teoria-exponentes (1)

Teoría de Exponentes y Criterios de Divisibilidad
(Versión Extendida)
1. Teoría de Exponentes
1.1 Definiciones Básicas
• Un exponente indica cuántas veces se multiplica un número (base) por sí
mismo
• Forma general: a^n, donde:
– a = base (número que se multiplica)
– n = exponente (número de veces que se multiplica la base)
• Terminología importante:
– Base: Número que se está potenciando
– Exponente: Número de veces que se multiplica la base
– Potencia: El resultado de la operación
Ejemplos básicos:
• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• 5� = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
• 10² = 10 × 10 = 100
1.2 Propiedades de los Exponentes (Explicación Detallada)
a) Multiplicación de potencias con igual base
• Regla: a^m × a^n = a^(m+n)
• Explicación: Al multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes
• Ejemplos detallados:
1. 2³ × 2� = 2� = 128
2. 3² × 3³ = 3� = 243
3. 5² × 5� × 5¹ = 5� = 78,125
b) División de potencias con igual base
• Regla: a^m ÷ a^n = a^(m-n)
• Explicación: Al dividir potencias de igual base, se restan los exponentes
• Ejemplos detallados:
1. 2� ÷ 2² = 2³ = 8
2. 10� ÷ 10� = 10² = 100
3. 3� ÷ 3³ = 3� = 243
c) Potencia de una potencia
• Regla: (am) n = a^(m×n)
• Explicación: Se multiplican los exponentes
1
• Ejemplos detallados:
1. (2³)� = 2¹² = 4,096
2. (5²)³ = 5� = 15,625
3. (3�)² = 3� = 6,561
d) Potencia de un producto
• Regla: (a × b)^n = a^n × b^n
• Explicación: Se distribuye el exponente a cada factor
• Ejemplos detallados:
1. (2 × 3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
2. (4 × 2)³ = 4³ × 2³ = 64 × 8 = 512
3. (5 × 2)� = 5� × 2� = 625 × 16 = 10,000
e) Exponente cero
• Regla: a� = 1 (para cualquier base a � 0)
• Explicación: Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual
a1
• Ejemplos:
1. 5� = 1
2. 1000� = 1
3. (2³)� = 1
f) Exponente negativo
• Regla: a^(-n) = 1/a^n
• Explicación: Un exponente negativo convierte la base en su recíproco
• Ejemplos detallados:
1. 2^(-3) = 1/2³ = 1/8 = 0.125
2. 10^(-2) = 1/10² = 1/100 = 0.01
3. 3^(-4) = 1/3� = 1/81 � 0.0123
g) Exponente fraccionario (NUEVO)
• Regla: a^(m/n) = �√(a^m)
• Explicación: El denominador indica la raíz y el numerador la potencia
• Ejemplos:
1. 8^(1/3) = ³√8 = 2
2. 16^(1/4) = �√16 = 2
3. 27^(2/3) = ³√(27²) = ³√729 = 9
2. Criterios de Divisibilidad (Explicación Extendida)
2.1 Divisibilidad por 2
• Regla principal: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par
• Dígitos que hacen un número divisible por 2: 0, 2, 4, 6, 8
2
• Explicación matemática: Se basa en que en el sistema decimal, cada posición representa una potencia de 10, y todas las potencias de 10 son divisibles por 2
• Ejemplos extendidos:
1. 124 (divisible por 2 porque termina en 4)
2. 3,678 (divisible por 2 porque termina en 8)
3. 12,345 (no divisible por 2 porque termina en 5)
2.2 Divisibilidad por 3
• Regla principal: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es
divisible por 3
• Explicación matemática: Se basa en que 10 � 1 (mod 3), por lo que cada
posición decimal tiene el mismo residuo al dividir por 3
• Proceso detallado:
1. Sumar todos los dígitos
2. Si la suma es grande, volver a sumar sus dígitos
3. El número es divisible por 3 si el resultado final es divisible por 3
• Ejemplos detallados:
1. 153 → 1 + 5 + 3 = 9 (divisible por 3)
2. 1,234,567 → 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 → 2 + 8 = 10 (no
divisible por 3)
3. 999,999 → 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 → 5 + 4 = 9 (divisible por
3)
2.3 Divisibilidad por 4
• Regla principal: Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos
forman un número divisible por 4
• Explicación matemática: Se basa en que 100 es divisible por 4, por lo que
solo los últimos dos dígitos son relevantes
• Números de dos dígitos divisibles por 4: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, …, 96
• Ejemplos extendidos:
1. 1,524 → 24 es divisible por 4, por lo tanto 1,524 es divisible por 4
2. 2,800 → 00 es divisible por 4, por lo tanto 2,800 es divisible por 4
3. 1,523 → 23 no es divisible por 4, por lo tanto 1,523 no es divisible
por 4
2.4 Divisibilidad por 5
• Regla principal: Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5
• Explicación matemática: Se basa en que en el sistema decimal, cada posición excepto la última representa un múltiplo de 10 (que es divisible por
5)
• Ejemplos detallados:
1. 125 (divisible por 5)
2. 1,000 (divisible por 5)
3
3. 123 (no divisible por 5)
4. 12,345 (divisible por 5)
2.5 Divisibilidad por 6
• Regla principal: Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3
simultáneamente
• Proceso de verificación:
1. Verificar si el número es par (divisible por 2)
2. Verificar si la suma de sus dígitos es divisible por 3
3. Si cumple ambas condiciones, es divisible por 6
• Ejemplos detallados:
1. 126:
– Es par (divisible por 2)
– 1 + 2 + 6 = 9 (divisible por 3)
– Por lo tanto, es divisible por 6
2. 324:
– Es par (divisible por 2)
– 3 + 2 + 4 = 9 (divisible por 3)
– Por lo tanto, es divisible por 6
3. 124:
– Es par (divisible por 2)
– 1 + 2 + 4 = 7 (no divisible por 3)
– Por lo tanto, no es divisible por 6
2.6 Divisibilidad por 7
• Regla principal: Método de separación y resta
• Proceso detallado:
1. Separar el último dígito
2. Multiplicarlo por 2
3. Restarlo del número formado por los dígitos restantes
4. Si el resultado es divisible por 7, el número original también lo es
• Ejemplos detallados:
1. 133:
– Separar: 13 | 3
– 3×2=6
– 13 - 6 = 7
– 7 es divisible por 7, por lo tanto 133 es divisible por 7
2. 259:
– Separar: 25 | 9
– 9 × 2 = 18
– 25 - 18 = 7
– 7 es divisible por 7, por lo tanto 259 es divisible por 7
4
2.7 Divisibilidad por 8
• Regla principal: Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos
forman un número divisible por 8
• Explicación matemática: Se basa en que 1000 es divisible por 8
• Ejemplos detallados:
1. 1,240:
– Últimos tres dígitos: 240
– 240 ÷ 8 = 30 (exacto)
– Por lo tanto, 1,240 es divisible por 8
2. 9,000:
– Últimos tres dígitos: 000
– 000 es divisible por 8
– Por lo tanto, 9,000 es divisible por 8
3. 1,234:
– Últimos tres dígitos: 234
– 234 no es divisible por 8
– Por lo tanto, 1,234 no es divisible por 8
2.8 Divisibilidad por 9
• Regla principal: Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es
divisible por 9
• Proceso detallado:
1. Sumar todos los dígitos
2. Si la suma es mayor que 9, volver a sumar los dígitos
3. Continuar hasta obtener un solo dígito
4. Si el resultado es 9, el número es divisible por 9
• Ejemplos detallados:
1. 153:
– 1+5+3=9
– 9 es divisible por 9, por lo tanto 153 es divisible por 9
2. 99,999:
– 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45
– 4+5=9
– 9 es divisible por 9, por lo tanto 99,999 es divisible por 9
3. 12,345:
– 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
– 1+5=6
– 6 no es divisible por 9, por lo tanto 12,345 no es divisible por 9
3. Ejemplos Prácticos Resueltos (Ampliados)
Ejemplo 1: Exponentes Complejos
Simplificar: ((2³ × 2�) ÷ 2²)³ 1. Primero resolvemos el paréntesis interior: 2³
× 2� = 2� 2. Realizamos la división: 2� ÷ 2² = 2� 3. Aplicamos el exponente
5
exterior: (2�)³ = 2¹� 4. Calculamos el resultado final: 2¹� = 32,768
Ejemplo 2: Divisibilidad Múltiple
Determinar si 23,814 es divisible por 2, 3, 6 y 9:
1. Divisibilidad por 2:
• Termina en 4 (par)
• Es divisible por 2 �
2. Divisibilidad por 3:
• 2 + 3 + 8 + 1 + 4 = 18
• 18 es divisible por 3
• Es divisible por 3 �
3. Divisibilidad por 6:
• Es divisible por 2 y por 3
• Por lo tanto, es divisible por 6 �
4. Divisibilidad por 9:
• 2 + 3 + 8 + 1 + 4 = 18
• 1+8=9
• Es divisible por 9 �
Ejemplo 3: Aplicación Combinada de Exponentes y Divisibilidad
Determinar si 2� × 3� es divisible por 8:
1. Calculamos 2�:
• 2� = 64
2. Calculamos 3�:
• 3� = 81
3. Multiplicamos:
• 64 × 81 = 5,184
4. Verificamos divisibilidad por 8:
• Últimos tres dígitos: 184
• 184 ÷ 8 = 23 (no es exacto)
• Por lo tanto, 5,184 no es divisible por 8
Ejemplo 4: Problema Práctico de Aplicación
En una fábrica, las piezas se empaquetan en cajas de 2, 3, 4, 6 y 8 unidades. Si
se han producido 144 piezas, ¿en qué tamaños de cajas se pueden empaquetar
sin que sobre ninguna pieza?
1. Verificamos divisibilidad de 144:
• Por 2: 144
6