Matemàtiques
aplicades a les Ciències Socials
1r BATXILLERAT
SOLUCIONARI
1a PART: UNITATS 1-7
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
1. Nombres reals
EXERCICIS PROPOSATS
1 i 2.
3.
Exercicis resolts.
Calcula l’expressió decimal o fraccionària segons correspongui.
a)
23
25
b)
22
12
1
c) 1
1
1
2
d) 45,55
e) 45,15
a) 0,92
b) 1,83
c) 1
1
1
1
2
1
1
2 5
1 1,6
3
3 3
2
410
10N 455,555...
d) N 45,55 45,5 45,555...
9N 410 N
N
45,555...
9
4 064 2032
100N 4 515,555...
e) N 45,15 45,1555...
90N 4064 N
10
N
451
,555...
90
45
4.
5.
Indica, per a cada nombre, si és racional o irracional.
a) 1,234 44…
c) 3, 010 010 001…
e) 2 49
b) 1,232 323…
d) 1 2
f)
a) Racional, és un nombre decimal periòdic.
d) Irracional
b) Racional, és un nombre decimal periòdic.
e) Racional, 2 49 2 7 5 .
c) Irracional, és un nombre decimal no periòdic.
f) Racional, 2 4 2 2 4 2 .
Calcula els dos valors de x que compleixen la condició: 3 x
1
4 x 3 5.
2
1
25
3 x 4 x 3 si x 3 0 7 x
1
2
2
3x 4 x 3
23
2
3 x 1 4 x 3
si x 3 0
x
2
2
1
2 4
si x 3
si x 3 0
Si x 3 , tenim 7 x
25
35 5
5x
, que és una solució vàlida.
2
14 2
Si x 3 , tenim x
23
13
5x
, que és una solució vàlida.
2
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
6.
UNITAT 1. NOMBRES REALS
Un informe sobre l’ús de bicicletes entre la població juvenil d’una localitat diu que exactament el 45, 45 %
dels joves utilitza la bicicleta almenys un dia a la setmana. Sabent que las població juvenil d’aquesta
localitat és inferior a 10 000 i superior a 9990, quants joves exactament utilitzen la bicicleta?
45,45
4545 45 4500 500
45,45 5
99
99
11
100
11
5
dels joves de la localitat fan servir la bicicleta com a mínim un dia a la setmana. Per tant, el nombre de
11
joves de la localitat ha de ser múltiple d’11. L’únic nombre entre 9 990 i 10 000 que és múltiple d’11 és 9999, de
maner que hi ha 9999 joves a la localitat i 4545 han respost que fan servir la bicicleta.
Els
7.
Exercici resolt.
8.
Representa
7
8
i
. Troba tres nombres fraccionaris compresos entre ells.
11 11
7 28 8 32
29 30 15 31
=
i
. Per tant, entre ells hi ha
,
i
.
11 44 11 44
44 44 22 44
9.
Escriu els nombres 13 i 18 com la suma de dos quadrats i representa
13 22 32 13 22 32
10 1 11
2
2
11 i 12. Exercicis resolts.
2
18 .
18 32 32 18 32 32
10. Quins són els nombres reals representats a la figura?
x 12 32 10 i y
13 i
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
13. Escriu les aproximacions per defecte i per excés i arrodoneix els nombres següents amb dos, tres i quatre
xifres decimals.
a)
12
7
a)
b)
c)
b)
1 2
Aprox.
defecte
Aprox. excés
Arrodoniment
1,71
1,714
1,7142
1,72
1,715
1,7143
1,71
1,714
1,7143
Aprox.
defecte
Aprox.
excés
Arrodoniment
1,55
1,553
1,5537
1,56
1,554
1,5538
1,55
1,554
1,5538
Aprox.
defecte
Aprox.
excés
Arrodoniment
1,61
1,618
1,6180
1,62
1,619
1,6181
1,62
1,618
1,6180
c)
1 5
2
14. Determina l’error absolut i l’error relatiu comès en aproximar 5,238 a les dècimes.
L'aproximació a les dècimes és el nombre 5,2.
Ea 5,238 5,2 0,038 i Er
0,038
0,00725
5,238
15. Determina l’error absolut i l’error relatiu comès en aproximar
Ea
16 i 17.
3 1,73 0,0020508... 0,0020508... i Er
0,0020508...
3
3 a 1,73.
0,001184...
Exercicis resolts.
18. Calcula les aproximacions de tres xifres per excés i per defecte de 2a 3b 5 sabent que:
2,023 < a < 2,024 i 0,251 < b < 0,250
Aproximació per defecte: 2 · 2,023 3(0,251) 5 1,707
Aproximació per excés: 2 · 2,024 3(0,250) 5 1,702
3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
19. Amb la calculadora, troba aproximacions per defecte i per excés, amb 3 i 4 xifres decimals, per als
nombres 3 2 i 1 2 3 , també per a la seva suma, diferència, producte i quocient.
Calculadora
Aprox. defecte
3 decimals
Aprox. excés
3 decimals
Aprox. defecte
4 decimals
Aprox. excés
4 decimals
3 2
2,059 767…
2,059
2,060
2,059 7
2,059 8
1 2 3
4,644 101…
4,464
4,465
4,464 1
4,464 2
3 2 1 2 3
3 2 1 2 3
6,523 868…
6,523
6,524
6,523 8
6,523 9
2,404 334…
2,405
2,404
2,404 4
2,404 3
9,195 009…
9,195
9,196
9,195 0
9,195 1
3 2
0,461 406…
0,461
0,462
0,461 4
0,461 5
3 2 1 2 3
1 2 3
20. Es vol tancar un camp rectangular essent
2 el quocient de les seves dimensions.
a) Quant val el quocient entre la diagonal i el costat més petit?
b) La diagonal mesura 48 m. Calcula el preu que hauria de pagar si cada metre de tanca val 25 €.
a) Si a és el costat gran i b el petit, se sap que
a
2.
b
La diagonal és D a2 b2 ; per tant, el quocient entre la diagonal i el costat petit és:
a2 b2
b
D
b
b) Tenim
2
a2 b2
a
1 2 1 3
b2
b
D
D
48
3 b
b
3
3
P 2a 2b
96 96 2
3
i
a
48 2
2 a 2b
; per tant, el perímetre del camp és
b
3
i el cost de tancar-lo serà C 25P 25
96 96 2
3
3345 €.
21. Simplifica el valor de les expressions següents.
1
a)
( 2)40 ( 6)15
( 18)35
a)
40
15
( 2)40 ( 6)15 2 6
240
240
240
240
1
15
15 15 35 70 50 85 10 85
35
35
35
35
15
2
( 18)
18
6 18
2
3
2
3
2
3
2
3
2 3 2 3
4
1 2 1
b)
2 9 8
4
1
1 32 1 32
1 2 1
4 3 8
b)
2
2 9 8 2 2 2
22. Determina si les igualtats són certes o falses.
a)
33 51
13475
2
3
1026
7 5
b)
x 2 y 1
1
3 2
x y
xy 3
1 1
22
33 51
22 6125
134750
13475
27
5
135
a)
, la igualtat és certa.
2
3
1
1
76
135
76
10260
1026
7 5
49 125
6125
4
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
b)
UNITAT 1. NOMBRES REALS
x 2 y 1
x2
1
3 2
, la igualtat és certa.
3 2
x y
x y y xy 3
23. Realitza les operacions següents.
1
a) 22 23 22 23 20
3
2
5
2 1
b) 51
5 5
d)
2
2
a) 2 2 2 2
3
3
3
20 4 8
1
a 3 a 2
a3 a
1 1
43
1
s
4 8
8
2
8
1 1
8
1
7
2 1
b) 51
125 25 5 125 125 125
5 5
1
1
1
c) 16 4 27 3 25 2 4 16 3 27 25 2 3 5 0
5
d)
a 3 a 2
3
a a
3
a 5 a 2
1
a a3
13
a 5
59
a 15
4
a3
1
15
a59
24 i 25. Exercicis resolts.
26. Efectua les operacions següents.
8 27
a)
b)
3
512
3
200
c)
d)
3
4 5 392
4
2187
d)
12 6
e)
2
3 32
f)
108
8 27 23 33 2 3 2 3 6 6
a)
b)
c)
3
512
3
200
3
4 5 392 22 23 72
4
2187
108
3
29
26
22
43 5
43 5
3
3 2
3 23
5
23 52
52
5
5 5
3
5
4
37
4
22 33
4
15
15
29 76
4
4
3
3
4
2
2
210
37
24 36
15
15
219 76 2 24 76
22 3
6 26 33
12 6
33
6 2
6 2 6
2
e) 3
32
3 25
6 210
23
f)
5
14
8
2
3
4
21 23
4
3
22
12
26
12
12
28
29
12
25
1
12
25
3
2
12
12
3 2
25
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2 2
12
27
12
1
16 4 27 3 25 2
c)
27
6
2
27
2
14
8
2
3
4
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
27. Opera i simplifica les expressions següents.
2
3
b) 24 28
23 4
a)
6
8
23 4
a)
6
8
3
2 22
6
23
6
3
3
2 2
6
23 24
6
23
6
3
24 22 3 4
2 2 2 2
c)
16
16
28 24 22 2
4
215
16
4
22 2
c)
5
26 312
520
c)
5
26 312 2 32 5
4
2 32
520
5
2 2
2 2 2 2
c)
23
215 16 3
2
212
2
2 3
6
6
3
6
b) 24 28 212 28 220 220
28. Extreu de l’arrel tots els factors que puguis.
a)
28 35 57
b)
3
a5b12c 7
a)
28 35 57 24 32 53 3 5
b)
3
a5b12c 7 ab4c 2 a2c
3
29. Realitza les sumes i les restes de radicals següents.
a)
3
50
b)
a)
b)
24 2 63 3 32
3
18
4
c) 6 200 2 50 3 18
72
25
5a2 80a2 20a4
d)
3
24 2 63 3 32 23 3 2 63 3 25 23 3 2 6 3 3 4 2 4 3 3 3 2
50
18
72
2 32
23 32
3
6
47
2 52
5 2
2
2
2
2
4
25
2
5
10
2
52
c) 6 200 2 50 3 18 6 23 52 2 2 52 3 2 32 60 2 10 2 9 2 61 2
d)
5a2 80a2 20a4 5a2 24 5a2 22 5a4 a 5 4a 5 2a2 5 2a2 3a
30. Realitza les operacions següents.
2
1
3
125 5
a) 2 180
5
a) 2 180
1
b)
6
85
1
1
b)
1
6
85
4
22 23
18
25
53
2 30
1
30
253
1
30
2 223
30
30
23 30
2 2
30
27
27
3
c) 2187 2 3 2 37 33 27 3 3 3 30 3
6
3
c) 2187 2 3 2
3
3 3
125 5 2 22 32 5
5 5 12 5 3 5 5 16 5
5
5
2
22 43
22 43
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
27
4
5 a 2a 3 5
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
31. Racionalitza les expressions següents.
a)
a)
b)
c)
d)
6
6
2 3
3
b)
2 3
6 3
3
5 5 81
2 3 3
2
3
5
5 34
1 2 3
10
2 3 8
2
d)
1 2 3
10
2 3 8
6 3
3
6
35 3
5
5 34 5 3
2 1 2 3
35 3 5 3
15
5
1 2 3 1 2 3
c)
5 5 81
10 2 3 8
2 1 2 3
1 12
2 3 8 2 3 8
24 3 4 3 2
11
10 2 3 8
12 8
11
5 2 3 8 10 3 8 10 3 2 2 5 3 2
2
2
2
32. Exercici interactiu.
33. Exercici resolt.
34. Calcula A B i A B essent:
a) A 1, 4 i B 0, 5
b) A 2, i B , 3
a) A B 1, 5 i A B 0, 4
b) A B ,
i A B 2, 3
35. Expressa, si és possible, mitjançant un únic entorn obert cadascun dels conjunts següents.
a)
2, 10
1
c) , 3
2
b) 3 x 7
a) Es pot expressar com l’entorn obert de centre
d)
a, a
2 10
4 i radi 10 4 6 , és a dir, E 4, 6 .
2
b) Es tracta de l’interval tancat [3, 7], i per això no es pot expressar mitjançant un entorn obert. Sí que es pot
expressar mitjançant l’entorn tancat E 2, 5 .
c) Es tracta de l’interval tancat, i per això no es pot expressar mitjançant un entorn obert. Sí que es pot expressar
7 5
mitjançant l’entorn tancat E , .
4 4
d) Es pot expressar com l’entorn obert E 0, a .
36. Expressa mitjançant entorns els conjunts següents.
7
a)
x
tals que x 5
b)
x
tals que x 2 4
a)
x
tals que x 5 E 0, 5
b)
x
tals que x 2 4 E 2, 4
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
37. Representa i expressa com a intervals els conjunts de nombres reals següents.
a)
x 2 2
a) (0, 4)
b)
x 3 1
c)
x 1 2
b)
, 4 2,
c)
3,1
38. Exercici resolt.
39. Realitza les operacions següents expressant el resultat en notació científica.
a) 0,000 025 · 0,003 2
20
b) 0,002 5 : 12 500 000
c) 0,000 000 000 012
d) 2,4 · 10 33,2 · 10
21
22
a) 0,000 025 · 0,003 2 2,5 · 10 · 3,2 · 10 8 · 10
5
3
8
b) 0,002 5 : 12 500 000 2,5 · 10 : 1,25 · 10 2 · 10
3
c) 0,000 000 000 012 1,2 1011
d) 2,4 · 10 33,2 · 10
21
20
21
22
7
20
10
38,337 6 · 10
3,833 76 · 10
220
219
2,4 · 10 332 · 10 334,4 · 10 3,344 · 10
21
21
23
40. Realitza les operacions següents expressant el resultat amb la precisió adequada.
a) 25,35 7723,1 2,035 222,256
a) 25,35 7723,1 2,035 222,256 7528,229
b) 2,25 · 1,237 230,40 · 0,024 15,01 · 23,11
7528,2
b) 2,25 · 1,237 230,40 · 0,024 15,01 · 23,11 2,78 5,53 346,88 344,13
41. Indica en cada cas el nombre de xifres significatives.
a) 2,035
b) 0,000 607
c) 505,000 75
a) 4 xifres significatives
b) 3 xifres significatives
c) 8 xifres significatives
42. Es vol mesurar el total de l’àrea de dues parcel·les, una de rectangular de dimensions 123,2 m i 98 m, i una
altra de circular amb un radi de 44,6 m. Estima l’àrea amb la precisió adequada.
123,2 98 44,62 12074 6249 18323 m2
43. Exercici interactiu.
44 a 55. Exercicis resolts.
8
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
EXERCICIS
Nombres racionals i irracionals
56. Digues si els nombres següents són naturals, enters, racionals o reals.
a)
28
7
c)
1
25
e) 19
1 9
b) 12
a)
d)
28
4
7
25
f)
1
24
Natural i, per tant, enter, racional i real.
b) 12 Enter i, per tant, racional i real. No és natural.
c)
d)
1
Racional i, per tant, real. No és natural ni enter.
25
1 9
25
4
Racional i, per tant, real. No és natural ni enter.
5
e) 19 Natural i, per tant, enter, racional i real.
f)
1
24
Real. No és natural, ni enter ni racional.
57. Calcula les expressions decimals dels nombres racionals següents.
13
25
13
0,52
25
125
13,8
9
5
0,27
18
125
9
5
18
4
7
4
0,571428
7
58. Ordena de més petit a més gran els nombres racionals següents.
4
5
19
24
10
11
7
8
Realitza l’exercici de dues formes diferents:
a) Calculant les expressions decimals dels nombres racionals i comparant-les.
b) Calculant expressions fraccionàries equivalents a les donades amb el mateix denominador i comparant-les.
a)
4
19
10
7
19 4 7 10
0,8 ;
0,7916 ;
0,90 i 0,875
5
24
11
8
24 5 8 11
b)
4 1056 19 1045 10 1200 7 1155
19 4 7 10
;
;
i
5 1320 24 1320 11 1320 8 1320
24 5 8 11
59. Troba dos nombres racionals compresos entre
Resposta oberta. Per exemple:
9
21 22
i
.
31 31
21 63 22 66
64 65
i
, de manera que entre ells hi ha
i
.
31 93 31 93
93 93
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
60. Calcula les expressions fraccionàries dels nombres racionals següents.
a) 21,333…
c) 21,125
b) 10,101 010…
d) 5,812 512 512 5…
a) 21,3
213 21 192 64
9
9
3
c) 21,125
21125 169
1000
8
1010 10 1000
99
99
d) 5,8125
58125 58 58067
9990
9990
b) 10,10
61. Classifica els nombres següents segons si són racionals o irracionals. Per als racionals, indica’n
l’expressió mitjançant una fracció irreductible.
a) 12,121 314 15…
d) 1,010 010 001…
b) 12,121 212…
e) 1,123 123 123…
c) 12,012 121 2…
f) 0,001 002 003…
a) Irracional
d) Irracional
b) Racional, 12,12
1200 400
99
33
e) Racional, 1,123
11892 1982
990
165
f) Irracional
c) Racional, 12,012
1122 374
999 333
62. Calcula de forma exacta el resultat de:
0,12 2 0,1 0,020 0,03
0,12
12
4
1
20
2
3
1
; 0,1 ; 0,020
i 0,03
, per tant, tenim:
99 33
9
990 99
90 30
0,12 2 0,1 0,020 0,03
4
4
2
1
3
1 2 1
2
33
110
9 99 30 33 11 30
Valor absolut
63. Calcula el valor de les expressions següents per als punts que s’indiquen.
a)
b)
2 2x 3 x 1
2x 2 2x 5
en x 2
en x 3
2x 3 3 x 1 2x 3
c)
2 x 3 x 4
en x 1
a) 2 2 2 3 2 1 2 1 1 2
b) 2 3 2 2 3 5 6 2 11 19
c)
10
2 1 3 3 1 1 2 1 3
2 1 3 1 4
2 3 4 5
9
9
2 35
13 13
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
64. Desenvolupa les expressions següents eliminant els valors absoluts.
a)
2x 4 x
b) x 2x
a)
2x 4 x si 2x 4 0 4 x
2x 4 x
2x 4 x si 2x 4 0 3 x 4
c)
x 1 x
d) ( x 2)2 x 2
si x 2
si x 2
x 2x si 2x 0 x si x 0
b) x 2x
x 2x si 2x 0 3x si x 0
c)
si x 1
x 1 x si x 1 0 1
x 1 x
x
1
x
si
x
1
0
2
x
1
si
x 1
2
2
x 4 x 4 x 2 si x 2 0 x 3 x 2 si x 2
d) ( x 2)2 x 2
2
2
x 4 x 4 x 2 si x 2 0 x 5 x 6 si x 2
65. Quins valors de x compleixen les igualtats següents.
b) 3x 1 2x 11
x
1
1
2x
2
2
a)
2x 1 x 2
a)
1
1
x
si x
2x 1 x 2 si 2 x 1 0
3
2 x 1, x 3
2x 1 x 2
2
x
1
x
2
si
2
x
1
0
1
3
x 3
si x
2
c)
d)
1
x 2 si x 3
3 x 1 2x 11 si 3 x 1 0
x 2, x 12
b) 3 x 1 2x 11
3 x 1 2x 11 si 3x 1 0
x 12 si x 1
3
c)
1
1
1
1
x 2x
si x 0
x 0 si x 2
1
1
2
2
2
x 2x
x0
1
1
2
2 1
x 1 si x 1
x 2x
si x 0
2
3
2
2
2
d)
x 2 x 3 9 si x 2 1 9 si x 2
x 2 x 3 9
x7
x 2 x 3 9 si x 2 x 7 si x 2
Representació de nombres reals
66. Representa els nombres reals següents.
11
a)
12
5
b)
6
c)
3
7
e)
10
d)
7
f)
8
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x 2 x 3 9
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
67. Representa el nombre auri
1 5
.
2
Representem primer 1 5 i tot seguit dividim el segment de longitud 1 5 en dues parts iguals.
Aproximacions i errors
68. Escriu l’expressió aproximada que s’indica a cada un dels casos següents.
a)
13
aproximant per excés amb dues xifres decimals.
11
b)
123 aproximant per defecte amb tres xifres decimals.
c) 2 arrodonint amb tres xifres decimals.
a)
13
11
1,19
b)
123
c) 2
11,090
13,011
69. Escriu aproximacions per excés i per defecte amb tres xifres decimals dels nombres següents.
a)
b)
2
c)
2 2
Excés
Defecte
d)
2 2 2
2
2 2
2 2 2
1,415
1,414
1,682
1,681
1,835
1,834
2 2 2 2
2 2 2 2
1,916
1,915
70. Indica el nombre de xifres significatives en cada cas.
a) 22,3
b) 0,045
c) 1,002
d) 230,025
a) Tres
b) Dues
c) Quatre
d) Sis
71. Determina els arrodoniments següents.
12
a)
3
amb tres xifres significatives
46
b)
17 amb quatre xifres significatives
c)
2 2 3 amb quatre xifres significatives
a)
3
46
0,0652
b)
17
4,123
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
c)
2 2 3
4,878
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
72. Calcula i escriu el resultat d’acord amb les xifres significatives de les quantitats que intervenen.
a) 12,3 0,34 14,25
d) 10,5 · 23,33 5,003 · 10,15
b) 0,453 · 32,42
e) 2,34 5,007 · 2,75
c) 0,003 4 · 0,000 045
f) 15,03 : 2,6
a) 12,3 0,34 14,25 1,6
d) 10,5 · 23,33 5,003 · 10,15 194
b) 0,453 · 32,42 14,7
e) 2,34 5,007 · 2,75 11,4
c) 0,003 4 · 0,000 045 0,000 000 15
f) 15,03 : 2,6 5,8
73. Calcula els errors absolut i relatiu que es comenten en agafar 3,29 com a valor de
Ea
E
3
23
23 329
3
i Er a
3,29
23 2300
7
7 100 700
7
0,0013
74. Calcula els errors absolut i relatiu comesos en agafar com a valor de
Ea
120
120 1091
1
10,91
11
11 100
1100
Er
Ea
1
120 12000
11
23
.
7
120
l’aproximació de 10,91.
11
75. Hem arrodonit un nombre a les unitats de mil i hem obtingut 35 000. Quin és l’error absolut màxim i l’error
relatiu màxim que hem comès?
El nombre més distant que en arrodonir-lo als milers dona 35 000 és 34 500. Per tant, l'error absolut màxim que
podem cometre és:
Ea 35000 34500 500
L'error relatiu és:
Er
500
0,014285...
35 000
76. 5,35 és l’arrel quadrada d’un nombre arrodonit a les centèsimes. Determina l’error absolut màxim i l’error
relatiu màxim que s’ha comès.
El nombre més distant que en arrodonir-lo a les centèsimes dona 5,35 és 5,345. Per tant, l'error absolut màxim que
podem cometre és:
Ea 5,35 5,345 0,005
L'error relatiu corresponent serà:
Er
13
0,005
0,00093457...
5,35
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
Potències i radicals
77. Calcula el valor de les expressions següents.
2
a) 4 2 32
1
b)
2
2
c)
2
2
2
2
3
2
a) 4 2 3
1
b)
2
c)
23 32
32 61
d)
2
2
2
3 4
2
3
e) 4 3
2 3
2
1
6 2
f)
3
20 21 ... 28
4 2 3 4 481 81
2
2
2
2
3
4
2
22 2
32
9
1
4
2
2
2
2
2 32 3 22 18 12 30
108
1 1
5
32 61
9 6
18
1
6 2
2 2 8
d)
3
2
3 4
2
3
e) 4 3
2 3
f)
3
22 33 4 3
2 3 34 81
32 26
20 21 ... 28 1 2 4 16 32 64 128 256 512 171
78. Troba les multiplicacions i divisions amb radicals següents.
23 46 8
a)
4
x 3 x x3
b)
6
6
6
6
3
2 3 4 6 8 23 24 23 210 25 2 22 2 3 4
b)
x 3 x x3
3 4 27
c)
3
81
x x
d)
3
x
12
12
4
3
x6
12
12
39
36
12
x3
x
x4
12
x19 x
12
x9
12
4
1
1
311
12
12
3
3 12 3 311
12
81
d)
x x
3
x
x7
12
12
x
x9
12
316
12
3
3
a)
4
3 4 27
c)
3
311
3
x5
79. Realitza les sumes i restes de radicals següents.
a)
2 8 32
a)
2 8 32 2 23 25 2 2 2 4 2 7 2
b)
c)
14
3
b)
3
3
81a3 2a 3 24
c)
3 2 27 12
3
81a3 2a 3 24 34 a3 2a 23 3 3a 3 3 4a 3 3 7a 3 3
3 2 27 12 3 2 33 22 3 3 6 3 2 3 5 3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
d)
23
1
24 3 81 3 375
3
2
SOLUCIONARI
d)
UNITAT 1. NOMBRES REALS
23
1
23 3
13 4 3
4
3
29 3
24 3 81 3 375
2 3
3 3 53 3 3 3 3 5 3 3
3
3
2
3
2
3
2
6
80. Simplifica el valor de les expressions següents.
1
1 2
c) a a 3
3 3 3
a)
4
e)
1
b)
3
d)
8
2
3
3
2
3
2
1
1
h) 2
2
2
16 2 9 2
f)
2
8
3 3 3 34 32 3 37
a)
b)
23 4
g) 2 3 2 2
390 625a5b16
3
2 3 4
3 6
23 24
18
27
1
1
2
1 2
4 2
3
c) a a 3 a 3 a 3 a2
2
3
3
2
d)
2
3
3
2
2 2 3 3
6
23
6
5
6
5 6
6
4
390 625a5b16 58 a5b16 52 ab4 4 a 25ab4 4 a
e)
4
f)
16 2 9 2 16 729 4 27 31
1
3
g) 2 3 2 2
2 9 12 2 8 34 24 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 6
1
3
3
3 2
1 2 6 6 7 2 6 7
6
h) 2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
81. Opera i simplifica les expressions següents.
a)
3 22 3
b)
1 2 1 2
c)
2
3
18 2 3 6
4
a)
3 22 3 2 3 3 4 2 3 7 4 3
b)
1 2 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 2
d) 2 2 3 2
3
3
3
3
e)
2
2 3 2 2 3 2
2
14
1
80 4 405 4 5
3
2
3
2
3
1 3 2 6 2 2 1 3 2 6 2 2 10 2
c)
d) 2 2 3 2
e)
15
2
3
3
39
9
18 2 3 6
2 32 12 4 2 32 6 18 12 2 18
2 10 2
4
4
4
4
2 3 2 2 3 2 2 4 12 2 18 4 18 30 24 2
2
14
1
14 4
14 4
2
3
11
80 4 405 4 5
2 5
3 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5
3
2
3
2
3
2
6
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
82. Racionalitza els denominadors de les expressions següents.
a)
b)
5
2 5
3y
5
2 y
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 6
c)
d)
2
5
2 5
25 y 2
2 6
3 2
x 1
2 x 1
2
1 2
3 2
x 1
f)
2 x 1
2
1 2
6 6
2 3 3 2
5 5
5
10
2
3y
e)
3y 5 y 3 3 5 y 3
2y
2
3 2 2 18 2 12 2 2 3 2 2 3 6 2 4 3
32
3 2 3 2
2 6
2
x 1 x 1
2 x 1
2 1 2
1 2 1 2
6 6
2 3 3 2
2
x 1
2
2 2
2 2
1 2
6 6 2 3 3 2
2 3 3 2 2 3 3 2
12 18 18 12 12 2 32 18 22 3 36 2 36 3
6 3 6 2
12 18
6
6
Intervals i entorns
83. Donats els intervals A (2, 4) i B [1, 6) calcula i representa:
a) A B
b) A B
a) A B 2, 6
b) A B 1, 4
84. Donats els conjunts A 1, , B , 0 i C 1, 1 , calcula:
16
a) A B
c) A B C
e)
A B C
b) A B C
d) A B C
f)
A B C
a) A B ,
c) A B C 1, 0
e)
A B C C , 1 1,
b) A B C ,
d) A B C A 1,
f)
A B A B A B C
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
85. Expressa en forma d’interval i d’entorn els conjunts de nombres reals següents.
1 3
2 4
e)
x 3 7
2
3
f)
x
a)
x 3 5
c)
x
b)
x 3 0,25
d)
x2
2
10
5
a) E 3, 5 (3 5, 3 5) ( 2, 8)
b) E 3; 0,25 3 0,25; 3 0,25 3,25; 2,75
1 3 1 3 1 3 5 1
c) E , , ,
2 4 2 4 2 4 4 4
2
2
2 8
4
d) E 2, 2 , 2 ,
3
3
3 3
3
e) No es pot expressar ni en forma d’interval ni d’entorn, però sí que es pot expressar com a unió d’intervals:
, 4 10, .
f) No es pot expressar ni en forma d’interval ni d’entorn, però sí que es pot expressar com a unió d’intervals:
52 48
,
5 , .
5
Notació científica
86. Escriu en notació científica els nombres següents.
23
a) 12 345 678
c) 0,000 000 000 331
e) 0,0097 · 10
b) Seixanta bilions
d) 967 · 10
f) 0,000 000 001 23
25
a) 12 345 678 1,234 567 8 · 10
b) Seixanta bilions: 6 · 10
d) 967 · 10
7
25
13
e)
0,0097 · 10
c) 0,000 000 000 331 3,31 · 10
23
9,67 · 10
23
9,7 · 10
20
f) 0,000 000 001 23 1,23 · 10
10
9
87. Realitza les operacions següents expressant el resultat en notació científica.
a) 250 000 · 5,5 · 10
5
b)
0,00016 25 103 2000
0,0025
c) 0,000 001 5 : 0,000 03 d)
a) 250000 5,5 105 2,5 105 5,5 105 13,75 1010 1,375 1011
b)
1,6 10 2,7 10 1,728 10
4
0,00016 25 103 2000
4
3
2,5 103
0,0025
c) 0,000 0015 : 0,000 03 1,5 106 : 3 105 0,5 101 5 102
d)
1023 5,6 1012
5,6 1011
3,5 1022 4,3 1021 3,93 1022
1,425 1011
88. Troba les sumes i restes següents i expressa el resultat en notació científica.
a) 0,32 · 10 7,128 · 10
14
b) 4,88 · 10 7,921 · 10
12
14
12
a) 0,32 · 10 7,128 · 10 32 · 10 7,128 · 10 39,128 · 10 3,9128 · 10
14
12
12
12
12
13
b) 4,88 · 10 7,921 · 10 4,88 · 10 792,1 · 10 796,98 · 10 7,9698 · 10
14
17
12
14
14
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
14
12
1023 5,6 1012
3,5 1022 4,3 1021
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
QÜESTIONS
89. Escriu un exemple de nombre irracional que estigui comprès entre 2 i
Per exemple
3.
2 3
. Aquest nombre és irracional, ja que si fos racional, també ho seria
2
també seria racional
2 3 i, per tant,
2 3 2 2 6 3 5 2 6 , i d’aquí es deduiria que també seria racional
2
6, i
sabem que això no és cert.
90. Explica un mètode per tal de representar el nombre real
de
n 1 a la recta real si es coneix la representació
n.
Només s’ha d’observar que
n 1 és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets
n i 1.
91. Indica, raonadament, si les afirmacions següents són certes o falses.
a) La suma de dos nombres irracionals és sempre un nombre irracional.
b) La suma de dos nombres racionals pot ser irracional.
c) El conjunt numèric més ampli al qual pertany el nombre −2 és el conjunt dels nombres enters
.
d) Existeix un índex n tal que l’arrel enèsima del nombre −122 és un nombre real.
e) Tots els nombres enters són reals, però no tots els nombres reals són enters.
f) Alguns nombres decimals són irracionals.
a) Fals, per exemple,
2 i 2 són irracionals, però la seva suma,
2 2 0 , és racional.
b) Fals, ja que la suma de dues fraccions sempre es una fracció.
c) Fals, el conjunt numèric més ampli al qual pertany el nombre 2 és el conjunt dels nombres reals.
d) Fals, si l’índex n és parell l’arrel no existeix, i si és senar l’arrel és negativa.
e) Cert, el conjunt dels nombres enters està contingut en el dels nombres reals, però, per exemple, 0,5 és un
nombre real que no és enter.
f) Cert, per exemple o qualsevol nombre decimal no periòdic.
92. Divideix gràficament l’interval [3, 7] en tres parts de manera que la segona sigui el doble de la primera, i la
tercera, el doble de la segona. Indica els nombres fraccionaris que determinen de manera exacta les
divisions realitzades.
93. Calcula els valors a, b i c de la figura següent.
a 2
18
8 22
8 46
8
18
b 2 4
c 2 4
7 7
7
7
7
7
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
PROBLEMES
94. Es vol tancar el perímetre d’un camp rectangular del qual se sap que un dels seus costats mesura el triple
que l’altre i que la seva diagonal és de 50 m.
a) Determina la superfície que ocupa aquesta parcel·la.
b) Calcula el preu que s’ha de pagar si cada metre de tanca costa 15 €. Expressa el resultat en forma de radical i
després aproxima als cèntims d’euro.
a) Siguin
x
i
3x
les
dimensions,
en
metres,
del
camp.
x 2 3x 502 10x 2 2500 x 2 250 x 250 5 10
2
Tenim
m; per
tant, la superfície de la parcel·la és S x 3x 3x2 750 m .
2
b) El perímetre del camp és P 2 x 3x 8x 40 10 m; per tant, s’han
de pagar 15 40 10 600 10 €
1897,37 €.
95. Una habitació en forma d’ortoedre de base quadrada i amb una alçada de la meitat del costat de la base es
va pintar en tres dies. Es van pintar les quatre parets i el sostre. El primer dia es va pintar la tercera part de
2
la superfície, el segon dia, la meitat del que quedava, i el tercer dia, els 15 m que faltaven per acabar la
feina.
a) Calcula la superfície total de l’habitació i la superfície que s’ha fet cada dia.
b) Calcula les mides de cada una de les parets i el volum amb la precisió que consideris adequada.
a) Fixem-nos que si el primer dia es va pintar la tercera part de la superfície, encara en
quedaven per pintar dues terceres parts. El segon dia es pinta la meitat d’aquestes
dues terceres parts, és a dir, una altra tercera part, i el darrer dia la tercera part que
2
faltava. Per tant, els tres dies s’ha pintat la mateixa superfície, 15 m , i la superfície
2
total és de 45 m .
Primer
dia
Segon dia
15 m2
b) Si 2a és el costat de la base i a l’altura, tenim: 4 2a a 2a 2a 8a2 4a2 12a2 45 a 1,94 m.
Per tant, cada paret mesura 3,88 m de llarg i 1,94 m d’alt, i el volum de l’habitació és
3
V 2a 2a a 4a3 29,21 m .
96. Amb el propòsit de millorar les ajudes socials i la despesa en cultura dels pressupostos d’un ajuntament,
es va portar a terme una enquesta sobre les activitats culturals que interessaven als adolescents entre 16 i
20 anys. Sabent que el 81,818 1… % va contestar que li interessava el cinema i que el 14,583 33… % va
contestar que no li interessaven les conferències de divulgació científica, què pots dir en relació amb el
nombre de persones que van respondre a l’enquesta?
81,8181...
81 9
0,818181... 0,81
100
99 11
14,58333...
14 583 1458 13125
7
0,1458333... 0,14583
100
90 000
90 000 48
7
9
dels enquestats els interessa el cinema i a
no els interessen les conferències de divulgació científica, de
48
11
manera que el nombre d’enquestats ha de ser múltiple d’11 i de 48, és a dir, múltiple de 528.
A
Així, doncs, no podem conèixer amb certesa el nombre d’enquestats, només podem deduir que és múltiple de 528.
Pot ser 528, 1056,…
19
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
2
97. L’àrea del quadrat de la figura mesura 10,25 m . Calcula, aproximant als decímetres:
a) La diagonal del quadrat.
b) L’àrea del cercle inscrit.
c) L’àrea del cercle circumscrit.
Siguin R, r i c, respectivament, el radi del cercle circumscrit, el radi del cercle inscrit i el costat
del quadrat.
a) c 2 10,25 c 10,25
3,2 m
Per tant, la diagonal del quadrat és D 2l 2 2 10,25
b) r
c
1,6 m
2
Per tant, l’àrea del cercle inscrit és S1 r 2
c) R
4,5 m 45 dm .
8,04 m2 804 dm2 .
D
2,25 m
2
Per tant, l’àrea del cercle circumscrit és S2 R2
15,90 m2 1590 dm2 .
98. Una entitat bancària canvia euros per dòlars cobrant, a més del valor corresponent dels dòlars, una
comissió que depèn de la quantitat que es vulgui canviar, segons la taula següent.
Quantitat de dòlars que es compren
Menys o igual que 200
Entre 200 i 500
Entre 500 i 1000
Més o igual que 1000
Comissió en euros
10
12
14
15
Se sap que en realitzar la compra de 300 $ s’han hagut de pagar 251,16 €.
a) Calcula, amb quatre xifres decimals significatives, el preu del dòlar en euros i el preu de l’euro en dòlars sense
tenir en compte la comissió.
b) Calcula els dòlars que s’han aconseguit si s’han pagat 750 €.
c) Calcula els euros que s’haurien de pagar per rebre al canvi 150 $.
d) Calcula els euros que s’haurien de pagar per 1400 $. I si es compressin en set paquets de 200 $?
a) Sense tenir en compte la comissió, 300 $ equivalen a 251,16 12 239,16 €. Per tant, també sense comissió,
239,16
0,7972 €, i un euro equival a 1,2544 $.
un dòlar equival a
300
b)
750 14 1,2544 923,24 $
c) 150 0,7972 10 129,58 €
d) 1400 0,7972 15 1131,08 €
Si es compren en set grups de 200 $: 7 200 0,7972 10 1186,08 €.
20
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
99. Una empresa elabora llaunes de conserva en forma cilíndrica, les dimensions de les quals són: 5 cm de
radi de la base i 10 cm d’alçada. Després d’un estudi de mercat, decideixen canviar la forma de les llaunes:
seran ortoedres de base quadrada i amb una alçada del doble que el costat de la base.
Quines seran les dimensions de la nova forma si la capacitat ha de ser la mateixa? Estableix la solució
amb l’aproximació que consideris adequada.
El volum de les llaunes és V 52 10 785,4 cm3 ; per tant, tenim:
2x 3 785,4 x 7,32 cm
És a dir, les llaunes noves han de mesurar 7,32 cm de costat de la base i 14,64 cm
d’altura.
100. En una població de 145 340 habitants hi ha 42 310 menors de 18 anys. Quins errors absolut i relatiu es
cometen si s’agafa com a percentatge de menors d’edat el 29 %?
Estem aproximant
Ea
42310
4 231
145 340 14 534
4 231
29
807
14 534 100 726 700
0,2911105 per
0,0011105
29
0,29 ; per tant, els errors comesos són:
100
Er
Ea
807
42310 211550
14 534
0,0038156
101. El radi d’una circumferència s’ha mesurat amb un error menor de 0,1 cm, obtenint-se 10,2 cm.
Utilitza l’aproximació de que consideris adequada d’acord amb les dades del problema.
a) Calcula els valors màxim i mínim de la longitud d’aquesta circumferència, i també l’àrea del cercle que limita.
b) Calcula els valors màxim i mínim de la longitud que es recorrerà quan es facin exactament 5000 voltes.
a) Si r és el radi de la circumferència, tenim 10,1 r 10,3 ; per tant, aproximant per 3,14 obtenim:
2 10,1 2r 2 10,3 63,43 cm longitud 64,68 cm
10,12 r 2 10,32 320,31 cm2 àrea 333,12 cm2
b) 5000 · 63,43 < longitud de 5000 voltes < 5000· 64,68 317 150 cm < recorregut < 323 400 cm
101. L’escala cromàtica està formada per dotze sons separats cada un per un semitò: do, do sostingut, re, re
sostingut, mi, fa, fa sostingut, sol, sol sostingut, la, la sostingut i si.
El nombre de vibracions per segon de cada nota és igual al producte del nombre de vibracions de la nota
anterior pel nombre irracional 12 2 .
Suposant que el nombre de vibracions per segon corresponent a la nota La és 440, calcula, amb
l’aproximació de nombres enters:
a) Les vibracions per segon que corresponen a la nota La sostinguda.
b) Les vibracions per segon que corresponen a la nota La bemoll.
c) Escriu les vibracions per segon corresponents a cada un dels dotze semitons.
a) Vibracions per segon de La sostingut: 440 12 2 466,16
440
b) Vibracions per segon de La bemoll: 12 415,3
2
21
415
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
466
SOLUCIONARI
c)
UNITAT 1. NOMBRES REALS
Do
Do
sostingut
Re
Mi
bemoll
262
277
294
311
Mi
Fa
Fa
sostingut
Sol
La
bemoll
33
0
349
370
392
415
La
44
0
Si
bemo
ll
466
Si
494
103. Una empresa cobra pel lloguer d’una furgoneta 80 € diaris. Una altra empresa cobra pel mateix lloguer 60 €
al dia, però a aquesta quantitat se li han d’afegir 200 € independentment del temps que es contracti.
A partir de quants dies és més econòmica la segona empresa? Escriu la solució en forma de desigualtat i
d’interval.
Si es lloga la furgoneta n dies, la primera empresa cobra 80n i la segona 60n 200. La segona empresa serà més
econòmica quan 60n 200 80n n 10 dies 10,
104. En mesurar l’alçada d’una persona de 180 cm, s’han obtingut 178 cm. En mesurar l’alçada d’un edifici de
39 m, s’han obtingut 40 m. Calcula els errors absolut i relatiu de cada mesura i indica raonadament quina
de les dues és més precisa.
Errors en la mesura de la persona: Ea 180 178 2 cm i Er
Errors en la mesura de l’edifici: Ea 39 40 1 m i Er
2
0,011
180
1
0,026
39
Com que l’error relatiu és més baix en la mesura de la persona, es més precisa aquesta mesura.
105. L’aresta d’un cub fa 1,252 cm. Per calcular la seva superfície utilitzem com a aproximació el valor d’1,25
cm. Quin és l’error absolut i l’error relatiu que cometem?
Calculem la superfície amb els dos valors, la mesura real i l'aproximada:
Aresta d'1,252 cm:
A 6 c c 6 1,252 1,252 9,405024 cm
2
Aresta d'1,25 cm:
A 6 c c 6 1,25 1,25 9,375 cm
2
L'error absolut és:
Ea 9,405024 9,375 0,030024
I l'error relatiu és:
Er
0,030024
0,00319233...
9,405024
106. Calcula la mida de la diagonal d’un paral·lelepípede els costats del qual mesuren
respectivament. Quin tipus de nombre és el resultat?
10 ,
Aproxima el resultat arrodonint a dos decimals i calcula els errors absolut i relatiu comesos.
d 5 10 15 cm D 15 8 23 cm .
La diagonal és un nombre irracional, que aproximem per 4,80 cm; per tant:
22
Ea
23 4,80 4,79558 4,80 0,00417
Er
Ea
23
0,00417
0,000 87
4,79
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
8 i
5 cm,
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
107. Un jardí quadrat té 50 m de costat. Dues persones passegen a la mateixa velocitat, una pel perímetre del
quadrat i l’altra recorrent una diagonal. Si parteixen simultàniament de la mateixa cantonada del jardí, es
tornaran a trobar?
Si es troben ho faran a la cantonada oposada; en aquest cas, com que van a la mateixa velocitat, han d’haver
recorregut el mateix espai.
Ara bé, l’espai recorregut per la persona que avança pel perímetre és de 100 m i el recorregut per la persona que
va per la diagonal és 50 2 70,71 m, de manera que no es trobaran.
Ens podem preguntar si s’acabaran trobant si continuen passejant ininterrompudament, l’una seguint el perímetre i
l’altra recorrent una vegada i una altra la diagonal.
Per resoldre aquest problema ens hem de fixar que si es troben ho faran en una de les cantonades de la diagonal
que recorre la segona persona i, com que caminen a la mateixa velocitat, han d’haver recorregut la mateixa
distància.
Ara bé, la persona que va pel perímetre haurà recorregut 100a metres per a algun enter positiu a, mentre que la
persona que avança per la diagonal haurà recorregut 50 2b metres per a algun enter positiu b.
2a
, és a dir, 2 seria racional, i sabem que això no és cert. Deduïm
b
llavors que els caminants no es trobaran mai, encara que passegin indefinidament.
Per tant, obtindríem 100a 50 2b 2
108. Un determinat tipus de protozou té un diàmetre de 2 · 10 m. Calcula quants protozous hauríem de situar,
un al costat de l’altre, per aconseguir una longitud d’1 cm.
5
0,01 : (2 · 10 ) 500 protozous
5
109. La velocitat de la llum al buit és de 299 792,458 km/s. Aquest valor és exacte perquè la longitud d’un metre
es defineix a partir d’aquesta constant.
Quin és l’error relatiu que cometem si l’arrodonim a les centenes de miler?
L'error absolut és:
Ea 300000 299792,458 207,542
I l'error relatiu és:
Er
207,542
0,000691806
300 000
110. El diàmetre d’una molècula d’aigua mesura aproximadament 3 · 10
10
m.
a) Calcula el volum d’una molècula d’aigua suposant que la seva forma és aproximadament esfèrica. Expressa el
resultat en notació científica.
b) Calcula el nombre de molècules d’aigua que hi ha en una gota de 3 mm de diàmetre. Expressa el resultat en
notació científica.
3
a) V
4 3
9
1010 1030 14,14 1030 1,414 1029 m3 1,414 1020 mm3
3 2
2
3
b) El volum de la gota és
23
14,14
4 3
9
1021 molècules d’aigua.
14,14 mm3 ; per tant, conté
3 2
2
1,414 1020
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
111. Les bases d’un trapezi rectangular mesuren 85,2 i 112,3 m, respectivament. La longitud del costat
perpendicular a les bases es coneix prèviament i amb una major precisió: és de 48,76 m. Calcula, amb la
precisió adequada, l’àrea i el perímetre.
l 48,762 27,12 55,8 m
Perímetre: 85,2 48,76 112,3 55,8 302,1 m
Àrea:
112,3 85,2 48,76 4815,1 m2
2
112. Desenvolupa el valor de l’expressió x 1 x 3 eliminant els valors absoluts. Per fer-ho realitza els
passos següents:
1r. Calcula els valors reals x que anul·len els valors absoluts que intervenen en l’expressió; és a dir, x 1 i
x 3 .
2n. Representa a la recta real les solucions obtingudes en l’apartat anterior. La recta queda dividida en tres
intervals o zones.
3r. Per a cadascun dels intervals anteriors i amb l’ajuda de valors representants, estudia el signe de l’interior dels
dos valors absoluts i obtén l’expressió sol·licitada en cada cas.
1r. Els valors absoluts s’anul·len si x 1 o x 3
3r.
x < 1
1 < x <3
x>3
x1
Negatiu
Positiu
Positiu
x3
Negatiu
Negatiu
Positiu
Per tant,
2n.
x 1
x 1 x 3 si
x 1
2x 2 si
x 1 x 3 x 1 x 3
si 1 x 3 4
si 1 x 3
x 1 x 3
x 3
si
x 3
2x 2 si
113. Seguint el procediment explicat a l’exercici anterior, desenvolupa el valor de les expressions següents
ometent els valors absoluts.
a)
x 1 x 1
b) x x x 2
a) Els valors absoluts s’anul·len si x 1 o x 1 , i s’obté:
X < 1
1 < x <1
x>1
x1
Negatiu
Positiu
Positiu
x1
Negatiu
Negatiu
Positiu
x 1
x 1 x 1 si
2x si
x 1
Per tant, x 1 x 1 ( x 1) x 1
si 1 x 1 2 si 1 x 1
x 1 x 1
si
x 1
2x si
x 1
b) Els valors absoluts s’anul·len si x 0 o x 2 , i s’obté:
24
x<0
0 < x <2
x>2
x
Negatiu
Positiu
Positiu
x2
Negatiu
Negatiu
Positiu
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
x0
x x x 2 si
x 2 si
x0
Per tant, x x x 2 x x x 2 si 0 x 2 x 2 si 0 x 2
x x x 2 si
3 x 2 si
x2
x2
114. És
6 4 2 6 4 2 un nombre enter? Calcula’n el quadrat i observa’n el resultat.
2
2
2
6 4 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 2 36 32
12 4 16 6 4 2 6 4 2 16 4 , és a dir,
6 4 2 6 4 2 sí que és un nombre enter.
115. Simplifica l’expressió 59 30 2 escrivint-la com la suma d’un nombre enter i l’arrel quadrada d’un
nombre natural. Per fer-ho, intenta expressar el radicand com el quadrat perfecte d’un binomi.
59 30 2 9 50 2 3 5 2
3 5 2 3 5 2
2
116. a) Demostra que 0,9 1 .
b) Calcula el valor de 0,9 0,09 0,009
10 A 9,999
a) A 0,9 0,999...
9A 9 A 1
A 0,999...
b)
0,9 1; 0,09
25
9
1
9
1
0,1 i 0,009
0,01 0,9 0,09 0,009 1 0,1 0,01 1,11
90 10
900 100
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
ENTORN MATEMÀTIC
Compres a terminis
L’Ignasi treballa en una multinacional i l’han traslladat a una seu situada en un parc industrial a uns 50 km del
seu domicili habitual, en una localitat de la mateixa comunitat. A més, per fer-li la vida encara més còmoda, com
a mínim dues tardes a la setmana ha d’anar a reunions a l’antiga oficina.
L’Ignasi ha investigat a la xarxa de transports de la comunitat com ho pot fer per anar amb transport públic a la
feina i estalviar-se els embussos, però li ha sorgit un problema. Si vol arribar a temps a les reunions, l’Ignasi
s’ha de comprar un cotxe, però no es pot permetre comprar-lo al comptat.
Per sort per l’Ignasi, a la majoria de concessionaris que ha consultat, li han ofert un pla de terminis per comprar
el cotxe.
El preu total es realitza en diversos pagaments.
El primer pagament serà igual a les dues cinquenes parts del total.
Un pagament mensual, durant 40 mesos, que cobreixi cinc sisenes parts del que queda.
Un últim pagament de 1200 € passats els 40 mesos.
L’administració del concessionari s’ha oblidat, inexplicablement, d’indicar el preu total del vehicle.
a) L’Ignasi té les dades suficients per calcular el preu total del vehicle? Si és així, com ho ha de fer per trobar-lo?
b) Calcula els diners que ha de pagar d’entrada l’Ignasi, en el primer pagament.
c) Quant ha de pagar en total durant els 40 mesos? I cada mes?
d) L’Ignasi té estalviats 5000 €. En tindrà prou per pagar el primer termini?
a) Es pot calcular el preu total del vehicle de la manera següent:
El primer pagament suposa
2
3
del preu total, de manera que encara quedarien per pagar
del preu total.
5
5
5
5 3 1
del que queda, és a dir, el segon pagament suposa
del preu total, de
6
6 5 2
2 1 9
1
manera que ja s’hauran pagat
, i quedarà per pagar
del preu del vehicle, que equival a 1200 €.
5 2 10
10
Durant 40 mesos es paguen
A la figura tenim un raonament alternatiu que prova que el segon termini equival a
pagament, 1200 €, equival a
15 1
del preu total, i el tercer
30 2
3
1
del preu total.
30 10
Per tant el preu del vehicle és 10 1200 12000 €.
b) L’Ignasi ha de pagar com a entrada
c) En els 40 mesos següents pagarà
2
12000 4 800 €.
5
1
12000 6 000 €, és a dir, 6000 : 40 150 € cada mes.
2
d) Sí que en tindrà prou per afrontar el primer pagament.
26
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
PRIMER
PAGAMENT
SEGON
PAGAMENT
TERCER
PAGAMENT
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
Formats de paper DIN
Quasi tots els estàndards de fabricació es regeixen per normes i convenis internacionals. Un d’ells és el format
DIN per a l’elaboració de paper i que segueix una gran part dels fabricants mundials. Com a curiositat, aquest
format segueix la norma ISO 216 que es basa en la DIN 476, de l’any 1922, i que segueix les regles següents:
El format A0 és un rectangle d’1 m d’àrea.
2
El format A0 és tal que si es doblega per la meitat s’obté el format següent, l’A1. De la mateixa manera, si
dobleguem el format A1 per la meitat, s’obté el format següent, l’A2. Aquesta regla se segueix de manera
successiva per tal d’obtenir tots els formats: A3, A4, A5, etc.
Tots els formats són rectangles les dimensions dels quals tenen la mateixa proporció. És a dir, en qualsevol
format el quocient de les seves dimensions és sempre el mateix.
a) Comprova que la raó entre la dimensió gran i la petita en qualsevol format és
2.
1
b) Comprova que les dimensions del format A0 són a 4 2 i b 4
m.
2
c) Elabora una taula amb un full de càlcul on apareguin les dimensions, arrodonides als mil·límetres, dels diferents
formats A0, A1, A2, A3, A4, etc.
a) Siguin an i bn la dimensió gran i petita, respectivament, del rectangle de format An. Tenim:
2
a
an an 1 bn
a2
a
n bn 2 n 2 n 2
bn bn 1 an
2
b
bn
n
2
a0 b0 1
1
2b0 b0 1 b02
b0
b) a0
2
2
b
0
1
1
1
1
4
4 i a0 2 4 22 4 4 2 m
2
2
2
2
c)
2
Dimensió gran (m) Dimensió petita (m) Àrea (m )
A0
"2^(1/4)"
"B2/(2^(1/2))"
"B2*C2"
A1
"C2"
Copiar C2
Copiar D2
A2
A3
A4
…
2
Dimensió gran (m) Dimensió petita (m) Àrea (m )
A0
1,189
0,841
1
A1
0,841
0,595
0,5
A2
0,595
0,420
0,25
A3
0,420
0,297
0,125
0,297
0,210
0,0625
A4
…
27
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
AUTOAVALUACIÓ
Comprova el que has après
1.
Indica el conjunt numèric més petit al qual pertanyen:
a)
15
7
c) 1,151515…
2
e) 10,15161718…
2
b) 1 2
d)
a) Racionals
c) Racionals
e) Reals
b) Reals
d) Reals
f) Enters
f)
2
3
8 4 81
1
5.
2
2.
Representa a la recta real el nombre irracional
3.
Aproxima fins a les centèsimes per excés i per defecte els nombres
2
i 2 . Quines són les
aproximacions per excés i per defecte del producte 2 2 ?
4.
1,42
1,41
6,3
6,2
Dibuixa en una recta real la zona de valors reals x tals que 2 x
2x
5.
1,5
1,4
6,29
6,28
9,45
8,68
Calcula els errors absolut i relatiu que es cometen en agafar 1,86 com a valor de
13
13 186
1
1,86
7
7 100 350
1
1
350
Error relatiu: Er
13
650
7
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
8,9318
8,8548
1
1 i determina-la mitjançant un interval.
3
1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 2
1 x E , , ,
3
6 2
6 2 6 2 6 2 3 3
Error absolut: Ea
28
2 2
2
2
Excés
Defecte
13
.
7
SOLUCIONARI
6.
UNITAT 1. NOMBRES REALS
Calcula el valor de:
3
a) 2 x y
1
25 xy
5
3
a) 2 x y
1
1 2
25xy 2x xy
5 xy 2x xy xy 2x 1 xy
5
5
3
b) b 3 a4 2a 3 ab3 b 3 192
3
3
b) b a4 2a ab3 b 3 192 ab 3 a 2ab 3 a b 26 3 3ab 3 a 4b 3 3
7.
Simplifica tot el que puguis les expressions següents.
a)
23 62
183
2 3 3
b)
c) (3 2)2 (3 2)2
d)
3
3
3
2 3 16
3
2 32
23 62
183
23 36
34 81
3 2 2 2
a)
3
3
2
2
4
18
2 6
2 2 3
2
23 2 3
2 3 3
b)
6
23 32
23 32 12 72
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 2 2 12 2
2
c)
12
2
També podríem haver calculat: 3 2 3 2 9 6 2 2 9 6 2 2 12 2
2
8.
2
8
La distància màxima de la Terra a la Lluna és de 4,07∙10 m i el radi de la Lluna fa 1737 km. Calcula la
distància de la Terra a la Lluna agafant com a unitat el diàmetre de la Lluna.
Diàmetre de la Lluna: 3474 km
Distància màxima de la Terra a la Lluna: 4,07 108 m 4,07 105 km
9.
117,156 diàmetres lunars
Racionalitza els denominadors i simplifica tot el que puguis les expressions que en resultin:
a)
a)
2 3 1
b)
c)
b)
54
2 3 1
54
29
4,07 105
3474
4
1
4
54
54
2 3 1
2 3 1 54
54
543
54
4
1
4
54
c)
54
2 3 1
2 3 54 54 2 2 3 4 2 33 2 32 2 3 2 3 6 2 6
54
54
54
18
4
23 39 32 23 3 4 24
54
54
6
54 2 3 1
2 3 1 2 3 1
2 54 3 54 2 2 34 2 33
2 32 2 3 2 3 18 2 3 6
12 1
11
11
11
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
10. A partir de A 2,3 1012 i B 1,15 1011 , calcula:
a) A B
b) A B
c) AB
d)
A
B
a) A B 2,3 1012 1,15 1011 0,23 1011 1,15 1011 1,38 1011
b) A B 2,3 1012 1,15 1011 0,23 1011 1,15 1011 0,92 1011 9,2 1012
c) AB 2,3 1012 1,15 1011 2,645 1023
d)
A 2,3 1012
2 101
B 1,15 1011
11. Investiga les voltes que ha de fer la roda d’una bicicleta per recórrer 1500 m sabent que el radi de la roda fa
0,25 m. Expressa el resultat amb la màxima aproximació al nombre de voltes exactes.
1500
2 0,25
955 voltes
Relaciona i contesta
Tria l’única resposta correcta en cada cas
1.
L’invers del nombre irracional
A.
1
1 2
és:
1
2 1
B.
2 1
C.
2 1
D. Els nombres irracionals no tenen invers.
Òbviament, l’invers de
2.
1
1 2
és 1 2 , és a dir, la resposta C.
La diferència entre els nombres racionals A 1,121 i B 1,12 és:
A. 0
B. 0,1
C. 0,9
D. 0,09
A B 1,121 1,12
30
1121 11 112 1 1110 111 37 37
0 , la resposta A.
990
99
990 99 33 33
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
3.
UNITAT 1. NOMBRES REALS
A partir dels valors 12,25 i 0,025 i tenint en compte que l’última xifra escrita pot no ser correcta, el valor
que s’ha de prendre com la suma dels dos nombres és:
A. 12,275
B. 12,27
C. 12,28
D. 12,3
Els valors donats són aproximacions de les mesures reals; per tant, la primera de les mesures està entre 12,24 i
12,26, i la segona, entre 0,024 i 0,026.
Així, la suma està entre 12,264 i 12,286, i per això cal agafar com a suma el valor 12,3, la resposta D.
Marca, en cada cas, les respostes correctes
4.
Indica quins dels nombres següents són racionals.
A. 0,12122122212222…
B. 0,123412341234…
C. 0,112233445566…
2
D.
2
2
A i C són irracionals, ja que no són periòdics. En canvi, B és racional, ja que és periòdic. Finalment,
2
22
2
0 és racional. Per tant, les respostes correctes són B i D.
2
2
5.
Indica si les igualtats següents són certes per a valors reals estrictament positius:
A. a
bc a b c
B. abc ab
C.
c
a a
b c
D. a
c b
bc a b
a a a , de manera que B i C són certes. En canvi, A i D són falses; per exemple, 2 28 256 no
coincideix amb 2 4 64 ni amb 22 4 . Per tant, les respostes correctes són B i C.
b c
bc
2 3
31
23
c b
3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 1. NOMBRES REALS
Tria la relació correcta entre les dues afirmacions
6.
Siguin P i Q nombres reals. Es consideren les afirmacions:
1. Almenys un dels dos nombres reals P i Q és irracional.
2. P Q és irracional.
A. 1 2 però 2 1
B. 2 1 però 1 2
C. 1 i 2 són excloents entre elles.
D. Cap de les anteriors.
1 no implica 2; per exemple, si P es irracional i Q P, tindríem P Q 0 racional.
En canvi, 2 sí que implica 1, si P Q és irracional com a mínim un dels dos nombres reals P i Q és irracional, ja
que si els dos fossin racionals, P Q també ho seria.
Per tant, la relació correcta és la donada en B.
Marca la dada innecessària per respondre
7.
Amb les dades següents:
1. B 0, 6
2. A B 2, 6
3. A B 0, 5
Quin és exactament el subconjunt de nombres reals A?
A. Es pot eliminar la dada 1.
B. Es pot eliminar la dada 3.
C. Es pot eliminar qualsevol de les tres dades.
D. No es pot eliminar cap dada.
No es pot eliminar cap dada, resposta D, calen les tres per deduir que A 2, 5 .
32
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
2. Matemàtica financera
EXERCICIS PROPOSATS
1 a 5.
6.
Exercicis resolts.
Troba el valor dels logaritmes següents.
a) log2 3 2
e) log 1 4 8
c) log0,001 106
g)
log e e
h)
log5 0,2
i)
log7 491
4
b) log 10
d) ln 3 e
f)
1
log5 253
1
3
a) log2 3 2 x 2x 3 2 2 3 x
1
b) log 10 x 10x 10 10 2 x
1
2
c) log0,001 106 x 0,001x 106 103x 106 3x 6 x 2
1
d) ln 3 e x e x 3 e e 3 x
1
3
1
x
3
3
3
1
e) log 1 4 8 x 4 8 4 x 8 4 22 x 2 4 2x x
4
4
8
4
f)
log5 253 x 5x 253 56 x 6
g) log e e x
e e e e 2x 1 x 2
x
2
x
h) log5 0,2 x 5x 0,2
i)
7.
1
51 x 1
5
log7 491 x 7x 491 72
1
72 x 2
Troba el valor de x en les expressions següents.
a) log7 x 3
b) logx
1
3
7
c) log 1 x 3
d) logx 7 3
7
3
1
1
c) log 1 x 3 x x
343
7
7
a) log7 x 3 73 x x 343
b) logx
8.
Agafa logaritmes en l’expressió: T
T
33
1
1
3 x 3 x 3 7 x 3 7
7
7
d) logx 7 3 x 3 7 x 3 7
2x 2 y 3
.
z2
2x 2 y 3
2x 2 y 3
2 3
2
log
T
log
log 2x y log z log2 2log x 3log y 2log z
2
z2
z
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
9.
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
Considerant log 2 0,301 i log 3 0,477, calcula:
a) log 12
c) log
b) log 15
1
144
a) log12 log 22 3 2log2 log3 2 0,301 0,477 1,079
3 10
b) log15 log
log3 log10 log2 0,477 1 0,301 1,176
2
c) log
1
1
log 4 2 log1 4log2 2log3 0 4 0,301 2 0,477 2,158
144
2 3
10. Troba amb la calculadora els logaritmes següents i expressa’ls arrodonint a les mil·lèsimes.
a) log3 21
a) log3 21
11 a 13.
b) log0,01 12
log21
2,771
log3
b) log0,01 12
c) log 3 19
log12
0,540
log0,01
c) log 3 19
log19
log 3
5,360
Exercicis resolts.
14. El preu de l’habitatge va pujar durant l’any passat un 7 %, i durant aquest ha baixat un 2,5 %. Quant costa
avui una casa que fa dos anys costava 210 000 €? Quant costava fa dos anys una casa que avui costa 208
650 €?
Una casa que fa dos anys costava 210 000 €, ara costa 210 000 · 1,07 · 0,975 219 082,50 €.
Una casa que ara costa 208 650 €, fa dos anys costava
208 650
200 000 €.
1,07 0,975
15. Quin percentatge representen les 42 dones assistents en un congrés si el total d’assistents és de 96?
Quantes dones més haurien d’assistir per igualar els percentatges de tots dos sexes? I perquè el
percentatge de dones sigui del 60%?
Si x % és el percentatge de dones, tenim 96
x
42 0,96 x 42 x 43,75 , és a dir, les 42 dones
100
representen el 43,75 % dels assistents.
Per igualar el percentatge d’homes i dones hi haurien d’assistir el mateix nombre d’homes que de dones. Tenint en
compte que hi assisteixen 54 homes, hi haurien d’assistir 12 dones més per igualar els percentatges.
Anomenem a el nombre de dones que hi haurien d’assistir perquè el tant per cent de dones sigui del 60%. Com
60
a 0,6 a 54 a 0,4a 32,4 a 81 . És a dir, hi
que hi assisteixen 54 homes, tindríem a 54
100
haurien d’assistir 39 dones més.
16 i 17. Exercicis resolts.
18. Calcula els cinc primers termes de la successió de terme general an
Els cinc primers termes de la successió an
34
2n 1
són:
n2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2n 1
.
n2
SOLUCIONARI
a1
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
2 1 1
2 2 1 3
2 3 1 5
2 4 1 7
2 5 1 9
1; a2
; a3
; a4
; a5
2
2
2
2
4
9
16
25
1
2
3
4
52
19. Escriu els tres termes següents d’aquestes successions:
a) a1 1, a2 8, a3 27, a4 64, ...
b) a1 1, a2
1
1
1
, a3 , a4 , ...
2
3
4
c) a1 2; a2
3
4
5
; a3 ; a4 , ...
2
3
4
d) a1
1
1
3
5
, a2 , a3 , a4 , ...
2
5
8
11
Els tres termes següents són (entre parèntesi hi ha el terme general):
a) a5 125; a6 216; a7 343
a n
3
n
b) a5
1
1
1
; a6 ; a7
5
6
7
1
an
n
c) a5
6
7
8
; a6 ; a7
5
6
7
n 1
an
n
d) a5
7
9
11
; a6
; a7
14
17
20
20. Comprova si el terme
Per a n = 10, obtenim
a10
2n 3
an
3n 1
12
n2
pertany a la successió an
. En cas afirmatiu, digues quin lloc ocupa.
13
n3
12
. Ocupa, doncs, la desena posició.
13
10 2 12
10 3 13
21. Calcula el cinquè terme d’aquestes successions:
a) a1 1 i an 2 an 1 1 per a n ≥ 2
b) a1 5 i an ( 1)n an 1 per a n ≥ 2
c) a1 0, a2 1, i an an 1 an 2 per a n ≥ 3
Per calcular el cinquè terme s’han de trobar prèviament els anteriors.
a) a1 1; a2 2(1 1) 0; a3 2(0 1) 2; a4 2(2 1) 6; a5 2(6 1) 14
Així, doncs, a5 14
b) a1 5; a2 (1)2 5 5; a3 (1)3 5 5; a4 ( 1)4 ( 5) 5; a5 ( 1)5 ( 5) 5
Així, doncs, a5 5
c) a1 0; a2 1; a3 0 1 1; a4 1 1 2; a5 2 1 3
Així, doncs, a5 3
35
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
22. Calcula el valor del paràmetre k per tal que el quart terme de la successió an
a4
6 n2
sigui igual a 2.
3 kn
6 42
10
1
2
2 10 2 3 4k 10 6 8k k
3 4k
3 4k
2
23 i 24. Exercicis resolts
25. Calcula el terme general d’aquestes progressions aritmètiques:
a) a1 = –5 i la diferència d = 3.
b) a1 5 i a2 2 .
c) a4 = 4 i la diferència és d = –2.
d) a3 = 16 i diferència d = 40.
a) an a1 (n 1)d 5 (n 1)3 5 3n 3 3n 8
b) d a2 a1 2 5 7 an a1 (n 1)d 5 (n 1)7 5 7n 7 7n 12
c) a4 a1 3d 4 a1 3 2 4 a1 6 a1 10
an a1 (n 1)d 10 (n 1) 2 10 2n 2 2n 12
d) a3 a1 2d 16 a1 2 40 16 a1 80 a1 64
an a1 (n 1)d 64 (n 1)40 64 40n 40 40n 104
26. Calcula aquestes sumes de termes de progressions aritmètiques:
a) La suma dels 100 primers nombres naturals.
b) La suma dels 30 primers termes de la progressió an = 6n – 5.
a) Sn
n a1 an
100 1 100
S100
5050
2
2
b) an 6n 5 a1 6 5 1, a30 6 30 5 175
Sn
n a1 an
30 1 175
S30
2640
2
2
27. La suma dels tres primers termes d’una progressió aritmètica és 273. Calcula el terme central.
a1 a2 a3 273 a2 d a2 a2 d 273 3a2 273 a2 91
28. Exercici resolt.
36
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
29. a) Escriu, arrodonint a les centèsimes, els quatre primers termes d’una progressió geomètrica en la qual el cinquè
terme és 15 953,52 i la raó, 1,04.
b) Escriu el terme general de la progressió.
c) Calcula la suma dels deu primers termes.
a) a1 13 125; a2 13 781, 25; a3 14 470,31; a4 15 193,83
b) an 13125 1,05n 1
c) S10
13125 1,05 1 165 084,84
a1 r 10 1
r 1
10
0,05
30. Troba la raó, el setè terme i la suma dels 10 primers termes de les progressions geomètriques:
a) 2, –1,
a) r
1
1 1
, , …
2
4 8
b) 20, 20(1 r), 20(1 r) …
1
2
1 10
1
2 1
2
2
341
S10
512
1
3
256
1
2
2
2
6
1
1
a7 2
32
2
b) Raó: 1 r
S10
a7 20(1 r )
6
20 1 r 1
10
r
31. Donada la progressió geomètrica de primer terme 120 i de tercer terme 126,075:
a) Calcula la raó i determina’n el terme general.
b) Troba la suma dels deu primers termes.
c) Quants termes s’han sumat si el resultat d’aquesta suma és 1982,27?
2
2
a) Raó: a3 a1r 126,075 120 r r
b) S10
c) Sn
126,075
1,025
120
Terme general: an 120 1,025n 1
1344,406
120 1,02510 1
0,025
1982,27 1,025 1,413 n log1,025 log1,413 n log1,413 14
120 1,025n 1
0,025
n
log1,025
32. Exercici interactiu.
33 i 34.
Exercicis resolts.
35. Calcula l’interès que generaran 4500 € dipositats a un interès simple anual del 6 % durant:
a) Dos anys
b) Dos anys i mig
a) I Ci rt 4500 0,06 2 540 €
b) I Ci rt 4500 0,06 2,5 675 €
c) I Ci rt 4500 0,06 3 810 €
37
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
c) Tres anys
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
36. Troba el capital inicial que col·locat a un interès simple anual del 5 % durant 3 anys genera un capital final
de 3162,5 €.
Les dades són: Cf 3162,5 € t 5 anys
Cf Ci 1 rt Ci
r 0,05
Cf
3162,5
2750 €
1 rt 1 0,05 3
37. Un capital de 6500 € es vol augmentar en un 20 %. Per fer-ho es col·loca a interès simple del 4 % anual.
Quant de temps ha d’estar dipositat aquest capital?
Les dades són: Ci 6500 €
Cf 6500 1,20 7800 €
I Cf Ci 1300 €
r 0,04
I
1300
5 anys
Ci r 6500 0,04
I Ci rt t
38. A quin tipus d’interès s’han col·locat 8000 € que durant 3 anys han generat 90 € d’interès trimestral?
t 3 anys
Les dades són: Ci 8000 €
I Ci rt r
39 i 40.
I 90 4 360 €
I
360
0,015 1,5 % anual.
Ci t 8000 3
Exercicis resolts.
41. Un capital col·locat al 4,25 % anual d’interès compost s’ha convertit en 6 anys en 6418,39 €. De quin capital
inicial es tracta?
Les dades són: Cf 6418,39 €
Cf Ci 1 r Ci
t
Cf
1 r
t
t 6 anys
6418,39
1 0,0425 6
r 0,0425
5000 €
42. Es dipositen 2500 € a un interès compost del 3,75 % anual durant 2 anys. Calcula el capital final si el
període de capitalització és cada 6 mesos.
Les dades són: Ci 2500 €
kt
r 0,0375 t 2 anys
Període de capitalització: semestral ( k 2 )
4
r
0,0375
Cf Ci 1 2500 1
2692,84 €
k
2
43 i 44.
38
Exercicis resolts.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
45. Calcula el capital que es tindrà al final d’una operació financera que consisteix a ingressar 300 € al
trimestre, durant 16 anys i a un tipus d’interès del 6,25 %.
r 0,0625 t 16 anys
Les dades són: a 300 €
Període de capitalització: trimestral ( k 4 )
kt
416
r
r
0,0625 0,0625
a 1 1 1 300 1
1
1
k
k
4
4
33098,23 €
C
r
0,0625
k
4
46. Durant quants anys s’han d’ingressar anualitats de 3500 € perquè, a un tipus d’interès anual del 8 %,
s’obtingui el 12 % d’un pis estimat en 265 000 €?
Les dades són: a 3500 € r 0,08 C 0,12 265000 31800 €.
t
t
a 1 r 1 r 1
31800 3500 1,08 1,08 1 1,08t 31800 0,08 1 1,673
C
3500 1,08
r
0,08
log1,673
6,69 anys
log1,08
log1,08t log1,673 t log1,08 log1,673 t
És a dir, s’han d’ingressar anualitats durant 7 anys.
47. Exercici resolt.
48. Una entitat bancària ofereix dues possibilitats per a un préstec de 6000 €. La modalitat A consisteix en un
préstec a 5 anys amb quotes semestrals i a un interès anual del 8 %. La modalitat B consisteix a pagar una
quota fixa de 1300 € durant els 5 anys. Quina de les dues és millor?
r 0,08 t 5 anys
Modalitat A: C 6000 €
C
a
r
r
1
k k
kt
kt
r
1 1
k
Pagament: Semestral ( k 2 )
10
6000
0,08 0,08
1
2
2
10
0,08
1
1
2
739,75 €
Amb aquesta modalitat paguem al banc un total de 739,75 · 10 7397,50 €.
Modalitat B: Amb aquesta modalitat paguem al banc un total de 1300 · 5 6500 €.
És millor la modalitat B.
49. Un banc ens presta diners al 7 % per a un crèdit a 10 anys pagable trimestralment. Quina és la quantitat
màxima que podem demanar si no volem pagar més de 600 € trimestrals? I si es fan els pagaments
quadrimestrals sense superar els 500 € en cada pagament?
En el primer cas: a 600 €
r 0,07 t 10 anys
Pagament: Trimestral ( k 4 )
kt
4 10
kt
r
0,07
r
r
a
1
1
600
1
1
C 1
k
4
k
k
17 156,54 €
a
C
kt
kt
4 10
r
r
r
0,07 0,07
1 1
1
1
k
k
k
4
4
39
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
En el segon cas: a 500 €
C
a
r
r
1
k
k
kt
kt
r
1 1
k
C
r 0,07 t 10 anys
kt
r
a 1 1
k
r
r
1
k
k
kt
Pagament: Quadrimestral ( k 3 )
310
0,07
500 1
1
3
0,07
0,07
1
3
3
310
10 701,54 €
50. Calcula la TAE corresponent a un 4 % anual amb capitalització:
a) Mensual
b) Trimestral
c) Semestral
k
12
r
0,04
a) TAE 1 1 100 1
1 100 4,0742 %
k
12
0,04 4
b) TAE 1
1 100 4,0604 %
4
2
0,04
c) TAE 1
1 100 4,04 %
2
51. Calcula l’IDH de Grècia de l’any 2012 si els valors assignats per als indicadors són:
IEV 0,947
IE 0,856
II 0,786
IDH 3 IEV IE II 3 0,947 0,856 0,786 0,860
52. Calcula els nombres índex corresponents al PIB per càpita en un país, prenent com a base 1980 i 2000.
Any
Renda per càpita ($)
Any
Índex (base 1980)
Índex (base 2000)
1980
100
63,85
1990
130,99
83,64
2000
156,61
100
1980
9203
1990
12 055
2010
236,17
150,8
53. Exercici interactiu.
54 a 64.
40
Exercicis resolts.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2000
14 413
2010
21 735
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
EXERCICIS
Logaritmes
65. Aplicant directament la definició, calcula el valor dels logaritmes següents.
1
27
c) log 10 000
1
9
27
d) log
a) log3
b) log 1
a) log3
1
1000
e) log 0,001
g) log 8 2 2
log 1 27
1
h) log 3
81
f)
9
i)
log 3 3 3
j)
ln e 3 e
1
1
x 3x
33 x 3
27
27
x
1
1
2
1
3 x
x
32 3 x 2 x
3
9
27
9
3
27
b) log 1
c) log10000 x 10x 10000 104 x 4
d) log
1
1
x 10x
103 x 3
1000
1000
e) log0,001 x 10x 0,001 103 x 3
3
x
f)
3
3
1
log 1 27 x 27 32 x 3 2 2x x
9
2
4
9
3x
x
3
g) log 8 2 2 x 8 2 2 2 2 2 2
3x 3
x 1
2
2
x
x
1
x
1
3 2 34 4 x 8
h) log 3 x 3
81
2
81
x 3 3 3 3 3 2x 3 x 6
2
x
2
2
x
i)
log 3 3 3
j)
ln e 3 e x e x e 3 e e 3 x
4
3
4
3
66. Calcula el valor de x en cada una de les expressions logarítmiques següents.
a) logx 8 3
b) log3 x 1
1
a) logx 8 3 x 3 8 23
2
b) log3 x 1 31 x x
1
c) log 1 x 3
3
3
3
x
c) log 1 x 3
d) log 1 a2 x
3
a
1
2
1
3
3
x x 33 3 3
x
1
d) log 1 a2 x a2 a x a2 x 2
a
a
41
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
67. Pren logaritmes decimals en les igualtats següents.
b) Q
a) P 10x 3 yz3
100x 2
xy
c) R 3
2x 2 y 5
3z3
d) S 2
1 x3
xy 2z 3
a) log P log10 3log x log y 3log z 1 3log x log y 3log z
b) logQ log100 2log x log x y 2 2log x log x y
c) log R
log2 2log x 5log y log3 3log z
3
d) 2log S log 1 x 3 log x 2log y 3log z
68. Escriu el valor de E en cada un dels casos següents. En les expressions obtingudes no han d’aparèixer
logaritmes.
a) log E 3log2 4log x 3log y 2log z
b) log E 3log x 2y log x 2y
c) log E 3log( x 10) log
(2x 20)
3
log
3
2
a) log E 3log2 4log x 3log y 2log z log
23 y 3
8y 3
E 4 2
4 2
x z
x z
3
3
b) log E 3log x 2y log x 2y log x 2y x 2y E x 2y x 2y
3
2x 20 log 3 log x 10 2 log 9 x 10 log 9 x 10 E 9 x 10
c) log E 3log x 10 log
2x 20
3
2
4 x 10
4
4
3
3
2
2
3
69. Sabent que el logaritme decimal de 2 és 0,301 i que el logaritme decimal de 3 és 0,477, calcula, sense
utilitzar les tecles de funcions logarítmiques de la calculadora, els logaritmes següents.
a) log 250
c) log 18
e) log 45
b) log 5,4
d) log 270
f)
a) log250 log
b) log5,4 log
c) log 18
log 3
1
6
1000
log1000 log4 3 log22 3 2log2 3 2 0,301 2,398
4
54
log54 log10 log2 33 1 log2 3log3 1 0,301 3 0,477 1 0,732
10
1
log2 2log3 0,301 2 0,477
log2 32
0,6275
2
3
2
d) log270 log(27 10) log27 log10 log33 1 3log3 1 3 0,477 1 2,431
e) log45 log
f)
42
log 3
90
log90 log2 log 32 10 log2 2log3 log10 log2 2 0,477 1 0,301 1,653
2
1
1 log1 log6 0 log 2 3
log2 log3
0,301 0,477
log 6
0,129
6
6
6
6
6
6
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
70. Sabent que log3 2 0,631 i que log3 5 1,465 , troba, sense utilitzar la calculadora, el valor de log3 150 .
log3 150 log3 2 3 52 log3 2 log3 3 2log3 5 0,631 1 2 1,465 4,561
71. Amb l’ajuda de la calculadora, obtén aproximacions decimals fins a les mil·lèsimes dels logaritmes
següents.
a) log3 20
7
5
4
c) log 1
b) log 2 3
7
log
7
5 0,243
c) log 1
1
5
4
log
4
log20
a) log3 20
2,727
log3
b) log 2 3
log3
log 2
d) log 2 3
d) log 2 3
3,170
log 3
log 2
1,585
72. Amb l’ajuda dels logaritmes, calcula el valor de t en els casos següents.
12t
a) 1,025t 2,45
b) 1,025t 2
a) 1,025t 2,45 t log1,025 log2,45 t
b) 1,025t 2 t log1,025 log2 t
c) 2500 2000 1,03t
log2,45
36,29
log1,025
log2
28,07
log1,025
c) 2500 2000 1,03t 1,03t 1,25 t log1,03 log1,25 t
log1,25
7,55
log1,03
12t
0,03
d) 120 100 1
12
0,03
d) 120 100 1
12
1,2 1,002512t 12t log1,0025 log1,2 t
log1,2
6,085
12 log1,0025
Percentatges
73. D’una quantitat se sap que el 22 % és 275. Quina és aquesta quantitat?
Si x és la quantitat que busquem, tenim: 0,22x 275 x
275
1250
0,22
74. Quin percentatge representen 26 unitats d’un total de 48? I 90 unitats d’un total de 48?
26
100 54,17 %
48
90
100 187,5 %
48
75. Augmenta les quantitats següents en els percentatges que s’indiquen.
43
a) 1350 en un 13%
c) 3500 en un 122%
b) 1250 en un 2,25%
d) 450 en un 200%
a) 1350 · 1,13 1525,5
c) 3500 · 2,22 7770
b) 1250 · 1,0225 1278,125
d) 450 · 3 1350
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
76. Disminueix les quantitats següents en els percentatges que s’indiquen.
a) 2650 en un 13 %
c) 475 en un 20 %
b) 3100 en un 2 %
d) 1025 en un 2,25 %
a) 2650 · 0,87 2305,5
c) 475 · 0,8 380
b) 3100 · 0,98 3038
d) 1025 · 0,9775 1001,9375
77. Una quantitat augmentada en un 21 % val 1694. Quina és aquesta quantitat?
Si x és la quantitat que busquem, tenim: 1,21x 1694 x
1694
1400
1,21
78. Una quantitat disminuïda en un 12 % val 22. Quina és aquesta quantitat?
Si x és la quantitat que busquem, tenim: 0,88 x 22 x
22
25
0,88
Progressions aritmètiques i geomètriques
79. De les progressions següents, indica quines són aritmètiques i quines són geomètriques. Determina en
cada cas el terme general.
a) a1 24, a2 20, a3 16, a4 12
b) a1 64, a2 16, a3 4, a4 1
c) a1 = 16, a2 = 24, a3 = 36, a4 = 54
d) a1 = 3, a2 = 12, a3 = 48, a4 = 192
e) a1 = 13, a2 = 21, a3 = 29, a4 = 37
En una progressió aritmètica sempre es compleix que d a3 a2 a2 a1 i en una de geomètrica es compleix que
r
a3 a2
.
a2 a1
a) En aquest cas, a3 a2 a2 a1 16 20 20 24 4 4 . És una progressió aritmètica de diferència d =
–4 . El terme general és: an a1 (n 1)d 24 (n 1)(4) 24 4n 4 4n 28 .
b) Es comprova que:
a3 a2
4
16
1 1
1
. El terme
. És una progressió geomètrica de raó r =
4
a2 a1
16 64
4 4
1
general és: an a1 r n 1 64
4
c) En aquest cas,
n 1
43
1
4
n 1
43
43 ( n 1) 44 n .
4n 1
a3 a2
36 24
3 3
3
. El terme general
. És una progressió geomètrica de raó r =
2
a2 a1
24 16
2 2
3
és: an a1 r n 1 16
2
d) Es comprova que:
n 1
24
3 n 1
2 4 n 1 3 n 1 25 n 3 n 1 .
n 1
2
a3 a2
48 12
4 4 . És una progressió geomètrica de raó r = 4. El terme general
a2 a1
12
3
és: an a1 r n 1 3 4n 1 .
e) En aquest cas, a3 a2 a2 a1 29 21 21 13 8 8 . És una progressió aritmètica de diferència d = 8 .
El terme general és: an a1 (n 1)d 13 (n 1)8 13 8n 8 8n 5 .
44
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
80. Calcula el terme onzè d’una progressió geomètrica en què el seu primer terme és igual a 1 i la seva raó és 2.
a11 a1r 10 1 210 1024
81. Troba la suma dels 10 primers termes de la progressió que té com a terme general
Es tracta d’una progressió geomètrica amb a1
1
.
2n
1
1
i r ; per tant:
2
2
10
1 1
1
10
a1 r 1
2 2
1 1 1 1 1023
S10
1
r 1
1024 1024
2
1
2
10
82. Per a cada una de les progressions geomètriques següents, calcula’n el terme general, el desè terme i la
suma dels 10 primers termes.
2
3
4
a) 5, 15, 45, 135, 405,…
c) 1,04; 1,04 ; 1,04 ; 1,04 ;…
b) 3, –3, 3, –3, 3,…
0,8 0,8 0,8 0,8
d) 1
, 1
, 1
,…
, 1
4
4
4
4
2
3
4
a) El primer terme és a1 5 i la raó és r 3 ; per tant, el terme general és an 5 3n 1 , el desè terme és
a10 5 39 98 415 i la suma dels deu primers termes és S10
147 620 .
5 310 1
3 1
n 1
b) El primer terme és a1 3 i la raó és r 1 ; per tant, el terme general és an 3 1
a10 3 1 3 i la suma dels deu primers termes és S10
9
, el desè terme és
0.
3 1 1
10
1 1
c) El primer terme és a1 1,04 i la raó és r 1,04 ; per tant, el terme general és an 1,04 1,04 n 1 1,04 n , el desè
terme és a10 1,0410 1,4802 i la suma dels deu primers termes és S10
12,4864 .
1,04 1,0410 1
1,04 1
0,8
0,8
d) El primer terme és a1 1
1,2 i la raó és r 1
1,2 ; per tant, el terme general és
4
4
an 1,2 1,2n 1 1,2n , el desè terme és a10 1,210 6,1917 i la suma dels deu primers termes és
S10
31,1504 .
1,2 1,210 1
1,2 1
83. Quants termes s’han de sumar en la progressió en què els seus primers termes són 2, 2,5 i 3,125 per
obtenir un total de 276,217?
Tenim a1 2 i r 1,25 ; per tant:
Sn
n
45
2 1,25 1 8 1,25 1 276,217 1,25 35,527125 n log1,25 log35,527125
r 1
1,25 1
a1 r n 1
n
n
n
log35,527125
16 , és a dir, cal sumar 16 termes.
log1,25
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
Interès simple i compost
84. La suma dels 13 primers termes d’una progressió aritmètica és 507, i a2 = 14. Calcula el terme general
d’aquesta progressió.
Determinem a1:
a1 = a2 – d = 14 – d
La suma dels 13 primers termes és:
13 a2 d a2 11d
13 a1 a13
13 2 a2 10d
507
507
507
2
2
2
507 2
2 14 10d
78 d 5
13
S
Deduïm a1:
a1 = 14 – d = 14 – 5 = 9
El terme general és:
an a1 d n 1 9 5 n 1 4 5n
85. Calcula el capital final obtingut quan es dipositen les quantitats següents a interès simple anual i durant el
temps indicat en cada apartat.
a) 100 € al 5 % durant 2 anys.
b) 100 000 € al 4 % durant 7 anys.
c) 1 € al 6 % durant 5 anys.
a) Cf 100 1 0,05 2 110 €
b) Cf 100000 1 0,04 7 128000 €
c) Cf 11 0,06 5 1,3 €
86. Esbrina a quin tipus d’interès simple anual s’ha dipositat un capital de 5000 € sabent que en 10 anys s’ha
convertit en 7000 €.
Dades: Ci 5000 €
I Ci rt r
Cf 7000 €
I 2000 €
t 10 anys
I
2000
0,04 r 4 %
Ci t 5000 10
87. Es col·loca un capital de 100 000 € a un tipus d’interès compost anual del 6 % durant 10 anys. Calcula el
capital final que s’obtindrà en el cas que el període de capitalització sigui:
a) Un any
a) Cf 100000 1 0,06
10
0,06
b) Cf 100 000 1
2
46
b) Un semestre
c) Un trimestre
179084,77 €
0,06
c) Cf 100 000 1
4
210
d) Un mes
410
181401,84 €
1210
180 611,12 €
0,06
d) Cf 100 000 1
12
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
181939,67 €
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
88. Completa la taula següent amb les dades que falten. En tots els casos es tracta d’interès compost.
Ci (€)
Cf (€)
r(%)
t (anys)
Capitalització
2000
5
8
anual
6000
Primera fila: Ci
3,5
3000
5000
500
800
5
mensual
10
trimestral
6
semestral
125
0,035
Segona fila: Cf 6000 1
12
2000
1353,68
(1 0,05)8
5
Tercera fila: r 4 40 1 0,0514; r 5,14 %
3
Ci (€)
Cf (€)
r(%)
t (anys)
Capitalització
1353,68
2000
5
8
anual
6000
7145,66
3,5
5
mensual
3000
5000
5,14
10
trimestral
500
800
6
8
semestral
Quarta fila: t
7145,66 €
log1,6
7,95 anys
2 log1,03
89. a) Quin capital inicial serà necessari ingressar en un compte perquè després d’estar col·locat durant 3 anys a un
interès compost del 3,5 % es converteixi en 2400 €?
b) I si el període de capitalització és el mes i no l’any?
a) Dades: Cf 2400 €
r 0,035 t 3 anys Cf Ci 1 r Ci
t
b) Si el període de capitalització és mensual ( k 12 ): Ci
Cf
r
1
k
kt
Cf
1 r
t
2400
1 0,035 3
2400
0,035
1
12
36
2164,66 €
2161,11 €.
Anualitats
90. Calcula el capital final de què es disposarà d’aquí a 5 anys si es dipositen 300 € al començament de cada
any a un interès compost anual del 6 %.
t
5
a 1 r 1 r 1 300 1 0,06 1 0,06 1
1792,60 €
r 0,06 t 5 anys C
r
0,06
Dades: a 300 €
91. Quina anualitat s’ha d’ingressar al principi de cada any al 6,25 % per reunir un capital de 70 000 € en 10
anys?
Dades: C 70000 €
r 0,0625 t 10 anys
a 1 r 1 r 1
Cr
70 000 0,0625
a
4939,98 €
t
10
r
1
r
1
r
1
1
0,0625
1 0,0625 1
t
C
47
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
92. Durant quants anys s’han de lliurar 450 € mensuals perquè col·locats al 5,75 % d’interès compost
s’obtingui un capital final de 12 500 €?
Dades: a 450 €
Període de capitalització: mensual ( k 12 )
r 0,0575 C 12500 €
kt
12t
r
r
0,0575 0,0575
a 1 1 1
450 1
1
1
12t
k
k
12
12
0,0575
C
70 000
1
r
0,0575
12
k
12
0,0575
log1,74182
12
1 1,004 7912t 1,74182 12t log1,004 79 log1,74182 t
9,68 anys.
0,0575
12log1,004 79
450 1
12
70 000
És a dir, caldrà ingressar anualitats durant 9 anys i 8 mesos.
93. Quin capital final s’obté si es dipositen semestralment 2 500 € a un tipus d’interès compost anual del 4,25
% durant quatre anys?
Dades: a 2500 €
r 0,0425 t 4 anys
Període de capitalització: semestral ( k 2 )
kt
2 4
r
r
0,0425 0,0425
a 1 1 1 2500 1
1
1
k
k
2
2
22010,42 €
C
r
0,0425
k
2
94. Quin tipus d’interès anual té un dipòsit bancari que amb aportacions periòdiques de 500 € cada any s’ha
transformat al cap de 2 anys en un capital de 1076,25 €?
Dades: a 500 €
t 2 anys
C 1076,25 €
a 1 r 1 r 1
500 1 r 1 r 1
1076,25
, fent x 1 r obtenim:
r
r
t
C
2
1076,25 x 1 500x x 2 1 x 1 500x 2 500x 1076,25 0
La solució x 1 r 0 no té sentit; per tant, x
500 1550 x 1,05 r 0,05
.
1000
x 2,05 no vàlida
Així, el dipòsit té un interès anual del 5%.
95. Un préstec de 120 000 al 5 % es torna en 20 anys en pagaments mensuals. Troba la mensualitat
d’amortització.
Dades: C 120000 €
C
a
r
r
1
k
k
kt
r 0,05 t 20 anys
1220
kt
r
1 1
k
Període de pagament: mensual ( k 12 )
120 000
0,05 0,05
1
12
12
1220
0,05
1
12
791,95 €
1
96. Quin deute s’haurà amortitzat mitjançant el pagament de 6 anualitats de 5000 € al 7 % anual?
Dades: a 5000 €
48
r 0,07 t 6 anys
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
t
a 1 r 1 5000 1,076 1
Cr (1 r )t
a
C
23 832,70 €
t
(1 r )t 1
0,07 1,076
r 1 r
97. Quant de temps es trigarà a tornar una hipoteca de 300 000 € al 4 % si la quota mensual és fixa i igual a
2200 €?
Dades: C 300000 €
C
a
r
r
1
k
k
r 0,04 Període de pagament: mensual ( k 12 )
a 2200 €
kt
kt
r
1 1
k
12t
300 000
2 200
0,04 0,04
1
12
12
12t
0,04
1
12
2 200 1,003312t 2 200 1000 1,003312t
1
1200 1,003312t 2200 1,003312t 1,8333 12t log1,0033 log1,8333 t
log1,8333
15,33 anys
12 log1,0033
Es tardarà 15 anys i 4 mesos.
98. Calcula a quants anys s’ha de sol·licitar un préstec de 4500 € al 7,15 % anual perquè l’anualitat que en
resulti sigui de 915 €. Tingues en compte que els càlculs els has de fer considerant interès compost.
Dades: C 4500 €
Cr 1 r
t
a
1 r t 1
r 0,0715
a 915 €
4500 0,0715 1 0,0715
t
915
1 0,0715 t 1
915 1,0715t 915 321,75 1,0715t
593,25 1,0715t 915 1,0715t 1,54235 t log1,0715 log1,54235 t
log1,54235
6,27 anys
log1,0715
S’ha de sol·licitar a 6 anys i 3 mesos.
99. Quant de temps ha d’estar dipositat un capital a un interès compost del 8 % per triplicar-se si la
capitalització és mensual?
Dades: Cf 3Ci €
kt
r 0,08 Període de capitalització: mensual ( k 12 )
12t
r
0,08
Cf Ci 1 3 1
k
12
12t log1,006 67 log3 t
log3
13,77 anys.
12log1,006 67
Hi ha d’estar dipositat 13 anys i 9 mesos.
Paràmetres econòmics i socials
100. Calcula la TAE corresponent al 6 % anual amb període de capitalització:
a) Semestral
b) Trimestral
2
0,06
a) TAE 1
1 100 6,09 %
2
4
0,06
b) TAE 1
1 100 6,14 %
4
12
0,06
c) TAE 1
1 100 6,17 %
12
49
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
c) Mensual
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
101. En la taula apareixen els preus el 2015 i el 2016 dels quatre grups de productes del cistell de consum en un
país i les seves ponderacions.
Grup
1
2
3
4
2012
100
106
106
120
2013
101
105
108
130
Pond.
30%
25%
20%
25%
Troba l’IPC de l’any 2016 prenent com a base l’any 2015.
IPC
101 0,3 105 0,25 108 0,2 130 0,25 110,65
1,0274
100 0,3 106 0,25 106 0,2 120 0,25 107,7
En el país considerat, els preus han augmentat un 2,74 % l’any 2013.
102. Determina l’IDH de cada un dels països següents i ordena’ls segons el grau de desenvolupament.
País
A
B
C
IEV
0,954
0,792
0,890
IE
0,946
0,837
0,993
II
0,959
0,703
0,994
País A: IDHA 3 0,954 0,946 0,959 0,953
País B: IDHB 3 0,792 0,837 0,703 0,775
País C: IDHC 3 0,890 0,993 0,994 0,958
Per tant, C > A > B, és a dir, el país amb el grau de desenvolupament més alt és C, seguit de A i, finalment, B.
QÜESTIONS
103. Si una quantitat s’augmenta en un 5 % i el resultat també es disminueix en un 5 %, quin és el percentatge
de variació total?
1,05 0,95 0,9975 Baixa en un 0,25%.
104. Indica en cada cas la raó per la qual les expressions següents no tenen sentit.
a) log1 2 x
b) log3 81 x
c) log3 x 9
d) logx 2 0
a) La base d’un logaritme ha de ser estrictament positiva i diferent d’1.
b) No existeixen els logaritmes dels nombres negatius.
c) La base ha de ser estrictament positiva i diferent d’1.
d) Si el resultat d’un logaritme, en qualsevol base, és zero, aquest nombre val 1.
105. Justifica quin dels dos procediments següents és correcte per calcular el preu inicial d’uns pantalons que
han estat rebaixats en un 15 % i pels quals s’han pagat finalment 23,45 €:
A.
23,45
27,59 €
0,85
B. 23,45 1,15 26,98 €
Si anomenem x el preu inicial dels pantalons, tenim: 0,85x 23,45 ; així, doncs, x
procediment correcte és el A.
50
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
23,45
27,59 €, és a dir, el
0,85
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
106. Donada la progressió geomètrica de primer terme 50 i raó 0,75, calcula la suma de:
a) Els seus 10 primers termes.
c) Els seus 100 primers termes.
b) Els seus 20 primers termes.
d) Els seus 1000 primers termes.
Pots indicar alguna conclusió interessant?
La suma dels primers n termes és Sn
50 0,75 1 200 1 0,75 , així:
r 1
0,25
a1 r n 1
n
n
c) S100 200 1 0,75100 200
d) S1000 200 1 0,751000 200
a) S10 200 1 0,7510 188,74
b) S20 200 1 0,7520 199,37
La suma s’aproxima cada vegada més a 200 i mai no supera aquesta xifra.
107. Calcula el capital en què es converteix 1 € al cap d’un any col·locat a l’1 % anual d’interès compost si la
capitalització és:
a) D’un any
c) D’un mes
e) D’una hora
b) D’un trimestre
d) D’un dia
f) D’un minut
365
0,01
d) Cf 1 1
365
a) Cf 1 1 0,01 1,01 €
1
4
0,01
b) Cf 1 1
1,010038 €
4
0,01
e) Cf 1 1
365 24
36524
1,010050 €
3652460
12
0,01
c) Cf 1 1
12
1,010050 €
1,010046 €
f)
0,01
Cf 1 1
365 24 60
1,010050 €
108. La TAE corresponent a un interès nominal anual amb període de capitalització semestral és del 8,16 %.
Troba la TAE per a aquest mateix interès nominal anual però per a un període de capitalització mensual.
r
r
r
TAE 1 1 100 8,16 1 1,0816 1 1,04 r 0,08
2
2
2
2
2
12
0,08
TAE 1
1 100 8,3 %
12
PROBLEMES
109. L’Eva ha pagat 18,75 € per unes faldilles, 22,25 € per uns pantalons, 19,50 € per una camisa i, finalment,
29,15 € per una jaqueta. L’amo del comerç consenteix a rebaixar-li el preu de manera que li perdona els
cèntims que marca cada un dels articles. Quin percentatge de rebaixa ha suposat?
0,75 0,25 0,5 0,15
0,018 Suposa una rebaixa de l’1,8%.
18,75 22,25 19,5 29,15
110. Una cooperativa rep un dipòsit de 2000 € de cada un dels seus socis i es compromet a tornar-lo
transcorreguts 3 anys i 4 mesos, juntament amb un interès simple del 5 % anual. Quina quantitat tornarà a
cada soci?
Dades: Ci 2000 r 0,05 t 3,3333 anys
Cf Ci 1 rt 2000 1 0,05 3,3333 2333,33 €. La cooperativa torna 2333,33 € a cada soci.
51
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
111. El preu de la benzina ha variat en les últimes 3 quinzenes. En la primera va pujar un 3 %, en la segona va
baixar un 2 % i en la tercera va tornar a pujar un 4 %. Després de les 3 quinzenes, el preu del litre és de 145
cent.
a) Quin era el preu abans de les tres variacions?
b) Quin és el percentatge de variació global del preu en les tres quinzenes?
a) Si x és el preu del litre fa 3 quinzenes, tenim: 1,03 0,98 1,04x 145 x 138,12 cent.
b) 1,03 0,98 1,04 1,0498 La gasolina ha pujat un 4,98 %.
112. Es col·loquen 6000 € al 4 % anual d’interès compost durant cinc anys. L’entitat carrega 1 cèntim d’euro
cada vegada que ha de calcular els interessos generats i acumular-los al capital.
a) Calcula el capital final si el període de capitalització és d’un any, un trimestre, un mes i un dia.
b) Quin dels períodes de capitalització indicats afavoreix més el client?
a) Període de capitalització anual: Cf 6000 1 0,04 0,01 5 7299,92 0,05 7299,87 €
5
0,04
Període de capitalització trimestral: Cf 6000 1
4
0,04
Període de capitalització mensual: Cf 6000 1
12
20
0,01 20 7321,14 0,2 7320,94 €
60
0,01 60 7325,98 0,6 7325,38 €
1825
0,04
Període de capitalització diari: Cf 6000 1
365
0,01 1825 7328,34 18,25 7310,09 €
b) El millor període de capitalització en aquestes condicions és el mensual.
113. S’ingressen 1050 € en un compte remunerat al 3,25 % d’interès compost durant 2 anys. Quins són els
interessos generats si es considera que el període de capitalització és l’any? I si és el mes?
Dades: Ci 1050 €
r 0,0325 t 2 anys
Si el període de capitalització és anual, els interessos generats són:
Cf Ci Ci (1 r )t Ci 1050(1 0,0325)2 1050 1119,36 1050 69,36 €
Si el període de capitalització és mensual ( k 12 ), els interessos generats són:
kt
r
0,0325
Cf Ci Ci 1 Ci 1050 1
12
k
24
1050 1120,42 1050 70,42 €
114. El creixement d’una població de bacteris segueix el mateix model que el creixement d’un capital col·locat a
interès compost.
Calcula el nombre de bacteris d’un determinat cultiu després de 84 dies si se sap que el nombre inicial era
d’uns 24 000 bacteris i que cada setmana augmenta la població en un 5 %.
Dades: Pi 24000 bacteris
Ritme de creixement: r 0,05 t
Pf Pi (1 r )t 24000(1 0,05)12 43100,55
52
43101 bacteris
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
84
12 setmanes
7
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
115. El nombre d’habitants d’una ciutat creix en un període de 3 anys d’acord amb una llei igual a la de l’interès
compost. Si inicialment la ciutat tenia 75 000 habitants i el ritme de creixement va ser del 0,5 % mensual,
quina serà la població al final dels 3 anys?
Dades: Pi 75000 habitants
Ritme de creixement (mensual): r 0,005 t 3 anys
kt
r
36
Pf Pi 1 75 000 1 0,005 89 751 habitants
k
116. L’Anna va contractar un pla de pensions als 30 anys en el qual ha anat dipositant 400 € cada any, a un
tipus del 6,5 % anual.
a) Si ara té 45 anys, quina quantitat rebria si decidís cancel·lar el pla?
b) Amb quina quantitat es trobarà si es jubila als 67 anys?
a) Dades: a 400 r 0,065 t 45 30 15 anys
C
t
15
a 1 r 1 r 1 400 1 0,065 1 0,065 1
10 301,60 €
r
0,065
b) Dades: a 400 r 0,065 t 67 30 37 anys
C
t
37
a 1 r 1 r 1 400 1 0,065 1 0,065 1
60 810,75 €
r
0,065
117. El preu d’un ordinador es devalua en un 25 % pel sol fet de comprar-lo i, després, cada any el seu valor
baixa un 4 % respecte del valor de l’any anterior.
L’ordinador que va comprar en Miquel fa dos anys està taxat en 897,87 €. Quin preu va pagar en Miquel per
l’ordinador quan el va comprar?
Si Pi és el preu original de l’ordinador, al cap de t anys el preu serà Pf 0,75Pi 1 0,04 ; per tant, tenim:
t
897,87 0,75Pi 1 0,04 Pi
2
897,87
0,75 1 0,04
2
1299 €.
118. Quina quantitat haurà de lliurar en Pere com a anualitat al seu pla de jubilació perquè al cap de 15 anys
hagi aconseguit un capital de 20 000 €? El tipus d’interès és del 5,25 %.
Dades: C 20000 €
r 0,0525 t 15 anys
a 1 r 1 r 1
Cr
20 000 0,0525
a
864,17 €
t
r
1 r 1 r 1 1 0,0525 1 0,0525 15 1
t
C
119. Calcula l’anualitat que s’ha de pagar per saldar un deute de 12 000 € al 5,5 % anual si:
a) El termini és de 5 anys.
b) El termini és de 10 anys.
Per què no es paga just la meitat quan el termini per tornar el deute és el doble?
a) Dades: C 12000 €
r 0,055 t 5 anys
Cr (1 r )t 12000 0,055 1 0,055
2810,12 €
(1 r )t 1
1 0,055 5 1
5
a
53
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
b) Dades: C 12000 €
r 0,055 t 10 anys
Cr (1 r )t 12000 0,055 1 0,055
(1 r )t 1
1 0,055 10 1
10
a
1592,01 €
Pel fet d’haver contret un deute amb un termini el doble de llarg, es paguen més del doble d’interessos.
120. Els pisos d’una immobiliària costen 100 000 €. La forma de pagament és la següent: 20 000 € al lliurament
de les claus, i la resta, a pagar en 20 anys amb un interès del 3,25 %. Si els pagaments es fan al final de
cada any:
a) Quant s’haurà de pagar anualment?
b) Quant s’haurà pagat en total pel pis quan hagin transcorregut els 20 anys?
a) Dades: C 80000 €
a
r 0,0325 t 20 anys
80 000 0,0325 1 0,0325
Cr (1 r )t
(1 r )t 1
1 0,0325 20 1
20
5 502,31 €
b) 20000 20 5502,31 130046,20 €
121. Per adquirir un cotxe que costa 16 000 €, una persona lliura el seu cotxe anterior, valorat en 2000 €, i per a
la resta demana un préstec a pagar en 3 anys i a un interès compost del 8,5 %. Quant ha de pagar
anualment?
Cr (1 r )t 14 000 0,085 1 0,085
5481,55 €
(1 r )t 1
1 0,085 3 1
3
r 0,085 t 3 anys a
Dades: C 14000 €
122. En un fullet de propaganda d’un banc s’anuncia que 1 € es converteix en 10 anys en 1,5162 €.
a) Calcula el rèdit que ofereix el banc.
b) Calcula l’anualitat que s’haurà de pagar si se sol·licita un préstec de 10 000 € a pagar en 10 anys i al mateix
tipus d’interès que ofereix el banc en la propaganda.
a) Dades: Ci 1 €
t 10 anys
Cf 1,5162 €
Cf Ci (1 r )t 1,5162 1 1 r
10
b) Dades: C 10000 €
r 0,0425 €
r 10 1,5162 1 0,0425 4,25 %
t 10 anys
Cr (1 r )t 10 000 0,0425 1 0,0425
(1 r )t 1
1 0,0425 10 1
10
a
1248,30 €
123. En les operacions següents, l’interès nominal anual és del 5 %. Calcula la TAE corresponent.
a) Dipòsit de 1000 € amb capitalització mensual a 10 anys.
b) Dipòsit de 2000 € amb capitalització mensual a 15 anys.
c) Dipòsit de 3000 € amb capitalització mensual a 20 anys.
Els tres casos donen el mateix resultat:
k
12
r
0.05
TAE 1 1 100 1
1 100 5,116 %
k
12
54
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
124. Un possible client sol·licita informació en un banc sobre el tipus d’interès que ofereixen en els dipòsits. Li
indiquen que la TAE d’un dipòsit a 1 any és de l’1,75 % i que la d’un dipòsit a 5 anys és del 2,15 %. Si el
període de capitalització és el mes, quin és el tipus d’interès nominal anual en cada cas?
En el primer cas tenim:
k
12
12
r
r
r
12
TAE 1 1 100 1,75 1
1 100 1
1,0175 r 12 1,0175 1 0,0174
k
12
12
En el segon cas tenim:
k
12
12
r
r
r
12
TAE 1 1 100 2,15 1
1 100 1
1,0215 r 12 1,0215 1 0,0213
k
12
12
Així, doncs, l’interès nominal anual en el primer cas és de l’1,74 %, i en el segon cas, del 2,13 %.
125. En la taula apareix el PIB (producte interior brut) d’un país en milions d’euros i
per als anys que s’indiquen. Calcula les taules de nombres índex prenent com a
bases els anys 2007 i 2010.
Any
PIB
2007
14 080
Índex
(base 2007)
Índex
(base 2010)
2008
14 220
Any
2009
14 500
2007
100
94,81
2010
14 850
2008
100,99
95,76
2011
15 120
2009
102,98
97,64
2012
14 990
2010
105,47
100
2013
14 850
2011
107,39
101,81
2014
15 200
2012
106,46
100,94
2013
105,47
100
2014
107,95
102,36
126. En la taula apareixen els productes que componen un cistell de consum tipus en un país, classificats en
grups, els seus preus dels anys 2015 i 2016, i la seva ponderació. Calcula l’IPC d’aquest país el 2016
prenent com a base l’any 2015.
IPC
55
Grup
2013
2014
Ponderació
Aliments
118,2
119,0
28
Vestit
115,4
116,0
12
Habitatge
132,5
130,5
13
Sanitat
123,0
122,3
4
Educació
122,0
123,1
8
Altres
130,1
131,2
35
119,0 28 116,0 12 130,5 13 122,3 4 123,1 8 131,2 35 12486,5
1,0039
118,2 28 115,4 12 132,5 13 123,0 4 122,0 8 130,1 35 12438,4
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
127. Mitjançant dues anualitats de capitalització anual de 2000 € es forma un capital de 4212,40 €. Calcula el
tipus d’interès de l’operació.
Dades: a 2000 €
t 2 anys
C 4212,40 €
a 1 r 1 r 1
2000 1 r 1 r 1
4212,4
, fent x 1 r obtenim:
r
r
t
C
2
4212,4 x 1 2000x x 2 1 2000x( x 1)( x 1) x 1 2000x 2 2000x 4212,4 0
La solució x 1 r 0 no té sentit; per tant, x
2000 6140
x 1,035 r 0,035
.
4000
x 2,035 no vàlida
Així, doncs, l’interès anual és del 3,5 %.
128. La taula següent mostra l’import, el termini, en anys, i l’interès mitjà de les hipoteques concedides a
Espanya des del juliol del 2007 al juliol del 2014.
Capital
Termini
Interès
2007
149 807,31
27
4,68
2008
139 675,85
24
5,27
2009
115 489,51
21
4,36
2010
121 561,61
23
3,77
2011
110 485,40
22
4,27
2012
99 364,93
22
4,24
2013
101 121,66
20
4,23
2014
100 865,90
21
3,90
a) Calcula per a cada any la mensualitat a pagar.
b) Troba per a cada una de les hipoteques mitjanes el pagament final que ha d’assumir el consumidor.
Per calcular la mensualitat a pagar en cada cas apliquem la fórmula:
12t
C
a
r
r
1
12 12
12t
r
1
12
1
En què C és el capital, t és el termini i r l’interès (en tant per u).
Per calcular el pagament total que assumeixen els consumidors, multipliquem cada mensualitat per 12 i pel
termini corresponent.
56
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
Així obtenim els valors de la taula adjunta.
Mensualitat
Pagament total
2007
815,23
264 133,51
2008
855,62
246 417,54
2009
700,45
176 513,86
2010
659,30
181 966,70
2011
646,10
170 571,02
2012
579,45
152 974,56
2013
625,10
150 024,47
2014
586,91
147 901,50
129. En el rebut corresponent a una mensualitat d’un crèdit hipotecari que el banc envia a l’interessat apareixen
les dades següents.
Import inicial: 72 121,45 €
Deute pendent abans del pagament: 48 633,01 €
Tipus d’interès: 4,564% anual
Períodes pendents: 85
Mensualitat: 670,69 €
a) Comprova que la mensualitat és correcta.
b) Calcula quina part de la mensualitat correspon als interessos i quina part a l’amortització de capital.
c) Calcula el deute pendent després de pagar la mensualitat.
d) En la quota següent, l’interessat ingressa 6000 € més en concepte d’avançament de capital i opta per reduir la
quota mantenint el nombre de pagaments pendents. Quina serà la nova quota?
12t
C
a) a
r
r
1
12 12
12t
r
1
12
48 633,01
1
b) Interessos: 48633,01
0,04564 0,04564
1
12
12
0,04564
1
12
85
670,69 €
85
1
0,04564
184,97 €
12
Amortització: 670,69 184,97 485,72 €
c) Deute pendent: 48633,01 485,72 48147,29 €
d) En la quota següent, el deute pendent és 48 147,29 € i es paga una mensualitat de 670,69 €, de la qual la part
0,04564
183,12 € i la part corresponent a l’amortització del capital
corresponent als interessos és 48147,29
12
és 670,69 183,12 487,57 €.
Com que a més s’amortitzen 6000 € més, el deute nou serà 48147,29 487,57 6000 41659,72 € i, com que
quedarien 83 pagaments pendents, la quota nova serà de:
12t
C
a
57
r
r
1
12 12
12t
r
1
12
1
41659,72
0,04564 0,04564
1
12
12
0,04564
1
12
83
83
1
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
586,25 €
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
130. A la taula es recull el preu mitjà en euros per metre quadrat de l’habitatge d’una localitat.
Gener
2054
Febrer
2066
Març
2069
Abril
2077
Maig
2110
Juny
2112
Juliol
2124
Agost
2125
Setembre
2128
Octubre
2135
Novembre
2140
Desembre
2146
Calcula els nombres índex per a les referències de gener, per una part, i de començament de cada
trimestre, per l’altra.
Referència de gener
Gener
Febrer
2054
2066
100
Gener
2054
100
100,58
Febrer
2066
100,58
2069
100,73
Març
2069
100,73
Març
Abril
2077
101,12
Abril
2077
100
Maig
2110
102,73
Maig
2110
101,59
Juny
2112
102,82
Juny
2112
101,69
103,41
Juliol
2124
100
2125
100,05
Juliol
2124
Agost
2125
103,46
Agost
Setembre
2128
103,60
Setembre
2128
100,19
Octubre
2135
103,94
Octubre
2135
100
104,19
Novembre
2140
100,23
104,48
Desembre
2146
100,52
Novembre
Desembre
58
Referència de començament de trimestre
2140
2146
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
ENTORN MATEMÀTIC
El premi
La Raquel és una gran estudiosa. Li agrada la literatura, la història, la geografia, l’art, li agrada la política,
l’economia, la sociologia, li agrada la ciència, el cinema i li agrada llegir… li agrada estudiar! Però, sobretot, li
agrada la música clàssica! Ha escoltat tanta música que, la majoria de les vegades, identifica una peça només
sentint els primers compassos. La Raquel és una gran melòmana.
Un dia, escoltant la ràdio, sent que començarà un nou concurs televisiu amb grans premis per a aquells que
tinguin coneixements de música clàssica. El premi màxim puja a... 200 000 €! per a aquell que aconsegueixi
arribar a la final i contesti encertadament a les 25 peces musicals que se li proposaran. Ha d’encertar tant el títol
de l’obra com l’autor. La Raquel decideix presentar-s’hi i… aconsegueix guanyar el premi!
Què es pot fer amb 200 000 €? –es pregunta la Raquel–. Potser amb aquests diners pot passar una bona
temporada sense preocupacions i dedicar-se a les seves nombroses aficions intel·lectuals.
Al banc, li proposen ingressar els diners amb un interès anual del 6 %. La Raquel podrà treure una quantitat fixa
cada mes per a les seves despeses fins que s’acabin els diners dipositats i els interessos generats (en realitat,
és com si la Raquel fos el banc i el banc un client que demana un préstec de 200 000 € a la Raquel).
a) Si la Raquel vol tenir diners per a 15 anys, quants en podrà treure cada mes?
b) Si la Raquel vol disposar de 3000 € cada mes, per a quants mesos tindrà diners?
c) Si la Raquel vol que no s’exhaureixin mai els diners, quants en podrà treure com a màxim cada mes? En aquest cas,
i si decideix retirar tots els diners al cap de 10 anys, quants li’n quedaran?
d) Durant els dos primers anys ha estat traient 1500 € mensuals. Passat aquest temps decideix treure 1000 €
mensuals. Quants anys podrà disposar d’aquesta mensualitat?
La Raquel vol controlar l’evolució de la seva inversió i per fer-ho elabora un full de càlcul:
A
B
C
D
E
F
1
Període
Mensualitat
Queda abans
Interessos
Gastat
Queda després
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
…
200 000
La Raquel introdueix a la cel·la B2 la mensualitat que vol treure.
e) Quina fórmula ha d’introduir a la cel·la D2 sabent que l’interès anual és del 6 % i la capitalització mensual?
f) Quina fórmula ha d’introduir a la cel·la E2? I a la F2?
g) Quines fórmules ha d’introduir a la segona fila B3-F3?
A partir de la fila següent, simplement ha de copiar les caselles corresponents de la fila anterior per poder
estudiar l’evolució del préstec.
Un cop elaborada la taula:
h) Investiga l’evolució del préstec introduint diferents opcions.
i) Contesta les preguntes dels apartats a, b, c i d d’aquesta mateixa pàgina.
59
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
1215
200 000
a) m
0,06 0,06
1
12
12
1687,71 €
1215
0,06
1
12
1
12t
200 000
b) 3000
0,06 0,06
1
12
12
12t
0,06
1
12
1
1000 1,00512t
3000 1,00512t 3000 1000 1,00512t
1,00512t 1
2000 1,00512t 3000 1,00512t 1,5 t
log1,5
6,77 anys
12 log1,005
81 mesos
c) Perquè no s’esgotin mai els diners, la Raquel ha de treure justament els interessos produïts en un mes, és a dir,
0,06
200000
1000 €. En aquest cas, en qualsevol moment disposarà dels 200 000 € inicials.
12
d) Contestarem aquesta pregunta al final, ajudant-nos del full de càlcul.
e) D2→C2*0,06/12
f) E2→B2–D2 i F2→C2–E2
g) A B3 ha d’introduir la mensualitat que vol treure en aquest període; si suposem que sempre treu la mateixa
mensualitat, podem posar B3→B2.
A C3 cal posar la quantitat que apareix en F2, és a dir, C3→F2
A D3, E3 i F3 podem copiar les fórmules de D2, E2 i F2 respectivament, és a dir, D3→C3*0,06/12;
E3→B3–D3 i F3→C3–E3.
i) Podem contestar ara els apartats a, b, c i d ajudant-nos del full de càlcul. En particular, respondrem a l’apartat d.
Si introduïm una mensualitat de 1500 € durant 24 períodes (dos anys) obtenim que el capital que queda un cop
passats aquests dos primers anys és 187 284,02 €; per tant, els diners encara duraran:
12t
187 284,02
1000
0,06 0,06
1
12
12
12t
0,06
1
12
1
936,42 1,00512t
1000 1,00512t 1000 936,42 1,00512t
1,00512t 1
63,5799 1,00512t 1000 1,00512t 15,7282 t
60
log15,7282
46,04
12 log1,005
46 anys
A
B
C
D
E
F
1
Període
Mensualitat
Queda abans
Interessos
Gastat
Queda després
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
1500,00
1500,00
1500,00
1500,00
1500,00
200000,00
199500,00
198997,50
198492,49
197984,95
1000,00
997,50
994,99
992,46
989,92
500,00
502,50
505,01
507,54
510,08
199500,00
198997,50
198492,49
197984,95
197474,87
…
…
…
…
…
…
…
21
20
22
21
23
22
24
23
25
24
1500,00
1500,00
1500,00
1500,00
1500,00
190060,14
189510,44
188957,99
188402,78
187844,80
950,30
947,55
944,79
942,01
939,22
549,70
552,45
555,21
557,99
560,78
189510,44
188957,99
188402,78
187844,80
187284,02
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
AUTOAVALUACIÓ
Comprova el que has après
1.
Calcula el valor del logaritme log 1 4 9
3
1
x
1
1
1
log 1 4 9 x 4 9 3 x 3 2 x log 1 4 9
3
2
2
3
3
2.
Elimina els logaritmes en l’expressió següent i calcula el valor de a:
1 log a log2 3log3
1 log a log2 3log3 log a 1 log2 log33 log 10 2 33 a 10 2 33 540
3.
Sabent que log3 0,477 , calcula, sense fer servir la calculadora, log0,090 .
log0,090 log
4.
9
log9 log100 log32 2 2log3 2 2 0,477 2 1,046
100
El preu d’una tauleta tàctil disminueix un 40 % del seu valor quan es compra i després de cada any que
passa perd un 5 % del valor que tenia l’any immediatament anterior. Una tauleta tàctil amb tres anys val 90
€. Quant va costar quan es va comprar?
Si Pi és el preu original de la tauleta, al cap de t anys el preu serà Pf 0,6Pi 1 0,05 ; per tant, tenim:
t
90 0,6Pi 1 0,05 Pi
3
5.
90
174,95 €
0,6 0,953
Calcula la suma dels 15 primers termes de la progressió: 9, 3, 1,
Es tracta d’una progressió geomètrica amb a1 9 i r
1
,…
3
1
; per tant:
3
1 15
9
1
a1 r 15 1
3
S15
13,5
1
r 1
1
3
6.
Calcula la diferència d’interessos guanyats quan es col·loquen 1250 € al 5 % d’interès anual durant 3 anys
si l’interès aplicat és simple o compost amb capitalització anual.
Dades: Ci 1250 €
r 0,05 t 3 anys
Interès simple: I Ci rt 1250 0,05 3 187,5 €
Interès compost: I Ci 1 r 1250 (1 0,05)3 1250 197,03 €
t
Per tant, la diferència d’interessos és: 197,03 187,5 9,53 €
61
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
7.
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
Quina anualitat s’ha de lliurar al principi de cada any per reunir un capital de 15 000 € després de 8 anys a
un interès del 5 %?
r 0,05 t 8 anys
Dades: C 15000 €
a 1 r 1 r 1
Cr
15 000 0,05
a
1496,03 €
t
r
1 r 1 r 1 1 0,05 1 0,05 8 1
t
C
8.
Quina anualitat s’ha de lliurar al final de cada mes per saldar un deute inicial de 25 000 € en 6 anys a un
interès anual del 4 %?
r 0,04 t 6 anys
Dades: C 25000 €
C
a
9.
r
r
1
k
k
kt
kt
r
1 1
k
25 000
0,04 0,04
1
12
12
0,04
1
12
72
Pagaments: mensuals ( k 12 )
72
391,13 €
1
Calcula el TAE corresponent al 7,5 % anual amb període de capitalització quadrimestral.
k
3
r
0,075
TAE 1 1 100 1
1 100 7,69%
k
3
10. Calcula el nombre d’anys necessaris perquè es tripliqui una quantitat col·locada al 10 % anual amb
capitalització mensual.
Dades: Cf 3Ci €
r 0,1
kt
Període de capitalització: mensual ( k 12 )
12t
r
0,1
Cf Ci 1 3Ci Ci 1
k
12
12t
0,1
1
12
3t
log3
11,03 anys
0,1
12log 1
12
Relaciona i contesta
Tria l’única resposta correcta en cada cas
1.
Una quantitat s’augmenta en un 12 % i, després, el resultat també es disminueix en un 12 %. El valor de la
quantitat final és:
A. Superior a la inicial.
C. Igual que la inicial.
B. Inferior a la inicial.
D. Cap de les anteriors.
1,12 0,88 0,9856 ; per tant, el preu inicial ha disminuït un 1,44 %, la resposta B.
2.
La suma de les 10 primeres potències de 2 (comptant que la primera és 20) és:
A. 2 2
C. 2 2
B. 2 2
D. Cap de les anteriors.
10
9
62
9
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
Es tracta d’una progressió geomètrica amb a1 1 i r 2 ; per tant:
S10
3.
1 2 1 2 1, la resposta D.
a1 r 10 1
10
r 1
2 1
10
Si per uns pantalons s’han pagat 27 € havent tingut dues rebaixes consecutives en el preu del 20 % i del 25
%, el preu inicial era:
A. 39,15 €
B. 40,50 €
C. 45 €
D. 49,09 €
Si x és el preu inicial dels pantalons, tenim:
0,75 0,8 x 27 x
27
45 €, la resposta C.
0,75 0,8
Assenyala, en cada cas, les respostes correctes
4.
Digues si les afirmacions següents són certes o falses:
A. La TAE és igual a l’interès nominal quan el període de capitalització és anual.
B. Les progressions geomètriques sempre són creixents.
C. Les quatre cinquenes parts d’una quantitat equivalen al 80 % d’aquesta quantitat.
D. El tipus d’interès compost no pot ser inferior a l’1 % anual.
Les afirmacions A i C són certes.
L’afirmació B és falsa: només cal considerar qualsevol progressió geomètrica de raó r 1 .
D també és falsa: res no impedeix que, per exemple, r 0,5 % anual.
5.
Per a un client que es presenta a una entitat financera, el tipus d’interès indicat a A és preferible al tipus
d’interès indicat a B.
A. A: Simple al 4 % anual
B: Compost al 4 % anual
B. A: Compost al 4 % anual amb capitalització anual
B: Compost al 4 % anual amb capitalització mensual
C. A: Compost al 4 % anual amb capitalització mensual
B: TAE 4,075
D. A: Compost al 4 % anual amb capitalització diària
B: TAE 4,075
Depèn del motiu pel qual hi acudeix. Suposant que hi va a fer un dipòsit:
A és falsa, ja que amb interès compost, els interessos generats s’acumulen per generar interessos nous, i per això
l’opció A mai serà millor que la B.
B també és falsa. En l’opció B anem generant interessos mensualment, que s’acumulen generant interessos nous
mes a mes, i per això aquesta opció és millor que l’opció A.
C també és falsa, ja que l’opció A equival a un
12
0,04
TAE 1
1 100 4,074 %
12
D és certa, ja que l’opció A equival a un
365
0,04
TAE 1
1 100 4,081 %
365
63
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 2. MATEMÀTICA FINANCERA
Tria la relació correcta entre les dues afirmacions donades
6.
S’està calculant el loga 2 . Es consideren les afirmacions:
1. La base a és positiva i inferior a la unitat.
2. El resultat és un nombre real negatiu.
A. 1 2
C. 2 1 però 1 2
B. 1 2 però 2 1
D. Cap de les anteriors.
loga 2
log2
i log2 0 ; per tant, si 0 a 1 , tenim log a 0 i així loga 2 0 ; recíprocament, si loga 2 0 , tenim
log a
log a 0 i així 0 a 1 . Per tant, la relació correcta és A.
Assenyala la dada necessària per contestar
7.
Es vol calcular la TAE corresponent a un interès nominal anual. Per fer-ho es donen les dades següents:
1. El r % anual
3. El temps que dura la inversió
2. El capital invertit
4. El tipus de capitalització
A. Sobren les dades 1 i 2.
C. Sobren les dades 3 i 4.
B. Sobren les dades 2 i 3.
D. La primera dada és innecessària.
k
r
Com que TAE 1 1 100 , en què r és l’interès anual en tant per u i k el tipus de capitalització, la resposta
k
correcta és B.
64
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
3. Expressions algebraiques
EXERCICIS PROPOSATS
1 a 3.
4.
Exercicis resolts.
Indica el grau, els coeficients i calcula el valor numèric per a x = 3 i x = −5 dels polinomis següents.
1 2
1
x 5x
3
6
a) P x 2x 4 32
c) R x
b) Q x 2x 3 x 30
d) S x 2x 3 x 2 3x
a) Quart grau. Coeficients: 2, 0, 0, 0, 32; terme independent: 32. P 3 130 i P 5 1218 .
b) Tercer grau. Coeficients: 2, 0, 1, 30; terme independent: 30. Q 3 87 i Q 5 225 .
c) Segon grau. Coeficients:
1
1
1
71
67
, 5,
; terme independent
. R 3
i R 5
.
3
6
6
6
2
d) Tercer grau. Coeficients: 2, 1, 3, 0; no té terme independent. S 3 54 i S 5 210 .
5.
6.
A partir de
següents.
P x x 3 x 2 3x 1 , Q x 3x 3 6x 3
i R x x 3 2x 2 , realitza les operacions
a)
P x Q x 2R x
b) 2 P x 3Q x
a)
4x 3 5x 2 3x 4
b)
1
R x
2
33 3
x 3x 2 30x 20
2
Troba les arrels del polinomi P x 2x 2 5x 3 .
1
1
P 3 0 P . Per tant, les arrels són x 3 i x .
2
2
7.
Els ingressos (I) i els costos (C) d’una determinada operació comercial s’indiquen amb els polinomis
següents, en els quals x és el nombre d’unitat produïdes.
I x
1 2
x 6x 50
4
a)
Calcula l’expressió que determina els beneficis.
b)
Calcula els beneficis si es redueixen els costos a la meitat.
a)
B x I x C x
b)
B x I x
1 2
x 2x 20
10
1 2
3 2
1 2
x 6x 50
x 2x 20
x 4x 30
4
20
10
C x
1
1
1 2
x 2 6x 50
x x 10 x 2 5x 40
2
4
5
20
8 a 11. Exercicis resolts.
65
Cx
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
12. Realitza els productes de polinomis següents.
a) 2x 2 3x 5 3x 2
b) x 3 x 2 2 3x 2 4
c) 6x 3 x 2 3x 2x 2 3x 7
a)
6x 3 4x 2 9x 2 6x 15x 10 6x 3 13x 2 21x 10
b)
3x 5 4x 3 3x 4 4x 2 6x 2 8 3x 5 3x 4 4x 3 2x 2 8
c)
12x 5 18x 4 42x 3 2x 4 3x 3 7x 2 6x 3 9x 2 21x 12x 5 16x 4 51x 3 2x 2 21x
13. Escriu el desenvolupament del cub d’una resta: a b .
3
a b a b a2 2ab b2 a3 3a2b 3b2a b3
3
14. Simplifica les expressions següents.
a)
2x 3x x 2 5 2 x 3x 2 6
b)
2 3x 1 5 3x 1 3x 1 4x 3x 2
c)
3 2x 2 3 2x x 2 3x 1 2x x 2 2
a)
2x 3x 3 15x 6x 2 12 3x 3 6x 6x 2 11x 12
b)
18x 2 2 12x 45x 2 5 36x 3 16x 48x 2 36x 3 15x 2 28x 3
c)
12x 4 36x 2 27 2x3 6x 2 2x 3 x 2 4x 2 12x 4 4x 3 41x 2 4x 25
2
2
2
15. Simplifica l’expressió 2xa 4xb 3ya 6yb .
2x a 2b 3y a 2b a 2b 2x 3y
16. Exercici resolt.
17. Realitza les divisions de monomis següents i indica si el resultat és un monomi.
54x 2 y 4 z 3
18x 2 y 2z3
a)
12x 4
3x 2 º
a)
4x 2 . És un monomi.
c) 3y 2 . És un monomi.
b)
3x 3 z . És un monomi.
d)
4a3
. No és un monomi.
bcd
b)
6 1 4
2
3
x x x 4 : 2x x 4
2
b)
18x 5 y 2 z 4
6x 2 y 2 z 3
c)
d)
8a 3 d 2
2b3c 2d 3
3 2
18. Realitza les divisions de polinomis següents.
a)
3x 2x x 4 : x 2
4
2
a) Quocient: 3x 3 6x 2 10x 21 Residu: 46
19 i 20.
66
b) Quocient:
Exercicis resolts.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x3
1 Residu: x 2 x 8
2
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
21. Aplica la regla de Ruffini per calcular el quocient i el residu de les divisions següents.
a)
2x 3x 2x 5x 3 : x 1
d)
5x 5x 5x 5 : x 3 s
b)
2x x 2x 1 : x 3
e)
a ab b : a b
c)
2x 3x 8x 12 : x 2
4
3
5
2
3
4
5
3
2
2
2
a) Quocient: 2x 3 5x 2 7x 12 . Residu: 15
1100
d) Quocient:
5x 4 15x 3 40x 2 120x 365 .
Residu:
b) Quocient: 2x 4 6x 3 17x 2 51x 155 . Residu: 464 e) Quocient: a 2b . Residu: 3b2
c) Quocient: 2x 3 4x 2 5x 2 . Residu: 16
22. Divideix els polinomis:
1
a) x 5 x 2 : x
4
a) Quocient: x 4
2
1
3
b) 4x 3 x 2 : x
3
4
2
x3 x2
x 255
2303
. Residu:
4 16 64 256
1024
b) Quocient: 4x 2
16
49
x 8 . Residu:
3
4
23. Exercici interactiu.
24 i 25.
Exercicis resolts.
26. Calcula el valor numèric del polinomi P x 1,25x 3 0,75x 2 0,5x 1 , per a x 2,05 .
P 2,05 7,642
27. Troba el valor de m perquè la divisió següent sigui exacta.
2x 4 8x 3 20x 2 24x 16m : x 2
Aplicant la regla de Ruffini s’obté de residu R 16m 32 . Com que aquest residu ha de ser nul, m 2.
28. Calcula el valor de k perquè en dividir x 5 kx 2 entre x 3 s’obtingui de residu 272.
1
3
1
0
0
0
k
2
3
9
27
81
3k 243
3
9
27
k 81
3k 245
Aleshores, 3k 245 272
Per tant, k 9
29. Calcula el valor que ha de tenir k perquè el polinomi c x 0,5x 3 0,125x 2 kx 1 sigui divisible per
x 0,25 .
c 0,25 0,5 0,25 0,125 0,25 k 0,25 1 0 k 4
3
30 i 31.
67
2
Exercicis resolts.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
32. Factoritza els polinomis següents i indica quines són les seves arrels.
a)
x 4 4x 3 2x 2 4x 3
e) 6x 3 11x 2 6x 1
b)
9x 3 12x 2 4x
f)
c)
x 6 16x 2
g) x 4 3x 3 3x 2 3x 2
d)
x 3 4x 2 x 6
h) x 6 9x 4
a)
x 1 x 1 x 3 ; x 1 (doble), x 1, x 3
e)
x 1 2x 13x 1 ; x 1 , x
1
1
, x
2
3
b)
x 3x 2 x 0, x
2
3
f)
x 1 x 2 2x 3 ; x 2, x
3
, x 1
2
c)
x 2 x 2 x 2 x 2 4 ; x 0 (doble), x 2, x 2 g)
d)
x 2 x 1 x 3 ; x 2, x 1, x 3
2
2
2x 3 5x 2 x 6
x 1 x 2 x 2 1 ; x 1, x 2
h) x 4 x 3 x 3 ; x 0 (quarta), x 3, x 3
33. Calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple dels polinomis següents.
Q x x 3 3x 2 x 3
a) P x x 5 3x 4 2x 3 6x 2 x 3
b) P x x
a)
Q x x2 x
R x x 3 2x 2 x
P x x 1 x 1 x 3 , Q x x 1 x 1 x 3
2
2
m.c.d.{P(x),Q(x)} x 1 x 1
m.c.m.{P(x),Q(x)} x 1 x 1 x 3 x 3
2
2
b) P x x , Q x x x 1 , R x x x 1
2
m.c.d.{P(x), Q(x), R(x)} x
m.c.m.{P(x), Q(x), R(x)} x x 1
2
34. Exercici interactiu.
35 i 36.
Exercicis resolts.
37. Comprova si les fraccions algebraiques següents són equivalents.
Ax
x3 2
x 5x 3
Bx
2
Factoritzant B x
x 4 x 3 2x 2
x x 2 5 x 2 5 x 3x 3
3
x 1 x 3 2
i multiplicant en creu es veu que són equivalents.
x 1 x 2 5x 3
38. Simplifica les fraccions algebraiques següents i troba’n el valor numèric per a x 2.
a)
2x 4 x 3 11x 2 11x 3
2x 3 3x 2 8x 3
a)
x 3 x 1 2x 1 x 1. Per a x 2 el valor numèric és 1.
x 1 x 3 2x 1
b)
x 2 x 3 x 3 x 3 . Per a x 2 no té valor numèric.
2
x 2
x 3 x 2
b)
x 3 2x 2 9x 18
x 3 7x 2 16x 12
2
68
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
39. Calcula i simplifica el resultat.
1
1
a)
a2 ab2
a
ab b 4
c)
x2 y 2 : x y
b)
6
4
16
2 x 2 x x2 4
d)
a x x a
x 2 a2 x a
a)
a2b3 a2b2 a2b 4 a b b 1 b ab a ab2
c)
ab 4
ab 4
b2
x y x y xy x y x y x 2 y xy 2
b)
6x 12 4x 8 16 10x 12
x2 4
x 2 x 2
a x x a 1
2
x a x a x a
2
2
2
d)
xy
xy
xy
40. Simplifica les fraccions algebraiques següents.
a)
a)
A x 1
Ax
1
1
b) B x 1
1
1
1
x
x
1
x
1
3x 2
2x 1
b) B x
1
x
2x 2 1 2x
x2 x 1
41. Si les expressions C1(x) i C2(x) expressen el cost, en euros, de fabricar, per a un model de bicicleta, x
cambres d’aire i x vàlvules, respectivament, calcula la suma dels costos.
C1 x 500
x
x2
1
10 000
C1 x C2 x 500
C2 x 1000
x
2
x
1
10 000
1000
x
x
1
100
x
x
1
100
1400x 2 15 000 000 2000x
x 2 10 000
42. Exercici interactiu.
43. Exercici resolt.
44. Amb una cartolina rectangular de 50 cm × 40 cm es vol construir una capsa sense tapa retallant quatre
quadrats iguals a cada cantonada. Escriu les expressions algebraiques de la superfície i el volum de la
capsa en funció del costat del quadrat.
V x x 50 2x 40 2x 4x 3 180x 2 2000x
S x 40 50 4x 2
69
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
45. Es considera com a indicador del benestar d’un país la mitjana ponderada de tres percentatges: el
d’afiliació a la Seguretat Social (x), amb el de població amb renda superior a la línia de pobresa (y), i el de
població activa amb feina (z). Els pesos assignats a aquests percentatges són: 1 : 2 : 2. Escriu l’expressió
algebraica de l’indicador. Calcula’n el valor per a x = 65 %, y = 80 % i z = 92 %.
I x, y, z
x 2y 2z
, I 65,80,92 81,8%
5
46. El negoci d’una empresa que fabrica memòries per a ordinadors té les característiques següents:
Costos fixos: 2200 €
Costos per unitat: 7 €
Preu de venda per unitat: 12 €
Escriu les expressions algebraiques que permeten calcular els beneficis en funció del nombre d’unitats
produïdes, i aplica-les per al cas concret de la fabricació de 650 memòries en cada un dels casos següents.
a) Es ven tota la producció.
b) Queda per vendre el 12 % de la producció.
47 a 60.
Costos C(x)
Ingressos I(x)
Beneficis B(x)
B(650)
a)
2200 7x
12x
5x 2200
1050
b)
2200 7x
10,56x
3,56x 2200
114
Exercicis resolts.
EXERCICIS
Polinomis
61. Identifica el nombre de variables, el grau, els coeficients i el terme independent dels polinomis següents.
b) 3xy 2z3 2x 2y 3z2
c) 2y 2 3y 4
a)
2x 3 3x 2 4x 5
d) 4ab 3cd 2 2d 7
a)
Una variable, x. Grau 3. Coeficients: 2, 3, 4 i terme independent 5.
b)
Tres variables, x, y, z. Grau 7. Coeficient de grau més alt 2 , el coeficient de sisè grau 3.
c)
Una variable, y. Grau 2. Coeficients: 2, 3 i terme independent 4.
d)
Quatre variables, a, b, c i d. Grau 3. Coeficients: 3, 4, 2 i terme independent 7.
62. Calcula el valor numèric de x 2 i x 0,15 en els polinomis següents.
b) Q x
a)
P x x 4 2x 2 3
a)
P 2 21 , P 0,15 2,95
b)
Q 2
23
, Q 0,15 2,10
30
1 3 2 2 3
x x x 2
3
5
4
c) R x
c) R 2
1 4 2 2
x x
4
3
4
, R 0,15 0,0149
3
d) S 2 6 , S 0,15 0,666 679
63. Els valors x = −2, x = 2, x = −1 i x = 1, són arrels del polinomi?
P x x 3 2x 2 x 2
P 2 0, P 2 0, P 1 0, P 1 0 . Així, doncs, les arrels són x 2, x 1 i x 1 .
70
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
d) S x
1 5 2
x
6
3
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
64. Determina el valor de a perquè x 2 sigui arrel del polinomi:
P x 2x 4 a 1 x 3 5ax 4
Perquè x 2 sigui arrel de P x s’ha de complir que P 2 32 8 a 1 10a 4 0 . Així, doncs, a 18 .
Operacions amb polinomis
65. Simplifica els polinomis següents.
a) 8 2 2 3x
2
b)
a) 18x 2 24x
x 2 x 3 x 1
c) 4 2 5x 16 1 5x
d) 2 x 1 x 2
c) 100x 2
d) 2x 3 10x 2 16x 8
2
b) x 3 7x 6
2
66. A partir dels polinomis P x 2x 3 3x 2 x 3 , Q x x 3 x 2 2 i R x 3x 2 2x 5 , calcula:
a) P x Q x R x
b) 2P x 3Q x 3R x
a) x 3 7x 2 x
b) x 3 18x 2 4x 3
67. Simplifica les expressions polinòmiques següents.
2x 3x 2 3x x 1 6x 10 x
a) 2 3x 2 3 3x 2 2 3x 23x 2
d)
b) 3x 2 2 2x 3 2x 5 x 5
3 3
2 6
2
e) x x 2
3
5
2
5
25
2
2
2
2
2
2
3
c) 2x 2 2x 1 3x 2 2x 3x
a) 27x 2 60x 4
b) 15x 2 3x 3
d) x 3 7x 2 x 2
c) 6x 4 10x 3 x 2 x
e) x 3
9 2 4
x
x
10
15
68. Desenvolupa utilitzant les identitats notables.
a)
2x 3
2
a) 4x 2 12x 9
b)
xyz3 x 2y
2
b) x 2y 2z6 2x 3 y 2z3 x 4 y 2
c)
2z 3xy 3xy 2z
c) 9x 2 y 2 4z2
d)
3x 2xy
4
d) 16x 4 y 4 96x 4 y 3 216x 4 y 2 216x 4 y 81x 4
69. Utilitza les identitats notables per escriure aquestes expressions en forma de producte.
a) x 2 4x 4
2x 5 2x 5
c) 9x 2 12xy 4y 2
d) x 2 5
x 5 x 5
c)
3x 2y
a) 3x 3 4x 2 2x 3 : x 2 2x 3
c)
6x 7x 5x 6x 6 : 3x 2x 1
b) 6x 4 11x 3 17x 2 11x 3 : 2x 2 5x 3
11
11
19
3
d) 2x 4 x 3 x 2
x : x 2 3x 1
2
4
4
4
a) Quocient: 3x 2 . Residu: 7x 3
c) Quocient: 2x 2 x 3 . Residu: x 3
b) Quocient: 3x 2 2x 1 . Residu: 0
d) Quocient: 2x 2
a)
x 2
b) 4x 2 25
2
b)
2
d)
70. Realitza les divisions de polinomis següents.
71
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
4
3
2
2
1
3
3
x . Residu: 2x
2
4
2
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
71. Realitza les operacions següents utilitzant la regla de Ruffini.
a)
2x x x 4 : x 3
c)
3x 3 2x 2 x 3 : x 2
b)
2x 3x 5x 3 : x 2
d)
2x 2x 2x 2 : x 3
4
3
4
2
1
4
3
2
7
3
21
x . Residu:
2
4
8
a) Quocient: 2x 3 5x 2 15x 44 . Residu: 136
c) Quocient: 3x 2
b) Quocient: 2x 3 4x 2 11x 27 . Residu: 51
d) Quocient: 2x 3 8x 2 26x 78 . Residu: 232
72. Aplicant la regla de Ruffini, troba el quocient i el residu de la divisió x 8 a8 : x a .
Quocient: x 7 ax 6 a2 x 5 a3 x 4 a4 x 3 a5 x 2 a6 x a7
Residu: 0
Teorema del residu i del factor
73. Sense realitzar les divisions, calcula el residu.
a)
x x 2x 1 : x 3
7
3
a) R 37 33 6 1 2209
b)
x x x 12 : x 1
12
5
b) R 1 1 1 12 15
12
5
74. Sense realitzar la divisió, comprova que el binomi x 3 és un factor del polinomi P x 2x 3 8x 2 8x 6 .
El valor numèric del polinomi P(x) per a x 3 és 0, de manera que es dedueix que x 3 és un factor del polinomi.
75. Calcula el valor de k perquè el polinomi P x 6x 5 44x 3 88x k sigui divisible per x 3 .
Com que P(x) és divisible per x 3 , s’ha de verificar que el valor numèric de P(x) per a x 3 sigui igual a 0.
P 3 1458 1188 264 k 0 k 6
76. Troba el valor de k perquè el polinomi P x 3x 3 kx 2 6k 2 sigui divisible per x 2 .
Com que P(x) és divisible per x 2 , s’ha de verificar que el valor numèric de P(x) per a x 2 sigui igual a 0.
P 2 24 4k 6k 2 0 k 13
77. La divisió de x 3 mx 2 entre x 2 té de residu 6. Quant val m? Quin és el quocient?
2 2m 2 6, de manera que m 2 i el quocient és x 2x 2.
3
2
78. Troba un polinomi de segon grau sabent que una de les seves arrels és x 1 i que P(3) 10.
Perquè x 1 sigui una arrel, ha de ser P(x) (ax b)(x 1), i com que P(3) 10, aleshores (3a b)(3 1) 10;
per tant, 3a b 5. Per exemple, a 1, b 2.
P(x) (x 2)(x 1) x x 2
2
72
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
79. Troba l’expressió de tots els polinomis de segon grau que tenen d’arrels –1 i 3. Determina aquell que té 24
de valor numèric per a x = 5.
P(x) a(x 1)(x 3)
P(5) a · 6 · 2 24, i per això a 2
P(x) 2(x 1)(x 3) 2x 4x 6
2
80. Troba el nombre que s’ha de sumar al polinomi x 2x 5x per tal que sigui divisible per (x 3).
3
2
Es tracta de calcular a perquè 3 2 · 3 5 · 3 a 0. Resolent, resulta que a 6.
3
2
81. Determina els coeficients a i b perquè el polinomi x ax b sigui divisible per (x 1).
5
3
2
Com que x 1 (x 1)(x 1), el polinomi ha de ser divisible per (x 1) i per (x 1), és a dir: 1 a · 1 b 0 i
5
3
(1) a(1) b 0
2
5
3
a b 1
a 1, b 0
a b 1
Factorització de polinomis
82. Troba les arrels del polinomi següent, tenint en compte que totes són nombres enters.
P(x) x 3x 10x 24
3
2
x 2, x 3, x 4
83. Escriu un polinomi P(x) les arrels del qual són únicament x 2, x 5, x 3 i x 1. N’hi ha més d’un?
Per exemple: P(x) (x 2)(x 5)(x 3)(x 1)
Sí que n’hi ha més d’un. Es poden obtenir polinomis amb les mateixes arrels reals de la manera següent:
multiplicant per constants, canviant les multiplicitats dels factors o multiplicant per polinomis de segon grau sense
arrels reals.
84. Factoritza, utilitzant la regla de Ruffini.
a) x 5x x 5
d) x 4x 6x 4x 1
b) x 3x 2
e) x 2x 5x 6
3
2
4
3
3
3
2
f) x x 5x 3
a) (x 1)(x 1)(x 5)
d) (x 1)
b) (x 1) (x 2)
e) (x 3)(x 2)(x 1)
4
3
2
2
c) (x 1) (x 3)(x 2)
2
2
3
2
2
a) x 6 2x 5 x 3 2x 2
d) 3x 5 3x 4 11x 3 11x 2 4x 4
b) 2x 4 x 3 5x 2 x 3
e) 2x 3 10x 2 14x 6
c) 10x 4 7x 3 19x 2 19x 3
73
b)
x 1 x 1 2x 3
c)
x 1 2x 35x 1
2
2
g) (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)(x 1)
4
f) (x 1) (x 3)
d)
4
2
85. Descompon en factors primers els polinomis següents.
a) x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
6
2
c) x 3x 5x 27x 32x 12
5
g) x 4x x 4
x 2 x 1 x 2 3x 2 1
e) 2 x 3 x 1
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
86. Factoritza els polinomis següents utilitzant les identitats notables.
a) 4x 2 12x 9
d) 25x 2 20x 4
g) 25x 2 20xy 4y 2
j)
b) 18 2x 2
e) 12 3x 2
h) 4y 2 25x 6
k) 4x 3 9y 4 x
c) x 4 4x 2
f)
x4 3 2 9
x
4 4
16
i)
a) (2x 3)
d)
5x 2
g) (5x 2y)
2
2
b) 2(3 x)(3 x)
e) 3(2 x)(2 x)
c) x (x 2)(x 2)
f)
2
x2 3
2 4
4x 2 12xy 9y 2s
4x 4 16x 2y 16y 2
a2 b c
l)
j) (2x 4y)
2
2
2
2
h) (5x 2y)(5x 2y)
k) (2x 3y )(2x 3y )x
i) (2x 3y)
l) (a b c)(a b c)
3
3
2
2
2
2
87. Descompon en factors els següents polinomis.
a) x y 2xy z
b) 4 9x 25y 30xy
a) (x y) z (x y z)(x y z)
b) 2 (3x 5y) (2 3x 5y)(2 3x 5y)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
88. Calcula el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis següents.
a) P(x) x x 2, Q(x) x 2x 3
d) P(x) x (x 2), Q(x) x(x 4) i R(x) x 2x
b) P(x) 2x 2, Q(x) 4x 4
e) P(x) x 5x 6, Q(x) x 4 i R(x) x 2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
c) P(x) x 1, Q(x) 2x 2 i R(x) 3x 3
2
a) m.c.d. x 1; m.c.m. (x 1)(x 2)(x 3)
d) m.c.d. x(x 2); m.c.m. x (x 2)(x 2)
b) m.c.d. 2x 2; m.c.m. 4(x 1)(x 1)
e) m.c.d. x 2; m.c.m. (x 3)(x 2)(x 2)
2
c) m.c.d. 1; m.c.m. 6(x 1)(x 1)
Fraccions algebraiques
89. Simplifica les fraccions algebraiques següents.
74
a)
7x 2
14x 2 21x
d)
3x 2 x
x 3 2x
g)
x 3 x 2 8x 12
x2 x 6
b)
12 3x
x4
e)
x2 x 2
x 2 2x 3
h)
x4 1
x 2x 2x 2 2x 1
c)
3x 2 12
x2
f)
2x 4 5x 3 5x 2
2x 4 7x 3 3x 2 8x 4
i)
x 3 5x 2 8x 4
x 3 x 2 8x 12
a)
7x 2
x
7x(2x 3) 2x 3
e)
( x 1)( x 2) x 2
( x 1)( x 3) x 3
b)
3( x 4)
3
x4
f)
( x 1)( x 1)( x 2)(2x 1)
( x 1)( x 2)(2x 1)
( x 1)( x 2)2(2x 1)
( x 2)2(2x 1)
c)
3( x 2)( x 2)
3( x 2)
x2
g)
( x 3)( x 2)2
x 2
( x 3)( x 2)
d)
x(3x 1) 3x 1
x( x 2 2) x 2 2
h)
( x 1)( x 1)( x 2 1) x 1
( x 1)2( x 2 1)
x 1
4
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
j)
x 4 10x 3 21x 2 40x 100
x 4 3x 10
3
i)
j)
( x 1)( x 2)2
x 1
( x 3)(x 2)2 x 3
( x 2)( x 2)( x 5)2
( x 2)( x 5)2
3
3
2
( x 2)( x 2x 4x 5) ( x 2x 2 4x 5)
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
90. Calcula i simplifica el resultat.
a) x 1
a)
1
x 1
b) 2x
x2
x 1
b)
2x 2 1
2 x
4x 1
2 x
91. Realitza les sumes i restes de fraccions algebraiques següents i simplifica els resultats tot el que puguis.
a)
x2 1
x2
x 2 2x 1 x 1
c)
2x 2 x
2x
12x
x 3
x 3 9 x2
b)
x
2x 1
50
2
x 5 x 5 x 25
d) t
a)
x2 1
x2
x 2 1 x 3 x 2 x 3 2x 2 1
2
( x 1)
x 1
( x 1)2
( x 1)2
b)
x x 5 2x 1 x 5 50 x 2 5x 2x 2 10x x 5 50 x 2 16x 55 11 x x 5 11 x
x 5 x 5
x 5 x 5
x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
c)
(2x 2 x )(x 3) 2x(x 3) 12x 2x 3 6x 2 x 2 3x 2x 2 6x 12x 2x 3 5x 2 3x x(x 3)(2x 1) 2x 2 x
( x 3)( x 3)
( x 3)( x 3)
( x 3)( x 3)
( x 3)( x 3)
x 3
d)
t 3 t t 3 t 2 t 1 t 2 1
t2 1
2
2
(t 1)(t 1)
t 1
t 1
t2
1
t 1 t 1
92. Realitza els productes i quocients de fraccions algebraiques següents i simplifica els resultats tot el que
puguis.
a)
x2 1 x2 4 x2 9
x 3 x 1 x 2
a)
(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)(x 3)(x 3)
(x 1)(x 2)(x 3) x 3 4x 2 x 6
(x 3)(x 1)(x 2)
b)
x( x 1)( x 1) 3( x 2) 3x( x 1) 3x 2 3x
2( x 2) 4( x 1)
8
8
b)
x 3 x 4x 4
:
2x 4 3x 6
1 x x 1 1 x x 1
d)
:
:
1 x x 1 1 x x
1
1
c) 1 : 1 2
x
x
( x 1)x 2
x
x 1 x2 1
c)
: 2
x x x(x 1)( x 1) x 1
d)
( x 1)3 ( x 1)
( x 1)3
x 3 3x 2 3x 1
x( x 1)3
x( x 1)2
x 3 2x 2 x
93. Simplifica les fraccions algebraiques següents.
a)
x2 y 2
xy
x4 y 4
b)
(x y )2
a)
( x y )( x y )
xy
xy
b)
(x y )(x y )(x y ) (x y )(x y ) x x y xy y
( x y )2
xy
xy
2
75
2
x 4 16
c)
(x 2)2
c)
2
2
3
2
d)
1
1
x2 y 2
1 1
x y
(x 2)( x 2)( x 2 4) ( x 2)( x 2 4) x 3 2x 2 4x 8
( x 2)2
x2
x2
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
3
d)
y 2 x2
x 2y 2
y x
xy
xy (y x )(y x ) y x 1 1
x 2 y 2 (y x )
xy
x y
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
x 9
x 1 , resulti un polinomi de primer
94. Calcula el valor de k perquè, en simplificar la fracció algebraica
x 1
k
x 1
grau. Escriu l’expressió d’aquest polinomi.
3
x 9
3x 3 x 9
(4x 12)( x 1)
4x 12
x 1
x 1
x 1
kx k x 1 (k 1)x (k 1) ( x 1) (k 1)x (k 1)
k
x 1
x 1
3
El denominador ha de ser constant; per tant: k 1, i el polinomi serà:
4x 12
2x 6 .
2
Síntesi
95. Troba un polinomi de segon grau que satisfaci les tres condicions següents.
El coeficient del terme quadràtic és la unitat.
És divisible per x 1.
Pren el valor numèric de 24 per a x 3.
Com que el coeficient de x és 1 i atès que el polinomi és de segon grau i divisible per x 1, tindrà la forma:
2
P(x) (x 1)(x a). Perquè quedi totalment determinat, només cal calcular a.
Com que P(3) 24, s’obté que a 3; així, doncs: P(x) (x 1)(x 3).
96. Escriu un polinomi de segon grau que satisfaci les tres condicions següents.
És divisible per x 3.
És divisible per x 4.
El valor numèric en el punt x 1 val 12.
Segons el teorema del factor, el polinomi ha de tenir com a factors x 3 i x 4. Per tant, l’expressió del polinomi
2
serà de la forma P(x) k(x 4)(x 3), i com que P(1) 12, tenim que k 1; així, doncs, P(x) x x 12.
97. Escriu un polinomi de quart grau que tingui per arrels:
a) 1, 2, 3 i 4
b) 1, 2 i 2 (doble)
c) 1 i 1, les dues dobles
a) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) x 2x 13x 14x 24
4
3
2
c) (x 1) (x 1) x 2x 1
2
2
4
2
b) (x 1)(x 2)(x 2) x x 6x 4x 8
2
4
3
2
98. Factoritza el polinomi P(x) x bx 3x, sabent que x 1 és una de les seves arrels.
3
2
Com que x 1 és una arrel, aleshores 1 b · 1 3 · 1 0, d’on resulta que b 2 i P(x) x 2x 3x, la
factorització del qual és P(x) x(x 1)(x 3).
3
2
3
99. A partir del polinomi P(x) 2x 9x 9x 8x a:
4
3
2
a) Calcula el valor de a perquè P(1) 2.
b) Per al valor de a trobat, descompon el polinomi com a producte de factors de primer grau.
c) Calcula les arrels enteres de P(x).
a) P(1) 2 9 9 8 a 2; per tant a 12
c) x 1, x 2 i x
b) P (x 1)(x 2) (2x 3)
2
76
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
3
(que no és entera)
2
2
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
100. Troba en cada cas el polinomi P(x) perquè les fraccions siguin equivalents.
a)
x2
x 3
2x 5 P(x )
b)
P(x )
x2
x 2x 1 x 1
2
a) P( x )
( x 3)(2x 5)
, que no es pot simplificar, P(x) no pot ser un polinomi.
x2
b) P(x )
x 2(x 2 2x 1) x 2(x 1)2
x 2(x 1) x 3 x 2
( x 1)
x 1
101. Calcula els valors de a i de b perquè el polinomi 4x 3 4x 2 ax b sigui divisible per 2x 2 x 1 . Escriu el
quocient de la divisió.
4x 3 4x 2 ax b
(a 5)x (b 3)
a 5 0
2x 3
a 5 b 3
2
2
2x x 1
2x x 1
b 3 0
102. Simplifica les expressions següents.
a)
(2x 1)(x 3)2 3(x 2 x)(x 3)
(x 3)3
a)
x3 5x 2 21x 9 ( x 3)( x 2 8x 3)
x 2 8x 3
2
3
( x 3)
( x 3)
( x 3)2
b)
(4x 2 2x 3 )·6x
x 2(x 2)
b)
2x 2( x 2)6x
12x
x 2( x 2)
103. Calcula i simplifica l’expressió següent.
1 x x 1
1 x x 1
1 x x 1
1 x x 1
1 x x 1 1 x
2
1
1 x x 1 1 x
1
x 1 x
1 x x 1
x 1
2
1 x
1
1 x x 1
x 1
x 1
104. Realitza les operacions amb fraccions algebraiques amb dues variables següents.
b)
1
a a2
xy xz yz
2
x 1 2 x
c) x
2 x 2
e)
ab ab
a2
2
a b a b a b2
c)
1
1
: 2
x y x y 2 2xy
d)
3x 2 y
x2 y 2
x y 6xy 2 x y
f)
a b :
a)
z ay a 2 x
xyz
d)
3x 2 y (x y )(x y )
x
( x y )6xy 2( x y ) 2y
b)
x 2 y 2 2xy ( x y )2
xy
xy
xy
e)
(a b)2 (a b)2 a2
4ab a2
(a b)(a b)
(a b)(a b)
f)
a b :
1 2 x 1
2x x 2 x 2 1 2x 2 x
c)
2x
2x
2
2
2
77
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
2
1 1
a b
b a a b ab
b a ab ab2 a2b
b a
ab
2
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
105. A partir de les expressions següents:
1
A 1
1
1
B 1
1
1
1
1
1
1 x
1
1
1
1
1 x
a) Simplifica-les, expressant el resultat com a quocient de polinomis de primer grau.
b) Suma-les.
c) Multiplica-les.
a) A
3x 5
5x 8
, B
2x 3
3x 5
b) A B
3x 5 5x 8 19x 2 61x 49
2x 3 3x 5
6x 2 19x 15
c) AB
3x 5 5x 8 5x 8
2x 3 3x 5 2x 3
QÜESTIONS
106. Escriu dos polinomis diferents que tinguin les mateixes arrels:
a) Si són del mateix grau.
b) Si tenen diferent grau.
a) P(x) 2x 3 Q(x) 4x 6
b) P(x) 2x 3 Q(x) 4x 12x 9
2
107. Digues si les afirmacions següents són certes o falses.
a) Un polinomi de tercer grau pot tenir sis arrels reals diferents.
b) Un polinomi de tercer grau pot tenir una única arrel real.
c) La suma de dos polinomis de quart grau pot donar com a resultat un polinomi de tercer grau.
d) El producte de dos polinomis de quart grau pot donar com a resultat un polinomi de tercer grau.
e) Les fraccions algebraiques A( x )
x2 1
x 1
i B( x ) 2
són equivalents.
x x
x
f) Les fraccions algebraiques A( x )
x2 1
x 1
i B( x ) 2
són exactament iguals.
x x
x
a) Fals. Com a màxim pot tenir tres arrels reals diferents.
b) Cert: P(x) (x 1)(x 1)
2
c) Cert: P(x) x x
4
3
Q(x) x 1
4
P(x) Q(x) x 1
3
d) Fals. El producte és sempre de vuitè grau.
e) Cert: (x 1)(x x) x x x(x 1)
2
3
2
f) Fals. Per a x 1, A(x) 2 i B(x) no està definida.
108. Indica quines de les expressions algebraiques següents són polinomis. En cas afirmatiu, indica el grau del
polinomi.
a) A( x ) 2x 2
1
2
x 3
a) Polinomi de grau 2.
78
b) B( x) 3x 2 2x
b) No és un polinomi.
1
x
c) C( x ) 2x 5
1 3
1
x 2 x d) C( x ) 2x 5 x 3 2x
2
2
c) Polinomi de grau 5.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
d) No és un polinomi.
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
109. Demostra que el polinomi P(x) ax ax a amb a > 0 no té cap arrel real positiva.
3
2
Si x r > 0 és una arrel real positiva, aleshores P(r ) a(r 3 r 2 1) 0 r 3 r 2 1 0 .
Però si r > 0, aleshores r 3 r 2 1 1. Per tant, no pot ser nul.
110. Demostra aquesta igualtat algebraica.
x y z x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz
2
x y z x y 2 z2 2 x y z x 2 y 2 z2 2xy 2xz 2yz
2
111. Tenim vuit nombres naturals consecutius. Demostra que la suma dels quadrats del primer, el quart, el sisè
i el setè és igual a la suma dels quadrats del segon, el tercer, el cinquè i el vuitè.
Aquests nombres són: x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, x + 6, x + 7
x 2 x 3 x 5 x 6 x 2 x 2 6x 9 x 2 10x 25 x 2 12x 36
2
2
2
x 2 x 2 x 2 x 2 6x 10x 12x 9 25 36 4x 2 38x 70
x 1 x 2 x 4 x 7 x 2 2x 1 x 2 4x 4 x 2 8x 16 x 2 14x 49
2
2
2
2
x 2 x 2 x 2 x 2 2x 4x 8x 14x 1 4 16 49 4x 2 28x 70
112. Si multipliquem els tres termes d’un trinomi per 2, quina alteració experimenta el seu valor numèric? I si
multipliquem per 2 els tres factors d’un producte? Posa un exemple de cada pregunta.
Si multipliquem els tres termes d’un trinomi per 2, el seu valor numèric es doblarà. Sigui el trinomi a + b + c.
Multiplicant cada terme per 2, tenim:
a + b + c ➱ 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c)
Si multipliquem per 2 els tres factors d’un producte, el seu valor numèric es multiplicarà per 8:
a · b · c ➱ 2a · 2b · 2c = 8 · a · b · c
113. Multipliquem un polinomi de grau sis per un de grau vuit. De quin grau és el polinomi resultant.
El terme de grau més alt del polinomi de grau sis és de grau sis, i el terme de grau més alt del polinomi de grau vuit
és de grau vuit. El grau del producte d’aquests dos termes serà igual a la suma dels exponents del termes, és a dir,
a 14.
PROBLEMES
114. Escriu les expressions algebraiques per a les situacions següents.
a) El perímetre d’un quadrat, la diagonal del qual mesura x.
b) La suma dels quadrats de tres nombres imparells consecutius, essent n el primer d’aquests.
c) El perímetre d’un triangle isòsceles en el qual el costat desigual mesura x, i l’altura, y.
a) Sigui a la mesura del costat del quadrat: x a a , i aïllant a, a
2
2
2
x 2
; així, doncs, P 4a 2 2 x .
2
b) Siguin n, n 2 i n 4 els nombres imparells consecutius. Aleshores: S n (n 2) (n 4) 3n 12n 20
2
79
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
2
2
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
c)
Cada un dels costats iguals és:
2
x
c y2
2
4y 2 x 2
1
4y 2 x 2
4
2
Per tant: P 2c x 2 P 2c x 2
1
4y 2 x 2 x 4y 2 x 2 x
2
115. Es consideren tots els triangles rectangles tals que les mesures dels seus catets són dos nombres que es
diferencien en dues unitats. Escriu una expressió que permeti calcular el perímetre d’aquests triangles si b
és el catet més gran.
Siguin b i b 2 les mesures dels catets. Utilitzant el teorema de Pitàgores: h b2 (b 2)2 . Així, doncs:
P b b 2 b2 (b 2)2 2b 2 2b2 4b 4
116. Si x i y són dos nombres, expressa algebraicament:
a) El primer més el quadrat del segon.
b) El primer pel quadrat del segon.
c) El producte del primer per l’invers del segon.
d) Sabent que x y 5, expressa les relacions anteriors depenent només del nombre x.
e) Si xy 10, troba el valor de
a) x y
x 2 y 2 (x y )2
.
5
2
b) xy
d) x y 5 y 5 x:
e) xy 10
2
c) x
x y x (5 x) x 9x 25
2
2
2
1 x
y y
xy x(5 x) x 10x 25x
2
2
3
2
x
x
y 5x
x 2 y 2 (x y )2 x 2 y 2 x 2 y 2 2xy 2xy 2 10
4
5
5
5
5
117. Troba les expressions algebraiques que resulten del producte de:
a) Tres nombres naturals consecutius.
b) Tres nombres parells consecutius.
c) Tres múltiples de cinc consecutius.
a) n(n 1)(n 2)
b) 2n(2n 2)(2n 4)
c) 5n(5n 5)(5n 10)
118. L’altura en metres d’un coet es dona per l’expressió h(t) 60t 5t , en què t mesura el temps en segons.
2
a) A quina altura arriba el coet al cap d’1, 3, 6 i 8 segons? I al cap de 12?
b) Interpreta els resultats.
a) h(1) 60 5 55 m; h(3) 180 45 135 m; h(6) 360 180 180 m; h(8) 160 m, h(12) 0 m
b) El coet puja durant els primers 6 s, i en aquest moment comença a caure, fins que arriba a terra als 12 s.
80
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
119. Es considera un rectangle de 20 m de base i 12 d’altura.
a) Escriu l’expressió algebraica que determina l’àrea d’un nou rectangle que s’obté en incrementar la mesura de la
base en x m i en disminuir la seva altura en y m.
b) Calcula l’àrea del rectangle obtingut en augmentar la base en 2 m i en disminuir l’altura en 4 m.
a) Les mesures del nou rectangle són 20 x i 12 y.
Per tant, la seva àrea es pot escriure així: S (20 x)(12 y).
b) Per als valors indicats: S (20 2)(12 4) 176 m .
2
2
120. Volem construir el marc d’una finestra rectangular de 4 m de superfície. El metre lineal del tram horitzontal
costa 16 €, i el tram vertical, 5 €. Expressa el cost del marc en funció de la longitud, x, del tram horitzontal.
Com que l’àrea és 4, la longitud del tram horitzontal és x i la longitud del tram vertical és
El cost és C x 16 2x 25 2
4
.
x
4
200 32x 2 200
32x
.
x
x
x
121. Troba la fracció algebraica que dona la superfície d’un triangle isòsceles de perímetre 8 cm en funció del
costat desigual, x. Quant val la seva àrea si x = 2 cm?
Com que el perímetre és 8 i la base és x, els costats iguals mesuren 4
2
x
, i aplicant el teorema de Pitàgores
2
2
x
x x
16 4x cm2. Substituint en
4 16 4x , i per això la superfície és S(x)
2
2 2
2
16 8 2 2 cm2.
x 2 resulta que S(2)
2
s’obté que l’altura és
122. En un quadrat de costat cinc unitats de longitud s’hi marquen quatre punts, un a cada costat, de manera
que la distància al vèrtex més pròxim és de x unitats. Aquests quatre punts formen un nou quadrat tal com
mostra la figura.
a)
Escriu una expressió algebraica que determini el perímetre del nou quadrat.
b)
Escriu una expressió algebraica que determini l’àrea del nou quadrat.
Costat del nou quadrat: c x 2 (5 x)2 x 2 25 x 2 10x 2x 2 10x 25
a) P(x) 4 2x 2 10x 25
b) A(x) c 2x 10x 25
2
2
123. A la taula següent hi apareix el nombre de CD que està disposat a
comprar un client en funció del preu de cadascun.
Preu
en cèntims
24
22
20
18
Nombre
d’unitats
50
60
70
80
a) Estableix una expressió algebraica que determini el preu de cada CD si se n’adquireixen x unitats.
b) Estableix una expressió algebraica que determini el preu total a pagar per n CD (n comprès entre 50 i 80).
81
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
a) El preu que es paga per cada CD és: p x 24 2
x 50
x 50
x
x
24
24 10 34
10
5
5
5
n
n2
b) P(n) n 34 34n
5
5
124. El cost de produir x xips de memòria per a ordinador (x entre 0 i 5) s’expressa amb el polinomi
4
C( x ) x 2 8x €. El preu per unitat al qual es poden vendre les x unitats produïdes és de
5
1
P ( x ) x 2 20 €.
2
a) Indica els ingressos que s’obtenen en produir i vendre dues unitats.
b) Escriu el polinomi que determina el benefici segons les x unitats produïdes i venudes.
c) Indica el benefici si s’han obtingut i venut 3 unitats.
d) Indica el benefici si s’han obtingut i venut 5 unitats.
e) Interpreta els resultats.
1
4
a) 2P(2) C(2) 2 22 20 22 8 2 23,2 €
2
5
1
4
1
4
1
4
b) B(x) Ingrés Cost x 2 20 x x 2 8x x 3 20x x 2 8x x 3 x 2 12x
2
5
2
5
2
5
c) B(3)
1
4
27 9 12 3 29,7 €
2
5
d) B(5)
1
4
125 25 12 5 17,5 €
2
5
e) S’obtenen beneficis més alts si es produeixen 3 unitats de memòria que si se’n produeixen 5.
125. Un comerciant adquireix dos tipus de cafès per torrar, moldre i, posteriorment, mesclar. El de més qualitat
té un preu de 10 €/kg, mentre que per l’altre va pagar 7,50 € per cada quilo. El comerciant vol obtenir una
mescla que surti a 8,40 €/kg. Quina haurà de ser la proporció dels dos tipus de cafè?
Siguin x els kg de cafè de més qualitat i y els kg de cafè de menys qualitat. Aleshores:
10x 7,5y 8,4 x y . Per tant, 10x 7,5y 8,4x 8,4y 1,6x 0,9y 0
x 0,9
9
.
y 1,6 16
Haurà de barrejar 9 parts del cafè de més qualitat amb 16 parts del cafè de qualitat inferior.
126. Els costos, en euros, de fabricar x parells de sabatilles esportives venen donats per l’expressió:
C(x )
4 2
x 70x 600
25
a) Calcula el cost total si es fabriquen 50 parells de sabatilles esportives.
b) Indica quins són els costos fixos.
c) Indica quins són els costos variables.
d) Indica quins són els costos totals per a cada parell de sabatilles esportives quan se’n fabriquen x parells.
82
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
a) C(50)
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
4
2500 70 50 600 3700 €
25
b) Els costos fixos no depenen de la producció, venen donats pel terme independent: Cf 600 €.
c) Els costos variables són el total de costos menys els costos fixos, per tant: Cv
C( x )
d)
x
4 2
x 70x .
25
4 2
x 70x 600
4
600
25
x 70
x
25
x
127. Un rectangle es troba inscrit en un triangle rectangle de catets 8 cm i 20 cm tal com mostra la figura.
a)
Escriu l’expressió algebraica que determina l’àrea del
rectangle suposant que la distància entre els punts A i B
és de x metres.
b)
Calcula els valors numèrics de l’expressió anterior per a x
2, x 5 i x 10.
a) Els triangles ABF i ACE són semblants i, per tant,
verifiquen el teorema de Tales:
x
20
2x
FB
FB
8
5
L’àrea del rectangle serà:
S 20 x
2x 40x 2x 2
cm2
5
5
b)
80 8 72
14,4 cm2
5
5
200 50 150
S(5)
30 cm2
5
5
400 200 200
S(10)
40 cm2
5
5
S(2)
83
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
ENTORN MATEMÀTIC
Àlgebra, zombis, alienígenes i enciams
L’empresa d’animació digital FRIKACTION comercialitza tres videojocs: Frikaction 1, en el qual uns escarabats
han de lluitar contra una plaga de zombis; Frikaction 2, on s’utilitzen enciams per acabar amb els alienígenes
que han envaït la Terra i Frikfashion, en el qual s’utilitzen tomàquets i altres hortalisses per decorar ciutats
modernes.
La taula següent mostra les dades del negoci:
Manteniment del local i altres costos fixos
Frikaction 1
Frikaction 2
Preu de venda per unitat
45
39
Costos de fabricació per unitat
25
1250 € per dia
Frikfashion
30
21
21
Un estudi de mercat ha demostrat que les preferències dels jugadors es reparteixen de manera desigual; la
segona part del joc de Frikaction compleix amb la premissa que «segones parts mai no van ser bones» i no ha
tingut tanta acceptació com la primera part, mentre que el joc de Frikfashion no ha estat ben acollit pels
jugadors. De tal manera que, per cada tres unitats venudes de Frikaction 1, se’n venen dos de Frikaction 2 i una
de Frikfashion.
Suposant que es produeixen i es venen x unitats diàries del joc de Frikaction 1 i que de la resta de jocs, se’n
fabriquen i se’n venen en la proporció estimada per l’estudi:
a)
Calcula l’expressió algebraica que proporciona els costos totals.
b)
Calcula els ingressos totals.
c)
Calcula el benefici de l’empresa i troba el benefici per als casos específics de x = 25 i x = 100 i interpreta els
resultats.
a)
C(x ) 1250 25x 21
b)
I(x) 45x 39
c)
B(x) I(x) C(x) 35x 1250 B(25) 375 € de pèrdues. B(100) 2250 € de beneficis.
2
x
x 21 1250 25x 14x 7x 1250 46x
3
3
2
x
x 30 45x 26x 10x 81x
3
3
Per a x 25 hi ha pèrdues i per a x 100 hi ha beneficis.
Les caixes
L’empresa FRIKACTION ha decidit assumir la fabricació de les caixes per guardar i enviar a les botigues de
venda els lots de jocs que comercialitza. Per fer-ho utilitza planxes de cartró de 84 cm de llarg i 56 cm
d’amplada.
Per construir la caixa, el procediment que han implementat a
l’empaquetadora consisteix a retallar quatre quadrats iguals en els
quatre cantons i ajustar-los tal com mostra la figura.
a)
Calcula les expressions algebraiques que determinen la superfície i el volum de la caixa sense tapa que s’obté en
funció del costat x dels quadrats retallats.
b)
Elabora un full de càlcul tal que mostri la superfície i el volum de la caixa per a diferents valors de x.
c)
Amb l’ajuda del full de càlcul anterior, estableix la longitud x que fa que el volum de la caixa sigui màxim. Quant val
la superfície en cada cas?
a)
S(x) 56∙84 4x 4704 4x
b)
2
x
Superfície
Volum
7
4508
20508
2
8
4448
21760
V(x) (842x)(562x)x 4x 280x 4704x
3
9
4380
22572
10
4304
23040
10,97
4222,6397
23187,98669
2
10,98
4221,7584
23188,02077
10,99
4220,8798
23188,0252
11
4220
23188
12
4128
23040
c)
El volum màxim s’obté quan es tallen quadrats de costat 10,98 cm. La superfície aproximada, en aquest cas, és de
2
4221,76 cm .
84
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
AUTOAVALUACIÓ
Comprova el que has après
1.
Calcula i simplifica.
a)
2x 2 3x 1 x 2 2x 2 2 2x 32
c) 2(2x 1)3 3(2x 1)2
1
4 13
3
d) x 2 3x 2 x 1
5
5 24
2
b) 2 3x 5 3(3x 5)(3x 5) 2(3x 5)2
2
a)
2
2x 2 3x 1 x 2 2x 2 2 2x 32 2x 4 7x 3 19x 2 32x 20
b) 2 3x 5 3(3x 5)(3x 5) 2(3x 5)2 27x 2 120x 75
2
c) 2(2x 1)3 3(2x 1)2 16x 3 36x 2 24x 5
2
1
4 13
9
51 2 3
33
3
x x
d) x 2 3x 2 x 1 x 4
5
5 24
2
160
4
50
2
2.
Divideix els polinomis:
a)
6x 11x 14x x 10 : 3x x 2
4
3
2
b) 3x 4 4x 3 17x 2 4x 12 : x 2 x 6
2
a) Quocient: 2x 3x 5. Residu: 0
b) Quocient: 3x x 2. Residu: 0
2
3.
4.
Factoritza els polinomis:
a) x 3 7x 2 16x 12
c) 16x 4 16x 2 4
b) 2x 4 5x 3 21x 2 19x 5
d) 2x 3 y 3x 2y 2
a) x 3 7x 2 16x 12 (x 3)(x 2)2
c) 16x 4 16x 2 4 4 2x 2 1 4 2 x 1 2 x 1
b) 2x 4 5x 3 21x 2 19x 5 (x 1)2(x 5)(2x 1)
d) 2x 3 y 3x 2 y 2 x 2y(2x 3y )
2
2
2
Calcula el valor numèric per a x 1 i per a x 2 del polinomi P(x) 3x 5x 16x 15x 122.
4
P(1) 115
5.
2
3
2
P(2) 208
Calcula el valor de k perquè el polinomi P(x ) 3x 3 12x 2 kx 21 sigui divisible per x 3 .
P(x) 3 3 12 3 3k 21 3k 168 0 k 56
3
6.
2
Utilitzant la regla de Ruffini, troba el quocient i el residu de la divisió 2x 3 3x 2 : 2x 1 .
Quocient: Q x x 2
7.
1
7
x
2
4
Residu:
1
4
Calcula el valor de k perquè el valor numèric del polinomi P(x) 3x 2x kx 6 en el punt x 3 valgui
48.
3
P(3) 3 3 2 3 3k 6 3k 57 48 k 3
3
85
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
SOLUCIONARI
8.
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
Calcula el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:
P(x ) x 4 6x 3 3x 2 52x 60
Q(x ) x 3 7x 6
P(x) x 2 x 3 x 5 Q(x) x 1 x 2 x 3
2
Per tant, el m.c.d dels dos polinomis és (x 3)(x 2) x 2 x 6 i el seu m.c.m. és (x 1)(x 3)(x 2)2 (x 5) .
9.
Calcula i simplifica.
a)
2x
7
3x 1
3
2
x 3
x
3
x
9
a)
2x
7
2x
9x 3
7
2x(x 3) (9x 3)( x 3) 7 7x 2 36x 16
3x 1
3
2
x 3
( x 3)( x 3)
x2 9
x 3 x 9 x 3 x 3 (x 3)(x 3)
b) 1
2
1
1
x
b) 1
2
1
1
x
3
x 2 2x 1
3
2x
3
( x 1)2 2x( x 1) 3 3x 2 4x 2
1
2
2
x 2x 1
x 1 ( x 1)
( x 1)2
x 2x 1
2
10. Determina, mitjançant una expressió algebraica, l’àrea d’un triangle equilàter de perímetre 3x.
S( x )
x2 3
4
11. Una empresa fabrica i ven un cert producte. El cost en euros per produir x unitats s’escriu:
2
x
x
C( x )
20
250 500
Sabem, a més, que el preu al qual pot vendre cada unitat és p x
x
0,25 €. Calcula l’expressió
10 000
algebraica que determina els beneficis.
2
x
x
x
21x 2 63 000x 5 000 000
B( x ) I( x ) C( x) x
0,25
20
250 000
10 000
250 500
Relaciona i contesta
Tria l’única resposta correcta en cada cas
1.
La factorització del polinomi P x, y 16x 4 81y 2 és:
A.
2x 3y
B.
2x 3y 2x 3y 4x 2 9y 2
4
C.
4x 9y 4x 9y
D.
8x 27y 2x 3y
2
Solució: B
86
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
3
3
2
SOLUCIONARI
2.
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
La resta de les fraccions algebraiques
1 1 x
2 és:
x
x
2x 2 x
A.
1
x2
C.
B.
1
x2
D. Cap de les anteriors
x3
Solució: A
3.
La diferència dels costats de dos quadrats és 3 cm. Si el costat petit mesura x cm, el valor absolut de la
diferència de les àrees és:
A. 15 cm
2
B. 27 cm
C. 6x 9 cm
2
2
D. 6x 9 cm
2
Solució: C
Assenyala, en cada cas, les respostes correctes
4.
Es consideren les fraccions algebraiques:
A( x )
x 2
x 1
B(x )
x 2 4x 4
x 2 3x 2
A. Són exactament iguals.
B. Són equivalents.
C. El valor numèric per a x = 1 és el mateix.
D. Els valors numèrics en tots els punts diferents de −1 i −2 són iguals.
Solució: B, C i D
5.
Es consideren les expressions algebraiques:
A(x ) 2 x 2
B(x )
2 x
x
C(x )
2 x
x
A. Cap no és un polinomi.
C. Dues són polinomis.
B. Només una d’aquestes és un polinomi.
D. Totes són polinomis.
Solució: B
Tria la relació correcta entre les dues afirmacions donades
6.
Sabem que els polinomis P(x) i Q(x) verifiquen la relació següent P(x) (x1)Q(x) R, essent R un nombre
real. Es consideren les afirmacions:
1. P(1) 0
2. P(x) és divisible per Q(x).
A. 1 2
B. 1 2 però 2
1
C. 2 1 però 1
2
D. 1 i 2 són excloents entre si.
Solució: A
87
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 3. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES
Assenyala la dada innecessària per contestar
7.
Es vol calcular el valor numèric per a x a, y b de l’expressió algebraica:
1
:
x 2 2x 1
xy x y 1
y 1
x x
Per fer-ho s’aporten les dades següents:
1. a 3
2. b 3
A. Es pot eliminar 1.
B. Es pot eliminar 2.
C. No és necessària cap dada.
D. No es pot eliminar cap dada.
Solució: B
88
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
4. Equacions i sistemes
EXERCICIS PROPOSATS
1 i 2. Exercicis resolts.
3.
Troba les solucions de les equacions següents.
a)
2x 5x 3 0
b) x 9x 14 0
2
x 3
5 25 24
a) x
1
4
x
2
4.
5.
6.
c) 7x 2 30x
2
9 81 56 x 2
b) x
2
x 7
24 2
x
60 5
c) 30 x 2 7 x 2 0
x 10 1
60
6
Resol les equacions següents de segon grau incompletes.
a)
3x 18x 0
b) 16x 25 0
a)
x 0
x(3 x 18) 0
18
3 x 18 0 x
6
3
b)
x2
c)
x 0
x( 5 x 7) 0
7
5 x 7 0 x
5
2
c) 5x 7x 0
2
25
25
5
5
x
x
16
16
4
4
x
2
5
4
Indica el nombre de solucions de les equacions següents.
x 22 2 x 12 2x x 4 10
a)
x2 x 4 0
b) 4x 2 4x 1 0
c) x 2 18x 80 0
d)
a)
15 Cap
b) 0 Una
c) 4 Dues
d) 0 Una
Troba una equació de segon grau tal que la suma de les seves arrels sigui −3 i el producte −28.
b
3 b 3a
a
Si a 1 b 3 i c 28
c
x1x2 28 c 28a
a
x1 x2
Per tant, una equació que compleix les condicions és: x 2 3x 28 0
7 i 8. Exercicis resolts.
89
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
9.
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Opera i resol les equacions biquadrades obtingudes.
4
2
a) x 20x 64 0
b)
24
3x 2 6
x2
c) x x 2 4( x 1) 2
2
5
x
z 16
a) Si z x 2 z2 20z 64 0
. Així, doncs, si z 16 x 16 4 i si z 4 x 4 2
z 4
b)
z 4
24
.
3 x 2 6 3 x 4 6 x 2 24 0 x 4 2x 2 8 0 . Si z x 2 z2 2z 8 0
x2
z 2
Per tant, si z 4 x 4 2 i si z 2 x 2 no té solució real
c) x x 2 4( x 1) 2
2
5
x 2 x 2 6 5 0 x 4 6 x 2 5 0
x
z 1
Si z x 2 z2 6z 5 0
. Per tant, no hi ha solucions reals.
z 5
10. Resol les equacions següents per factorització.
a)
x 6x 9x 4 0
3
c) x 5x 39x 265x 350 0
2
4
b) 6x 13x 8x 17x 6 0
4
3
3
2
d) 8x 10x 17x 7x 6 0
2
4
3
2
a) (x 1) (x 4) 0; x 1 (doble) i x 4
2
b) (x 1)(x 2)(2x 3)(3x 1) 0; x 1, x2, x
3
1
i x
2
3
c) (x 5) (x 2)(x 7) 0; x 5 (doble), x 2 i x7
2
d) (x 1)(x 2)(2x 1)(4x 3) 0; x 1, x2, x
1
3
i x
2
4
11. Exercici resolt.
12. Resol les equacions racionals següents.
90
2
3
x
11x 11
12
2x
7
9
2x
4
4
3
x2 x
a)
x
a)
x 2 2 3x x 2 3x 2 x 2 , x 1
b)
11x 11 2 x 18x 2 x 108 63 2 x 7x 2 88x 256 0 x 8 , x
c)
4x 4 x 2 3x x 2 3x 2 2x 8 0 x 2 , x
d)
6x 7 x 1 x x 3 5x 2 2x 7 0 x 1 , x
b)
c)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
7
5
4
3
d)
6x 7
x
x 3
x 1
32
7
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
13. Resol les equacions racionals següents.
a)
2x 2x 3
7
3
x 1 3x 3
a)
2x x 1 3 2x 3 7 x 2 2x 1 0 x 1
b)
2x x 2 3x x 2 6x 2 x 2 2x 0 x 0 , x 2 (solució no vàlida)
c)
2 3x x 1 x x 1 2x 2 4x 2 0 0 x 1 (solució doble), però la solució no és vàlida
d)
x 8 x 2 24x 16 x 1 x x 2x 24 0 x 0 (doble), x 4 x 6
2x
3x
6x 2
2
x 2 x 2 x 4
b)
3
2
c)
2
3x
x
x 1 x 1 x 1
2
d)
x 3 8 24x 16
x 1
x2
2
14 a 16. Exercicis resolts.
17. Resol les equacions irracionals següents.
a)
x 2 x 4 0
b)
x 1
x
a)
x 2 x 4
x 1
x
c)
x
x 2
d)
3 16 x 2x 5
x 2 x 4 x 2 x 16 8x x 9x 14 0 .
2
2
2
2
Per tant, x 7 (sí que és solució) i x 2 (no és solució).
2
x 1
x 2 2x 1
2
x 2 2x 1 x 3 3 x 2 3 x 1 0 ( x 1)3 0 x 1
x 1
x
x
solució)
b)
(sí
que
2
c)
x
x2
2
2
x 2 4 4 x x 5x 4 0. Així, x 4 (sí que és solució), x 1 (no és solució)
x 2
x
x
d)
3 16 x
2
2x 5 3 16 x 2x 5 3 16 x 2x 5 9 (16 x ) 4x 20x 25
2
4 x 2 11x 119 x
2
2
2
17
(no és solució), x 7 (sí que és solució)
4
18. Resol les equacions amb radicals següents.
a)
2x 7 x 2
2
b) x 10 x 5
x 1 4x 3 5
e)
x 4 x 1 5
d)
x 7 2x x 23
f) x 2 3x 2 2 4
2x 7 x 2 2x 7 x 4 4 x x 3 4 x x 10x 9 0
2
a)
c)
2
2
2
2
Per tant, x 9, x 1 (sí que són solucions)
b)
91
10 x 5 x 10 x x 25 10x 10x 15 . Així: x 32 (sí que és solució).
2
2
2
2
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
és
SOLUCIONARI
c)
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
x 1 4x 3 5
x 1 4x 3 5 x 1 4x 3 25 10 4x 3
2
2
10 4x 3 3x 21 10 4x 3
Així, x 3 (no és solució) i x
2
2
2
247
(sí que és solució).
9
x 7 2x x 23 x 7 2x 2 2x 14x x 23 2 2x 14x 16 2x
2
d)
3x 21 9x 274x 741 0 .
2
2x 2 14x 8 x
2
2
2 x 14x 8 x x 30x 64 0 xx 232 Solució falsa .
2
2
2
2
Per tant, x 2 (sí que és solució) i x 32 (no és solució).
e)
x 4 5 x 1
x 4 5 x 1 x 4 25 x 1 10 x 1 10 x 1 20
2
2
x 1 2 x 1 4 .
Així, doncs, x 5 (sí que és solució).
f)
x 4 3x 2 x 16 8x 3x 2 x 11x 18 0 .
2
2
2
2
4
2
2
4
2
Per tant, x 3 (sí que és solució), x 3 (sí que és solució), x 2 (no és solució) i x 2 (no és
solució).
19 a 22.
Exercicis resolts.
23. Resol les equacions logarítmiques següents.
a)
log3x log6 2log x
b)
log(2x 3) log( x 2) log36
c)
log(4 5x ) log(2x 2) log(2x x 2 ) 1
a)
3x 6x 2 x 6x 3 0 . Per tant, x 0 (no és solució) i x
b)
log
c)
log 4 5x log 2x 2 log 2x x 2 1 log 4 5 x 2x 2 log 10 2x x 2
1
(sí que és solució)
2
2x 3
2x 3
75
log36
36 2x 3 36 x 72 x
x 2
x 2
34
8x 8 10x 2 10x 20x 10x 2 2x 8 x 4 (no és solució). L’equació no té solució.
24. Troba un nombre tal que si se li afegeix al seu logaritme decimal el valor del logaritme decimal de 2, el
resultat és la unitat.
Nombre desconegut: x.
Per tant, log x log2 1 2 x 10 x 5
92
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
25. Calcula el valor d’un nombre si el doble del seu logaritme decimal és igual a la suma dels logaritmes
decimals de 4 i de 9.
Nombre desconegut: x
2log x log 4 log9 log x 2 log36 x 2 36 x 6, x 6 . El valor és x 6 , la solució x 6 no és vàlida.
26 a 28.
Exercicis resolts.
29. Resol les equacions exponencials següents.
b) 7x 3 49
a)
42 x 16
a)
42 x 16 42 x 42 2x 2 x 1
b)
7x 3 49 7x 3 72 x 3 2 x 5
c)
1
16
2x
d)
c)
1
16
2x
x( x 1)
2
2 x 3
d) 4 5
64
x ( x 1)
x ( x 1)
4
1
2
2 x 2 2 x 2x( x 1) 2x 2 x 0 x(2x 1) 0 x 0, x
2
2x 3
2x 3
2x 3
4 5 64 4 5 43
3 2x 3 15 x 9
5
30. Resol les equacions següents.
a)
2x 1 2x 2x 1 7
c) 52 x 30 5x 125 0
b)
2x 4 8 x 0
d) 2 102 x 4 3 10x 2 5 0
a)
1 x
7
2 2x 2 2x 7 2x 7 2 x 2 x 1
2
2
b)
2x 4 23
c)
5 30 5 125 0 5 30 2 20 55 525x x1 2
d)
2 102 x 4 3 10x 2 5 0 20 000 10x
2 x 4 3 x 2x 4 x 2
x
x 2
3x
x
x
x
x
300 10 5 0 20 000 z 300z 5 0
4000z2 60z 1 0 z
2
x
2
60 140
z 102 , z 0,025 . Desfent el canvi
8000
x 2 ,
10x 0,025
(sense solució real).
31. Exercici interactiu.
32. Exercici resolt.
33. Digues si els sistemes següents són lineals o no lineals i identifica-hi les incògnites, els coeficients i els
termes independents.
2x xy 3
a) x 3y 4
2x 5y 6
93
x y 1
b) y z 2
x 2z 0
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Incògnites
a)
b)
No
lineal
Lineal
x,y
x, y, z
Primera equació
Terme
Coeficients
independent
2 (en x)
3
1 (en xy)
1,1 i 0
1
Segona equació
Terme
Coeficients
independent
1 (en x)
4
3 (en y)
0, 1 i 1
2
Tercera equació
Terme
Coeficients
independent
2 (en x)
6
5 (en y)
1, 0 i 2
0
9x 10y 13
34. Indica si els parells de valors donats són solució del sistema d’equacions següent:
.
x 4y 4
1
2
a) x 3, y 4
b) x 2, y
9( 3) 10 4 27 40 13
No és solució.
a)
( 3) 4 4 3 16 19 4
1
9 2 10 2 18 5 13
b)
Sí que és solució.
1
2 4
2
2
4
2
35 a 39.
Exercicis resolts.
40. Resol gràficament i per algun mètode algebraic.
2x 2y 6
a)
x 3y 1
3x 5y 10
b)
2x y 2
3x 5y 7
c)
6x 10y 14
2x 3(4 y ) 6
d)
3(2x 9) 5y 1
2x 2y 6
a)
y 1, x 2
2x 6y 2
6 x 10y 14
c)
, Infinites solucions.
6 x 10y 14
3 x 5y 10
x 0, y 2
b)
10 x 5y 10
2x 3y 18
x 6, y 2
d)
6 x 5y 26
41. Resol els sistemes d’equacions següents.
94
2
2
2x 3y 32
b)
2
2
3x 4y 48
a)
2x y 8
2
2x 3y 22
x y 4
c) 2
2
x 2y 19
a)
x 5, y 2
y 8 2x
2
2
.
Solucions:
2
x
192
12
x
96
x
22
12
x
94
x
170
0
17
7
2
2
x
3
8
2
x
22
x 6 , y 3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
2
d) x y 13
xy
6
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
b)
6 x 2 9y 2 96
3E1
y 0, x 4
17y 2 0 y 0 . Solucions:
2
2
2E2
y 0, x 4
6 x 8y 96
c)
y 3, x 1
x y 4
x 4 y
x 4 y
.
Solucion
s:
1
13
2
2
2
2
2
2
y , x
3
y
8
y
3
0
4
y
2
y
19
3
y
8
y
16
19
x 2y 19
3
3
d)
2 6 2
x 2, y 3
x 13
x 2, y 3
x y 13
x
x 4 13 x 2 36 0 . Solucions:
xy 6
6
x 3, y 2
y
x 3, y 2
x
42 a 44.
2
2
Exercicis resolts.
45. Estudia i resol els sistemes d’equacions lineals següents aplicant el mètode de Gauss.
95
x 2y 2z 2
a) 3x 3y z 14
5x y 2z 15
2x 4y z 0
c) 3x 3y 2z 1
3x 3y 2z 5
5x 2y 2z 0
e) 3x y 3z 0
8x y z 1
2x y z 11
b) 2x 2y z 8
x y z 7
4x y 5z 5
d) 5x y z 13
4x 2y 3z 14
f)
2x y z 5
x y 2z 3
x 2y 7z 0
2x y z 0
g) x y z 1
2x y z 2
3x y z 2
h) 2x 5y 2z 0
x y z 1
a)
x 2y 2z 2
E2 3E1
9y 7z 20
E3 5E1
11y 8z 25
x 2 y 2z 2
9E3 11E2 9 y 7z 20 z 1, y 3, x 2
5z 5
b)
2x y z 11
E2 E1
3y
3 y 1, z 2, x 4
2E3 E1
y
z
3
c)
2x 4y z 0
3
1
25
2E2 3E1
18y z 2 z , y
,x
E3 E2
2
36
36
4z 6
d)
4 x y 5z 5
4E2 5E1
9y 21z 27
E3 E1
3 y 2z 9
e)
5 x 2y 2z 0
5E2 3E1
11y 21z 0
5E3 8E1
11y 21z 5
f)
2x y z 5
2E2 E1
y 3z 1
2E3 E1
5y 15z 5
g)
2x y z 0
2E2 E1
y 3z 2 z 1, y 1, x 1
E3 E1
2z 2
h)
3 x y z 2
3 x y z 2
1
1
3E2 2E1
17y 8z 4 17E3 4E2 17 y 8z 4 z , y 0, x
3E3 E1
2
2
4 y 2z 1
66 z 33
4 x y 5 z 5
3E3 E2 9 y 21z 27 z 0, y 3, x 2
15z 0
Sistema incompatible. No té solució.
2x y z 5
E3 5E2
y 3z 1 z t, y 3t 1, x t 2
00
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
46. Resol el sistema següent aplicant un canvi de variables que el transformi en lineal.
1 2 3
7
x y z
2 3 5
12
x y z
4 4 1
15
x y z
Fent el canvi de variable: a
1
1
1
, b , c . Per tant:
x
z
y
a 2b 3c 7
a 2b 3c 7
a 2b 3c 7
E2 2E1
2
a
3
b
5
c
12
b
c
2
E
4
E
c 5, b 3, a 2
b c 2
3
2
E3 4E1
4a 4b c 15
4b 11c 43
7c 35
Així, doncs: x
1
1
1
, y , z
3
5
2
47. Calcula les edats de tres germans sabent que:
Les edats de tots tres sumen 44 anys.
L’edat del germà mitjà és mig any superior a la mitjana aritmètica de les edats dels altres germans.
La suma de les edats dels dos germans petits és 10 anys superior a l’edat del més gran.
x edat del germà gran en anys, y edat del germà mitjà en anys, z edat del germà petit en anys.
x y z 44
x y z 44
x y z 44
xz 1
E E1
x 2y z 1 2
3y 45
x 17, y 15, z 12 .
y
E E1
2
2
x y z 10 3
2x 34
y z x 10
Per tant, l’edat del germà gran és de 17 anys, la del germà mitjà és de 15 anys i la del germà petit és de 12 anys.
48. Exercici interactiu.
49. L’oferta i la demanda del mercat d’un model de pantalons texans, el preu del qual es troba entre 40 € i 60 €,
venen donades per les expressions:
fo 0,5p2 40p 1000
fd 10p 750
a) Calcula el punt d’equilibri d’aquest mercat.
b) Troba el nombre de texans venuts quan es produeix l’equilibri de mercat.
a) Igualant les dues expressions: 0,5p2 40p 1000 10p 750 p 10 (no vàlida) p 50 . Així, doncs, el
punt d’equilibri s’assoleix amb un preu de 50 €.
b) Per a p 50 , substituïm en f0 o en fd i el nombre de texans venuts és de 250 unitats.
96
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
50. La taula mostra la població espanyola (en milions de persones) en diferents anys:La taula mostra la
població espanyola (en milions de persones) en diferents anys:
Any
Població
2005
43
2011
46,2
2012
46,1
2013
46,1
2014
46
Calcula la taxa de creixement exponencial de la població espanyola per als períodes:
a) 2005 a 2014
b) 2011 a 2013
a) 46 43 e(2014 2005)r e9r
c) 2012 a 2013
46
46
46
ln e9r ln
9r ln
r 0,0075 r % 0,75 %.
43
43
43
b) 46,1 46,2 e(2013 2011)r e2r
46,1
46,1
46,1
ln e2r ln
2r ln
r 0,001 r % 0,1 %.
46,2
46,2
46,2
c) 46,1 46,1 e(2013 2012)r er
46,1
r 0 %r 0 %
46,1
51 a 61.
Exercicis resolts.
EXERCICIS
Equacions de primer i segon grau
62. Troba mentalment les solucions, si existeixen, de les equacions següents.
a) 3x 1 2x 6x
a) x
1
5
b) x x 1 3 xx
2
2
b) x 1
1
x 3,5 2,6 x
2
c) 3x 2 x 2x 5
d)
c) Sense solució
d) x 0,6
63. Resol les equacions de primer grau següents.
a) 2x 2(3x 1) 4(2x 5) 10 8x
b) 2x
3x 1
1
x
3
3
a) 2x 6x 2 8x 20 10 8x; per tant x 7
3x 1
2x
c)
4
2x
2
x 10 2(x 2) 5x 15
2
5
3
d)
c) 3 x 1 8x 4 x
b) 6x 3x 1 3x 1; per tant 0 0. Es compleix x
7
4 (3x 1)
7
3
1
12x 4 3 x x
2
2
2
d) 15x 150 12x 24 50x 150; per tant, x 12
64. Resol les equacions següents.
a) (x 2) (x 4)(x 2) 2 3(x 1)
2
c)
b) 2(x 2) 3x 8 0
2
97
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x(x 1) (x 6)2 (x 2)2 (3x 2)(3x 4)
15
5
3
15
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
a) x 4x 4 x 4x 2x 8 2 3x 3 0 2x x 3 0, de solucions x 1, x
2
2
2
b) 2x 8x 8 3x 8 0; 2x 11x 0, de solucions x 0 i x
2
2
3
2
11
2
c) x x 3(x 36 12x) 5(x 4 4x) 9x 12x 6x 8; x 120
2
2
2
2
65. Resol les equacions incompletes següents.
a) x 18x 0
b) 2x 9x 0
c) x 2x 0
d) 2x 8 0
a) x 0, x 18
b) x 0, x
9
2
c) x 0, x 2
d) x 2, x 2
2
2
2
2
66. Indica el nombre de solucions reals de les equacions sense resoldre-les.
a) x 3x 12 0
b) 4x 2
2
4x 1
0
3 9
c) 3x x 4 0
2
d)
a) 39. Cap solució real
c) 49. Dues solucions reals
b) 0. Una solució real doble
d)
151
. Dues solucions reals
9
67. Escriu en cada cas una equació de segon grau que tingui les solucions indicades.
a) x 2, x 3
b) x 4 (doble)
a) (x 2)(x 3) 0 x x 6 0
b) (x 4) 0 x 16 8x 0
2
2
2
68. Factoritza aquestes equacions:
2
c) x – 4x + 3 = 0
2
d) x – 6x + 9 = 0
a) x + 4x + 4 = 0
b) x + 5x + 6 = 0
2
2
a) x + 4x + 4 = 0 x 2 x 2 x 2
2
2
2
c) x – 4x + 3 = 0
x 3 x 1
b) x + 5x + 6 = 0 x 3 x 2
2
d) x – 6x + 9 = 0 x 3 x 3 x 3
2
2
69. Troba una equació de segon grau que tingui com a arrels:
2
1
e) x1 , x2
3
4
a) x1 2, x2 3
c) x1 2, x2 2
b) x1 2, x2 5
d) x1
a) x x60
c) x 4x4 0
e) 12x 5x2 0
b) x 7x10 0
d) 3x x2 0
f)
2
2
98
3 2 4x 5
x
0
2
3 2
2
, x2 1
3
2
2
f)
x1 2, x2 2
2
x2 2 2 x 2 2 0
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
70. Resol mentalment aquestes equacions:
2
c) x + 5x + 4 = 0
2
2
d) x + 3x – 4 = 0
2
x 4 x 2 x 4, x 2
2
x 3 x 1 x 3, x 1
2
x 4 x 1 x 4, x 1
a) x + 6x + 8 = 0
2
b) x – 2x – 3 = 0
a) x + 6x + 8 = 0
b) x – 2x – 3 = 0
c) x + 5x + 4 = 0
d) x + 3x – 4 = 0 x 4 x 1 x 4, x 1
2
Equacions de grau superior a 2
71. Resol les equacions biquadrades següents.
a)
x 50x 49 0
c) x 34x 72 0
e) x 5x 4 0
b)
x 125x 484 0
d) x 6x 8 0
f) 4x 7x 2 0
a)
x 1, x1, x 7, x7
e) x 2, x2, x 1, x1
b)
x 2, x2, x 11, x11
f) x
c)
x 6, x6
g) x 1, x1
4
2
4
4
2
2
4
4
2
2
4
g) 2(x 1) 8x 8(x 3) 8 0
4
3
2
1
2
d) Sense solucions reals
72. Resol aquestes equacions:
3
2
d) x – 5x + 6x = 0
3
2
e) x + 6x + 8x = 0
3
2
f) x – 5x – 6x = 0
a) x + 4x + 3x = 0
b) x + 3x – 10x = 0
c) x – 3x – 10x = 0
a)
3
2
3
2
3
2
x 3 4x 2 3x 0 x x 2 4x 3 0 x x 3 x 1 x 0, x 3, x 1
b) x 3 3x 2 – 10x 0 x x 2 3x – 10 0 x x 5 x 2 x 0, x 5, x 2
c) x 3 – 3x 2 – 10x 0 x x 2 – 3x – 10 0 x x 5 x 2 x 0, x 5, x 2
d) x 3 – 5x 2 6x 0 x x 2 – 5x 6 0 x x 3 x 2 x 0, x 3, x 2
e) x 3 6x 2 8x 0 x x 2 6x 8 0 x x 4 x 2 x 0, x 4, x 2
f) x 3 – 5x 2 – 6x 0 0 x x 2 – 5x – 6 0 x x 6 x 1 x 0, x 6, x 1
73. Opera i troba les solucions de l’equació: x 2
10x 2
3
x 2 36
x 36x 10x 3x 108. Per tant, x 23x 108 0, que té per solucions x 2, x2
4
2
2
2
4
2
74. Resol les equacions polinòmiques següents per factorització.
99
13 3 11 2 5
x
x x2
3
3
3
a)
x x 5x x 6 0
c) x 4
b)
6x 7x 14x 15 0
d) x x 2x 2x
4
3
3
2
2
6
4
5
3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
e) x x x 1 0
3
2
f) x (x 1) x (x 1)
2
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
a) (x 2)(x 3)(x 1) 0, de solucions x2, x 3
2
b) (x 1)(6x x 15) 0, de solucions x 1, x
2
3
5
x
2
3
c) (3x 2)(x 3)(x 1) 0, de solucions x 1 (doble), x 3, x
2
2
3
d) x (x 2)(x 1) 0; x 0 (triple), x 2
3
2
e) (x 1) (x 1) 0; x 1 (doble), x1
2
f) (x 1)x(x 1) 0; x 0, x1, x 1
75. Resol les equacions següents estudiant els valors que anul·len cada factor.
a) (x 4)(x 5) 0
b) x(x x 1) 0
2
a) x 4, x5
b) x 0, x
c) c) (2x 1)(3x 1)(x 1) 0
d) (x a) (x 2x 3) 0
2
1 5
1 5
, x
2
2
c) x
1
1
, x
3
2
2
2
d) x a si a 0, x 1, x3
76. Escriu en cada cas una equació les solucions de la qual siguin les indicades.
b) 2, 7, 2 i 7
a) 1 i 5
c)
1
3
, 2 i
2
4
d) a, b,
c
i0
4
1
3
3
17
3
c) x x 2 x 0 x 3 x 2
x 0
2
4
4
8
4
a)
x 1 x 5 0 x 2 6x 5 0
b)
x 2 x 7 x 2 x 7 0 x 4 53x 2 196 0
d)
x a x b x
c
x 0
4
77. Resol l’equació (x 2) 16 aplicant el canvi d’incògnita zx 2.
3
4
3
z4 16 z 4 16 2 . Si z 2 , aleshores x 3 2 2 x 3 4 i si z 2 , llavors x 3 2 2 x 0
Equacions racionals
78. Resol les equacions racionals següents.
100
a)
1 2
3
9
x x x2 4
c)
1
1
1
1
x x2 x3
e)
1 1
1
a a 2 a3
b)
1
2
3
13
2x 3 x 4 x 36
d)
1
1
1300
1 r (1 r )2
729
f)
2232
a)
1 2 3
9
2
12( x 1) 9 x 2 x , x 2
x x x2 4
3
b)
1
2
3
13
23
13
69
x
2x 3 x 4 x 36
12x 36
13
c)
1 1
1
1 x 3 x 2 x 1 0 x 1
x x2 x3
d)
1
1
1300
79
2
729(r 2) 1300(r 1)2 r
,r
2
1 r (1 r )
729
52
25
e)
1 1
1
1 5
1 5
2 3 a3 (a 1) a2 a
,a
a a
2
2
a
f)
2232
1100 1200
0 558r 2 841r 17 0 r 0,02, r 1,527
1 r (1 r )2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
1100
1200
0
1 r (1 r )2
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
79. Troba les solucions de les equacions racionals següents.
e)
x 1 x2 1
2x
x 1
12
11x 11
7
2x
9
f)
4
4
3
x x2
c)
x 9 5 x 12x 12
2
x
x2
x 2x
g)
x 1 4x 12
x 1 3x 3
d)
x 2 x 1
9
x 1 x 2 20
h)
1
1
1
x a x a x 2 a2
a) x 3
b) 2x
2
x
a) x 2 3x 2 0 x 1, x 2
b) 36 x 18 x 2 108 126 63 x 22x 22 11x 2 11x 7 x 2 88 x 256 0 x 8, x
32
7
c) x 2 11x 18 5x x 2 12x 12 x 1
d) 20x 2 80 80 x 20 x 2 20 40 x 9 x 2 27 x 18 9 x 2 13 x 42 0 x 3, x
e) x 2 1 2x x 2 1 x 2 1 1 2x 0 x 1, x 1, x
4 x 8 4 x 3 x 2 6 x 3 x 2 2x 8 0 x 2, x
f)
14
9
1
2
4
3
g) 3x 2 3x 3x 3 4x 2 12x 4x 12 x 2 2x 15 0 x 3, x 5
h) x a x a 1 x
1
2
80. Resol l’equació següent tot aplicant el canvi de variable z x 3x.
2
x 2 3x 1
x 2 3x 2
2
2
(x 3x ) 1 (x 2 3x )2
z 1 z 2
1
z2
2
2 z2 z 1 z 2 z2 z2 2 z 0 z 2 x 2, x 1
2
z 1
z 1
z
z
Equacions amb radicals
81. Troba mentalment la solució de les equacions amb radicals següents.
a)
a)
x 1 4
b)
x
9
4
c)
x 1 4 x 1 16 x 15 (solució vàlida)
2
2
2
x
x
b)
92 81 x 324 (solució vàlida).
4
4
c)
3x 1 7 3x 1 49 x 16 (solució vàlida).
2
2
d) x 2 9 x 3 (solucions vàlides).
101
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
3x 1 7
d)
x4 9
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
82. Calcula les solucions de les equacions amb radicals següents.
a) 2 3 x x
b) 3x 2x 2 2 2x 2 23
x 1 2x 3 5
c)
d) 3 3x 1 2 3(2x 1)
a)
3 x (2 x ) 9x 4 x 4x x 5x 4 0 x 4, x 1 (solucions vàlides).
b)
3x 232 2x 2 9x 2 140x 531 0 x 9 (vàlida), x
c)
x 1 5 2x 3 x 1 25 2x 3 10 2x 3
2
2
2
2
2
2
2
10 2x 3
d) 3 3x 1
59
(no vàlida).
9
x 27 x 146x 429 0 x 3 (vàlida), x 143 (no vàlida).
2
2
2
2 3(2x 1) 27x 9 24x 12 x 1 (no vàlida).
2
2
83. Resol les equacions següents.
a)
2 x 4 12 x
2
a) 2 x 4
b)
2x 1
4
3
2x 1
c) 4x 5 6x 2 24x 25 0
d)
1 x x
1
x
8 (vàlida)
12 x 2 x 4 12 x x 4 (10 x ) x 21x 104 0 xx 13
(no vàlida)
2
2
b) Traient denominadors: 2x 1 12 x
2
2
13
(vàlida)
2
x 0 (vàlida)
8
x (no vàlida)
5
c)
6x 2 24x 25 4x 52 6x 2 24x 25 25 16x 2 40x 10x 2 16x 0
d)
1 x x x 2 x x 2 x 1 4x 4x 2 x 2 1 2x 5x 2 6x 1 0 x 1, x 1 (no vàlides)
2
2
2
5
84. Resol l’equació
x 4 36 5x .
x 4 36 5x 4 x 2 36 5x x 2 36 5x 0 x 4 (no vàlida), x 9 (vàlida)
4
Equacions logarítmiques i exponencials
85. Resol les equacions logarítmiques següents.
a) log x log2 log4
e) log10 20 x 320 10 x
b) 2log 2x 2 log x 1 1
f)
c) log 65 x 3 3log 5 x
d) log x log6 2log
3logx 2 logx 4 5
g) log 7x 51 1 log9 log 2x 67
x
3
a) log x log2 log4 log x log0,5 x 0,5 (solució vàlida).
b) 2log 2x 2 log x 1 1 log
4 x 1 10 x
102
1
2x 22 log10 2x 22 10 4 x 12 10
x 1
x 1
7
(solució vàlida)
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x 1
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
c) log 65 x 3 3log 5 x log 65 x 3 log 5 x 65 x 3 5 x
3
3
65 x 3 125 75x 15x 2 x 3 15x 2 75x 60 0 x 2 5x 4 0 x 4, x 1 (solucions vàlides).
d) log x log6 2log
x
x 2
x
6x 2
log x log 6 x
6 x 2 9 x 3 x 2x 3 0
3
3
9
3
(solució vàlida), x 0 (solució no vàlida).
2
e) log10 20 x 320 10 x 1010 x 10 20 x 320 10 x 20x 320 100x 20x 320
x
f)
320
4 (solució vàlida)
80
1
3logx 2 logx 4 5 logx 8 4 5 x 5 32 25
2
g) log 7 x 51 1 log9 log 2x 67 log
5
x
7 x 51
9
log
10
2x 67
1
(solució vàlida)
2
7 x 51
10
9
2x 67
14x 2 571x 3417 8100 14x 2 571x 4683 0 x 7 (solució vàlida), x
669
(solució falsa)
14
86. Resol les equacions exponencials següents.
2
a) 4x 1 25 x 5
2
b) 4( x 2) 262 144
c) 2x 2x 1 24
d) 9x 5 3x 24 0
e) 3x 2 9x 1 90
f)
32 x 32 x 1 3x 1 111
25 x 5 2x 2 2 5 x 5 2x 2 5x 3 0 x 3, x 1
2 x 2 1
2
a) 4x 1 25 x 5 2
2
2
2
x 2 3 x 5
2
b) 4 x 2 262 144 4 x 2 49 x 2 9
x 2 3 x 1
c) 2x 2x 1 24 2x 8 x 3
5 3 24 0 3 5 3 24 0
d) 9x 5 3x 24 0 32
x
x
x 2
x
z 3 3 x 3 x 1
Si z 3 x z2 5z 24 0 z 3, z 8
x
z 8 3 8 (sense solució real)
90
x 2
e) 3
x 2
9
x 1
3
9x
90 3 3
90 32 3 x
9
9
Si z 3 x 9z
103
2
x
z 9 3 x 32 x 2
z2
90 z2 81z 810 0 z 9, z 90
x
9
z 90 3 90 (sense solució real)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
f)
3
2x
3
2 x 1
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
3
x 1
111 3
x 2
3 3 111
x 2
x
3
3
Així,
z 3x z2
z 9 3 x 32 x 2
z2 z
37
111 4z 2 z 333 0 z 9, z
37
37
3 3
4
3x
(sense solució real)
z
4
4
Sistemes d’equacions
87. Comprova en cada cas si els valors indicats formen una solució dels sistemes donats.
x 2y 4
a)
x y 1
x 2, y 1
x 2y 6z 2
b) x y z 0
2x y 3z 4
x 2, y 1, z 1
a) No, perquè no verifica la 2a. equació
88. Comprova que totes les ternes de nombres reals
solucions del següent sistema.
b) No, perquè no verifica la 1a. equació.
t , t , 3t 4 , essent t qualsevol nombre real, són
x 2y z 4
x y 0
3 y z 4
x 2y z 4
t 2t 3t 4 4
4 4
t t 0
0 0 Com que es verifiquen les tres equacions, les ternes son solució.
x y 0
3y z 4
3t 3t 4 4
4 4
89. Resol els sistemes següents.
2x 3y 13
a)
5 x 2y 4
x4
5
y
c)
3
y 13 3 x
7
2
3 x 3 y 3
b)
1 x 3 y 3
5
4
5
2x 3y
1
d) 3
2
3(2x 5)+4(5 2y) 15
2x 3y 13
2x 3y 13
a)
y 3, x 2
5 x 2y 4
19y 57
7
2
x 3y
3
3 2 x 9 y 7 2 x 9 y 7 y 2 , x 1
b)
1
3
3
2
4 x 15 y 12 3 y 2
x y 3
5
4
5
x4
5 x 4
y
c)
5 13 3 x x 5
3
3
y 13 3 x
104
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2x 3(2x y ) 1
e) x
3y 14
2
f)
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
2x 3y
1
4 x 9y 6
12x 27y 18
d) 3
11y 22 y 2, x 6
2
6
x
8
y
20
12x 16y 40
3(2x 5) 4(5 2y) 15
8 x 3y 1 8 x 3y 1
e)
8(28 6y ) 3y 1 y 5, x 2
x 6y 28
x 28 6y
f)
4 x 3y
3 4 2 16 x 9 y 24
64 x 36y 96
91x 273 x 3, y 8
x
y
41
3
x
4
y
41
27 x 36y 369
4 3 12
90. Resol i classifica els sistemes següents.
x 6y 6
a) 2
2
2x y 76
y
3x 2 15
d)
2 3 1
x y
3xy 2x 2 26
b)
4x 5y 7
x 2 2(x y )2 36
e) x y
5
2 3
3 x 5y 2
c)
2
2
2x 4y 2
4 2 y2 2
x
3
4
3
2
2
x 2y 61
2
3
24
2
2
f)
2
x 6y 6
a)
73y 2 144y 4 0 y 2, y
2
2
73
2
6
y
6
y
76
Així, doncs: y 2, x 6 , y
2
450
,x
. És un sistema compatible determinat.
73
73
7 4x
3 x
2 x 2 26
65
5
b)
22x 2 21x 130 0 x 2, x
7
4
x
22
y
5
Així, doncs: x 2, y 3 , x
65
53
,y
. És un sistema compatible determinat.
22
55
2
2
2
2
3 x 5y 2
6 x 10y 4
y 1
c)
2
2
2
2
2x 4y 2
6 x 12y 6
Així, doncs: x 1, y 1 , x 1, y 1, x 1, y 1, x 1, y 1 . És un sistema compatible determinat.
y 30 6 x
5
6 x y 30
x 4, x
d)
2
2
y
3
x
xy
2
60 12x 3 x 30 x 6 x
Així, doncs: x 4, y 6 , x
1
, y 15 .
2
2
2
x 2 2y 2 4 xy 36 x 2y 4 xy 36
900 4y 2 120y
120y 8y 2
102
2y 2
36 y 6, y
e)
30 2y
9
3
23
3 x 2y 30
x
3
105
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Així, doncs: y 6, x 6 , y
102
162
. És un sistema compatible determinat.
,x
23
23
4 2 y2 2
2
2
2
2
x
3
4
3 16 x 3y 8 48 x 9y 24 55y 2 220 y 2
.
2
2
2
2
2
12x 16y 61 48 x 64y 2 244
x 2y 61
2
3
24
f)
Així,
doncs: y 2, x
1
1
1
1
; y 2, x ; y 2, x ; y 2, x .
2
2
2
2
És
un
sistema
compatible
determinat.
91. Resol i classifica aquests sistemes:
x 1
3
y
a)
2
y 2 x 10
2 2 x y 3 3 x 2y 34
b) x y
2
2 3
3 2 x 3 y 5 x y 25
c) x 5 3y 1
5
2
5
x 1
3 x 1
13
4
y
a)
3 2x 10 x , x
2
2
3
3
y 2x 10
4 x 2y 9 x 6y 34
5 x 8y 34
b)
7 x 14 x 2, y 3
3 x 2y 12
3 x 2y 12
3 2x 3y 5 x y 25
11x 4y 25
33 x 12y 75
43 x 129 x 3, y 2
c) x 5 3 y 1 5
5
x
6
y
27
10 x 12y 54
2
5
Els tres sistemes són compatibles i determinats.
92. Resol els sistemes d’equacions lineals següents indicant si són compatibles o incompatibles, i escrivint
totes les seves solucions.
x 3y 2z 6
a) 2x 3y 2z 8
4x 2y 6z 6
x 2y 2z 4
c) 2x 5y 2z 10
4x 9y 6z 18
x 3y 2z 6
e) 2x 3y 5z 6
5x 3y 8z 6
x 2y 3z 3
b) 3x 2y z 7
5x 2y 5z 1
x 2y z 5
d) 5x y 2z 11
6x y z 5
f)
a)
106
x 3y 2z 6
E2 2E1
3y 2z 4
E3 4E1
10y 2z 18
2x y 2z 8
2x 4y 3z 2
4x y 6z 4
x 3y 2z 6
E3 E2 3y 2z 4 y 2, z 1, x 2. C. determinat.
7y
14
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
b)
x 2y 3z 3
E2 3E1
8y 10z 2 . Incompatible.
E3 5E1
8y 10z 14
c)
x 2y 2z 4
x 2y 2z 4
E2 2E1
y 2z 2 E3 E2
y 2z 2 zt, y 2 2t, x6t. C. indeterminat.
E3 4E1
y 2z 2
00
d)
x 2y z 5
E2 5E1
11y 7z 36 . Incompatible.
E3 6E1
11y 7z 35
x 3y 2z 6
x 3y 2z 6
E2 2E1
e)
9y 9z 18 E3 2E2 9y 9z 18 zt, yt 2, xt . C. indeterminat.
E3 5E1
18y 18z 36
00
f)
2x y 2z 8
2x y 2z 8
E2 E1
5y 5z 10 5E3 3E2 5y 5z 10 z2, y 0, x 2. C. determinat.
E3 2E1
3y 10z 20
35z 70
93. Troba totes les solucions enteres d’aquest sistema:
x 2 y 2 z 2 29
2
x y 2 z 2 19
2
2
2
x 2y z 6
x 2 y 2 z 2 29
2
x y 2 z 2 19
2
2
2
x 2y z 6
2y 2 10 y 5
E1 E2
E2 E3 2x 2 y 2 25 2x 2 5 25 x 10
10 2 5 z 2 6 z 2 14 z 14
Les solucions són:
x 10, y 5, z 14 ; x 10, y 5, z 14 ; x 10, y 5, z 14 ;
x 10, y 5, z 14 ; x 10, y 5, z 14 ; x 10, y 5, z 14 ;
x 10, y 5, z 14 ; x 10, y 5, z 14
94. Troba les solucions enteres del sistema següent.
x 2 z 2 10
2
2
y z 13
2
x 2y 6z 13
x 2 z 2 10
x 2 10 z 2
2
y 2 13 z 2
z 2 6z 23
2
2
2
2
2
2
y z 13
y z 13
z 6z 23
13 z
2
y
x 2 2y 6z 13 10 z 2 2y 6z 13
2
z 4 12z 3 6z 2 276z 477 0 (z 3)(z 3 15z 2 39z 159) 0
L’única solució entera del polinomi és z 3, amb la qual: z 3 y 13 32 2 ; x 10 32 1
107
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Les solucions són les ternes: x 1, y 2, z 3; x 1, y 2, z 3, ja que les ternes formades amb el valor y 2
no son vàlides perquè no es verifica la tercera equació.
95. Calcula el valor de m perquè el següent sistema d’equacions tingui infinites solucions. Per a aquest valor,
escriu-ne les solucions.
Perquè el sistema tingui infinites solucions, les raons entre coeficients corresponents i termes independents de les
equacions han de ser idèntiques:
96. Un dels sistemes següents és incompatible i l’altre és compatible indeterminat:
Raona de quin tipus és cada un.
El sistema és incompatible.
Com que no és incompatible i té més incògnites que equacions, és compatible indeterminat.
97. Per a quin valor de m és incompatible el sistema següent?
Raona la resposta.
El sistema serà incompatible per a m = –1, ja que per a aquest valor i multiplicant la segona equació per –1, tenim:
que és incompatible.
98. Aplicant el mètode de Gauss, estudia i resol el sistema següent.
x 3y 2z 2w 12
2x 2y z w 5
3x y 2z 4w 16
3x 3z 3w 15
x 3y 2z 2w 12
x 3y 2z 2w 12
x 3 y 2z 2w 12
w 0
8y 3z 3w 19
8 y 3z 3w 19
8 y 3z 3w 19
z 1
8y 4z 10w 20
z 7w 1
z 7w 1
y 2
9y 3z 9w 21
3z 45w 3
66w 0
x 4
108
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
99. El sistema següent pot ser compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible, segons el valor
que prengui la lletra a:
x ay z 1
2y az 2
x y z 1
Indica com és el sistema per a cada un dels valors següents de a:
a) a = 1
b) a = 0
c) a = 4
Simplifiquem el sistema:
x y z 1
x y z 1
2y az 2
2y az 2
x ay z 1 E3 E1
(a 1)y 0
a) Si a 1, la tercera equació és 0 0; per tant, és un sistema compatible indeterminat amb infinites solucions que
depenen d’un paràmetre.
b) Si a 0, el sistema és incompatible.
x y z 1
x y z 1
2
y
0
z
2
2y 2
(0 1)y 0
1y 0
c) Si a = 4, el sistema és compatible determinat:
x y z 1
1
1
2y 4z 2 y 0, z , x
2
2
(4 1)y 0
Síntesi
100. Escriu una equació de segon grau tal que una de les seves arrels sigui igual al doble de l’altra.
Resposta oberta, per exemple: arrels: 2, 1. Equació: x 3x 2 0.
2
101. Escriu una equació de segon grau tal que les seves dues arrels siguin inverses i la seva suma valgui
10
b
x x2
1
3
a Si a 1 x 2 10 x 1 0 3 x 2 10 x 3 0
Resposta oberta, per exemple:
c
3
x x 1
1 2
a
102. Escriu una equació de tercer grau tal que tingui com a solucions x1 2, x2 3 i x3 5.
Resposta oberta, per exemple: ( x 2)( x 3)( x 5) 0 x 3 6x 2 x 30 0
103. Escriu una equació biquadrada tal que les seves úniques solucions reals siguin 1 i 1.
( x 1)( x 1)( x 2 1) 0 x 4 1 0
109
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
10
.
3
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
104. Troba l’expressió d’un polinomi P(x) de segon grau tal que P(0) 2, P(1) 1 i P(1) 1.
Sigui P( x ) ax 2 bx c el polinomi que busquem. Tenim:
P (0) c 2
c 2
P (1) a b c 1 a b 3 a 2, b 1, c 2
P ( 1) a b c 1 a b 1
Així, doncs: P( x ) 2x 2 x 2
105. Troba l’expressió d’un polinomi de tercer grau que compleixi que P(0) 0, P(1) 0, P(1) 2 i P(2) 6.
Sigui P( x ) ax 3 bx 2 cx d el polinomi que busquem. Tenim:
P (0) d 0
d 0
d 0
d 0
P (1) a b c d 0
2b 2
b 1
b 1
E2 E3
E4 2E3
P
(
1)
a
b
c
d
2
a
b
c
d
2
a
c
1
a 2
P
(
x
)
8
a
4
b
2
c
d
6
8
a
4
b
2
c
d
6
8
a
2
c
10
c 3
El polinomi que busquem és P( x ) 2x 3 x 2 3x .
106. Troba la solució de l’equació: 5log x 3log x 2log6
5log x 3log x 2log6 x 5 36x 3 x 0, x 6 (solucions no vàlides), x 6 (solució vàlida).
2
107. Resol l’equació següent: 13 x 2 x
1
0
13
2
13x 2 x 131 x 2 2x 1 x 2 2x 1 0 x 1
108. Resol el sistema següent per quatre mètodes.
2 x 3 y 6
5 x y 19
La solució per qualsevol dels mètodes és: x 3, y 4 .
QÜESTIONS
109. Demostra que l’equació x axa 0 té dues solucions reals diferents per a qualsevol valor de a no nul.
2
2
(a)2 4 1 (a2 ) a2 4a2 5a2 0 per a qualsevol a 0.
110. Escriu, en cada cas, una equació de segon grau:
a) Que no tingui cap solució real.
c) Que les solucions siguin enteres i oposades.
b) Que tingui una única solució real doble.
d) Que una solució sigui 0.
a) x 2 1 0
b)
x 12 0 x 2 2x 1 0
c) x 4 x 4 0 x 2 16 0
d) 6x 2 12x 0
110
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
111. a) Compara les solucions de l’equació de segon grau 3x 4x 4 0 amb les de l’equació 4x 4x 3 0.
2
2
b) Demostra que les solucions de l’equació x bx 2 0 són inverses de les de l’equació 2x bx 1 0.
2
2
c) Demostra que les solucions de l’equació ax bx c 0 són inverses de les de l’equació cx bxa 0.
2
2
a) Les solucions de la primera són x 2 i x
2
1
3
, i les de la segona, x
i x . Les solucions d’una
3
2
2
equació son inverses de les de l’altra.
b) Les solucions de la primera són x
b b 2 8
b b 2 8
, i les de la segona, x
, que són inverses
2
4
2
b b2 8 b b2 8 b b 8
b2 b2 8 8
1.
2
4
8
8
8
2
perquè
2
b b2 8 b b2 8 b b 8
b2 b2 8 8
1.
2
4
8
8
8
2
De la mateixa manera:
b b2 4ac b b2 4ac b b 4ac
4ac
c) En efecte, són inverses perquè
1.
2a
2c
4ac
4ac
2
2
I de la mateixa manera amb l’altra parella de solucions.
112. a) Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a única solució (0,0).
b) Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que tingui infinites solucions entre
les quals hi hagi (0,0).
x 0
a) Resposta oberta, per exemple:
y 0
x y 0
b) Resposta oberta, per exemple:
2 x 2 y 0
113. a) Escriu una equació racional que no tingui cap solució.
b) Escriu una equació biquadrada que no tingui cap solució.
c) Escriu una equació irracional que no tingui cap solució.
a)
x2 1
0
x 1
b)
x 1 x 2 0 x 3x 2 0
2
2
4
2
c)
x 3
114. Dues equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions. Indica en cada cas si les equacions són
equivalents:
2
2
a) x + 2x – 3 = 0 i –x – 2x + 3 = 0
2
b) 6x + 2x = 0 i 3x + 1 = 0
c)
ix–2=0
a) Són equivalents, ja que multiplicant els dos membres de la segona equació per –1 s’obté la primera.
b) No són equivalents. La primera equació té dues solucions, x = 0 i x =
només té una solució, x =
1
, mentre que la segona equació
3
1
.
3
c) La segona equació té com a solució x = 2, però aquesta no és solució de la primera, ja que per a aquest valor
el denominador s’anul·la.
PROBLEMES
111
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
115. La suma de tres nombres parells consecutius és 1242. Quins són aquests nombres?
Nombres: x, x 2, x 4
x x 2 x 4 1242 3x 1236 x 412 . Els nombres són: 412, 414 i 416.
116. Calcula dos nombres naturals consecutius tals que la suma dels seus quadrats sigui 545.
Nombres: x, x 1
x 2 x 1 545 2x 2 2x 544 0 x 17 (solució no vàlida), x 16 (solució vàlida).
2
Els dos nombres són: 16 i 17.
117. Un triangle rectangle està format per tres costats les longituds dels quals són nombres consecutius. Quant
mesuren els costats d’aquest triangle?
Costats: x, x 1, x 2
x 22 x 2 x 12 x 2 2x 3 0 x 1 (solució no vàlida), x 3 (solució vàlida).
Les longituds dels costats són: 3, 4 i 5.
118. La suma dels quadrats de dos nombres naturals imparells consecutius és 1570. Calcula el valor de
l’imparell següent.
Nombres imparells desconeguts: 2x 1, 2x 3. L’imparell següent és 2x 5.
(2x 1) (2x 3) 1570. Així, doncs: x 13, x15 (solució no vàlida). L’imparell següent és 2 · 13 5 31.
2
2
119. En dividir dos nombres que sumen 147 s’obté 5 de quocient i 9 de residu. Quins són aquests nombres?
Els nombres són x i y. Suposem que x és més gran que y.
x y 147
Les solucions són x 124 i y 23. Els nombres són: 124 i 23.
x 5y 9
120. Dos capitals iguals es col·loquen al 3 % i al 4 %, respectivament, durant un any. El segon capital produeix
12,50 € més d’interessos que el primer. A quant ascendeixen els capitals inicials iguals?
Sigui C el capital: 0,04C 0,03C 12,5 C 1250 €.
121. Un pare té quatre vegades l’edat de la seva filla. Passats cinc anys només tindrà tres vegades la seva edat.
Quines són les edats actuals del pare i de la filla?
Filla
Pare
112
E. Actual
x
4x
E. passats 5 anys
x5
4x 5
4x 5 3 x 5 x 10
Edat actual del pare: 40 anys; edat actual de la filla: 10 anys.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
122. Fa tres anys, les edats de dues persones estaven en la proporció 6 : 1, i d’aquí a sis anys estaran en la
proporció 3 : 1. Quines són les edats que tenen ara aquestes persones?
Persona A
Persona B
Fa tres anys
6x
x
Actual
6x 3
x 3
D’aquí a sis anys
6x 9
x 9
6x 9 3 x 9 3x 18 x 6
Actualment, les edats són de 39 i 9 anys, respectivament.
123. L’Ernest ha comprat un ordinador de taula pel valor de 400 €. A l’hora de pagar, ha utilitzat 32 bitllets, uns
de 20 € i uns altres de 5 €. Quants bitllets de cada quantitat ha entregat?
Anomenem: x nombre de bitllets de 20 €, y nombre de bitllets de 5 €.
x y 32
La solució del sistema és: x 16 i y 16.
20 x 5y 400
Ha lliurat 16 bitllets de 20 € i 16 bitllets de 5 €.
124. Troba una fracció tal que compleixi que si al numerador i al denominador se’ls suma una unitat, la fracció
1
1
equival a , i si se’ls resten tres unitats, la fracció equival a
.
3
5
Anomenem x el numerador i y el denominador.
x 1 1
y 1 3
3 x 3 y 1
3 x y 2
x 7, y 23
x
3
1
5
x
15
y
3
5 x y 12
y 3 5
La fracció és
7
.
23
125. Un magatzemista treballa amb tres tipus de televisors. Per cada un dels televisors del primer tipus, de
gamma baixa, paga 350 €; pels del segon, de gamma mitjana, 650 € i, finalment, pels del tercer, de gamma
alta, 1150 €.
Una comanda de 240 unitats té un import de 160 000 €. Determina el nombre de televisors demanats sabent
que el nombre de televisors del segon tipus és el doble que els del primer i el tercer tipus junts.
Anomenem: x, y, z el nombre de televisors de gamma baixa, mitjana i alta, respectivament.
x y z 240
350 x 650y 1150z 160000 x 45, y 160, z 35 . Així, doncs, els han demanat 45 televisors de gamma
y 2 x z
baixa, 160 televisors de gamma mitjana i 35 televisors de gamma alta.
126. Un ciclista realitza un trajecte a la velocitat de 12 km/h. En un cert moment se li rebenta una roda, cosa que
provoca que hagi de tornar a peu a una velocitat de 4 km/h. Calcula a quina distància del punt de partida se
li va rebentar la roda, sabent que el temps total que va invertir entre l’anada i la tornada va ser de dues
hores i mitja.
Sigui x la distància en quilòmetres des del punt de sortida fins al lloc on va punxar.
Temps invertit a l’anada:
x
x
. Temps invertit a la tornada: .
12
4
x
x
4x
2,5
2,5 x 7,5 km. Se li va rebentar la roda a 7, 5 km del punt de partida.
12 4
12
113
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
127. Una fàbrica de perfums disposa de 600 L d’un producte A i de 400 L d’un producte B. Mesclant tots dos
productes s’obtenen essències diferents. Es volen preparar dues classes de perfum: la primera, més
barata, ha de portar tres parts de A i una de B, i la segona classe, de més qualitat, ha de portar els
productes A i B al 50 %
a) Quants litres de cada classe de perfum es podran preparar?
b) Quins ingressos totals s’obtindran per la venda de la totalitat dels productes fabricats?
Al dibuix de l’enunciat s’observa que el perfum més barat es ven a 50 €/L i l’altre a 60 €/L.
a) Siguin x litres que se’n prepararan de la primera classe, y litres que se’n prepararan de la segona.
3x y
4 2 600
x 400, y 600. Es podran preparar 400 litres de la primera classe de perfum i 600 litres de la
x y 400
4 2
segona classe de perfum.
b) S’obtindran uns ingressos totals de 400 · 50 600 · 60 56 000 €.
128. Es vol construir un marc rectangular per adornar una fotografia. Pe fer-ho es disposa d’un llistó de fusta de
50 cm de longitud.
a) Escriu l’expressió algebraica que relaciona l’àrea tancada pel marc amb la longitud d’un dels seus costats.
2
b) Determina les dimensions del marc si es vol que l’àrea sigui de 156 cm .
a) Siguin a i 25 a les mides dels dos costats del rectangle. Àrea: S 25a a .
2
b) 25a a 156, de solucions a 13, a 12. Així, doncs, les dimensions seran 12 i 13 cm.
2
129. En un hotel turístic tenen un total de 36 habitacions amb 60 llits. Només hi ha habitacions individuals i
dobles. Calcula el nombre d’habitacions de cada tipus que hi ha.
Sigui x el nombre d’habitacions individuals i y el de dobles.
x y 36
x 12, y 24 . Hi ha 12 habitacions individuals i 24 habitacions dobles.
x 2y 60
130. Un joier compra dos anells d’or per un total de 825 € i els ven per 863,75 €. Calcula quant va pagar per cada
anell si en la venda del primer hi va guanyar un 15 %, i en la del segon, un 5 %.
Sigui x el preu en euros del primer anell i y el preu en euros del segon anell.
x y 825
x 400, y 425 . Va pagar 400 € pel primer anell i 425 € pel segon anell.
1,15 x 0,95y 863,75
131. En una botiga de regals s’adquireix un llibre i un braçalet. La suma dels preus que marquen els dos
productes és de 35 €, però el botiguer informa el client que als llibres els aplica un descompte del 6 %, i als
braçalets una rebaixa del 12 %; per tant, en realitat ha de pagar 31,40 €. Quin preu marcaven el llibre i el
braçalet? Quin preu s’ha pagat finalment per cadascun dels dos productes?
Sigui x el preu inicial del llibre i y el del braçalet.
0,94 x 0,88y 31, 4
x 10, y 25 .
x y 35
Els productes marcaven 10 € el llibre i 25 € el braçalet. Finalment, 9,40 € i 22 €, respectivament.
114
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
132. Un cotxe surt d’un punt A a una velocitat de 90 km/h. En el mateix instant, un altre cotxe surt a trobar-lo
des d’un punt B, situat a 10 km darrere de A i a una velocitat de 115 km/h. Quant de temps tardarà a
atrapar-lo?
El primer cotxe recorre x km a una velocitat de 90 km/h. El segon cotxe recorre x 10 km a 115 km/h.
El temps que estan circulant és el mateix:
x
x 10
; així, doncs: x 36 km.
90
115
El temps que tarda el segon cotxe a atrapar el primer és
36
0,4 h 24 min .
90
133. Un cotxe surt de A en direcció a B a una velocitat de 80 km/h. Tres minuts després, un altre cotxe surt de B
en direcció a A a una velocitat de 100 km/h. Calcula a quin punt es trobaran els dos cotxes si de A a B hi ha
una distància de 22 km.
El primer cotxe està circulant durant
El segon surt 3 minuts més tard:
x
22 x
. El segon cotxe està circulant durant
.
80
100
x
22 x
3
x 12. Es troben a 12 km de A.
80
100
60
134. L’àrea d’un rectangle és de 35 unitats quadrades. Si s’augmenta un costat en 2 unitats i es disminueix
l’altre en 3 unitats, l’àrea disminueix en 17 unitats quadrades. Troba les dimensions del rectangle inicial.
Siguin x, y les dimensions inicials.
xy 35
xy 35
11 3 x
2
x
35 3 x 11x 70 0 x 7 , (solució vàlida)
2
3 x 2y 11
x 2 y 3 35 17
x
10
solució no vàlida. Si x 7 , aleshores y 5 . Per tant, les dimensions són 7 i 5 cm.
3
135. La Júlia, la Clara i en Miquel reparteixen fulls de propaganda. La Clara en reparteix sempre el 20 % del total
i en Miquel reparteix 100 fulls més que la Júlia. Entre la Clara i la Júlia reparteixen 850 fulls.
Planteja un sistema d’equacions que permeti saber quants fulls reparteix cadascú. Sabent que l’empresa
només paga 1 cèntim per cada full repartit, calcula els diners que ha rebut cada un.
Sigui x el nombre de fulls que ha repartit la Júlia; y, els que ha repartit la Clara, i z, els del Miquel.
y 0,20 x y z
x 550, y 300, z 650
x y 850
z 100 x
Els diners que ha rebut cada un són: Júlia: 550 · 0,01 5,50 €; Clara, 300 · 0,01 3 €; Miquel, 650 · 0,01 6,50 €.
115
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
136. Un tècnic informàtic espera obtenir 360 € per la reparació de diversos equips. El tècnic s’adona que quatre
ordinadors no es poden arreglar i, per obtenir el mateix benefici, augmenta en 4,50 € el preu que cobrarà
per cada equip arreglat. Quants ordinadors tenia al principi? A quin preu cobrarà finalment cada
reparació?
Sigui x el nombre d’ordinadors que, en principi, ha de reparar. Per cada un cobrarà
360
€.
x
1440
360
4,5 x 4 360 360
4,5 x 18 360 4,5 x 2 18 x 1440 0
x
x
x 20, x16 (solució no vàlida).
Al principi, tenia 20 ordinadors per reparar i cobrava
360
18 € per cada reparació; ara cobrarà 22,50 €.
20
137. A primera hora del matí, en un caixer automàtic es vol que hi hagi 800 bitllets (de 10 €, 20 € i 50 €) amb un
valor total de 16 000 €. Sabent que per cada tres bitllets de 50 € són necessaris quatre bitllets de 20 €:
a) Planteja un sistema d’equacions lineal per esbrinar quants bitllets de cada quantitat hi ha d’haver.
b) Resol-lo pel mètode de Gauss.
Sigui x el nombre de bitllets de 10 €, y el de 20 € i z el de 50 €.
y
z 800
z 800
x y z 800
x
x y
x y z 800
3 y 4z 0
3 y 4z 0
3 y 4z 0
10 x 20y 50z 16000
4z 3 y
10 x 20y 50z 16 000
10y 40z 8000
160z 24 000
Així, doncs, z 150, y 200, x 450. Calen 450 bitllets de 10 €, 200 bitllets de 20 € i 150 bitllets de 50 €.
138. Un comerç té un total de 270 unitats de productes de tres tipus: A, B i C. Del tipus A en té 30 unitats menys
que de la totalitat de B més C, i del tipus C en té el 35 % de la suma de A més B. Quants productes de cada
tipus hi ha al comerç?
A B C 270
A B C 30 A 120, B 80,C 70
C 0,35( A B )
Hi ha 120 productes del tipus A, 80 productes del tipus B i 70 productes del tipus C.
139. L’oferta i la demanda del mercat d’un conjunt de roba per practicar judo en cert moment venen donades
per les expressions:
f0 0, 45 p2 20p 500
fd 0,1p2 18,5 p 1000
Essent 30 ≤ p ≤ 50, en euros, calcula el punt d’equilibri d’aquest mercat.
fo 0, 45 p2 20 p 500
0,35 p2 1,5 p 500 0 p 40
2
fd 0,1p 18,5 p 1000
El punt d’equilibri és 40 € i fo fd 420 .
116
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
140. La taula mostra l’oferta i la demanda del mercat de telèfons mòbils d’un cert model per a alguns valors del
preu.
p
150
175
200
Unitats oferides
725
800
1200
Unitats demanades
1400
1100
650
a) Calcula les expressions de les funcions d’oferta i de demanda, que són polinomis de segon grau amb la
indeterminada p variant entre 150 € i 200 €.
b) Calcula el punt d’equilibri del mercat.
a) Funció d’oferta: fo ap bp c
2
1502 a 150b c 725
13
163
13 2 163
2
,b
, c 7100 fo
p
p 7100
175 a 175b c 800 a
50
2
50
2
2
200
a
200
b
c
1200
Funció de demanda: fd ap bp c
2
1502 a 150b c 1400
3
3 2
2
, b 27, c 50 fd
p 27 p 50
175 a 175b c 1100 a
25
25
2
200
a
200
b
c
650
b) Punt d’equilibri: fo fd p 100 (solució no vàlida), p
3525
19
186 (solució vàlida). fo fd
929
141. Una població passa de 20250 a 21520 habitants entre els anys 2010 i 2015. Utilitzant el model de creixement
exponencial de les poblacions calcula:
a) La taxa de creixement exponencial per a aquest període.
b) La població que s’estima per al 2020 suposant que no varia la taxa de creixement.
c) La població que hi havia el 2003 considerant la taxa de creixement constant.
a) 21520 20 250e
2015 2010 r
e5 r
21520
21520
5r ln
r 0,012 r % 1,2 %
20 250
20 250
b) PF 20 250e202020100,012 22 832 habitants
c) 20 250 P2003e
2010 20030,012
P2003
20 250
18 618 habitants
e7 0,012
142. Calcula el temps necessari perquè una població compleixi les variacions següents:
a) Que es dobli, suposant que la taxa de creixement exponencial és de l'1,25%.
b) Que es tripliqui, suposant que la taxa de creixement exponencial és r 0,025.
a) Utilitzant l’equació Pf Pi ert i suposant que Pf 2Pi, s’obté t:
2Pi Pi e0,0125t e0,0125t 2 ln e0,0125t ln 2 0,0125t ln 2 t
ln 2
55, 45
0,0125
Han de passar 55,45 anys per doblar la població.
b) Utilitzant l’equació Pf Pi ert i suposant que Pf 3Pi, s’obté t:
3Pi Pi e0,025t e0,025t 3 t 43,94 . Han de passar 43,94 anys per triplicar la població.
117
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
2
143. Un camp de conreu l’àrea del qual és de 192 m té forma rectangular i el seu perímetre mesura 56 m.
a) Calcula les dimensions d’aquest camp de conreu.
b) Calcula la mesura d’una de les seves diagonals.
Siguin x, y les dimensions del camp de conreu.
x y 28
2x 2y 56
2
192 x 28 x 192 x 12, x 16 . Si x 12 y 16 , si x 16 y 12
y
xy 192
x
a) Les mesures son 12 m i 16 m.
b) Les diagonals mesuren
122 162 20 m.
144. La taula següent mostra la població en alguns països europeus (en milions de persones) en els anys 2005 i
2013:
Alemanya França
Itàlia
Portugal
Finlàndia
2005
82,5
62,8
57,9
10,5
5,2
2013
80,5
65,6
59,7
10,5
5,4
a) Calcula la taxa de creixement exponencial de la població per a aquests països en el període de 2005 a 2013.
b) Ordena aquests països de més gran a més petit, segons el creixement relatiu de la població.
a) Utilitzant l’equació Pf Pi ert i aïllant, en
cada cas, el valor de t, s’obté:
Alemanya França
TCE [2005 , 2013]
0,0031
Itàlia
0,0055 0,0038
Portugal Finlàndia
0,0000
0,0047
b) França Finlàndia Itàlia Portugal
Alemanya
145. En una petita envasadora s’han comprat 35 L d’oli d’oliva verge extra i oli pur d’oliva per realitzar una mescla.
El preu del litre d’oli d’oliva verge extra és de 4 €, mentre que per a l’oli d’oliva pur s’han pagat 3,25 €.
a) Quants litres d’oli de la segona classe s’han d’agafar perquè la mescla tingui un preu de 3,50 € el litre si no es
vol obtenir cap benefici?
b) Si es vol obtenir un benefici del 10 %, a quin preu s’haurà de cobrar el litre de la mescla anterior?
a) Es barregen 35 L d’oli verge extra de 4 € el litre i x kg d’oli pur de 3,25 € el litre.
S’obtenen 35 x litres de mescla d’olis a 3,5 € el litre. Per tant:
35 4 3,25 x 35 x 3,5 140 3,25 x 122,5 3,5 x 0,25 x 17,5 x
17,5
70
0,25
Així, doncs, s’han d’agafar 70 litres d’oli pur d’oliva.
b) Per obtenir un benefici del 10 % s’ha de cobrar el litre de la mescla a 1,1 3,5 3,85 €.
3
146. Es té un pressupost de 7550 € per fabricar tres tipus de
Volum (m ) Pes (kg) Preu (€)
contenidors per reciclar brossa. El volum i el pes màxim que
TIPUS I
1
100
250
poden
tenir
aquests
contenidors
per
al
seu
TIPUS II
2
175
300
3
emmagatzemament és de 43 m i 3750 kg, respectivament. La
TIPUS III
1,5
125
275
taula següent mostra el volum i el pes dels contenidors de
tots tres tipus, també el seu preu. Calcula quants se’n poden fabricar de cada tipus si es vol esgotar el
pressupost i la capacitat d’emmagatzemament.
Siguin x, y, z el nombre de contenidors de tipus I, de tipus II i de tipus III, respectivament.
x 2y 1,5z 43
100 x 175 y 125z 3750 x 5, y 10, z 12
250 x 300 y 275z 7550
S’han de fabricar 5 contenidors de tipus I, 10 de tipus II i 12 de tipus III.
118
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
147. En una classe de primer de batxillerat hi ha tants alumnes que estudien tecnologia de la informació i
comunicació com alumnes que estudien literatura universal; no obstant això, el nombre d’alumnes que
estudia francès com a segona llengua estrangera és inferior en una unitat al dels que estudien tecnologia
de la informació i comunicació. A partir d’aquestes dades, calcula el nombre d’alumnes que estudien cada
una de les matèries esmentades sabent que a la classe hi ha 35 alumnes i que cadascun d’ells només està
matriculat en una de les assignatures.
Siguin:
x: nombre d’alumnes de tecnologia de la informació i comunicació
y: nombre d’alumnes de literatura universal
z: nombre d’alumnes de francès
x y
x x x 1 35 3 x 36 x 12 . Per tant, y 12 , z 11 .
z x 1
x y z 35
Per tant, 12 alumnes cursen tecnologia de la informació i comunicació, 12 alumnes cursen literatura universal i 11
alumnes cursen francès.
148. Per construir una capsa sense tapa es retallen quatre quadrats iguals a cada un dels cantons d’una
3
cartolina de 30 cm × 20 cm. Calcula el costat dels quadrats perquè el volum de la capsa sigui de 832 cm .
Mesures de la capsa: x, 30 2x, 20 2x. V x 30 2x 20 2x 832 x 2 . Els costats dels quadrats
mesuren 2 cm.
149. Un ciclista realitza un recorregut d’anada i tornada de 70 km en total. El primer tram de recorregut és de
pujada, després n’hi ha un altre de baixada i un tercer planer. Tarda 1 h 47 min 37 segons a l’anada i 1 h 25
min a la tornada, en què fa el recorregut a la inversa. Si la velocitat de pujada és de 10 km/h, la de baixada
40 km/h i quan és planer porta una velocitat de 30 km/h, quina distància té cada tram del recorregut?
Anada
Tornada
Pujada
x
y
Baixada
y
x
Pla
35 xy
35 xy
x
y
35 x y
1,794
5269
526
10 40
30
x
,y
35
x
y
y
x
525
105
1, 417
30
10 40
Aproximadament, el primer tram té 10 km, el segon tram té 5 km i el tercer tram 20 km.
150. Un globus amb motor realitza un viatge des del punt A fins al punt B, anada i tornada. Gràcies al motor, el
globus arriba a una velocitat de 38 km/h. Suposem, no obstant això, que el vent bufa de forma constant i
sempre en la direcció de A cap a B i que, per tant, la velocitat es modifica. La distància que separa els dos
punts és de 50 km.
a) Calcula la durada total del viatge en funció de la velocitat amb què bufa el vent en la direcció indicada.
b) Calcula la velocitat del vent sabent que la durada total del viatge ha estat de 195 minuts.
119
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Sigui x la velocitat del vent en km/h.
espai
50
espai
50
, i a la tornada: T2
.
velocitat 38 x
velocitat 38 x
a) Temps invertit a l’anada: T1
T
50
50
3800
.
38 x 38 x 1444 x 2
Així, doncs, la durada total del viatge en funció de la velocitat és:
b) Durada del viatge: 195 min 3,25 h. Així: 3,25
3800
hores.
1444 x 2
3800
3800
x 1444
2
3,25
1444 x
16,6 km/h.
151. Dos ciclistes corren per un velòdrom a velocitats constants. Quan corren en sentit oposat es troben cada
10 segons, mentre que quan van en el mateix sentit, un ciclista atrapa l’altre cada 170 segons. Sabem que
la pista té una longitud de 170 m. Quina és la velocitat de cada ciclista?
Sigui x la velocitat del primer ciclista i y la del segon ciclista.
10( x y ) 170
x 9, y 8 .
170( x y ) 170
Per tant, les velocitats són de 9 m/s el primer ciclista i 8 m/s el segon ciclista.
152. Les funcions de demanda i d’oferta corresponents al mercat de l’últim joc d’estratègia, en cert moment,
són:
fd
1 2 1
p p 180
20
2
fo
13 2
p 12p A
120
on A és un paràmetre desconegut i 40 ≤ p ≤ 100 €. Calcula el valor de A perquè l’equilibri del mercat
s’aconsegueixi per a 100 unitats demanades. En aquest cas, troba la quantitat oferta i el preu.
fd
fo
1 2 1
1 2 1
p p 180 100
p p 80 0 p 45,31 , única solució vàlida i preu del producte
20
2
20
2
13 2
13
p 12p A A 100
45,312 12 45,31 421,31 .
120
120
153. La població d’una ciutat era el 2012 de 125 000 persones, i el 2016, de 140 000. Calcula la taxa mitjana de
creixement anual d’aquest període.
Apliquem la fórmula del creixement d’una població, que suposa que la taxa de creixement anual és constant.
rt
Pf Pe
140 000 125 000e
i
120
2016 2012r
e 4r
140 000
140 000
4r ln
r 0,0283 r % 2,83 %
125 000
125 000
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
ENTORN MATEMÀTIC
Pizzes al millor preu
En Miquel i la Liliana tenen un petit restaurant italià on, a més del menjar que serveixen al local, serveixen
pizzes.
En Miquel porta la comptabilitat de l’empresa i observa que, de mitjana, aconsegueix vendre 150 racions de
pizza a un preu de 3 € cada ració.
La Liliana acaba d’acabar els seus estudis de ciències empresarials i, amb molt d’optimisme i energia, ha
decidit aplicar els seus coneixements per intentar donar un nou impuls al negoci, ja que està convençuda que,
tot i l’entusiasme i la bona voluntat d’en Miquel, els resultats són millorables.
Amb una gran minuciositat realitza un estudi de mercat entre els veïns del barri i dels barris adjacents al seu. A
més, observa la competència de la zona, i una vegada segura que ningú no supera la qualitat de les seves
pizzes, decideix centrar-se en el sector econòmic. Ha observat que per cada 15 cèntims que rebaixi el preu de la
ració, la demanda augmenta en 30 unitats. És a dir, si baixa el preu a 2,85 € la ració, aconseguirà vendre 180
racions.
La Liliana suposa que la regla obtinguda és certa, almenys així ho diu la teoria, i es compleix sempre que el
preu estigui comprès entre 1,50 € i 3 €.
a) Calcula l’ingrés total que obtindran la Liliana i en Miquel si no canvien el preu de les racions.
b) Calcula l’ingrés total que obtenen si venen cada ració a 2,70 €.
c) Si rebaixen el preu 0,15x €, calcula, en funció de x, l’ingrés total que obtenen.
d) En Miquel ha calculat que perquè els sigui rendible el negoci, de la part de venda de pizzes hauria d’obtenir uns
ingressos de 702 € en total. A quin preu han de vendre les porcions? Si hi ha diverses opcions, quina escolliries?
a) I 150 3 450 €.
b) Si fixen el preu en 2,70 euros, vendran 150 2 ∙ 30 210 racions. Per tant: I 210 2,70 567 €.
c) Si rebaixen el preu 0,15x euros, es vendran 150 30x racions. Per tant:
I 150 30x 3 0,15x 4,5x 2 67,5x 450 €
x 8
d) I 4,5 x 2 67,5 x 450 702 4,5 x 2 67,5 x 252 0
x 7
Hi ha dues solucions:
x 7. Es vendran 150 7 ∙ 30 360 racions a 3 − 7 ∙ 0,15 1,95 € la ració.
x 8. Es vendran 150 8 ∙ 30 390 racions a 3 − 8 ∙ 0,15 1,80 € la ració.
S’hauria d’escollir la primera, ja que els costos serien, evidentment, inferiors.
121
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Fabricant paper
Una fàbrica de productes de papereria elabora tres tipus de quaderns:
Tipus 1: Quadern de 100 folis de 80 grams (80 grams per metre quadrat).
Tipus 2: Quadern de 80 folis de 90 grams.
Tipus 3: Quadern de 120 folis de 100 grams.
Per a la seva elaboració, cada quadern ha de passar per tres departaments diferents: departament de tractament
de la pasta de paper, departament d’enquadernació i departament de supervisió del producte.
La taula mostra els minuts que ha d’estar cada tipus de
quadern en cada un dels departaments, així com el total
de minuts diaris amb què compta cada departament per
realitzar la seva feina.
Tractament
Enquadernació
Supervisió
Tipus 1
6
5
1
Tipus 2
5
4
1
Tipus 3
8
6
2
780 min
610 min
170 min
a) Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites en què les incògnites siguin el nombre de quaderns de
cada tipus que es poden fabricar al dia per esgotar exactament la disponibilitat del temps dels departaments.
Amb l’ajuda d’un programa de càlcul:
b) Resol l’anterior sistema i interpreta els resultats.
c) Sense variar les condicions, quants quaderns del tipus 1 i del tipus 2 s’hauran de fabricar si es volen fabricar 35
quaderns del tipus 3 i esgotar la disponibilitat del temps?
d) Si l’empresa decideix augmentar en un 10 % el temps disponible dels departaments de tractament i enquadernació i
en un 15 % el del departament de supervisió, com variarà la solució del problema?
a) Siguin:
x el nombre de quaderns de tipus 1, y el nombre de quaderns de tipus 2 i z el nombre de quaderns de tipus 3.
6 x 5y 8z 780
5 x 4y 6z 610
x y 2z 170
b) El sistema és compatible indeterminat i les seves infinites solucions es poden expressar així:
x 70 2t
y 240 4t
z t
c) z t 35 ⇒ x 0 y 100
Es fabricaran 100 quaderns de tipus 2 i 35 de tipus 3
d) Aplicant les variacions es té el sistema:
6 x 5 y 8z 780 1,1 858
6 x 5 y 8z 858
5
x
4
y
6
z
610
1
,1
671
E
E
E
x y 2z 187
2
1
2
x y 2z 170 1,15 195,5
x y 2z 195,5
En aquest cas, el sistema no té solució.
122
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
AUTOAVALUACIÓ
Comprova el que has après
1.
Resol les equacions següents.
a) 2
3x 1 4x 1
7
x
25
5
25
a) x 0
2.
b)
2x x 2 x 3
1
2x
3
12
2
6
b) x 2
c)
2x 1 2x 1 5
x 7
x 7 8
c) x 49, x 1
d)
1
x
1
1
1
x
7
6
d) x 3, x 2
Troba una equació de segon grau tal que la suma de les seves arrels sigui −4, i el producte, −221.
Resposta oberta, per exemple: x 2 4x 221 0
3.
Resol les equacions de grau superior a dos següents.
a) 6x 5 11x 4 3x 3 3x 2 x 0
b)
a) x x 1 2x 1 3x 1 0 x 0, x 1, x
2
1 3x 2
11
4
4
x2
1
1
,x
2
3
x 2
b) 4 3 x 4 11x 2 3 x 4 11x 2 4 0
x 2
4.
Troba la solució de les equacions irracionals següents.
a)
x 4x 40 5
a)
x 4x 40 5 x 4x 40 25 x 2 54x 585 0 x 39 (no vàlida) x 15 (vàlida).
b)
2x x 1 7 x 1 7 2x x 1 49 2x 14 2x 14 2x x 48
b)
2x x 1 7
392x x 2 2304 96x x 2 296x 2304 0 x 8 (vàlida) x 288 (no vàlida).
5.
Resol les equacions exponencials i logarítmiques.
2
a) 62 x x 8 36
x
11
1
b) 2x 1 2x
4
2
c) log(100x ) 2log x 1
2
a) 62 x x 8 36 2x 2 x 8 2 2x 2 x 6 0 x 2, x
d) 2log x
2
log x 5 log x 2 4
5
3
2
x
11
1 2x
11
1
4
x
2x
b) 2x 1 2x
. Fent el canvi: z 2x , x log2 y x 1 .
4
2
4
2
2
3
1
1
c) log(100 x ) 2log x 1 log 100 x 3 log 1000 x 3 1 x
10
10
d) 2log x
123
x2x2
2
x4
log x 5 log x 2 4 log
log10000 2 10000 x 100
2
5
x
x 5 5
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
6.
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Resol els sistemes d’equacions lineals següents.
5 x 3 y 4
a)
13
2 x 7 y
3
a) x 1, y
7.
2 x 5 y 10
b) x 5 y
5
3
6
3
1
3
b) x5 5t,y2t
Resol aplicant el mètode de Gauss:
x y z 3
a) 2 x 2y z 3
x y 2z 0
2 x y z 2
b) 2 x 2y z 1
4 x y 2z 1
a) Sistema compatible indeterminat. Solucions de la forma: x t, y 2 t, z 1.
b) No té solució.
8.
Resol els sistemes de segon grau següents.
2x 4y 10
b) 2
x 3 xy 8
2
2
2x y 18
a)
2
2
2x 3y 46
2
2x 2 y 2 18
y 4 x 1 x 1, y 4; x 1, y 4
2
2
4
y
64
y
16
a)
2x 2 3y 2 46
y 4 x 2 1 x 1, y 4; x 1, y 4
5x
2x 4y 10
5x
y
x 2 3x
8 2x 2 15 x 3 x 2 16 0
2
b) x 2 3 xy 8
2
x 2 3 xy 8
x 16, y
9.
11
; x 1, y 3
2
Resol els sistemes següents:
19
x
y
2 3
a)
2
2 x 1 3 y 1 4
19
x
y
2 3
a)
2
2 x 1 3 y 1 4
log x log y 1
b)
2 log y log x log 250
19
AB
2 5 B 15 B 9 A 1 x 1, y 2
2 A,3 B
B
3
2
2 A 4
3
x
y
xy 10
10 250 x
log x log y 1
b)
100y
x 2 4 x 2,y 5 ; x 2 (no vàlida)
x
100
250
2 log y log x log 250
x
124
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
2
10. Per tancar una finca rectangular de 750 m , s’han utilitzat 110 m de tanca. Calcula les dimensions de la
finca.
Hem de resoldre aquest sistema:
2x 2y 110
x y 55
x 55 y
y 25, x 30
55 y y 750 y 2 55y 750 0
xy 750
xy 750
xy 750
y 30, x 25
Si y = 25, x = 30, i si y = 30, x = 25. Les mides de la finca seran 25 x 30 m.
Relaciona i contesta
Tria l’única resposta correcta en cada cas
1.
El nombre de solucions de l’equació x 3
A. 2
2
3 x és:
x
B. 3
C. 4
D. 0
C. x 2
D. L’equació no té solució.
Solució: D.
2.
Les solucions de l’equació
A. x
1
y x 2
4
x 2 2 2 x són:
B. x
1
4
Solució: B
3.
Un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites:
A. Té segur una solució.
C. Segur que no té solució.
B. Té segur dues solucions.
D. Cap de les anteriors.
Solució: D
Assenyala, en cada cas, les respostes correctes
4.
Una equació polinòmica amb el terme independent nul:
A. Té com a mínim una solució real.
B. El nombre de solucions reals coincideix amb el seu grau.
C. El nombre de solucions reals coincideix amb el seu grau menys 1.
D. Una de les seves solucions és x 0.
Solució: A i D
5.
x y z 3
Es considera el sistema d’equacions:
x y 2z 4
A. Si s’hi afegeix l’equació 2x + 2y + 2z = 6, el sistema té infinites solucions.
B. Si s’hi afegeix l’equació x = −4, el sistema no té solució.
C. Si s’hi afegeix l’equació 2x + y + z = 4, el sistema té com a única solució x = 1, y = 1, z = 1.
D. Si s’hi afegeix l’equació −x − z = −2, el sistema té infinites solucions entre les quals hi ha x = 1, y = 1, z = 1.
Solució: A, B i C
125
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
6.
UNITAT 4. EQUACIONS I SISTEMES
Es considera que un nombre x compleix les expressions:
1.
A x B x
2. A x B x
2
2
A. 1 2
C. 2 1 però 1
2
B. 1 2 però 2
1
D. 1 i 2 són excloents
Solució: B.
Assenyala la dada innecessària per contestar
7.
Es vol saber si existeix equilibri de mercat d’un cert producte. Per fer-ho s’aporten, referides al producte:
1. La funció demanda
2. La funció oferta
A. Es pot eliminar la dada 1.
C. Es poden eliminar les dues dades.
B. Es pot eliminar la dada 2.
D. No es pot eliminar cap dada.
Solució: D
126
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
5. Inequacions i sistemes
EXERCICIS PROPOSATS
1 a 3.
4.
5.
Exercicis resolts.
Ordena de més petit a més gran els nombres següents.
a)
11 68 14 27
,
,
i
10
4 25 5
a)
11 275
4 100
b)
0,12
68 272
25 100
11
55
90 450
14 280
5 100
0,12
y
11 3
,
i 0,12
90 25
27 270
27 68 11 14
10 100
10 25 4
5
3
54
3
11
0,12
0,12
25 450
25 90
Comprova en cada cas si el valor indicat forma part de la solució de la inequació.
a)
x 2 de la inequació x x x 6
3
b) x
a)
b)
6.
b) 0,12 ,
2
x 1
1
x 1
de la inequació 2(x 2)
3
2
(2) (2) (2) 8 4 2 6 6 Sí que pertany a la solució.
3
2
1
2 2
2
1
3
1
2
2
1
1
1
11
2
5
11
3
No pertany a la solució.
3
2
2
2
2
Resol les inequacions lineals següents.
a)
x 3 x 2 x
2
8
2
b)
2x 3
a)
x 3 x 2 x
4x 12 x 2 4x x ≤10 x 10 Solució: [10, )
2
8
2
b)
2x 3
c)
x 2 x 1 3 x 2
d)
2( 10 x 3)
x
3x 1
x
2
6
c) x 2 x 1 3 x 2
d) 2( 10 x 3)
x 38
2
3
222
(2x 5) x 2( x 5)
7
7
x
3x 1
x
12x 18 3x 6x 3x 1 0x 19 Solució:
2
6
x 38
2x 4x 4 6x 12 x 38 11x 22 x 2 Solució: (, 2)
2
3
222
(2x 5) x 2( x 5)
14( 10 x 3) 3(2x 5) 7 x 14( x 5) 222
7
7
140x 42 6x 15 7x 14x 70 222 125x 125 125x 125 x 1 Solució: [1, ∞)
127
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
7.
Exercici resolt.
8.
Resol les inequacions de segon grau següents.
a) x 2 0
c) x 1 0
e)
2 2
x 4x 2x
3
b) 4 x 0
d) 3x x x 5x
f)
x 2x 1 0
2
2
2
2
2
2
a) x
b) (2 x)(2 x) 0 (x 2)(x 2) 0 (x 2)(x 2) 0 x , 2 2,
c) x
2
d) 2x 4x ≥0 2x(x 2) 0 x , 2 0,
e) 2x 12x 6x 0 2x 6x 0 2x(x 3) 0 x∈(3, 0)
2
2
2
2
f) (x 1) 0 ⇒ (x 1) 0 x
9.
Representa gràficament les solucions de les inequacions:
3
x1
2
a) 3x(1 x) 2(x 1) 2
b) x
, 3 0,
1
b) ,2
2
2
a)
2
c)
x2 x 1
3
2
3
c)
8
, 2,
3
10. Resol les inequacions i representa’n les solucions.
a) x 6x 7x 15 x
3
2
2
a) [1, 3] [5, )
b) x 3x 1 3x
c) x 17x 16
b) (, 1)
c) [4, 1] [1, 4]
3
2
4
2
11. Representa a la recta real les solucions de.
a)
4x 5
0
4x 2 x 5
a)
4x 5
4x 5
1
0
0
0 x 1 0 x 1 , 1
x 1
4x 5 x 1
4x 2 x 5
b)
x2 x 2
( x 1)( x 2)
0
0
2
( x 1)( x 2)
x x 2
b)
x2 x 2
0
x2 x 2
, 2 1,1 2,
c) 1
128
2x
2
x 2 1 2x x 1 0
x 1
2
c) 1
1
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x1
x2
x1
x2
x2 x 2
x2 x 2
2
2x
x2 1
1
1
2
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
12. Exercici interactiu.
13 a 17.
Exercicis resolts.
18. Resol els sistemes d’inequacions lineals següents.
2x 1 x 2
a)
3x 1 4x
3x 4 x
b)
x 2x 1
c)
3x 1 2x (1 x )
3(x 2) 2(x 4)
x 6
d) 3 x 2 x 4
5x 3 x 1
33xx612xx18 xx 014 14,0
2x 1 x 2
x 1
a)
1,1
3 x 1 4 x
x 1
c)
3 x 4 x
2x 4
x 2
b)
No té solució
x
2
x
1
x
1
x 1
x 6
1 11
d) 3 x 11 ,
3 3
6 x 2
19. Resol els sistemes d’inequacions següents i representa’n les solucions.
x
1
2x 2 x 4
x 1 x 1
b)
1
4
2
2x 3 3 x 2
2
a) 2x2 4 x 6 0
3
x
6x 9 0
2
x ( , 1] [3, )
a) 2x2 4 x 6 0 ( x 3)( x 1) 0
x ( , 3) [3, )
( x 3)( x 1) 0
x ( , 3) (1, )
3x 6x 9 0
x
1
1
2 x 2 x 4
x
8 x 2 x 4 x 1
2 x 1
2
x 1 x 1
1
b)
1 2 x 2 x 1 4 3 x 3 x 1 ,1
2
4
2
2 x 3 x 1
x 1
x 1
2 x 3 3 x 2
20. Exercici resolt.
129
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
21. Representa els semiplans formats per les solucions de les inequacions següents.
a) x 2y 1
c) x 3y 2x 4 3y
b) 3x y 2
d) 5x 3y 10 2x 2
a)
c)
b)
d)
22. Escriu a cada apartat una inequació de la qual sigui solució el semiplà representat.
a)
b)
a) Resposta oberta. x 3
b) Resposta oberta. y x 1
23. Expressa mitjançant un sistema d’inequacions els subconjunts del pla següents.
a)
Punts que pertanyen al segon quadrant.
b)
Punts amb ordenada positiva que estan per sobre de la bisectriu del primer quadrant.
x 0
a) Resposta oberta.
y 0
130
y 0
b) Resposta oberta.
y x
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
24. Resol els sistemes d’inequacions següents.
y 2x 4
a)
y x
6x 5y 38
b)
4x 3y 0
x y 0
y 2 0
c)
2x y 10
y 0
a)
b)
c)
y 2x 4
4 4
A ,
y
x
3 3
6 x 5y 38
B 3, 4
4 x 3 y 0
y x
2x y 10
A 2,2 ;
B 4,2
y
2
y 2
y 0
C 5,0 ; O 0,0
2 x y 10
25. Exercici interactiu.
26. Exercici resolt.
27. En la població d’un territori s’han produït, en un període de temps determinat, les variacions següents
mesurades sobre la població inicial:
2,5 % de naixements
2,25% de defuncions
0,5 % d’emigrants
0,75 % d’immigrants
Entre quins valors estarà la població final si la inicial estava entre 45 000 i 46 000 habitants?
Sigui x la població inicial; aleshores: 45 000 x 46 000.
Ens demanen entre quins valors estarà: P x 0,025x 0,0225x 0,005x 0,0075x 1,005x.
Llavors tindrem que 45 000 · 1,005 P 46 000 · 1,005, és a dir, 45 225 P 46 230.
28. Determina i representa la regió del pla els punts de la qual són interiors a la circumferència de centre
l’origen de coordenades i de radi 5 i que estan situats al primer quadrant.
x 2 y 2 25
x 0
y 0
131
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
29. En la fabricació d’un hectòmetre de cable del tipus A s’utilitzen 16 kg de plàstic i 4 kg de coure, i en la d’un
hectòmetre de cable de tipus B, 6 kg de plàstic i 12 kg de coure. Representa gràficament les possibilitats
de producció si s’ha de fabricar més cable de tipus A que de tipus B i es compta amb 252 kg de plàstic i
168 kg de coure.
x hm de cable de tipus A, y hm de cable de tipus B
Material
Tipus A
Tipus B
Plàstic
16
6
Coure
4
12
16 x 6 y 252 8 x 3 y 126
4 x 12y 168
x 3 y 42
x
y
x y
x 0 y 0
x 0 y 0
Vèrtexs:
y x
A
A 10,5;10,5
x 3y 42
8 x 3y 126
B
B 12,10
x 3y 42
8 x 3y 126
C
C 15,75; 0
y 0
O 0,0
30. Determina i representa els punts de l’interior del cercle de centre l’origen de coordenades i radi 6 tals que
la seva abscissa és menor que el doble de la seva ordenada.
x 2 y 2 36
x<2y
31. Determina les inequacions que compleixen els punts (x, y) de l’interior de la regió delimitada per la
paràbola y x 2 3 x 18 i la recta y 11 .
y x 2 3 x 18
y>11
32 a 39.
132
Exercicis resolts.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
EXERCICIS
Inequacions lineals i polinòmiques
40. Indica si els nombres 10, 1,
3
3
8
3
, , 0, , 1 i 5 són solucions de la inequació x 2 0 .
4
5
5
3
N’hi ha prou amb substituir cada nombre en l’expressió i comprovar si es verifica la desigualtat.
No són solució: 10 i 1. Sí que ho són la resta.
41. Resol les inequacions lineals següents, expressa les solucions en forma d’interval i representa-les sobre la
recta real.
a)
8
x20
3
9x x
4
3
x 3x
x 1
2 5
b) 2x 2 0
f)
10
7
g)
d) 3 2x 5 4 x 2 2 4x
h)
3
a) ,
4
e) (0, )
2
b) ,
2
f)
17
c) ,
g)
2 2 2,
3
d) ,
h)
4,
c) x 1
133
e) 2x
7
2
x
1 2
2
x 1 x 2 x 3
8
3
4
18
9
10
,
11
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
42. Troba i representa gràficament les solucions de les inequacions de segon grau següents.
a) x x 12 0
e) 2x 10x 8 0
b) 2x 3x 0
f) 2x x 1 0
c) 4x 1 0
g) 6 x 0
d) 6x x 1 0
h) (3x 1)(5x 2) 0
2
2
2
2
2
2
2
a) x x 12 0, aleshores (x 4)(x 3) 0
2
Solució: (, 4][3, )
b) 2x 3x 0, aleshores x(2x 3) 0
2
3
Solució: 0,
2
c) 4x 1 0, aleshores x
2
2
1
4
1 1
Solució: ,
2 2
1
1
2
d) 6x x 1 0, aleshores 6 x x 0
3
2
1 1
Solució: ,
2 3
e) 2x 10x 8 0, aleshores 2(x 4)(x 1) 0
2
Solució: (4, 1)
f) 2x x 1 0.
2
Com que 2x x 1 0, no té solucions reals.
2
Solució:
g) x 4, és a dir, x 4.
2
2
Solució: (, 2) (2, )
2 1
h) Les solucions són: , , .
5 3
134
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
43. Simplifica i resol les inequacions de segon grau següents.
x 22 5 2x
d) 3x2
b)
3x 6 4x 2x 2
5
10
e)
x 22 x 4 x 2 3x 1
3x 2 1
2
f)
x 2 2 3x 1
x2
2
5
c) 5x 2 1
a)
x 22 5 2x x 2 6x 9 0 x 32 0 x 3 3
b)
3x 6 4x 2x 2
6 x 12 4 x 2x 2 2x 2 2x 12 0 2 x 2 x 3 0 3,2
5
10
c) 5x 2 1
d) 3x2
44.
3x 2 1
10 x 2 2 3 x 2 1 7 x 2 3 0
2
5
2 x
5
2
1
1
x 2x 2x 2 x 2 x 0 x 2 3 x 1 0 ,2
6
3 2
3
3
3
3
3
3
0 , 1,
2
2
e)
x 22 x 4 x 2 3x 1 2x 2 x 3 0 2 x 1 x
f)
x 2 2 3x 1
14
14
x 2 5 x 2 4 x 28 0 5 x 2 x
2,
0 ,
2
5
5
5
Resol les inequacions donades observant la gràfica de la funció polinòmica f(x) 2x 8x 6.
2
a) x 4x 3 0
2
b) x 4x 3 0
2
a) [3, 1]
b) (3, 1)
135
5
2 x
x 2x 2x 2
6
3 2
a)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
45. Representa gràficament les solucions de les inequacions polinòmiques següents.
a) x 4x 0
c) x 1 0
e) x 5x 36
b) x 3x 2 0
d) x 7x 6 0
f) x
3
4
3
4
3
3
a) x 4x 0, aleshores x(x 2)(x 2) 0
3
Solució: (2, 0) (2, )
b) x 3x 2 0, aleshores (x 2)(x 1) 0
3
2
Solució: (, 1) (1, 2)
c) x 1 0, aleshores (x 1)( x 1) 0
4
2
2
Solució: (, 1] [1, )
d) x 7x 6 0, aleshores (x 2)(x 1)(x 3) 0
3
Solució: (, 3) (1, 2)
e) x 5x 36, aleshores (x 4)(x 3)(x 3) 0
4
2
2
Solució: (, 3] [3, )
f) x
3
1
1 2
1
x x
0, aleshores x x 2 1 0
2
2
2
1
Solució: ,
2
136
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
1 2
1
x x
0
2
2
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
46. Resol les inequacions següents.
a) x x 2 3x 6x 8
b) 2x 4 8x 3 2x 8
c) x 5 x 4 9x 3 12 16x 5x 2
d) x 2 x 2 1 2x 3 6x x x 3 4x 1
a)
x 2 x 1 x 4 0
x2
x1
(x 4)
(x 2)(x 1)(x 4)
4
1
2
Solució: 4, 1 2,
b) 2 x 4 x 1 x 2 x 1 0
x1
x4
2
x x1
2
4(x 1)( x 4)( x x 1)
1
4
Solució: ,1 4,
c)
x 3 x 12 x 22 0
x3
2
(x 1)
2
(x 2)
2
2
(x 3)(x 1) (x 2)
2
1
Solució: 3,
d) x x 1 2x 7 0
7
2
0
1
x
(x 1)
7
x
2
7
x(x 1) x
2
7
Solució: ,0 1,
2
137
3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
Inequacions racionals
47. Expressa gràficament les solucions de les inequacions racionals següents.
a)
5x 2
0
2x 1
a)
5x 2
0
2x 1
b)
x2 1
0
x2
c)
x 2 5x 4
0
x 2 5x 6
d)
x 3 x 2 5x 3
0
x 3 5x 2 3x 9
1 2
Solució: , ,
2 5
b)
x2 1
( x 1)( x 1)
0
0
x2
x2
Solució: (, 2) [1, 1]
c)
x 2 5x 4
( x 4)( x 1)
0
0
( x 3)( x 2)
x 2 5x 6
Solució: (, 1) (2, 3) (4, )
d)
x 3 x 2 5x 3
( x 3)( x 1)2
x3
0
0
0
3
2
x 1
x 5x 3x 9
( x 1)( x 3)2
Solució: (3, 1)
48. Resol les inequacions següents.
5x 2
2
2x 1
b)
x 1
1 0
x 3
c)
x2
2
x 2
d)
x2 3
x
x 3
1
a) , 0,
2
b)
, 3
c)
, 2
d)
, 3 1,
a)
49. Troba les solucions de la inequació:
x 2 kx 2k 2
0
(x k )(x 2 k 2 )
sent k un nombre positiu.
( x 2k )( x k )
0 , de solució k, k 2k, .
( x k )2 ( x k )
50. Sigui a > 0 i diferent de la unitat. Demostra que la suma de a amb el seu invers és superior a 2. Utilitza el
desenvolupament del quadrat de la diferència d’un nombre i la seva inversa.
Sigui a qualsevol nombre estrictament positiu i diferent de la unitat.
El quadrat de
1
a
és estrictament positiu:
a
2
1
a
a
138
2
a 1a 2 a 1a a a1 2 0 a a1 2
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
Sistemes d’inequacions amb una incògnita
51. Resol els sistemes d’inequacions amb una incògnita següents.
3322xx55
2x 3(x 1) 7
a)
3x 2 x 6
c)
x
2x 2
b)
2
2x 3(x 1) x 2
3 x 3
d)
2
x 1
2x 3( x 1) 7
2x 3 x 3 7
5 x 10
x 2
a)
( , 2)
3 x 2 x 6
3 x x 6 2
2x 4
x 2
4
x
x 3
4 x x 4
2 x 2
5 4
b)
,
2
2
x
3
x
3
x
2
5
4 3
x
2 x 3( x 1) x 2
4
8 2x
4 x
c)
4, 1
2
2
x
1 x
x 3
3, 1 1, 3
d) x 3
( x 1)( x 1) 0
52. Troba la solució dels sistemes d’inequacions amb una incògnita següents.
3(x 3) 2x 3
2x 3 x 3
a)
x 5
x 0
2 x 4
b) 3 x 2
4 x 1
12
3( x 3) 2 x 3
3 x 9 2 x 3
5 x 12
x 5
2 x 3 x 3
x 6
x 6
12
x 6 , 5
a)
x
5
x
5
x
5
5
x 5
x
0
x
0
x
0
x 0
2 x 4
x 2
2, 1
b) 3 x 2
x 1
4 x 1
139
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
Sistemes d’inequacions amb dues incògnites
53. Resol gràficament els sistemes d’inequacions amb dues incògnites següents.
1 x 2
a)
0 y 3
140
x y 6
b) 2y x
x 0
2x y 2
x y 2
c)
x 0
y 0
x 2
d) y 1
x y 6
3x 4y 12
e) 3x 4y 4
x 4 0
a) Vèrtexs: (1, 0), (1, 3), (2, 0) i (2, 3)
d) Vèrtexs: (2, 1), (5, 1) i (2, 4)
b) Vèrtexs: (0, 0) i (4, 2)
4
e) Vèrtexs: (4, 0), (4, 4) i ,2
3
c) Vèrtexs: (0, 0), (1, 0) i (0, 2)
f) Vèrtexs: (4, 3), (4, 5), (6, 3) i (6, 5)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
f)
x 4 0
x 6 0
3 y
y 5
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
54. Troba els vèrtexs de la regió determinada per:
3x y 12
x 2y 3
x
y 2 2
2x 3y 1
A(4, 0), B(3, 3), C(2, 1) i D(1, 1)
55. Escriu, per a cada apartat, un sistema d’inequacions tal que la representació gràfica de la seva solució
sigui la indicada.
a) El quart quadrant del pla.
b) Un quadrat de centre el punt (2, 1) i costat 3.
c) Un rectangle de base 2 i altura 8 centrat a l’origen.
x 0
a) Resposta oberta.
y 0
0,5 x 3,5
b) Resposta oberta.
0,5 y 2,5
1 x 1
c) Resposta oberta.
4 y 4
56. Expressa mitjançant sistemes d’inequacions les regions ombrejades a les figures següents.
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
1 x 4
a)
2 y 3
x 0
b) y 0
1
y x 2
2
141
y x 2
y x 2
c)
y x 2
y x 2
2 x 0 0 x 2
y 2
d) y 2
y x
y x
2
6
y 5 x 5
e) y x 3
5
y x 3
2
f)
3 y 0
0 y 2
3
3
y x 1 y x
2
2
y x 1
3
3
y 2 x 2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
11
y 5 x 5
g) x 2
3
4
y x
5
5
2 x 2
y 2
h) y 2 x 5
y 2 x 7
3
3
SOLUCIONARI
57.
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
x 2y 8
Considera el sistema d’inequacions x y 5 i després resol-lo gràficament. Troba’n totes les solucions
x 5y 0
enteres.
25 5
40 8
Vèrtexs: A(2, 3), B
, , C
, .
6 6
7 7
Les solucions enteres són: (4, 2), (4, 1), (5, 1), (3, 2) i (2, 3).
58. Utilitzant el desenvolupament del quadrat d’una diferència, demostra que la mitjana aritmètica de dos
nombres reals positius és superior o igual a la seva mitjana geomètrica (arrel quadrada del seu producte).
a b 0 a b 2 a b 0 a b 2 ab 0 a b 2 ab a 2 b ab
2
2
2
59. La figura mostra la solució del sistema d’inequacions:
ax by c
dx ey f
y 0
0 x g
Troba possibles valors per a a, b, c, d, e, f i g.
4b c
Recta que passa per A(0, 4) i B(2, 3): ax by c
4b 2a 3b b 2a
2a 3b c
2d 3e f
Recta que passa per B(2, 3) i C(3, 1): dx ey f
2d 3e 3d e d 2e
3d e f
CD x 3 g 3 . Així, si per exemple: a 1 i e 1, aleshores b 2, c 8, d 2, f 7 i g 3.
60. Escriu totes les possibles solucions dels sistemes d’inequacions lineals següents sent els valors de les
incògnites obligatòriament nombres enters.
x 2y 4
x 3y 11
a)
x 5
x 0 y 0
x 2y 6
3x 2y 6
b)
x 2 0
y 0
a)
b)
(0, 0), (1, 0), (2, 0),(3, 0), (4, 0), (5, 0), (0, 1), (1, 1),
(2, 0), (1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1),
(2, 1), (3, 1), 4, 1), (5, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),
(0, 1), (1, 1), (2, 2), (1, 2), (0, 2),(0, 3)
(4, 2), (5, 2), (2, 3)
142
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
Síntesi
61. Donats dos nombres reals a i b tals que a < b, completa la
taula de signes i resol les inequacions.
a) 4(x a)(x b) 0
c) (x a) (x b) 0
b) 2(x a)(x b) 0
d) (x a) 0
a)
3
a
xa
xb
4(x a)(x b)
b
c)
xa
xb
2
(x a) (x b)
, a b,
xa
xb
2(x a)(x b)
a
b
a
b
b
,b
d)
xa
3
(x a)
a
, a b,
a,
62. Donats els nombres reals a b c d, completa la taula de
signes següent.
xa
xb
(x a)(x b)2
xc
(x a)(x b)
x c
(x b)
(x c )2(x a)
a
b
a)
x 2 3x 0
x
0
x 3
2
x x 1 0
c)
2x 2 2x 1 0
b)
x 2 4x 0
x 3
0
x 1
x 3 3 x 2 16 x 48 0
d) x 5
0
2x 7
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x 3 8 x 2 9 x 18 0
e) 2
1
3 x
f)
c
63. Aplicant les tècniques adequades per a cada inequació, resol els sistemes d’inequacions següents:
143
b
2
b)
a
xa
xb
x2 1
0
3
x x
2x 2 2 x 12 0
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
x 2 3x 0
x( x 3) 0
x
x 0
a) x
0
0
x 3
x 3
x 3 3 x 2 16 x 48 0
d) x 5
0
2x 7
( x 3)( x 4)( x 4) 0
7
x 5
5, 4 3,
0
2
2 x 7
x 2 4x 0
x( x 4) 0
x 3
1,0
b) x 3
0
x 1 0
x 1
x 3 8 x 2 9 x 18 0
( x 1)( x 3)( x 6) 0
x 5
e) 2
0
1
x 3
3 x
x 2 x 1 0
c)
2
2x 2x 1 0
f)
x2 1
x2 1
0
0
3
x( x 2 1)
x x
2 x 2 2 x 12 0
2( x 2)( x 3) 0
1
0
x
0,2
( x 2)( x 3) 0
64. Resol els sistemes d’inequacions amb una incògnita:
3( x 3) 2 x 3
2 x 3 x 3
b)
x 5
x 0
2x 3( x 1) 7
3 x 2 x 6
a)
2x 3( x 1) 7
5 x 10
x 2
a)
Solució: x , 2
3 x 2 x 6
2x 4
x 2
2
( x 3) 1 0
( x 7)( x 4) 0 Solució: x 4, 7
2
x 11x 28 0
12
3( x 3) 2 x 3
5 x 12 x
5
2 x 3 x 3
x 6
12
x 6 Solució: x , 5
b)
x
5
x
5
5
x 5
x 0
x 0
x 0
65. La distància a la recta real entre els punts a i b es
pot calcular mitjançant l’expressió d(a, b) a b .
a)
pot
Calcula la distància entre els nombres reals 2 i 6.
b) Calcula el conjunt de nombres reals x la distància al punt 2 dels quals és menor o igual a 4.
c)
Calcula el conjunt de nombres reals x que compleixen que la seva distància al punt −2 és més gran o igual a 4.
a) d 2, 6 2 6 2 6 4
c) d x, 2 x 2 x 2 4 x 6 o x 2 , 6 2,
b) d x,2 x 2 4 2 x 6 2,6
144
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
66.
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
Escriu un sistema d’inequacions que caracteritzi la regió tancada per les
paràboles del gràfic.
Nota: per trobar
y ax 2 bx c .
l’equació
de
la
paràbola
pots
utilitzar
l’expressió
y x 2 2x 8
2
y x 2x 8
Preguntes
67. Realitza les accions següents referides a inequacions.
a)
Escriu una inequació de primer grau la solució de la qual sigui tot el conjunt dels nombres reals.
b) Escriu una inequació de primer grau que no tingui solució.
c)
Escriu una inequació de segon grau la solució de la qual sigui tot el conjunt dels nombres reals.
d) Escriu una inequació de segon grau que no tingui solució.
a) x 1 x
b) x 1 x
c) x 1 0
2
d) x 1 0
2
68. Fes les operacions següents referides a sistemes d’inequacions.
a) Escriu un sistema de dues inequacions lineals amb una incògnita tals que la seva solució sigui tot el conjunt
dels nombres reals.
b) Escriu un sistema de dues inequacions lineals amb una incògnita que no tingui solució.
c) Escriu un sistema de dues inequacions de segon grau amb una incògnita tals que la solució sigui tot el conjunt
dels nombres reals.
d) Escriu un sistema de dues inequacions de segon grau amb una incògnita que no tingui solució.
e) Escriu un sistema de dues inequacions amb una incògnita el conjunt solució del qual estigui format únicament
pel punt x 0.
x 1 x
a)
x 2 x
x 1 x
b)
x 2 x
x 2 1 0
c) 2
x 2 0
x 2 1 0
d) 2
x 2 0
x 0
e)
x 0
PROBLEMES
69. Descobreix quins nombres naturals compleixen que quan hi sumem els dos nombres següents s’obté un
nombre superior a 75.
x x 1 x 2 75, aleshores 3x 3 75; per tant, x 24.
Tots els nombres naturals superiors a 24 verifiquen la propietat.
2
70. Entre quines mesures s’ha d’augmentar el costat d’un quadrat que té per àrea 36 cm si es vol que la nova
superfície estigui compresa entre quatre i nou vegades la superfície inicial?
El costat del quadrat inicial mesura: c 36 6 cm.
Sigui x la mesura que s’afegeix al costat del quadrat, aleshores:
4 36 6 x 9 36 144 6 x 2 324 12 6 x 18 6 x 12
2
S’ha d’augmentar entre 6 cm i 12 cm.
145
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
71. Es consideren els rectangles la base dels quals mesura el doble que l’altura. Quins compleixen que la seva
2
2
àrea està compresa entre 8 cm i 72 cm ?
Suposem que les mesures són 2x de base i x d’altura.
L’àrea serà:
S 2xx 2x 2 8 2x 2 72 4 x 2 36 2 x 6
La mesura de l’altura ha de ser un nombre comprès entre 2 cm i 6 cm.
72. Un ajuntament vol construir una plaça circular la superfície de la qual ha d’estar compresa entre 5000 i
2
6000 m . Entre quins dos valors es troba el radi de la plaça? I el seu perímetre?
Sigui x el radi de la plaça. S’ha de complir que:
5000 x 2 6000 1591,55 x 2 1909,86 39,89 x 43,7 m.
Per tant, el perímetre estarà entre 250,51 2x 274,58 m.
73. Un muntanyenc pot caminar a una velocitat compresa entre 4 km/h i 6 km/h depenent de la major o menor
dificultat del terreny. Descobreix entre quins valors oscil·la el temps que trigarà a recórrer un camí de 25
km.
25
25
4 t t 4 6,25 6 h 15 min
e
25
4v 64 64
6
t
t
25 6 t 25 4 h 10 min
t
6
Haurà de caminar entre 4 h 10 min i 6 h 15 min.
74. Un terreny rectangular mesura el doble de llarg que d’ample i està dividit en quatre parcel·les amb les
característiques següents:
Les seves dimensions són nombres enters.
La parcel·la més gran té una àrea de 450 m .
2
La parcel·la més petita té una àrea compresa entre 30 m i 40 m .
2
2
Les altres dues parcel·les tenen la mateixa superfície.
Quina és l’àrea total del terreny?
Sigui x l’àrea de la parcel·la més petita i y l’àrea d’una de les parcel·les mitjanes. Tenim que:
30 x 40
2
i que 450 2y x és el doble d’un quadrat perfecte 2k , de manera que x ha de ser parell, x 2x, i
x y 450
15 x 20
2
queda 225 y x k , amb
2x y 450
Aleshores, 225 30 15 k 225 450 20 270 k 695 17 k 26.
2
2
2
2
Per tant, l’àrea total 2k pot ser 578, 648, 722, 800, 882, 968, 1058, 1152, 1250 o 1352 m .
75. En un territori, el creixement de la població s’ajusta a un model exponencial:
r
Pf Pi 1
100
t
a) Si actualment la població és de 25 000 persones, quina ha de ser la taxa mínima de creixement perquè en 5
anys passi a ser de 30 000?
b) Considerant la taxa de creixement de l’apartat anterior, quina població hi haurà al territori d’aquí a 50 anys?
146
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
a) Pi 25 000 i volem que passi que Pf sigui almenys 30 000. Aleshores:
5
r
30 000 25 000 1
r 3,71
100
50
3,71
b) Pf 25 000 1
100
154 515,4 . Hi haurà una població de 154 515 persones.
76. En comprar 8 bolígrafs, la Lurdes va pagar amb un bitllet de 5 €, però no recorda quants diners li van
tornar. Un altre client va anar a comprar 12 bolígrafs del mateix tipus, però va haver de tornar a casa, ja que
amb els 6,50 € que portava per pagar no en tenia prou. Què es pot dir del preu d’un bolígraf?
x 62,5
8 x 500
Sigui x el preu de cada bolígraf en cèntims de euro. Aleshores:
12
x
650
x 54,16
Per tant, el preu de cada bolígraf està entre 0,55 € i 0,62 €.
77. Una empresa de lloguer de cotxes ofereix dos possibles models de contracte.
El model A consisteix a pagar una quantitat fixa de 50 € a més de 0,08 € per cada quilòmetre recorregut.
El model B consisteix a pagar 80 € sense limitació de quilometratge.
A partir de quants quilòmetres interessa el lloguer segons el model B?
Sigui x el nombre de km a recórrer.
50 0,08 x 80 x
30
375 . Interessa el lloguer segons el model B a partir de 375 km.
0,08
78. Una empresa necessita repartidors de pizzes i ofereix les opcions de contracte següents:
Es cobrarà una quantitat mensual fixa de 350 €, més 3 € per cada pizza repartida.
Sou fix de 600 €, independent del nombre de pizzes repartides.
Calcula el nombre mínim de pizzes que s’han de repartir perquè convingui triar la primera opció.
Sigui x el nombre de pizzes. Aleshores:
350 3x 600 x 83,3
Per tant, convé triar la primera opció a partir de 84 pizzes.
79. El nivell d’alcohol, N, en sang d’una persona que ha begut tres quarts de litre de cervesa en funció del seu
pes, x, en quilograms, després de mitja hora, és:
N
400
7x
Tot i que mai no s’ha de conduir després d’haver ingerit alcohol, la llei de trànsit estableix multes greus per
als conductors novells que condueixin amb un nivell superior a 0,3 g/L. Indica quines persones no podran
conduir després de 30 minuts d’haver begut tres quarts de litre de cervesa.
400
400
0,3 400 2,1x x
190, 48 . Les que no superin els 190,48 kg de pes. (No podrà conduir
7x
2,1
ningú.)
N
147
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
80. Un aliment té les característiques següents a la seva composició:
Té el triple de massa de greixos que d’hidrats de carboni.
La massa de les proteïnes és 16 vegades la massa dels hidrats de carboni.
En 100 g de l’aliment hi ha entre 20 g i 30 g d’hidrats de carboni, proteïnes i greixos en total.
a)
Determina les diferents possibilitats de la composició de 100 g d’aquest aliment.
b) Pot ser que hi hagi 0,5 g d’hidrats de carboni, 8 g de proteïnes i 1,5 g de greixos?
c)
Pot ser que hi hagi 1,25 g d’hidrats de carboni, 20 g de proteïnes i 3,75 g de greixos?
a)
En 100 grams d’aliment: x g d’hidrats de carboni, 3x g de greixos i 16x g de proteïnes.
Per tant: 20 x 3x 16x 30 20 20x 30 1 x 1,5
Entre 1 i 1,5 g d’hidrats de carboni; entre 3 i 4,5 g de greixos, i entre 16 i 24 g de proteïnes.
b) No és possible, ja que no es verifiquen totes les condicions.
c)
Sí que és possible.
81. Es volen confeccionar samarretes esportives de dues qualitats, que es diferencien en la proporció de cotó
i fibra sintètica que es fa servir. La taula següent dona la composició de cada tipus de samarreta:
Qualitat extra
Qualitat mitjana
Unitats de
cotó
4
2
Unitats de
fibra sintètica
1
3
Per confeccionar les samarretes es disposa d’un total de 260 unitats de cotó i de 190 unitats de fibra
sintètica.
a)
Determina, de forma gràfica, les diferents possibilitats que hi ha de produir les samarretes.
b) És possible confeccionar 50 samarretes de qualitat extra i 40 de qualitat mitjana?
a) Siguin:
x nombre de samarretes de qualitat extra
y nombre de samarretes de qualitat mitjana
4 x 2y 260
x 3 y 190
x 0
y 0
Vèrtexs:
A (0; 63,3)
B(40, 50)
C (65, 0)
b) No és possible per falta de cotó.
148
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
82. La funció de demanda, fd, que correspon al mercat de lloguer d’algunes eines de bricolatge, és per a un
preu p comprès entre 15 € i 19 €:
fd
3 2 119
p
p 123
10
10
Per quins preus la demanda és inferior a 6 unitats?
fd 6 3p2 119p 1170 0 , 47,82 8,16,
Com que p està comprès entre 15 € i 19 €, aleshores per a 15 p 19 la demanda és inferior a 6 unitats.
83. El tractament d’una malaltia requereix l’administració de dues substàncies curatives, C i D. Cada setmana
s’han de consumir com a mínim 30 mg de C i 42 mg de D. Aquestes substàncies estan incloses en dos
tipus de pastilles diferents, G i P, de la forma següent:
En una pastilla G hi ha 3 mg de C i 5 mg de D.
En una pastilla P hi ha 1 mg de C i 1 de D.
a)
Representa gràficament les formes possibles en què es poden administrar al pacient les dosis necessàries.
b) Indica si les condicions es compleixen en prendre:
1 pastilla G cada dia de la setmana
1 pastilla P de dilluns a divendres
2 pastilles P dissabtes i diumenges
a) Siguin:
x el nombre de pastilles G
y el nombre de pastilles P
3 x y 30
5 x y 42
x 0 y 0
Vèrtexs: A(0, 42), B(6, 12) i C(10, 0)
b) En prendre 7 pastilles G i 9 P sí que es compleixen.
149
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
84. En uns magatzems de roba esportiva compten amb 200 pilotes i 300 samarretes. Després d’un estudi de
mercat posen les existències a la venda en dos tipus de lots.
El nombre total de lots no ha de superar els 110 i, particularment, el nombre màxim de lots del primer tipus
no ha de ser superior a 60.
a)
Representa les formes possibles d’elaborar els lots.
b) Indica si cadascuna de les possibilitats següents compleix les condicions:
40 del primer tipus i 80 del segon.
40 del primer tipus i 70 del segon.
70 del primer tipus i cap del segon.
a) Siguin
x el nombre de lots tipus 1
y el nombre de lots tipus 2.
x 2y 200
3 x 2y 300
x y 110
60 x 0 y 0
Vèrtexs: A(0, 100), B(20, 90)
C(60, 50) i D(60, 0)
b) No, sí i no, respectivament.
150
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
ENTORN MATEMÀTIC
Muntem una botiga de bicis...
L’Àngela és dentista, en Joan és cuiner i l’Ignasi és advocat. Tots tres germans tenen una afició en comú: la
pràctica del ciclisme amateur. Cada cap de setmana surten a fer una volta en bicicleta per camins forestals.
Una d’aquestes vegades van decidir fer una competició: havien de pujar al cim d’una muntanya amb una altura
de 1400 m sobre el nivell del mar sortint de la falda de la muntanya, que es troba a 1050 m sobre el nivell del
mar. El que arribés últim, havia de comprar 30 € de loteria per al proper sorteig.
Òbviament, i com sempre, presumint de bona forma física... en Joan va arribar l’últim, va comprar la loteria i...
contra tot pronòstic... van guanyar la grossa!
Van decidir invertir el premi guanyat en muntar una empresa de distribució i venda de bicicletes de muntanya.
Després de fer un estudi de mercat, estimen que les funcions d’oferta i demanda d’un tipus concret de bicicleta
són, per a preus compresos entre p = 200 € i p = 250 €:
fo
7
23
1990
p2
p
600
4
3
fd
2 2 56
3370
p
p
75
5
3
on fo i fd representen el nombre d’unitats ofertes i demandades per al preu p.
a) Calcula per a quins valors de p l’oferta supera la demanda i per a quins valors la demanda supera l’oferta.
Interpreta’n els resultats.
b) Troba per a quins valors de p l’oferta és superior a 35 unitats.
c) Troba per a quins valors de p la demanda és inferior a 30 unitats.
a) fo fd
7 2 23
1990
2 2 56
3370
3 2 109
p
p
p
p
p
p 460 0
600
4
3
75
5
3
200
20
400
3 p2 1090 p 92000 0 ( p 230)(3 p 400) 0 p ,
230,
3
Com que el domini d’interès dels preus és [200, 250], l’oferta superarà la demanda quan el preu sigui superior a 230
€ i inferior o igual a 250 €. Per contra, la demanda superarà l’oferta quan el preu sigui superior o igual a 200 € i
inferior a 230 €.
El punt d’equilibri del mercat s’obté amb un preu de 230 €.
b)
7 2 23
1990
p
p
35 p (217, 250)
600
4
3
Per a preus compresos entre 217 i 250 euros, l’oferta és superior a 35 unitats.
c) fd
2 2 56
3370
p
p
30 p (239, 250)
75
5
3
Per a preus compresos entre 239 € i 250 €, la demanda és inferior a 30 unitats.
151
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
…d’accessoris de bicis
Un cop passada l’emoció d’haver guanyat, comencen les pors, i l’Àngela, en Joan i l’Ignasi ja no estan tan
segurs que les bicicletes siguin una bona idea. Un local gran, material gran, molta feina…
Per tant, han pensat, com a segona opció, fer servir el premi per crear una empresa que empaqueti i distribueixi
lots d’articles per al manteniment de la bicicleta.
És una mica més petit i, fins i tot, podrien empaquetar a mà i vendre per Internet.
Els lots contindrien cambres per a les rodes, capses de pegats i esprais per a la reparació de punxades.
Decideixen elaborar dos tipus de lots. La taula següent mostra la composició de cada lot.
LOT A
LOT B
Cambres
4
2
Pegats
1
2
Esprais
1
1
Es compta amb un màxim de 70 cambres, 30 capses de pegats i 20 esprais reparadors.
a) Suposant que es formen x lots de tipus A i y lots de tipus B, estableix, mitjançant un sistema d’inequacions amb les
incògnites x i y, les condicions que han de complir els valors de x i y perquè sigui factible l’elaboració d’aquests lots,
tenint en compte les existències de cada producte.
b) Mitjançant Geogebra dibuixa la regió de punts (x, y) que compleixen totes les condicions anteriors. Estableix les
coordenades de tots els vèrtexs de la regió.
c) Indica si les solucions següents són possibles o no:
A. x 5 y 12
B. x 5 y 13
C. x 10 y 10
D. x 17 y 2
d) Si finalment s’elaboren 15 lots de A i 5 lots de B, s’esgotaran totes les existències de tots tres productes?
a) Si es formen x lots de tipus A i y lots de tipus B, s’hauran de complir totes les desigualtats següents:
4 x 2y 70
x 2y 30
x y 20
x 0
y 0
b) Vèrtexs: O(0, 0)
x 0
A
A 0,15
x 2y 30
x y 20
B
B 10,10
x 2y 30
x y 20
C
C 15,5
4 x 2y 70
y 0
D
D 17,5;0
4 x 2y 70
c) A. x 5 y 12 Sí.
B. x 5 y 13. No.
C. x 10 y 10 Sí.
d) S’esgotaran les existències de cambres i d’esprais, però sobraran 5 capses de pegats.
152
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
D. x 17 y 2 No.
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
AUTOAVALUACIÓ
Comprova el que has après
1.
Resol les inequacions lineals següents.
a) x
a)
2.
3.
4.
5.
5
x 5
2
2
2
14,
b)
x x x 45
2 4 8
8
b)
,9
Resol les inequacions de segon grau següents.
2 2 5
x x 1
3
3
a) 4x 2 2x 12 0
b)
3
a) 2 x 2 2x 3 0 2,
2
b)
3 x 2x 1 0
1
, 3
2
Resol les inequacions racionals següents.
a)
2x 3
1
4x 1
b)
6
4
1
5( x 3) 5( x 2)
a)
6x 4
1 2
0 ,
4x 1
4 3
b)
( x 2)( x 3)
0 , 3 2, 2 3,
( x 2)( x 3)
Resol les inequacions polinòmiques següents.
a) x 4 10x 2 9 0
b) 2x 3 x 2 5x 2
a) ( x 1)( x 1)( x 3)( x 3) 0 3, 1 1, 3
1
b) ( x 1)( x 2)(2x 1) 0 2, 1,
2
Resol el sistema d’inequacions lineals amb una incògnita.
x 2
2x 3
1
3
2 x 5 1
, 2
6.
Resol els sistemes d’inequacions següents.
x 2 x 6 0
a) x 3
0
x 2
153
2 x 3 5
x 1
2
b)
x 1
x 2 2 x 0
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
x 4
x 3
0 , 3 1,0 2,4
b)
x 1
x( x 2) 0
( x 2)( x 3) 0
a) x 3
2,3
0
x 2
7.
8.
Resol els sistemes d’inequacions amb dues incògnites següents.
x 2y 8
a) 2x y 7
0 x 3 y 0
3 x y 12
x 2y 3
b)
x
y 2 2
2 x 3 y 1
a) O(0, 0), A(0, 4), B(2, 3), C(3, 1), D(3, 0)
b) A(1, 1), B(3, 3), C(4, 0), D(2, 1)
En una classe hi ha 15 noies i 10 nois. La mitjana aritmètica de les qualificacions de les noies en l’últim
examen de matemàtiques ha estat 6,25. Entre quins valors es troba la mitjana dels nois si sabem que la
mitjana de tota la classe és superior a 5,25 i inferior a 6,5?
Sigui x la mitjana aritmètica de la nota dels nois en matemàtiques. Com que la mitjana aritmètica de les noies és
6,25, aleshores:
25 5,25 6,25 15 10x 25 6,5 131,25 93,75 10x 162,5
37,5 10x 68,75 3,75 x 6,875
Així, doncs, la mitjana dels nois es troba entre 3,75 i 6,875, ambdues notes mitjanes incloses.
Relaciona i contesta
Tria l’única resposta correcta en cada cas
1.
Les inequacions 2x 1 0 i
A. C1 C2
2x 1
0 tenen com a conjunts solució respectius C1 i C2 .
x 1
B. C1 C2
C. C2 C1
D. C1 C2 1
Solució: C
2.
La solució de la inequació x 2 a b x ab 0 , on a 0 b , és:
A.
, a b,
B.
, a b,
C.
a, b
Solució: C
154
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
D.
a, b
SOLUCIONARI
3.
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
La zona ombrejada de la figura pot ser determinada pel sistema
d’inequacions:
A.
x 1, y x, x y 4, x y 6
B. x 1, y x, x y 4, x y 6
C. x 1, y x, x y 4, x y 6, y 1
D. x 1, y x, x y 4, x y 6
Solució: D
Assenyala, en cada cas, les respostes correctes
4.
Si la solució de la inequació x 2 x c 0 amb c 0 és , c b, , aleshores:
A. c 2
C. b 1
B. c 2
D. b 1
Solució: B i D
5.
Es considera la inequació
x 1
r .
x 2
A. x 3 forma part de la solució.
B. x 1 i x 1 formen part de la solució.
C. x 5 forma part de la solució però x 2 no.
D. x 2 forma part de la solució però x 5 no.
Solució: A i C
Tria la relació correcta entre les dues afirmacions donades
6.
2
Volem obtenir la solució de la inequació ax + bx + c > 0. Es consideren les afirmacions següents:
1. La gràfica de l’equació corresponent no talla l’eix X.
2. La solució són tots els nombres reals.
A. 1 ⇒ 2, però 2 ⇏ 1.
B. 2 ⇒ 1, però 1 ⇏ 2.
C. 1 ⇒ 2, i 2 ⇒ 1.
D. 1 i 2 són excloents entre elles.
Solució: B
155
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 5. INEQUACIONS I SISTEMES
Assenyala la dada innecessària per respondre
7.
Es vol obtenir i dibuixar la solució de la inequació ax + by ≤0. A aquest efecte s’aporten les dades
següents:
1. a 1 i b 2
2. b 2a
A. S’ha d’eliminar necessàriament la dada 1.
B. S’ha d’eliminar necessàriament la dada 2.
C. Es pot eliminar qualsevol de les dues dades.
D. Són necessàries les dues dades.
Solució: C
156
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
6. Funcions
EXERCICIS PROPOSATS
1.
Exercici resolt.
2.
Troba el domini de les funcions següents:
a) f x
x2 1
5
a) D f
3.
b) g x
x 2
x 2 2x 3
c) h x
b) D g 3,1
c) D h [2, )
Dibuixa una possible gràfica per a la funció y f x amb les restriccions següents en el seu domini i en el
seu recorregut:
D f 0, 1 5, 7 i R f 0, 2
Resposta oberta. Una altra solució possible es mostra a les solucions al final
del llibre.
4.
Indica el domini i el recorregut d’aquestes funcions:
a) D(f )
; R f 3,
b) D g
; R g 1, 3
5.
Exercici resolt.
6.
En un aparcament es cobra un fix de 2 € i, a partir de la 1a hora, 50 cèntims
més per cada mitja hora d’ús. Troba l’expressió de la funció del temps
d’aparcament i representa-la.
Sigui x el temps d’aparcament en hores.
2
2,5
f x 3
157
x2
x2 4
si 0 x 1
2
si 1 x 1,5
n
f
x
si 1,5 x 2
2 2
si 0 x 1
n 1
n 2 amb n
si
x
2
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
i n 1
SOLUCIONARI
7.
UNITAT 6. FUNCIONS
Per a les funcions següents, calcula f 2 , f 1 , f 0 , f 1 , f 2 i determina el seu domini.
a)
a)
x
f x x 2
x
si
si
si
x2 2
b) f x x 2
x 1
x 1
x 1
1 x 1
x 1
si
x0
si
x 0
Per a f 2 s’utilitza la primera expressió f x x .
Per a f 1 , f 0 i f 1 es fa servir la segona expressió f x x 2 .
Per a f 2 s’utilitza la tercera expressió f x x .
f 2 2 ; f 1 1 1 ; f 0 02 0 ; f 1 12 1 ; f 2 2 ; D f
2
b)
Per a f 2 , f 1 i f 0 s’utilitza la primera expressió f x
x2 2
.
x2
f 1 no està definit perquè no pertany al domini.
Per a f 2 s’utilitza la segona expressió f x
f 2
f 2
8.
x 1
.
x 1
2 2 6 3 ; f 1 1 2 3 1 ; f 0 02 2 2 1
0 2 2
2
2 2 4
1 2 3
2
2 1 3
3 ; D f
2 1 1
2
1
Expressa f x x 5 x com una funció a trossos.
Si x 5 , x 5 0 de manera que x 5 x 5 x 5 x 5 x x 5 x 2x 5
Si x 5 , x 5 0 de manera que x 5 x 5 x 5 x x 5 x 5
f x
9.
52x 5 sisi xx 55
Troba l’expressió algebraica de les funcions:
a)
a) f x
b)
2xx sisi xx 00
3
b) f x 2x 3
x 1
10. Exercici resolt.
158
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
si
si
si
x 1
1 x 2
x2
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
11. Indica en quins intervals són creixents i decreixents aquestes funcions:
a) f(x) = 5x + 2
b) f(x) = –2x + 6
c) f(x) = x
2
d) f(x) = –x
2
a) És creixent en tot ℝ.
b) És decreixent en tot ℝ.
c) És decreixent en l’interval (–∞, 0) i creixent en l’interval (0, +∞).
d) És creixent en l’interval (–∞, 0) i decreixent en l’interval (0, +∞).
12. Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions següents i estudia el seu signe.
b) f (x) x 2 3x 4
a) f (x) 6x 5
a) D(f )
. Signe de la funció: f (x) 0 si x
Talls amb eix X: y 0; 6x
d) f (x) x 2 3x
5
5
i f x 0 si x
6
6
5
5
. El punt A , 0
6
6
5 5. El punt B(0, 5)
. Signe de la funció: f x 0 si x 4, 1 i f (x) 0 si x , 4 1,
Talls amb eix X: y 0; x 3x
2
4 0; x1 4; x2 1. Els punts A( 4, 0) i B(1, 0)
Tall amb eix Y: x 0, y 0 3 · 0
2
c) D f
( x 3)(x 2)
x 1
5 0; x
Tall amb eix Y: x 0; y 6 · 0
b) D f
c) f ( x )
4 –4. El punt C(0, 4)
1 . Signe de la funció: f (x) 0 si x 2,1 (3,) i f x 0 si x , 2 (1, 3)
Talls amb eix X: y 0;
(x 3)(x 2)
0 ; x1 2; x2 3. Els punts A( 2, 0) i B(3, 0)
x 1
Tall amb eix Y: x 0, y
(0 3)(0 2) 3 · 2
6 . El punt C(0, 6)
0 1
1
d) D f (, 0) (3, ) . Signe de la funció: f (x) 0 si x (,0) (3,)
Talls amb eix X: y 0;
x 2 3x 0 ; x1 0; x2 3. Els punts A(0, 0) i B(3, 0)
Tall amb eix Y: x 0, y 02 3 · 0 0 . El punt A(0, 0)
13. Exercici resolt.
14. Donades les funcions:
f x
x 1
x 3
g x
2
x2 9
hx x 1
Calcula el domini i l’expressió de les funcions següents:
a) f g
159
b) f h
c)
f h g
d)
1
f
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
e)
g
h
f)
h
f
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
Es calcula prèviament el domini de cada funció original: D f
a) D f g
3 ; D g
f g x f x g x
3, 3
3, 3 ; D h [1, )
x 1
2
x 2 4x 5
2
x 3 x 9
x2 9
x 1
x 1
x 3
b) D f h [1, )
f h x f x h x
c) D f h g [1, 3) 3,
2
x 1
x 1 2
f h ·g x f x h x g x
x 3
x 9
1
d) D
f
1
x 3
1
x
f
f
x
x 1
3, 1
g x
2
g
x
h x x 2 9 x 1
h
g
e) D [1, 3) 3,
h
h x x 3 x 1
h
x
f x
x 1
f
h
D (1, )
f
f)
15. Siguin les funcions f x 2x 2 3x 5 i g x x h , on h és qualsevol nombre real.
a)
Calcula les funcions f g i g f .
b)
Per a quins valors de h té la funció g composta amb f una arrel x 0?
a)
f g x f g x f x h 2 x h 3 x h 5 2x 2 4h 3 x 2h2 3h 5
2
g f x g f x g 2x 2 3x 5 2x 2 3x 5 h 2x 2 3x h 5
b)
f g 0 2 02 4h 3 0 2h2 3h 5 2h2 3h 5 0 h1 1, h2
16. Donades les funcions f x
x 1
, g x x 4 , hx x 3
x 2
5
2
i k x x 2 1 , determina el domini i
l’expressió de les funcions:
a) f g
b) g f
c) h g
Domini de cada funció original: D f
d) g h
2 ; D g
2
f g x f g x f x 4
b) D g f
2
g f x g f x g
f k
x 4 1 x 5
x 4 2 x 2
x 1 x 1
3x 9
4
x2
x 2 x 2
c) D h g [7, )
h g x h g x h x 4 x 4 3 x 7
d) D g h [3, )
g h x g h x g x 3
e) D g k
g k x g k x g x 2 1 x 2 1 4 x 2 3
D f k
f)
; D h [3, ) ; D k
a) D f g
f)
f k x f k x f x 2 1
17. Donades les funcions f x x 1 i g x
x 3 4
x 2 1 1 x 2
x 2 1 2 x 2 3
x 1
, a quina de les funcions següents correspon la gràfica de
x
la il·lustració?
160
e) k h
A. s f g
C. d f g
B. p f g
D. q
f
g
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
Els dominis de les funcions s, q i d inclouen el valor x 1 .
La funció q x
f x
f
té domini D q
x
g
g x
0, 1 i coincideix amb y x en la resta dels seus punts.
La resposta correcta és la D.
18. Sigui f x
2x 1
. Troba f 1 i dibuixa la seva gràfica i la de f .
3
S’intercanvien les variables x i y en l’equació explícita de f,
2x 1
y
, i s’aïlla y:
3
x
2y 1
3
3x 2y 1 2y 3x 1 y
f 1 x
3x 1
2
3x 1
2
19. La funció f x x 5 x 1 admet inversa, f 1 . Utilitza la calculadora per aproximar f 1 10 .
Es busca un valor de x per al qual f x x 5 x 1 10 .
Per això es donen valors a x que facin que f x s’aproximi a 10.
x
f (x) x5 x 1
f 1 10
1
3
1,4
7,778
1,5
10,094
1,6
13,086
2
35
1,5
20. Escriu l’expressió i el domini de la funció inversa de f x 2x 3 . Quant val f 1 3 ?
y 2x 3 y 2 2x 3 x
y2 3
x2 3
. Així, doncs, f 1(x)
amb x 0 .
2
2
R f [0, ) D f 1 [0, )
f 1(3) 6
21. Exercici interactiu.
22. Exercici resolt.
161
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
23
UNITAT 6. FUNCIONS
La gràfica mostra l’altura d’una cabina (en metres) d’una roda de fira respecte al terra en funció del temps
(en minuts).
a) La funció que relaciona l’altura de la cabina respecte al temps, és periòdica? Quin és el període?
b) A quina altura és troba aproximadament als 30 s de funcionar?
c) Quant de temps triga, aproximadament, a arribar a l’altura de 10 m des que arrenca?
d) A quina altura és trobarà al minut 36? I al minut 45?
a) És periòdica i el període és igual a 2 minuts.
b) Aproximadament a 10 metres d’altura.
c) Aproximadament mig minut.
d) 36 és divisible entre 2; per tant, serà a 0 m d’altura. 45 entre 2 dona 1 de residu; per tant, correspondrà a
l’altura màxima, és a dir, serà a 20 m.
24
La taula correspon a una funció periòdica de període T = 6. Completa-la.
x
0
2
4
7
f(x)
5
3
1
4
x
0
2
4
f(x)
5
3
1
12
26
37
52
7
12
26
37
52
4
5
3
4
1
12 entre 6 té residu 0 i per tant li correspon 5; 26 entre 6 té residu 2 i per tant li correspon 3; 37 entre 6 té residu 1,
que és el mateix residu que té 7, i per tant li correspon 4; i 52 entre 6 té residu 4 i per tant li correspon 1.
25. La gràfica correspon a una funció periòdica.
a) Quin és el període T de la funció?
b) Quant val f(18)? I f(32)?
a) T = 5
b) f(18) = f(3) = 3 I f(32) = f(2) = 2,5
162
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
26 a 32. Exercicis resolts.
33. Analitza raonadament si les gràfiques següents corresponen o no a funcions reals de variable real.
a)
b)
Es diu que una relació entre dues variables x i y és una funció si a cada valor de x hi correspon un únic valor de y,
és a dir, si a cada valor de x hi correspon una única imatge f x .
a)
Aquesta gràfica no correspon a una funció, perquè hi ha valors de x als quals correspon més d’una imatge.
Per exemple, a x 0 hi corresponen dues imatges: y 0 i y 3 .
b)
Aquesta gràfica sí que correspon a una funció perquè no hi ha valors de x als quals correspongui més d’una
imatge. En aquest cas s’observa que sí que hi ha diversos valors de x als quals correspon una mateixa
imatge y . Per exemple, a x 3 i x 0 els correspon el mateix valor y 0 , però això no contradiu en absolut
la definició de funció.
34. Troba el domini de les funcions següents.
a) f x
x 1
x2 1
e) f x (x 1)(2x 3)
b) f x
x2 1
x 1
f) f x
c) f ( x )
x 1
2x 1
g) f x 1
d) f ( x )
x2 4
x 2x 3
h) f x log 5 x
2
x 1 2x 3
3x
5x
3
e) D f , 1,
2
a) D f
163
1
b) D f
1
3
f) D f , (1, )
2
c) D f
1
2
g) D f ,3 5,
d) D f
3,1
h) D f ,5
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
35. Donades les gràfiques de funcions següents, indica el seu domini i el seu recorregut.
a)
c)
b)
d)
a) D f
c) D f [1, 1]
R f [1, 0) (1, 2)
R f [0,1]
d) D f (5, )
b) D f (, 1) (2, )
R f
R f [2, )
0
36. Escriu l’expressió analítica de les funcions definides pels enunciats següents i estableix el seu domini.
164
a)
A cada nombre real se li assigna el triple del seu quadrat menys el doble del seu cub.
b)
A cada nombre real se li associa l’arrel quadrada positiva de la suma del seu quadrat amb ell mateix.
c)
Un comercial cobra un fix de 500 € al mes més un 2 % de la facturació que hagi obtingut durant aquest mes.
Escriu la funció que dona el sou del comercial en funció de la facturació mensual.
d)
En una classe hi ha un diccionari per a cada alumne, un atles per a cada dos alumnes i un ordinador per a
cada tres. Es demana la funció que dona el nombre total de material de suport que hi ha a la classe en funció
del nombre d’alumnes.
a)
f (x) 3x 2 2x3
D f
b)
f (x) x 2 x
D f 0,
c)
f (x) 500 0,02x
D f 0,
d)
f (x) x
x x
11x
f (x)
2 3
6
D(f ) {6n : n } “nombres naturals múltiples de 6”
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
Funcions definides a trossos
2x 3
37. Representa la gràfica de f ( x ) 3x 7
3
f0,f1,f2,f5
Per a
es
x 2
f (2) 2(2) 3 1 .
compleix
que
si x 1
si 1 x 2 i calcula f –2 ,
si x 2
x 1
de
manera
que
Per a x 0 es compleix que x 1 de manera que f (0) 2 0 3 3 .
Per a x 1 es compleix que 1 x 2 de manera que f (1) 3 ·1 7 4 .
Per a x 2 es compleix que 1 x 2 de manera que f (2) 3 · 2 7 1 .
Per a x 5 es compleix que x 2 de manera que f (5) 3 .
38. Troba les expressions analítiques de les funcions les gràfiques de les quals són les següents.
a)
b)
a)
3
2x
b) f x
2x
1
2x 2
x
f x
2
x 4
si x 0
si 0 x 2
si 2 x 3
si x 3
si
x
3
2
3
x0
2
1
si 0 x
2
1
si x
2
si
39. Determina el domini de les funcions següents.
2x
si x 0
a) f ( x ) x 1
2x 1 si x 0
c)
2x
si x 2
f (x) x 1
2x 1 si x 2
2x
si x 2
b) f ( x ) x 1
2 x 1 si x 2
d)
2x
si x 1
f (x) x 1
2 x 1 si x 5
Observem que g ( x )
2x
1
no està definida si x 1 i h( x ) 2x 1 només està definida si x , ; així:
x 1
2
a) D(f )
b) D(f )
165
c) D(f )
1
1
2, , 2 ,
2
2
1
d) D(f ) , 1 5,
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
40. Representa la gràfica de la funció:
si x 1
2 x 3
f ( x ) x 2 2x 2 si 1 x 2
3
si x 2
La gràfica de f1( x ) 2x 3 és una recta que passa pels punts (0, 3) i (1, 5). La gràfica
de f2 ( x ) x 2 2x 2 és una paràbola amb vèrtex en (–1, 1) i que passa per (1, 5) i (2,
10). La gràfica de f3 ( x ) 3 és la recta horitzontal y 3 .
Propietats globals de les funcions
41. Determina els extrems relatius d’aquestes gràfiques i classifica’ls.
a)
b)
a) La funció f(x) té tres extrems: un màxim a x = 0 i dos mínims a x = –1 i x = 1.
b) La funció g(x) té un màxim a x = 1 i un mínim a x = 3.
42. Indica els extrems relatius d’aquestes funcions, si en tenen, i classifica’ls. Indica també els intervals de
creixement i decreixement.
a)
b)
c)
a) Extrems: x = –3 i x = 2 són màxims, x = –1 és un mínim.
Intervals: (–, –3) creix, (–3, –1) decreix, (1, 2) creix, (2, +) decreix.
b) Extrems: x = –3 i x = 2 són mínims, x = –1 és un màxim.
Intervals: (–, –3) decreix, (–3, –1) creix, (1, 2) decreix, (2, +) creix.
c) Extrems: x = –3 i x = 2 són màxims, x = –1 i x = 4 són mínims.
Intervals: (– , –3) creix, (–3, –1) decreix, (1, 2) creix, (2, 4) decreix, (4, +) creix.
d) No té extrems.
Intervals: (–, 0) decreix, (0, +) decreix.
43. Determina en quins punts tallen els eixos aquestes funcions:
166
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
d)
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
x x 2 9
a) f (x) x 2 5x 14
d) f ( x )
b) f (x) x 2 x 1 x 3
e) f ( x )
c) f (x) x 2 2x x 1 x 3
f) f (x) x x 2 2 x 2 1
2
x 1 x 1
x 2 9 x
x 3
g) f ( x )
h) f ( x )
x x 5
x 1 x 1
x 1 x 2 9
3 x 2 1
a) Eix Y: f (0) 14 A 0, 14
Eix X: f (x) 0 x 2 5x 14 0 x 2, x 7 B 2, 0 i C 7, 0
b) Eix Y: f (0) 6 A 0, 6
Eix X: f (x) 0 x 2 x 1 x 3 0 x 2, x 1, x 3 B(2, 0), C(1, 0) i D(3, 0)
c) Eix Y: f (0) 0 A 0, 0
Eix X: f (x) 0 x 2 2x x 1 x 3 0 x 2, x 0, x 1, x 3
2
B 2, 0 , A 0, 0 , C 1, 0 i D 3, 0
d) Eix Y: f (0) 0 A 0, 0
Eix X: f (x) 0 x x 2 9 0 x 3, x 0, x 3 B(3, 0), A(0, 0) y C(3, 0)
Per esbossar la gràfica n’hi ha prou d' observar que la funció és imparella, les
rectes x 1 , x 1 són asímptotes verticals i la recta y x és asímptota
obliqua.
e) Observem que si x 3 tenim f (x) x 3 x , de manera que la gràfica de f és
una paràbola de la qual es treu el punt 3, 18 .
Eix Y: f (0) 0 A 0, 0
Eix X: f (x) 0 x 2 9 x 0 x 3 (no vàlid), x 0, x 3
A(0, 0) i B 3, 0
167
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
2
2
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
f) Eix Y: f (0) 0 A 0, 0
Eix X: f (x) 0 x x 2 2 x 2 1 0 x 1, x 0, x 1 B(1, 0), A(0, 0) i C(1, 0)
g) Eix Y: f (0) 0 A 0, 0
Eix X: f (x) 0 x x 5 0 x 0, x 5 A(0, 0) i B(5, 0)
2
Per esbossar la gràfica n’hi ha prou d'observar que les rectes x 1 ,
x 1 són asímptotes verticals i la recta y 1 és asímptota horitzontal.
h) Eix Y: f (0) 3 A 0, 3
Eix X: f (x) 0 x 1 x 2 9 0 x 1 B 1, 0
Per esbossar la gràfica n’hi ha prou d'observar que la recta y
x 1
3 3
és asímptota obliqua.
44. Estudia el signe d’aquestes funcions.
x x 2 16
a) f ( x ) 5x
f) f ( x )
b) f ( x ) 2x 4
g) f ( x )
c) f ( x ) 3x 2
h) f ( x )
x 12
x 27 3 x 2
i) f ( x )
x 25 x 5
10 x 6
x 4 x 4
x 4 x
2
2
d) f ( x ) x 2 x x 3
2
x 10
4
e) f ( x ) 2x 2 x x 4 x 1
2
a) f(x) és negativa a (–, 0) i positiva a (0, +).
b) f(x) = 2x + 4 = 0 x = –2. (–, –2) és negativa i positiva a (–2, +).
c) f(x) = –3x – 2 = 0 x =
2
2
2
és positiva a , i negativa a , .
3
3
3
d) f ( x ) x 2 x x 3 els seus zeros són x = 0, x = –1 i x = 3. (–, –1) és positiva, (–1, 0) és negativa, (0, +)
2
és positiva.
168
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
e) f ( x ) 2x 2 x x 4 x 1 , els zeros són x = 0, x =
2
1
, x = –4 i x = 1. A (–, –4) és negativa, a (–4, 0) és
2
1
1
negativa, a 1, és positiva, a , 1 és negativa i a (1, +) és positiva.
2
2
f)
f (x)
x x 2 16
x( x 4)( x 4) 0 , a (–, 0) és negativa i a (0, +) és positiva.
x 4 x 4
( x 4)( x 4)
x 4 x . Els zeros són x = –10 (discontinuïtat), x = 0 i x = 2. A (–, –10) és positiva , a (–10, –2) i a
2
g) f ( x )
x 10
(0, 2) és negativa, i a (–2, 0) i a (2, +) és positiva.
h) f ( x )
x 12
, els zeros són x = –1, i té discontinuïtats en x = –27 i x = –2. (–, –27) és positiva,
x 27 3 x 2
(–27, –2) és negativa i (–2, +) és positiva.
x 25 x 5 , el signe només depèn de si és x < 5 o al revés, la resta sempre dóna positiu. (–, 5) és
10 x 6
2
i)
f (x)
4
negativa i (5, +) és positiva.
45. Estudia si aquestes funcions presenten simetria respecte a l’eix Y o respecte a l’origen de coordenades.
a) f (x) x 4 2x 2 3
c) f (x) x 2(x 2 1)(x 2 1)
b) f (x) x(x 1)(x 1)
d) f (x)
x
2x 3 5
c) f (x) x 2 3x
e) f (x)
x4 x
2x 1
a) f (x) (x)4 2(x)2 3 x 4 2x 2 3 f (x) . La funció és simètrica respecte de l’eix Y.
b) f x x x 1 x 1 x x 1 x 1 f x . La funció és simètrica respecte de l’origen.
c) f (x) x 3 x x 2 3x . No presenta cap de les dues simetries.
2
2
2
2
d) f x x x 1 x 1 x 2 x 2 1 x 2 1 f x . La funció és simètrica respecte de l’eix Y.
e) f (x)
x
x
x
. No presenta cap de les dues simetries.
2(x)3 5 2x 3 5 2x 3 5
x x x 4 x . No presenta cap de les dues simetries.
2 x 1
2x 1
4
f)
169
f (x)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
Operacions amb funcions
46. Donades les funcions f x x 2 x 2 , g x 2x 4 , h x
1
i t x 1 x 2 , calcula les funcions
x 4
2
següents i determina els seus dominis.
a)
f t x
d)
h t x
g
g) x
f
b)
h t x
e)
f h x
h)
g g x
f
f) x
t
i)
tf
x
h
f
c) x
h
D f
, D g [2, ) , D h
a)
f t (x) 2x 2 x 3
b)
h t (x)
2, 2 , D t
D f t
x 4 5x 2 3
x2 4
D h t
2, 2
f
Com que h mai no s’anul·la, D
h
f
c) (x) x 2 x 2 x 2 4
h
d)
h t (x)
1 x 2
x2 4
D h t
2, 2
e)
f h (x)
x2 x 2 x 1
x2 4
x2
D f h
2,2
f)
x2 x 2 x 2
f
(x)
1 x 2
1 x
t
2, 2 .
f
Com que t s’anul·la en x 1 i en x 1, D
t
2x 4
g
g) (x) 2
x x2
f
g
Com que f s’anul·la en x 2 i en x 1, D 2, .
f
D g g 2,
h)
g g x 2x 4
i)
tf
2
2
2
2
2
(x ) 1 x x x 2 x 4 ( x 1)(x 1) ( x 2) ( x 2)
h
tf
Com que h mai no s’anul·la, D
h
2, 2 .
47. Donades les funcions f (x) 1 x 2 , h(x)
1
i g(x) 4 2x , troba les funcions següents i els seus
x2 4
dominis.
a)
170
f f (x)
1, 1 .
b)
h g (x)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
c)
g f (x )
SOLUCIONARI
D f
UNITAT 6. FUNCIONS
; D g , 2 ; D h
2,2
a)
f f (x) f 1 x 2 1 1 x 2 x 4 2x 2 ; D f f
b)
h g (x) h g x h 4 2x
2
1
4 2x 4
2
1
1
4 2x 4
2x
Per a x 0 g(0) 4 2 , valor que anul·la el denominador de
D h g , 0 0, 2 .
1
, de manera que
x2 4
48. Fixa’t en les gràfiques de les funcions f i g.
Copia la figura i dibuixa de manera aproximada:
a) 2f
b) f + g
c) fg
a)
c)
b)
d)
d) f : g
Funció inversa
49. Donada f (x) 2x 1 , calcula f 1(x) . Calcula f f 1 (x) i f 1 f (x) i analitza els resultats.
y 2x 1 x
y 1
x 1
, de manera que f 1(x)
2
2
x 1
f f 1 (x) 2 2 1 x ; f 1 f (x)
171
(2x 1) 1
x ; per tant, f f 1 (x) f 1 f (x) x
2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
50. Calcula, quan sigui possible, les funcions inverses i els dominis de:
a) f ( x )
a) y
2x 3
3x 1
b) g(x) x 3 1
2x 3
3 y
3x
x
f 1 x
3x 1
3y 2
2 3x
c) h(x) log x
D f
1
3
d) t( x ) 3
D f 1
1
x2
2
3
b) y x 3 1 x 3 y 2 1 g 1 x 3 x 2 1
D g 1,
D g 1 R g 0,
c) y log x x 10y h1 x 10x
D h 0,
D h1
D t
D t 1
d) y 3
1
x2
x
1
1
2 t 1 x 3 2
y3
x
2
0
51. Indica si aquestes funcions tenen inversa. Raona la resposta. En el cas que en tinguin, dibuixa la
corresponent inversa.
a)
b)
Només té inversa la b), tal com es pot observar amb les gràfiques. La inversa de la a) no és una funció.
a)
b)
172
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
52. Calcula el valor de la funció f (x)
f (1)
x3 2
per a x 1 i per a x 2 . Té f inversa? Justifica la resposta.
x
13 2
(2)3 2
3 ; f (2)
3
1
2
Com que f (1) f (2) 3 , aleshores la gràfica de f talla la recta horitzontal y 3 en dos punts, de manera que no
existeix la inversa de f .
53. Sigui la funció f x
1
x
a) Calcula la funció f f (x) . Quina conclusió obtens?
b) Dibuixa ara la gràfica de f. Analitzant aquesta gràfica, pots corroborar la teva conclusió de l’apartat anterior?
a)
f f (x) f
1
1
x . Així, doncs, la funció i la seva inversa són iguals: f f .
x
b) A partir de la gràfica següent s’observa que la funció f és simètrica
respecte de la recta y x , de manera que es verifica que f f 1 , tal
com es comentava a l’apartat anterior.
QÜESTIONS
54. Determina si les expressions f x x 1 i g x
x 2 3x 2
corresponen a la mateixa funció.
x 2
x 2 3x 2 (x 1)(x 2)
, f x i g x coincideixen en tots els seus punts excepte en x 2 , on
x2
x2
i D(g) 2 . Així, doncs, no és la mateixa funció.
f 2 1 i la funció g x no està definida, ja que D(f )
Com que g x
55. Determina si les expressions f ( x ) ( x 1)( x 3) i g( x )
x 1 x 3 corresponen a la mateixa funció.
No és la mateixa funció, D(f ) , 1 3, i D(g ) 3, .
56. Pot haver-hi funcions la gràfica de les quals sigui simètrica respecte a l’eix d’abscisses?
No, perquè això significaria que tots els valors del domini tindrien més d’una imatge.
57. Quin tipus de gràfica té una funció amb domini tots els nombres reals i recorregut un únic nombre real?
Si la funció f verifica que D f
173
i R f a , la seva gràfica és la recta y a.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
58. La gràfica de la funció f x g x , on g és un polinomi de primer grau, està formada per una recta o per
dues semirectes?
Si g(x) és un polinomi de primer grau vol dir que és una recta i que talla l’eix OX en un punt x0. Així doncs, f(x) està
formada per dues semirectes sempre positives.
59. La gràfica de la figura representa una funció que és quocient de dos polinomis P i Q, és a dir, f x
P x
.
Qx
Què es pot dir sobre les arrels del polinomi Q?
L’única arrel de Q(x) és x0, perquè D f
60. Té inversa la funció f x x
3
0 .
x?
f (x) no té inversa, perquè, com que f (1) f (1) 0, f hauria de tenir dues imatges en x 0, és a dir, f (0) 1 i
1
a la vegada f (0) 1.
1
1
61. Les funcions “part entera” i “part decimal”.
Com segurament saps, qualsevol nombre real està entre dos enters consecutius; així, per exemple:
1 ≤ 1,8
si el nombre real
compleix
≤
2, 4 ≤ 4
1, sent
5, −4 ≤ −π
−3…
un enter, es diu que
és la part entera de
a) Completa la taula següent:
x
–3,4
–0,7
–0,5
0
0,3
0,9
1
1,3
2
1,7
2,3
2,9
E(x)
x
E(x)
b) Representa gràficament els punts obtinguts a la taula anterior.
c) Quins son tots els nombres x tals que E(x) = 3? I E(x) = –1?
d) Representa gràficament la funció E(x) en l’interval [ 4, 3].
La funció D(x) = x − E(x) s’anomena part decimal.
e) Calcula les imatges de D dels nombres 1,7, 5 i −2,4.
f) Escriu cinc nombres reals x tals que D(x)
0,4.
g) Representa gràficament la funció D(x) en l’interval [ 4, 3].
174
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
i es denota per
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
a)
x
3,4
0,7
0,5
0
0,3
0´9
1
1,3
2
1,7
2,3
2,9
E(x)
4
1
1
0
0
0
1
1
1
1
2
2
b)
c) Si E(x) 3, aleshores 3 x< 4. Si E(x) 1, aleshores 1 x< 0.
d)
e) D(1,7) 1,7 E(1,7) 1,7 1 0,7.D(5) 5 E(5) 5 5 0.D(2,4) 2,4 E(2,4) 2,4 (3) 0,6.
f) 0,4, 1,4, 0,6, 3,6, 5,6.
g) Si 4 x< 3, D(x) x (4) x 4
175
Si 0 x< 1, D(x) x
Si 3 x<2, D(x) x (3) x 3
Si 1 x< 2, D(x) x 1
Si 2 x<1, D(x) x (2) x 2
Si 2 x< 3, D(x) x 2
Si 1 x< 0, D(x) x (1) x 1
Si x 3, D(x) 3 3 0
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
PROBLEMES
62. Per pagar-se el viatge de final de curs, els alumnes de batxillerat decideixen muntar una miniguarderia a
les tardes per cuidar nens. El cost del local és de 500 € al mes, la llicència que exigeix l’Ajuntament
ascendeix a 200 € i, a més, invertiran 100 € per imprimir uns fullets de propaganda. Als pares els cobraran
20 € per cada tarda que passi el seu fill a la guarderia i cada cuidador s’emportarà 10 € per cada nen que
tingui al seu càrrec.
a)
Quines són les despeses fixes que tindran el primer mes?
b)
Quants nens hauran de cuidar el primer mes per cobrir despeses?
c)
Expressa el benefici o pèrdua en funció del nombre mensual de nens atesos.
d)
Quin benefici obtindran si atenen 100 nens durant el primer mes?
a) 500 € del local 200 € de llicència 100 € de propaganda 800 €
b) Ingressos
Despeses 20x
c) B(x) 10x
800, ja que Beneficis Ingressos Despeses
d) B(100) 10 · 100
(500 200 100 10x) 10x
800 0 x 80. Hauran de cuidar 80 nens.
800 200 €
63. La longitud l (cm) d’una barra metàl·lica varia amb la temperatura T (°C) d’acord amb la funció:
I (T ) 30,5 0,025T
a) A quina temperatura la barra mesurarà 30,4 cm?
b) Entre quines temperatures la barra mesurarà menys de 30,1 cm i més de 30 cm?
a) 30,4 = 30,5 + 0,025T –0,1 = 0,025T T = –4 ºC
b) 30 < l(T) < 30,1 30 < 30,5 + 0,025T < 30,1 –0,5 < 0,025T < –0,4 –20 ºC < T < –16 ºC
64. Un grup d’amics fa una caminada.
· En la primer hora i mitja caminen a una velocitat constant de 3 km/h.
· Descansen durant la mitja hora següent.
· Tornen a una velocitat constant de 4,5 km/h.
El trajecte és totalment el línia recta. Expressa mitjançant una funció la distància del lloc de partida a la
qual es troben al llarg de l’excursió en funció del temps.
Si la primera hora i mitja va a 3 km/h, recorrerà d = 3 · 1,5 = 4,5 km
La mitja hora següent no avança. Per tant, d = 4,5.
Si torna al començament a velocitat constat de 4,5 km/h vol dir que farà els 4,5 km de tornada en 1 hora. Així
doncs, quan t = 3, d = 0. Passarà del punt (2, 4,5) al punt (3, 0).
176
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
65. El franqueig de cartes varia segons la massa, com s’indica a la taula:
Pes (g)
Fins a 20
Fins a 50
Fins a 100
Fins a 500
Fins a 1000
Fins a 2000
Preu (€)
0,38
0,54
0,92
2,03
4,58
5,19
a) Quant costaria franquejar una carta de 145 g?
b) Representa la gràfica de la funció que ens indica el preu del franqueig segons la massa de la carta. Tria
adequadament l’escala dels eixos perquè es reflecteixi tota la informació.
c) És contínua aquesta funció? De quin tipus és?
a) Com que 145 g es troba entre 100 i 500 grams, costaria 2,03 €.
Preu (€)
b)
Pes (g)
c)
A la gràfica s’observa que la funció no és continua. És una funció esgraonada, definida a trossos.
66. L’Esteve té dos telèfons, un de fix i un de mòbil. Les corbes de la figura representen la despesa mensual
en euros de cada un dels telèfons.
b)
Explica en quins mesos és més elevada la
despesa del telèfon mòbil que la del fix. Per què
creus que és així?
Fix
Despesa (€)
a)
Dibuixa la gràfica de la despesa total mensual de
telèfon de l’Esteve.
Mòbil
G
F
M
A
M
J
J
Any
A
S
O
N
D
a) La despesa al telèfon mòbil és més alta que en el fix els mesos de juliol, agost i setembre, és a dir, durant
l’estiu. Resulta bastant raonable, perquè és quan es passa més temps fora de casa.
Despesa (€)
b)
G
F
M
A
M
J
J
A
S
O
Mes
177
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
N
D
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
67. Es designa amb x la temperatura expressada en graus Fahrenheit i amb f x la mateixa temperatura
40
expressada en graus Celsius. Sabent que f és una funció lineal de x i que f 40
i f 50 10, contesta a
9
les preguntes següents:
a) Quina és la temperatura Celsius corresponent a 35 graus Fahrenheit?
b) A quina temperatura expressada en graus Fahrenheit bull l’aigua?
c) A quina temperatura expressada en graus Fahrenheit es congela l’aigua?
a) Com que f és una funció lineal, serà de la forma f (x) ax b, de manera que:
40ab
40
50
5
160
i 50ab 10. Restant les dues equacions, s’obté 10a
, a , b
.
9
9
9
9
Així, doncs, f x
5
160
5
160
x
. Si x 35, f (x) 35
1,7 ºC.
9
9
9
9
b) Si f (x) 100 ºC, es té 100
c) Si f (x) 0 ºC, resulta 0
5
160
x
, x 212 ºF.
9
9
5
160
x
, x 32 ºF.
9
9
68. El cost de l’energia elèctrica s’obté mitjançant una quantitat fixa sumada a una variable proporcional a la
quantitat d’energia consumida. En dos mesos diferents, la Blanca ha pagat 71,40 € per 340 kWh i 62,28 €
per 283 kWh.
Al març va pagar 71,40 € per 340 kWh consumits.
A l’abril la factura va ser de 62,28 € per 283 kWh.
a) Quina és la quantitat fixa que paga la Blanca independentment del consum real?
b) Quin serà l’import de la factura al maig si el consum va ser un 25 % més alt que el de l’abril?
a)
Anomenant b la quantitat fixa i a el preu del kWh, la funció de cost, en euros, és C x ax b on x representa
la despesa mensual en kWh.
Resolem el sistema:
9,12
71,40 a 340 b
, i s’obté que a
0,16 i b 17.
62,28 a 283 b
57
Per tant, la Blanca paga una quantitat fixa de 17 €.
b) El consum al maig serà de 283 25% de 283 353,75 kWh.
La funció cost C x 0,16x 17 avaluada amb aquest consum és C 353,75 0,16 353,75 17 73,6
Per tant, al maig l’import és de 73,6 €.
178
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
69. Una empresa produeix ratolins sense fil per a ordinadors de sobretaula i portàtils. Atenent a les despeses
de la posada en marxa de la maquinària, al salari dels seus treballadors i a altres factors que intervenen en
la producció, s’ha arribat a la conclusió que fabricar p ratolins té un cost total, en euros, de
C(p) 10p 100 000 .
a) Troba l’expressió de la funció Cm que ens dona el preu unitari mitjà d’un ratolí en fabricar-ne p unitats.
b) Calcula Cm(10) i Cm(1000). A què es deu que hi hagi tanta diferència entre un cost i un altre?
a) Cm p
C(p) 10p 100000
100000
10
p
p
p
b) Cm(10) 10010; Cm(1000) 20
La diferència es deu a les despeses de posada en marxa de la maquinària, sou dels treballadors, etc., que són
fixes, independentment del nombre de ratolins produïts, i que serien un autèntic malbaratament si es produïssin
només 10 ratolins.
70. En una gran reserva natural hi ha una població d’antílops pertanyents a una espècie en perill d’extinció. Es
pensa que el nombre d’aquests animals durant el període 2000-2015 ha evolucionat aproximadament
segons la funció següent f x 2300x 54 000, on x representa el temps en anys, de manera que x 0
correspon a 2000, i f x denota el nombre d’antílops al final de l’any.
a) Calcula el nombre d’antílops l’any 2005.
b) En quants individus es redueix la població cada any?
c) Si la població continua evolucionant d’aquesta manera, a quin any s’extingirà?
a) f (5) 2300 · 5 54 000 42 500 antílops.
b) Cada any la població es redueix en f (x) f (x 1) individus, és a dir:
2300x 54000 2300(x 1) 54000 2300 antílops
c)
179
A aquest ritme, la població s’extingirà quan f (x) 0, és a dir, x
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
54000
23,4 anys, o sigui, cap a l’any 2023.
2300
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
71. Un parc natural va tenir durant l’estiu passat més visitants dels esperats, per la qual cosa el servei de
neteja ordinari no ha pogut retirar tota la brutícia que la massiva afluència de públic ha generat. Arribada la
tardor, els encarregats del parc es plantegen fer una inversió extraordinària per eliminar la brutícia
acumulada. El cost d’eliminar el p % d’aquestes restes expressat en milers d’euros és:
C p
16p
110 p
a) Sense fer cap càlcul, indica si aquesta funció és creixent o decreixent.
b) Calcula quant costaria no eliminar cap residu, eliminar el 50 % dels residus i eliminar-los tots.
c) Per a quins punts del domini de C interessa en la pràctica estudiar aquesta funció? Quins valors agafa C en
aquesta part del domini?
d) Dibuixa la gràfica de la funció C.
e) Quina proporció de la brutícia acumulada es podrà retirar si s’aprova una partida pressupostària especial de
100 000 € destinada a aquesta finalitat?
a)
b)
Naturalment, la funció és creixent, ja que com més restes vulguem eliminar més ens costarà.
Si p augmenta, el numerador és més gran i el denominador més petit, de manera que la funció creix.
Si p 0, C (0) 0.
Si p 100, C (p)
Si p 50, C (p)
16 50
13,3 mil €
60
16 100
160 mil €
10
c) Els valors p que interessen són els de l’interval [0, 100], on C pren valors entre 0 i 160 mil €.
d)
d)
Si C (p) 100, aleshores 100
11000
16p
, 11000 116p, p
116
110 p
95 % .
72. Si es deixa caure una pilota des d’una altura determinada, l’espai que recorre, h, està determinat per
2
l’expressió h = 4,9t , on t és el temps transcorregut des que es deixa anar la pilota. Calcula la fórmula que
obté el temps en funció de l’espai recorregut.
Si h 4,9t 2 t 2
180
h
t
4,9
h
4,9
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
ENTORN MATEMÀTIC
El “Ratolí intel·ligent”
L’Alícia és una noia molt emprenedora. Quan va acabar els seus estudis d’informàtica i màrqueting va decidir
muntar un negoci que estigués a “l’última” i que fos molt atractiu per als consumidors. Així va sorgir “Ratolí
intel·ligent”, una botiga d’ordinadors i dispositius mòbils que inclou un racó on els clients poden provar els
últims productes del mercat mentre parlen prenent un refresc o un cafè.
Encara que el negoci va bé, la venda de portàtils està baixant i l’Alícia decideix estudiar una nova oferta que
faci que les vendes es recuperin. Dijous a les set de la tarda no hi havia clients i, sense manies, va tancar, va
posar el rètol de “tancat per tràngol intel·lectual de la mestressa” i es va asseure a llegir informes i a
reflexionar:
“Ara compro els portàtils a 500 € la unitat i els venc a 800 €. Així, estic venent 40 unitats al mes. Els estudis de
mercat que he llegit indiquen que per cada 25 € que rebaixi el preu de l’ordinador, les vendes podrien
augmentar en 5 unitats”.
Després de dues hores de llegir papers i reflexionar, l’Alícia es posa còmoda a la butaca i tanca els ulls: “no
tinc clar què fer”. Mentre l’Alícia es recupera, intentarem resoldre el seu problema. Per fer-ho:
a) Escriu la funció que dona els guanys mensuals que tindrà l’Alícia en funció del preu de venda de cada portàtil.
(AJUDA: anomena x el nombre de cops que disminueix 25 € el preu de venda)
b) Calcula el preu ideal de venda per maximitzar el guany i el preu per al qual els guanys no canviarien respecte dels
actuals.
a) El preu de venda de cada portàtil és V 800 25x .
El preu de compra de cada portàtil és C 500 .
El nombre d’unitats venudes és N 40 5x .
Per tant, la funció f (x) que expressa els guanys mensuals G serà f x N V C de manera que:
f x 40 5x 800 25x 500 125x 2 500x 12000
b) A la taula següent s’observa que el preu ideal de venda és de V 750 €, perquè és on els guanys són màxims: G
12 500 €; i que per a un preu de venda de V 700 €, els guanys són els mateixos que els actuals, de
G 12 000 €.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
C
500
500
500
500
500
500
500
500
500
V
800
775
750
725
700
675
650
625
600
N
40
45
50
55
60
65
70
75
80
9375
8000
G
181
12 000 12 375 12 500 12 375 12 000 11 375 10 500
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
El manyà
Els pares d’en Màrius han marxat uns dies i, encara que la seva mare no ho veia gaire clar –“té 18 anys però a
vegades actua com si en tingués 10”–, el seu pare li va fer costat i, al final, l’han deixat sol a casa. Divendres, en
Màrius va quedar amb els col·legues de l’institut per jugar un partit a la tarda. Quan arriba a casa al voltant de
les vuit, mort de gana i desitjant anar a la dutxa, topa amb la crua realitat: “he oblidat les claus a dins de casa!”.
Després d’uns minuts de pànic, es tranquil·litza i intenta recordar si algú té claus; baixa al portal i allà troba la
solució al seu greu problema: dos anuncis de manyans que diuen així:
En llegir els anuncis, en Màrius torna a entrar en fase de pànic: les matemàtiques mai no han estat el seu fort.
Seu a terra i comença a pensar quina oferta és la millor.
Pots ajudar en Màrius i fer un estudi que decideixi amb claredat quin manyà pot resultar més econòmic? Per
fer-ho contesta les preguntes següents:
a) Escriu la funció que dona el preu de cada manyà en funció dels minuts de feina.
b) Calcula el temps en minuts per al qual el preu de tots dos manyans sigui el mateix.
c) Si la feina dura mitja hora, quina és l’opció més econòmica? I si fos necessària una hora?
a) El preu per minut de l’empresa Obroràpid és f x 25
Cobropoc és g x 31
16
x , on x és el nombre de minuts; i el de l’empresa
15
14
x.
15
b) El preu dels dos manyans serà el mateix per al valor de x que verifiqui que f x g x , és a dir:
25
16
14
x 31
x , que té per solució x 45; per tant, el preu coincidirà als tres quarts d’hora.
15
15
16
14
30 57 , g 30 31 30 59 , de manera que l’opció més econòmica, si la feina dura mitja hora,
15
15
és la de l’empresa Obroràpid, que cobraria 57 €.
c) f 30 25
16
14
60 89 , g 60 31
60 87 , de manera que l’opció més econòmica, si la feina dura una hora,
15
15
és la de l’empresa Cobropoc, que cobraria 87 €.
f 60 25
182
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
AUTOAVALUACIÓ
Comprova el que has après
1.
Si la funció y f(x) està definida només a l’interval 0, 4 i la funció y g(x) està definida només a l’interval
1, 7 , per a quins nombres reals pots assegurar que existeix f(x) g(x)?
Han d’existir f (x) i g (x) en els mateixos valors, així que x [0, 4] [1, 7] [1, 4].
2.
Determina el signe i la simetria de les funcions:
a) f x
x 3 2x 2 4x
x 1
b) g(x) x
2
4
x 3 2x 2 4x
; f no és parella, perquè existeix f (1) i no existeix f (1).
x 1
8 8
f (x) no és imparella, ja que, per exemple, f (2) 24 i f (2)
, així que no es verifica en general que
3 3
f (x) f (x).
x( x 2 2x 4)
2
Per estudiar el signe s’escriu f (x)
i com que x 2x 4 0 per a qualsevol x n’hi ha prou amb
x 1
x
estudiar el signe de h (x)
. Així, doncs, si x 0, h (x) 0, o sigui, f (x) 0.
x 1
Si 0 x 1, h (x) 0, és a dir, f (x) 0. Finalment, si x 1, h (x) 0, f (x) 0.
a) f (x)
En resum: f és positiva en (, 0), negativa en (0, 1), positiva en (1, ) i f (0) 0.
b) g és parella, perquè g (x) g (x).
g és positiva en (, 2) i en (2, ) i negativa en (2, 2), amb g (2) g (2) 0.
3.
Siguin les funcions f(x) x
3
3x i g(x) x .
5
a) Estudia la simetria de les funcions f, g, f g i fg.
b) La suma de dues funcions imparelles, serà sempre imparella?
c) El producte de dues funcions imparelles, serà sempre parell?
a) (f g) (x) x x 3x ; fg (x) x 3x
5
3
8
6
Així, doncs, f i g són imparelles (polinomis amb només exponents imparells)
f g és imparella (polinomis amb només exponents imparells)
fg és parella (polinomis amb només exponents parells)
b) Sí, perquè si f i g verifiquen f (x) f (x) i g (x) g (x), aleshores:
(f g)(x) f (x) g (x) f (x) g (x) (f g)(x).
c) Sí, perquè fg(x) f (x) g (x) fg(x) f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x) fg(x)
183
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
4.
UNITAT 6. FUNCIONS
Determina la simetria, els punts de tall amb els eixos i el signe de la funció f x 4 x 2 . Dibuixa la
gràfica.
f x 4 x 4 x 2 f x de manera que la funció té simetria parella.
2
Talls amb l’eix Y: x 0, y 2 (només admetem l’arrel positiva. Punt A(0, 2)
Talls amb l’eix X: y 0, x 2. Punts B(2, 0) i C(2, 0).
La funció sempre és positiva, per definició, en tot el seu domini D(f)
5.
Una funció periòdica té període 6. Sabem que f(3) = –2, f(4) = 3 i f(5) = 1. Calcula quant valdrà f(76) i f(135).
f(76) = 3, f(135) = –2
6.
Observa la gràfica següent i determina el domini i el recorregut de la funció representada:
D f 4, 0 1,4 4 R x 3; 7
7.
Escriu com a funció definida a trossos f x x 2 1 .
x2 1
f (x) 1 x 2
x2 1
8.
si
x 1
si
1 x 1
si
x 1
Donades les funcions f x 5x 2 3x i g x x 1 troba l’expressió i el domini de f g, g f i
(f g) (x) f g(x) f
x 1 5(x 1) 3 x 1 .
D f g 1,
g f (x) g f (x) g (5x2 3x) 5x 2 3x 1 .
Com que D f
, x estarà en D g f si 5x 3x 1 0, de manera que
2
3 29 3 29
D g f ,
,
2
2
x 1
g
.
x 2
5x 3x
f
3
g
D 1, 0, 1, .
5
f
184
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
g
.
f
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
Calcula la funció inversa de f x
9.
y
x 5
.
x 1
x 5
x 5
5y
; s’aïlla x : x
, així que f 1(x)
.
x 1
y 1
x 1
RELACIONA I CONTESTA
Tria l’única resposta correcta en cada un dels apartats següents
x 2 1
1. Què compleixen les funcions f i g donades per f x
1
si x 0
3 x 3
i g x
3
si x 0
si x 0
?
si x 0
A. Les seves gràfiques es tallen en els punts d’abscisses 1 i 2.
B. Les seves gràfiques no tenen cap punt en comú.
C. Les gràfiques de g i
D. f (x)g (x)
f
són paral·leles.
g
0 si x 0.
A. És fals, perquè f (1) 1 i g(1) 3.
B. És cert, ja que si x 0, x 1 3x 3 té per solucions 1 i 2, cap més petit o igual que zero i si
2
x
0, tampoc no es tallen, perquè 1 3.
C. És fals, perquè si x 0,
f ( x) x 2 1 x 1
, recta que no és paral·lela a y 3x 3.
3
g( x ) 3 x 3
D. És fals, ja que (1)(3)
0.
2. Si la gràfica de f (x) en 0, 1 és
la de g x
1
podria ser:
f x
A.
B.
C.
D.
1
1
1
Com que g (0) i g (1) no existeixen, es descarten les respostes A i D. Finalment, com que f 1, g
2
2
f 1
2
1, es descarta la resposta C. La resposta correcta és la B.
3.
185
El domini de la funció f x
9 x2
és:
x2 4
A. (−∞, −3) (3, +∞)
C. [−3, −2) (−2, 2) ᴜ (2, 3]
B. [−2, 2] (−3, 3)
D. (−2, 2)
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 6. FUNCIONS
Per saber el domini s’ha de tenir en compte els zeros del denominador i que el radicand sigui positiu:
Zeros: x 2 4 0 x 2
Radicand: 9 x 2 0 x 3,3
El domini serà l’interval [–3, 3] però excloent els punts x = –2 i x = 2 ja que aquí la funció té dues discontinuïtats.
La resposta és la C.
Assenyala, en cada cas, les respostes correctes
4. Per a la funció inversa de f (x) x , es verifica:
3
3
A. f 1 x x
B. f 1 x
1
x3
C. f 1 8 2
D. f 1 x no és una funció.
Si y x , x 3 y , de manera que la inversa serà f 1(x) 3 x , i una resposta correcta és A.
3
3
Com que f 1 8 8 2 també es verifica C.
5. Sigui f(x) ax b amb a
A. a 1
0 i g(x) cx d amb c
0. Si f g g , llavors es compleix que:
B. b 0
C. a 1 i b 0
D. a c i b d
f g (x) g (x) ens porta a f (cx d) cx d, és a dir, a(cx d) b cx d, acx ad b cx d, de manera que
ac c, ad b d. Com que c 0, a 1 i b 0, una resposta correcta és C.
També es compleixen les respostes A i B.
Tria la relació correcta entre les dues afirmacions donades
6. Siguin f i g funcions amb domini tot
1) f x g x per a tot x
amb g x 0 per a qualsevol valor de x. Llavors si:
f x
1
2)
gx
A. 1 2 però 2 1
C. 1 2
B. 2 1 però 1 2
D. 1 i 2 s’exclouen entre si.
Si f (x) g (x) i g (x) 0, aleshores
f ( x)
1 perquè el numerador és més gran que el denominador per a qualsevol
g( x )
f ( x)
1. Pel fet de ser g (x) 0, es pot passar multiplicant a l’altra banda sense que canviï el
g( x )
signe de la desigualtat, es f (x) g (x), de manera que 2 1. La resposta correcta es la C.
x. Així doncs, 1 2 i
Raona quina de les dades següents és innecessària
7.
Per poder determinar si la funció f x bx 3 ax 2 , amb a i b ≠ 0, presenta o no simetria parella o
imparella ens donen les dades següents:
1. Valor de a.
2. Valor de b.
A. Només podem prescindir de la dada 1.
B. Només podem prescindir de la dada 2.
C. Podem prescindir de les dades 1 i 2.
D. No podem prescindir ni de 1 ni de 2.
Solució: C. Podem prescindir de les dades 1 i 2, ja que si a i b ≠ 0, f(−x) ≠ f(x) i f(−x) ≠ −f(x).
186
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
7. Tipus de funcions
EXERCICIS PROPOSATS
1 a 3. Exercicis resolts.
4.
2
Considera la funció lineal f(x) = 3x + 2 i la funció quadràtica g(x) = x – x + 5.
a) Calcula els valors de x que tenen la mateixa imatge per a f(x) que per a g(x).
b) Representa gràficament les dues funcions en un mateix sistema de coordenades.
c) Comprova que els valors trobats en el primer apartat coincideixen amb els punts d’intersecció de les dues gràfiques.
a) S’igualen les dues funcions:
f x g x 3x 2 x 2 x 5 x 2 4x 3 0 x
4 4 x 3
2
x 1
b)
c) Efectivament, les dues funcions es tallen en els punts d’abscisses x = 1 i x = 3.
5.
Determina a, b i c en la funció quadràtica f (x ) ax 2 bx c per tal que f(–1) = 8, f(3) = 20 i f(1) = 8. Algun
d’aquests punts de la gràfica és el seu vèrtex?
b 0
a b c 8
a b 8 a b 8
3
9a 3b c 20 9a 3b 8 a b 20 a
2
c 8 a b
a b c 8
13
c
2
La funció és f ( x )
3 2 13
x
. És una funció parella, ja que f(x) = f(–x). Així doncs, el vèrtex es troba a l’eix d'orde2
2
13
nades: 0,
.
2
6.
Calcula k per tal que l’abscissa del vèrtex de la funció quadràtica f (x ) kx 2 2x 6 sigui igual a
L’abscissa del vèrtex d’una paràbola és xv
187
b
1 (2)
2k 8 k 4 .
. Així doncs,
2a
4
2k
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
1
.
4
SOLUCIONARI
7.
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Calcula k per tal que l’ordenada del vèrtex de la funció quadràtica f (x ) x 2 kx k 2 sigui igual a 12.
Si l’abscissa del vèrtex és xv
b (k ) k
, l’ordenada serà
2a
2
2
2
k
3k 2
k
yv k k 2 12
12 k 2 16 k 4
2
4
2
8 i 9. Exercicis resolts.
10. Considera les funcions racionals següents:
f (x )
x2 1
3
x 1
, g( x ) 2
i h( x ) 2
x 2
x 4
x 2x 4
a) Per a quins valors s'anul·len els denominadors.
b) Indica el domini de cadascuna de les funcions.
a) El denominador de f(x) s’anul·la per a x = 2, el de g(x) s’anul·la per a x = 2, i el de h(x) no s’anul·la mai
2
perquè x – 2x + 4 = 0 no té solució real.
b) D(f) = ℝ – {2}; D(g) = ℝ – { 2, –2} i D(h) = ℝ
11. De les funcions següents, indica quines són simètriques respecte a l’origen de coordenades i quines respecte a l’eix d'ordenades.
a) f ( x )
3
x
b) f ( x )
1
x2
c) f ( x )
x 3
x
d) f ( x )
Són simètriques respecte a l’origen de coordenades la a) i la d). La a) perquè f (x )
perquè f (x )
2
x3
3
3
f (x ) , i la d)
x
x
2
2
3 f ( x ) .
(x )3
x
Per altra banda, la b) és simètrica respecte de l’eix d’ordenades perquè f (x )
A la funció c) cap de les dues és simetries perquè f (x )
1
1
f (x) .
(x )2 x 2
x 3 x 3
f (x ) i f (x) f (x) .
x
x
12 i 13. Exercicis resolts.
14. Determina el valor del paràmetre a per tal que la funció irracional f (x )
l’interval [3, +).
x a tingui com a domini
S’ha de complir que a = 3, ja que el domini de f (x) x 3 són tots els nombres reals tals que x – 3 ≥ 0.
15. El domini de la funció f ( x )
f (x )
188
x
és el conjunt ℝ – {1}. Coincideix amb el domini de la funció
x 1
x
?
x 1
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
No coincideix perquè la primera funció f ( x )
f (x)
que
x
és una funció racional, mentre que la segona funció
x 1
x
és una funció irracional que té per radicand una fracció. El seu domini són tots els nombres reals tals
x 1
x
0 i x 1 0 : D(f) = (–, 0] (1, +).
x 1
16 i 17. Exercicis resolts
18. Escriu com a funcions a trossos aquestes funcions i dibuixa'n la gràfica:
b) f(x) = |x + 2| + |2x – 10|
a) f(x) = |–x + 3| + 5x + 2
x 3 5x 2 4x 5 si x 3
a) f (x ) x 3 5x 2
x 3 5x 2 6x 1 si x 3
x 2 2x 10 3x 8 si x 5
b) f ( x ) x 2 2x 10 x 2 2x 10 x 12 si 2 x 5
x 2 2x 10 3x 8 si x 2
19. Amb l'ajuda d'una taula de valors, representa aquesta funció:
f(x) = x – ent(x)
La funció part entera té aquesta forma:
Una taula de valors és:
189
x
–2
–1,5
–1
–0,2
0
0,4
1
1,7
2
f(x)
0
0,5
0
0,8
0
0,4
0
0,7
0
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
20. Exercici resolt.
x
21. Expressa aquestes funcions en la forma f(x) = a .
a) f(x) = 4
–x
1
b) f x
3
c) f x
2x
3x
d) f x
10 x
5 x
x
a) f ( x ) 4x
1
b) f ( x )
3
1 1
4x 4
x
x
3x
x
c) f ( x )
2x 2
3x 3
d) f ( x )
10x
x
10 x 5 x 10 5 50 x
5 x
1
22. La gràfica de la funció f (x ) 5 x passa pel punt (a, b). Comprova que la de la funció f ( x )
5
(–a, b) .
x
Si f (x) 5x passa per (a, b), vol dir que f (a) 5a b .
1
Aleshores: f (a)
5
a
5a b . Per tant, passa per (–a, b)
23. En cada cas la funció demanada és de la forma f(x) = ax. Determina la base d'aquestes funcions.
a) Passa pel punt (5, 32).
b) Passa pel punt (3, 27).
c) Passa pel punt (4, 10 000).
1
d) Passa pel punt 4,
.
625
a) f 5 a5 32 a 2
b) f 3 a3 27 a 3
c) f 4 a4 10 000 a 10
1
1
a
d) f 4 a4
625
5
190
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
passa per
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
24. Les funcions exponencials f (x ) a x i f (x ) a x són simètriques respecte a l’eix de les ordenades.
a) A partir de la gràfica de la funció f ( x ) a x , dibuixa la funció f ( x ) a x .
b) Podries dir quant val a en la funció representada? I en la que has representat?
a) La gràfica és:
b) La base de la funció representada és
1
. La base de la funció simètrica és 5.
5
25 i 26. Exercicis resolts.
27. Determina el domini d'aquestes funcions:
a) f (x) log x 2 x 6
b) f (x) log 1 x 2
3
x 1
c) f ( x ) log
x 1
x
d) f ( x ) log
x 1
La funció logarítmica està definida per a x > 0. Per tant, s’han de trobar els valors de x per als quals es pot prendre
el logaritme.
a) x 2 x 6 0 x 2 x 3 0 x , 2 3, D(f ) , 2 3,
b)
191
3
1 x 2 0 1 x 2 0 (1 x)(1 x) 0 x (1,1) D(f ) (1,1)
c)
x 1
0 x (, 1) (1, ) D(f ) (, 1) (1, )
x 1
d)
x
0 x (0, ) D(f ) (0, )
x 1
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
x
28. Representa la funció y = 4 i, a partir de la gràfica, dibuixa la funció y = log4 x.
29. Representa en els mateixos eixos les funcions següents: f (x ) log4 x i f ( x ) log 1 x .
4
30. La gràfica correspon a una funció logarítmica:
a) Determina la formula d’aquesta funció. Com és la funció, creixent o decreixent?
b) Dibuixa la gràfica de la seva funció inversa. Quina és la fórmula de la funció obtinguda?
a) La funció és f (x) log3 x perquè passa pel punt (9, 2). És creixent.
b) La seva funció inversa és g(x) 3x
31. Exercici resolt.
192
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
32. Expressa en radians aquestes mesures d'angles.
a) 30º
b) 60º
a) 30 30
2
360 6
b) 60 60
2
360 3
c) 200 200
2
10
360
9
d) 330 330
2
11
360
6
c) 200º
d) 330º
33. Indica el signe del sinus, el cosinus i la tangent d'aquests angles:
a) 120º
b) 340º
d) –45º
c) 240º
sinus
cosinus
tangent
120º
+
–
–
340º
–
+
–
240º
–
–
+
–45º
–
+
–
34. Exercici resolt.
35. Dona en cada cas dos valors possibles de y:
a) f (x) sin x y sin x
b) f (x) cos x y cos x
c) f (x) cos x y sin x
d) f (x) tg x y tg x
a) És evident que per a y = 0 i y 2 es compleix la igualtat.
b) y = 0 i y = 2x perquè cos (x + y) = cos (x – 2x) = cos(–x) = cos x
c) Si y
y
3
3
3
3
cos( x y ) cos x
sin x sin
sin x (1) sin x
cos x cos
2
2
2
2
cos( x y ) cos x
sin x sin
sin x (1) sin x
cos x cos
2
2
2
2
d) y = 0 i y tg(x y ) tg(x ) tgx
193
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
36. Dona en cada cas dos valors possibles de y:
a) f (x) sin x y sin x
b) f (x) cos x y cos x
c) f (x) cos x y sin x
d) f (x) sin x y cos x
a) y sin(x ) sin x
y sin(x ) sin x cos() cos x sin() sin x
b) y cos(x ) cos x cos sin x sin cos x
y cos(x ) cos x cos() sin x sin() cos x
c) y
y
cos x cos x cos sin x sin sin x
2
2
2
2
3
3
3
3
cos x
sin x sin
sin x
cos x cos
2
2
2
2
d) y
3
3
3
3
sin x
cos x sin
cos x
sin x cos
2
2
2
2
y
sin x
cos x sin
cos x
sin x cos
2
2
2
2
37. Exercici resolt.
38. A partir de la gràfica de f, esbossa les gràfiques de les funcions següents.
194
a) g x f x 4y
d) h x f x
b) g x f x 4
e) h x f x 1
c) g x 3f x
f) h x f 3x
1
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
a) g s’obté mitjançant una translació vertical,
desplaçant la gràfica de f 4 unitats cap amunt.
b) g s’obté mitjançant una translació horitzontal,
desplaçant f 4 unitats cap a l’esquerra.
c) g s’obté a partir de f
mitjançant una dilatació vertical.
195
d) h s’obté mitjançant una translació vertical,
desplaçant la gràfica de f1 unitat cap avall.
e) h s’obté mitjançant una translació horitzontal,
desplaçant f 1 unitat cap a la dreta.
f) h s’obté partir de f
mitjançant una dilatació horitzontal.
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
39 a 41. Exercicis resolts.
42. Es tenen les dades següents sobre l’evolució de l’índex de preus al consum (IPC).
Any
IPC
2008
4,1
2009
0,3
2010
1,8
2011
3,2
2012
2,4
2013
1,4
a) Representa gràficament les dades.
b) Troba el màxim interval per al qual la gràfica s’aproxima a una recta.
a)
Any
b) La funció s’aproxima a una recta en l’interval [2011, 2013].
Nre. internautes (milions)
43. La gràfica mostra el nombre de persones que fan servir Internet almenys una vegada al mes a Espanya els
darrers anys. Interpolant i extrapolant gràficament, estima quants usuaris hi havia el 2010 i quants n'hi
haurà el 2020.
Font: ONTSE (EGM-AIMC)
Nre. internautes (milions)
Any
Font: ONTSE (EGM-AIMC)
Any
196
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
44. Exercici resolt.
45. La població d’un municipi l’any 2008 va ser de 179 000 habitants, i l’any 2013 de 250 000.
a)
Calcula aproximadament, mitjançant interpolació lineal, la població que hi va haver en l’esmentat municipi l’any
2010.
b)
Estima, per extrapolació lineal, la població que hi va haver en l’esmentat municipi l’any 2015.
a)
Es calcula l’equació de la recta y mx n que passa per A 2008, 179000 i B 2011, 250000 :
Com que la recta passa per A, aleshores: y(2008) 179 000 179 000 2008m n .
Com que la recta passa per B, aleshores: y(2013) 250 000 250 000 2013m n .
Es resol el sistema:
000 2008m n
m 14 200; n 28 334 600 .
179
250 000 2013m n
Per tant, s’obté l’equació: y 14 200x 28 334 600 .
Substituint, en aquesta equació, x per 2010, s’obté y 14200 · 2010 28334600 207 400 .
Així, doncs, s’estima que l’any 2010 hi va haver una població de 207 400 habitants.
b)
Substituint, en aquesta equació, x per 2015, s’obté y 14 200·2015 28 334 600 278 400 .
Així, doncs, s’estima que el 2015 hi va haver una població de 278 400 habitants.
46. L’Ivan està intentant estalviar electricitat. La factura del gener va ser de 56 €, la del febrer la va perdre, al
març va gastar 36 € i a l’abril 34,50 €.
a)
Estima quina va ser la seva despesa al febrer i el que pagarà al maig.
b)
Creus que amb aquestes dades la predicció per al desembre seria fiable?
a)
Per interpolar la factura de febrer s’utilitzen les dades dels dos mesos més propers a febrer: gener i març.
S’assigna el nombre 1 al mes de gener, 2 al febrer, ..., fins al desembre, que seria el 12.
Sigui x el nombre corresponent a cada mes i y el corresponent a la despesa elèctrica.
S’ha de trobar la recta d’interpolació y ax b que passa pels punts A 1, 56 i B 3, 36 .
Aquesta recta és y 10x 66 . La despesa al febrer, x
2, serà: y 10 2 66 46 €
Per interpolar la factura de maig s’utilitzen les dades dels dos mesos més propers al maig: març i abril. La
despesa al maig s’estima en y 1,5 5 40,5 33 €
b)
Interpolant a partir de les dades de març i abril, que són les més properes a desembre, x
12, la predicció és:
y 1,5 12 40,5 22,5 €
Aquesta dada no és fiable, ja que no sembla lògic que la despesa elèctrica al desembre sigui inferior a la del
maig. Això es deu al fet que les dades que es fan servir per estimar la despesa de desembre estan molt
allunyades de les d’aquell mes.
47. Exercici resolt.
197
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
48. Es tenen tres dades sobre els beneficis d’una empresa en tres mesos diferents:
Mesos
Beneficis (milers d’€)
1r
0
4t
3
5è
0
a)
Troba la funció quadràtica que s’ajusta a aquestes tres dades.
b)
Quins beneficis o pèrdues s’estimen per al 6è mes?
c)
A quin mes s’obté un benefici màxim?
a) Anomenant x els mesos i y els beneficis, hem de trobar la paràbola f x ax 2 bx c que passa pels punts
A 1,0 , B 4,3 i C 5,0 .
Com que passa pel punt A, f 1 0 a b c 0 .
Com que passa pel punt B, f 4 3 16a 4b c 3 .
Com que passa pel punt C, f 5 0 25a 5b c 0 .
a b c 0
La solució del sistema resultant 16a 4b c 3 es a 1, b 6, c 5 .
25a 9b c 0
Així, doncs, la funció quadràtica és f (x) x 2 6x 5 .
b) El balanç estimat del 6è mes és f (6) 62 6 6 5 5 , que representen unes pèrdues de 5000 €.
c) Com que la paràbola interpoladora, f (x) x 2 6x 5 , és còncava cap avall, el seu vèrtex, que és el punt
V 3, 4 , serà un màxim absolut. El benefici màxim serà de 4000 € i s’assolirà el tercer mes.
49. La figura mostra el volum de vendes d’una gran superfície comercial durant tres mesos consecutius. Troba
la funció quadràtica que s’ajusta a aquestes tres dades. Quines vendes s’esperen per al mes següent?
La paràbola passa pels punts A 1,8 , B 2,7 i C 3,5 .
Com que passa pel punt B, f 2 7 4a 2b c 7 .
Com que passa pel punt C, f 3 5 9a 3b c 5 .
a b c 8
1
1
La solució del sistema resultant 4a 2b c 7 és a , b , c 8 .
2
2
9a 3b c 5
La funció quadràtica resultant és f (x )
1 2 1
x x 8.
2
2
16 4
8 2.
2 2
Així, doncs, per al mes següent s’esperen unes vendes de 2 milions d’euros
Per a x 4 s’obté: f (4)
50. Exercici interactiu.
51 a 61. Exercicis resolts.
198
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
Milions €
Com que passa pel punt A, f 1 8 a b c 8 .
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
EXERCICIS
Concepte de funció. Domini i recorregut
62. Hem representat sis funcions quadràtiques de fórmula f (x ) ax 2 bx c . N'hi ha tres en què a > 0 i en les
altres tres, a < 0. En dues, el discriminant b2 4ac > 0, en dues més, 0 , i en les altres dues 0 .
Classifica-les segons el signe del paràmetre a i segons el signe del discriminant.
Funció
f
g
h
i
j
k
a
a>0
a>0
a>0
a<o
a<0
a<0
>0
=0
<0
>0
=0
<0
63. Una paràbola talla els eixos en els punts (−1, 0), (5, 0) i (0, −10). Quin és el seu vèrtex?
Com que una paràbola és simètrica respecte a la recta vertical que passa pel vèrtex (l’eix), l’abscissa del vèrtex
5 1
serà el punt mitjà entre les abscisses dels punts de tall amb l’eix X, així, xV
2.
2
D’altra banda, la paràbola és de la forma f (x) a(x 1)(x 5) , amb la qual cosa f (0) 10 5a 10 a 2 ,
és a dir, la paràbola és f (x) 2(x 1)(x 5) 2x2 8x 10 i l’ordenada del vèrtex és yV f (2) 18 .
Per tant, les coordenades del vèrtex són V (2, 18) .
64. Fes un estudi complet de les paràboles donades per:
a) f (x) x 2 2x 3
b) f (x) x 2 7x 10
a) Es una paràbola còncava cap avall amb un màxim absolut en el vèrtex
xv
2
1 ( yv 4 ) i eix de simetria la recta x 1 .
2
El punt de tall amb eix Y és (0, 3) i els punts de tall amb l’eix X són (1, 0) i (3, 0).
Fem una taula de valors:
199
x
y
2
5
1
0
0
3
1
4
2
3
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
3
0
4
5
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
b) La gràfica és una paràbola còncava cap amunt amb un mínim absolut en el
vèrtex xv
7
9
7
( y v ) i eix de simetria la recta x .
2
4
2
El punt de tall amb l’eix Y és (0, 10) i amb l’eix X són (5, 0) i (2, 0).
Fem una taula de valors:
x
6
5
4
y
4
0
2
7
2
9
4
3
2
1
2
0
4
65. Representa gràficament les paràboles següents. Primer calcula’n el vèrtex, l’eix de simetria i les interseccions amb els eixos de coordenades.
a) f (x) x 2 4x 3
b) f (x) x 2 4x 4
c) f (x) x 2 4x 5
b 4
2 yv (2)2 4(2) 3 1. L’eix de simetria és la recta x = –2 i
2a
2
a) L’abscissa del vèrtex és xv
les interseccions amb l'eix d'abscisses es troben resolent l’equació x 2 4x 3 0 x
4 4 x 3
.
2
x 1
Talla l'eix d'ordenades a y = 3.
b) L’abscissa del vèrtex és xv
b 4
2 yv (2)2 4(2) 4 0 . L’eix de simetria és la recta x = –2 i les
2a
2
interseccions amb l'eix d'abscisses es troben resolent l’equació x 2 4x 4 0 x
d'ordenades a y = 4.
200
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
4 0
2 .Talla l'eix
2
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
c) L’abscissa del vèrtex és xv
b 4
2 yv (2)2 4(2) 5 1 . L’eix de simetria és la recta x = –2 i les
2a
2
interseccions amb l'eix d'abscisses es troben resolent l’equació x 2 4x 5 0 x
4 4
. Com que no té
2
solució real, no talla l'eix d'abscisses. Talla l'eix d'ordenades a y = 5.
66. Troba els punts de la paràbola f (x ) x 2 8x 6 que tenen ordenada y = –9 i y = 0.
Si y = –9, aleshores x 2 8x 6 9 x 2 8x 15 0 x
Si y = 0, aleshores x 2 8x 6 0 x
Els punts són 4 10,0
x 5
8 4
. Els punts són (5, –9) i (3, –9).
x 3
2
8 40 8 2 10
x 4 10 .
2
2
i 4 10,0 .
67. A partir de la gràfica de f (x ) x 2 representa gràficament:
a) g(x) x 2
b) h(x) x 2 3
2
2
c) i (x) 3 x 2
2
d) j (x) 2 x 2
2
a) La funció g(x) x 2 es troba desplaçada dues unitats a l’esquerra respecte de la funció f (x) x 2 . Només
cal observar que g(–2) = f(0), g(–1) = f(1), g(0) = f(2), etc.
2
b) h(x) resta tres unitats a la funció g(x), que es desplaça cap avall.
201
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
c) La funció i(x) multiplica per tres les altures de la funció g(x). Això vol dir que és més estreta perquè decreix i
creix més ràpidament.
d) És igual que el cas anterior, però canviant de signe els valors de l’ordenada.
68. Troba els punts de tall de les gràfiques de les funcions f (x ) x 2 x 3 i g(x ) 7 4x .
Obtenim els punts que tenen en comú fent f(x) = g(x)
x 2 x 3 7 4x x 2 5x 4 0 x
5 9 x 4
2
x 1
Els punts són (1, 3) i (4, –9).
69. Dins d’un quadrat d’1 dm de costat se n’inscriu un altre. Calcula el costat c i l’àrea A del quadrat inscrit en
funció de x.
Es compleix que c 2 x 2 (1 x)2 x 2 1 2x x 2 2x 2 2x 1 c 2x 2 2x 1 dm perquè si el costat fa
1 dm queda dividit en dues parts: x i 1 – x.
A c 2 2x 2 2x 1dm2
70. Sigui la funció polinòmica de tercer grau següent: f (x ) x 3 2x 2 8x :
a) Indica'n el domini.
b) Calcula la intersecció de la funció amb els eixos de coordenades.
c) Fes un esbós de la gràfica de la funció sabent que passa pel punt (–2, 16).
202
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
a) El domini de qualsevol funció polinòmica sempre és ℝ.
b) La intersecció amb l’eix vertical es calcula fent x = 0 f(0) = 0. Així doncs, passa per (0, 0).
La intersecció amb l’eix vertical es calcula fent y = 0
x 0
x 2x 8x 0 x( x 2x 8) 0 2
x 4
2 36
x 2x 8 0 x
x2
2
3
2
2
c) Les interseccions són (0, 0), (–4, 0) i (2, 0).
Funcions racionals
71. Troba el domini de les funcions racionals següents:
a) f ( x )
2
( x 1)( x 4)
b) f ( x )
x 3
x 7x 10
2
c) f ( x )
x2 x 3
x2 x 4
d) f ( x )
x2
x 5
2
El domini d’una funció racional està determinat per tots els nombres reals x que fan el denominador diferent de
zero.
x 1
a) ( x 1)( x 4) 0
D(f) = ℝ – {–1, 4}
x 4
b) x 2 7x 10 0 x
c) x 2 x 4 0 x
7 9 x 5
D(f) = ℝ – {2, 5}
2
x 2
1 15
D(f) = ℝ perquè el denominador no és mai igual a zero.
2
d) x 2 5 0 x 5 D(f) = ℝ
72. Donada la funció f ( x )
a) f(–x)
a) f (x )
b) f(x + 2)
c) f(x) + 2
x 3 x 3
x 4 x 4
b) f ( x 2)
203
x 3
, troba l’expressió de:
x4
( x 2) 3 x 1
( x 2) 4 x 6
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
d) –f(x)
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
c) f ( x) 2
x 3
x 3 2x 8 3x 5
2
x4
x4
x4
d) f ( x )
x 3 x 3
x4
x4
73. Determina les asímptotes vertical i horitzontal de les funcions següents.
a) f ( x )
x 1
x 2
b) g( x )
3x 2
x 1
c) h( x )
2x
x 1
d) i ( x )
x
2x 5
Una asímptota vertical és la recta x = a si lim f ( x) i una asímptota horitzontal és la recta y = b si
x a
lim f ( x) b .
x
En una funció racional l’asímptota vertical es calcula fent zero el denominador.
En una funció racional l’asímptota horitzontal s'obté calculant el límit quan x tendeix a infinit.
Funció
f(x)
g(x)
h(x)
A. vertical
x=2
x=1
x = –1
x=
A. horitzontal
y=1
y = –3
y=2
y=
74. Considera la funció racional f ( x )
i(x)
5
2
1
2
2x 1
.
x 3
a) Determina el domini i la continuïtat de la funció.
b) Calcula’n les asímptotes horitzontal i vertical.
c) La funció talla alguna vegada la recta y = 2?
d) Fes un esbós de la funció.
a) x – 3 = 0 x = 3. Per tant, D(f) = ℝ – { 3}. La funció no és contínua.
b) L’asímptota vertical és la recta x = 3 i l’horitzontal, la recta y = 2.
c) S’ha de resoldre la igualtat
2x 1
2 2x 1 2x 6 1 6 . No talla mai la recta y = 2.
x 3
d)
204
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Funcions irracionals
75. Troba el domini de les funcions irracionals següents:
a) f (x ) x
c) f (x) x 2 4
e) f ( x )
1
x 2
b) f (x) x 3
d) f (x) x 2 2
f) f ( x )
3x 1
.
x4
Una arrel quadrada té solució només si el seu discriminant és positiu o zero.
a) D(f) = [0, +)
b) x – 3 ≥ 0 x ≥ 3. Així doncs, D(f) = [3, +)
c) x 2 4 0 (x 2)(x 2) 0 x (, 2] [2, ) . D(f ) (, 2] [2, ) .
d) x 2 2 0 ⇒ D(f) = ℝ
e)
1
0 i x 2 . Així doncs, D(f) = (2, +)
x 2
f)
3x 1
1
1
0 i x 4 x (, 4) , . Per tant, D(f ) (, 4) ,
x4
3
3
76. Considera la funció irracional f (x ) 2x 1 .
a) Calcula les imatges d'aquests valors:
1
, 1, 2, 5, 13 i 25.
3
b) Calcula els valors de x que tenen aquestes imatges: 1, 2, 3, 9, 11 i 15.
c) Fes una gràfica de la funció.
a)
x
1
3
1
2
5
13
25
f(x)
No existeix
1
3
3
5
7
f(x)
1
2
3
9
11
15
x
1
2,5
5
41
61
113
b)
2x 1 2 2x 1 4 2x 5 x 2,5
2x 1 3 2x 1 9 2x 10 x 5
2x 1 9 2x 1 81 2x 82 x 41
2x 1 11 2x 1 121 2x 122 x 61
2x 1 15 2x 1 225 2x 226 x 113
205
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
c)
77. La gràfica de la funció irracional f (x )
x 2 1 és
a) Quin és el seu domini i el seu recorregut.
b) Estudia'n el creixement.
c) Quin tipus de simetria té?
a) D(f) = (–, –1] [1, +) i R(f) = [0, +)
b) (–, –1] és decreixent i [1, +) és creixent.
c) Una simetria respecte a l’eix vertical.
78. Considera les funcions f (x ) x 3 i g(x ) 3 x .
a) Demostra que són inverses entre elles.
b) A partir d'una taula de valors, representa-les gràficament i en el mateix sistema de coordenades. Com són entre elles?
a) (f g )(x) f (g( x)) f
x x x
3
3
3
3
(g f )(x ) g(f (x )) g x 3 x 3 x
206
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
b)
x
–2
–1
0
1
2
g(x)
f(x)
–8
–1
0
1
8
x
Funcions valor absolut
79. Representa gràficament la funció f (x ) x 2 . És sempre positiva? Té un eix de simetria? Dibuixa’l.
És sempre positiva i la recta x = 2 és un eix de simetria.
207
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
80. La funció valor absolut f (x ) 2x 5 3 es pot escriure com una funció definida a trossos. Troba’n les
equacions i dibuixa-la.
5
2x 5 3 2x 2 si
x
2
2x 5 3
2x 5 3 2x 8 si x 5
2
81. Representa de manera gràfica les funcions f ( x )
ta les noves funcions f ( x )
208
1
i g(x ) x 2 5x 4 i, a partir d’aquestes, represenx 2
1
i g(x ) x 2 5x 4 .
x 2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
82. Escriu la funció f (x ) x 2 4x 5 com una funció definida a trossos i representa-la.
x 2 4x 5 si x 2 4x 5 0
f ( x ) x 2 4x 5 2
2
x 4x 5 si x 4x 5 0
Però l’equació següent x 2 4x 5 0 x
4 4
no té solució real i sempre és positiva. Per tant:
2
f (x) x 2 4x 5 x 2 4x 5 per a qualsevol valor de x
Funcions exponencials i logarítmiques
83. Dibuixa les gràfiques d'aquestes funcions a partir d'una taula de valors i compara'n el creixement.
a) f (x) 4x
b) f (x) 0,4x
c) f (x) 10x
d) f (x) 1,2x
x
–2
–1
0
1
2
f (x) 4x
0,0625
0,25
1
4
16
f (x) 0,4x
6,25
2,5
1
0,4
0,16
f (x) 10x
0,01
0,1
1
10
100
f (x) 1,2x
0,69
0,83
1
1,2
1,44
La funció que té la base més gran és la que creix més de pressa. La funció que té la base entre 0 i 1 és decreixent.
Les altres són creixents.
209
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
84. Determina les funcions inverses de les següents.
a) f (x) log3 x
c) f (x) log 3 x
b) f ( x ) log 1 x
3
a) La funció inversa de f (x) log3 x és f 1(x) 3x perquè (f f 1)(x) f (3x ) log3 3x x .
x
x
x
1
1
1
b) La funció inversa de f ( x ) log 1 x és f 1( x ) perquè (f f 1)( x ) f log 1 x .
3
3
33
3
c) La funció inversa de f (x) log 3 x és f 1( x) 3
x
perquè (f f 1)(x ) f
3 log 3 x .
x
x
3
85. Dibuixa la gràfica de la funció f (x ) 2 x , i, a partir del dibuix, dibuixa la funció f (x ) log2 x .
Una funció i la seva inversa són simètriques respecte a la recta y = x.
Funcions trigonomètriques
86. Si la gràfica de la funció f (x ) sin x és la següent, dibuixa la de la funció f (x ) cos x si saps que
a l’esquerra.
cos x sin x , és a dir, és el sinus desplaçat
2
2
210
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
87. Representa gràficament la funció f (x ) cos2x entre x = –2 i x = 2 . En quins punts talla els eixos de coordenades? Quin és el seu recorregut? I el seu període?
Els punts de tall estan representats a la figura. A part del punt (0, 1), els de tall amb l'eix d'abscisses es
calculen re-solent l’equació:
2x 2k x k
2
4
cos 2x 0 2x arccos 0
2x 3 2k x 3 k
2
4
El seu recorregut és R(f) = [–1, 1] i el període val rad.
88. Dibuixa la funció f (x ) sin x . Quin període té?
El seu període és igual a rad.
211
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Dilatació i translació de funcions
89. A partir de la gràfica de la funció f ( x )
a) f ( x )
1
2
x
b) f ( x )
2
x
1
, dibuixa les gràfiques següents:
x
c) f ( x )
1
2
x 3
a)
b)
c)
Interpolació lineal
90. A en Jordi se li ha trencat la calculadora i necessita calcular el sinus de l’angle de 27,4° per resoldre un
problema. El seu avi li ensenya un llibre de matemàtiques que conté una taula de valors del sinus. En Jordi
hi troba les dues dades següents:
sin 27º 0,454 i sin 28º 0,469
Ajuda en Jordi a calcular, per interpolació, una estimació del sinus de 27,4°.
212
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Anomenant x l’angle en graus, i y, el sinus d’aquest angle, la recta interpoladora, y ax b , és la que passa pels
punts A 27; 0,454 i B 28;0,469 .
27a b 0,454
a 0,015
28a b 0,469
b 0,049
La recta d’interpolació és, doncs, y 0,015x 0,049 .
Per tant, sin 27,4º 0,015 · 27,4 0,049 0,46
Es pot comprovar que el valor real de sin 27,4º és 0,4602, de manera que l’error comès és mínim.
91. D’una funció f x es coneixen els parells de valors 1,2; 5,72 i 4; 11,6 .
Troba l’equació de la recta d’interpolació i el valor que prendrà f x per a x 2,1.
5,72 12m n
Es resol el sistema
, i s’obtenen les solucions m 2,1 i n 3,2.
11,6 4m n
La recta d’interpolació és, per tant, y 2,1x 3,2.
El valor que busquem és y 2,1 · 2,1 3,2 7,61.
92. Sabent que f x és una funció lineal, i conegudes les dades següents de la taula,
quin valor pren f 0 ? I f 3 ?
1
13
6 m n
Es resol el sistema
, i s’obté m i n
.
2
2
4 5m n
La recta interpoladora és, per tant, y
1
13
x
.
2
2
1
13 13
f 0 0
2
2
2
x
1
5
f(x)
6
4
1
13
f 3 3
5
2
2
93. S’ha observat que la vida mitjana d’un bacteri varia en funció de la temperatura del medi en el qual viu
segons la taula següent.
Temperatura (ºC)
Vida mitjana (min)
6
104,2
9
140,4
12
181,7
15
220,2
16
257,6
Quina vida mitjana estimes per a un cultiu de bacteris en un medi a 10 °C? I a 13 °C?
Per als 10 ºC, es calcula la recta d’interpolació que passa pels punts (9; 140,4) i (12; 181,7).
140,4 9m n
Es resol el sistema
i s’obté m 13,77 i n 16,5.
181,7 12m n
La recta d’interpolació és y 13,77x 16,5, i la vida mitjana que s’espera en un medi a 10 ºC és de 154,2 min.
Per als 13 ºC, es calcula la recta que passa pels punts (12; 181,7) i (15; 220,2).
181,7 12m n
Es resol el sistema
i s’obté m 12,83 i n 27,7.
220,2 15m n
La recta d’interpolació és y 12,83x 27,7, i la vida mitjana que s’espera en un medi a 13 ºC és de 194,5 min.
213
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Interpolació quadràtica
94. D’una funció f x es coneixen els valors f 1 4, f 2 7 i f 4 31.
a) Calcula la funció quadràtica d’aquests valors.
b) Calcula el valor de la funció d’interpolació per a x 3.
c) Té sentit utilitzar la funció d’interpolació trobada per estimar el valor de la funció per a x 0?
a b c
a) Es resol el sistema 4a 2b c
16 4b c
4
7 , les solucions de la qual són a 3, b 6, c 7;
31
f x 3x 2 6x 7 .
b) f 3 3 32 6 3 7 16
c) No sembla adequat fer servir la funció trobada per estimar el valor de la funció en x 0, ja que en els tres
valors que es donen a l’enunciat la funció és creixent, de manera que sembla lògic que, seguint aquesta
tendència, f 0 estigués per sota de f 1 4. Tanmateix, fent servir la funció trobada, s’estima f 0 7.
95. Certa empresa ha observat que els ingressos de les vendes estan estretament relacionats amb la despesa
assignada a la publicitat i ha recollit algunes dades d’anys anteriors en una taula.
Any
Despesa en publicitat (× 1000 €)
Ingressos (× 1000 €)
2013
1
4
2014
3
26
2015
5
64
a) Observa les variacions que es produeixen en les despeses i en els ingressos, i decideix quin tipus d’interpolació
és la més convenient per reflectir la situació.
b) Calcula, mitjançant interpolació, quins ingressos s’esperen si només podem gastar 4500 € en publicitat.
c) Utilitza la funció trobada a l’apartat anterior per estimar quina despesa en publicitat caldria fer per ingressar
50 000 €.
a) La variació en les despeses de publicitat és lineal, augmenta 2000 € cada any. En canvi, els ingressos no
segueixen aquesta llei lineal: primer augmenten 22 000 € i després 38 000 €. Per això, s’ha de fer servir la
interpolació quadràtica.
Si es representen les dades sobre uns eixos, s’aprecia clarament que no s’ajusta a una recta.
Anomenant x les despeses en publicitat en milers d’euros i y els ingresoos derivats en milers d’euros, s’ha de
trobar la paràbola f (x) ax 2 bx c que passa pels punts A 1, 4 , B 3, 26 i C 5, 64 .
Aquesta paràbola és f (x) 2x2 3x 1.
b) Amb 4 500 € destinats a publicitat, s’estima que s’assoliran unos ingressos de f (4,5) 2 4,52 3 4,5 1 53 ,
és a dir, 53 000 €.
c) Es busca x perquè 2x 2 3x 1 50 .
Resolent l’equació s’obtenen les solucions x
5,86 i x
4,36.
Rebutjant la solució negativa es conclou que la despesa ha de ser d’uns 4355 €.
214
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
96. En un negoci de decoració només venen catifes la longitud de les quals és el
doble que la seva amplada. Els preus, depenent de la llargada, es mostren a la
taula.
a) Calcula per interpolació quadràtica el preu d’una catifa de 3 m de longitud.
Llarg (m)
1
2
5
Preu (€)
120
124
148
b) Calcula per extrapolació quadràtica el preu d’una catifa de 8 m de longitud.
Anomenant x els metres del llarg, i y, el preu en €, hem de trobar la paràbola f (x) ax 2 bx c que passa pels
punts A 1, 120 , B 2, 124 i C 5,148 . Aquesta paràbola és f (x) x 2 x 118 .
a) El preu d’una catifa de 3 m de llarg serà f (3) 32 3 118 130 €.
b) El preu d’una catifa de 8 m de llarg serà f (8) 82 8 118 190 €.
97. Calcula dues funcions quadràtiques, una que passi pels punts A, B i C, i l’altra per D, E i F.
a) En quins punts es tallen les dues funcions?
b) Correspon a un valor interpolat o extrapolat de les paràboles?
Per trobar la funció quadràtica que passa per A(1, 4), B(2, 8) i C(5, 1) cal
resoldre el sistema:
a b c 4
19 2 35
19
x
.
4a 2b c 8 i s’obté la paràbola y x
12
4
6
25a 5b c 1
Per trobar la funció quadràtica que passa per D(3, 4), E(6, 7) i F(9, 3) es resol el sistema:
9a 3b c 4
7 2 9
36a 6b c 7 i s’obté la paràbola y x x 6 .
18
2
81a 9b c 3
Els seus punts de tall són (0,57; 8,71) i (4,13; 5,95).
El primer és un valor extrapolat de totes dues paràboles, i el segon és interpolat de totes dues.
QÜESTIONS
98. Donada una funció polinòmica, és possible que talli l’eix vertical en més d’un punt? Raona la resposta.
La intersecció amb l’eix vertical és el punt (0, f(0)). Si f(x) és una funció, no pot tenir més d’una imatge. Per tant, la
intersecció, si existeix, és única.
215
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
99. La gràfica d’un polinomi de grau imparell f(x) sempre talla l'eix d'abscisses. Raona per què.
Si f(x) té grau imparell, per exemple f (x) ax 3 bx 2 cx d , sempre es compleix un dels dos casos:
· lim (ax 3 bx 2 cx d ) lim (ax 3 bx 2 cx d )
x
x
· lim (ax 3 bx 2 cx d ) lim (ax 3 bx 2 cx d )
x
x
La funció passa de tenir valors negatius a positius, o de tenir valors positius a negatius. Per tant, si la funció és
contínua, ha de passar per un zero. Així doncs, existeix x tal que f(x) = 0, és a dir, la gràfica talla l’eix OX.
100. La gràfica d’un polinomi de grau parell f(x) pot ser que no talli l'eix d'abscisses. Raona per què.
Si f(x) té grau parell, per exemple f (x) ax 4 bx 3 cx 2 dx e , sempre es compleix el següent:
lim (ax 4 bx 3 cx 2 dx e) lim (ax 4 bx 3 cx 2 dx e)
x
x
Així doncs, no necessàriament la funció ha de passar de negatiu a positiu, o de positiu a negatiu.
La gràfica de la funció pot tenir aquesta forma i, per tant, no tallar l’eix OX.
101. La gràfica de l'esquerra correspon a la funció f ( x )
1
. Troba la fórmula per a la funció que té com a
1 x 2
gràfica la de la dreta.
La segona gràfica s’obté a partir de la primera en dos passos. Primer fem el simètric de la gràfica de f respecte de
l’eix X, és a dir, és la gràfica de f ( x ) . Després, desplacem la gràfica resultant una unitat cap amunt; és a dir, la
funció buscada és 1 f ( x ) 1
216
1
x2
.
2
1 x
1 x 2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
102. La funció f ( x )
1
, quantes asímptotes verticals té? Calcula-les.
2x 6
Resolem l’equació:
2x 6 0 si x 0 x 3
2x 6 0
2x 6 0 si x 0 x 3
Té dues asímptotes verticals: x = –3 i x = 3.
103. Descriu totes les característiques que coneguis de la funció exponencial f (x ) a x en els casos següents:
a) Quan a > 1.
b) Quan 0 < a < 1.
a)
● El domini i la continuïtat són tots els nombres reals. El seu recorregut és (0, + ) perquè mai pren valors
negatius o zero.
● És creixent i no té extrems.
● El punt (0, 1) és un punt que apareix en totes les representacions perquè a0 1 .
● És còncava.
b)
● El domini i la continuïtat són tots els nombres reals. El seu recorregut és (0, + ) perquè mai pren valors
negatius o zero.
● És decreixent i no té extrems.
● El punt (0, 1) és un punt que apareix en totes les representacions perquè a0 1 .
● És còncava.
217
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
104. Associa les funcions de la columna esquerra a les gràfiques de la columna dreta i justifica la teva elecció:
f (x)
3x
1 x 2
g( x )
x 1
x2 4
h x sin x cos2x
1
j ( x ) xe x
k( x )
( x 1)2
2
3
f ( x ) s’associa amb la segona gràfica, perquè y 0 és asímptota horitzontal i no té asímptotes verticals.
g ( x ) s’associa amb l’última gràfica, perquè y 0 és asímptota horitzontal i x 2 , x 2 són asímptotes verticals.
h( x ) s’associa amb la quarta gràfica, perquè és periòdica.
j ( x ) s’associa amb la primera gràfica, perquè no està definida a x 0 , lim j ( x ) 0 i lim j ( x ) .
x 0
k ( x ) s’associa amb la tercera gràfica, perquè és una paràbola.
218
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
x 0
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Problemes
105. Un capital de 50.000 euros està dipositat en un banc a un tipus d'interès compost anual del 2 %. Quants
diners hi haurà passats dos anys? I passats t anys?
C C0(1 r )t 50000(1 0,02)2 50000 1,022 52020 euros
Passats t anys:
C C0(1 r )t 50000(1 0,02)t 50000 1,02t
106. Al nivell del mar, l’aigua bull a 100 ºC, però cada increment de 100 m en l’altitud representa, aproximadament, trenta-tres centèsimes de grau menys per aconseguir fer bullir l’aigua.
a) Troba la temperatura d’ebullició de l’aigua en funció de l’altitud completant la taula:
Altura (m)
0
100
200
500
100x
Temperatura (ºC)
100
99,67
99,34
100 – 5 · 0,33 = 98,35
100 – 0,33x
b) Calcula la temperatura d’ebullició al cim de l’Aneto (3404 m) i al de l’Everest (8848 m).
Com que l’Aneto és a 3404 m, tenim: 3404 = 34,04 · 100. La temperatura serà:
T = 100 – 0,33 · 34,03 = 88,77º
Com que l’Everest és a 8848 m, tenim: 8848 = 88,48 · 100. La temperatura serà:
T = 100 – 0,33 · 88,48 = 70,80º
107. Als països anglosaxons es fa servir una escala de temperatures diferent de la Celsius: la Fahrenheit.
Les temperatures expressades en totes dues escales, Celsius (C) i Fahrenheit (F), es relacionen segons la
funció:
C F
5
F 32
9
a) Quants graus Celsius són 41 ºF?
b) Quants graus Fahrenheit són –3 ºC?
c) Troba la funció inversa de C(F) que permet passar de Celsius a Fahrenheit.
d) Representa, sobre els mateixos eixos, la gràfica de la funció C(F) i la seva inversa calculant prèviament els
seus punts de tall amb els eixos.
a) C(41)
5
41 32 5 ºC
9
b) C(F ) 3
c) C
5
F 32 3 F 26,6 ºF
9
5
9
9
F 32 F C 32 F (C ) C 32
9
5
5
160
d) La funció C(F ) talla els eixos en els punts 0,
i 32, 0 . La funció F (C )
9
160
talla els eixos en els punts 0, 32 i
, 0 . Les gràfiques són les rectes ad9
juntes.
219
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
108. El rendiment d’unes plaques solars en funció de la temperatura ve donat per una paràbola. Sabem que el
rendiment és màxim (al cent per cent) a la temperatura de 50 ºC i que és nul a les temperatures de 10 ºC i
de 90 ºC. Dibuixa la gràfica de la funció que relaciona el rendiment amb la temperatura i busca la fórmula
de la funció.
Sigui x la temperatura: R(x) ax 2 bx c
Si a x = 50 té un màxim i rendeix al 100%, tenim: 2500a 50x c 100
Si a x = 10 és zero, tenim: 100a 10x c 0
Si a x = 90 és zero, tenim: 8100a 90x c 0
Es resol el sistema:
100a 10b c 0
1
25
225
100a b 0
a
, b
, c
8100a 90b c 0
120
a
2
b
5
16
4
4
2500a 50b c 100
La funció és R(x )
1 2 25
225
x
x
16
4
4
109. Un establiment decideix aplicar un descompte del 5 % per cada compra igual o inferior a 100 euros, i un
descompte addicional del 10 % per la quantitat que supera els 100 €.
a) Escriu la fórmula de la funció que relaciona el preu final en funció del valor inicial de la compra x. Fes la gràfica
de la funció.
b) Quin serà el preu final d’un article que estava marcat amb un preu igual a 342 €?
a) Sigui x el preu de l’article. Un descompte del 5 % vol dir que el cost és del 95 % del preu.
Per tant, si 0 < x ≤ 100 C = 0,95x
Si x > 100, el client paga 0,95 · 100 = 95 € pels cent primers euros i un 90 % pels posteriors, que són x – 100.
Així doncs, C = 95 + 0,90(x – 100) = 95 + 0,90x – 90 = 0,90x + 5.
L'expressió és:
0,95x si 0 x 100
C( x )
0,90x 5 si x 100
(100, 95)
b) Si x = 342, C(342) = 0,90 · 342 + 5 = 312,8 €
220
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
110. Una fàbrica té 20 treballadors que treballen 7,5 hores diàries i està oberta cinc dies a la setmana.
a) Quants treballadors extra haurà de contractar la fàbrica si preveu un pla d’expansió per al qual necessita un
total de 1200 hores treballades a la setmana.
b) Si h és el nombre d’hores diàries que fa cada treballador, expressa el nombre de treballadors extra que s’ha de
contractar en funció de h i fes la seva gràfica.
c) La normativa estableix que cada treballador no pot fer menys de 5 hores al dia ni més de 10. Quin és el marge
que té l’empresa per contractar nous treballadors?
d) Si finalment l’empresa decideix contractar només 10 treballadors extra, quantes hores diàries haurà de fer cada
treballador?
a) Els 20 treballadors fan 20 · 7,5 · 5 = 750 hores/setmana. Fins a 1200 h en falten 450. Llavors:
450 = x · 7,5 · 5 x = 12
Fan falta 12 treballadors més.
b) El nombre de treballadors extres en funció de les hores és: x
450 90
5h
h
(15, 6)
c) Si el nombre d’hores oscil·la entre 5 i 10, tenim:
5 ≤ h ≤ 10
1 1
1
90 90 90
18 x 9
5 h 10
5
h
10
Es poden contractar entre 9 i 18 treballadors.
(5, 18)
(10, 9)
d) Si x = 10 10
221
90
10h 90 h 9 . Cada treballador farà 10 hores diàries.
h
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
111. S'ha produït un terratrèmol amb nombroses destrosses i víctimes. El govern calcula que el nombre de pert 50
sones ingressades en un hospital a causa del sisme ha estat P (t ) 2
, on P(t) és el nombre de persot 10
nes hospitalitzades, en milers, i t és el temps en dies transcorregut des del moment del terratrèmol.
a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia?
b) Quantes persones hi haurà passat un mes?
c) Si un dia hi ha hospitalitzades 500 persones, quants dies han passat des del moment del terratrèmol?
d) Passat un any, quedaran persones hospitalitzades?
a) Si t = 1 tenim que P(t )
1 50
4,636 per tant, 4636 persones.
12 10
b) Si t = 30 dies, llavors P(t )
t 50
30 50
80
0,0879 , o sigui 87,9 (88) persones.
t 2 10 302 10 910
t 50
0,5 t 50 0,5t 2 5 0,5t 2 t 45 0 t 10,48 Han
t 2 10
c) 500 persones són 0,5 milers, llavors
passat més de 10 dies.
d) Si t = 365 dies, P(365)
365 50
415
0,003 . Quedaran 3 persones.
3652 10 133235
112. La DGT ha fet un estudi sobre la distància mitjana que recorre un vehicle quan es deté en funció de la seva
velocitat.
Velocitat
(km/h)
30
50
90
Distància de frenada
(m)
12
24
57,6
a) Representa aquestes dades i decideix quin tipus d’interpolació és l’adequada per a aquest problema.
b) Estima la distància de frenada per a un vehicle que circula a 80 kilòmetres per hora.
a) A la vista de la gràfica, s’observa que la interpolació quadràtica és
l’adequada.
b) Podem construir la paràbola y ax bxc amb les dades (30, 12), (50, 24) i
12 900a 30b c
(90, 57,6) mitjançant el sistema: 24 2500a 50b c
57,6 8100a 90b c
2
Resolent-lo s’obté a 0,004, b 0,28, c 0. Per tant, la paràbola en qüestió
2
és y 0,004x 0,28x .
Si x 80, y 0,004 · 6400 0,28 · 80 48 m.
Distància de frenada (m)
c) Calcula la distància de frenada per a un vehicle que porta una velocitat de 150 km/h.
Velocitat (km/h)
c) Si la velocitat és de 150 km/hora, la distància de frenada serà: y 0,004 · 22 500 0,28 · 150 132 m.
222
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
113. Furbi, una cria de ximpanzé, augmenta de pes cada setmana segons mostra la taula següent.
Temps
Pes (kg)
Naixement
Setmana 1
Setmana 2
Setmana 3
Setmana 4
1,5
2,1
2,5
3,3
Per un error de la bàscula, el seu pes a la tercera setmana no es va poder determinar. Calcula’l per
interpolació lineal.
3,3 2,5
setmana 2: 2,5 kg
2,9 kg.
, de manera que la tercera setmana devia pesar aproximadament 2,5
setmana 4: 3,3 kg
2
223
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
ENTORN MATEMÀTIC
El llum penjant
A l’Eva no li agrada la foscor i sempre intenta tenir molta llum a la seva habitació. Després de protestar molt als
seus pares perquè el llum de la seva taula d’estudi fa poca llum, aconsegueix que el seu pare compri un llum
nou més potent per al sostre de l’habitació: “Em surt més barat canviar el llum que els analgèsics contra el mal
de cap que em fan venir les teves queixes”.
Dit i fet, l’Eva i el seu migranyós pare decideixen, en conseqüència, col·locar el llum nou sobre la perpendicular
de la petita taula circular de l’Eva, que fa 8 dm de diàmetre.
El llum que han triat té un cable llarg per poder regular-ne l’alçària.
El pare de l’Eva, lector assidu de Bricomatemàtica, ha deduït que la il·luminació generada pel llum en cada punt
del marge de la taula és directament proporcional al cosinus de l’angle θ i inversament proporcional al quadrat
de la distància a la bombeta.
Aquesta relació, matemàticament, s’expressa així:
f (x )
cos
d2
Així, si la bombeta s'allunya massa de la taula, la intensitat baixa, i també si s'hi acosta massa. Tingues en compte que pel teorema de Pitàgores, podem expressar tant cos com d en termes de l'altura x, tal com mostra l'esquema.
L'Eva vol situar el llum a la distància més adequada de la taula per tal que la il·luminació a les vores sigui màxi-ma. El
seu pare li ha donat tres valors possibles: 2 dm, 2 2 dm i 3 dm. Per a quin d'aquests valors la intensitat sobre les vores
serà màxima?
Expressem cos en termes de x:
d 2 16 x 2 i cos
x
x
d
16 x 2
La funció que permet obtenir la il·luminació serà:
f x
x
16 x 2
3
Hem de determinar per a quins dels valors donats la intensitat a les vores és màxima. Substituïm:
f 2
2
16 22
3
0,02236
f 2 2
2 2
16 2 2
2
3
0,024056
El màxim es produirà quan el llum es trobi a una distància de 2 2 dm de la taula.
224
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
f 3
3
16 32
3
0,024
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
L’alcohol i la conducció de vehicles
El control d'alcoholèmia o test d'alcoholèmia mesura la concentració d’alcohol al nostre torrent sanguini. S’obté
tenint en compte la quantitat d’alcohol ingerit, el pes de la persona, l’edat i el sexe. Així, quan diem que una
persona té un nivell d’alcohol en sang igual a 0,3 g/L volem indicar que té 0,3 grams d’alcohol per cada litre de
sang.
El control d’alcoholèmia tant es pot fer calculant la quantitat d’alcohol en la sang com la quantitat d’alcohol detectat en l’aire expirat. D'acord amb investigacions recents, se sap que el risc R, en tant per cent, creix exponencialment amb la quantitat d’alcohol ingerit segons aquesta fórmula, on x representa la quantitat de grams
d'alcohol per litre en sang:
R 6 2,718
2,04 x
a) Calcula quin és el risc en la conducció d’una persona que ha begut una cervesa just abans de conduir. Un cervesa
equival a un nivell d'alcohol en sang de 0,3 g/L.
b) Actualment el nivell d'alcohol en sang màxim permès per a un conductor no professional i no novell és de 0,5 g/L.
Quin risc es té amb aquest nivell d'alcohol?
c) Quin risc tindrà una persona que té un nivell d'alcohol en sang d'1,2 g/L?
d) Quin nivell d'alcohol en sang tindrà una persona que té un risc del 50 % en la conducció?
e) Té sentit limitar el consum d'alcohol als conductors? Raona la teva resposta.
2,040,3
6 1,84 11,06%
2,040,5
6 2,77 16,63%
2,041,2
6 11,56 69,37%
a) R 6 2,718
6 2,718
b) R 6 2,718
6 2,718
c) R 6 2,718
6 2,718
2,04x
2,04x
2,04x
d) 50 6 2,718
2,04x
2,718
2,04x
8,33 log 2,718
2,04x log2,718 log8,33 x
2,04x
log8,33
log8,33
1,03 g / L
2,04 log2,718
e) Sí, tenint en compte que el risc creix de manera exponencial.
225
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
AUTOAVALUACIÓ
1.
En quins punts es tallen les gràfiques de les funcions f (x ) x 2 2x i g(x) = 2x – 3?
Igualem les expressions de les corbes i resolem:
x 2 2x 2x – 3 x 2 4x 3 0 x 1, x 3
Calculem les ordenades dels punts:
g 1 2(1) – 3 1 i g 3 2(3) – 3 3
Es creuen en els punts (1, –1) i (3, 3).
2.
Donada la funció f (x ) x 2 6x 8 , determina en quin interval és creixent i en quin interval és decreixent.
2
Com que el terme en x és positiu, és còncava cap amunt. L'abscissa del vèrtex de la paràbola és:
Vparàbola
b 6
3
2a 2 1
La funció és decreixent en l'interval (–∞, –3), i creixent en l'interval (–3, +∞).
3.
Hem traslladat la gràfica de la funció f (x ) x 2 dues unitats a la dreta i tres unitats avall. Escriu la fórmula
de la funció traslladada.
Per traslladar-la seguim aquest procés:
f (x) x 2 f (x) x 2 3 x 2 4x 4 3 x 2 4x 1
2
4.
Hem traslladat la gràfica de la funció f ( x )
3
cinc unitats a l'esquerra i dues amunt. Escriu la fórmula de
x
la funció traslladada.
Per traslladar-la seguim aquest procés:
f (x)
5.
3
3
3
2 x 5 3 2x 10 2x 13
f (x )
2
x
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
Troba les asímptotes verticals i horitzontals de les funcions racionals següents.
a) f ( x )
x 3
x 3
b) f ( x )
x
2x 1
a) L’asímptota vertical és la recta x = –3 i l'horitzontal és la recta y = 1.
b) L’asímptota vertical és la recta x
6.
1
1
i l'horitzontal és la recta y
.
2
2
x
Estudia el domini, el creixement i els extrems de la funció f ( x ) 2
x 2
si x 1
si x 1
El domini de la funció valor absolut i de la funció polinòmica són tots els nombres reals. Quan x = 1, s’obté:
2
f(1) = –1 + 2 = –1 + 2 = 1
Per tant, D(f) = ℝ.
226
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Un dibuix de la funció és:
(–, 0) i (1, +) la funció decreix. (0, 1) la funció creix.
Els punts d’abscissa x = 0 (mínim) i x = 1 (màxim) són els extrems.
7.
Representa gràficament la funció exponencial de base 3, f (x ) 3 x i dibuixa la seva simètrica respecte de la
recta y = x. De quina funció és tracta?
La funció simètrica de la funció exponencial és la funció logarítmica. En aquest cas, és la funció logaritme de base
3.
8.
2
Donada la funció f(x) = x , determina la fórmula de les altres funcions representades.
g(x) (x 5)2
9.
h(x) (x 4)2 3
i(x) (x 4)2 4
3
En un dipòsit hi ha al començament de mes 500 m d'aigua. Cada dia es consumeix un terç del que queda.
a) Calcula quanta aigua hi ha al dipòsit el dia x del mes.
b) Quants metres cúbics d’aigua tindrà passats 15 dies?
c) Quin dia tindrà la dècima part de la seva capacitat?
227
j(x) (x 6)2 2
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
a) Si es consumeix un terç cada dia vol dir que en queden dos terços:
Si t = 0, hi ha: Q = 500 m
3
Passat un dia t = 1, tenim: Q = Q
Si t = 2, en queden: Q
2
500 .
3
2
3
500 m
3
22
3
500 m
33
x
2
3
Passats t = x dies, en queda: Q 500 m
3
15
2
b) Passats 15 dies, tindrà: 500 0,00228 500 1,14m3
3
x
x
x
500
1
1
2
2
2
2
c) 500
log log
x log 1 x 5,67 . Entre el cinquè i el sisè dia.
10
10
10
3
3
3
3
10. Representa gràficament una funció amb les característiques següents:
·
El seu domini és D = ℝ – {1}, i el seu recorregut és R = ℝ – {1}
·
Talla l’eix horitzontal en un punt: (–1, 0).
·
És sempre decreixent.
(–1, 0)
228
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Relaciona i contesta
Tria l'única resposta correcta en cada cas
1.
Hem traslladat la funció f ( x )
3
tres unitats a l'esquerra i 4 amunt. La fórmula de la funció traslladada
x 2
és:
A. f ( x )
3
4
x 5
B. f ( x )
7
x 1
C. f ( x )
4x 7
x 1
D. Cap de les anteriors
Per traslladar-la seguim aquest procés:
f (x)
3
3
3
4 x 1 3 4x 4 4x 7
f (x)
4
x 2
x 3 2
x 1
x 1
x 1
x 1
Resposta C.
2.
La funció f ( x )
x
té:
x
A. Una asímptota vertical en x = 0
B. És sempre constant i igual a 1
C. És decreixent i creixent amb un mínim a x = 0
D. No és contínua a x = 0
x
1 si x 0
x
Es desenvolupa f ( x )
x
x x
1 si x 0
x
No té cap asímptota, no és constant i no és ni creixent ni decreixent. En canvi, té una discontinuïtat de salt
finit
a
x = 0 (a l’esquerra del 0 val –1 i a la dreta val 1). La resposta correcta és la D.
3.
Una funció periòdica definida a ℝ pot ser creixent?
A. Sí.
B. No.
C. Només si és polinòmica.
D. Només si és trigonomètrica.
Si és periòdica ha d’anar repetint la mateixa forma. Una funció que és creixent en el període és possible
com la funció f(x) = tg x. La resposta és la D.
229
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
SOLUCIONARI
4.
UNITAT 7. TIPUS DE FUNCIONS
Si la funció exponencial f (x ) a x i la funció logarítmica f (x ) loga x són inverses, això vol dir:
A. Si el domini d’una són els nombres positius, el de l’altra són els nombres negatius.
B. Si una és creixent (decreixent), l’altra és decreixent (creixent).
C. Si una és creixent (decreixent), l’altra és creixent (decreixent).
D. Si una és contínua, l’altra no ho és.
La resposta correcta és la C. El motiu és que són simètriques respecte a la recta y = x. Si la gràfica d'una funció és
creixent, la seva simètrica respecte a la recta y = x també serà creixent. I al revés, si la gràfica d'una funció és
decreixent, la seva simètrica respecte a la recta y = x també serà decreixent. Es pot comprovar observant les
gràfiques corresponents.
Tria la relació correcta entre les dues afirmacions donades
5.
Sigui f(x) funció polinòmica.
1. La funció té exactament un màxim i un mínim i talla l'eix d'abscisses en tres punts.
2. f(x) és una funció polinòmica de tercer grau.
A. 1 2 però 2 ⇏ 1
B. 2 1 però 1 ⇏ 2
C. 1 2
D. Cap de les anteriors.
La resposta és la A. Si la funció talla en tres punts x = a, x = b i x = c l'eix d'abscisses, tenim: f(x) = (x – a) · (x – b) ·
(x – c), que és de grau tres. Com que és contínua i ha de passar pels tres punts sense interrupcions, entre els
zeros ha de tenir extrems. 1 2.
3
Però no és cert a l’inrevés; per exemple, f(x) = x només té un zero.
Elimina la dada innecessària per contestar
6.
Per calcular el vèrtex d’una paràbola d’equació f (x ) ax 2 bx c que passa per l’origen de coordenades
ens donen les dades següents:
1. El valor de a.
2. El valor de b.
3. El valor de c.
En aquestes circumstàncies la dada innecessària és:
A. La 1
B. La 2.
C. La 3.
D. Cap
Si passa per l’origen de coordenades, aleshores f(0) = c = 0. D’altra banda, l’abscissa del vèrtex és xv
Necessitem el valor de a i de b. La resposta correcta és la C.
230
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat
b
.
2a
