ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

E SCUELA P OLITÉCNICA NACIONAL
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
YANDIRA C UVERO
[email protected]
2024
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Índice general
1 Introducción
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definición y terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Clasificación de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tipo de ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Orden de una Ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Linealidad de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Soluciones de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Solución Homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Conjunto Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Solución singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Problemas a valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Dinámica poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Decaimiento radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Crecimiento de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Eliminación de un medicamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Campos direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
7
7
8
8
9
10
11
11
13
14
15
17
17
18
18
18
19
2 EDO de primer orden
2.1 Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ecuaciones autónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
21
22
25
30
2
Índice general
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2.5
Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Ecuaciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
31
32
3 Anexos
3.1 Tabla de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Principales derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Derivación en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Caso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Caso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.7 Caso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.8 Caso 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Resumen de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Condiciones suficientes para la existencia . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .
34
34
34
35
35
36
37
37
37
37
37
37
38
38
38
38
39
39
39
40
3
1
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Introducción
1.1.
Preliminares
Definición 1. Sean A y B conjuntos, f : A → B es una función de A y B si a cada x ∈ A le
corresponde un único elemento de B.
Definición 2. Sea I ∈ R y f : I → R es continua en a ∈ R si
lı́m f (x) = f (a).
x→a
Definición 3. Sea f : I → R es continua en I si es continua en todos los puntos de I, donde
I es un intervalo de R.
Observación. Notamos al conjunto de funciones f : I → R continuas mediante C (I).
Ejemplo 1. Son continuas en su dominio:
1. Las funciones polinomiales.
2. Las funciones racionales.
3. Las funciones trigonométricas.
4. La función exponencial.
5. La función logaritmo.
Definición 4. Sea f ∈ C (I), la derivada de f en x se nota por
f (x + h) − f (x)
f (x) − f (a)
= lı́m
= f 0 (x)
x→a
h→0
x−a
h
lı́m
Definición 5. Sea f ∈ C (I) y una vez derivable, la derivada de f con respecto a x es es una
función
y 0 : I −→ R
x 7−→ f 0 (x)
4
1 Introducción
Observación. Notamos al conjunto de funciones f : I → R continuas una vez derivables
mediante C 1 (I).
Definición 6. Sea y ∈ C n (I), notaremos las derivadas de orden superior de acuerdo a su
orden como:
Notación
Primera derivada
Segunda derivada
Tercera derivada
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Cuarta derivada
n-ésima derivada
Leibniz
dy
dx
d2 y
dx2
d3 y
dx3
d4 y
dx4
..
.
dn y
dxn
Lagrange
Newton
y0
ẏ
y
y
00
ÿ
...
y
000
y (4)
..
.
y (n)
Observación. Notaremos el conjunto de funciones f : I → R continuas n−veces derivables
mediante C n (I).
Definición 7. Sea f : R2 → R, entonces
∂f
1. La derivada parcial de f con respecto a x, se nota
y se obtiene al derivar f consi∂x
derando x como variable y y como una constante.
2. La derivada parcial de f con respecto a y, se nota
∂f
y se obtiene al derivar f consi∂y
derando y como variable y x como una constante.
Observación. Las siguientes notaciones son equivalentes:
∂f
,
∂x
∂
f,
∂x
D1 f,
Ejemplo 2. Calcule
1.
∂f ∂f
y
, si f (x, y) = sen(x) + cos(y).
∂x ∂y
2.
∂g ∂g
y
, si g(x, y) = yex + x3 y 2 .
∂x ∂y
3.
∂h ∂h
y
, si h(x, y) = ex sen(3xy) .
∂x ∂y
5
∂x f
y
fx .
1 Introducción
4.
∂u ∂u
y
, si u(x, y) = cos(3x + y) + exy .
∂x ∂y
5.
∂v ∂v
y
, si v(x, y) = (xt2 + 3x)5 + 6t.
∂x ∂y
1.2.
Definición y terminología
Definición 8. Sea f ∈ C (I), donde
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f : I −→ R
x 7−→ f (x)
decimos que y = f (x) es una variable dependiente de x, si su valor varia o depende del valor
que toma x.
Observación. Si no se indica explícitamente la variable dependiente como función de la variable dependiente, se asumirá que x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
Ejemplo 3. Determine las variables dependientes e independientes en cada caso:
1. y(x) = sen(x)
2. w(x) = x2 + 5
3. z(y) = 5ey + 10
4. h00 + h0 = 5ey + 10
5.
dw
= 5ex + 10
dx
Definición 9. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contiene una o más
variables.
Ejemplo 4. Las siguientes son ejemplos de ecuaciones:
1. 3x + 5 = 0
2. y = e8x
2
3. x2 + y 2 = 25
4. x + 5xy = sen(x)
Definición 10. Se denomina ecuación diferencial (ED ) a la ecuación que contiene derivadas
de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.
Ejemplo 5. Las siguientes son ejemplos ecuaciones diferenciales
6
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
1 Introducción
1.
dy
+ 5y = ex
dx
2.
d2 y dy
+ 6y = 0
+
dx2 dx
3.
dx dy
+
= 2x + y
dt
dt
4.
∂ 2y
∂ 2u
∂u
=
−
2
∂x2
∂t2
∂t
5.
∂v
∂u
=−
∂y
∂x
1.2.1.
Clasificación de ecuaciones diferenciales
ED
Tipo
EDO
Linealidad
Lineal
EDP
No lineal
Orden
1er orden
1.2.2.
2do orden
3er orden
...
n-ésimo
orden
Tipo de ecuación diferencial
Definición 11. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO ) que tiene derivadas de una o más
variables dependientes respecto a una sola variable independiente.
Definición 12. Una ecuación diferencial parcial (EDP ) que involucra derivables parciales
de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.
Ejemplo 6. Clasifique las siguientes ecuaciones como EDO o EDP .
1.
dy
+ 5y = ex
dx
2.
∂ 2y
= e5t
∂x2
7
1 Introducción
d2 y
3.
+5
dx2
dy
dx
3
− 4y = ex
4.
dx dy
+
= 2x + y
dt
dt
5.
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
1.2.3.
Orden de una Ecuación diferencial
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Definición 13. El orden de una ED es la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Observación. Podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n−ésimo orden como:
(1.1)
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0
donde F es una función con valores reales de n + 2 variables
x, y, y 0 , . . . , y (n) .
Ejemplo 7. Determine el orden de las siguientes ED :
dy
+ 5y = ex
dx
3
d2 y
dy
2.
+5
− 4y = ex
2
dx
dx
1.
3.
∂w ∂w
+
− w3 + w = 0
∂t
∂x
4.
∂ 5u
∂v
=
−
∂y 5
∂x
1.2.4.
Linealidad de una ecuación diferencial
Definición 14 (EDO lineal). Se dice que una ED de n-ésimo orden es lineal si es de la forma
a0 (x)y + a1 (x)
dy
dn−1 y
dn y
+ . . . + an−1 (x) n−1 + an (x) n + g(x) = 0
dx
dx
dx
es decir si:
1. la variable dependiente y, y sus derivadas son de primer grado.
2. la variable dependiente y, y sus derivadas no se componen con otra función.
3. los coeficientes a0 , a1 , . . . , an ∈ C (I) dependen solamente la variable independiente x.
8
1 Introducción
Ejemplo 8. Indique si la ecuación es lineal o no lo es:
1. a1 (x)
dy
+ a0 (x)y = g(x) es la ecuación lineal de primer orden.
dx
2. 3xy 0 + 5ex y = 12 ln(x)
3. a2 (x)
d2 y
dy
+ a0 (x)y = g(x) es la ecuación lineal de segundo orden.
+
a
(x)
1
dx2
dx
4. cos(x)y 00 + sen(x)y = 8
5.
d2 y
+ sen(y) = 0
dx2
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6. (1 − y)y 0 + 2y = ex
7. y 00 − 2y 0 + y = 0
8. x3
9.
1.3.
d3 y
dy
+ x − 5y = ex
3
dx
dx
d4 y
+ y2 = 0
dx4
Soluciones de una EDO
Explícitas
Forma
Implícitas
Solución de una EDO
Uniparamétrica
General
p-paramétrica
Singular
Recordemos que una ecuación tiene por solución aquellos valores que la verifican, sucede
lo mismo con las ecuaciones diferenciales.
Definición 15. Sea F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0 una EDO . Se dice que tiene solución, si existe
una función ϕ : I → R tal que:
1. ϕ ∈ C n (I)
2. F x, ϕ(x), ϕ0 (x), . . . , ϕ(n) (x) = 0 para todo x ∈ I.
9
1 Introducción
Observación. Es decir, al sustituir la función ϕ y sus derivadas en la ecuación diferencial la
ecuación se verifica.
Definición 16 (Dominio de la solución). Sea a, b ∈ R, notemos por I a el dominio de la
solución de la EDO F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0, este intervalo puede ser abierto, cerrado o
infinito.
Observación.
I también se lo llama: intervalo de definición, intervalo de existencia o intervalo de validez
de la EDO .
Ejemplo 9. Verifique que la función dada es la solución de la EDO .
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
1. y =
dy
1 4
x en I = R es solución de
= xy 1/2 .
16
dx
2. y = xex en I = R es solución de y 00 − 2y 0 + y = 0.
1
en I = (0, +∞) es solución de xy 0 + y = 0
x
3
en I = −∞, − 23 es solución de y 0 = −3y
4. y = −
3x + 2
3. y =
1.3.1.
Solución Homogénea
Definición 17 (EDO lineal Homogénea). La F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0 una EDO lineal. Se
dice homogénea si y = 0 es solución de la EDO , de lo contrario se dice que la EDO es no
homogénea.
Ejemplo 10. Indique si la ecuación es homogénea o no lo es:
1.
d2 y
+y =0
dx2
2. ex y 0 + 2y = ex
3. y 00 − 2y 0 + y = sen(x) + 3y
d3 y
dy
+ x − 5y = ex
3
dx
dx
(
10 x < 5
d4 y
5.
+ y 2 − 10 =
4
dx
0 x≥5
4. x3
10
1 Introducción
1.3.2.
Forma
Definición 18 (Solución explícita). A una solución en la cual la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente se la como solución explícita.
Ejemplo 11. Las siguientes son soluciones explícitas de EDO .
1. y =
1 4
x
16
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
2. y = xex
3. y =
1
x
4. y =
1
x2 + 2
Definición 19 (Solución implícita). Se dice que una relación G(x, y) = 0 es una solución
implícita de
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0
en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función ϕ que satisface la relación así
como la ecuación diferencial.
Observación. El estudio de este tipo de soluciones está fuera del alcance de este curso.
Ejemplo 12. Las siguientes son soluciones implícitas de EDO .
1. sen(x + y) = 10y
2. ey + 5x = 3 ln(y)
3. La EDO
1.3.3.
dy
x
= − tiene por solución a x2 + y 2 = 25 en I = (−5, 5).
dx
y
Conjunto Solución
Definición 20. Dada la EDO F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0, el conjunto solución de la EDO es el
conjunto de todas las soluciones de la EDO .
Proposición 1.1
El conjunto solución de la EDO F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0 es un espacio vectorial de
dimensión n.
Definición 21 (Solución general). Si g ∈ C n (I) es solución de F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0, se
dice que g es una solución general de la EDO si es la combinación lineal de n soluciones
linealmente independientes de la EDO .
11
1 Introducción
Observación. Dentro de la solución general existen C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R constantes arbitrarias.
Ejemplo 13. Determine la solución general de y 0 = y en I = R.
Definición 22 (Familia de soluciones uniparamétrica). Sea c ∈ R y
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0,
Una familia uniparamétricai G(x, y, c) = 0 es solución uniparamétrica de la EDO que depende de c ∈ R en el intervalo I.
Ejemplo: G(x, y, c) = cx.
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Definición 23 (Familia de soluciones p−paramétrica). Sea c1 , c2 , . . . , cp ∈ R y
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0
Una familia p−paramétrica G(x, y, c1 , c2 , . . . , cp ) = 0 es una solución de EDO que depende
de los valores de c1 , c2 , . . . , cp en el intervalo I.
Ejemplo: G(x, y, c1 , c2 ) = c1 ex + c2 xex .
Ejercicio 1. Indique el tipo de familia de soluciones:
1. y 0 − y = 0 cuyo solución
y = cex .
2. xy 0 − y = x2 sen(x) cuya solución es
y = cx − x cos(x)
donde c ∈ R.
3. y 00 − 2y 0 + y = 0 cuya solución es
y = c1 ex + c2 xex .
donde c1 , c2 ∈ R.
4. x00 + 16x = 0 cuya solución es
x = c1 cos(4t) + c2 sen(4t)
donde c1 , c2 ∈ R.
Definición 24 (Solución particular). Una solución particular es una solución de
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0
que toma valores específicos de la solución particular.
12
1 Introducción
Ejemplo 14. Demuestre que las siguientes son soluciones particulares de la EDO correspondiente
1. y 00 − 2y 0 + 5y = 0 tiene como solución particular a
y = 3ex cos(2x) + ex sen(2x).
2. (y 0 )2 = 9xy tiene como solución particular a
(
0 x<0
y=
x3 x ≥ 0
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
1.3.4.
Solución singular
Definición 25 (Solución singular). Una solución singular es una solución de
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0
que no pertenece a la familia de soluciones.
Observación.
• También se le suele llamar solución particular.
• No tiene constantes arbitrarias.
Ejemplo 15. Considere la EDO
dy
= xy 1/2
dx
tiene por familia de solución a
y=
1 2
x +c
4
2
con c ∈ R en el intervalo I = R. y = 0 es una solución singular de la EDO .
Ejercicio 2. Demuestre que las siguientes son soluciones particulares de la EDO correspondiente
1. y 00 − 2y 0 + 5y = 0 tiene como solución particular a
y = 3ex cos(2x) + ex sen(2x).
2. (y 0 )2 = 9xy tiene como solución particular a
(
0 x<0
y=
x3 x ≥ 0
13
1 Introducción
Definición 26 (Curva solución). Si y : I → R es solución de la EDO
F x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0
entonces la gráfica de y se llama curva solución.
1.4.
Problemas a valores iniciales
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Definición 27 (Forma normal). Sea y ∈ C n (I), la ecuación diferencial ordinaria presentada
en la forma
dn y
= F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) )
(1.2)
n
dx
se conoce como forma normal de la EDO .
Observación. La forma normal implica despejar la derivada de mayor grado.
Ejercicio 3. Escriban cada EDO en su forma normal
1.
dy
+ 5y = ex
dx
2. 4xy 0 + y = x
3. y 00 − y 0 + 6y = 0
Definición 28 (Problema a valores iniciales). Sea I un intervalo en R y x0 ∈ I, buscamos
resolver

dn y


= F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) )

n

dx



y(x0 ) = y0
y 0 (x0 ) = y1


..


.


 (n−1)
y
(x0 ) = yn−1
se llama problema a valores iniciales (PVI) en el n-ésimo orden.
Observación.
1. Los valores de y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 se llaman condiciones
iniciales (CI).
2. Resolver esta clase de problemas en general implica:
a) Encontrar una familia n−paramétrica de soluciones.
b) Usar las condiciones para determinar las constantes de la familia de soluciones.
Ejemplo 16. Considere los siguientes PVI
14
1 Introducción
1. PVI de primer orden
dy
= F (x, y)
dx
y(x0 ) = y0
(
2. PVI de segundo orden
d2 y
= F (x, y, y 0 )
dx2
0 ) = y0

 y(x
y 0 (x0 ) = y1



En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Ejercicio 4. Encuentre la solución al PVI propuesto
( dy
=y
dx
1.
y(0) = 8
2.
donde la solución de la EDO es y = cex con c ∈ R.
( dy
=y
dx
y(1) = −2
cuya familia de soluciones es y = cex con c ∈ R.
0
y + 2xy 2 = 0
3.
y(0) = −1
cuya familia de soluciones es y =
1
x2 + c
con c ∈ R.
 00
 x + 16x = 0
x π2 = −2
4.

x0 π2 = 1
cuya familia de soluciones es x = c1 cos(4t) + c2 sen(4t). con c1 , c2 ∈ R.
1.4.1.
Existencia y unicidad
Dado el PVI de primer grado


dy
= f (x, y)
dx
 y(x ) = y
0
0
nos podemos preguntar sobre la existencia de la solución, es decir,
1. ¿La EDO
dy
= f (x, y) tiene solución ?
dx
2. ¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto (x0 , y0 )?
15
1 Introducción
o sobre la unicidad de la solución, es decir, ¿bajo qué condiciones podemos estar seguros que
hay una y solo una solución para el PVI?
Para responder a estas preguntas, utilizamos el siguiente teorema:
Teorema 1: Existencia y unicidad
Sea I × J un región rectangular en el plano xy y el PVI de primer orden

dy

= f (x, y)
dx

y(x0 ) = y0
Si
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
• f es continua y acotada en I × J,
•
∂f
es continua y acotada en I × J, y
∂y
• el punto (x0 , y0 ) ∈ I × J;
entonces existe una función y que es solución única del problema a valores iniciales en
la región I × J.
Demostración. Para comprender la demostración se requieren conocimientos de análisis matemático, y la demostración contempla la resolución de un problema de punto fijo.
Ejercicio 5. Determine la existencia de solución de los siguientes PVI:

(
√
 dx = √9 − x2 + tan(t)
y 0 = −2xy 2 + x − 2
1.
dt
6.
y(0) = −1

x(1) = 1

dy

= xy 1/2

dx
2.

 dx = √9 − x2 + tan(t)
y(0) = 0
dt
7.


dy
x(2) = 3

= xy 1/2 + ln(x)
dx
3.


y(3) = 4
 dx = √9 − x2 + tan(t)

dt
8.
 dv = t

v
x(3) = 2
dt
4.

v(2) = 1


√
dv
dw


t
=v
= w2 − 16
dt
dy
5.
9.


w(10) = −5
v(−5) = 4
16
1 Introducción
1.5.
Ecuaciones diferenciales como modelos
matemáticos
Hipótesis
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Comprobación
las predicciones
del modelo
Formulación
matemática
Obtener solución
Definición 29. Se dice que dos variables x, y son proporcionales si existe un k > 1 tal que
y = kx
y se nota como y ∝ x.
Definición 30. Se dice que dos variables x, y son inversamente proporcionales si existe un
k > 1 tal que
1
y=k
x
1
y se nota como y ∝ .
x
1.5.1.
Dinámica poblacional
(
dP
= kP
dt
P (0) = P0
donde
1. t representa el tiempo, t > 0.
2. P (t) la población en el instante t.
17
1 Introducción
3.
dP (t)
crecimiento de la población en t.
dt
4. k ∈ R la constante de proporcionalidad.
1.5.2.
Decaimiento radioactivo



dA
= kA
dt


A(0) = A0
donde
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
1. t representa el tiempo, t > 0.
2. A(t) cantidad de sustancia que queda al instante t.
3.
dA(t)
la razón con la que los núcleos de una sustancia se desintegran.
dt
4. k ∈ R la constante de proporcionalidad.
1.5.3.
Crecimiento de capital



dS
= rS
dt


S(0) = S0
donde
1. t representa el tiempo, t > 0.
2. S(t) capital en t.
3.
dS(t)
crecimiento de capital.
dt
4. r interés compuesto anual r > 0.
1.5.4.
Eliminación de un medicamento



dM
dt


M (0) = M0
donde
18
= pM
1 Introducción
1. t representa el tiempo, t > 0.
2. S(t) capital en t.
3.
dS(t)
crecimiento de capital.
dt
4. r interés compuesto anual r > 0.
1.6.
Campos direccionales
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Recordemos que una solución derivable y = y(x) da las pendientes de las rectas tangentes
en puntos de la gráfica. Las pendientes están dadas por
dy
= f (x, y)
dx
es necesariamente una función derivable en su intervalo de definición I, debe también ser
continua en I.
Si evaluamos sistemáticamente a f en una cuadrícula rectangular de puntos en el plano xy
y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y) de la cuadrícula con pendiente f (x, y), entonces el conjunto de elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes
dy
= f (x, y).
de la ecuación diferencial
dx
Ejercicio 6. Determine el campo direccional de las siguientes ecuaciones:
dy
= −1
dx
dy
2.
= 3x
dx
1.
3.
19
dy
= cos(x)
dx
2
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
EDO de primer orden
2.1.
Ecuaciones separables
Definición 31. Una EDO de primer orden de la forma
dy
= g(x)h(y).
dx
Se dice que es separable o tiene variables separables.
Ejercicio 7. Indique que ecuaciones tienen separación de variables o no:
1.
dy
= xy
dx
7. y 0 =
2x
y + x2 y
2.
dy
2
= x2 ex +y
dx
8. y 0 =
2x
1 + 2y
3.
dy
= xy 1/2
dx
9.
dy
= x + 2y
dx
4.
dy
= sen(x) + y
dx
10.
dy
= sen(x) + 9 cos(y)
dx
dy
5. e2y − y cos(x)
= ey sen(2x)
dx
0
6. y = (1 − 2x)y
2
11. y 0 = xy 3 (1 + x)−1/2
12. y 0 =
x(x2 + 1)
4y 3
Observación. Pasos para encontrar la solución de una EDO separable:
1. Escribir en su forma normal.
dy
= g(x)h(y)
dx
20
2 EDO de primer orden
2. Escribir un tipo de variable en cada lado de la igualdad.
1
dy
= g(x)
h(y(x)) dx
3. Integrar a ambos lados de la ecuación en función de la variable independiente
Z
Z
1
0
y (x)dx = g(x)dx
h(y(x))
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
y realizamos el cambio de variable u = y(x) donde du = y 0 (x)dx.
Z
Z
1
du = g(x)dx
h(u)
4. Expresar la solución en función de y.
Ejemplo 17. Determine si las siguientes EDOs son separables, de serlo, determine su solución:

x
dy
 dy
= xy si y > 0.
=−
1.
dx
y
6. dx

y(4) = −3
1 − 2x
2. y 0 =
si y > 0.
y
(
dy
(e2y − y) cos(x) dx
= ey sen(2x)
dy
2
7.
=y +1
3.
y(0)
=0
dx
dy
donde x ∈ (−π/2, π/2).
4.
= xy 1/2 donde y > 0 y x > 0.
dx


y
2
 dy
 dy
=−
= e−x sen(2x)
5. dx
8. dx
x donde x > 0.
y(4) = −3
y(5) = 2
2.2.
Ecuaciones autónomas
Definición 32. Sea f ∈ C 1 (I) y c ∈ I, si:
1. f 0 (c) = 0, ó
2. f 0 (c) no existe,
se dice que c es un punto crítico.
Ejemplo 18. Indique los puntos críticos de las siguientes funciones
1. h(x) = x
21
2 EDO de primer orden
2. f (x) = 9x2 + 12x + 4
3. g(x) = sen(x)
1
x
Observación. Dado que la derivada de primer orden, se puede escribir como
4. h(x) =
dy
= f (y)
dx
diremos que el punto crítico de y se tendrá cuando y 0 = 0, es decir, si
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
f (y) = 0.
Ejemplo 19. Encuentre los puntos críticos de:
dy
1. dx
=y
dy
2. dx
= y2 − 1
Definición 33 (Ecuación autónoma). Se dice que una EDO es autónoma si la variable dependiente aparece de manera explícita, es decir, si la EDO es de la forma
dy
= f (y).
dx
Observación. Una ecuación autónoma es un caso particular de las ecuaciones separables, por
lo tanto, se resuelve de la misma manera.
Ejemplo 20. Seleccione la EDO que es autónoma:
dy
1. dx
=y
4.
dy
= x + 2y
dx
dy
2. dx
= y2 − 1
5.
dy
= sen(x) + 9 cos(y)
dx
3.
2.3.
dy
= 1 + y2
dx
6. x
dy
+ x4 y = 0
dx
Ecuaciones lineales
Definición 34 (Forma estándar). Una EDO lineal de primer orden
a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x)
está en su forma estándar si se escribe de la forma
y 0 + p(x)y = f (x)
22
2 EDO de primer orden
g(x)
a0 (x)
y f (x) =
con x ∈ I.
a1 (x)
a1 (x)
Ejemplo 21. Si x > 0, transforme las siguientes EDO s lineales a su forma estándar:
dy
1. x2
− 8xy = sen(x)
dx
dy
2. x + x4 y = 0
dx
donde p(x) =
3. y 0 + 4xy = 1
Teorema 2: Factor integrante
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Una EDO lineal de primer orden en su forma estándar
y 0 + p(x)y = f (x)
se puede transformar en una EDO separable si se multiplica por el factor integrante dado
por
R
µ(x) = e p(x)dx .
Demostración. Dada la EDO lineal en su forma estándar
dy
+ p(x)y = f (x)
dx
si la multiplicamos por un término no nulo µ que dependa de x se obtiene
µ
Supongamos que
dy
+ µp(x)y = µf (x).
dx
dµ
= µp(x), de donde
dx
dµ
dy
y+µ
= µf (x).
dx
dx
al aplicar propiedades de la derivada del producto podemos resumir como
d
(yµ) = µf (x)
dx
al integra obtenemos
Z
yµ =
µf (x)dx
de donde obtenemos la solución de la EDO dada por
Z
1
y=
µf (x)dx
µ
23
2 EDO de primer orden
que llamaremos solución general de la EDO donde µ 6= 0.
dµ
= µp(x), utilizando separación
Nos resta determinar el valor de µ que debe verificar que
dx
de variables tenemos
Z
Z
1
dµ = p(x)dx
µ
al integrar tenemos
Z
ln (µ) =
p(x)dx
de donde se sigue el resultado
R
µ = e p(x)dx
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
por lo cual, µ > 0.
Observación. Recuerde que
Z
dy = y + C
Z
Z
d(x2 ) = x2
Z
d∆ = ∆ + C
d(sen(x)) = sen(x)
En resumen, para resolver una EDO lineal de primer orden seguimos el siguiente algoritmo:
1. Transformamos la EDO lineal de primer orden a su forma estándar.
2. Identificamos p(x).
R
3. Calcular el factor integrante µ(x) = e p(x)dx .
4. Multiplicar el factor integrante µ a ambos lados de la EDO .
5. Construir la expresión
d
(yµ).
dx
6. Integramos a ambos lados la ecuación y resolvemos para y.
Ejercicio 8. Indique la solución de las siguientes EDOs :
1.
dy
+ y = e3x
dx
2. x2 y 0 + xy = 1 si x > 0.
3. cos(x)
4.
dy
+ y sen(x) = 1
dx
dy
= 2x − 3y donde y(0) = 1/3.
dx
24
2 EDO de primer orden
Corolario 1 (Existencia y unicidad). Sea A = Ix × Iy un región y el punto (x0 , y0 ) ∈ A. El
PVI de una EDO lineal de primer orden

dy


+ p(x)y = f (x)
dx


y(x0 ) = y0
Si p y f son continuas y acotadas en Ix , entonces existe una única función y : Ix → R que es
solución del problema a valores iniciales.
Observación. Los puntos donde p no es continua, es decir, donde a1 (x) = 0 se llaman puntos
críticos con x ∈ Ix .
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Ejemplo 22. Determine un punto singular de la EDO
x2
Ejemplo 23. Determine la solución de
(
dy
+ 3y = x4
dx
dy
+ x1 y = x2
dx
y(1) = 2
Ejemplo 24. Determine la solución de
(
dy
+ y = f (x)
dx
y(0) = 0
donde
2.4.
(
1
f (x) =
0
si 0 ≤ x ≤ 1
si x > 1
Ecuaciones exactas
Definición 35. Sea f ∈ C 1 (Ix × Iy ), la derivada total de f está dada por
df =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
Definición 36. Sea M, N ∈ C 1 (A). Una EDO
M (x, y) + N (x, y)
25
dy
=0
dx
(2.1)
2 EDO de primer orden
es diferencial exacta en una región A del plano xy si existe una ecuación f (x, y) = c tal que
∂f
= M (x, y)
∂x
y
∂f
= N (x, y)
∂y
Ejemplo 25. Determine la EDO que corresponde a la función
1. x2 + y 2 = 9
2. x2 y + xy 3 = 5
3. x2 y − y = 3
Notemos que
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
M (x, y) + N (x, y)
dy
=0
dx
es equivalente a
M (x, y) + N (x, y)y 0 = 0
tomemos y = φ(x) donde y 0 = φ0 (x), luego
M (x, φ(x)) + N (x, φ(x))φ0 (x) = 0
al integrar
Z
Z
M (x, φ(x))dx +
0
N (x, φ(x))φ (x)dx =
Z
0dx
considerando que dy = φ0 (x)dx por lo cual
Z
Z
M (x, y)dx + N (x, y)dy = C
si esta ecuación viene dada por una función f , se tiene que
Z
Z
f (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy = C
donde
df = M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
que llamaremos la forma diferencial de la EDO (2.1) al ser equivalentes.
26
2 EDO de primer orden
Teorema 3
Sean M, N ∈ C 1 (A). La EDO
M (x, y) + N (x, y)
dy
=0
dx
es exacta si y solo si
∂M
∂N
=
∂y
∂x
Observación. Se suele nota
∂M
∂N
= My y
= Nx .
∂y
∂x
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Demostración. ⇒) Si existe una ecuación f (x, y) = c entonces df = 0, de donde
df =
∂f
∂f
dx +
dy = 0
∂x
∂y
donde
∂f
∂f
y
= N (x, y)
∂x
∂y
entonces si derivamos parcialmente, se tiene
∂M (x, y)
∂ ∂f
∂ ∂
=
=
(f )
∂y
∂y ∂x
∂y ∂x
∂N (x, y)
∂ ∂f
∂ ∂
=
=
(f )
∂x
∂x ∂y
∂x ∂y
M (x, y) =
como la derivada existe, se verifica que
∂ ∂
∂ ∂
(f ) =
(f )
∂y ∂x
∂x ∂y
de donde se sigue el resultado.
⇐) Buscamos demostrar que la EDO es exacta, es decir que fx = M y fy = N .
Supongamos que
Z
f (x, y) =
M (x, y)dx + h(y)
luego,
∂f
= M (x, y) + 0 = M (x, y)
∂x
por lo que nos resta demostrar que fy = N .
Al derivar f con respecto a y, se tiene que
Z
∂f
∂
=
M (x, y)dx + h0 (y)
∂y
∂y
27
2 EDO de primer orden
por ello,
Z
∂
fy = N ⇔ N (x, y) =
M (x, y)dx + h0 (y)
∂y
Z
∂
∂
∂
0
N (x, y) =
⇔
M (x, y)dx + h (y)
∂x
∂x ∂y
Z
∂
∂
M (x, y)dx + 0
⇔ Nx =
∂y ∂x
∂
⇔ Nx =
(M (x, y)) = My
∂y
lo cual tenemos por hipótesis.
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Ejemplo 26. Determine cuales de las siguientes EDO son exactas:
1. sen(x) cos(y)dx + ex+y dy = 0
2.
1
sen(x)y 2 dx − cos(x)ydy = 0
2
3. (x2 − 1)dy + 2xydx = 0
dy
= sen(x) + 9 cos(y)
dx
Para resolver una ecuación exacta utilizamos el siguiente algoritmo
4.
1. Comprobamos que la EDO es exacta.
2. Como
∂f
= M (x, y), calculamos
∂x
Z
f (x, y) = M (x, y)dx = m(x, y) + g(y)
3. Calculamos
∂f
∂y
4. Comparamos
∂f
= N (x, y), calculamos
∂y
∂f
∂m dg
=
+
∂y
∂y
dy
y al comparar con N (x, y) obtenemos g 0 (y).
Z
5. Obtenemos g(y) = g 0 (y)dy.
6. La solución de la EDO es f (x, y) = C.
28
2 EDO de primer orden
Ejemplo 27. Determine la solución de la EDO
1. (2x − 1)dx + (3y + 7)dy = 0
2. (sen(y) − y sen(x))dx + (cos(x) + x cos(y) − y)dy = 0
3. (x2 − 1)dy + 2xydx = 0
Observación. Algoritmo También se puede empezar con la función N , para resolver la EDO
aplicamos
1. Comprobamos que la EDO es exacta.
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
2. Como
3. Como
∂f
= N (x, y), calculamos
∂y
Z
f (x, y) = N (x, y)dy = n(x, y) + h(x)
∂f
= M (x, y), calculamos
∂x
∂n dh
∂f
=
+
∂x
∂x dx
y al comparar con M (x, y) obtenemos h0 (x).
Z
4. Obtenemos h(x) = h0 (x)dx.
5. La solución de la EDO es f (x, y) = C.
Ejemplo 28. Determine la solución de la EDO
1. (2x + y)dx − (x + 6y)dy = 0
y
2. 1 + ln(x) +
dx = (1 − ln(x))dy
x
dy
3
3
3. 1 − y + x
+y = −1
dx
x
4. (tan(x) − sen(x) sen(y)) dx + cos(x) cos(y)dy = 0
29
2 EDO de primer orden
2.4.1.
Factor integrante
Teorema 4
Dada la EDO no exacta
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
My − Nx
si
depende solo de x o es contante, la EDO se vuelve en exacta al utilizar le
N
factor integrante
R My −Nx
dx
N
µ(x) = e
.
Teorema 5
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Dada la EDO no exacta
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
Nx − My
depende solo de y o es contante, la EDO se vuelve en exacta al utilizar le
si
M
factor integrante
R Nx −My
dy
M
µ(y) = e
.
Ejemplo 29. Determine la solución de la EDO
1. xydx + (2x2 + 3y 2 − 20)dy = 0
2. y(x + y + 1)dx + (x + 2y)dy = 0
2
3. cos(x)dx + 1 +
sen(x)dy = 0
y
2.5.
Cambio de variable
2.5.1.
Composición de funciones
Proposición 2.1
Una ecuación diferencial de la forma
dy
= f (Ax + By + C)
dx
se puede reducir a una ecuación separable por medio de la sustitución
u = Ax + By + C
donde B 6= 0 y A, B, C ∈ R y f ∈ C 1 (A).
30
2 EDO de primer orden
Para resolver una EDO compuesta podemos considerar el siguiente algoritmo:
1: Identificar el cambio de variable u = Ax + By + C.
dy
.
2: Determinar dx en función de du
dx
3: Reemplazar en la EDO .
4: Obtener una EDO separable y se resuelve.
5: Regresar a la variable original.
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Ejemplo 30. Resuelva la siguiente EDO
1.
dy
= (−5x + y)2 + 1
dx
2.
dy
= 1 + ey−x+5
dx
3.
dy
= (x + y + 1)2
dx
4.
dy
= sen2 (y − x)
dx
2.5.2.
Ecuaciones homogéneas
Definición 37 (Función Homogénea de orden α). Se dice que f ∈ C 1 (A) es una función
homogénea de grado α si
f (tx, ty) = tα f (x, y)
para α, t ∈ R.
Ejemplo 31. Determine que funciones son homogéneas y de ser las indique su grado.
1. f (x, y) = x2 + y 2
2. g(x, y) = x2 + y 2 + 1
3. h(x, y) = x2 − xy
√
4. f (x, y) = 2x + y − 3x
5. g(x, y) =
6. h(x, y) =
x2 y 2
2x4 + 3y 4
5x
x2 + y 2
Definición 38 (EDO homogénea de grado α). Una EDO de primer orden en su forma diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
se dice que es homogénea si las funciones M y N son homogéneas del mismo grado α.
31
2 EDO de primer orden
Ejemplo 32. Indique si las siguientes EDOs son homogéneas y de ser el caso indique su
grado.
1. (x2 + y 2 )dx + (x2 − xy)dy = 0
2. xy
dy
= y 2 − x2
dx
3. (x − y)dx + xdy = 0
4.
dy
= (x + y + 1)2
dx
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
5. ydx + x(ln(x) − ln(y) − 1)dy = 0
Para resolver una EDO Homogénea
1: Verificar que la EDO sea homogénea y se determina el grado.
2: Hacer el cambio de variable y = ux o x = vy.
3: Obtener una EDO separable y se resuelve.
4: Regresar a la variable original.
Ejemplo 33. Encuentre la solución de la siguiente EDO
1. (x2 + y 2 )dx + (x2 − xy)dy = 0
2. (x − y)dx + xdy = 0
3. ydx + x(ln(x) − ln(y) − 1)dy = 0
(
dy
= y 3 − x3
xy 2
4.
dx
y(1) = 2
2.5.3.
Ecuación de Bernoulli
Definición 39 (Ecuación de Bernoulli). La ecuación diferencial
dy
+ p(x)y = f (x)y α
dx
con α ∈ R es una EDO de Bernoulli de grado α.
Observación. Si α = 0 o α = 1 la EDO es lineal.
Ejemplo 34. Determine si las siguientes ecuaciones son de Bernoulli o no lo son:
1. x
2.
dy
+ y = x2 y 2
dx
dy
= y(xy 3 − 1)
dx
32
(2.2)
2 EDO de primer orden
3. xy 2
4. x2
dy
= y 2 − x2
dx
dy
− 2xy = 3y 4
dx
Para resolver una EDO Bernoulli
1: Verificar que la EDO sea una ecuación de Bernoulli de grado α.
2: Hacer el cambio de variable u = y 1−α .
3: Obtener a una ecuación lineal que se puede resolver utilizando el factor integrante.
4: Resolver la EDO separable.
5: Se regresa a la variable original.
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Ejemplo 35. Resuelva la siguiente EDO
1. x
dy
+ y = x2 y 2
dx
dy
= y(xy 3 − 1)
dx

dy

 x2
− 2xy = 3y 4
dx
3.


y(1) = 12
2.
33
3
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Anexos
3.1.
Tabla de derivadas
3.1.1.
Propiedades
Sea p ∈ Q, c ∈ R, f, g ∈ C 1 (I).
f (x)
f 0 (x)
(f (x)c )
c(f (x))c−1 f 0 (x)
cf (x)
cf (x) ln(c)f 0 (x)
(f (x))g(x) g 0 (x) ln(f (x)) +
(f −1 )0 (x)
1
f 0 (f −1 (x))
34
g(x) 0
f (x)
f (x)
3 Anexos
3.1.2.
Principales derivadas
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Sea p ∈ Q, c ∈ R, f, g ∈ C 1 (I).
f (x)
f 0 (x)
α
0
xp
nxp−1
sen(x)
cos(x)
cos(x)
− sen(x)
tan(x)
sec2 (x)
sec(x)
sec(x) tan(x)
csc(x)
− csc(x) cot(x)
cot(x)
− csc2 (x)
arcsin(x)
arc cos(x)
arctan(x)
arccsc(x)
arcsec(x)
arccot(x)
3.2.
1
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
1
− √
x 1 − x2
1
√
x 1 − x2
1
−
1 + x2
√
Derivación en varias variables
Definición 40. Sea Ω ∈ Rn , f : Ω → Rm y x0 ∈ Ω, diremos que f es continua en x0 si y solo
si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si kx − x0 k < δ entonces kf (x) − f (0)k < ε.
Diremos que f es continua en todos los puntos de Ω.
35
3 Anexos
3.3.
Integración
Sean a, C ∈ R, p ∈ Q, f ∈ C (I) y F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I
R
f (x)dx
F (x)
adx
ax + C
xp dx
xp+1
+C
p+1
ex dx
ex + C
1
dx
x
ln |x| + C
ax dx
ax
+C
ln |a|
cos(x)dx
sen(x) + C
sen(x)dx
− cos(x) + C
sec2 (x)dx
tan(x) + C
csc2 (x)dx
− cot(x) + C
Z
Z
Z
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
sec(x) tan(x)dx sec(x) + C
Z
csc(x) cot(x)dx − csc(x) + C
Z
1
dx
x2 + 1
Z
1
√
dx
1 − x2
arctan(x) + C
arcsin(x) + C
36
3 Anexos
3.4.
Fracciones parciales
3.4.1.
Caso 1
Dado a ∈ R a la expresión
3.4.2.
1
le llamamos fracción de primer grado y tenemos que:
x−a
Z
1
dx = ln |x − a| + C
x−a
Caso 2
Dado k > 0, a la expresión
x
x2 + k 2
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Z
le llamamos fracción de segundo grado y tenemos que:
x
x2 + k 2
3.4.3.
1
ln(x2 + k 2 ) + C
2
Caso 3
Dado k > 0, a la expresión
Z
3.4.4.
dx =
1
x2 + k 2
le llamamos fracción de segundo grado y tenemos que:
x
1
1
dx
=
arctan
+C
x2 + k 2
k
k
Caso 4
√
Dados A, B, b, c ∈ R tales que d = b2 − c < 0 y k = −d se obtiene:
Z
−Ab + B
Ax + B
A
x+b
2
dx = ln x + 2bx + c + √
arctan √
+C
x2 + 2bx + c
2
c − b2
c − b2
3.4.5.
Caso 5
Sean a1 , a2 , . . . , an ∈ R distintos entre si, y pM (x) es un polinomio de grado M , donde
M <N
pM (x)
(x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − aN )
A1
A2
AN
=
+
+ ... +
(x − a1 ) (x − a2 )
(x − aN )
f (x) =
37
3 Anexos
3.4.6.
Caso 6
Sean a ∈ R donde M < K
pM (x)
(x − a)K
A1
A2
Ak
=
+
+ ... +
2
(x − a) (x − a)
(x − a)K
f (x) =
3.4.7.
Caso 7
Sean b1 , b2 , . . . , bn ∈ R donde M < N y N = 2L
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
f (x) =
=
(x2 + 2b
A2 x + B2
AL x + BL
A1 x + B1
+ 2
+ ... + 2
2
(x + 2b1 + c1 ) (x + 2b2 + c2 )
(x + 2bL + cL )
Z
Ejemplo 36. Calcule
3.4.8.
pM (x)
2
2
1 + c1 )(x + 2b2 + c2 ) . . . (x + 2bL + cL )
x3 + 7x2 + 40
dx
(x2 − 2x + 2)(x2 + 6x + 13)
Caso 8
Sean b1 , b2 , . . . , bn ∈ R donde M < N y N = 2L + K
f (x) =
=
3.5.
pM (x)
2
(x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − aN )(x + 2b1 + c1 )(x2 + 2b2 + c2 ) . . . (x2 + 2bL + cL )
DK
A1 x + B1
AL x + BL
D1
+ ... +
+ 2
+ ... + 2
(x − a1 )
(x − aK ) (x + 2b1 + c1 )
(x + 2bL + cL )
Transformadas de Laplace
Sea α ∈ R una constante,
• L [1] =
• L [tn ] =
1
s
• L [cos(αt)] =
s
s2 + α 2
n!
sn+1
1
• L [eαt ] =
s−α
• L [sen(αt)] =
• L [sinh(αt)] =
α
• L [cosh(αt)] =
s2 + α 2
38
α
s2 − α 2
s
s2 − α 2
3 Anexos
3.5.1.
Resumen de propiedades
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Sean α ∈ R, f y g funciones continuas a trazos de orden exponencial c tal que:
L [f (t)] = F (s) y L [f g(t)] = G(s),
3.5.2.
h(t)
L [h(t)]
f (n) (t)
sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0)
eαt f (t)
F (s − α)
f (t − α)U (t − α)
e−αs F (s)
dn
F (s)
dsn
tn f (t)
(−1)n
(f ∗ g)(t)
F (s)G(s)
Definición
Sea f una función definida para t ≥ 0, entonces se dice que la integral
Z ∞
L [f (t)] =
e−st f (t)dt
0
es la transformada de Laplace, siempre que la integral converja.
3.5.3.
Condiciones suficientes para la existencia
• Definición: Sea f : I → R, se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes
c, M , T ∈ R+ tales que
|f (t)| ≤ M ct
para todo t > T .
• Condiciones suficientes para la existencia: Si f es una función continua por tramos
en [0; ∞) y de orden exponencial entonces L [f (t)] existe para s > c.
• Teorema
Si f es continua por tramos en [0; ∞) y f (s) = L [f (t)], entonces
lı́m F (s) = 0
s→+∞
39
3 Anexos
3.5.4.
Propiedades de la Transformada de Laplace
Sea α ∈ R, L [f (t)] = F (s)y L [g(t)] = G(s)
Transformada de derivadas de orden n
Sea f, f 0 , . . . , f (n) continuas a trozos y de orden exponencial, se tiene que
L f (n) (t) = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − · · · − f (n−1) (0)
Traslación en el eje s:
• Teorema: L [eαt f (t)] = L [f (t)]|s→s−α = F (s − α)
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
• Corolario:
– L −1 [F (s − c)] = L −1 [F (s)|s→s−α ] = eαt L −1 [F (s)]
– L −1 [F (s)] = e−ct L −1 [F (s + α)]
Traslación en el eje t:
• Definición: Si α > 0, se tiene la función escalón unitario
(
0 si 0 ≤ t < α
U (t − α) =
1 si t ≥ α
• Lema: Sean f, g, h funciones tales que

g(t)
f (t) =
h(t)
si
0≤t<α
si
t≥α
se puede escribir como f (t) = g(t) − g(t)U (t − α) + h(t)U (t − α)
• Lema: Sean f, g funciones tales que


0
f (t) = g(t)


0
si
si
si
0≤t<α
α≤t<β
t≥β
se puede escribir como f (t) = g(t)(U (t − α) − U (t − β)).
• Proposición: Si α > 0, entonces
– L [f (t − α)U (t − α)] = e−αs L [f (t)]
– L [U (t − α)] =
e−αs
s
40
3 Anexos
– L [f (t)U (t − c)] = e−αs L [f (t + α)]
– L −1 [F (s)e−αs ] = L −1 [F (s)]|t→t−c U (t − α) = f (t − α)U (t − α)
Derivada de una transformada:
• Teorema: Sea f continua a trozos y de orden exponencial n ∈ N, entonces
L [tn f (t)] = (−1)n
dn
L [f (t)].
dsn
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
• Corolario: Sean c > 0, entonces
n
n d
−1
(−1)
L
F (s) = tn f (t).
dsn
Transformada de Integrales:
• Definición: Sean f y g continuas por tramos en el intervalo [0, ∞[
Z t
(f ∗ g)(t) =
f (θ)g(t − θ)dθ
0
– Corolario: f ∗ g = g ∗ f
• Teorema: L [(f ∗ g)(t)] = L [f (t)]L [g(t)] = F (s)G(s)
• Corolario: L −1 [F (s)G(s)] = L −1 [F (s)] ∗ L −1 [G(s)] = (f ∗ g)(t)
• Corolario Sea f continua a trozos y de orden exponencial, entonces
Z t
1
f (θ)dθ = L [f (t)].
L
s
0
• Corolario. Se tiene que
L
−1
Z t
Z t
F (s)
−1
=
L [F (s)] dθ =
f (θ)dθ
s
0
0
Transformada de una función periódica:
• Proporsición: Sea f continua a trozos y de orden exponencial n ∈ N y periódica con
periodo T entonces
Z T
1
L [f (t)] =
e−st f (t)dt
1 − e−sT 0
41
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Bibliografía
[1] William E Boyce, Richard C DiPrima y Douglas B Meade. Elementary differential equations. John Wiley y Sons, 2017.
[2] Michael R. Cullen Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores de
frontera. Cengage Learning, 2008.
[3] William J. Palm III Yunus A. Cengel. Ecuaciones diferenciales para ingeniería y Ciencias. 978-607-15-0989-5. Mc Graw Hill México, 2014.
[4] Dennis G Zill y col. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera.
Octava edicion. Thomson, 2002.
[5] Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con Aplicaciones - Segunda Edición. 968-727045-4. Grupo Editorial Iberoamérica México, 1988.
42
En revisión. Realizado por Yandira Cuvero en 2024.
Índice alfabético
Bernoulli, 32
Diferencial, 6
EDO
lineal Homogénea, 10
Homogénea, 31
Lineal, 8
Familia
Soluciones, 12
Forma
normal, 14
Función, 4
continua, 4
en un punto, 4
Homogénea, 31
Continua, 35
Derivada de orden superior, 5
Derivada de un función, 4
Derivada en a, 4
Ecuaciones
Diferenciales
Ordinarias, 7
Parcial, 7
Ecuación, 6
autónoma, 22
Solución
explícita, 11
general, 23
implícita, 11
singular, 13
43