Matemáticas II
2ºBachillerato
Funciones
Límites de funciones
Continuidad
Matemáticas II
Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Índice de contenidos
1.
Conceptos previos. ............................................................................... 3
2.
Definición de función real de variable real. Dominio. ....................... 3
3.
Operaciones con funciones. ................................................................. 4
Función inversa: ............................................................................................... 4
Gráfica de funciones inversas: ......................................................................... 4
4.
Límite de funciones .............................................................................. 5
1.1 Límite de una función en un punto. ............................................................ 5
Límite finito en un punto. ............................................................................................. 5
Límites laterales ........................................................................................................... 5
Límites infinito en un punto. Asíntotas verticales ........................................................ 6
1.2 Límites en el infinito ................................................................................... 7
5.
Límite finito cuando x
....................................................................................... 7
Límite infinito cuando x
.................................................................................... 8
Cálculo de límites. Propiedades. ......................................................... 8
Resolución de indeterminaciones.................................................................... 10
4.
Función Continua. ............................................................................. 12
Funciones continuas. Operaciones con funciones continuas. ........................ 13
Continuidad en un intervalo............................................................................ 13
Discontinuidades. Clasificación de discontinuidades. ................................... 14
Página 2
Matemáticas II
1.
Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Conceptos previos.
Se denomina intervalo abierto de extremos a, b y se denota por ( a , b ) al siguiente conjunto de
números reales:
( a, b) {x
/a
x
b}
Se denomina intervalo cerrado de extremos a, b y se denota por [ a , b ] al siguiente conjunto de
números reales:
[ a, b] {x
/a
x
b}
Dado un punto x 0
, se denomina entorno de centro x 0 y de radio
E ( x 0 ) E ( x 0 , ) , al intervalo abierto de la forma: ( x 0
, x0
) . Es decir:
E ( x0 )
2.
E ( x 0 , ) {x
/ x0
x
x0
} {x
/ x
x0
0 , y de denota por
}
Definición de función real de variable real. Dominio.
Se llama función real de variable real a toda correspondencia que asigna a cada número real
perteneciente a un cierto conjunto D
un nuevo número real (y sólo uno), que recibe el nombre
de imagen del primero.
f :D
x
y
f ( x)
~
x, se denomina variable independiente.
~
y, se denomina variable dependiente.
El conjunto D, de números reales, para los que está definida la función se llama dominio de
la función y se denota por D f .
Df
{x
/ f ( x)
}
Se llama recorrido o rango de una función al conjunto de todas sus imágenes. Se representa
por f(D), o bien Im f.
Im f = { y
f ( x) / x
Df }
Se denomina gráfica de la función y
f (x ) , y se denota por G f , al siguiente conjunto de
puntos del plano:
Gf
{ ( x, y ) / y
f ( x ), x
Df }
Página 3
Matemáticas II
Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Gf
f(x)
x
3.
Operaciones con funciones.
-
Suma: ( f g )( x) f ( x) g ( x)
Producto: ( f g )( x) f ( x) g ( x)
-
Cociente:
-
Composición de funciones: ( f g )( x)
f
g
f ( x)
( x)
g ( x)
; g ( x)
0
f ( g ( x)),
( g f )( x)
g ( f ( x))
Función inversa:
Dada una función f, se llama inversa de f, y se denota por f 1 a otra función tal que:
f f
1
Id ,
f
1
f
Id , siendo Id:
x
id(x)=x
Una función es una correspondencia entre dos cantidades variables y, dentro de ciertos
límites, somos libres de elegir cuál de ellas va a desempeñar el papel de variable independiente.
Veamos un ejemplo:
El área de un cuadrado depende de la longitud del lado x, según la función. A = x2. Pero,
A
recíprocamente, podemos decir que el lado del cuadrado depende del área, según la función: x
Decimos que estas dos funciones son inversas entre sí. Representan la misma relación, pero
en cada caso se ha tomado como variable independiente a cada una de las dos magnitudes
relacionadas.
La inversa de la función f se representa por f-1
Gráfica de funciones inversas:
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas entre sí, respecto a la bisectriz de los
cuadrantes 1.º y 3.º.
Veamos algún ejemplo:
Sean f ( x )
2x
4
f 1 ( x)
x
2
2 . Si las representamos se tiene:
Página 4
Matemáticas II
4.
Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Límite de funciones
1.1 Límite de una función en un punto.
Límite finito en un punto.
Def.- Se dice que lim f ( x )
x
L , cuando para todo entorno de L, E (L, ) , se puede encontrar un
x0
entorno de x 0 , E ( x 0 , ) , tal que sí x
E ( x 0 , ) entonces f ( x)
E ( L, ) .
Es decir:
0,
/
0
x
x0
x x0
f ( x)
L
También :
0,
0
/ x0
x
L
x0
f ( x)
L
x x0
Nota: Observar que la definición de límite de una función en un punto prescinde de la definición de
la función en dicho punto.
Límites laterales
Límite lateral por la derecha de una función en un punto:
lim f ( x )
x
L:
0,
0
/
x
x0
x x0
0,
0
/ x0
x
x0
f ( x)
x0
x x0
Página 5
L
L
f ( x)
L
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Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Límite lateral por la izquierda de una función en un punto:
L:
lim f ( x )
x
0,
0
/
0,
0
/ x0
x
x0
x0
x x0
f ( x)
x
L
L
x0
f ( x)
L
x x0
Además, se cumple que:
Teorema.- La condición necesaria y suficiente para que el límite de f(x) cuando x x 0 exista y
valga L es que existan los límites laterales de f(x) en x 0 , sean iguales y coincidan con L. Es decir:
lim f ( x )
x
L
x0
lim f ( x )
lim f ( x )
x
x
x0
x0
Límites infinito en un punto. Asíntotas verticales
Def.- Se dice que: lim f ( x )
x
, cuando:
x0
M
0,
0
/
x
x0
x x0
M
0,
0
/ x0
x
f ( x)
M
f ( x)
x0
M
x x0
Def.- Se dice que: lim f ( x )
x
, cuando:
x0
M
0,
0
/
x
x0
x x0
M
0,
0
/ x0
x
f ( x)
M
f ( x)
x0
M
x x0
Nota: De forma análoga a lo visto en el caso de límites finitos en un punto, se podría dar la
definición de límites laterales infinitos en un punto.
Ejercicio:
Determina los límites de la función f ( x )
definida.
Página 6
8
x
2
7x
6
en los puntos en los que no está
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Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
1.2 Límites en el infinito
Límite finito cuando x
Se dice que lim f ( x )
L sí
K
0,
0 / x
K
f ( x)
L
x
3x
Ejemplo: y
x
1
2
3
...
10
...
100
...
1000
...
2
x
f(x)
5
4
3,66
.....
3,2
...
3,02
...
3,002
...
f
3
Para valores “grandes” de la variable x la gráfica de la función se acerca progresivamente a
la recta y = 3, hasta confundirse prácticamente con ella. Se dice que esta recta es asíntota horizontal
de la gráfica.
También podemos investigar el comportamiento de una función cuando la variable x se hace muy
grande pero negativa. En tal caso hablaremos de límite de la función cuando x tiende a “menos infinito”.
Se dice que lim f ( x )
x
L sí
0,
K
/ x
Página 7
K
f ( x)
L
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Funcións: Límites e continuidade
3x
Veamos algunos ejemplos: y
x
2º Bacharelato
2
x
f(x)
-1 1
-2 2
-3 2,33
... ...
-10 2,8
... ...
-100 2,98
... ...
-1000 2,998
...
...
3
-5
lim f (x )
3
x
Límite infinito cuando x
x 2 (Fig. 1)
Consideremos ahora la función f ( x )
Fig 2
Fig 1
Se dice que:
o
lim f ( x )
Sí
M
Sí
M
Sí
M
Sí
M
,
h
/ x
h
f ( x)
M
h
/ x
h
f ( x)
M
h
/ x
h
f ( x)
M
h
f ( x)
M
L2 .
L1 , L2
x
o
lim f ( x )
,
x
o
lim f ( x )
x
o
lim f ( x )
x
5.
,
,
h
/ x
Cálculo de límites. Propiedades.
Sean f, g dos funciones tales que: lim f ( x )
x
lim ( f
x
g )( x )
x0
lim ( f g )( x )
x
x0
L1
x0
L1 , lim g ( x )
x
x0
L2
L1 L2
Página 8
. Entonces se cumple que:
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Funcións: Límites e continuidade
lim
x
x0
f
g
L1
( x)
, siendo L 2
L2
lim ( k f )( x )
k L1
k
Si f(x)>0, lim f ( x )
g ( x)
x
x0
0 . Si L2
f
lim
0
x
g
x0
2º Bacharelato
( x)
L1
0
lim g ( x )
x
x
lim f ( x )
x0
x
x0
( L1 ) L2
x0
Si n es impar o si n es par y f (x ) 0 lim n f ( x )
x
Si a
0 y f (x )
0 , lim log a f ( x )
x
Si a
x
Nota:
n L
1
log a lim f ( x )
x0
lim f ( x )
0 lim a f ( x )
x0
x
log a L1
x0
a L1
a x x0
x0
Estos resultados son igualmente válidos cuando x
Si alguno de los límites L1 , L 2 o ambos toman el valor
Suma (diferencia):
, se tienen los siguientes resultados:
Producto
L
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
L
L
0
0
Cociente
L
L
(
) L
(
) L
(
) L
(
) L
y para límites laterales
0
0
0
Potencia
(
)
(
)
L
0
(
)L
L
0
(
)L
L
0
0
0
L
1
L
L 1
L
0
0
L 1
0
L
0
L
0
0
Como se puede observar, hay algunas operaciones que no hemos definido. A éstas que no hemos de
finido las llamaremos indeterminaciones y están reflejadas en la siguiente tabla:
Indeterminaciones
0
0
00
0
0
1
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Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Una indeterminación es el reconocimiento de que con solo conocer los límites de las funciones que
intervienen, no podemos asignar límite al resultado de la operación. Hay que efectuar una investigación más
profunda que nos permita llegar al valor de dicho límite.
Resolución de indeterminaciones.
Límite de funciones racionales: lim
x
i) Si Q ( x 0 )
P ( x)
x0 Q ( x )
P( x)
P( x0 )
x0 Q ( x )
Q( x0 )
0 , entonces lim
x
ii) Si Q ( x 0 ) 0 , pueden darse dos casos:
- P ( x 0 ) 0 . Entonces la fracción puede simplificarse dividiendo numerador y
denominador por x x 0 , y se tiene que:
lim
x
P ( x)
= lim
x0 Q ( x )
x
P1 ( x ) ( x
x0 Q ( x )
1
x0 )
(x
P1 ( x )
lim
x0 )
x
x0 Q ( x )
1
- P ( x 0 ) 0 . Entonces el límite es
. Puede ser distinto el límite a la izquierda y a
la derecha de x 0 . Para averiguarlo, se recomienda obtener los límites laterales.
Límite de funciones polinómicas.
lim a n x n
x
an 1 x n 1
.......... a1 x
lim a n x n
a0
x
.1
Límite de funciones racionales: indeterminación
lim
x
P( x)
Q ( x)
. Es preciso que x
Para resolver estas indeterminaciones es suficiente con dividir el numerador y el denominador por la
mayor potencia de x que aparezca en la expresión. Se obtiene el resultado siguiente:
,
lim
x
1. La indeterminación
an x
n
bm x
m
an 1x
n 1
bm 1 x
.......... a1 x
a0
a
.......... b1 x
b0
b
0,
m 1
engloba los cuatro casos:
,
-
,
-
Página 10
,
-
,
n
m
n
m
n
m
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Funcións: Límites e continuidade
0
Límites con radicales.
2º Bacharelato
. Suele desaparecer la indeterminación:
0
a) Multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del que tiene la raíz.
b) Mediante un cambio de variable.
3
Ejemplo: lim
x
1
x
1
1
x
0
Límites con radicales.
3
, empleando el cambio: 3 1 x
t
. Suele desaparecer la indeterminación dividiendo el numerador y el
denominador por la máxima potencia de x.
Límites de la forma: (
)
(
0
) . Se transforman en
o en
0
mediante operaciones convenientes.
Generalmente multiplicando y dividiendo por el conjugado.
Se resuelven de la siguiente forma:
lim
P( x)
Q ( x)
lim
x
Q ( x) ) ( P ( x)
x
Límites de la forma: lim f ( x )
x
( P( x)
P( x)
Q ( x) )
Q ( x)
, donde f ( x ) y g (x) son funciones racionales.
g ( x)
xo
La mejor forma de deshacer estas indeterminaciones es efectuar la operación (resta) y estudiar la
expresión resultante.
Límites de la forma: 0
. Se transforman en
0
0
o en
mediante operaciones convenientes.
Límites de la forma: 1 . El número e.
Como se sabe, e
lim 1
1
n
n
Siendo también: e
lim 1
n
n
; n
1
an
an
, donde a n
, cuando n
Una generalización del número e es la siguiente: e
lim 1
x
1
x
1
También es interesante el siguiente resultado:
lim (1
x
0
Página 11
x) x
e
x
; x
.
Matemáticas II
Funcións: Límites e continuidade
Asimismo, se puede demostrar que: e
lim
1
1
f ( x)
f ( x)
2º Bacharelato
1
f ( x)
; x
y que lim [1
f ( x)
f ( x )]
f ( x)
e
0
Para resolver indeterminaciones de la forma 1 , se reducen, mediante operaciones convenientes, a
expresiones en las que aparece el número e.
Un truco útil es el siguiente:
Si lim[ f ( x)] g ( x )
1 , entonces se tiene que: lim[ f ( x )] g ( x )
e lim[ f ( x ) 1] g ( x )
4. Función Continua.
Observa los siguientes ejemplos:
Determina a partir de la gráfica de la función: lim f ( x )
x
2
Una función f es continua en un punto x0 cuando:
Existe f(x0).
Existe el lim f ( x )
x
lim f ( x )
x
x0
x0
f ( x0 )
Ejercicio:
Dada la función f ( x )
2x
x
1
1
x
0
x
0
. Represéntala gráficamente y estudia su continuidad en el
punto x = 0.
Página 12
Matemáticas II
Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Una función es continua por la derecha en un punto x 0 cuando:
Existe f(x0).
Existe el lim f ( x )
x
lim f ( x )
x
x0
x0
f ( x0 )
Una función es continua por la izquierda en un punto x 0 cuando:
Existe f(x0).
Existe el lim f ( x )
x
lim f ( x )
x
x0
x0
f ( x0 )
Funciones continuas. Operaciones con funciones continuas.
Sean f y g dos funciones continuas en un punto x0, también son continuas en x0:
la función suma (o resta): f
la función producto: f g
la función cociente:
f
g
g
, siempre que g ( x 0 )
0
Si f es continua en x0 y g lo es en f ( x0 ) , entonces la función compuesta g ( f ( x)) es continua en
x0.
Continuidad en un intervalo
Una función se dice que es continua en un intervalo de
intervalo.
si es continua en todos los puntos de dicho
Continuidad de funciones elementales:
Las funciones elementales que utilizamos habitualmente son continuas en todos los puntos en los que
están definidas.
Así, por ejemplo, las funciones polinómicas,
f ( x)
an x n
trigonométricas ( f ( x) senx , f ( x ) cos x ), las exponenciales f ( x )
La función f ( x )
x , es continua en [0,
) , la función f ( x )
Página 13
an 1 x n 1
.......... a1 x
a 0 ; las
x
a , son continuas en todo
.
log a x es continua en (0,
) . Etc.
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Funcións: Límites e continuidade
2º Bacharelato
Discontinuidades. Clasificación de discontinuidades.
Def.- Una función es discontinua en un punto x 0 cuando dicha función no es continua en ese punto.
La continuidad de una función en punto exige tres condiciones; Por tanto, según que condición de
continuidad no se cumpla, las discontinuidades se pueden clasificar de la siguiente forma:
a)
Discontinuidad evitable:
Existe lim f ( x ) , pero no existe f(x0).
x
x0
L
x0
Existe lim f ( x ) , existe f(x0), pero lim f ( x )
x
x0
x
x0
f ( x0 )
f ( x0 )
L
x0
b) Discontinuidad de salto (inevitable):
De salto finito: Existen límites laterales en el punto x 0 , toman un valor real, pero son
distintos.
x0
De salto infinito: Alguno de los límites laterales (o los dos) en el punto x 0 toman el valor
infinito.
x0
c)
Otro tipo de discontinuidad inevitable es aquella en la que no es posible determinar alguno de los
límites laterales (o los dos) en el punto x 0 .
Ejemplo: f ( x ) cos
lim cos
x
0
x
x
no existe
Página 14
