Universidad Técnica de Manabí. INSTITUTO DE CIENCAS BASICAS Materia: Algebra Lineal Docente: Ing. Jose Autonio Sarmiento Alumno: Scarleth Beatriz Falconez Anchundia Tema: Aplicaciones de las matrices Periodo: Abril-agosto 2024 Introducción Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal. Toda matriz se representa por medio de una letra mayúscula, y sus elementos se reúnen entre dos paréntesis o corchetes, en letra minúscula. A su vez, tienen doble superíndice: el primero hace referencia a la fila y el segundo a la columna a la que pertenece. Esta expresión matemática puede sumarse, multiplicarse y descomponerse, por lo que su uso es común en el álgebra lineal. Son herramientas matemáticas fundamentales que permiten modelar y resolver problemas complejos en diversos campos, incluyendo la Ingeniería Industrial. Estas estructuras numéricas facilitan la representación, manipulación y análisis de datos relacionados con sistemas lineales y no lineales, optimización de procesos, programación lineal, modelado de sistemas productivos y análisis de redes. La utilidad de las matrices en esta disciplina radica en su capacidad para simplificar cálculos complejos y estructurar datos de manera eficiente, lo cual es esencial para tomar decisiones basadas en datos. Objetivos Generales Explorar las principales aplicaciones de las matrices en la Ingeniería Industrial Objetivos Específicos • Analizar ejemplos prácticos que demuestren su uso en optimización. • Comprender cómo las matrices mejoran la eficiencia y precisión en la toma de decisiones industriales MARCO TEORICO Definición de Matriz Una matriz es un arreglo bidimensional de números o símbolos distribuidos en filas y columnas, que se utiliza para representar sistemas matemáticos o relaciones entre variables. Matemáticamente, una matriz A de orden 𝑚×𝑛 m×n se define como: Propiedades Relevantes Adición y sustracción: Utilizadas para combinar o comparar datos de diferentes sistemas. Multiplicación matricial: Clave en la composición de transformaciones y análisis de flujos. Determinantes e inversas: Fundamentales para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aplicaciones en Ingeniería Industrial Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Los problemas de balance de masa, energía y flujo en sistemas productivos suelen expresarse como sistemas de ecuaciones lineales. Utilizando matrices, estos sistemas pueden resolverse mediante métodos como la eliminación de Gauss o matrices inversas. Ejemplo: Un sistema de producción tiene tres máquinas M1,M2,M3M_1, M_2, M_3M1,M2,M3 con las siguientes restricciones de operación Programación Lineal La programación lineal utiliza matrices para estructurar problemas de optimización en términos de restricciones y funciones objetivo. Ejemplo: Maximizar la función de utilidad Z=5x1+3x2Z = 5x_1 + 3x_2Z=5x1+3x2, sujeto a las restricciones: Esto se representa en forma matricial como: Maximizar: Z=cTx,Sujeto a: Ax≤b Modelos de Cadenas de Markov En el análisis de inventarios, mantenimiento predictivo y control de calidad, las cadenas de Markov representan estados y probabilidades de transición mediante matrices estocásticas. Ejemplo: Si un sistema tiene tres estados posibles S1,S2,S3 , la matriz de transición PPP puede ser: Tipos de Matrices Relevantes en Ingeniería Industrial Matriz Cuadrada: Tiene el mismo número de filas y columnas. Es fundamental en el cálculo de determinantes, la obtención de inversas y el análisis de sistemas dinámicos. Ejemplo: Matriz de costos de transporte entre centros de distribución. Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. Simplifica cálculos en modelos de redes o sistemas lineales. Ejemplo: Representación de capacidades máximas de máquinas en una línea de producción. Matriz Transpuesta: Se obtiene al intercambiar filas por columnas. Es utilizada para transformar datos y facilitar cálculos en análisis de sensibilidad. Ejemplo: En análisis de métodos de trabajo, facilita la comparación entre tiempos estándar y tiempos observados .Matriz Inversa: Utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Existe únicamente si el determinante de la matriz es diferente de cero. Ejemplo: Optimización de mezclas de productos. Matriz Estocástica: Representa probabilidades de transición entre estados. Es clave en cadenas de Markov y simulaciones estocásticas. Propiedades de las Matrices Multiplicación por un escalar: Cada elemento de la matriz se multiplica por un número fijo. Uso: Ajustar proporciones de producción o costos unitarios. Multiplicación de matrices: Combina dos matrices para obtener información consolidada. Uso: Análisis de redes de transporte o costos acumulados en cadenas de suministro. Determinante: Escalar que describe propiedades de una matriz cuadrada. Es útil para evaluar la solvencia de sistemas de ecuaciones. Uso: Verificar la factibilidad de modelos de programación lineal. Traza: Suma de los elementos de la diagonal principal. Representa características específicas de matrices cuadradas. Uso: En modelado de sistemas de inventarios o costos fijos. CONCLUSION Las matrices son instrumentos fundamentales en la Ingeniería Industrial, dado que facilitan el modelado y la resolución eficaz de problemas complejos. Desde la optimización de recursos hasta el estudio de sistemas en constante cambio, su adaptabilidad y exactitud aportan de manera considerable a la optimización de procesos y la toma de decisiones fundamentada en datos. BIBLIOGRAFIA • Bronson, R. (2011). Matrices and Linear Algebra. Schaum's Outline Series. • Winston, W. L. (2004). Operations Research: Applications and Algorithms. Duxbury Press. • Lay, D. C. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson Education.
