,
en
debe
cumplirse que
xopara
xkla) ,
erables,
en
caso
debe
cumplirse
que
sea
para

k pconvergente

k p (finito
x k de
xk
aleatoria
la cual
puede
tener
unfinito
número
valores
o
bien
ser
infinitos
asegurar
laX,puede
existencia
delun
valor
esperado
E(X).
toria
X,
la
cual
tener
número
de
valores
o
bien
ser
infinitos
xk
cuyo caso debe cumplirse que  xk p( xk ) , xksea convergente
para
asegurar
la
existencia
del
valor
esperado
E(X).
asegurar
lapque
existencia
xk pdel
(convergente
xkvalor
) , seaesperado
numerables,
en
cuyo
caso
debe
cumplirse
convergente
x
(
x
)
merables,
en
cuyo
caso
debe
cumplirse
que
,
sea
paraE(X). para

x
asegurar
la
existencia
del
valor
esperado
E(X).
k
urar la existencia del valor esperado E(X).

k
k
x
Por
supuesto
la
función
de
densidad
de
probabilidad
cumple
con
la
condición,
k
xk
encia del valor esperado E(X).
Por
supuesto
la
función
de
densidad
de
probabilidad
cumple
con
la
Por
supuesto
la función
de
densidad
de probabilidad cumple co
asegurar
la
existencia
del
valor
esperado
E(X).
gurar
la
existencia
del
valor
esperado
E(X).
Por
supuesto
la
función
de
densidad
de
probabilidad
cumple
con
la condición,
condición,
sea convergente
asegurar la existencia
esperado
E ((X
(X)
X ).
X)
supuesto la función
de densidad para
de probabilidad
cumple condel
la valor
condición,
p( xk )  1
función de densidad de probabilidad cumple con 
la condición,
x k densidad
Porlasupuesto
la función
dededensidad
de probabilidad
con la condición,
p( x )) cumple
11de
p( xla
Por
supuesto
la
función
decumple
probabilidad
cumple
con
supuesto
función de
densidad
probabilidad
la condición,

k) 1
p( xk ) 
1 p( xkk con


xk
xk
siendo, condición,
xk
p( xk )  1xk

siendo,
siendo,
0<
p(kx)<1.
p
(
x
)

1 p(x

x
k) 1
siendo,
k
do,

k
0<
p(x
)<1.
x
0< p(xk)<1.
k
k
0<xk p(xk)<1.0< p(xk)<1.
siendo,
do,
siendo, 0< p(xk)<1.
De la definición misma no se0<
desprende
fácilmente
p(xk)<1. que el valor esperado es una forma
p(xk)<1.0<
De
la
definición
misma
no
se
desprende
fácilmente
el
valor
es
forma
De
la
definición
misma
no se
fácilmente
de promedio,
sinla
embargo,
semisma
puedeno
interpretar
queque
cada
xesperado
que toma
la
variable
De
definición
seque
desprende
fácilmente
valor
esperado
k desprende
De
la misma
definición
misma
no se
desprende
fácilmente
elvalor
valor
esperado
es una
una
forma que el va
a definición
no
se
desprende
fácilmente
el valorque
esperado
esque
unaelforma
de
promedio,
sin
embargo,
se
puede
interpretar
que
cada
valor
x
que
toma
la
variable
de
promedio,
sin
embargo,
se
puede
interpretar
cada valo
aleatoria
multiplicado
porseque
supuede
correspondiente
valor
de probabilidad
p(x
es aque
k
esesuna
forma
de promedio,
embargo,
se
puede
que
cada
xsu
k) que
promedio,
sin
interpretar
que
valor
toma
la valor
variable
k
mismade
nosin
seembargo,
desprende
fácilmente
elsin
valor
esperado
escada
forma
romedio,
seembargo,
puede
interpretar
que
cada
valor
xkuna
queinterpretar
tomaxklaque
variable
~
aleatoria
es
multiplicado
por
correspondiente
valor
de
p(x
es
aade
su
aleatoria
multiplicado
suuna
correspondiente
valor
k)esque
que
toma
la frecuencia
variable
aleatoria
esffácilmente
multiplicado
por
su
correspondiente
valor
De
launa
definición
misma
no
sesu
desprende
que
elprobabilidad
valor
una
forma
definición
no
se
fácilmente
el
valor
esperado
esesperado
forma
vez
forma
de
relativa
yes
para
asociar
elpor
promedio
es
multiplicado
por
su
correspondiente
valor
de
probabilidad
esmedia
su de prob
nla
embargo,
semisma
puede
interpretar
que
cada
valor
que
toma
la
variable
k) que
k k,de
oria
esaleatoria
multiplicado
por
sudesprende
correspondiente
valor
probabilidad
p(x
a con
su
k) que esp(x
~~xque
~la,lavariable
probabilidad
p
(x
)
que
es
a
su
vez
una
forma
de
frecuencia
relativa
y
para
de
promedio,
sin
embargo,
se
puede
interpretar
que
cada
valor
x
que
toma
~
vez
una
forma
de
frecuencia
relativa
,
y
para
asociar
el
promedio
con
la
media
f
k
vez
una
forma
de
frecuencia
relativa
,
y
para
f
promedio,
sin
embargo,
sesefrecuencia
puede
interpretar
quefk cada
valor
xk que
toma
lacuyo
variable
k valor
k la
tiplicado
por
correspondiente
deyla
probabilidad
p(x
)asociar
que
es
a su
aritmética
todavía
divide
entre
suma
de frecuencias
relativas,
valor
como
es asociar e
vez
una
forma
de
relativa
el
promedio
con
media
una forma
desuasociar
frecuencia
relativa
para
asociar
el kpromedio
con
la entre
media
fsu
k , y para
k , la
el
promedio
con
media
aritmética
todavía
se
divide
la
suma
de
aleatoria
es
multiplicado
por
correspondiente
valor
de
probabilidad
p(x
)
que
es
a
su
~
k
toria
esaritmética
multiplicado
por
su
correspondiente
de todavía
probabilidad
p(xk)entre
que
es
su de
todavía
entre
la aritmética
suma
relativas,
cuyo
valor
como
es
divide
la asuma
frecuencias
rela
sabido
esrelativa
uno,
estofse
es,
de frecuencia
, divide
y lapara
asociar
elvalor
promedio
con sela
media
~ de
aritmética
todavía
divide
entre
suma
de frecuencias
frecuencias
relativas,
como
es
kse
~ relativa
mética
todavía
se
divide
entre
suma
de la
frecuencias
relativas,
cuyo
valor
como
es la
frecuencias
relativas,
cuyo
valor
como
es
sabido
es
uno,
esto cuyo
es, valor
vez
una
forma
de
frecuencia
,
y
para
asociar
el
promedio
con
media
f
sabido
es
uno,
esto
es,
sabido
es
uno,
esto
es,
forma
de
frecuencia
relativa
para asociar
elvalor
promedio
con la media
f k , yrelativas,
k
sabido
eses,
uno,
esto es,
íauna
se uno,
divide
entre
la suma
de
frecuencias
cuyo
como es
do
es
esto
n
n
aritmética
todavía
se
divide
entre
la
suma
de
frecuencias
relativas,
cuyo
~
~
mética
todavía
se
divide
entre
la
suma
de
frecuencias
relativas,
cuyo
valor
comovalor
es como es
sto es,
n xk f k
n xk f k
n
n


n
sabido
uno, esto es,n
n
n
~
~
~
~
do es uno,
estoeses,
n
~x f
k 1x f~ ~
k 1x f~
xk f k
~ x 

k
k
k
k

k
k


x
f
n
x
f
x
f

k
k
~
~
~
x
f
x
f
n
n


k
k
k
k
n
~ k 1
 k kx ~ kkn11 N
k k f  k f1 n  f
~
k 1x
xk f~
 ~ k~1
n21
~~n  
k
k n1 
~~1 k~~
~ 
xk f k x  k n1  ~
xkxfk

x
f
~
~

x
f
n

k
k
~
N
f

f



f
~
N
f

f



fn k

k kn
~
~
~
k 1
1
2
1
2
x
f
x
f
~

f 2 k k
 f n k n1
f k lasf
f kf1f relativas,
k 1
Nkxk1 de
N
fk2 kx
fn 

kx
n1 k
1frecuencias
x  Dado
quela~suma
~
~
~
~

k
k
~
~
~
k 1
1 f frecuencias
1 
x ~k f1n k~relativas,
 .
f1 k
fk +f kx+k ~
fkk +.
Dado que laNsuma
de
las
. +x~
x
f~~
k 1
kf fk k=1
~ ~~
2 
~
~ ~ ~
~
N
f

f


~de
kfrecuencias
1+ f~ =1
~
~fkn+.
N
f

f



f
1 ~ nla
2 suma
~
f
f
Dado
que
la
suma
de
las
frecuencias
relativas,
+
.
.
Dado
que
las
relativas, f k + f k + f k +. .
k f~
1k +
1
2
~
k
k =1
f
f
f
la suma
de las frecuencias
relativas,
+
+
+.
.
.
+
f
f
f
f
o que laDado
sumaque
de las
frecuencias
relativas,
+
+
+.
.
.
+
=1
f
k k k
k
k
~ ~esperado
~ k k ~ k se
tal manerarelativas,
que al valor
f k + f k + f k +.~. también
ma de lasDefrecuencias
. +~ f k =1
~ le~ llama
~ media~ de la distribución de
~
~
f k +.le.fque
falkllama
f kde
Dado
que
la
suma
deallas
frecuencias
+fle
+.valor
. . +media
=1de distribución
De
tal
manera
que
valor
esperado
también
se
media
De
esperado
también
sede
probabilidad,
es
decir,
frelativas,
f k +.
o que la
suma
de
las
frecuencias
relativas,
+ tal
f k +manera
kllama
De
tal
manera
altambién
valor
esperado
también
se
lade
distribución
k también
k =1
De
tal
manera
que
al que
valor
esperado
semedia
le+
llama
media
de la
la distribución
dele llama m
al manera
que
al
valor
esperado
se
le
llama
de
la
distribución
probabilidad,
es
decir,
probabilidad,
es
decir,
de
probabilidad,
es
decir,
probabilidad,
decir, se le llama media de la distribución de
que
al valor
esperadoestambién
abilidad,
es decir,
De tal
queesperado
al valortambién
esperado
lexkllama
de la distribución
de
setambién
leEllama
X  se
p(de
xk ) lamedia
tal
manera
quemanera
al valor
media
distribución
de
decir,
x
probabilidad,
es
decir,




E
X

x
p
(
x
)




E
X

xk p( xk )
k
babilidad, es decir,

xkk p( xkk )
  EX   xEk pX( xk) 

xk
xk
xk
  EX    xk p( xk ) xk




E
X

xk  EX    xk p( xk )  xk p( xk )
xk
xk
Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010
403






  
 

 




La varianza
Carlos Rondero Guerrero
La varianza
La varianza
varianza
La La
varianza
La
varianza
de una variable aleatoria discreta X, la cual como es sabido es una medida
La varianza
La
de una
variable
aleatoria
discreta
X, la cual
como
sabido
una medida
La varianza
varianza
La varianza
una variable
aleatoria
discreta
X,
cualescomo
es es
sabido
es
de
dispersión,
estáde
también
definida
en términos
della
valor
esperado
pero
deuna
losmedida
de
dispersión,
está
también
definida
en
términos
del
valor
esperado
pero
depero
los de los
varianza
una
variable
aleatoria
discreta
X,
la cual
es sabido
es una
medida
La La
varianza
de
una
variable
aleatoria
discreta
X,
cual
como
sabido
es una
medida
de de
dispersión,
está
también
definida
enla
deles valor
esperado
cuadrados
lasde
desviaciones
respecto
a la
media
µ,términos
esto
es, como
cuadrados
lasuna
desviaciones
respecto
a en
la media
µ,
esto
La de
varianza
de
variable
aleatoria
discreta
cual
como
eses,
sabido
espero
una
medida
dispersión,
también
definida
en
términos
del
valor
esperado
pero
de
de
dispersión,
está
también
definida
términos
del
valor
esperado
deuna
los los
La de
varianza
de
una
variable
aleatoria
discreta
X
, es,
la
cual
como
es sabido
es
cuadrados
deestá
las
desviaciones
respecto
aX,
lala
media
µ,
esto
de cuadrados
dispersión,
está
también está
definida
en
términos
valor
esperado
pero de
los
2 media
dede
las
desviaciones
respecto
adefi
la
µ,del
esto
cuadrados
de las
desviaciones
respecto
a
la
media
µ,
esto
es,
2es, del
medida
dispersión,
también
nida
en
términos
valor
esperado
pero
V X   EX   2   ( xk   )2 p( xk ) .
cuadrados
desviaciones
media
µ,
esto
es,
22x
2
de de
loslas
cuadrados
de V
lasrespecto
respecto
a
la
media
µ
,
esto
es,
2
 VEXXala

Xdesviaciones


(


)
p
(
x
)
.
x
k  k
 E2X 2
()x2kpk )(2xkp())x. p)(.xkk ) .
xk
 (
V XVX
 EXEX  
xk (xxxkk
k
k
k
2
2
x k (xxk   ) p( x ) .




V
X

E
X




k
k
Donde se cumple la propiedad,
xk
Donde se
cumple
la propiedad,
Donde
se cumple
la propiedad,
2
2
Donde
se cumple
laVpropiedad,
Donde
se
cumple
la propiedad,
Donde
se cumple
Xlapropiedad,
 EX   2   ( xk2  2 xk  22 ) p( xk ) 
Donde se cumple la propiedad,
22x
V X  VEXX  EX 
(
 2(x x22k 2 )xp(xk) 22) p( x ) 
x
k  k
kk
kk
kk
2 xk
2
2 2
X
 (
xk22 )p2()xpk () xk ) 
xxkkk 2
V X
XV
 EXxE2Xp(x )
xk ( x
( x2xk) 
V
2

x
p


p
(
x
)
2
2
2


k2
xxk
Ex X
kk 2p
)xp( xpk ()2x2kk )
VVXXV
( xkkx)22
2x k(x(
( xxkk )kx p(2x
x)kk x2
x kXxk 2p
p

)k    p( xkk )
k
k
k

k
k
k
x
2
k
2 kkx k 2
xk
k
x
x
 x
x
p
(
x
)

2

x
p
(
x
)


x
x
V XV X
 
p
(
x
)

2

x
p
(
x
)


k
k
k
k
 k k k k 2  p( xpxkxkk() xk )
k
k2 k k
x k xx k p ( x )  2  x k xxk p ( x )   x k xp


V
X

xk )

k
k
 kxk p(kxk ) , se
Como  p( xk )  1 , y el valor esperado es,  
tienek (que,
xesperado
xk
xk
k
p
(
x
)

1


x
p
(
x
)
Como 
,
y
el
valor
es,
,
se
tiene
que,

x
x
k
k
k
k
Como
Como
y el
el valor
valor esperado
esperado es,
es,k    xkk p( xkk ) , se tiene
tiene que,
que,
 p( xkk )  1el,, yvalor
xk
xk
xkp
 x
) , tiene
Como
esperado
se tiene
p( xpxkxkk() xk )1, y1 ,elyvalor
 
) x, kse
Como
esperado
es, es,
que,que,
kk (


k px(kxx
x k xp
x k xx k p ( x ) , 2se tiene que,
Como 
k ( xk )  1 , y el valor esperado es, 2  
V  X   E X  2
EkX  k 2 .
xk
xk E
22 X    .
V X  VEXX2E2
X
 2 EX 2  22 .
2
2
XVX EXE2 X 2 2EXEX  22 . .
La cual se
como, Vcomo,
La puede
cual seexpresar
puede expresar
 X   E X  2 E X    .
La cualLa
se cual
puede
como, Vcomo,
seexpresar
puede expresar
2
se puede
expresar
como,
La La
cualcual
se puede
expresar
como,
V X   E X 2  EX 2  E X 22  22
La cual se puede expresar como,
22
V X  VEXX2EEXX22  
E2EX X E2X 22 2  22
2
2 diferencia
2 la
cuyo significado deviene
a
su
vez
de
entre
dos
valores esperados o
 Eentre
VX
XE2 Xdos
V X
 EXE X EXEX 
2 
cuyo significado
deviene
esperados o
2
2 a su vez de 2la diferencia
2
2
2μ2valores
promedios,
el
de
x
y
el
del
cuadrado
de
μ
,
o
sea,
E
[
X
]
.






V
X

E
X

E
X

E
X


cuyo significado
deviene a su vez
de vez
la diferencia
entre dos valores
esperados
o
cuyoelsignificado
a su
la diferencia
dos valores
esperados
o
promedios,
de X 22 y el deviene
del cuadrado
de  ,de
o sea,
.
E X 22   22entre
22 dos
22valores
22a cuadrado
promedios,
el
de
y
el
del
de
,
o
sea,
.
E
X


X

cuyo
significado
deviene
a
su
vez
de
la
diferencia
entre
esperados
cuyo
significado
deviene
su
vez
de
la
diferencia
entre
dos
valores
esperados
o o
promedios, el de X y el del cuadrado de  , o sea, E2 X 2  .
2
2
2
2
cuyo
significado
su cuadrado
vez de
dos
esperados o
promedios,
el de
ela del
de
o sea,
.
X 
Xycuadrados
o ,sea,
promedios,
de
elydel
cuadrado
de la
. valores
E XEentre
Xdeviene
 ,diferencia
El
método
deelmínimos
2
2
2
El
método
de
promedios,
elmínimos
de de
ycuadrados
el
del cuadrado
de  , o sea, E X   .
X de
Elmétodo
método
mínimos
El
mínimos
cuadrados
Un método
estadístico
donde
secuadrados
muestra el papel relevante del promedio en su
El
método
de
mínimos
cuadrados
El
método
de
mínimos
cuadrados
Un
método
estadístico
donde
se
muestra
el Sepapel
del promedio
su en su
Un métodoesestadístico
donde
se muestra
el relevante
papel
relevante
deldepromedio
conceptualización
el de mínimos
cuadrados.
parte
de la consideración
queendada
El
método
de
mínimos
cuadrados
conceptualización
es
el
de
mínimos
cuadrados.
Se
parte
de
la
consideración
de
que
dada
método
estadístico
donde
papel
relevante
del
en
UnUn
método
estadístico
donde
se yse
muestra
el el
papel
del
en
su
conceptualización
es el
desu
quesudada
una
distribución
deestadístico
puntos,
( xde
), muestra
( xcuadrados.
(papel
x3Se
, relevante
y3parte
),. . de
. (la
xdel
, promedio
yn promedio
), se trata
de
Un método
donde
muestra
el
relevante
promedio
en
1 ,mínimos
1 se
2, y2 ),
nconsideración
una
distribución
de
puntos,
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),.
.
.
(
x
,
y
),
se
trata
de
Un
método
estadístico
donde
se
muestra
el
papel
relevante
del
promedio
en
su
1
1
2
2
3
3
n
n
conceptualización
es
el
de
mínimos
cuadrados.
Se
parte
de
la
consideración
de
que
dada
conceptualización
es
el
de
mínimos
cuadrados.
Se
parte
de
la
consideración
de
que
dada
una
distribución
( x11 a, yla11cuadrados.
), ( x22, yPara
), (parte
x33, se
yde
),.la. consideración
. que
( xnn la, ysuma
trata de
encontrar
una
recta que de
mejor
misma.
ello
de
conceptualización
espuntos,
el se
deajuste
mínimos
de
22 Se
33 busca
nn ), se
encontrar
una
recta
que
mejor
se
ajuste
a
la
misma.
Para
ello
se
busca
que
la
suma
de
conceptualización
es
el
de
mínimos
cuadrados.
Se
parte
de
la
consideración
de
que
dada
una
distribución
de
puntos,
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),.
.
.
(
x
,
y
),
se
trata
de de
una
distribución
de
puntos,
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),.
.
.
(
x
,
y
),
se
trata
de
1
1
2
2
3
3
n
n
1 cada
1 se
2 de 2los
3 (x 3,y
nde
n,y ), L,
encontrar
recta
que de
mejor
ajuste
a(xla
misma.
Para
ello
se
busca
que
la
suma
los cuadrados
de una
las
uno
puntos
a
la
recta
ajuste
sea
un
que dada
unadistancias
distribución
de
puntos,
,y
),
),
(x
,y
),...(x
se
trata
1 1
2 2
3 3
n n
los
cuadrados
de
las
distancias
de
cada
uno
de
los
puntos
a
la
recta
de
ajuste
L,
sea
un
una
distribución
de
puntos,
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),
(
x
,
y
),.
.
.
(
x
,
y
),
se
trata
encontrar
una
recta
que
mejor
se
ajuste
a
la
misma.
Para
ello
se
busca
que
la
suma
de
encontrar
una
recta
que
mejor
se
ajuste
a
la
misma.
Para
ello
se
busca
que
la
suma
de
1
1
2
2
3
3
n
n
de las
de
cada
uno de
puntosPara
a laello,
de
ajuste
L, sea un
de
encontrar
una
recta
que que
mejor
se ajuste
a lalos
misma.
busca
que
mínimo.los
Encuadrados
otra palabras
se distancias
quiere
el promedio
cuadrados
derecta
lassedistancias
2cuadrados
mínimo.
Enuna
otra
palabras
se quiere
que
eldistancias
dePara
los cuadrados
las
distancias
encontrar
recta
que
mejor
ajuste
apromedio
la
misma.
ello
se
busca
queajuste
la
suma
de un
los
de
las
distancias
de
cada
uno
los
puntos
lacuadrados
recta
de
L,
sea
los
de
lasotra
distancias
de
cada
uno
de
los
puntos
ade
laalos
recta
de
ajuste
sea
un
la
suma
de
los
cuadrados
de
las
de
cada
uno
de
losde
puntos
a L,
la
recta
En
palabras
se
quiere
que
elde
promedio
de
las
distancias
(yycuadrados
sea
un
mínimo,
esto
es,se
i )2 ,mínimo.
22 de
(ysea
un
mínimo,
esto
es,
losymínimo.
cuadrados
las
distancias
de
cada
uno
de
los
puntos
a
la
recta
de
ajuste
L,
sea
un
i ) ,(yEn
otra
palabras
se
quiere
que
el
promedio
de
los
cuadrados
de
las
distancias
mínimo.
En
otra
palabras
se
quiere
que
el
promedio
de
los
cuadrados
de
las
distancias
deyajuste
, sea
un mínimo.
En otra palabras se quiere que el promedio de los
mínimo,
esto es,
ii ) , seaLun
2
mínimo.
otraun
palabras
seesto
quiere
quen el) 2promedio
de los cuadrados
(y)En
, sea
mínimo,
(yyi )2y,icuadrados
sea
un
mínimo,
es, es, (y-y
de lasesto
distancias
, sea un2 mínimo,
esto es, de las distancias
n i
(
y

y
)
(y- yi )2, sea un mínimo, esto es,
n
n

i
 y cc()y2  y ) 22

i n1 ( y
ni
 ii cc
i 1
y in(yiii1y1 c )y2 c ) 2
n (

2
i 1 poder
(i y1in yobtener
Esta condición es la que asegura el
la mejor recta de ajuste a la

c) n
Esta
condición
es ladada.
que
eli 1 poder
la mejor
ajuste
la a la
nel nobtener
Esta de
condición
es laasegura
que asegura
poder obtener
la recta
mejor derecta
de aajuste
distribución
datos
distribución
de
datos
dada.
n
condición
es
la
asegura
poder
obtener
mejor
recta
ajuste
EstaEsta
condición
es de
la datos
queque
asegura
el el
poder
obtener
la la
mejor
recta
de de
ajuste
a laa la
distribución
dada.
13 (4-II), Diciembre de 2010
404 Relime,esVol.la
Esta
condición
que
asegura el poder obtener la mejor recta de ajuste a la
distribución
de datos
dada.
distribución
de datos
dada.
distribución de datos dada.



   
  
 
  
 

y
y(x)
y
y(x)
*yn
*yn
*y
3
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
*y3
y2 *
y
y *
y1 la* que aseguray(x)
Esta condición es
el poder2obtener la mejor recta de ajuste a la
y1 *
y
y(x)
distribución de datos dada.
*y
n
x1
x2
x3 . . .
xn
x
*y3 y
x1
x2*yn y(x)x3 . . .
xn
x
y2 *
*y3
*yn
y1 *
y2 *
Figura 8.*y3
Figura 8.
y1 *
y2 *
y
*
x
x
x
.
.
.
x
x
1
3
n
La idea 1central2 que subyace
en el método
de mínimos cuadrados es de poder encontrar
querecta
subyace
elx método
cuadradosa es
x1 central
x2 la
x3 que
. . . en
x de mínimos
la recta de ajuste, La
enidea
este
caso
mejor
se aproxime
en promedio
la de pod
x1
x2
x3 . . . nxn
x
la
recta
de
ajuste,
en
este
caso
la
recta
que
mejor
se
aproxime
distribución de puntos dada. Nótese que mientras la distribución de puntos es discreta, en pro
Figura
8.
distribución
de continua
puntos dada.
la función lineal que
se busca
es
de laNótese
forma que
y =mientras
f(x)= a xla+distribución
b. Es decirde
si puntos
Figura
8.8. es continua de la forma y = f(x)= a x + b.
Figura
la
función
lineal
que
se
busca
Figurapara
8. obtener los parámetros, pendiente de la
podemos dar un procedimiento de cálculo
ea central que
en el método
dedar
mínimos
cuadrados
esdedecálculo
poder
encontrar
podemos
un
procedimiento
para
obtener
los
parámetros,
pen
rectasubyace
a, y ordenada
al
origen
b,
se
tiene
bien
dicha
recta
de ajuste,
lo que
La idea
central que
subyace
en el método
de
mínimosde
cuadrados
es decuadrados
poder
encontrar
La idea
central
que
subyace
en eldeterminada
método
mínimos
es
ta de ajuste,
en
este
caso
la
recta
que
mejor
se
aproxime
en
promedio
aenla
recta
a,
y
ordenada
al
origen
b,
se
tiene
bien
determinada
dicha
recta
de
aj
La idea
central
que
subyace
en
el
método
de
mínimos
cuadrados
es
de
poder
encontrar
la
recta
de
ajuste,
en
este
caso
la
recta
que
mejor
se
aproxime
promedio
a
la
posibilita
el
realizar
cálculos
que
permiten
predecir
el
valor
de
la
variable
y.
de poder encontrar la recta de ajuste, en este caso la recta que mejor se
ución de puntos
dada.
Nótese
que
mientras
la
distribución
depermiten
puntos
esmínima
discreta,
distribución
de
puntos
dada.
Nótese
que
mientras
la distribución
de puntos
es
discreta,
posibilita
el
realizar
cálculos
que
predecir
el
valor
de
la
variable
y.
la parte
recta
de
ajuste,
en
este
caso
la
recta
que
mejor
se
aproxime
en
promedio
a
la
Se
de
la
consideración
de
que
se
requiere
que
sea
la
suma
de
los
aproxime la
enfunción
promedio
aque
la se
distribución
de puntos
dada.
Nótese
que b.
mientras
la
lineal
es ycontinua
dede
la
yse=Es
f(x)=
adex +
Es sea
decir
si
ción linealcuadrados
quedistribución
se busca
espuntos
continua
de
lalabusca
forma
= f(x)=
alayforma
xque
+
decir
sique
Se
parte
dediscreta,
consideración
requiere
mínima
la su
distribución
dada.
Nótese
que
mientras
distribución
espara
discreta,
de de
las
distancias
entre
los
puntos
dados
losb.
calculados,
de
puntos
la
función
lineal
que
separámetros,
busca
espuntos
continua
podemos
dar un es
procedimiento
de cálculo
para
obtener
lospuntos
pendiente
de de
la así
mos dar unpoder
procedimiento
de
cálculo
para
obtener
los
parámetros,
pendiente
de
la
cuadrados
de
las
distancias
entre
los
puntos
dados
y
los
puntos
calculad
la función
lineal
que
se
busca
es
continua
de
la
forma
y
=
f(x)=
a
x
+
b.
Es
decir
si
quea, se
tiene .laalEsorigen
mejor
debien
ajuste.
La procedimiento
condición
antes
se
recta
y ordenada
se podemos
tiene
determinada
dicha recta de
ajuste,
lo que
laasegurar
forma y=f(x)=ax+b
decir,b,recta
si
dar un
de indicada
cálculo
a, y ordenada
al
origen
seprocedimiento
tiene
bien
determinada
dicha
recta
ajuste,
lovalor
quey.almínimo,
poder
asegurar
que
tiene
la
mejor
recta
ajuste.
La condición
podemos
darb,
un
dependiente
cálculo
para
obtener
parámetros,
pendiente
posibilita
el términos
realizar
cálculos
quese
permiten
elde
valor
lade
variable
puede
expresar
sólo
enparámetros,
de
que
la
suma
siguiente,
un
para
obtener
los
depredecir
la
recta
alos
,tome
yde
ordenada
origen
b, de la antes
Se permiten
parte
laexpresar
consideración
deenque
sela
requiere
quey.sea
mínima
la suma
detome
loslo
lita el realizar
cálculos
que
predecir
eltiene
valor
de
variable
puede
términos
de que
ladicha
suma
siguiente,
unque
valor mí
recta
y ordenada
aldeorigen
b,dicha
sesólo
bien
determinada
recta
de
sea,tiene
bien
determinada
recta
de
ajuste,
lo los
que
posibilita
el ajuste,
realizar
cuadrados
deselasrequiere
distancias que
entre sea
los puntos
dadoslay suma
puntos
calculados,
para así
rte de la consideración
de
que
mínima
de
los
n
posibilita
el
realizar
cálculos
que
permiten
predecir
el
valor
de
la
variable
y.
cálculos que
permiten
predecir
la2 de
variable
y. condición antes indicada se
poder
asegurar que
se tieneellavalor
mejorde
recta
ajuste. La
yse
puntos
ylac )suma
ados de lasSe
distancias
los
puntos
dados
y (de
los
calculados,
para
asímínimo,
parte deentre
la consideración
de
que
requiere
quen sea
mínima
la suma de los

i que
puede
expresar
sólo
en
términos
siguiente,
tome
un valor
2
Se parte de la consideracióni 1de que se requiere que
sea
la suma de
( yindicada
 ymínima

i puntos
c ) calculados,
asegurar que
se tienedelalas
mejor
recta de
ajuste.
La condición
antes
se
cuadrados
distancias
entre
los
puntos
dados
y
los
para así
los cuadrados de las distancias entre los
puntos dados
i 1 y los puntos calculados,
n
expresar sólo
en
términos
de
que
la
suma
siguiente,
tome
un
valor
mínimo,
2
poder
asegurar
que
se tiene
mejor
recta
ajuste.
La condición
antes indicada
se
( yde
yc )
para
así poder
asegurar
quelase
tiene
la 
mejor
de
La
condición
antes
i  recta
Las
ecuaciones
correspondientes
que
permiten
calcular
de ajuste.
manera
elemental,
los
valores
i suma
1
puede
expresar
sólo
en
términos
de
que
la
siguiente,
tome
un
valor
mínimo,
expresar sólo
en términos de que
que permiten
la suma siguiente,
un elemental
Lasn ecuaciones
correspondientes
calcular detome
manera
de a yindicada
b son: se puede
2
valor mínimo,
Las ecuaciones
que
permiten
calcular
de
manera
elemental,
los
valores
de
a (yybi correspondientes
son:
 yc )
n
de a y b ison:
1
n
( yi  ny c ) 2

n
a  xi 
nb
i 1 n   yi n n
a

yi
i 1
1  
ade
xi  inb
yi xi  nblos
uaciones correspondientes
que
permiten
calcular
manera
elemental,
valores

Las ecuaciones correspondientes
quei 1 permiten
calcular
de manera
i 1
i 1
i 1
b son:
Las elemental,
ecuacioneslos
correspondientes
permiten calcular de manera elemental, los valores
valores de a y bque
son:
2
de a y b son:
n
n2
n
n
n
n
n
na
n yx 2y
n
n
xi ab

xi xib
xi  x


i ii i
i 1 i 1
i 1x
a  xi  nb   yi i1n

b
x

xi yi
1
ni 1 i a


i
i
i 1
i 1
i 1
i 1
a  xi  nb   yi i 1
Resolviendo el sistema, eli valor
de a que es
1
i 1la pendiente de la recta de regresión queda
Resolviendo
elexpresado
sistema,como,
valor de el
a que
es de
la pendiente
la recta dede
regresión
Resolviendo
elelsistema,
valor
a que es ladependiente
la rectaqueda
de
2
n Resolviendo
n
n
el
sistema,
el valor de a que es la pendiente de la recta de regres
expresado
como,
regresión
queda
expresado
como,
n
n
n
a expresado
xi  b xcomo,
2i
i  
n xi y
n
n
xi yi   xi  yi

i 1
i 1
i 1
a  xni abi
xi i 
n
1 n
1
ix
1i yi
2
i 1
n
n
xi yi i 1n2xi 
i n1 yi  n

n
x

x




i
i
x
y

x
i

1
i

1
i

1

i  yi
viendo el sistema, el valor de a que es la pendiente
de lai 1recta de
a
i 1 regresión
 i i queda
2 i 1
i 1
n
n
a de la recta dei 1regresión

sado como, Resolviendo el sistema, el valor de a que es
2
queda
2
n
n xi la pendiente
xi 

 n 
2
expresado como,
i 1
 i 1  n xi    xi 
n
n
n
i 1
 i 1 
xi yi   xi  yni

n
n
i 1
i 1
xi yi   xi Relime,
yi Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010 405
a  i 1

2
n
n
i

1
i

1
i

1


2
2
n xi   axi  n
n
i 1
 i 1  n x 2   x 

i
i
i 1
 i 1 
Y la ordenada al origen b,
n
YY
la la
ordenada
al al
origen
b, b, b 
ordenada
origen
n
 y x
i 1
i
i 1
i
2
n
n
  xi  xi yi
i 1
i 1Carlos
2
Rondero Guerrero
n
 n 
2
n xi    xi 
n n i 1 n n
n
n n
2 2 i 1 n 
y
x

x
xi yxii yi
yi i xi 
 i 
xi 

 i
i 1i 1 i 1i 1
i 1i 1 i 1i 1
b
b  estasn mismasnexpresiones
Realizando operaciones algebraicas,
se pueden representar en
2
n 2
  n  2
2
xi xi 
términos de medias aritméticas x y y nde
laxiforma,
n
xi 


i 1i 1
 i1i 1 n 
n
n
1
2
x
y

x
y
y
x

x
xi yi
1 i i


i
n i algebraicas,
i 1
ise
1 pueden
Realizando
operaciones
algebraicas,
estas
mismas
expresiones
serepresentar
pueden
Realizando
operaciones
estas
mismas
expresiones
enen
_
_
Realizando operaciones
algebraicas, estas mismas
se pueden
representar
a
b  expresiones
n
1 n de
2
2
representar
en
términos
aritméticas
x
y
y
de
2 medias
2 la forma,
términos
dede
medias
aritméticas
términos
medias
aritméticas
forma,  xi  n x
 xi  xx yx yy ydedela laforma,
n i n1 n
n n
in1 n
11
2 2
x
y

x
y
y
x

x
xi yxii yi
|
x
y

x
y
y
x

x



i
i
i
 i i 1
n  i i
i 1i 1
i 1
a a  ni 1ni 1
b
b n n
1 1 ncentrados
2 2
2 2 2 2 en el origen, se tiene
2 2
En el caso de los datos estén
aritmética de
x

x
xi xque
 n xla media
x

x


i


i
i  nx
n
in1i 1
i

1
los datos dados x i es nula, esto es, x =0, lo cual hace quei 1se simplifiquen los cálculos
| |
para
encontrar
pendiente
y la ordenada
al origen en
b, que
resulta ser
a su vez
media
En ellacaso
de losadatos
estén centrados
el origen,
se tiene
quela la
Y la ordenada al origen b,
_
media de
aritmética
de de
los ydatos
dados es nula, esto es, x = 0 , lo cual hace que se
aritmética
i ,centrados en el origen, se tiene que la media aritmética de
EnEn
el el
caso
delos
losvalores
caso
de
losdatos
datosestén
estén
centrados en el origen, se tiene que la media aritmética de
simplifiquen los cálculos para encontrar la pendiente a y la ordenada al origen b,
x =0,
loslos
datos
dados
es, aritmética
hace
que
losloscálculos
x i axes
que
resulta
ser
sunula,
vez laesto
media
de
los
valores
dse
esimplifiquen
ysimplifiquen
,
x =0,lolocual
datos
dados
cual
hace
quesede
cálculos
i
i es nula, esto es,
para
encontrar
la la
pendiente
ordenada
al al
origen
b, b,
que
resulta
serser
a su
vez
la la
media
n a y
n que
para
encontrar
pendiente
a la
y la
ordenada
origen
resulta
a su
vez
media
2
x
y
y
x
aritmética
de
los
valores
de
,
y


i
i
i
aritmética de los valores de i y i ,
a  i n1
b  ni 1
y
2
2
 xi
 xi
i 1 n n
2 2
i i
Es de hacerse notar
i 1i 1que en todo el tratamientoi 1del
i 1 método de mínimos
n n
n
cuadrados, aparece como
un
y que juega
2 2 argumento recurrente eln promedio
2 2
i i
i i mismo método.
diferentes roles en lo que corresponde
a la sustentación del
i 1i 1
i 1i 1
i n1 n
xi yxii yi
y
xx
y
a a 
b
 y y
b
Es de hacerse notar que en todo
el tratamiento del método
de mínimos cuadrados,
x
x
x
recurrente
 x
aparece como un argumento 
el promedio y quejuega diferentes roles en lo
En esteaúltimo
contexto del
trabajado,
se ha tratado de mostrar la necesidad
que corresponde
la sustentación
mismo método.
de
remarcar
el
valor
conceptual
del
constructo
media aritmética,
En este último contexto trabajado, se ha tratado de teórico
mostrar de
la la
necesidad
de remarcar el
siendo
este
uno
de
los
más
relevantes
en
la
Didáctica
de
la
Estadística.
valor
del
constructo
teórico
de
la
media
aritmética,
siendo
este
uno
de los
EsEsdeconceptual
hacerse
notar
que
en
todo
el
tratamiento
del
método
de
mínimos
cuadrados,
desupuesto,
hacerse notar
que
todo elrealizar
tratamiento
del
método de
mínimos
cuadrados,
Por
esto
no esende
posible
sinosupuesto,
se explicita
la es
articulación
más
relevantes
en
la
Didáctica
la
Estadística.
Por
esto
no
posible
realizar
aparece
como
un
argumento
recurrente
el
promedio
y
que
juega
diferentes
roles
aparece
comodeun
argumento
recurrente
el promedio
y que juega
diferentes rolesenenlolo
conceptual
tipo
transversal,
con algunos
de los contextos
y representaciones
sino
se
explicita
la
articulación
conceptual
de
tipo
transversal,
con
algunos de los
que
corresponde
a
la
sustentación
del
mismo
método.
que
corresponde
a la corresponden
sustentación del
mismo método.
aquí
tratados y que
precisamente
al Cálculo Promedial.
contextos
y
representaciones
aquí
tratados
y
que
corresponden
precisamente
alremarcar
Cálculoel el
EnEneste
último
contexto
trabajado,
se
ha
tratado
de
mostrar
la
necesidad
este último contexto trabajado, se ha tratado de mostrar la necesidaddederemarcar
Promedial.
valor
valorconceptual
conceptualdeldelconstructo
constructoteórico
teóricodedela lamedia
mediaaritmética,
aritmética,siendo
siendoeste
esteuno
unodedeloslos
más
relevantes
enen
la la
Didáctica
dede
la la
Estadística.
Por
supuesto,
esto
nono
eses
posible
realizar
más
relevantes
Didáctica
Estadística.
Por
supuesto,
esto
posible
realizar
Conclusiones
3sese
sino
explicita
Conclusiones
sino
explicitala laarticulación
articulaciónconceptual
conceptualdedetipo
tipotransversal,
transversal,con
conalgunos
algunosdedeloslos
contextos
contextosy representaciones
y representacionesaquí
aquítratados
tratadosy yque
quecorresponden
correspondenprecisamente
precisamenteal alCálculo
Cálculo
El
de
resaltarse
el
constructo
epistemológico
del
exceso
y
el
defecto,
el
cual
como
se
ha
Promedial.
Promedial.
Es de resaltarse el constructo epistemológico del exceso y el defecto, el cual
evidenciado tiene un papel protagónico en diferentes escenarios matemáticos.
como se ha evidenciado tiene un papel protagónico en diferentes escenarios
Conclusiones
Conclusiones
matemáticos.
Se ha mostrado como es que el exceso y el defecto actúa como un invariante
epistemológico,
en(4-II),
elDiciembre
sentido
de que se del
adapta
a y los
diferentes
contextos
y ha
ElEl
de
resaltarse
el
constructo
epistemológico
el
defecto,
el el
cual
como
sese
ha
de
resaltarse
constructo
epistemológico
delexceso
exceso
y el
defecto,
cual
como
Relime, Vol. 13el
de 2010
406
evidenciado
tiene
un
papel
protagónico
en
diferentes
escenarios
matemáticos.
evidenciado tiene un papel protagónico en diferentes escenarios matemáticos.
SeSehahamostrado
mostradocomo
comoesesque
que el elexceso
excesoy yel eldefecto
defectoactúa
actúacomo
comoununinvariante
invariante
epistemológico,
epistemológico,enenel elsentido
sentidodedeque
queseseadapta
adaptaa aloslosdiferentes
diferentescontextos
contextosy y
Cálculo promedial. El caso de la media aritmética
Se ha mostrado cómo es que el exceso y el defecto actúa como un invariante
epistemológico, en el sentido de que se adapta a los diferentes contextos y
representaciones donde aparece bien sea como elemento constructor o eje de
articulación conceptual.
La media aritmética como prototipo de un concepto de promedio, aparece
de manera preponderante cuando se pretenden construir saberes matemáticos.
Se ha presentado la forma en que articula conceptos de la matemática elemental
con otros de la matemática avanzada.
La noción de promediación, identificada como una idea germinal, resulta
ser de gran importancia conceptual y es posible su rescate epistemológico como
en parte aquí ha sido evidenciado para la didáctica de la matemática.
En referencia a la articulación de saberes, la media aritmética queda
evidenciada como un eje de articulación conceptual, entre los pensamientos
numérico, geométrico y algebraico, además del variacional.
El Cálculo Promedial, tiene una fuerte presencia en la matemática y es
el referido a las formas en que aparecen los diferentes tipos de promedio. Por
supuesto, se requiere explicitarlo en la matemática escolar, aquí se ha presentado
el caso relevante de la media aritmética.
Por medio de los diferentes elementos conceptuales aquí mostrados, es
posible realizar el diseño de situaciones de aprendizaje tanto para estudiantes,
como para la formación didáctica de profesores de matemáticas, particularmente
de secundaria y bachillerato.
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Didáctico. México:
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Autor:
Carlos Rondero Guerrero.
Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de
Hidalgo-México.
[email protected] y [email protected]
408
Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010