Criterios de clasificación de
convergencia para series
Eliseo Ibañez
23 de septiembre de 2024
Criterio de Comparación
P
P
Sean
an y
bn dos series de términos positivos, tales que an ≤ bn
para todo n ≥ n0 . Entonces:
P
bn converge −→
an converge.
P
P
• Si
an diverge −→
bn diverge.
• Si
P
Criterio de Equivalentes
P
P
Sean
an y
bn dos series de términos positivos.
Entonces:
= L > 0 entonces ambas series son de la misma clase1 .
• Si lim an
bn
n→+∞
• Si lim an
= 0 ⇒ si
bn
n→+∞
P
bn converge entonces
1
P
an también converge.
Que sean de la misma clase quiere decir que si bn converge entonces an también lo
hace. Análogamente pasa lo mismo si bn diverge.
1
Criterio del Cociente
Sea
P
an una serie de términos positivos, tal que ∃ lı́m an+1
= L ∈ R.
an
n→+∞
Entonces:
• Si L < 1 ⇒
P
an converge.
• Si L > 1 ⇒
P
an diverge.
En el caso en el que L = 1 el criterio no dice nada acerca de la convergencia
de la serie. (Hay que utilizar otro criterio)
Criterio de la Raı́z enésima
Sea
P
an una serie de términos positivos, tal que ∃ lı́m
√
n
n→+∞
an = L.
Entonces:
• Si L < 1 ⇒
P
an converge.
• Si L > 1 ⇒
P
an diverge.
En el caso en el que L = 1 el criterio no dice nada acerca de la convergencia
de la serie. (Hay que utilizar otro criterio)
Criterios de clasificación para Series
Alternadas
en donde el signo de sus términos no es constante.
Series alternadas: series
n
Por ejemplo: an = (−1)
.
n
def: (serie Absolutamente Convergente)
Decimos que una serie
P
P
an es absolutamente convergente sii
|an | es convergente.
Teorema: Si
P
an es absolutamente convergente ⇒
gente.
2
P
an es conver-
Criterio de Leibnitz
Si an es una sucesión monótona
decreciente y an −→ 0 cuando n −→ +∞,
P
entonces la serie alternada
(−1)n an es convergente.
Obs: con este criterio tenemos clasificadas muchı́simas series de término general (−1)n an , porque si esta sucesión an tiende a cero de manera monótona
decreciente, podemos aplicar el criterio de Leibnitz para concluir su convergencia. Y si an no tiende a cero, entonces no cumple con la condición necesaria
de convergencia2
2
Condición necesaria de convergencia: Si
n→+∞
an −−−−−→ 0
3
P
an converge ⇒ necesariamente
0
