Boletín 1. Probabilidad - Universidad de Vigo

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Departamento de
Estatı́stica e IO
Estatı́stica. Curso 2025-2026
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Boletı́n 1. Probabilidad
Ejercicio 1 Sean A, B y C tres sucesos cualesquiera. Forma los siguientes sucesos: a) no ocurre A; b) ocurre
A u ocurre B; c) ocurren A y B; d) ocurren A y B, pero no C; e) ocurre al menos uno de los tres; f) ocurren al
menos dos; g) no ocurre ninguno; h) ocurre uno sólo de los tres. i) Determina la relación entre los sucesos A y
B si siempre que ocurre A, ocurre B.
Ejercicio 2 Sean A, B, y C tres sucesos tales que P (A) = 0.4, P (B) = 0.2, P (C) = 0.3, P (A ∩ B) = 0.1 y
(A∪B)∩C = ∅. Apoyándose en un diagrama de Venn de los sucesos, calcula las probabilidades de los siguientes
sucesos: a) solamente ocurre A; b) los tres sucesos ocurren; c) ocurren A y B, pero no C; d) ocurren dos y no
más; e) por lo menos ocurren dos; f) no ocurren más de dos; g) ocurre por lo menos uno; h) ocurre sólo uno; i)
no ocurre ninguno. Rtdos: a) 0.3; b) 0; c) 0.1; d) 0.1; e) 0.1; f) 1; g) 0.8; h) 0.7; i) 0.2
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. a)
Ejercicio 3 Sea Ω espacio muestral y dos sucesos A, B, tales que P (A) = 14 , P (B) = 25 y P (A ∩ B) = 20
Averigua si A ∪ B = Ω; b) ¿Son A y B incompatibles? c) ¿Son A y B independientes? d) Calcula: P (A ∩ B̄),
P (A ∪ B̄), P (A 4 B), P (Ā 4 B). Rtdos: a) no; b) no; c) no; d) 0.1, 0.75, 0.35, 0.65
Ejercicio 4 Cuál es la probabilidad de que un mecanismo no presente averı́a alguna en un perı́odo de tres
años si la probabilidad de que en un año se averı́e es 0.20? (se supone independencia en los años: por ejemplo,
si el mecanismo se averı́a es reparado perfectamente). Rtdo: 0.512
Ejercicio 5 Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 0.3 y P (B) = 0.5. Determina la probabilidad de los
siguientes sucesos: ocurren A y B; o bien ocurre A o bien ocurre B; ocurre A pero no B; en cada una de las
dos siguientes circunstancias: a) los sucesos A y B son incompatibles; b) los sucesos A y B son independientes.
Rtdos: a) 0, 0.8, 0.3; b) 0.15, 0.5, 0.15
Ejercicio 6 En una empresa, el 30% de los vendedores presenta un alto número de ventas semanales, el
50% presenta un numero moderado de ventas semanales, y el 20% restante presenta un número de ventas
semanales bajo. La dirección de la empresa quiere conocer la capacidad de un test para predecir la eficacia
de los vendedores. Con este objetivo, observó que el test fué superado por el 60% de los vendedores que más
vendı́an, por el 25% de los que vendı́an de manera moderada y por el 5% de los que vendı́an poco. a) Calcula
la probabilidad de que un vendedor escogido al azar supere dicho test. b) Si un vendedor supera el test, ¿cuál
es la probabilidad de que presente un volumen alto de ventas? Rtdos: a) 0.315; b) 0.571
Ejercicio 7 Un test detecta la presencia de un error milimétrico en una máquina (es decir, da positivo) con
probabilidad 0.9 en caso de que lo tenga. Si no lo tiene, el test da negativo con probabilidad 0.8. Sabiendo que
la probabilidad de que una máquina tenga error es 0.2, calcula las siguientes probabilidades: a) La máquina
tenga error cuando el test ha dado positivo. b) La máquina tenga error cuando el test ha dado negativo. c) La
máquina tenga error y el test sea positivo. d) La máquina tenga error o el test sea positivo. Rtdos: a) 0.5294;
b) 0.0303; c) 0.18; d) 0.36
Ejercicio 8 Un sistema se compone de tres componentes a, b y c, y se sabe que: 1) si a falla, entonces falla
b, 2) si b falla, nunca falla c y 3) el sistema falla cuando falla alguno de sus componentes. Si las probabilidades
de fallo de a, b y c son 2%, 5% y 3% respectivamente, determina: a) la probabilidad de que falle el sistema,
representando gráficamente los sucesos involucrados; b) la probabilidad de que el sistema funcione (fiabilidad);
c) la probabilidad de que falle el sistema si se consigue que no falle a. Rtdos: a) 0.08; b) 0.92; c) 0.0612
Ejercicio 9 Una fábrica tiene dos máquinas m1 y m2 para producir ciertas piezas. Se sabe que la máquina
m1 , que produce 1000 piezas por hora, origina un 5 por mil de piezas defectuosas. Por otra parte, la máquina
m2 , que produce 2000 piezas por hora, origina un 3 por mil de piezas defectuosas. Tras incorporar una máquina
m3 , que produce 2000 piezas por hora, la empresa constata que la proporción de piezas defectuosas en el total
de la producción es de 4 por mil. a) ¿Qué proporción de piezas defectuosas produce la máquina m3 ? b) Si se
selecciona una pieza al azar y no es pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la
máquina m1 o en la máquina m2 ? Rtdos: a) 0.0045; b) 0.6002
Ejercicio 10 Una consultora opta a realizar tres proyectos (a, b y c). Las probabilidades de que le asignen
cada uno de los proyectos a, b y c son 0.22, 0.25 y 0.28 respectivamente. La probabilidad de que le concedan los
proyectos a y b simultáneamente es 0.11, y la probabilidad de que le concedan los proyectos a y c simultáneamente
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es 0.05. Además, si le han concedido el proyecto c, la probabilidad de que le concedan el proyecto b es 0.25.
Finalmente, la probabilidad de que le concedan el proyecto a si le han concedido los otros dos es 0.2857. Calcula
la probabilidad de que le concedan: a) el proyecto b o el proyecto c; b) los tres proyectos; c) algún proyecto.
Rtdos: a) 0.46; b) 0.02; c) 0.54
Ejercicio 11 Un sistema eléctrico tiene una entrada y una salida conectadas entre si por tres circuitos en
paralelo, tal como se ilustra en la figura. El primer circuito tiene un relé (R1 ) que falla con probabilidad 0.1;
el segundo circuito tiene dos relés en serie (R2 , R3 ) que fallan con probabilidad 0.2 y 0.3, respectivamente; y
el tercer circuito posee un relé (R4 ) que falla con probabilidad 0.4. El sistema funciona siempre que una señal
de entrada salga del sistema utilizando alguno de los circuitos anteriores. Todos los relés funcionan de manera
independiente. se pide: a) la probabilidad de que falle el segundo circuito; b) la probabilidad de que falle el
sistema; c) la probabilidad de que falle el sistema si se garantiza que el relé R3 del segundo circuito funciona.
Rtdos: a) 0.44; b) 0.0176; c) 0.008
R1
entrada
R2
R3
saída
R4
Ejercicio 12 Un programa de control de calidad en una lı́nea de montaje de botellas de plástico implica
inspeccionar las botellas terminadas para detectar fallos, como por ejemplo huecos microscópicos. La proporción
de botellas que tienen algún fallo es en realidad sólo 0.007. Si una botella tiene algún fallo, entonces la
probabilidad de que no supere la inspección es de 0.98. Por otra parte, si una botella no tiene ningún fallo,
entonces pasará la inspección con probabilidad 0.96. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella elegida al
azar no pase la inspección? b) ¿Son independientes los sucesos “una botella tiene algún fallo” y “una botella
supera la inspección”? c) Si una botella superó la inspección, ¿podemos estar seguros de que no tiene ningún
fallo? Calcula la probabilidad correspondiente. Rtdos: a) 0.04658; b) no; c) no, 0.9998532
Ejercicio 13 En una fábrica de componentes electrónicas, cuando el proceso de fabricación está bajo control
se producen el 1% de unidades defectuosas. Por otra parte, si el proceso de fabricación se encuentra fuera de
control, entonces se producen un 5% de unidades defectuosas. Por experiencia se sabe que el 95% de las veces el
proceso está bajo control. a) Si se escoge una unidad y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el proceso
esté bajo control? b) Se han escogido 10 unidades y ninguna de ellas es defectuosa. Suponiendo que el proceso
de fabricación no tuvo un cambio de estado (control/no control) durante la fabricación de estas 10 piezas, ¿cuál
es la probabilidad de que el proceso esté bajo control? Rtdos: a) 0.7916; b) 0.9663
Ejercicio 14 Una empresa del ramo alimentario elabora y envasa sus productos en tres factorı́as: f1 , f2 y f3 .
El 50% de la producción se realiza en la factorı́a f1 , el 30% se realiza en la factorı́a f2 y el resto en la factorı́a
f3 . Además se sabe que el porcentaje de productos envasados incorrectamente en cada factorı́a es del 1.5%, 2%
y 7%, respectivamente. a) Seleccionado un producto de la empresa al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté
envasado correctamente? b) Si se selecciona un producto envasado incorrectamente, ¿cuál es la probabilidad de
que haya sido envasado en las factorı́as f1 o f2 ? c) Seleccionado un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que esté envasado correctamente y que no haya sido envasado en la factorı́a f1 ? Rtdos: a) 0.9725; b) 0.4909;
c) 0.48.
Ejercicio 15 Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres proveedores: el 55% de
las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuosas el 2%, el segundo proveedor suministra el
20% de las piezas y de ellas son defectuosas el 3%. Las restantes piezas provienen del tercer proveedor siendo
defectuosas el 1%. a) ¿Cuál es la proporción de piezas defectuosas? b) En un control de recepción de artı́culos
se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcula la probabilidad de que no la haya suministrado el
segundo proveedor. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea defectuosa y haya
sido comprada al primer proveedor? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea no
defectuosa o no haya sido comprada al primer proveedor? Rtdos: a) 0.0195 ; b) 0.6923; c) 0.011; d) 0.989.
Ejercicio 16 Una empresa del sector TIC trabaja con tres compañı́as proveedoras de servicios Cloud, de tal
forma que el 30% del tiempo utiliza los servicios de la compañı́a Alfa, el 60% los servicios de la compañı́a Beta,
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y el resto del tiempo la infraestructura de la compañı́a Delta. Se sabe que cuando selecciona la compañı́a Alfa,
la probabilidad de que no se pueda establecer comunicación, por averı́as o saturación, es de 0.002, al seleccionar
la compañı́a Beta esta probabilidad es de 0.001, y con la compañı́a Delta es de 0.005. a) Calcula la probabilidad
de que no se pueda establecer comunicación. b) Supongamos que un empleado selecciona al azar una compañı́a
y no se puede realizar la comunicación. ¿Cuál es la probabilidad de que se hubiese seleccionado la compañı́a
Alfa o la Delta? c) ¿Cuál es la probabilidad del suceso: que se utilicen los servicios de la compañı́a Alfa o se
pueda establecer la comunicación? Rtdos: a) 0.0017; b) 0.647; c) 0.9989.
Ejercicio 17 Se sabe que dentro de un recipiente una partı́cula inobservable sigue una de tres trayectorias
posibles hasta que choca con un detector. Las probabilidades de que la partı́cula siga cada una de las trayectorias
Ti , i = 1, 2, 3, son 0.1, 0.6 y 0.3, respectivamente. La mejor forma que se conoce de predecir la trayectoria seguida
por la partı́cula es determinar si dicha partı́cula presenta una propiedad observable A, cuya probabilidad de
ocurrencia depende de la trayectoria seguida por la partı́cula, siendo dicha probabilidad: 0.2, 0.5 y 0.6 para
cada una de las trayectorias Ti , i = 1, 2, 3, respectivamente. a) Determine la probabilidad de que la partı́cula
una vez detectada, presente la propiedad A. b) Si la partı́cula presenta la propiedad A, determine la trayectoria
que más probablemente ha seguido, justificando numéricamente la respuesta. c) Determine la probabilidad de
que la partı́cula siga la trayectoria T1 y presente la propiedad A en el momento de la detección. Determine la
probabilidad de que la partı́cula siga la trayectoria T1 o presente la propiedad A en el momento de la detección.
d)Analice la independencia y la incompatibilidad entre la ocurrencia de la propiedad A y la trayectoria T1 .
Rtdos: a) 0.5; b) T2 ; 0.6; c) 0.02; 0.58; d) dependientes y compatibles.
Ejercicio 18 Una mujer desea comprar un billete de avión para irse de vacaciones a Sri Lanka. La probabilidad
de que lo compre por internet es de 0.44, la probabilidad de que lo compre a través de una agencia de viajes es
de 0.41 y la probabilidad de que lo compre en el aeropuerto es de 0.15. Si lo compra por internet, la probabilidad
de que la mujer cancele el viaje debido a algún imprevisto es de 0.43, mientras que si lo compra por medio de
una agencia de viajes o en el mismo aeropuerto, esta probabilidad es 0.35 y 0.11, respectivamente. a) ¿Cuál es
la probabilidad de que la mujer cancele el viaje? b) Si la mujer cancela el viaje, ¿cuál es la probabilidad de que
el billete haya sido comprado en el aeropuerto? c) Si la mujer finalmente se va de viaje, ¿cuál es la probabilidad
de que no haya comprado el billete en el aeropuerto? d) Determina, justificando la respuesta, si la cancelación
del viaje depende del canal utilizado para la compra del billete. Rtdos: a) 0.3492; b) 0.0473; c) 0.7949.
Ejercicio 19 Según la Encuesta sobre equipamiento y uso de TIC en los hogares, realizada por el INE en 2019,
los hogares que disponen de algún tipo de ordenador son: el 58% de los que tienen ingresos mensuales netos
inferiores a 900 euros; el 76% de los que tienen ingresos comprendidos entre 900 y 1600 euros; el 92% de los que
tienen ingresos entre 1600 y 2500 euros, y el 97% de los que tienen ingresos superiores a 2500 euros. Por otra
parte, el 20% de los hogares tienen ingresos inferiores a 900 euros, el 36% tienen ingresos comprendidos entre 900
y 1600 euros, y el 24% tienen ingresos entre 1600 y 2500 euros. a) Calcula el porcentaje de hogares que tienen
algún tipo de ordenador. b) Si un hogar dispone de ordenador, ¿cuál es la probabilidad de que sus ingresos
sean superiores a 1600 euros? c) Si un hogar tiene ingresos superiores a 900 euros, ¿cuál es la probabilidad de
que disponga de algún ordenador? d) Halla la probabilidad de que un hogar no disponga de ordenador y tenga
ingresos no superiores a 2500 euros. Rtdos: a) 80.44%; b) 0.5157; c) 0.8605; d) 0.1896
Ejercicio 20 La probabilidad de que se produzca un peligro es 0.01; si éste se produce, la probabilidad de
que una alarma funcione es 0.95; además, la probabilidad de que funcione la alarma cuando no hay peligro es
0.03. a) Con esta información, calcula todas las posibles probabilidades condicionadas que se pueden plantear
con los sucesos Peligro (D) y Alarma (A) y sus complementarios, entendiendo sus significados. b) Compara los
valores de P (A|D) y P (D|A) (entendiendo su significado) cuando la probabilidad de peligro es 0.01 y 0.9. Rtdos:
a) P (A) = 0.039, P (A|D) = 0.95, P (A|D̄) = 0.030, P (D|A) = 0.242, P (D|Ā) = 0.001, etc.; b) P (D) = 0.9 ⇒
P (A|D) = 0.95, P (D|A) = 0.997.
Ejercicio 21 Un sistema se compone de cinco componentes A, B, C, D y E dispuestos como se indica en el
siguiente gráfico. El sistema funciona si una señal que entra al sistema (por la izquierda) llega al final del mismo
(derecha). Los componentes mencionados funcionan de manera independiente entre sı́, con las probabilidades
que se indican:
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P(D)=0.9
P(A)=0.9
P(C)=0.8
P(B)=0.8
P(E)=0.95
Calcula las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que al menos uno de los componentes A y B funcione;
b) probabilidad de que el sistema funcione (fiabilidad del sistema); c) probabilidad de que funcione el sistema
sabiendo que C funciona. Compara las dos últimas probabilidades entendiendo por qué resultan diferentes.
Rtdos: a) 0.98; b) 0.78; c) 0.975.
Ejercicio 22 En una plataforma de streaming, se analiza el comportamiento de tres tipos de usuarios: Browser,
Test y Premium, según que, respectivamente, sean usuarios esporádicos, estén probando el servicio, o se hayan
registrado definitivamente. Según las estadı́sticas, el 25% de los usuarios son de tipo Browser, el 45% son
Premium y el resto están probando el servicio. Además, se sabe que el 15% de los usuarios de tipo Browser
crean listas de reproducción personalizadas, el 40% de los usuarios Premium lo hace, y solo el 5% de los usuarios
Test participa de esta manera. a) Calcula la probabilidad de que un usuario seleccionado al azar cree listas de
reproducción persona-lizadas. b) Si se selecciona un usuario que ha creado listas de reproducción personalizadas,
¿cuál es la probabilidad de que sea Browser o Test? c) Calcula la probabilidad de que los usuarios no Premium
creen listas de reproducción. d) Comprueba matemáticamente si los sucesos “crear listas de reproducción
personalizadas” y “ser usuario Test” son sucesos independientes. Rtdos: a) 0.2325; b) 0.2258; c) 0.0955; d)
dependientes.
Ejercicio 23 Una gran factorı́a de automóviles tiene tres turnos de producción: mañana, tarde y noche. En
el turno de mañana se fabrica el 40% de la producción total, en el de tarde el 30% y el resto se fabrica en el
turno de noche. Además, el 75% de los automóviles fabricados en el turno de mañana y el 55% de los fabricados
en el turno de tarde, son diésel. Por último, el 62% de los coches que se fabrican son diésel. a) Representa
gráficamente los sucesos utilizando un diagrama de Venn. Si se selecciona un automóvil producido en el turno
de tarde, ¿cuál es la probabilidad de que no sea diésel? b) Calcula la probabilidad de que un automóvil o bien
haya sido fabricado en el turno de mañana o bien sea diésel (no las dos cosas a la vez). c) Si se selecciona un
automóvil al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea diésel y haya sido fabricado en el turno de noche? d)
Evalúa probabilı́sticamente la compatibilidad y la independencia entre que un automóvil sea diésel y que haya
sido fabricado en el turno de mañana. Rtdos: a) 0.45; b) 0.42; c) 0.155; d) compatibles y dependientes.
Ejercicio 24 Una empresa de ingenierı́a está desarrollando un sistema de control electrónico para una planta
industrial. Cuando el sistema falla, la probabilidad de que se deba a la fuente de alimentación es 0.2 y de que se
deba al circuito de procesamiento es 0.5. El resto de las veces que falla el sistema, el fallo se debe al sistema de
comunicaciones. No es posible que el sistema presente más de un motivo de fallo simultáneamente. El sistema
ha sido probado mediante un test. Cuando el sistema falla, la probabilidad de que el test dé un resultado
positivo (es decir, que detecte el fallo) es 0.85, 0.7 o 0.9 cuando el fallo es debido a la fuente de alimentación,
al circuito de procesamiento, o al sistema de comunicaciones, respectivamente. Supongamos que el sistema ha
fallado: a) Calcula la probabilidad de que el test dé negativo. b) Calcula la probabilidad de que el test no
detecte el fallo si éste se ha debido a la fuente de alimentación o al circuı́to de procesamiento. c) Calcula la
probabilidad de que el test dé positivo o que el sistema haya fallado debido al sistema de comunicaciones, pero
no las dos cosas a la vez. d) Evalúa probabilı́sticamente la compatibilidad y la independencia entre que el test
dé positivo y que el sistema halla fallado debido a la fuente de alimentación.
Rtdos:a) 0.21; b) 0.2571; c) 0.55; d) compatibles y dependientes.