E. E. INDUSTRIAL
CÁLCULO I
CURSO 2025-26
BOLETÍN 1
(1) Demostrar que para todo número natural n ≥ 1 se cumple:
| sen(nx)| ≤ n| sen(x)| y
n
X
k! k = (n + 1)! − 1
k=1
(2) Demostrar que para todo número natural n ≥ 1 se cumple:
n
X
j=1
n
1
=
,
j(j + 1)
n+1
n
X
j=1
j=
n(n + 1)
2
y
n
X
j=1
j2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(3) Sea r un número real, r ̸= 1. Demostrar que para todo número natural n ≥ 1 se
cumple:
1 − rn+1
1 + r + r2 + · · · + rn =
.
1−r
a
c
a
a+c
c
≤ entonces ≤
≤ ,
b
d
b
b+d
d
y que si se verifica una igualdad, se verifican todas.
(4) Demostrar que si b y d son números positivos y
(5) Para cada uno de los siguientes conjuntos de números reales decir si tiene
máximo, mı́nimo, supremo e ı́nfimo, y en caso afirmativo indicar su valor:
A = {x ∈ R | (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) < 0; a < b < c < d} ,
B = x ∈ R | 3x2 − 10x + 3 < 0 .
(6) Para cada una de las siguientes relaciones describir gráficamente el correspondiente conjunto de números reales que la verifican:
1
1
+
> 0,
x2 − 2x + 2 > 0,
x2 − x + 10 ≥ 16,
x 1−x
7 − 3x
|2x + 1| > 5,
< 5,
|2 − x2 | < 1,
2
|x + 2| − |x − 4| < 1,
1
1
< 0,
+
x2 2x + 1
|x| + |x − 1| = 1,
x2 − x − 1 < 5,
x−2
≤ 0,
x+3
|x(x − 2)| = 1,
x2 + 2x + 4 > 0,
x+1
< 1,
x+2
√
x − x = 2,
x + |x − 2| ≤ 2,
|x + 1|x ≥ 1,
|x + 1| − |x − 1| > 0,
|3 − 2x| < x + 4,
|x(1 − x)| < 1/2.
(x + 1)(x − 2) ≤ 0,
1
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CÁLCULO I
CURSO 2025-26
2
n
o
x
(7) Sea A = x ∈ (−∞, 0)/ exe−1 ≤ 1
(a) ¿Está acotado superior y/o inferiormente?
(b) Calcule, si existen, su supremo, su ı́nfimo, su máximo y su mı́nimo.
(8) Dado el subconjunto de R2
A = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 4},
hallar su interior y frontera. Determinar si este conjunto es abierto o cerrado.
(9) Dado el subconjunto de R2
B = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ 4},
hallar su interior y frontera. Determinar si este conjunto es abierto o cerrado.
¿Es compacto?
(10) Determina si son abiertos, cerrados o compactos los siguientes subconjuntos de
R2 :
• C = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x}.
• D = {(x, y) ∈ R2 : x2 − 2y ≤ 1 , x2 + y 2 ≤ 1}.
(11) Dado el subconjunto de R3
E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 2 , 0 ≤ z < 2}.
Determinar si este conjunto es compacto.
0
