Matemática II: Trabajo Práctico Regular (TPR) - Análisis Económico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
ÁREA DE MATEMÁTICA
TRABAJO PRÁCTICO REGULAR (TPR)
ASIGNATURA:
MATEMÁTICA II
CÓDIGO: 178
FECHA DE ENTREGA AL ESTUDIANTE:
FECHA DE DEVOLUCIÓN:
20/07/2024
09/11/2024
NOMBRE DEL ESTUDIANTE:
LAURIMAR B. RANGEL Q.
CÉDULA DEL ESTUDIANTE:
V- 22.307.155
CENTRO LOCAL:
YARACUY
UNIDAD DE APOYO:
CARRERA:
CONTADURÍA PÚBLICA
CÓDIGO: 610
FIRMA DEL ESTUDIANTE
CORREO ELECTRÓNICO:
[email protected]
TRABAJO PRÁCTICO REGULAR (TPR)
P:1, O: IV.1.
1) El objetivo IV.1 está planteado en el plan de curso como: “Aplicar de manera objetiva y
lógica los conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal, elasticidad de la demanda,
análisis marginal en la construcción de la gráfica de una función”. En este sentido, nos plantea un
objetivo de aprendizaje que involucra una serie de conceptos clave en economía y microeconomía.
Por ello, el estudiante debe comprender los conceptos fundamentales: Esto incluye tener un
dominio claro de términos como costo (total, fijo, variable), ingreso (total, marginal), elasticidad
de la demanda y análisis marginal.
Se busca que el estudiante establezca conexiones entre estos conceptos y comprenda cómo
se influyen mutuamente. Por ejemplo, cómo el costo marginal afecta la decisión de producción, o
cómo la elasticidad de la demanda incide en el ingreso marginal. Además, aplicar los conceptos de
forma práctica: La construcción de una gráfica a partir de estos conceptos implica la capacidad de
traducir teoría en práctica. Se espera que el estudiante pueda representar visualmente las relaciones
entre las variables económicas. El énfasis en la objetividad y la lógica sugiere que se busca un
análisis cuantitativo y basado en datos, más que en juicios de valor subjetivos.
En este contexto, se hace un análisis de cada uno de los contenidos implícitos en el objetivo
en estudio.
Introducción al estudio del análisis marginal. Costo, ingreso y beneficio marginal.
El análisis marginal es una herramienta económica que nos permite tomar decisiones al
evaluar los cambios en los costos, ingresos y beneficios que se producen cuando aumentamos o
disminuimos una unidad de producción, inversión o cualquier otra variable económica. En este se
involucra los conceptos claves:
Costo Marginal: Es el incremento en el costo total de producción al producir una unidad
adicional. Por ejemplo, si producir 10 unidades cuesta $100 y producir 11 unidades cuesta $112,
el costo marginal de la undécima unidad es de $12.
Ingreso Marginal: Es el incremento en el ingreso total al vender una unidad adicional. Si
al vender 10 unidades obtienes $150 y al vender 11 unidades obtienes $165, el ingreso marginal
de la undécima unidad es de $15.
Beneficio Marginal: Es la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal. Si el
ingreso marginal es mayor que el costo marginal, estás obteniendo un beneficio adicional al
producir una unidad más.
Elasticidad de la oferta y de la demanda.
La elasticidad es un concepto fundamental en economía que nos ayuda a entender cómo
reaccionan los consumidores y los productores ante los cambios en el mercado, especialmente ante
las variaciones de precio. La elasticidad precio de la demanda mide la sensibilidad de los
consumidores a los cambios de precio. Sin embargo, la elasticidad precio de la oferta mide la
sensibilidad de los productores a los cambios de precio. En resumen, la elasticidad es una
herramienta poderosa que nos permite comprender y/o predecir el comportamiento de los
mercados. En este sentido, sus aplicaciones son vastas y abarcan desde la fijación de precios hasta
la formulación de políticas públicas.
Relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda.
La relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda es fundamental para
entender cómo las empresas toman decisiones sobre la producción y los precios. El ingreso
marginal es el aumento en el ingreso total que se produce cuando se vende una unidad adicional
de un bien o servicio. Es decir, es el incremento en los ingresos que obtiene una empresa al
aumentar su producción en una unidad, mientras que La elasticidad de la demanda mide la
sensibilidad de la cantidad demandada de un bien ante cambios en su precio. Es decir, indica en
qué proporción varía la cantidad demandada cuando el precio se modifica.
Optimización de funciones de costo, ingreso y beneficio.
La optimización en economía consiste en encontrar el punto máximo o mínimo de una
función que representa un aspecto económico, como el costo, el ingreso o el beneficio. Es decir,
se busca la mejor manera de utilizar los recursos disponibles para alcanzar un objetivo específico.
En al campo de la matemática, para la optimización se pueden utilizar las siguientes herramientas:
Cálculo Diferencial: Se utilizan las derivadas para encontrar los puntos críticos (máximos,
mínimos o puntos de inflexión) de una función.
Álgebra: Se emplea para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones que surgen en el
proceso de optimización.
Gráficas: Las representaciones gráficas ayudan a visualizar las funciones y los puntos
óptimos.
En este contexto, la optimización de funciones de costo, ingreso y beneficio es una
herramienta fundamental para la toma de decisiones en economía y administración de empresas.
Al aplicar los conceptos y técnicas adecuadas, es posible encontrar las soluciones más eficientes y
rentables para una amplia variedad de problemas.
2)
Cálculos
a) Función beneficio:
En términos económicos, la función beneficio representa la relación entre la cantidad
producida y vendida de un bien o servicio, y la ganancia obtenida por una empresa.
Matemáticamente, se calcula restando el costo total de producción al ingreso total obtenido por la
venta de esos productos.
Función Beneficio (B(q)) = Ingreso Total (I(q)) - Costo Total (C(q))
Donde:
q= Cantidad producida y vendida.
I(q): Ingreso total, que se obtiene multiplicando el precio de venta por la cantidad vendida
(I(q) = pxq).
C(q): Costo total, que incluye todos los gastos asociados a la producción (materias primas,
mano de obra, etc.).
En este caso, n=5.
Por lo tanto, Ingreso Total: I(q) = pxq = (20e3q + 45) q = 20qe3q + 20q
Beneficio Total: B(q) = I(q) - C(q) = 20qe3q + 20q - (200 Ln (q + 1) + 100)
Entonces, la función beneficio es: B(q) = 20qe3q + 20q - 200 Ln (q + 1) – 100
b) Función Beneficio Medio
El beneficio medio (BM) se calcula dividiendo el beneficio total entre la cantidad:
BM(q) = B(q) / q = (20qe3q + 20q - 200 Ln (q + 1) - 100) / q
Simplificando:
BM(q) = 20e3q + 20 - (200/q) Ln (q + 1) - 100/q
c) Función Beneficio Marginal
El beneficio marginal (B') es la derivada del beneficio total respecto a la cantidad.
B'(q) = d/dq [20qe3q + 20q - 200 Ln (q + 1) - 100]
Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
B'(q) = 20e3q + 60qe3q + 20 - 200/ (q + 1)
3)
Cálculo del costo medio
El costo medio se define como el costo total dividido entre la cantidad producida.
CM(q) = C(q)/q
Entonces, tenemos dos funciones de costo medio, dependiendo del rango de q:
Para 0 ≤ q < 10:
CM(q) = (5 + q2) /q = 5/q + q
Para 10 ≤ q ≤ 100:
CM(q) = (10 + 2q2) /q = 10/q + 2q
Extremos del Costo Medio
Para 0 ≤ q < 10
Para encontrar los extremos de una función, derivamos e igualamos a cero:
CM'(q) = -5/q2 + 1 = 0
Resolviendo esta ecuación, obtenemos:
q = √5
Pero este valor está fuera del intervalo 0 ≤ q < 10. Por lo tanto, en este intervalo, el costo
medio no tiene un mínimo local.
Para 10 ≤ q ≤ 100
CM'(q) = -10/q2 + 2 = 0
Resolviendo:
q = √5, del mismo modo, este valor está fuera del intervalo.
Para los valores de q dados en el problema, la función de costo medio no tiene un mínimo
local. La función de costo medio es una hipérbola en cada intervalo y las hipérbolas no tienen
mínimos locales en intervalos cerrados. Los mínimos que encontramos matemáticamente caen
fuera de los intervalos definidos para q. Entonces, el costo medio seguirá disminuyendo a medida
que q aumenta dentro de cada intervalo.
4)
Se nos presenta una ecuación de oferta:
donde:
p = -1 + e�𝐿𝐿𝐿𝐿(𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 1)
p es el precio del bien
s es la cantidad ofrecida
s ≥ 0 es una restricción para la cantidad ofrecida
Se nos pide encontrar y justificar la expresión que permita calcular la elasticidad de la
oferta (ξ) en cualquier punto A (s, p) de la curva de oferta.
La elasticidad de la oferta mide la sensibilidad de la cantidad ofrecida de un bien ante un
cambio en su precio. Matemáticamente, se define como:
ξ = (ΔQ/Q) / (ΔP/P)
Donde:
ΔQ es el cambio en la cantidad ofrecida
Q es la cantidad ofrecida inicial
ΔP es el cambio en el precio
P es el precio inicial
En términos de derivadas, esto se puede expresar como:
ξ = (dP/ds) x (s/p)
Derivada de la Función de Oferta: Para calcular la elasticidad, necesitamos la derivada de
p con respecto a s. Utilizaremos la regla de la cadena varias veces:
dp/ds = e (�(ln (s2 + s + 1) x (1/2) x (1/�( (ln (s2 + s + 1) x (1/ (s2 + s + 1)) x (2s + 1)
Simplificando:
dp/ds = (2s + 1) / (2 x (s2 + s + 1) x �( (ln (s2 + s + 1)
Ahora, sustituimos dp/ds en la fórmula de la elasticidad:
ξ = [(2s + 1) / (2 x (s2 + s + 1) x �( (ln (s2 + s + 1)] x (s / (-1 + e (�( (ln (s2 + s + 1)
La expresión que permite calcular la elasticidad de la oferta en cualquier punto A (s, p) de
la curva de oferta es:
ξ = [(2s + 1) x s] / [2 x (s2 + s + 1) x �( (ln (s2 + s + 1)) x (-1 + e�(ln (s^2 + s + 1)]
Hemos obtenido esta expresión siguiendo las reglas del cálculo diferencial y aplicándolas
a la función de oferta dada. Esta fórmula nos permite calcular la elasticidad de la oferta para
cualquier valor de s dentro del dominio definido (s ≥ 0), lo que nos indica la sensibilidad de la
cantidad ofrecida ante cambios en el precio en cualquier punto de la curva de oferta.
P:2, O: IV.2
1) Esquema del objetivo.
El modelo Input-Output, desarrollado por Wassily Leontief, es una herramienta analítica
que permite estudiar las interdependencias entre los diferentes sectores de una economía. Este
modelo representa matemáticamente las relaciones de producción y consumo entre las distintas
industrias, mostrando cómo la producción de un bien o servicio requiere de insumos provenientes
de otros sectores y cómo, a su vez, esa producción se destina a satisfacer la demanda de otros
sectores o de los consumidores finales.
En este sentido, se desarrolla el objetivo “Aplicar el modelo Input-output en forma analítica
para la resolución de problemas”. El cual se interpreta que utilizaremos herramientas matemáticas
y estadísticas para analizar y modelar estas relaciones. En lugar de un enfoque cualitativo,
buscaremos expresiones matemáticas precisas para describir cómo las variables de entrada afectan
a las variables de salida.
Sobre la base de lo antes expuesto, el objetivo se desglosa en función de los siguientes
contenidos:
1.- Definición:
En una economía donde cada sector produce un bien o servicio. El modelo Input-Output
nos ayuda a mapear estas conexiones y entender cómo un cambio en un sector puede afectar a toda
la economía. Además, permite visualizar cómo la producción de un sector depende de las salidas
de otros sectores, creando una red compleja de interdependencias. Este se alimenta de algunos
elementos claves:
1.1.- Sectores: La economía se divide en sectores (agricultura, industria, servicios, etc.),
cada uno produciendo un conjunto específico de bienes o servicios.
1.2.- Coeficientes técnicos: Estos coeficientes representan la cantidad de bienes o servicios
que un sector necesita de otros sectores para producir una unidad de su propia producción. Por
ejemplo, cuánto acero se necesita para producir un automóvil.
1.3.- Vector de demanda final: Representa la demanda de bienes y servicios por parte de
los consumidores, el gobierno y las exportaciones.
2.- Aplicaciones:
Permite evaluar cómo cambios en la demanda de un sector afectan a otros sectores y a la
economía en general. Asimismo, ayuda a los gobiernos a tomar decisiones sobre inversiones,
políticas industriales y desarrollo regional. Además, se puede utilizar para evaluar el impacto
ambiental de diferentes actividades económicas y desarrollar estrategias para promover la
sostenibilidad.
3.- Ventajas:
Entre las ventajas de este modelo podemos enumerar las siguientes:
1.- Proporciona una visión integral de la economía, mostrando cómo los diferentes sectores
están interconectados.
2.- Puede adaptarse a diferentes niveles de agregación y a diferentes tipos de economías.
3.- Se basa en datos estadísticos reales, lo que le otorga un alto grado de realismo.
4.- Limitaciones:
4.1.- Asume que los coeficientes técnicos son constantes en el tiempo y que la tecnología
no cambia significativamente.
4.2.- Requiere de una gran cantidad de datos de alta calidad, lo que puede ser un desafío en
algunos países.
4.3.- Para economías grandes y complejas, el modelo puede ser difícil de construir y
analizar.
5.- Matriz Tecnológica
La matriz tecnológica es un componente fundamental del modelo Input-Output. Representa
las relaciones de producción entre los diferentes sectores de una economía. Cada elemento de esta
matriz indica la cantidad de un bien o servicio que un sector requiere de otro sector para producir
una unidad de su propio producto.
5.1.- Características:
5.1.1.- Todos los elementos son mayores o iguales a cero, ya que no se puede consumir una
cantidad negativa de un bien.
5.2.1.- La suma de los elementos de cada fila representa la cantidad total de insumos
necesarios para producir una unidad de output en ese sector.
5.2.2.- La estructura de la matriz revela las interdependencias entre los sectores de la
economía.
6.- Matriz Inversa de Leontief
La matriz inversa de Leontief es una transformación de la matriz tecnológica. Se obtiene
invirtiendo la matriz (I - A), donde I es la matriz identidad y A es la matriz tecnológica. Esta matriz
inversa proporciona información crucial sobre la producción total necesaria para satisfacer una
demanda final dada. Se puede interpretar como:
. - Cada elemento de la matriz inversa de Leontief representa un multiplicador que indica
cuánto debe aumentar la producción de un sector para satisfacer un aumento unitario en la demanda
final de otro sector.
. - Captura los efectos indirectos de un cambio en la demanda final. Por ejemplo, un
aumento en la demanda de automóviles no solo requiere un aumento en la producción de
automóviles, sino también en la producción de acero, plástico, etc.
6.1.- Aplicaciones:
6.1.1.- Permite evaluar el impacto de cambios en la demanda final sobre la producción total
de cada sector.
6.1.2.- Ayuda a los gobiernos a tomar decisiones sobre inversiones, políticas industriales y
desarrollo regional.
6.1.3.- Se puede utilizar para evaluar el impacto ambiental de diferentes actividades
económicas y desarrollar estrategias para promover la sostenibilidad.
6.1.4.- Permite identificar las principales cadenas de valor en una economía y evaluar su
vulnerabilidad a shocks externos.
6.1.5.- Se utiliza para evaluar el impacto de diferentes políticas económicas sobre la
producción y el empleo.
La matriz tecnológica y la matriz inversa de Leontief son herramientas fundamentales para
analizar las interdependencias entre los diferentes sectores de una economía. Al comprender estas
relaciones, podemos tomar decisiones más efectivas sobre políticas económicas y desarrollo
sostenible.
2) Tabla input-output y la Matriz tecnológica.
El problema nos presenta una economía hipotética con tres sectores (industria 1, 2 y 3) y
nos proporciona información sobre la producción y consumo interno de cada sector. Se nos pide:
Construir la tabla input-output: Esta tabla muestra cómo la producción de un sector es
utilizada como insumo por los otros sectores y por la demanda final.
Calcular la matriz tecnológica: Esta matriz representa la proporción de la producción de
cada sector que es utilizada como insumo por los otros sectores.
Datos a considerar:
El último dígito de la cédula es 5, por lo que la demanda total del sector 1 será (5+4) = 9.
Cada dato está en miles de millones.
a) Construcción de la Tabla Input-Output:
Utilizado por sector
Sector
1
2
3
1
8
2
1
2
11
32
9
3
0
7
4
Demanda Final
Total
9
45
31
28
86
45
La tabla muestra la interdependencia entre los sectores. Por ejemplo, el sector 2 es el mayor
consumidor de la producción del sector 1.
b) Cálculo de la Matriz Tecnológica
La matriz tecnológica se obtiene dividiendo cada elemento de la tabla input-output (excepto
la columna de demanda final) entre el total de producción de cada sector.
1
2
3
Sector 1
8/28
11/86
0/45
Sector 2
2/28
32/86
7/45
Sector 3
1/28
9/86
4/45
La matriz, Indica la estructura productiva de la economía. Por ejemplo, el sector 2 utiliza
una proporción relativamente alta de su propia producción como insumo.
3) Determinación de la matriz tecnológica A y comprobar que (I − A) X = D.
Se nos plantea un problema con una economía simplificada con dos industrias, P y Q. La
tabla nos muestra cómo estas industrias se relacionan entre sí en términos de demanda y
producción. A lo que se pide:
a). Determinar la matriz tecnológica A: Esta matriz nos indica cuánto de cada producto (P
o Q) necesita cada industria para producir una unidad de su propio producto.
b). Comprobar que (I - A) X = D: Esta es una ecuación fundamental en el análisis insumoproducto. Representa el equilibrio entre la producción total (X), la demanda intermedia (AX) y la
demanda final (D).
Datos del problema:
Último dígito de la cédula: 5. Por lo tanto, n = 5 y la producción total de Q es 5 + 7 = 12.
Demanda: La demanda de cada industria por los productos de ambas y por el sector externo.
Producción: La producción total de cada industria.
Determinando la Matriz Tecnológica A
La matriz tecnológica A se construye a partir de los coeficientes técnicos. Estos coeficientes
representan la cantidad de cada insumo (P o Q) necesaria para producir una unidad de cada
producto. Para calcular estos coeficientes, dividimos la demanda intermedia de cada producto entre
la producción total de ese producto.
Coeficiente técnico de P en P: 11 / 17
Coeficiente técnico de Q en P: 3 / 17
Coeficiente técnico de P en Q: 9 / 12
Coeficiente técnico de Q en Q: 5 / 12
Por lo tanto, la matriz tecnológica A es:
11/17
9/12
3/17
5/12
Matriz de Identidad
I=
1
0
Valor de producción X
X=
17
12
Vector de demanda D
D=
3
12
I-A =
6/17
-3/17
-3/4
7/12
-3/4
7/12
*
A=
Comprobando la Ecuación (I-A) X = D
0
1
Calculando (I-A):
Calculando (I-A) X:
(I-A)X =
6/17
-3/17
3
12
17
12
Comparando (I-A) X con D:
Observamos que (I-A) X es igual a D.
Hemos verificado que la ecuación (I-A) X = D se cumple. Esto significa que el modelo
insumo-producto es consistente con la información dada.
4)
Sustituyendo el valor de n
Dado que el último dígito de la cédula es 5, sustituimos n por 5 en la matriz tecnológica:
A=
0
0
0
5
5
0
0
0
5
3
1
0
0
0
2
2
3
Condiciones de Compatibilidad
Para que un modelo de insumo-producto sea compatible, la suma de los elementos de cada
columna debe ser menor o igual a 1. Esto significa que la producción total de cada industria debe
ser suficiente para cubrir sus propias necesidades internas y las de las demás industrias.
Verificando las condiciones de compatibilidad
Calculemos la suma de los elementos de cada columna:
Columna 1: 0,5 + 0 + 0,5 = 1
Columna 2: 0,5 + 0,3 + 0,1 = 0,9
Columna 3: 0,2 + 0,2 + 0,3 = 0,7
Como la suma de los elementos de cada columna es menor o igual a 1, las condiciones de
compatibilidad se cumplen para la matriz tecnológica dada. Esto significa que el modelo de
insumo-producto es viable y puede utilizarse para analizar la economía descrita. El hecho de que
las condiciones de compatibilidad se cumplan indica que la economía descrita por esta matriz
tecnológica es autosuficiente en términos de producción. Ninguna industria demanda más insumos
de los que puede producir la economía en conjunto.
FIN DEL TRABAJO PRÁCTICO REGULAR