Mecanica Analitica Sanz Sanchez

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/333972497 MECÁNICA ANALÍTICA: LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS Book · January 2019 CITATIONS READS 0 19,026 2 authors: Javier Sanz Recio Gonzalo Sanchez-Arriaga Universidad Politécnica de Madrid University Carlos III de Madrid 221 PUBLICATIONS 2,366 CITATIONS 145 PUBLICATIONS 1,103 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Gonzalo Sanchez-Arriaga on 24 June 2019. The user has requested enhancement of the downloaded file. SEE PROFILE LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS Francisco Javier Sanz Recio Gonzalo Sánchez Arriaga La mecánica analítica, que tiene sus raíces en los siglos XVIII y XIX, ha experimentado recientemente importantes avances que han enriquecido sus métodos y la forma de aplicarlos a problemas modernos en física e ingeniería. Esta obra, dirigida a estudiantes de grado, máster y doctorado, sintetiza los más importantes y útiles progresos en el campo. De manera amena y rigurosa, el lector adquirirá desde conceptos básicos, como escribir las ecuaciones del movimiento, pasando por técnicas clásicas tales como el método de Hamilton-Jacobi, hasta terminar dominando el análisis avanzado de sistemas no lineales y caos determinista mediante la combinación de procedimientos analíticos y numéricos. La organización de la obra, estructurada en dos niveles, está sólidamente soportada por varias décadas de experiencia de los autores impartiendo la asignatura de mecánica analítica en cursos de grado e ingeniería. Por un lado, el cuerpo principal del libro contiene los fundamentos teóricos y utiliza herramientas matemáticas bien conocidas por los estudiantes, que podrán seguirlo de manera fluida. Por otro, los cuadros al margen se han reservado para introducir notas biográficas de científicos notables, conceptos avanzados y las consecuencias de los resultados teóricos del cuerpo principal a problemas específicos en física e ingeniería como, por ejemplo, la mecánica orbital y la de vuelo, la relatividad general, la mecánica cuántica, la propagación de solitones… Se trata de un espacio reservado para abrir la mente del lector, estimular su curiosidad por la materia y resaltar la utilidad de los conocimientos adquiridos en multitud de disciplinas. El libro contiene una impresionante colección de alrededor de 200 ejercicios, la mitad de ellos resueltos, que refuerza los conceptos teóricos y facilita la incorporación de los métodos hamiltonianos a lo que Richard Feynman denominaría la caja de herramientas del lector, es decir, le dota de una batería de métodos para usar en su vida profesional. También incluye una serie de programas de ordenador para explorar la dinámica desde una perspectiva moderna y amena, al mismo tiempo que se consolidan con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren competencias en cálculo numérico. MECÁNICA ANALÍTICA: LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS MECÁNICA ANALÍTICA: MECÁNICA ANALÍTICA LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS Francisco Javier Sanz Recio Gonzalo Sánchez Arriaga www.mheducation.es Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 MECÁNICA ANALÍTICA LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 MECÁNICA ANALÍTICA LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS FRANCISCO JAVIER SANZ RECIO GONZALO SÁNCHEZ ARRIAGA MADRID · LONDRES · MÉXICO · NUEVA YORK · MILÁN · TORONTO LISBOA · NUEVA DELHI · SAN FRANCISCO · SIDNEY · SAN JUAN · SINGAPUR · CHICAGO · SEÚL Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 MECÁNICA ANALÍTICA LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra. Derechos reservados © 2019, respecto a la primera edición en español, por: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L.U. Edificio Valrealty, 1.a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) © Francisco Javier Sanz Recio, Gonzalo Sánchez Arriaga, 2019 ISBN: 978-84-486-1539-0 MHID: 978-000850179-2 Depósito legal: M-6478-2019 Editora: Cristina Sánchez Sainz-Trápaga Director General Europa Sur: Álvaro García Tejeda Gerente Universidad y Profesional Grupo Ibero: Norberto Rosas Gómez Equipo de preimpresión y maquetación de interiores: TRANSFORMA Pvt ltd Diseño de cubierta: CIANNETWORK Impresión: XXX 1234567890 — 2019876543 IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Esta obra ha sido parcialmente financiada por el proyecto de la UPM con referencia REM180105FJSR Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 A María Jesús y Ana Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Contenido Prefacio Agradecimientos Acerca de los autores 1 xiii xvii xix Dinámica lagrangiana de una partícula 1 1.1 Ecuaciones de Lagrange 2 1.1.1 Partícula sometida a ligaduras 1.1.2 Ligaduras geométricas u holónomas 7 7 1.1.3 Ligaduras no holónomas 11 Potencial de fuerzas 14 1.2.1 Definición elemental 1.2.2 Potencial generalizado de fuerzas 14 14 1.2 1.2.3 1.3 1.4 2 Componentes generalizadas de fuerzas que derivan de un potencial 1.2.4 Potenciales físicamente equivalentes 16 17 Lagrangiana de una partícula 18 1.3.1 Ecuaciones de Lagrange 1.3.2 Sistemas lagrangianos 18 19 Introducción a las leyes de conservación 21 1.4.1 Definición de integral primera 22 1.4.2 Definición de función energía 22 1.4.3 Conservación de la energía 1.4.4 Momento canónico 23 24 Ejercicios 28 Dinámica lagrangiana de un sistema 29 2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional 2.1.2 Ecuación vectorial de Lagrange en el espacio de configuración 2.1.3 Variedad de configuración. Ecuaciones de Lagrange 30 2.1.1 30 32 32 vii Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Contenido 2.2 2.3 3 Introducción a las leyes de conservación 43 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 43 43 43 44 Definición de integral primera Definición de función energía Conservación de la energía Momento canónico Aplicación a la dinámica del sólido rígido 46 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 46 47 48 Variedad de configuración del sólido rígido Componentes generalizadas de las fuerzas Ecuaciones de Lagrange Ecuaciones del movimiento del sólido en coordenadas arbitrarias Ejercicios 54 El cálculo variacional y la mecánica 55 3.1 ¿Por qué el cálculo variacional? 3.2 Nociones básicas de cálculo variacional 56 57 3.2.1 Variación de un funcional 3.2.2 Ecuación de Euler-Lagrange 3.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange: caso de varias funciones 3.2.4 Extremales con restricciones: multiplicadores de Lagrange 3.3 4 48 Principio de Hamilton 58 59 62 64 67 Ejercicios 74 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación 75 4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange 76 4.1.1 Transformaciones puntuales 4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas 76 77 Invariancia o simetría de una función 78 4.2.1 Grupos uni-paramétricos de transformaciones 78 4.2.2 Definición de invariancia de una función 80 4.2 4.3 Teorema de Noether 81 4.3.1 4.3.2 81 4.3.3 Ejercicios Grupo de transformaciones puntuales Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con transformaciones invariantes 82 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con transformaciones invariantes extendidas 85 90 viii Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Contenido 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos 91 5.1 92 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U (q) 5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio 5.1.2 Evolución de las perturbaciones alrededor del equilibrio 5.1.3 Descomposición en modos normales o propios de oscilación 5.1.4 Propiedades extremales de las frecuencias propias de oscilación 5.2 94 98 102 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q, q̇) 104 5.2.1 5.2.2 6 93 Linealización alrededor del equilibrio en sistemas giroscópicos Efectos giroscópicos sobre un sistema lagrangiano 105 106 Ejercicios 109 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton 111 6.1 De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema 112 6.1.1 6.1.2 113 Ecuaciones canónicas de Hamilton Estructura matemática del formalismo hamiltoniano 119 6.2 Transformada de Legendre y ecuaciones canónicas 121 6.3 El Principio de Hamilton 123 6.4 Notación simplética de las ecuaciones de Hamilton 124 6.4.1 Corchetes de Poisson 6.4.2 Leyes de conservación 125 126 Sistemas hamiltonianos 127 6.5 6.5.1 6.6 Transformaciones canónicas de coordenadas y momentos El espacio de fases hamiltoniano 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 Ejercicios Hamiltonianos de un grado de libertad e independientes de t Hamiltonianos de un grado de libertad dependientes de t Hamiltonianos independientes de t con varios grados de libertad Conservación del volumen en el espacio de fases canónico Invariante integral de Poincaré-Cartan 129 132 133 137 138 139 141 144 ix Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Contenido 7 Teoría de Hamilton-Jacobi 145 7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas 146 7.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi 152 7.2.1 152 7.3 Método de Hamilton-Jacobi de integración de las ecuaciones del movimiento 154 7.4 158 Sistemas separables 7.4.1 7.4.2 7.4.3 Hamiltoniana independiente del tiempo y separable Hamiltoniana independiente del tiempo y con coordenadas cíclicas Coordenadas separables 159 160 162 7.5 Teorema de Liouville sobre los sistemas integrables 166 7.6 Variables acción-ángulo 169 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 8 La acción como una función de las coordenadas Variables acción-ángulo en sistemas de un grado de libertad Variables acción-ángulo en sistemas de n grados de libertad Geometría del movimiento en sistemas integrables Invariantes adiabáticos 169 174 176 180 Ejercicios 187 Soluciones regulares en sistemas dinámicos 189 8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos 190 8.1.1 El espacio de estados 8.1.2 Estabilidad orbital 8.1.3 Sistemas disipativos y no disipativos 192 192 193 Soluciones de equilibrio de sistemas continuos 194 8.2.1 8.2.2 Análisis de estabilidad Estudio de un sistema dinámico bidimensional Teorema de Lagrange 195 Puntos fijos o de equilibrio de sistemas discretos 201 8.3.1 201 8.2 8.2.3 8.3 8.4 Análisis de estabilidad 197 199 Órbitas periódicas de sistemas continuos 203 8.4.1 8.4.2 8.4.3 203 204 207 Teorema de Poincaré-Bendixson Estabilidad de órbitas periódicas Resonancia paramétrica x Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Contenido 9 8.5 Órbitas periódicas de sistemas discretos 211 8.6 Órbitas cuasiperiódicas de sistemas continuos 213 8.7 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas 215 Ejercicios 220 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas no lineales 221 9.1 Bifurcaciones 222 9.1.1 9.1.2 9.1.3 223 226 9.2 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio Bifurcaciones de órbitas periódicas Bifurcaciones de órbitas homoclínicas y heteroclínicas Algunos métodos analíticos aproximados Movimiento en un campo periódico de alta frecuencia 9.2.2 Método de Lindstedt-Poincaré 9.2.3 Método de promedio 9.2.4 Resonancia no lineal 228 230 9.2.1 Ejercicios 230 235 237 238 245 10 Caos determinista 247 10.1 Algunas propiedades del caos 248 10.2 Sistemas hamiltonianos casi integrables 252 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 253 254 256 258 Denominadores pequeños Métodos de perturbaciones clásicos El teorema KAM Espacio de fases en sistemas casi integrables 10.2.5 Difusión de Arnold y ergodicidad 10.3 Caos disipativo 10.3.1 Cascada de Feigenbaum 10.3.2 Crisis 10.3.3 Intermitencia 259 265 266 267 268 Ejercicios 271 Bibliografía Índice analítico 273 277 xi Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Prefacio Cuando creíamos que teníamos todas las respuestas, de pronto, cambiaron todas las preguntas Mario Benedetti Cuando parecía que la última palabra en mecánica estaba dicha al enunciar F = ma, los trabajos de Euler, Lagrange y Hamilton, en los siglos XVIII y XIX, demostraron que tal ley era consecuencia de un principio variacional más fundamental. Estas tres figuras, junto con otras, como Jacobi, Poincaré y Noether, sentaron las bases de lo que hoy se conoce como mecánica analítica o métodos hamiltonianos. La belleza de dicha teoría, entendida como simplicidad y carácter unificador, cautivó a físicos y matemáticos y se hizo imprescindible. La geometría euclídea y el cálculo vectorial fueron sustituidos por los métodos variacionales, los cuales aportaron un aparato matemático flexible del que se beneficiaron a principios del siglo XX la teoría general de la relatividad y la mecánica cuántica. A mediados de dicho siglo, ayudó a explicar lo que se conoce como caos determinista y exportó conceptos como el de integrabilidad y variables acción-ángulo a los medios continuos. Actualmente, los métodos de la mecánica analítica están presentes en multitud de áreas de la física-matemática y de la ingeniería. Este libro va dirigido a alumnos de grado, máster y doctorado con conocimientos básicos en mecánica clásica y matemáticas, que quieran introducirse en esta apasionante disciplina. Los autores, con varias décadas de experiencia impartiendo las asignaturas de Mecánica analítica, Física y Mecánica de vuelo en la Universidad Politécnica de Madrid y en la Universidad Carlos III de Madrid, son conscientes de que en ocasiones la mecánica es percibida de antemano por los alumnos como una materia difícil y abstracta. Sin embargo, la experiencia nos indica que, si se imparte de manera adecuada, los estudiantes incorporan los métodos hamiltonianos a lo que Richard Feynman denominaría su caja de herramientas y los aplican de manera práctica y exitosa a multitud de disciplinas. Ese ha sido nuestro propósito y con ese fin hemos diseñado el libro. En base a las lecciones docentes aprendidas durante estos años, decidimos estructurarlo en dos niveles, los cuales quedan plasmados en un cuerpo principal y en una serie de cuadros separados al margen. El cuerpo principal presenta lo fundamental de la mecánica analítica para sistemas con un número finito de grados de libertad. Esta parte utiliza herramientas matemáticas bien conocidas por los estudiantes de grado, que podrán seguirlo de manera fluida. Las explicaciones son sencillas y rigurosas. El texto arranca con una introducción a la formulación lagrangiana tomando como base la dinámica de una sola partícula. Sirve para introducir conceptos básicos que se formulan ya con rigor, pero que surgen de modo natural aludiendo a problemas clásicos de la mecánica, como la búsqueda de cantidades conservadas, las fuerzas de ligadura, etc. El segundo capítulo extiende la formulación anterior al caso de un sistema de N partículas contemplándolo, esencialmente, como una partícula equivalente en xiii Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Prefacio movimiento en un espacio de dimensión 3N. La influencia y poder de la matemática en la mecánica lagrangiana se evidencia en el tercer capítulo, donde se aborda la formulación de las ecuaciones del movimiento con el cálculo variacional. Las ecuaciones de Euler-Lagrange se establecen aquí atendiendo a un principio último de representación matemática, el de Hamilton, que parece regir en la evolución de los sistemas físicos. El cuarto capítulo está dedicado a uno de los teoremas más interesantes y hermosos de la física matemática, el teorema de Noether; y el quinto, al análisis de oscilaciones próximas al equilibrio, de gran interés en multitud de sistemas físicos y que incluye también las oscilaciones en sistemas giroscópicos. Los dos siguientes capítulos muestran el formalismo hamiltoniano, el cual se presenta de manera natural como un cambio de variables, pero exhibe implicaciones mucho más profundas. Las variables canónicas, posición y momento conjugados, tratadas en pie de igualdad configuran una perspectiva nueva de la Mecánica que da origen a nuevos métodos e interpretaciones. Un ejemplo es la contribución de Jacobi (de 1837), que se presenta aquí como culminación de la flexibilidad que los cambios de variable ofrecen para construir sistemas hamiltonianos mediante las trasformaciones canónicas. El libro culmina con tres capítulos sobre dinámica de sistemas no lineales, es decir, el análisis de las propiedades que exhiben las soluciones de las ecuaciones obtenidas mediante el formalismo lagrangiano o hamiltoniano. Se presentan las soluciones en orden creciente de complejidad, cubriendo desde las posiciones de equilibrio al caos determinista. Al finalizar la lectura del cuerpo principal, el alumno tendrá un conocimiento integral de la mecánica, incluyendo las competencias para encontrar las ecuaciones del movimiento y estudiar sus soluciones. Si el cuerpo principal está pensado para adquirir y consolidar conocimientos, los cuadros al margen son un espacio para abrir la mente del alumno, estimular su curiosidad y motivarle para que profundice con la bibliografía complementaria. En ellos se encuentran recogidas notas biográficas de científicos notables, herramientas matemáticas avanzadas que pueden ser adquiridas en una segunda lectura del libro, la extensión de los conceptos del cuerpo principal del libro a sistemas con infinitos grados de libertad o medios continuos, y ejemplos resueltos. Los datos biográficos han sido obtenidos en su inmensa mayoría de la enciclopedia de contenido libre Wikipedia, la cual consideramos un ejemplo extraordinario y útil de cooperación para transmitir conocimiento. Los cuadros ilustran las consecuencias de la teoría en problemas específicos en física e ingeniería: ¿Por qué los anillos de Saturno no son continuos? ¿Qué es el efecto mariposa? ¿Qué es un fractal? ¿Qué conexión existe entre la ecuación de Hamilton-Jacobi y la mecánica cuántica? ¿Qué podría explicar que la Gran Mancha Roja de Júpiter, una tormenta gigantesca, haya sobrevivido durante más de 300 años? ¿Qué son los puntos de Lagrange, y por qué la ESA mandó la misión SOHO a uno de ellos? Esta estructura en dos partes diferenciadas se ha reforzado con una colección de problemas resueltos y otra de ejercicios propuestos. Los primeros ilustran la potencia de los métodos de la mecánica analítica y su ubicuidad en problemas de muy distinta índole. Se han tomado ejemplos clásicos, tales como el péndulo, el problema restringido de los tres cuerpos y el disco que rueda, y otros quizás menos conocidos, como la propagación de un pulso láser en un plasma, el cálculo de geodésicas en relatividad general y la mecánica de vuelo de una cometa. Estudiantes de Ciencias físicas y matemáticas, Ingeniería aeroespacial, y Telecomunicaciones, xiv Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Prefacio entre otros, podrán contemplar desde una nueva perspectiva algunos problemas abordados en otros cursos. Por último, el libro se acompaña de un conjunto de programas de ordenador (disponibles a través de www.mheducation.es) que refuerzan los conocimientos adquiridos en los tres últimos capítulos sobre sistemas dinámicos. Con ellos, y mientras se explora la dinámica de manera visual y amena, se van consolidando con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren competencias en cálculo numérico. Creemos que esta organización hace el libro singular y atractivo para un amplio espectro de estudiantes, cubriendo perfiles teóricos y aplicados. Es nuestro deseo que esta revisión moderna y actualizada de una de las ramas más antiguas de la física resulte interesante para el lector y útil en su vida profesional. Los autores Madrid, 2019 xv Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Agradecimientos Esta obra ha sido posible gracias al interés, el ánimo y la participación de compañeros, estudiantes, familiares y amigos. Queremos dar las gracias, en primer lugar, a nuestro compañero el profesor José Manuel Donoso, del Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Aeronáutica y del Espacio, por su trabajo y esfuerzo. Su amplia visión de la Mecánica Analítica y su dilatada experiencia docente están presentes en un buen número de capítulos de esta obra. También, a los profesores Juan Sanmartín y Ricardo García Pelayo, por sus acertados comentarios que nos han permitido mejorar la calidad del libro. En esta sección de agradecimientos no pueden faltar nuestros alumnos, cuyas preguntas, respuestas y sugerencias nos han impulsado a evolucionar en los métodos docentes. Por último, queremos dar las gracias a nuestros amigos y familiares por su apoyo durante los años que hemos dedicado a preparar la obra. Sospechamos que no ha sido por un amor incondicional a la Mecánica Analítica. xvii Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Acerca de los autores Francisco Javier Sanz Recio es Doctor Ingeniero Aeronáutico por la Universidad Politécnica de Madrid (UPM, 1981). Catedrático de Universidad (Física Aplicada) en la ETSI Aeronáutica y del Espacio (UPM) donde enseña Física General, Mecánica Analítica y Física de Plasmas. Sus investigaciones se han centrado en la Física de los Plasmas de alta temperatura y es autor de numerosas publicaciones. Es profesor invitado regularmente en la Universidad de Rochester (NY) y colaborador científico del Comisariado de Energía Atómica (Francia), del Instituto de fenómenos fuera del Equilibrio (Universidad de Marsella) y del Instituto de Ingeniería Laser (Universidad de Osaka). Actualmente lidera el grupo de Fusión Inercial y Física de Plasmas de la Universidad Politécnica de Madrid. Gonzalo Sánchez Arriaga es Doctor Ingeniero Aeronáutico (UPM, 2009) y Licenciado en Ciencias Físicas (UCM, 2010). Realizó estancias de investigación en el Observatorio de Niza (Francia) y en la Universidad de Kyushu (Japón), y disfrutó de contratos postdoctorales en el Comisariado de Energía Atómica en París y en la UPM. Actualmente es investigador Ramón y Cajal en la Universidad Carlos III de Madrid, donde imparte la asignatura de Mecánica de Vuelo. Los métodos de la mecánica analítica están presentes en sus trabajos de investigación, que incluyen el estudio de amarras espaciales, las ondas solitarias en plasmas, y la generación de energía con sistemas aerotransportados. xix Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 1 Dinámica lagrangiana de una partícula 1.1. Ecuaciones de Lagrange 1.1.1 Partícula sometida a ligaduras 1.1.2 Ligaduras geométricas u holónomas 1.1.3 Ligaduras no holónomas 1.2. Potencial de fuerzas 1.2.1 Definición elemental 1.2.2 Potencial generalizado de fuerzas 1.2.3 Componentes generalizadas de fuerzas que derivan de un potencial 1.2.4 Potenciales físicamente equivalentes 1.3. Lagrangiana de una partícula 1.3.1 Ecuaciones de Lagrange 1.3.2 Sistemas lagrangianos 1.4. Introducción a las leyes de conservación 1.4.1 Definición de integral primera 1.4.2 Definición de función energía 1.4.3 Conservación de la energía 1.4.4 Momento canónico 1 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 1 Dinámica lagrangiana de una partícula “Me he propuesto no cuidarme más de temas filosóficos; y espero que no tome usted a mal si nunca vuelve a encontrarme ocupado en esos menesteres.” Carta de Isaac Newton al secretario de la “Royal Society” La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica newtoniana e introducida en 1788 por Joseph Louis Lagrange (1736–1813). De origen italiano y familia con buena posición social, se educó en la Universidad de Turín. No fue hasta la edad de los 17 años cuando Lagrange mostró interés por las matemáticas al leer un ensayo del astrónomo E. Halley. Se formó de manera prácticamente autodidacta y dio clases en la Academia Militar por encargo del rey Carlos Manuel III de Cerdeña. Entre 1754 y 1756 Lagrange envió varias cartas a L. Euler que introducían una nueva y potente técnica: el cálculo de variaciones. Euler quedó impresionado por el trabajo de Lagrange y en 1756 intentó persuadirlo para que dejara Turín y aceptara una posición más prestigiosa en Berlín. Lagrange declinó inicialmente, pero en 1765 d’Alembert intercedió ante Federico II el Grande quien escribió a Lagrange para invitarle a unirse a su corte y que “el rey más grande de Europa” tuviera “el matemático más grande de Europa”. Lagrange aceptó y pasó los siguiente veinte años en Prusia, donde escribió su famosa obra la Mecanique Analytique, y sucedió a Euler como director de la Academia de las Ciencias de Berlín. Tras morir Federico II, Lagrange aceptó la invitación de Luis XVI y emigró a París, donde fue nombrado profesor de la École Polytechnique y murió en 1813. Además de su impresionante tratado Mécanique Analytique, Lagrange hizo importantes aportaciones en astronomía (problema de los tres cuerpos y puntos de Lagrange), álgebra (formas cuadráticas, y ecuaciones binomiales), ecuaciones diferenciales (método de variación de los parámetros), teoría de números, teoría sobre funciones analíticas, y, por supuesto, la mecánica. Hacia 1788, Joseph-Louis Lagrange genera un formalismo operacional del que deducir las ecuaciones del movimiento de Newton, estableciendo una alternativa poderosa al tratamiento de problemas usuales de la dinámica. Su alcance trasciende notablemente la mera reformulación de las leyes y postulados newtonianos ya que, si bien el formalismo de Lagrange no implica una nueva física, genera en sí mismo una nueva perspectiva en la formulación de las leyes de la dinámica. Lagrange llega a sintetizar en un postulado más último y general los principios de la dinámica newtoniana y concibió un procedimiento formal y práctico que, en numerosas ocasiones, simplifica el tratamiento clásico de los problemas. En este capítulo se presentan las ecuaciones de Lagrange mediante una deducción matemática simple, operativa y singularizada al caso de la dinámica de una partícula, no por ello exenta de un carácter general y extensible a sistemas más complejos. La notación que usaremos en esta obra para vectores y tensores será la de escribirlos, en general, en negrita. Utilizaremos también lo que se conoce como convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada, para abreviar la escritura de sumatorios eliminando así el símbolo del sumatorio. Este convenio se aplica solo a sumatorios sobre dos índices repetidos (subíndice y n superíndice). Así por ejemplo la expresión i = 1aibi se representará como aibi (dos índices repetidos, índice y superíndice, se dice que son índices mudos, ya que la expresión no cambia si en vez de “i” usamos otro nombre “j ”). La expresión n i = 1aij bi (producto de matriz por vector) se representará por ai j bi, dependiendo el resultado del índice j. De modo que si j = 1, ..., m, por ejemplo, Aj = aij bi representan m cantidades que se obtienen con dicha operación. En una misma expresión también pueden aparecer dos índices no mudos. Si aαβ representa los elementos de una matriz cuadrada no singular y aμν son los elementos de la matriz μ μ inversa, la expresión αaμαaαν≡ δν se representa como aμαaαν≡ δν . La función μ δν se llama delta de Kronecker, y vale 1 si μ = ν y cero para μ ≠ ν . También, por n ejemplo, la expresión Aik = j = 1aij b jk la escribiremos como Aik = aij b jk. No obstante, la notación de Einstein no está exenta de cierta ambigüedad en algunos casos, por ejemplo si escribimos la igualdad ck = akbk , el miembro derecho de esta ecuación no hay que interpretarlo como a1b1 + a2b2 + ⋯, sino como la expresión del conjunto de igualdades c1 = a1b1, c2 = a2b2, ..., etc. El convenio de suma de Einstein también se aplica a operadores. Así, la expresión ∂/∂xk, se interpreta como un objeto con subíndice “k”, mientras que ∂/∂xk sería un objeto con superíndice k. De este modo, la expresión k ak∂/∂xk ≡ a1∂/∂x1 + a2∂/∂x2 + ⋯ ≡ ak∂/∂xk. 1.1 Ecuaciones de Lagrange Tomando como base la segunda ley de Newton para una partícula, cuyo movimiento es descrito en coordenadas cartesianas, es posible inferir las ecuaciones del movimiento en la formulación lagrangiana de forma sencilla. El procedimiento seguido en este capítulo, ilustrará no solo la forma de tales ecuaciones extensible a otros sistemas de coordenadas, sino que también introducirá a través de la exposición conceptos básicos, estableciendo así el léxico propio del formalismo lagrangiano que se aborda en el texto. 2 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 1 Dinámica lagrangiana de una partícula Comencemos pues este capítulo deduciendo las llamadas ecuaciones de Lagrange, en coordenadas cartesianas por sencillez. Supongamos una partícula newtoniana (no relativista) de masa m que se mueve respecto de cierto triedro Ox1x2x3, con vector de posición r(t) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3, el cual llamaremos espacio de configuración cartesiano (Fig. 1.1). La partícula está sometida a la acción de una fuerza F = F1e1 + F2e2 + F3e3, siendo ei (i = 1, 2, 3) los vectores unitarios de los ejes Oxi. Como es sabido, el movimiento de la partícula viene descrito, para unas condiciones iniciales dadas de velocidad y posición, por la ecuación de Newton 2 m d r = F, dt2 ⇒ m ẍi = Fi, i =1, 2, 3. (1.1) Mediante uno y dos puntos sobre una variable se designará respectivamente a la primera y segunda derivada con respecto al tiempo de la magnitud correspondiente. Una forma equivalente a las ecuaciones cartesianas de (1.1) se puede obtener a partir de la energía cinética de la partícula, T = 12 mv2 = 12 m(ẋ12 + ẋ22 + ẋ32), donde v = dr/dt es el vector velocidad. De la identidad d(∂T/∂ẋi)/dt ≡ mẍi, y dado que la energía cinética (en coordenadas cartesianas) solo depende de t a través de las componentes cartesianas de la velocidad, ẋi, las componentes cartesianas de las ecuaciones se pueden escribir en la forma (ecuaciones de Lagrange) d ∂T – ∂T = F , i dt ∂ẋi ∂xi i = 1, 2, 3. (1.2) Este conjunto de ecuaciones escalares puede expresarse de modo compacto en lo que denominaremos ecuación de Lagrange en forma vectorial, dada por d ∂T – ∂T = F, dt ∂ v ∂ r (1.3) en donde se ha usado la notación ∂ =e ∂ ≡e ∂ +e ∂ +e ∂ , k 1 2 3 ∂ ẋ2 ∂v ∂ ẋ1 ∂ ẋ3 ∂ ẋk (1.4) para el operador gradiente respecto a las componentes cartesianas de la velocidad, de forma similar al operador gradiente usual ∇ = ∂ = ek ∂ ≡ e1 ∂ + e2 ∂ + e3 ∂ . ∂r ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ xk (1.5) Ecuaciones de Lagrange en coordenadas curvilíneas arbitrarias En ocasiones, debido a la simetría de las fuerzas actuando sobre la partícula, o la geometría del problema físico, es conveniente usar un sistema de coordenadas diferente del cartesiano, por ejemplo, coordenadas esféricas, cilíndricas, o cualquier otro sistema de coordenadas curvilíneas. Supongamos que q1, q2, q3 representan un conjunto de tres parámetros geométricos (coordenadas curvilíneas), que denominaremos coordenadas generalizadas y que engendran el nuevo espacio de configuración. Estas coordenadas definen la posición de un punto en el espacio en la transformación de coordenadas dependientes del tiempo xi = φi (q1, q2, q3, t), i = 1, 2, 3. (1.6) Figura 1.1 Partícula P de masa m sobre la que actúa la fuerza F (la cual podría incluir algún término de fuerza de inercia si el triedro no fuera inercial). Cuadro 1.1 Gradiente, derivada direccional y vector normal a una superficie En un triedro Oxyz introducimos la función U(r), donde r = xi + yj + zk es el vector de posición e i, j, k son los vectores unitarios según los ejes x, y, z. Aunque la función U(r) es un campo escalar, cualquier combinación de las derivadas de U (respecto de xyz) no es, en general, un escalar ni un vector. Se demuestra que la combinación de derivadas ∇U ≡ i∂U/∂x + j∂U/∂y + k∂U/∂z, es un vector (gradiente de U). Efectivamente, tratándolo como tal, si lo multiplicamos escalarmente por el vector infinitesimalmente pequeño dr ≡ idx + jdy + kdz, se obtiene ∇U · dr = U(r + dr) – U(r) ≡ dU, que es un escalar. Llamemos gradiente al “vector” ∇ ≡ ∂/∂r ≡ i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z. Para un vector u = uxi + uy j + uzk, entonces u · ∇U = ux∂U/∂ x + uy∂U/∂y + uz∂ U/∂ z define la derivada direccional de U según u. Sea ahora Φ(x, y, z, t) = 0 una superficie en 핉3 en donde “t” es un parámetro (por ejemplo, el tiempo) y r el vector de posición de uno de sus puntos. Ya que el incremento infinitesimal, dΦ, entre dos puntos de la superficie (a “t” fijado) es nulo, dΦ = 0 = ∇Φ · dr, el vector gradiente es normal a dr, el cual es tangente a la superficie. Es decir, el vector ∇Φ es un vector normal a la superficie Φ = 0. 3 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 2 Dinámica lagrangiana de un sistema 2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas 2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional 2.1.2 Ecuación vectorial de Lagrange en el espacio de configuración 2.1.3 Variedad de configuración. Ecuaciones de Lagrange 2.2 Introducción a las leyes de conservación 2.2.1 Definición de integral primera 2.2.2 Definición de función energía 2.2.3 Conservación de la energía 2.2.4 Momento canónico 2.3 Aplicación a la dinámica del sólido rígido 2.3.1 Variedad de configuración del sólido rígido 2.3.2 Componentes generalizadas de las fuerzas 2.3.3 Ecuaciones de Lagrange 2.3.4 Ecuaciones del movimiento del sólido en coordenadas arbitrarias 29 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 2 Cuadro 2.1 Deducciones de las ecuaciones de Lagrange En la bibliografía encontramos diferentes formas de deducir las ecuaciones de Lagrange, las cuales pueden clasificarse como sigue: (a) deducciones basadas en el principio de D’Alembert y el principio de los trabajos virtuales (H. Goldstein, Classical Mechanics); (b) deducciones a partir de la segunda ley de Newton por medio de una mera manipulación de derivadas parciales (J. L. Synge y B. A. Griffith, Principles of Mechanics, McGraw-Hill, New York 1959; E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press, Cambridge, 1927); (c) ecuaciones de Lagrange deducidas a partir de principios variacionales (C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, Toronto, 1949, Dover reprint 1989); (d) deducciones apoyadas en la geometría diferencial y el cálculo tensorial (J. L. Synge y A. Schild, Tensor Calculus, University of Toronto Press, Toronto, 1949, Dover reprint 1978). La deducción de las ecuaciones de Lagrange tipo (d) se basa en la sustitución y equivalencia de un sistema físico de N partículas por el de una única partícula moviéndose en un hiperespacio de dimensión 3N. El punto crucial es que la métrica de este hiperespacio es establecida por la forma de la energía cinética del sistema (James Casey, Geometrical Derivation of Lagrange’s equations for a system of particles, Am J Phys 62, 1994). Dinámica lagrangiana de un sistema “El lector no encontrará figuras en este trabajo. Los métodos que he establecido no requieren construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos: solo operaciones algebraicas, sujetas a una regla de procedimiento regular y uniforme.” Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813). “Mecanique Analytique” En este capítulo extenderemos la dinámica lagrangiana de una partícula, estudiada en el capítulo anterior, a un sistema de N partículas newtonianas, y como caso particular a un sólido rígido. 2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas La metodología que se usará para deducir las ecuaciones de Lagrange de un sistema de N partículas será la misma que la del capítulo anterior, estableciendo la siguiente analogía: el movimiento de N partículas respecto de un triedro físico es matemáticamente equivalente al movimiento de una única partícula en un espacio cartesiano 3N-dimensional. 2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional Partimos de un sistema de N partículas newtonianas de masas Mh ( h = 1, …, N ), moviéndose en un triedro Ox1x2x3, con coordenadas xih, i = 1, 2, 3. Sean Fih las componentes cartesianas de la fuerza total sobre la partícula h. Con esta notación, las 3N ecuaciones cartesianas de Newton que describen el movimiento del sistema de N partículas son Mhẍ ih = Fih, i = 1, 2, 3; h = 1, …, N, (sin suma) (2.1) y la energía cinética del sistema es N T = 12 ∑ Mh (ẋ 1h)2 + (ẋ 2h)2 + (ẋ 3h)2 . (2.2) h =1 Trataremos a continuación de escribir el sistema (2.1) de 3N ecuaciones diferenciales escalares como una única ecuación vectorial, como si fuera una partícula, pero en un espacio de dimensión 3N. Tomemos primero una cierta ordenación de las N partículas. Para esa ordenación, introduzcamos la siguiente notación con el objeto de simplificar la descripción del movimiento del sistema xih ≡ x3h – 3 + i, i = 1, 2, 3; h = 1, …, N, Fih ≡ f3h – 3 + i , Mh ≡ m3h – 2 ≡ m3h – 1 ≡ m3h. (2.3) De este modo, el sistema de N partículas se describe mediante el conjunto de 3N coordenadas rectangulares x = x1, x2, …, x 3N y 3N parámetros de masa de un punto P en un espacio cartesiano de dimensión 3N (espacio de configuración cartesiano). El movimiento de este punto está determinado por las ecuaciones mj ẍ j = fj, j = 1, …, 3N, (sin suma) (2.4) y la energía cinética del sistema es 30 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 2 Dinámica lagrangiana de un sistema 3N T = 12 ∑ mj(ẋ j )2. (2.5) j =1 Seguidamente introduzcamos la noción de distancia euclídea. Supongamos dos puntos muy próximos P y P’ con coordenadas x y x + dx, respectivamente. Basándonos en la expresión (2.5) de la energía cinética (suma de cuadrados), la N cual es positiva, y llamando m ≡  h = 1 Mh a la masa total del sistema de partículas, podemos definir el cuadrado de la distancia euclídea infinitesimal, ds, entre los puntos P y P’ por (ds)2 = 2T(dt)2/m. Es decir, 3N (ds)2 = ∑ d(x j j =1 2 mj /m ) . (2.6) De este modo, el espacio cartesiano con coordenadas x̃ j ≡ x j mj /m es un espacio euclídeo y, como sabemos del Álgebra lineal, es práctico asociar vectores a los puntos de dicho espacio. Trataremos el espacio euclidiano como un espacio vectorial en el que usamos los elementos ya conocidos de producto escalar de vectores, módulo del vector, base canónica, etc. Denotamos por {uk; k = 1, …, 3N } la base canónica de vectores (3N componentes): u1 = (1, 0, …, 0), …, u 3N = (0, 0, …, 1). El vector de posición del punto P con coordenadas cartesianas x ≡ x 1, x 2, …, x 3N, tiene la representación habitual 3N r = ∑ xj j =1 1 3N k mj /m uj = x e1 +⋯+ x e3N ≡ x ek, (2.7) Figura 2.1 Partícula de masa m en P en el espacio de configuración cartesiano 3N dimensional. (2.8) Cuadro 2.2 Construcción del espacio de configuración cartesiano en donde ej ≡ mj /m uj , j = 1, …, 3N. Observe el lector que a la expresión x k ek en (2.7) se le está aplicando el convenio de suma de Einstein. El vector velocidad del punto P tendrá por expresión v= dr = ẋ1e1+⋯ẋ 3Ne3N ≡ ẋ k ek, dt (2.9) en donde el módulo |ek| = m /m . Es interesante observar que, usando (2.8) y k (2.9), la energía cinética del sistema, ecuación (2.5), se puede escribir como la energía cinética de una partícula de masa m moviéndose en un espacio 3N dimensional x11, x21, x31, …, x1N, x2N, x3N → x1, x2, x3, …, x3N–2, x3N–1, x3N. 3N T = 12 ∑ mj(ẋ j )2 ≡ 12 mv2. Tomemos el conjunto de las N partículas de masas Mh (h = 1, …, N) con coordenadas x ih (i = 1, 2, 3). Sean F ih las componentes cartesianas de la fuerza total actuando sobre cada partícula. Establezcamos la siguiente correspondencia entre x ih, Mh y Fih con x j, mj y fj ( j = 1, …, 3N): (2.10) j =1 M1, M1, M1, Conviene también definir la base de vectores e j recíproca de la (2.8), es decir, el conjunto de vectores que verifica e j · ek = δkj, siendo δkj la delta de Kronecker. Obsérvese que e j ≡ m /mj uj ≡ ej m /mj . Construyamos ahora un vector fuerza, f, con la base e j y las componentes cartesianas de las fuerzas, fj, dadas en (2.3), …, MN, MN, MN, → m1, m2, m3, …, m3N–2, m3N–1, m3N. F11, F21, F31, …, F1N, F2N, F3N, → f1, f2, f3, …, f3N–2, f3N–1, f3N. f = f1e1+⋯+f3N e3N ≡ f ke k. (2.11) Se comprueba fácilmente que las 3N ecuaciones escalares (2.4) son las componentes cartesianas de la ecuación vectorial (ecuación vectorial de Newton en el espacio de configuración 3N dimensional) m dv = f. dt El vector de posición se construye con la base ej y el vector fuerza con la base e j: r = xkek ≡ x1e1 + ⋯ + x3Ne3N, f = fkek ≡ f1e1 + ⋯ + f3Ne3N. (2.12) 31 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 3 El cálculo variacional y la mecánica 3.1 ¿Por qué el cálculo variacional? 3.2 Nociones básicas de cálculo variacional 3.2.1 Variación de un funcional 3.2.2 Ecuación de Euler-Lagrange 3.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange: caso de varias funciones 3.2.4 Extremales con restricciones: multiplicadores de Lagrange 3.3 Principio de Hamilton 55 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 3 El cálculo variacional y la mecánica Llegaron los fugitivos a estos sitios, donde ahora ves las altas murallas y el alcázar, Cuadro 3.1 Mecánica de medios continuos ya comenzado a levantar, de la nueva Cartago, y compraron una porción de terreno, tal que pudiera toda ella cercarse con la piel de un toro, de donde le vino el nombre Los sistemas mecánicos discutidos en el cuerpo principal del libro tienen un número finito de grados de libertad y están gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Por ejemplo, un péndulo de longitud que oscila en un plano vertical tiene como único grado de libertad o variable de estado el ángulo θ(t). Su ecuación del movimiento es θ̈ + (g/)sin θ = 0. Existen también sistemas físicos, como por ejemplo los fluidos, los sólidos deformables o los campos electromagnéticos, cuyas variables de estado dependen tanto del tiempo como de la posición. En esos casos, la dinámica de las variables de estado está gobernada por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDDP). Un ejemplo sencillo es la temperatura T(x, t) en una barra de metal unidimensional de longitud y situada a lo largo del eje x. Se puede demostrar que la evolución de la temperatura con el tiempo es la solución de la EDDP conocida como ecuación del calor 2 ∂T − α ∂ T = 0, ∂t ∂ x2 donde α es la difusividad térmica de la barra. Una diferencia importante con respecto a los sistemas con un número finito de grados de libertad es que ahora, además de condiciones iniciales T(x, 0) = T0(x), hay que dar condiciones de contorno. En el caso de la barra, en donde hay derivadas de segundo orden en x, se puede imponer por ejemplo que la temperatura en los extremos de la barra adquiera ciertos valores, T(0, t) = TA(t) y T(, t) = TB(t). Las técnicas y teoremas de la mecánica analítica para sistemas con un número finito de grados de libertad pueden extenderse a los medios continuos. Esto incluye, por ejemplo, el formalismo lagrangiano y hamiltoniano, la localización de invariantes mediante el teorema de Noether o las variables acción-ángulo, por citar algunos ejemplos. En cada uno de los capítulos del libro, y en paralelo con la discusión en el texto principal, iremos mostrando dichas extensiones en los cuadros al margen. de Birsa. Virgilio, La Eneida Hasta el momento, las ecuaciones de Lagrange se han presentado en el texto como resultado de un tratamiento matemático de las ecuaciones de Newton del movimiento. Con este acercamiento, se ha visto, a posteriori, que la formulación lagrangiana constituye una descripción elegante y completa que, a efectos prácticos, se puede considerar independiente de la formulación newtoniana, aunque, obviamente, es equivalente a ésta. Cabe, pues, pensar que existe otro modo de fundamentar la mecánica lagrangiana recurriendo a postulados o principios que resulten independientes de los enunciados por las leyes básicas de Newton. Dado que la física newtoniana lejos de los límites relativistas o cuánticos es correcta, una nueva fundamentación de la mecánica en términos de las ecuaciones de Lagrange debería contener un número de postulados menor que los aportados por Newton, además de una sólida base matemática. Tal fundamentación existe, y se basa en un único principio, llamado de Hamilton, cuya base teórico-matemática se inspira en los denominados principios de mínimo, que siempre han estado ligados a la física y cuya historia es tan antigua como la de esta. 3.1 ¿Por qué el cálculo variacional? El cálculo variacional, también llamado cálculo funcional, está íntimamente relacionado con el cálculo de extremos de una función dada a los que estamos muy habituados, pero aquí no se habla de una función de una o varias variables, sino de una función de funciones. El problema de hallar puntos extremos de una función (las coordenadas para las cuales la función es un máximo o un mínimo) se traspone ahora al problema de encontrar las funciones (extremales) que hagan que una función de funciones sea máxima o mínima. La historia del cálculo de variaciones tiene su origen más conocido en el famoso problema de la braquistócrona propuesto por Jean Bernoulli en 1696, en el que se plantea encontrar la trayectoria que debería seguir una partícula empleando un tiempo mínimo en un campo de fuerza constante para recorrer la distancia entre dos puntos fijos, no alineados con la fuerza (ver Ejemplo 1 del texto). El relato histórico que acompaña al desenlace de este problema mediante las soluciones encontradas al mismo en su época por matemáticos como Leibniz, L´Hopital o Newton, es ya un hito clásico en la historia de las matemáticas y de las ciencias naturales. El lector podrá encontrar información en cualquier texto, pero la obligada referencia a este caso se justifica aquí para enmarcar históricamente un problema de la matemática que, en su aspecto más general, dio lugar a lo que hoy toma el nombre de cálculo de variaciones. Esta potente y eficaz herramienta matemática, rigurosamente establecida como método y reformulada por Euler hacia 1740, fue aplicada por Lagrange a la mecánica por primera vez. El cálculo de variaciones originó una elegante y sólida formulación de la dinámica, que se estableció 137 años después del primer enunciado de la braquistócrona, y fue dada por W. R. Hamilton mediante lo que hoy se conoce como principio de Hamilton. 56 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 3 El cálculo variacional y la mecánica Básicamente, el cálculo variacional se establece para dar respuesta a una cuestión muy habitual en problemas tanto de física como de ingeniería. Se trata de encontrar máximos y mínimos, pero no de una función en sí misma, sino de una magnitud que recibe el nombre de funcional Φ, cuyos valores se obtienen a través de su dependencia de una o más funciones. Por ejemplo, un funcional simple (Fig. 3.1) es la longitud de arco de una curva y = y(x) del plano que une dos puntos de coordenadas (xa, xb) xb 1 + (dy/dx)2 dx . ≡ Φ[y(x)] = (3.1) xa También son funcionales, por ejemplo, las coordenadas del centro de masas y las componentes del tensor de inercia de un sólido continuo de densidad de masa ρ(r) conocida (véase Capítulo 2). En cualquier caso, el valor del funcional depende de una función escalar (o vectorial) dada, de sus derivadas, o de la variable (escalar o vectorial) independiente de la función. El cálculo de variaciones versa sobre el método de hallar valores extremos de un funcional dado, es decir, determinar la función incógnita que permite que el funcional presente un valor extremo (máximo o mínimo) que se denomina valor estacionario. Así pues, mediante el procedimiento del cálculo variacional se llega, por lo general, a una solución consistente en una ecuación diferencial para la función incógnita. Figura 3.1 Curvas yI(x) e yII(x) con extremos fijados. La longitud de curva que une dos puntos dados del plano x-y es un funcional, el cual obviamente depende de la curva dada. Dos son los problemas básicos que contribuyeron a la fundamentación del cálculo variacional, llamados problema de las curvas geodésicas y el problema isoperimétrico. Conviene que se citen aquí por su relación con el contenido del curso y con la mecánica, en particular por lo que se refiere a la existencia de constricciones o ligaduras impuestas sobre las ecuaciones del movimiento de un sistema. Por otra parte, estos problemas alcanzan hoy una formulación mucho más amplia y general que la dada originariamente en sus planteamientos geométricos más primitivos, abarcando así un gran número de problemas que surgen en todos los ámbitos de la física y la matemática. El problema de curvas geodésicas consiste en determinar la curva sobre una superficie dada que da la menor longitud de arco entre dos puntos de la superficie g(x, y, z) = 0. En este caso, el funcional a minimizar es xb 1 + (dy/dx)2 + (dz/dx)2 dx , = Φ[y(x), z(x)] = (3.2) xa para el cual las funciones y(x) y z(x), sujetas a la condición o ligadura g(x, y, z) = 0, son las incógnitas del problema. Por otra parte, el problema isoperimétrico pretende hallar los extremales de un funcional, los cuales están sometidos a una restricción expresada por medio de una integral (condición isoperimétrica). En su planteamiento original e histórico (problema de la reina Dido), se trataba de determinar la curva cerrada de longitud fija que delimite un área máxima (¡el círculo!). Aquí la expresión del área es el funcional, y la condición sobre es una restricción o ligadura. 3.2 Nociones básicas de cálculo variacional En física son frecuentes los problemas que se resuelven mediante la exigencia de que algún funcional conocido alcance un extremo, surgiendo así en ocasiones Figura 3.2 Curvas y(x) e y(x) + h(x) con h(xa) ≠ 0 y h(xb) ≠ 0. 57 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación 4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange 4.1.1 Transformaciones puntuales 4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas 4.2 Invariancia o simetría de una función 4.2.1 Grupos uni-paramétricos de transformaciones 4.2.2 Definición de invariancia de una función 4.3 Teorema de Noether 4.3.1 Grupo de transformaciones puntuales 4.3.2 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con transformaciones invariantes 4.3.3 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con transformaciones invariantes extendidas 75 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 4 Es preciso detenerse en algún punto, y para que la ciencia sea posible, debemos detenernos cuando encontremos la simplicidad. Henri Poincaré Cuadro 4.1 Teoría de grupos La teoría moderna de grupos en matemáticas nace en el siglo XIX de la mano del matemático francés Evariste Galois (1811–1832), quien abordó un interesante y antiguo problema matemático. Galois trató de averiguar bajo qué circunstancias las raíces de un polinomio con coeficientes racionales pueden ser expresadas únicamente mediante número racionales, multiplicaciones, divisiones, sumas, restas y números elevados a la potencia 1/n siendo n un número entero. Si las soluciones se pueden expresar de dicha manera, se dice que la ecuación polinómica es resoluble por radicales. Por ejemplo, una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 es resoluble por radicales porque sabemos que su solución es −b ± b2 − 4ac . 2a Galois descubrió que la solucionabilidad de una ecuación por radicales está relacionada con la estructura de un grupo de permutaciones asociadas a las raíces del polinomio, lo que se conoce hoy en día como grupo de Galois del polinomio. Las ecuaciones polinómicas de grado < 5 son resolubles por radicales, las de grado ≥ 5 no lo son en general. x= Actualmente se utiliza el término grupo para denotar una estructura algebraica que consiste en un conjunto G de elementos equipados con una operación interna, denotada aquí con el símbolo “*”, que cumple las siguientes propiedades • Cierre: ∀a, b ∊ G, a * b ∊ G • Asociativa: ∀a, b, c ∊ G, (a * b) * c = a * (b * c) • Elemento identidad: ∀a ∊ G, ∃e \ e * a = a * e = a • Elemento Inverso: ∀a ∊ G, ∃b \ b * a = a * b = e Aunque Galois murió muy joven, con solo 20 años y como consecuencia de las heridas sufridas en un duelo con pistolas, su legado matemático fue muy profundo. En particular, el trabajo de Galois sobre ecuaciones algebraicas inspiró a Marius S. Lie, quien elaboró una teoría semejante para ecuaciones diferenciales. El lector interesado en la aplicación de la técnica de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales puede consultar la obra de Peter Olver, Applications of Lie groups to differential equations (Springer Verlag, New York 1993). Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación En los Capítulos 1 y 2 hemos visto algunas leyes de conservación elementales. Así, en un sistema lagrangiano que no dependa explícitamente del tiempo se tiene la ley de conservación de la energía, mientras que si el sistema posee una coordenada cíclica o ignorable, el momento canónico conjugado a dicha coordenada es una constante del movimiento. Ambas leyes de conservación se pueden ver tambien como consecuencia de ciertas simetrías de la lagrangiana. Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, da lo mismo usar la variable temporal t que la t′ = t + ε, siendo ε una constante cualquiera. Por otra parte, si la lagrangiana posee una coordenada cíclica o ignorable, qβ por ejemplo, podríamos usar en lugar de ella otra coordenada q′β = qβ + ε. Se dice entonces que la lagrangiana es invariante frente a traslaciones en el tiempo o invariante frente a traslaciones en la coordenada ignorable. También se suele decir que la lagrangiana tiene la simetría de traslaciones en el tiempo o traslaciones en la coordenada ignorable. Las leyes de conservación de la energía o del momento canónico son consecuencia, por tanto, de estas dos simetrías elementales que puede poseer la lagrangiana. 4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange La ventaja más importante que tienen los sistemas lagrangianos es que las ecuaciones de Lagrange son independientes del sistema de coordenadas generalizadas que se usen. A esta propiedad se la llama covariancia y, como se explica en el Cuadro 4.2, dicha propiedad fue siempre un objetivo que debían cumplir las leyes fundamentales de la física. 4.1.1 Transformaciones puntuales Supongamos un sistema con lagrangiana L(q, v, t), en donde q = q1, …, qn y v = v1, …, vn, son las coordenadas y velocidades generalizadas, respectivamente, y se ha usado para simplificar la notación: v ≡ q̇ 1, …, q̇ n. Como es sabido, las ecuaciones de Lagrange son d ∂ L − ∂ L = 0, dt ∂ v j ∂ qj vj ≡ dq j dt ; j = 1, …, n. (4.1) Supongamos que elegimos otro sistema de coordenadas q′ = q′1, …, q′n, que están relacionadas con las anteriores mediante n funciones qj = φ j(q′, t), j = 1, …, n. (4.2) Una transformación de este tipo se llama transformación puntual. Supondremos que la correspondencia entre q y q′ es biunívoca para cualquier instante de tiempo t, y que las funciones φj se comporten bien. Surge, naturalmente, la pregunta: ¿cuál será, para las nuevas coordenadas, el nuevo sistema de ecuaciones de evolución de las q′(t) equivalente al sistema (4.1)? Para responder a esta cuestión conviene volver al planteamiento más básico que nos condujo a las ecuaciones de Lagrange, es decir al principio de Hamilton (véase Capítulo 3). Las 76 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación ecuaciones de evolución son las ecuaciones diferenciales de los extremales del funcional acción, es decir, se obtienen a partir de t2 L(q1, …, qn, v1, …, vn, t)dt = 0, δS ≡ δ (4.3) t1 para q(t1) y q(t2) fijados. En el integrando del funcional, L(q, v, t), expresemos las variables q y v en función de las nuevas coordenadas. Las “q” vienen dadas por las funciones φ = φ1, …, φn, de las q′ y t. Mientras que las velocidades generalizadas v se expresan en función de las q′ y las nuevas velocidades generalizadas, v′ ≡ dq′/dt, derivando con respecto del tiempo la transformación (4.2). Es decir, vj ≡ dφ j(q′, t) ∂ φ j ∂φj + v′i , = dt ∂t ∂ q′i v′i = dq′i . dt (4.4) Observe el lector que al último sumando de la ecuación anterior se le está aplicando el convenio de suma de índices repetidos (índice “i”). Debe notarse que la transformación de las velocidades generalizadas no es una transformación independiente, sino que está inducida por la propia transformación puntual de coordenadas. En definitiva, el problema (4.3) de calcular los extremales queda planteado en la forma t2 δS ≡ δ L(q(q′, t), v(q′, v′, t), t)dt = 0. (4.5) t1 Es decir, debemos encontrar los extremales del funcional acción, con q′(t1) y q′(t2) fijados, en donde el integrando del funcional es otra función lagrangiana, L′(q′, v′, t), definida por L′(q′, v′, t) ≡ L(q(q′, t), v(q′, v′, t), t). (4.6) Las nuevas ecuaciones de Lagrange en coordenadas q′ son, por lo tanto: d ∂ L′ − ∂ L′ = 0, dt ∂ v′j ∂ q′j v′j ≡ dq′j dt ; j = 1, …, n. (4.7) Es decir, las ecuaciones de evolución en las nuevas coordenadas se expresan de la misma forma (ecuaciones de Euler-Lagrange) a partir de una nueva lagrangiana, L′(q′, q̇′, t), que se obtiene de la lagrangiana antigua, L(q, q̇, t), sustituyendo las coordenadas y velocidades generalizadas antiguas en función de las nuevas coordenadas generalizadas, q′, y las nuevas velocidades generalizadas, q̇′. Diremos entonces que las ecuaciones de Euler-Lagrange de un sistema lagrangiano son covariantes o que tienen la propiedad de covariancia: las leyes o ecuaciones diferenciales para los extremales son independientes del sistema de coordenadas. Por supuesto, las nuevas ecuaciones de Lagrange (4.7), desarrolladas, tendrán un aspecto algebraico muy diferente, en general, de las anteriores ecuaciones (4.1) desarrolladas. 4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas Cuadro 4.2 Principio de covariancia en física (1/2) Siguiendo las ideas de Galileo, Newton asumió que las leyes de la mecánica tienen la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. En particular, que la segunda ley m dv = F dt es válida para cualquier observador ligado a un sistema inercial. En ese marco, el espacio y el tiempo son conceptos absolutos e independientes. Sin embargo, a finales del siglo XIX y principios del XX, los físicos empezaron a sospechar que las leyes fundamentales de la física deberían tener la misma forma para cualquier observador y que la distinción entre sistemas inerciales y no inerciales podría ser ilusoria. Una pista importante la proporcionaron las ecuaciones de Maxwell para los campos electromagnéticos, las cuales son invariantes frente a las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, si tenemos un sistema S y otro S’ que se mueven con velocidad V a lo largo del eje x, las ecuaciones de Maxwell toman la misma forma si las coordenadas y el tiempo en ambos sistemas están relacionados por x′ = x − Vt , 1 − V 2/c2 2 t′ = t − Vx/c , 2 1 − V /c2 siendo y′ = y, z′ = z, donde c es la velocidad de la luz. Fíjese el lector que en estas transformaciones el espacio y el tiempo se mezclan. Basándose en estas ideas, Einstein propuso en 1905 lo que ahora se conoce como teoría de la relatividad especial y que se basa en dos postulados: • Las leyes de la física son invariantes en todos los sistemas inerciales. • La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente de la velocidad de la fuente de luz. En el marco de la relatividad especial, la segunda ley de Newton se escribe como d dt m0v 1 − v2/c2 = F, siendo m0 la masa en reposo de la partícula. Esta ecuación es invariante frente a las transformaciones de Lorentz y recupera la segunda ley de Newton cuando la velocidad es mucho menor que la de la luz. La propiedad de covariancia de las ecuaciones de Lagrange también se tiene para las llamadas transformaciones puntuales extendidas: aquellas transformaciones 77 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos 5.1. Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q) 5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio 5.1.2 Evolución de las perturbaciones alrededor del equilibrio 5.1.3 Descomposición en modos normales o propios de oscilación 5.1.4 Propiedades extremales de las frecuencias propias de oscilación 5.2. Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q, q̇) 5.2.1 Linealización alrededor del equilibrio en sistemas giroscópicos 5.2.2 Efectos giroscópicos sobre un sistema lagrangiano 91 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos Al considerar el movimiento de un sistema de partículas bajo la acción de un campo externo o como consecuencia de la interacción entre ellas, pueden existir posiciones de las partículas en las cuales el sistema esté en equilibrio. Es decir, posiciones tales que si las partículas se abandonaran en ellas con velocidad nula, permanecerían todo el tiempo en reposo en dichas posiciones. Parece natural entonces investigar el movimiento del sistema de partículas cuando se perturba levemente, sacándolo de las posiciones de equilibrio o impulsando las partículas con velocidades pequeñas. El movimiento subsiguiente que tendrá lugar podría ser el de un conjunto de vaivenes u oscilaciones alrededor de las posiciones de equilibrio, o que las partículas del sistema se alejaran continuamente de éstas. En cualquier caso, supondremos que las perturbaciones inicialmente introducidas son infinitesimalmente pequeñas, de tal modo que, durante un cierto tiempo, el sistema se mantendrá próximo al estado de equilibrio realizando un conjunto de movimientos que llamaremos, genéricamente, oscilaciones. Daniel Bernoulli nació el 8 de febrero de 1700 en Groninga, Países Bajos, en el seno de una familia de matemáticos. Además de él, también destacaron su padre, Johann Bernoulli, pionero del cálculo infinitesimal y profesor de Leonhard Euler, y su tío, Jacob Bernoulli, quien hizo contribuciones a la teoría de la probabilidad. D. Bernoulli aceptó el consejo de su padre y estudió medicina, pero puso como condición que le enseñara matemáticas de manera privada. Tras acabar los estudios de medicina, fue rechazado por la Universidad de Basilea, pero poco después consiguió una plaza de profesor en la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Allí trabajó ocho años y realizó importantes descubrimientos que le valieron para ganar un puesto como profesor en Basilea. En 1750, le concedieron la cátedra que había ocupado su padre. D. Bernoulli hizo importantes contribuciones en hidrodinámica, elasticidad y teoría cinética de gases. En el año 1738 publicó su famosa obra Hydrodynamica. En ella explica lo que posteriormente sería conocido como el Principio de Bernoulli y que relaciona la velocidad con la presión en un fluido incompresible. También fue precursor de la teoría de oscilaciones, gracias a un trabajo que publicó en 1753. La teoría general sobre las oscilaciones de un sistema de partículas con un número finito de grados de libertad fue establecida por Lagrange entre los años 1762 y 1765. La obra de Bernoulli fue muy extensa (86 trabajos) y recibió el reconocimiento de sus colegas, quienes le concedieron diez premios de la Academia de Ciencias de París y le eligieron miembro de la Real Sociedad de Londres. Murió el 17 de marzo de 1782, a la edad de 82 años, en Basilea. En este capítulo estudiaremos el movimiento próximo a la posición de equilibrio en dos tipos diferentes de sistemas lagrangianos. En primer lugar, consideraremos los sistemas en los que la lagrangiana L es de la forma L = T − U(q ), siendo la energía cinética T una función cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas, y el potencial U una función solo de las coordenadas. En segundo lugar, consideraremos un potencial de fuerzas más general que U(q ), añadiéndole un potencial giroscópico UGI , lineal en las velocidades generalizadas (ver Capítulo 2). Llamaremos a estos sistemas lagrangianos giroscópicos, en donde L = T − U(q ) − UGI . 5.1 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U (q) Supondremos en primer lugar un sistema lagrangiano de n grados de libertad con L = 12 mi j (q )q̇ iq̇ j − U(q ). Los coeficientes mi j dependen solo de las coordenadas generalizadas q ≡ q1, . . ., qn, son simétricos (mi j = mji ), y el determinante de la matriz con coeficientes mi j es diferente de cero. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este sistema son (compruébese), ∂ mik j i 1 ∂ mi j i j q̇ q̇ − q̇ q̇ = 0, mikq̈i + ∂ U + k ∂q ∂ qj 2 ∂ qk k = 1, . . ., n. (5.1) Busquemos a continuación las coordenadas de las posiciones de equilibrio q = q e ≡ q 1e , . . ., q ne . Es decir, las posiciones del sistema en las cuales, si se abandona en esa posición con velocidades generalizadas nulas, q̇ 1 = 0, . . ., q̇ n = 0, el sistema permanece en reposo en dicha posición todo el tiempo (el concepto de posiciones de equilibrio y su estabilidad se estudiará con cierta profundidad en el Capítulo 8). Debido a que el tiempo no aparece explícitamente en las ecuaciones de Lagrange (5.1), el sistema permanecerá en reposo todo el tiempo en la posición q = q e si para esa posición las aceleraciones q̈ son también nulas. Para ello, según las ecuaciones (5.1), es necesario que ∂ U/∂ qk|q = 0 con k = 1, . . ., n. Por lo tanto, e las posiciones de equilibrio, q = q e, corresponden a un extremo del potencial U y se obtienen del sistema de n ecuaciones ∂U ∂ qk | q=q e = 0, k = 1, . . ., n. ⇒ q e. (5.2) 92 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos En general, (5.2) es un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas y puede presentar varias soluciones que corresponden a diferentes posiciones de equilibrio. EJEMPLO 1 El potencial de fuerzas de un péndulo ideal de longitud que oscila con ángulo θ alrededor de la vertical es U = −mg cos θ. Las posiciones de equilibrio según (5.2) se obtienen de ∂ U/∂ θ = mg sin θ = 0, cuyas soluciones son θ = 0 (péndulo en la posición más baja) y θ = π (posición más alta del péndulo). 5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio y constantes, vienen dados por | = e k = 1, . . ., n . mik ẍ i + cik ẋ i + kik x i = 0, k = 1, . . ., n, que, en notación matricial, escribiremos en la forma M ⋅ ẍ + C ⋅ ẋ + K ⋅ x = 0, siendo C la matriz de componentes cik. Buscando ahora soluciones de la forma x = ueiσt, llegamos a la ecuación matricial que nos proporciona los valores de σ y u, similar al caso de oscilaciones sin disipación, (K − σ 2M + iσ C) ⋅ u = 0. (5.4) El sistema anterior conviene escribirlo en forma matricial introduciendo las matrices constantes M (de componentes mi j ), K (de componentes ki j ) y el vector columna, x, de componentes (x 1, . . ., x n). Se denotará por xT al vector fila (el transpuesto del vector columna x), y de modo similar para las matrices transpuestas M T y K T. El sistema de ecuaciones (5.4) escrito en forma matricial adopta la forma M ⋅ ẍ + K ⋅ x = 0. Se demuestra (usando argumentos termodinámicos) que la forma cuadrática F es simétrica, ci j = cji, y positiva. Las ecuaciones de Lagrange para las pequeñas oscilaciones, incluyendo este tipo de fuerzas, son (5.3) De este manera, ∂ U/∂ q k ≡ ∂ U/∂ x k ≈ ki k xi. Los términos tercero y cuarto de las ecuaciones (5.1) son de segundo orden (proporcionales a los productos de cantidades pequeñas, ∝ ẋi ẋ j ), y en la linealización del sistema serán despreciados. En consecuencia, el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange linealizado se escribe mi k ẍ i + ki k xi = 0, Cuando un sistema mecánico se mueve en un medio, la resistencia con él frena el movimiento, y la energía del sistema se disipa finalmente en forma de calor. La resistencia con el medio se puede describir, de un modo aproximado, mediante una fuerza de rozamiento que depende de la velocidad y, para velocidades pequeñas, es proporcional a ella. La fuerza generalizada Q kr asociada a la coordenada xk puede obtenerse a partir de la llamada función de disipación de Rayleigh, F = 1 ci j ẋ iẋ j , por medio de Q kr = −∂ F/∂ ẋ k. 2 Si en la posición de equilibrio del sistema, q = q e con q̇ = 0, se introducen unas perturbaciones infinitesimalmente pequeñas, x(t), de forma que q(t) = q e + x(t) con x(t) ≡ x 1(t), . . ., x n(t), podemos linealizar el sistema de ecuaciones (5.1) alrededor de q = q e y q̇ = 0. El primer término de la ecuación (5.1), el que contiene las derivadas segundas con respecto del tiempo, está ya prácticamente linealizado. Bastará tomar mi k(q )q̈i ≈ mi k(q e )ẍ i, con coeficientes mik(q e ) evaluados en q = q e y, por lo tanto, constantes. Por brevedad y para simplificar la notación, los llamaremos mi k de aquí en adelante. El segundo término, el correspondiente a la derivada del potencial U, teniendo en cuenta que en q = q e sus primeras derivadas son nulas [ecuación (5.2)], lo desarrollamos en serie de Taylor hasta términos de segundo orden: U = U(q e ) + 12 ki j x i x j , en donde los coeficientes ki j , simétricos ki j = ∂2 U/∂ qi ∂ q j q q . Cuadro 5.1 Oscilaciones amortiguadas Los valores de σ se obtienen de la condición |K − σ 2M + iσ C| = 0. Es fácil demostrar que si la matriz K es definida positiva (oscilaciones en torno a un mínimo estricto del potencial), entonces Re(iσ) < 0. El sistema efectúa oscilaciones amortiguadas en el tiempo (estabilidad asintótica). (5.5) Conviene notar que las ecuaciones (5.5) son las ecuaciones de Lagrange de un sistema con coordenadas generalizadas x y con lagrangiana L = T − U(x) ≡ 1 ẋ T ⋅ M ⋅ ẋ − 1 x T ⋅ K ⋅ x. 2 2 (5.6) 93 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton 6.1. De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema 6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton 6.1.2 Estructura matemática del formalismo hamiltoniano 6.2. Transformada de Legendre y ecuaciones canónicas 6.3. El principio de Hamilton 6.4. Notación simplética de las ecuaciones de Hamilton 6.4.1 Corchetes de Poisson 6.4.2 Leyes de conservación 6.5. Sistemas hamiltonianos 6.5.1 Transformaciones canónicas de coordenadas y momentos 6.6. El espacio de fases hamiltoniano 6.6.1 Hamiltonianos de un grado de libertad e independientes de t 6.6.2 Hamiltonianos de un grado de libertad dependientes de t 6.6.3 Hamiltonianos independientes de t con varios grados de libertad 6.6.4 Conservación del volumen en el espacio de fases canónico 6.6.5 Invariante integral de Poincaré-Cartan 111 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 6 William Rowan Hamilton nació en Dublín (Irlanda) en 1805 y fue el cuarto de nueve hermanos. Desde los tres años vivió con su tío James Hamilton, lingüista graduado en el Trinity College. Con él, Hamilton demostró una capacidad impresionante aprendiendo idiomas, y a la edad de solo trece años dominaba una docena de lenguas entre las que se encontraban el latín, el griego, el hebreo, el persa, el sánscrito, el francés y el italiano. Desde muy joven mostró también un interés muy alto por las matemáticas, lo cual le empujó a entrar en el Trinity College (Dublín) en 1823. En 1827, le designaron profesor de astronomía en el Observatorio de Dusink, donde pasaría el resto de su carrera. Con 19 años, Hamilton presentó a la Royal Irish Academy un trabajo sobre óptica (publicado en 1828) donde introduce la idea de “función característica óptica”. Dicha función está relacionada con las transformaciones canónicas de la mecánica clásica. En dos artículos publicados en 1834 y 1835, usó en la mecánica el formalismo que había desarrollado en la óptica y obtuvo por primera vez las ecuaciones que hoy día llevan su nombre, ecuaciones de Hamilton, presentando un principio variacional más general que los ya conocidos. El trabajo de Hamilton, completado por su contemporáneo Carl C. J. Jacobi, impulsó el desarrollo del cálculo variacional y la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y derivadas parciales de primer orden. Hamilton dedicó los últimos 22 años de su vida al desarrollo de los cuaterniones, los cuales fueron otra de sus contribuciones más notables. Murió en Dublín en 1865, a la edad de 60 años. Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton El conjunto de ecuaciones de Lagrange, asociadas a un sistema dinámico descrito por n coordenadas generalizadas, representa un sistema matemático de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, vinculadas a la interpretación geométrica de punto móvil en el denominado espacio de configuración. Existe otra formulación alternativa a la mecánica lagrangiana, que nos lleva a un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para un conjunto de 2n variables dinámicas independientes. Estas ecuaciones son las llamadas ecuaciones de Hamilton y son la base de la formulación hamiltoniana de la mecánica. A pesar de que esta nueva formulación no supone, en general, una simplificación en la resolución matemática del problema, sí alumbra un nuevo marco teórico interesante, fértil en cuanto a interpretaciones físicas, y flexible en cuanto a proveer métodos para el análisis de sistemas dinámicos. La formulación hamiltoniana encierra en sí misma nuevos conceptos innovadores, útiles y de enorme trascendencia en otros campos de la física, como en la física cuántica, mecánica estadística, etc. El análisis de cantidades conservadas puede abordarse aquí mediante nuevas técnicas en una formulación matemáticamente potente. En este capítulo se introducen los conceptos y elementos básicos de la formulación hamiltoniana de la mecánica. 6.1 De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema Fundamentalmente existen dos formas tradicionales de construir el formalismo hamiltoniano para la mecanica —mediante el uso del carácter estacionario de la integral de acción, o bien mediante la aplicación a la lagrangiana de un sistema dado de la denominada transformación de Legendre de una función—, procedimientos que se tratarán también en este capítulo. Sin embargo, del mismo modo que se introdujo operacionalmente la lagrangiana de un sistema y el formalismo asociado, en esta sección se ha optado por presentar también de forma operacional y práctica la llamada función de Hamilton, base para la formulación hamiltoniana de la mecánica. Para este fin, evocamos una vez más la importancia que tiene en mecánica la búsqueda de cantidades conservadas del sistema, y recordamos que entre las mismas hay una que tiene un significado y trascendencia especiales y que se denominó función energía E, dada por E = q̇ j ∂ L − L. ∂ q̇ j (6.1) Esta magnitud fue definida para sistemas en general, tanto holónomos como no holónomos ideales de n grados de libertad, y resulta ser una constante del movimiento en los sistemas holónomos ideales si la lagrangiana del sistema dinámico no depende explícitamente del tiempo. A su vez, otra magnitud esencial introducida en los dos primeros capítulos es el llamado momento canónico pj o momento conjugado a la coordenada generalizada q j, definido como pj = pj (q, q̇, t) ≡ ∂ L . ∂ q̇ j (6.2) Estas magnitudes, ligadas únicamente a la lagrangiana L(q, q̇, t) del sistema, fueron esencialmente definidas con la finalidad de hallar de forma sencilla cantidades conservadas. Sin embargo, como se muestra a continuación, ambas sirven 112 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton de base para construir la transición entre las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la dinámica. Consideremos un sistema lagrangiano y su función energía asociada (6.1). Usando la definición del momento conjugado pj a la variable q j, la función energía puede reescribirse en términos de tales momentos, de las coordenadas generalizadas y del tiempo. Efectivamente, de las relaciones (6.2) es posible en principio despejar cada q̇ j en términos de las variables (q, p, t), siempre que el determinante de la matriz hessiana, ∂2L/∂q̇ i∂q̇ j, asociada a la transformación sea no nulo, al menos localmente (exigencia del teorema de la función implícita). Con las relaciones funcionales q̇ j = q̇ j (q, p, t), ( j = 1, ..., n), (6.3) llevadas a E (q, q̇, t), se genera una nueva función dependiente ahora de los argumentos (q, p, t) y dada por H(q, p, t) = E(q, q̇(q, p, t), t) ≡ pj q̇ j(q, p, t) − L(q, q̇(q, p, t), t). (6.4) La función H(q, p, t) así definida se denomina función de Hamilton o hamiltoniana del sistema. A partir de ella pueden obtenerse las nuevas ecuaciones que rigen la dinámica del sistema, como veremos. Es importante señalar que la función H, cuyos argumentos son q, p y t, es una función diferente de la función E, dependiente de los argumentos q, q̇ y t. En el caso particular de una lagrangiana en la forma usual L = T − U, en donde el potencial U solo depende de las coordenadas generalizadas (y posiblemente de t), y la energía cinética, T(q, q̇, t), es una función homogénea de segundo grado en la velocidades generalizadas, sabemos que E = T + U, y se tendrá por lo tanto que H (q, p, t) = T (q, q̇ (q, p, t), t) + U (q, t). La técnica para construir la función de Hamilton H (q, p, t) a partir de una lagrangiana L (q, q̇, t) se basa en aplicar los siguientes pasos elementales: Cuadro 6.1 Formalismo hamiltoniano en medios continuos. Ejemplo (1/2) La mayor parte de las técnicas y herramientas del formalismo hamiltoniano para sistemas con un número finito de grados de libertad puede extenderse a medios continuos. En este ejemplo vamos a encontrar la ecuación del movimiento de una viga de masa M, longitud , sección transversal A y módulo de Young E, empotrada en un extremo, partiendo de las ecuaciones de Hamilton. El lector puede encontrar un desarrollo parecido, usando la formulación lagrangiana, en el Capítulo 3 (Cuadro 3.5). Tras dividir la viga en N trozos iguales y sustituir cada trozo por una partícula de masa m = M/N conectada a sus partículas adyacentes por sendos muelles de constante elástica k = EA/0 y longitud natural 0 = /N, la lagrangiana del sistema discreto es (ver Capítulo 3) L= 2 N N−1 j=1 j=1 ∑ λu̇ j2 − ∑ EA u j+1 − u j 2 0 y la ecuación del movimiento de la partícula j λü j − AE (u j+1 − 2u j + u j − 1) = 0 20 donde u j(t) es el desplazamiento de la masa j respecto de su posición de equilibrio y λ = M/ = m/0 la densidad lineal de la viga. Para encontrar las ecuaciones de Hamilton del problema discreto, introducimos en primer lugar el momento de la partícula j pj = 1. Calcular la función energía con (6.1). ℓ0 ∂L = 0 λu̇ j ∂u̇ j y la hamiltoniana 2. Calcular los momentos canónicos aplicando la definición (6.2). 3. Despejar las q̇ j como funciones de (q, p, t), lo que requiere que la matriz hessiana ∂2L / ∂q̇ i∂q̇ j asociada a la transformación anterior sea no singular. 4. Sustituir las q˙j (q, p, t) en E (q, q˙, t) para obtener finalmente la hamiltoniana H (q, p, t) = E (q, q˙(q, p, t), t). H = u̇ j pj − L. Sustituyendo los encontramos que H= resultados anteriores, N−1 u j+1 − u j 1 pj + ∑ EA 0 2 j=1 λ 0 j=1 ℓ0 2 N 2 ∑ y las ecuaciones de Hamilton 6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton u̇ j = ∂ H/∂ pj, Las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema para las variables “independientes” (q, p), llamadas ecuaciones canónicas de Hamilton, pueden obtenerse directamente evaluando la diferencial de H desde (6.1) y (6.4). Escribamos H como una función implícita de q, p y t, en la forma H = q̇ j pj − L (q, q̇, t), pi = ∂ L , ∂ q̇ i (i = 1, ..., n), ṗj = −∂ H/∂u j resultan, entonces, u̇ j = 1 pj , λ 0 ṗj 0 = EA (u j+1 − 2u j + u j − 1) . 20 (6.5) 113 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 7 Teoría de Hamilton-Jacobi 7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas 7.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi 7.2.1 La acción como una función de las coordenadas 7.3 Método de Hamilton-Jacobi de integración de las ecuaciones del movimiento 7.4 Sistemas separables 7.4.1 Hamiltoniana independiente del tiempo y separable 7.4.2 Hamiltoniana independiente del tiempo y con coordenadas cíclicas 7.4.3 Coordenadas separables 7.5 Teorema de Liouville sobre los sistemas integrables 7.6 Variables acción-ángulo 7.6.1 Variables acción-ángulo en sistemas de un grado de libertad 7.6.2 Variables acción-ángulo en sistemas de n grados de libertad 7.6.3 Geometría del movimiento en sistemas integrables 7.6.4 Invariantes adiabáticos 145 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 7 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) nació en Potsdam (Prusia) el 10 de diciembre de 1804. Hijo de una próspera familia de banqueros judíos y con un talento precoz para las matemáticas, Jacobi se doctoró y obtuvo una plaza de Privatdozent en la Universidad de Berlín con tan solo veinte años. Al igual que otras muchas profesiones, la de profesor estaba vetada para los judíos en Alemania, por lo que decidió convertirse al cristianismo. Ante la falta de expectativas de promoción en Berlín, Jacobi se trasladó en 1826 a Königsberg (actual Kaliningrado, Rusia) donde ejerció primero como conferenciante y, a partir de 1832, como profesor. Su labor docente fue muy destacada y siempre gozó de una excelente reputación como maestro por atraer y estimular a sus alumnos. Durante su etapa en Königsberg, coincidió con el prestigioso matemático y astrónomo Friedrich Bessel y se puso en contacto con otras figuras notables de la época, como Gauss y Legendre. Su hermano Moritz, quien también era un notable físico, se trasladó allí con él. Sin embargo, la crisis económica en Prusia y la búsqueda de un clima menos extremo que beneficiara su delicada salud empujaron a Jacobi a regresar a Berlín en 1844. Allí murió en 1851 tras contraer la viruela. Jacobi contribuyó notablemente a varios campos de las matemáticas y la física. De manera independiente al matemático noruego Niels Henrik Abel, con quien mantuvo cierta pugna, ideó la teoría de las funciones elípticas. En álgebra destacan sus aportaciones sobre las formas cuadráticas. Introdujo la teoría general de determinantes, las matrices que hoy en día se llaman jacobianas en su honor, y realizó aportaciones a la teoría de números y las ecuaciones diferenciales. Su hermano estimuló el interés de Jacobi por la física, a la que contribuyó en áreas como la mecánica celeste. La integral de Jacobi, una constante del movimiento en el problema de los tres cuerpos restringido, lleva su nombre en su honor. Teoría de Hamilton-Jacobi La denominada ecuación de Hamilton-Jacobi que veremos en este capítulo constituye una formulación alternativa y completa de la mecánica clásica. Esta alternativa proviene y surge, históricamente, de la óptica geométrica y su correspondiente principio variacional (principio de Fermat), que guió su desarrollo. Una vez más, los principios variacionales aplicados inicialmente en el campo de la óptica se llevan a la mecánica como una contribución profunda que perdura hasta nuestros días. La formulación de la mecánica basada en la ecuación de Hamilton-Jacobi (H J) permitió una descripción equivalente de ondas y partículas. En realidad, constituyó un final largamente buscado desde Johann Bernoulli en el siglo XVIII, el cual persiguió una analogía entre la propagación de ondas y partículas. Esta analogía llevó a Schrödinger en el siglo XX a la búsqueda de una ecuación para su mecánica ondulatoria, o mecánica cuántica, al generalizar la ecuación de H J. El método de Hamilton-Jacobi de integración de las ecuaciones canónicas de Hamilton aporta una perspectiva nueva. En lugar de centrarse en el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de Hamilton, nos volcamos en la resolución de una ecuación en derivadas parciales, la ecuación de HJ. En particular, investigaremos su resolución con la técnica de separación de variables en las coordenadas apropiadas. Si dicha ecuación es completamente separable, podremos encontrar su solución, lo que nos llevará a determinar un número suficiente de leyes de conservación o cantidades conservadas que nos permita resolver las ecuaciones canónicas de Hamilton por cuadraturas. La equivalencia entre un número suficiente de cantidades conservadas y la separación de variables en la ecuación de HJ, y por tanto su integración, es completa. 7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas En el capítulo anterior vimos que las ecuaciones canónicas de Hamilton de un sistema con hamiltoniana H(q, p, t), q̇ j = ∂ H , ∂ pj ṗ j = − ∂ H , ∂qj j = 1, …, n, (7.1) conservan la forma en una transformación de coordenadas y momentos, q = q (Q, P, t) y p = p (Q, P, t), que sea canónica. Es decir, existe una función H (Q, P, t), tal que las ecuaciones (7.1) en las nuevas variables Q, P se escriben Q̇ j = ∂ H , ∂ Pj Ṗ j = − ∂ H , j = 1, …, n. ∂Qj (7.2) Vimos también, en el capítulo anterior, el algoritmo que nos permitía comprobar que una transformación fuera canónica (M · J · M T = J); sin embargo, no disponíamos de un algoritmo simple para generar o inventarnos una transformación canónica. De igual modo, excepto en el caso de que la transformación fuera independiente del tiempo, desconocíamos cómo obtener la nueva hamiltoniana H (Q, P, t), y qué relación tiene con la antigua hamiltoniana H (q , p, t). Para construir una técnica general y eficiente que genere transformaciones canónicas, parece lógico apoyarse en una base teórica sólida que sirva para establecer las ecuaciones de Hamilton. La referencia teórica más útil y rigurosa para este fin es el principio de Hamilton, presentado en el capítulo anterior. De hecho, las expresiones 146 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 7 Teoría de Hamilton-Jacobi que definen las transformaciones canónicas pueden obtenerse fácilmente usando dicho principio. En concreto, en las variables canónicas originales (q, p), este principio se escribe matemáticamente como t2 δ ( pj d q j − H (q, p, t) dt) = 0. (7.3) t1 Dado que se pretende que en las nuevas variables se satisfagan las ecuaciones canónicas (7.2), deberá cumplirse análogamente t2 δ ( Pj d Q j − H (Q, P, t) dt) = 0, (7.4) t1 que es el principio de Hamilton en términos de las nuevas variables. En aras de proceder de la forma más general posible, se puede reescribir también, como ya vimos en el Capítulo 6, en la forma t2 δ ( Pj d Q j − H (Q, P, t) dt + d F) = 0, (7.5) t1 donde se ha introducido en el integrando la diferencial total de una función arbitraria F dependiente de las coordenadas, de los momentos y del tiempo en general. Como se estableció en capítulos anteriores, la adición de d F no modifica las ecuaciones del movimiento, al no introducir cambio alguno en el cálculo variacional, pues t2 δ dF dt = δ (F (t2 ) − F (t1)) = 0. t1 dt (7.6) Atendiendo ahora a la equivalencia entre las dos formulaciones anteriores del principio de Hamilton [ecuaciones (7.3) y (7.5)], podemos escribir en consecuencia la siguiente identidad (obviando cualquier constante multiplicativa) pj d q j − H dt = P j d Q j − H dt + d F. (7.7) En la ecuación anterior, la función F es una función de q, p y t (o bien de Q, P y t). Dada una transformación canónica cualquiera, por 2n funciones Q (q, p, t) y P (q, p, t) de las 2n variables q, p y de t, la ecuación (7.7) nos dice que la expresión lineal en los diferenciales (d q, d p y dt), pj d q j − P j d Q j − (H − H ) dt, es una diferencial exacta. La pregunta que nos hacemos es si la función F se puede expresar en función de 2n variables independientes cualesquiera, escogidas de entre el conjunto de 4n variables (q, p y Q, P) que aparecen en las 2n ecuaciones de la transformación canónica. ■ Función generatriz tipo 1 Supongamos que escogemos como 2n variables independientes las coordenadas q y Q [siendo Q (q, p, t)], de modo que a partir de (q, Q) podemos determinar p. Por el teorema de la función implícita, se deberá cumplir que el determinante de la matriz jacobiana de la transformación, (q, Q) ↔ (q, p), sea distinto de cero, ∂ (q, Q) ∂ (q, p) ≡ ∂Q ≠ 0. ∂p (7.8) Cuadro 7.1 Breve historia de la ecuación de Hamilton-Jacobi (1/2) La historia de la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJ) constituye un caso singular de la creación de una teoría matemática nueva y original que es reinterpretada y extendida casi inmediatamente. En un periodo de tan solo unos cuatro años, entre 1834 y 1837, se lograron conectar las ecuaciones del movimiento de la mecánica con una nueva y fundamental ecuación en derivadas parciales. Esta revolución para la mecánica vino acompañada del descubrimiento por parte de Jacobi en 1836 de un nuevo invariante en el problema de los tres cuerpos. Desde Newton y Lagrange en los siglos XVII y XVIII, la mecánica no había experimentado un avance similar. El origen de la ecuación de HJ se encuentra en los intentos por parte de Hamilton de construir una teoría para la mecánica a partir de sus trabajos en óptica geométrica. En ese campo, Hamilton había encontrado una función característica (la longitud de camino óptico) a partir de la cual se podía encontrar la trayectoria de los rayos y se preguntaba por la existencia de un análogo para las trayectorias de las partículas. En su artículo “On a General Method in Dynamics” de 1834, tomó como punto de partida el principio de d’Alembert (axioma de la mecánica analítica de Lagrange) y restringió el análisis a problemas con fuerzas independientes del tiempo. Hamilton encontró una función característica a partir de la cual derivó las ecuaciones del movimiento. Prácticamente al final del artículo, introdujo la función auxiliar S y escribió dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden que dicha función debía satisfacer. En un artículo posterior de 1835, Hamilton desarrolló estas ideas y denominó a S como función principal. Para Hamilton, una de las aplicaciones más importantes de su función principal era lo que hoy se conoce como el cálculo de problemas con perturbaciones. En ellos, si se conoce la solución de la dinámica del problema sin perturbar, se pueden encontrar aproximaciones sucesivas que incluyen el efecto de las fuerzas de perturbación. Estos métodos son muy utilizados en varios campos de la física y, en particular, en mecánica celeste. Es importante señalar que Hamilton notó que las ecuaciones de Lagrange se podían obtener a partir de la condición δ S = 0. Sin embargo, para él dicha ecuación era una consecuencia de su teoría y no un axioma fundamental en mecánica. Por tanto, la derivación de su teoría a partir de las ecuaciones del movimiento fue diferente a la que usó en óptica geométrica, en donde su punto de partida fue el principio variacional de Fermat. 147 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 8 Soluciones regulares en sistemas dinámicos 8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos 8.1.1 El espacio de estados 8.1.2 Estabilidad orbital 8.1.3 Sistemas disipativos y no disipativos 8.2 Soluciones de equilibrio de sistemas continuos 8.2.1 Análisis de estabilidad 8.2.2 Estudio de un sistema dinámico bidimensional 8.2.3 Teorema de Lagrange 8.3 Puntos fijos o de equilibrio de sistemas discretos 8.3.1 Análisis de estabilidad 8.4 Órbitas periódicas de sistemas continuos 8.4.1 Teorema de Poincaré-Bendixson 8.4.2 Estabilidad de órbitas periódicas 8.4.3 Resonancia paramétrica 8.5 Órbitas periódicas de sistemas discretos 8.6 Órbitas cuasiperiódicas de sistemas continuos 8.7 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas 189 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 8 Cuadro 8.1 ¿Qué es un sistema dinámico determinista? En un sistema dinámico determinista, una máquina u operador T recibe el estado del sistema x(t0) en un instante t0 y, aplicando una serie de reglas fijas, obtiene el estado x(t1) en un instante diferente t1 (Fig. 8.C1). La palabra fija se usa aquí para resaltar que no hay ni azar ni ruido en las reglas del operador: dado un estado x(t0), siempre devuelve el mismo x(t1). El funcionamiento del operador puede depender de un conjunto de parámetros μ. Sin embargo, dados estos, las operaciones que realizará para calcular x(t1) a partir de x(t0) están totalmente fijadas. Figura 8.C1 Esquema de un sistema dinámico determinista. Por ejemplo, consideremos un sistema dinámico que permite como estados las letras del abecedario y su funcionamiento es el siguiente. El estado en un instante es la letra que tiene posición en el abecedario calculada de la siguiente manera: se multiplica la posición del estado anterior por dos y al resultado le restamos el número dos. Si la condición inicial es la letra c, la evolución del sistema dinámico es c, d, f, j… La letra b es una posición de equilibrio ya que, usándola como condición inicial, encontramos la secuencia b, b, b, b… Cuando un sistema no es determinista, es decir, en las leyes que permiten calcular el estado futuro existen procesos aleatorios, decimos que el sistema dinámico es estocástico o aleatorio. El ejemplo anterior sería un sistema aleatorio si, en lugar de restar dos posiciones, restáramos tantas posiciones como indicara el resultado de lanzar un dado. Soluciones regulares en sistemas dinámicos Una vez escritas las ecuaciones del movimiento de un sistema físico, utilizando por ejemplo el formalismo lagrangiano o hamiltoniano, uno se pregunta qué tipo de soluciones presentan y cómo se comportan al ser perturbadas. Estas cuestiones han sido tratadas en los capítulos anteriores, pero limitando el análisis a sistemas muy particulares. Por ejemplo, el Capítulo 5 presta atención a la existencia y estabilidad de las posiciones o puntos de equilibrio en sistemas lagrangianos. En el Capítulo 7, dedicado a la teoría de Hamilton-Jacobi, aparecieron de manera natural las órbitas periódicas y cuasiperiódicas al estudiar la geometría del movimiento de los sistemas hamiltonianos integrables. Sin embargo, como ya se ha ido avanzando a lo largo del libro, hay sistemas físicos que no son lagrangianos ni hamiltonianos, y solo en contadas ocasiones son además integrables. Por ese motivo, ahora que conocemos las propiedades de estos sistemas particulares y las herramientas básicas para analizarlos, es el momento de generalizar los conceptos para cualquier sistema dinámico. La teoría de sistemas dinámicos fue fundada por H. Poincaré a finales del siglo XIX, pero no fue hasta la segunda mitad del siglo XX cuando sufrió una auténtica revolución gracias al descubrimiento de lo que hoy conocemos como caos determinista. Las ideas y descubrimientos de científicos como A. N. Kolmogorov, V. I. Arnold, L. P. Shilnikov, E. Lorenz, S. Smale, M. Feigenbaum y B. Mandelbrot, entre otros, han tenido un impacto enorme en multitud de disciplinas como la física, las matemáticas, la ingeniería, la biología y la economía. El motivo de este desarrollo tan tardío es debido a que la determinación de las soluciones de un sistema dinámico no lineal y el estudio de su estabilidad requieren, en general, un análisis combinado de técnicas analíticas y numéricas. El ordenador es una herramienta fundamental. Actualmente existen programas (MATLAB, Maple, Mathematica, AUTO) con los que, con un mínimo de manipulaciones, se pueden investigar y verificar numéricamente muchos de los aspectos teóricos. Los programas de MATLAB que acompañan a este libro permiten precisamente potenciar el uso combinado de la teoría del texto con las técnicas numéricas. Su uso permite profundizar de manera amena en conceptos teóricos, y visualizar e interaccionar con las soluciones de los ejemplos. Animamos al lector a jugar con los programas de ordenador mientras lee los Capítulos 8, 9 y 10. En los cuadros adjuntos se indican los nombres de los programas relacionados con la teoría explicada en el texto principal y, en algunos casos, una descripción breve del algoritmo numérico implementado. Veamos a continuación, y en orden creciente de complejidad, las llamadas soluciones regulares, es decir, posiciones de equilibrio y órbitas periódicas, cuasiperiódicas, homoclínicas y heteroclínicas. 8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos Para una gran variedad de sistemas físicos, por ejemplo, los sistemas mecánicos discutidos en los capítulos anteriores, la dinámica viene gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, es decir, dx = f(x, t; μ), dt (8.1) 190 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 8 Soluciones regulares en sistemas dinámicos donde al vector x ∊ 핉N se le llama vector de estado, f es un campo vectorial sobre 핉N con componentes f1, ..., fN y μ ∊ 핉M es un vector que contiene M parámetros del sistema. A la solución x(t) del sistema, que depende tanto del vector μ como de las condiciones iniciales x0 ≡ x(t = 0), se le conoce como órbita o trayectoria y, en general, se determina mediante una integración numérica del sistema (8.1). En el Cuadro 8.2 se presenta un método numérico sencillo para integrar ecuaciones diferenciales numéricamente. Si el tiempo no aparece de manera explícita en la ecuación diferencial, se dice que el sistema es autónomo. De aquí en adelante omitiremos la dependencia explícita de f con μ para simplificar la notación. Existe una amplia variedad de algoritmos para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente. El más sencillo es el método de Euler, en donde un sistema continuo de la forma Un ejemplo de sistema dinámico no autónomo es un péndulo simple con rozamiento viscoso proporcional a la velocidad y forzado periódicamente en el tiempo, con amplitud a0 y frecuencia Ω. Su ecuación del movimiento es xj+1 = xj + 4t × f (xj, tj), θ̈ + 2γθ˙ + ω20 sinθ = a0 cosΩt, (8.2) donde θ es el ángulo que forma el péndulo con la vertical, ω0 la frecuencia natural de oscilación de ángulo pequeño y γ el coeficiente viscoso. La ecuación (8.2) se escribe como la (8.1) sin más que definir los vectores x = (θ˙, θ), f = (–2γθ˙ – ω 20 sinθ + a0 cosΩt, θ˙) y μ = (γ, ω0, a0, Ω). Los sistemas dinámicos gobernados por ecuaciones del tipo (8.1) se llaman sistemas continuos. También son de gran interés los sistemas discretos o mapas, cuyo estado xk+1 en el instante tk+1 depende de su estado xk en el instante tk a través de la ecuación xk+1 = f (xk , k; μ), k = 0, 1, …, (8.3) siendo k un entero y f (xk , k; μ) una función vectorial sobre 핉 N, en general, no lineal. Se dice que el sistema discreto es autónomo si el campo f no depende explícitamente del índice k, como argumento del campo. No obstante, supondremos de aquí en adelante que el sistema dinámico discreto es autónomo y omitiremos también la dependencia explícita de f con el vector de parámetros μ para simplificar la notación. La trayectoria iniciada en x0 es la secuencia de puntos x0 , f (x0 ), f (f (x0 )), ..., que resulta de iterar la aplicación o mapa f. También puede escribirse como {x0 , f (x0 ), f (2) (x0 ), …}, Cuadro 8.2 Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias dx = f (x, t) , dt siendo x el vector de estado y t la variable independiente, se aproxima por el mapa donde 4t es un incremento pequeño de la variable independiente. Conocida la condición inicial x0 en el instante t0, la iteración del mapa proporciona la sucesión de puntos que aproxima la órbita continua x(t). Para integraciones largas de sistemas hamiltonianos conviene usar integradores simpléticos, ya que son esquemas que conservan la 2-forma diferencial dp ∧ dq. En la Figura 8.C2 se muestra un ejemplo de trayectoria numérica del sistema de Lorenz dx = a(y – x), dt dz = xy – cz, dt siendo a, b y c parámetros del sistema. En este caso, que el lector puede investigar mediante el programa ODE_Orbitas.m, la integración se ha llevado a cabo con otro método también muy popular llamado Runge-Kutta. Con este programa, el lector puede investigar el efecto que produce cambiar las condiciones iniciales y los parámetros. 60 (8.4) 40 donde hemos denotado con f (n ) (x) a la iteración n-ésima. Un ejemplo famoso de sistema discreto unidimensional es el mapa logístico 20 xk+1 = r xk (1 − xk ), (8.5) en donde el escalar r es un parámetro del sistema. Entre otras aplicaciones, los sistemas discretos aparecen de manera natural al hacer ciertos cálculos numéricos relacionados con los sistemas continuos. Dos ejemplos son la integración numérica de ecuaciones diferenciales y el cómputo de sus posiciones de equilibrio (ver Cuadros 8.2 y 8.4). dy = x(b – z) – y, dt 0 50 0 –50 –20 –10 0 10 20 Figura 8.C2 Atractor de Lorenz calculado con el programa ODE.m siendo a = 10, b = 28 y c = 8/3. 191 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 9 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas no lineales 9.1 Bifurcaciones 9.1.1 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio 9.1.2 Bifurcaciones de órbitas periódicas 9.1.3 Bifurcaciones de órbitas homoclínicas y heteroclínicas 9.2 Algunos métodos analíticos aproximados 9.2.1 Movimiento en un campo periódico de alta frecuencia 9.2.2 Método de Lindstedt-Poincaré 9.2.3 Método de promedio 9.2.4 Resonancia no lineal 221 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 9 Cuadro 9.1 Diagrama de bifurcación en el mapa logístico (1/2) Los resultados analíticos que se encontraron en el Ejemplo 8 del Capítulo 8 sobre el mapa logístico se pueden organizar de manera efectiva en un diagrama de bifurcación (ver Fig. 9.C1a). En él se presenta en abscisas el parámetro de bifurcación r y en ordenadas los valores de xn para un número grande de iteraciones. Para generar la secuencia xn con un cierto valor del parámetro r, se itera el mapa con condición inicial arbitraria y se elimina de la serie el transitorio. Obviamente, con este procedimiento solo se pintan las soluciones estables (atractores) en el diagrama de bifurcación. En el Capítulo 8 se demostró analíticamente que los puntos fijos x1 = 0 y x2 = (r − 1)/r intercambian su estabilidad cuando el parámetro es r = 1 (bifurcación transcrítica). Por ese motivo en el diagrama vemos el punto fijo x1 cuando r < 1 y el punto x2 si r > 1. El punto fijo x2 es estable en el rango 1 < r < 3 y se desestabiliza en r = 3 a través de una bifurcación a periodo doble que da lugar a una rama estable de órbitas periódicas de periodo 2. Dicha órbita periódica aparece en el diagrama como dos ramas. Sabemos que se desestabiliza en r = 1 + 6 debido a otra bifurcación a periodo doble que origina una rama estable de órbitas periódicas con periodo 4 (cuatro ramas en el diagrama de bifurcación). Figura 9.C1a Diagrama de bifurcación del mapa logístico. Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas no lineales Tras estudiar en el capítulo anterior las soluciones regulares de los sistemas dinámicos, y antes de abordar el análisis de las soluciones caóticas en el siguiente, es conveniente prestar atención a las bifurcaciones que pueden experimentar las soluciones regulares al variar un parámetro del sistema. Esta aproximación ayudará a entender mejor el próximo capítulo, ya que pone de relieve de manera explícita algunas de las posibles rutas hacia el caos. Por ejemplo, existe un escenario llamado cascada de Feigenbaum en el que, al variar un parámetro, aparecen soluciones periódicas de complejidad creciente que terminan resultando en soluciones no regulares o caóticas. La cascada está presente en el Ejemplo 8 del Capítulo 8, el cual retomamos ahora para organizar sus resultados en un diagrama de bifurcación (ver Cuadro 9.1). El estudio de las bifurcaciones de soluciones regulares nos permite intuir la aparición de soluciones caóticas incluso antes de estudiar sus propiedades. En este capítulo también se comienza a comprender la estrecha relación que existe entre el caos y los fractales, es decir, formas geométricas irregulares y fragmentadas cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. El segundo bloque del capítulo presenta algunos métodos analíticos aproximados para estudiar sistemas dinámicos no lineales. La no-linealidad abre un abanico sorprendente de posibilidades y comportamientos que no son posibles en los sistemas lineales. En algunos de los ejemplos mostrados, los métodos de perturbaciones que se implementan permiten encontrar relaciones analíticas que muestran de manera explícita la existencia de bifurcaciones, y la aparición de fenómenos interesantes como la existencia de múltiples soluciones para el mismo valor de los parámetros del sistema y la histéresis, entre otros. Los métodos aproximados también son útiles para encontrar soluciones semilla con las que iniciar los algoritmos numéricos de determinación de órbitas. Este capítulo hace, por tanto, de puente entre lo regular y lo complejo. 9.1 Bifurcaciones A menudo uno no está interesado únicamente en qué tipo de soluciones presenta el sistema dinámico y en su estabilidad local, objetivo del Capítulo 8, sino también en qué les ocurre a dichas soluciones cuando alguno de los parámetros físicos del sistema dinámico cambia. Es lo que se denomina análisis de bifurcación o estabilidad estructural del sistema. Es importante señalar, que cuando mencionamos que un parámetro cambia o varía, no queremos decir que lo haga en el tiempo. El parámetro es constante, y el análisis de bifurcación intenta averiguar qué le ocurre al sistema dinámico para diferentes valores de éste, es decir, plantea una colección de problemas. Al parámetro que varía se le conoce como parámetro de bifurcación o control. La casuística o escenarios de bifurcación es muy amplia e incluye la pérdida de estabilidad de las soluciones, su destrucción o la aparición de otras nuevas con igual o diferente carácter que la que se venía estudiando. Las bifurcaciones ocurren tanto en sistemas continuos como en sistemas discretos, y habitualmente los resultados se organizan en un diagrama, llamado de bifurcación. En él se presenta en un eje el parámetro de bifurcación y, en el otro, alguna magnitud relacionada con el espacio de estados, como por ejemplo el valor de una variable de estado cuando alcanza un extremo, etc. Se denomina punto de bifurcación al lugar geométrico en dicho diagrama en donde se produce un cambio de carácter en las soluciones del sistema. 222 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 9 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas no lineales Las bifurcaciones pueden clasificarse en locales y globales. Las primeras se refieren a un cambio en las inmediaciones de una solución particular. Por ejemplo, una bifurcación local es el cambio de estabilidad de una posición de equilibrio o de una órbita periódica al variar un parámetro de bifurcación. Al resto de bifurcaciones se les denomina globales y, como su propio nombre indica, involucran cambios que afectan a la dinámica del sistema en regiones amplias del espacio de los estados. Dos ejemplos de bifurcaciones globales al variar un parámetro son la explosión de una solución caótica en otra más grande, o la desaparición de una solución estable y la convergencia de las órbitas del sistema hacia otra remota. A continuación, se clasifican las bifurcaciones locales para algunos tipos de soluciones regulares estudiadas en el Capítulo 8. Es importante señalar que no se consideran los casos degenerados, los cuales pueden encontrarse discutidos en libros especializados sobre teoría de bifurcación. En el Capítulo 10 se mencionarán algunas bifurcaciones de soluciones caóticas (crisis). 9.1.1 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio Supongamos un sistema continuo y autónomo, de dimensión N, como el estudiado en la Sección 8.2 del capítulo anterior. Llamemos α al parámetro de control, y sea x = xe una posición de equilibrio, es decir, una solución de f (x, α) = 0. Como ya vimos, el carácter de la estabilidad local de dicha posición viene determinada por la parte real de los autovalores λ j de la matriz jacobiana A del campo f evaluado en xe . Es asintóticamente estable si Re (λ j ) < 0 con j = 1, ..., N, e inestable si existe algún autovalor con parte real positiva. Dado que el campo f depende del parámetro α, los autovalores también estarán controlados por él. Si existe un valor α = α * en el cual la parte real de un autovalor complejo se hace nula, entonces se dice que en α = α * existe un punto de bifurcación. Cuando el autovalor es real, la bifurcación se denomina estática y existen tres escenarios. • Bifurcación silla-nodo. Dos ramas de posiciones de equilibrio, una estable y otra inestable, se encuentran en el punto de bifurcación α = α * . A un lado del punto de bifurcación existen dos soluciones y, al otro lado, ninguna (ver Fig. 9.1a). • Bifurcación horca. En el punto de bifurcación confluyen cuatro ramas de puntos fijos. Si la bifurcación es de tipo horca supercrítica (esquema izquierdo de la Figura 9.1b), se encuentra una rama estable a un lado de la bifurcación y dos ramas estables y otra inestable al otro lado. En el caso subcrítico (esquema derecho), existe una rama inestable a un lado y dos inestables y otra estable al otro. A diferencia de la bifurcación silla-nodo, en una bifurcación horca las ramas no tienen la misma tangente en el punto de bifurcación. • Bifurcación transcrítica. Dos ramas de puntos fijos intercambian su estabilidad en el punto de bifurcación (Fig. 9.1c). Las ramas confluyen con diferente tangente. Si existe una pareja de autovalores complejos conjugados cuya parte real se hace cero en α = α*, entonces la bifurcación se denomina dinámica y existe una única tipología: Cuadro 9.1 Diagrama de bifurcación en el mapa logístico (2/2) Es evidente en la Figura 9.C1a que la cascada de bifurcaciones no acaba en r = 1 + 6 , sino que el proceso de desestabilización de órbitas periódicas junto con el nacimiento de nuevas ramas con un periodo doble al anterior continúa al aumentar r. Las bifurcaciones ocurren cada vez en intervalos de r más cortos, y finalmente se observa una solución que en el diagrama parece rellenar un segmento del eje de ordenadas. Para r > 3.57, existe un atractor caótico, el cual se estudiará con mayor detalle en el Capítulo 10. Este escenario de bifurcación se denomina Cascada de Feigenbaum. En la Figura 9.C1b se muestra un diagrama de tela de araña del mapa logístico con un valor de r para el cual la solución es caótica. Al verla, se comprende por qué en el diagrama de bifurcación 9.C1a se tiene una colección de puntos distribuidos en el eje de ordenadas para un valor fijo del parámetro cuando el atractor es caótico. 1 r = 3.6 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 9.C1b Órbita caótica del mapa logístico con r = 3.6. También es interesante observar que el diagrama de bifurcación en la región caótica se repite a diferentes escalas (ver detalle en la Figura 9.C1a). Existen ventanas donde la dinámica es periódica, y dichas órbitas experimentan a su vez bifurcaciones de doblado de periodo dando lugar a cascadas de Feigenbaum en una escala menor. El diagrama de bifurcación es un fractal (fractal de Feigenbaum) que tiene la propiedad de autosimilitud (ver Cuadro 9.3). • Bifurcación de Hopf. Una posición de equilibrio cambia de estabilidad en el punto de bifurcación, donde además nace una rama de órbitas periódicas. En la bifurcación de Hopf supercrítica hay una posición de equilibrio estable a un lado de la bifurcación y, una posición de equilibrio inestable y una rama de 223 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 10 Caos determinista 10.1 Algunas propiedades del caos 10.2 Sistemas hamiltonianos casi integrables 10.2.1 Denominadores pequeños 10.2.2 Métodos de perturbaciones clásicos 10.2.3 El teorema KAM 10.2.4 Espacio de fases en sistemas casi integrables 10.2.5 Difusión de Arnold y ergodicidad 10.3 Caos disipativo 10.3.1 Cascada de Feigenbaum 10.3.2 Crisis 10.3.3 Intermitencia 247 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 10 1 Xn 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 Iteración Figura 10.1a Evolución de dos órbitas del mapa logístico con r = 3.8 y condiciones iniciales x0 = 0.4 y x0 = 0.4 + 10−5. Distancia 100 10–2 10–4 10–6 0 10 20 30 Iteración Figura 10.1b Evolución de la distancia entre las dos órbitas de la Figura 10.1a. Caos determinista El teorema de Liouville introducido en el Capítulo 7 nos garantiza que, si un sistema hamiltoniano de n grados de libertad admite n leyes de conservación independientes y en involución, entonces el sistema es integrable por cuadraturas. Como consecuencia, las trayectorias yacen sobre toros y la dinámica es regular. Es decir, las órbitas admisibles son las posiciones de equilibrio, las órbitas periódicas y las cuasiperiódicas discutidas en el Capítulo 8. Sin embargo, también sabemos que los sistemas integrables, aunque ocupan gran espacio en los libros de mecánica, son más bien excepcionales y la gran mayoría de los sistemas que interesan a físicos e ingenieros no lo son (¡ni tampoco hamiltonianos!). Por ello, hemos reservado este último capítulo a los sistemas no integrables que, además de las ya mencionadas soluciones regulares, pueden presentar órbitas irregulares o caóticas. En varias ocasiones a lo largo de esta obra nos hemos encontrado ya con las huellas del caos determinista. La más evidente fue en el Capítulo 9, cuando vimos que las órbitas periódicas del mapa logístico podían hacerse cada vez más complejas a través de una sucesión de bifurcaciones a periodo doble (cascada de Feigenbaum) al variar un parámetro. En otras, se ha puesto de manifiesto que sistemas deterministas aparentemente sencillos y con términos no lineales pueden dar lugar a estructuras asombrosamente irregulares y complejas (fractales). Llegamos por tanto a este último capítulo con las herramientas e intuición necesarias para introducirnos en el apasionante mundo del caos determinista. Es el momento de conocer las propiedades más relevantes de las soluciones caóticas, cuáles son las rutas de transición desde lo regular a lo irregular en sistemas hamiltonianos y disipativos, e iniciarnos en nuevos fenómenos no lineales de gran relevancia física e ingenieril, como la sensibilidad a las condiciones iniciales (efecto mariposa), las crisis y la intermitencia, entre otros. Confiamos en que este capítulo de introducción al caos determinista despierte la curiosidad del lector y le anime a leer los libros especializados sobre este campo que se incluyen en la bibliografía. 10.1 Algunas propiedades del caos En situaciones cotidianas, como remover la leche en el café u observar con detenimiento la forma de una coliflor o las nubes del cielo, nos encontramos con estructuras irregulares de increíble complejidad que parecen semejantes a diferentes escalas. Tales estructuras nos deben hacer sospechar que existen mecanismos no lineales en acción gobernando los procesos y la presencia de caos. Las soluciones caóticas de los sistemas dinámicos deterministas son órbitas aperiódicas confinadas en una región del espacio de los estados y dotadas de una serie de características muy particulares que las distinguen de las órbitas regulares. Veamos a continuación algunas de ellas. ■ Sensibilidad a las condiciones iniciales Las órbitas caóticas presentan sensibilidad con las condiciones iniciales, es decir, la distancia |δ x (t)| entre dos órbitas caóticas que inicialmente se encuentran separadas una distancia |δ x0| muy pequeña, aumenta exponencialmente |δ x(t)| = |δ x0 |e μ t. (10.1) 248 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Capítulo 10 Caos determinista Transcurrido un tiempo, la distancia alcanza la dimensión característica L del atractor, esto es, el tamaño típico que ocupa la solución en el espacio de los estados. El exponente μ, que debe ser obviamente positivo para que las órbitas diverjan, mide cómo de rápido dos órbitas próximas se separan y se llama exponente de Lyapunov. Dado un error |δ x0| en la condición inicial, la dinámica es predecible hasta el tiempo de Lyapunov, que viene dado por μ−1 log (L/|δ x0|). Para ilustrar el fenómeno de la sensibilidad a las condiciones iniciales, se presentan en la Figura 10.1a dos trayectorias del mapa logístico [xk+1 = F (xk) ≡ rxk (1 − xk )] separadas inicialmente por una distancia igual a 10−5. Se ha tomado el valor r = 3.8 para el cual el mapa logístico presenta un atractor caótico (véase Cuadro 9.1). Transcurridas unas 25 iteraciones, la separación entre ambas órbitas es apreciable en la Figura 10.1a y, unas pocas iteraciones después, la dinámica de ambas órbitas es totalmente diferente. En la Figura 10.1b vemos que la distancia entre ambas trayectorias crece inicialmente de manera exponencial y acaba saturándose cuando alcanza el tamaño característico del atractor. Para estimar el valor de μ a partir de dos órbitas con condiciones iniciales x0 y x0 + ε muy próximas, podemos proceder de la siguiente manera. Después de un número de iteraciones n, la separación entre las órbitas será |F n(x0 + ε) − F n(x0)|, la cual igualamos a εe nμ si ε es suficientemente pequeño. Si tomamos el límite formal ε → 0 y, despejamos μ, obtenemos n−1 n−1 d F n(x0) 1 1 1 log = lim log  F ′(xi ) = lim  log F ′(xi ) , n→∞ n n→∞ n n→∞ n d x0 i=0 i=0 μ = lim (10.2) donde hemos usado la regla de la cadena. La expresión anterior se puede aplicar fácilmente a cualquier mapa unidimensional y en particular a la aplicación logística. El valor estimado de μ aplicando la fórmula anterior para r = 3.8 apenas varía después de n = 100 iteraciones y resulta ser μ ≃ 0.43. La sensibilidad de las soluciones con las condiciones iniciales es una de las propiedades más características del caos. A pesar de que las ecuaciones sean deterministas, en la práctica es imposible predecir el vector de estado más allá del tiempo de Lyapunov. Cualquier error o perturbación en las condiciones iniciales se amplifica, haciendo que la órbita esperada (sin error en la condición inicial) y la real sean completamente diferentes transcurrido un determinado tiempo. A este fenómeno se le conoce popularmente como efecto mariposa, debido al título del artículo de uno de los padres del caos, Edward Lorenz: “Predictibilidad: el aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas”. También se resume de manera muy concisa en una frase atribuida al propio Lorenz: Caos: cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro. Medio siglo después de que la mecánica cuántica enseñara que solo es posible hacer predicciones sobre la función de probabilidad de sistemas cuánticos, la ciencia se vio sacudida de nuevo: incluso aunque el sistema sea determinista, no podemos hacer predicciones más allá del tiempo de Lyapunov cuando la dinámica es caótica. Cuadro 10.1 El descubrimiento del efecto mariposa Jules Henri Poincaré fue el primero en vislumbrar al final del siglo XIX las consecuencias de lo que hoy conocemos como el efecto mariposa. Al estudiar el problema de los tres cuerpos detectó que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales puede dar lugar a órbitas muy distintas. Pronto otros físicos y matemáticos identificaron un comportamiento similar en otros contextos como, por ejemplo, Hadamard en la dinámica de un billar, Birkhoff con su teorema ergódico en mecánica estadística, Kolmogorov en mecánica de fluidos, Smale en sistemas dinámicos y Cartwright y Littlewood en el modelado de la radio y el rádar durante la Segunda Guerra Mundial. El término efecto mariposa fue acuñado por el matemático y meteorólogo estadounidense Edward Norton Lorenz (1917-2008) tras descubrir por casualidad en 1961 el fenómeno de la sensibilidad a las condiciones iniciales en sistemas caóticos. Con ayuda de su ordenador, Royal McBee, Lorenz intentó repetir el cálculo de una órbita caótica. Para ahorrar tiempo, en lugar de comenzar con la misma condición inicial de la órbita que intentaba reproducir, comenzó a mitad de ella y tomando los valores del vector de estado de una hoja en donde había impreso los resultados anteriormente. Dado que la memoria de la máquina guardaba 6 decimales y en la hoja solo había anotado 3, Lorenz introdujo sin darse cuenta una pequeña diferencia. El resultado fue que, de forma inesperada, la nueva órbita se separaba de la antigua y, transcurrido un tiempo, ambas trayectorias eran completamente distintas. Tras este descubrimiento, Lorenz se convirtió en uno de los pioneros en la teoría de sistemas dinámicos y caos. Introdujo también el concepto de atractor extraño y un sistema no lineal de tres ecuaciones diferenciales ordinarias que hoy lleva su nombre en su honor y que ha ocupado un lugar central en el estudio del caos determinista. Aparentemente, esta propiedad parece limitar enormemente el estudio de las soluciones caóticas, pero en la práctica no resulta tan grave. En algunos casos, el tiempo de observación del sistema es menor que el tiempo de Lyapunov, y la sensibilidad a las condiciones iniciales no se hace aparente. En caso contrario, como 249 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Bibliografía 1. Adomaitis, R. A., Kites and bifurcation theory. SIAM Rev 31(3):478–483, 1989. 2. Arnol’d, V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Vol. 60. Springer-Verlag New York, 1989. 3. Arrowsmith, D.; Place, C. M., Dynamical Systems: Differential Equations, Maps and Chaotic Behavior. Chapman & Hall/CRC, New York, 1992. 4. Barrow-Green, J., Poincaré and the Three Body Problem. History of Mathematics, Vol 11. American Mathematical Society, 1997. 5. Baker, G. L.; Blackburn, J. A., The Pendulum. A Case Study in Physics. 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Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Índice analítico Acción, 65, 67–70, 74, 77, 80, 82, 86, 142, 145, 148, 152, 153 reducida, 74, 156–160 Amplitud, 98, 174 Ángulo acimutal, 178, 213 poloidal, 178, 213 Atractor caótico, 212, 223, 249, 251, 252, 266–269 definición de, 194 extraño, 249 Lorenz, 191, 252 Autosimilitud, 223, 252 Bernoulli Daniel, 92 Bifucación Hopf, 217, 223–226, 228, 245 horca, 223, 224 Neimark, 227, 269 periodo doble, 212, 222, 226 Shilnikov, 229, 231 silla-nodo, 223, 224, 269 subcrítica, 224, 226, 227, 269 supercrítica, 223, 224, 226, 227 transcrítica, 222–227 Bi-solitón, 176 Botella magnética, 186 Caos disipativo, 247, 265 hamiltoniano, 252 Cascada de Feigenbaum, 212, 222, 223, 248, 251, 265–268 Centro, 133–136, 170, 197, 198, 263–265 de masas, 44, 46–49, 54, 57, 87, 109, 144, 200 Cicloide, 60 Componente generalizada, 9, 17, 18, 28, 119, 203 Condición inicial, 80, 85, 139, 155, 157, 164, 190, 191, 195, 196, 201, 203, 205, 208, 222, 227, 230, 236, 241 Condiciones de equilibrio, 92, 105, 133, 195, 196, 201 Conjunto de Maldelbrot, 236, 267 Constante de Feigenbaum, 266, 267 del movimiento, 22–25, 43–45, 52, 53, 75, 83, 85, 112, 115, 116, 126, 127, 141, 146, 159, 160, 179, 232 Coordenada (s) cíclica, 24, 25, 44, 45, 71, 76, 83, 161, 162, 184 generalizadas, 3, 5, 6, 9, 13, 33–35, 64, 75, 77, 92, 112, 152 normales, 98, 99, 101 vector contravariante, 5, 6, 34 covariante, 4, 6, 36 Corchete de Poisson, 125–127, 130, 131, 141, 166, 167, 231 Coriolis fuerza de, 16 Gaspard-Gustave, 16 Crisis, 223, 247, 266, 267 exterior/ de frontera, 267 de fusión, 268 interior, 267 Cuasiperiódico, 177, 178, 257 Cuenca de atraccion, 193, 241 Curva geodésica, 57, 64, 68–71, 74 d’Alembert Jean le Rond, 2, 12 Darboux Jean Gaston, 79, 128 Delta de Kronecker, 2, 4 Densidad hamiltoniana, 114–117, 132 lagrangiana, 63, 65, 66, 80, 84, 114, 115, 117 Derivada direccional, 3, 33, 34, 36, 38, 80 exterior, 38, 42, 43, 118, 119, 127 Diagrama de bifurcación, 222–224, 227, 228, 235, 243, 251, 267–269 de tela de araña, 193, 202, 212, 213, 223, 266, 268 Diferencial exacta, 147 Difusión de Arnold, 259, 260 Dimensión fractal, 233–235, 252 Disco rodando, 50, 200, 201 Ecuación (es) de Charpit, 157, 158 de Hamilton, 112–118 en espacio de fase ampliado, 122 en medios continuos, 115 notación simplética, 124 sistemas no holónomos, 119 277 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Índice analítico de Hamilton-Jacobi, 146–148, 152–169 de Lagrange, 2, 3, 30, 56, 64, 65, 67, 69, 76, 92, 104 de Korteweg-de Vries, 85, 163, 165, 166, 218 de Mathieu, 207, 208 de Schrödinger, 159, 163, 165, 167, 172 de Schrödinger derivada, 163, 165 de Schrödinger no lineal, 163, 165, 172 de Sine-Gordon, 66, 132, 163 diofántica, 253–256, 258 Efecto mariposa, 248, 249 Energía cinética, 3, 5, 30, 31–33 definición de, 22, 43 potencial, 74 Equilibrio estable, 135, 137, 170, 199, 202, 223, 224, 227, 234 inestable, 106, 135, 137, 223, 224, 227, 269 Ergodicidad, 259 Espacio cotangente, 5, 36, 37, 119 de fase ampliado, 122 de fases, 34, 107, 119, 120, 124, 132, 136, 138–142, 167–169, 178, 179, 192–194 de los estados, 194, 198, 203, 204, 206, 215, 216, 223, 229–231, 238, 240, 241, 248–250, 267 tangente, 4, 5, 9, 33–38, 119 Estabilidad asintótica, 93, 196 orbital, 192, 250, 259, 260 Estructura solitaria, 215 Euler ecuación de, 59, 60–62, 64, 72 Exponente de Lyapunov, 249, 250 Foco, 197, 198, 214, 217, 226, 229, 241 Forma diferencial, 36, 37, 39, 41–43, 118–120, 127–131, 168, 191 cerrada, 119, 128–130, 168 Fracción continuada, 256, 257 Fractal, 222, 223, 234, 242, 251, 252, 256, 257 de copo de nieve, 233 de Mandelbrot, 236 de polvo de Cantor, 235 Frecuencia (s) ciclotrónica, 184, 185 conmensurables/inconmensurables, 177, 178, 213, 214, 227, 253, 254, 263 Fuerza generalizada, 49, 93, 119 Función generatriz, 147, 148, 186 Grados de libertad, 8, 9, 11–13, 33, 34, 43, 44, 46, 48 de un sólido, 46, 47 Grupo (s) de Lie, 76, 79 teoría de, 76, 267 Hamilton William Rowan, 112 Hamiltoniana, 112–116, 122 Haz cotangente, 36, 37, 128 tangente, 34, 37, 119 Herradura de Smale, 251 Histéresis, 222, 240, 241 Ímpetu, 10, 84 Integrabilidad en sistemas continuos, 165, 168, 177 en sistemas discretos, 11, 148, 167, 214, 257 Integración numérica, 71, 191 Integrador simplético, 191 Integral de Jacobi, 23, 44, 146, 148 primera, 22, 43, 64, 126, 127, 199, 218 Intermitencia, 248, 266, 268–270 Invariancia, 17, 19, 37, 68, 75, 78, 80–82, 84, 131 adiabática, 180, 182, 183, 185, 186 Invariante, 52, 56, 68, 76–78, 80–89, 111, 129–131, 136, 138, 139, 141–143, 147, 148, 163, 167 adiabático, 182, 186 IST (Inverse Scattering Transform), 66, 150, 163, 164, 169, 177, 218, 219 Jacobi Carl Gustav Jacob, 52, 112, 146–148, 253 identidad de, 125, 126, 232 Lagrange Joseph-Louis, 2, 30, 51, 56, 92, 95, 147 Lagrangiana, 18, 19, 37, 44, 62, 63, 66, 68, 81, 92, 98, 112, 234 Legendre Adrien-Marie, 121, 146 Ley de conservación, 22, 23, 25, 44, 60, 81, 85, 86, 133 Libración, 170 Lie Marius Sophus, 76, 79 Ligadura holónoma o geométrica, 8–10, 33–36, 69, 103 ideal, 8–10, 12, 13, 18, 19, 22, 23, 33, 34, 37, 44, 48, 67, 69, 70, 103, 112, 119 reónoma, 8 278 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Índice analítico Lorenz Edward, 190, 249, 266 Mandelbrot Benoît B., 190, 233 conjunto de, 236 Mapa estándar, 194, 250, 251, 260 logístico, 191, 193, 202, 212, 213, 222, 223, 248–251, 266–268 Maraña homoclínica, 259, 260, 265 Matriz de monodromía, 204–207, 209, 226, 250 hessiana, 113, 117, 118, 133, 134, 140, 199 jacobiana, 32, 129–131, 140, 146, 147, 152, 194, 195–197, 201, 204, 206, 223, 250 Medios continuos, 56, 62, 63, 65–68, 80–82, 84–86, 113–117, 126, 127, 132, 150, 163–168, 177, 217 Método de Hamilton-Jacobi, 146, 150, 154–158, 160, 163–165, 169 de las características, 154–157 de Lindstedt-Poincaré, 235–237 de Newton-Raphson, 195, 196, 203, 205 de promedio, 237–238 Modos normales, 98–102, 262 Momento canónico, 24, 25, 44, 76, 112, 114, 116, 117, 133, 160 Movimiento regular, 22, 132, 177, 179, 190, 222, 248, 250, 252, 253, 259, 265 Multiplicadores de Floquet, 205, 206, 226, 266 de Lagrange, 33, 34, 64–66, 104 Nodo, 197, 198, 214, 223, 226, 229, 269 Noether Emmy Amalie, 22, 80, 83 Número de rotación, 178, 214, 259, 264 Órbita cuasiperiódica, 101, 106, 177, 178, 190, 213–215, 227, 248, 251, 252, 258, 259, 267 heteroclínica, 190, 215–217, 228, 229, 267 homoclínica, 190, 215–218, 228, 229, 231, 259, 267 periódica, 51, 135, 170–172, 176, 177–179, 190, 194, 203–207, 211, 215, 223, 226–228, 251, 258, 267 Oscilación, 92, 94, 98, 102, 103, 135, 170, 174, 180, 198, 230, 235, 240–243, 262–265 anarmónica, 94 lineal, 92–96, 104–107 no lineal, 235, 237, 239 Par de Lax, 167 Partícula, 2–5, 7, 10, 12, 18, 30, 46, 78 Péndulo con disipación, 191, 199, 238–243 de Foucault, 109 doble, 99, 261–265 esférico, 135, 136 forzado, 191, 199, 238–243 ideal, 10, 19, 93, 96, 134, 170, 172, 182, 198, 208, 234 Poincaré Jules Henri, 52, 76, 142, 143, 190, 249, 253, 257 Poincaré-Cartan invariante integral, 141–143, 261 Polvo de Cantor, 235 Posición de equilibrio, 92, 96, 103, 107, 135, 194–202, 215, 216, 223–226, 267 Principio de covarianza, 78 de Fermat, 58, 61, 146 de Hamilton, 56, 67–73, 76, 123, 124, 146, 147 de relatividad, 7, 8 variacional, 13, 70, 112, 123, 146 Problema de la braquistócrona, 56, 59–61 de la cometa, 14, 17–20, 120, 203, 204, 209–212, 214, 217, 225–228 de la reina Dido, 57, 73 de los dos cuerpos, 44–46 de los tres cuerpos general, 51–53, 252, 253, 257 de los tres cuerpos restringido, 87–89, 104–108, 143, 146, 147, 148, 257 Producto exterior, 38–41, 119 Puerto, 134, 135, 137, 197, 198, 218, 241 Punto (s) fijo, 48, 49, 194–196, 201, 202, 211, 213, 269 de Lagrange, 2, 51, 105, 106 hiperbólicos, 134, 135, 170, 259, 264, 265 Radio de Schwarzschild, 71 Rayleigh disipación de, 93 John Strutt, 24, 98, 166, 182 Relatividad general, 70, 78, 81, 83 Resonancia, 180, 207–211, 238–244, 252–255, 259, 263–265 no lineal, 238–244 sub-armónica, 242–244 ultra-armónica, 242 279 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Índice analítico Routh Edward, 13, 24 Routhiano, 25, 45, 46, 53, 103 Schwarzschild Karl, 70–72, 83 Sección de Poincaré, 136, 138–140, 178, 203, 204, 213, 214, 253, 258, 259, 261–265 estroboscópica, 213 Sensibilidad con condiciones iniciales, 248–250, 253 Shilnikov bifurcación de, 229, 231 Leonid Pavlovich, 231 Sistema (s) autónomo/no autónomo, 157, 191, 194, 199, 204, 206, 207 casi integrable, 252, 259 de Lorenz, 191 de partículas, 31, 37, 92 dinámico continuo/discreto, 190, 191 dinámico determinista, 190 disipativo, 193, 194 giroscópico, 36, 92, 104–108 hamiltoniano, 86, 114, 128, 132, 167, 258 holónomo, 10, 13 integrables, 133, 166, 176, 177, 214, 253, 259 lagrangiano, 19, 22, 24, 37, 44, 67, 77, 92, 106, 152 separables, 158, 160 Sólido rígido, 13, 24, 46–49, 85 Solitón, 66, 163, 166, 168, 171, 172, 174, 176, 180, 183–186, 218, 219 de Ma, 176 perturbado, 183–186 Tensor de inercia, 47, 49 Teorema adiabático, 180–183 de conservación de la energía, 22, 23, 43, 44 de Coriolis, 48, 49 de Darboux, 128, 129, 130 de Lagrange, 199 de Liouville, 86, 140, 141, 156–169, 176, 177, 248 de Noether, 56, 80, 81–89 de Poincaré-Bendixson, 203, 204 de Poisson, 126, 127 KAM, 179, 252, 253, 256–258, 265 Toro resonante, 258, 259 Toroide, 136, 137, 177–179, 213, 214, 252, 254, 256, 257–260 Transformación canónica, 130, 131, 146–152, 169, 174, 180, 255 extendida, 86–88 invariante, 82, 85 puntual, 76, 77 Transformada de Fourier, 163, 171, 203, 258 Laplace, 150 Legendre, 121–123, 195 Transitorio, 194, 222, 266 Variables acción-ángulo, 164, 169–177, 214, 254 canónicas, 112, 119, 121, 124–126, 128–132, 155 Variedad de configuración, 4, 12, 16, 18, 32–36, 46,69 estable, 194, 196, 215, 229 inestable, 194, 196, 215, 269 riemanniana, 6, 129 simplética (o simpléctica), 129 Velocidad angular, 15, 16, 46, 48, 49, 200 Weierstrass Karl Theodor Wilhelm, 96 280 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS Francisco Javier Sanz Recio Gonzalo Sánchez Arriaga La mecánica analítica, que tiene sus raíces en los siglos XVIII y XIX, ha experimentado recientemente importantes avances que han enriquecido sus métodos y la forma de aplicarlos a problemas modernos en física e ingeniería. Esta obra, dirigida a estudiantes de grado, máster y doctorado, sintetiza los más importantes y útiles progresos en el campo. De manera amena y rigurosa, el lector adquirirá desde conceptos básicos, como escribir las ecuaciones del movimiento, pasando por técnicas clásicas tales como el método de Hamilton-Jacobi, hasta terminar dominando el análisis avanzado de sistemas no lineales y caos determinista mediante la combinación de procedimientos analíticos y numéricos. La organización de la obra, estructurada en dos niveles, está sólidamente soportada por varias décadas de experiencia de los autores impartiendo la asignatura de mecánica analítica en cursos de grado e ingeniería. Por un lado, el cuerpo principal del libro contiene los fundamentos teóricos y utiliza herramientas matemáticas bien conocidas por los estudiantes, que podrán seguirlo de manera fluida. Por otro, los cuadros al margen se han reservado para introducir notas biográficas de científicos notables, conceptos avanzados y las consecuencias de los resultados teóricos del cuerpo principal a problemas específicos en física e ingeniería como, por ejemplo, la mecánica orbital y la de vuelo, la relatividad general, la mecánica cuántica, la propagación de solitones… Se trata de un espacio reservado para abrir la mente del lector, estimular su curiosidad por la materia y resaltar la utilidad de los conocimientos adquiridos en multitud de disciplinas. El libro contiene una impresionante colección de alrededor de 200 ejercicios, la mitad de ellos resueltos, que refuerza los conceptos teóricos y facilita la incorporación de los métodos hamiltonianos a lo que Richard Feynman denominaría la caja de herramientas del lector, es decir, le dota de una batería de métodos para usar en su vida profesional. También incluye una serie de programas de ordenador para explorar la dinámica desde una perspectiva moderna y amena, al mismo tiempo que se consolidan con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren competencias en cálculo numérico. www.mheducation.es Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. © McGraw-Hill, Madrid, 2019 View publication stats MECÁNICA ANALÍTICA: LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS MECÁNICA ANALÍTICA: MECÁNICA ANALÍTICA LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS Francisco Javier Sanz Recio Gonzalo Sánchez Arriaga

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