Impulso y Cantidad de Movimiento en Cuerpos Rígidos - Curso de Dinámica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS E INGENIERÍA
Curso: Dinámica (MC 338)
Periodo Académico 2024-II
Impulso y Cantidad de Movimiento en el Cuerpo Rígido
Como bien se sabe, este método se emplea cuando
la magnitud predominante en el movimiento del
CR es el tiempo.
En la deducción de las ecuaciones vinculantes al
tema, son aplicables las ecuaciones deducidas para
la Dinámica de los Sistemas de Partículas.
Fig. 1. En el choque de dos o más cuerpos rígidos, la
Cinética del Cuerpo Rígido permite adecuar el Teorema del
Impulso y Cantidad de Movimiento para la solución de
casos importantes.
Cantidad de Movimiento Lineal.- En base a la
fig. 2 y a los planteamientos anteriores se tiene:
a)
n



p M   mi vi  Mv CM
i 1
(1)
b) Impulso Lineal (I)
 t 

I   Fres dt  p
0

Figura 2




I  M ( v CM ) después  ( v CM ) antes

(2)
b) Momento Angular, Momento Cinético, Cantidad de Movimiento Angular o
Momento de la Cantidad de Movimiento (H)
En base a la fig. 2, para la partícula de masa mi se tiene:
𝐻⃗
= 𝜌⃗ × (𝑚 𝑣⃗ ) = 𝜌⃗ 𝑚 𝑣⃗
+ 𝜌⃗̇
Entonces, para la masa M se tiene:
𝐻⃗
Sabemos que: ∑
+
𝜌⃗ × 𝑚 𝜌⃗̇
𝑚 𝜌⃗ +
𝜌⃗ × 𝑚 𝜌⃗̇
=
𝜌⃗ × 𝑚 𝑣⃗
= −𝑣⃗
×
𝑚 𝜌⃗ = 𝑀𝜌⃗
= 0⃗, y también 𝜌⃗ ⊥ 𝜌⃗̇ , entonces:
𝜌⃗ × 𝜌⃗̇ = −𝜌 𝜌̇ 𝑘⃗ = −𝜌 (ω𝜌 )𝑘⃗ = −ω𝜌 𝑘⃗
Luego: 𝐻⃗
= −∑
ω𝑚 𝜌 𝑘⃗ = ω ∑
𝑚𝜌
−𝑘⃗

𝐻
=𝐼 ω
(3)
IG
Así entonces, respecto a otro punto de giro que pase por un punto P del CR, se tendrá:
= 𝐼 ω (4)
𝐻
c) Impulso Angular (I)
Sabemos que: 𝑀⃗
Siendo: ∫
=
𝑀⃗ 𝑑𝑡 = Δ𝐻⃗
⃗

∫ 𝑀⃗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝐻⃗ = 𝐻⃗

𝐼⃗ = Δ𝐻⃗θ
é
− 𝐻⃗
(*)
Como nuestro estudio se limita al movimiento plano, entonces los vectores 𝐻⃗ tienen
la dirección 𝑘⃗ (perpendicular al plano de esta hoja). Así entonces, la relación anterior
puede quedar como:
𝐼
(5)
= Δ𝐻
Así entonces, de (I) en (*) se tendrán las siguientes relaciones:
Si IP  cte:
(𝐼 ) = ∫ 𝑀 𝑑𝑡 = (𝐼 ω)
Si IP = cte:
(𝐼 ) = ∫ 𝑀 𝑑𝑡 = 𝐼 ω
− (𝐼 ω)
(6)
−ω
(7)
é
é
NOTA IMPORTANTE: En la solución de problemas de este acápite, se construirán
diagramas impulsivos en vez de diagramas de cuerpo libre. Ello resulta en una
estrategia de solución ágil, que simplificará y resumirá dichas soluciones.
d) Principio de Conservación del Momento Angular
En (1), si I = 0, entonces: (𝐼 ω)
é
= (𝐼 ω)
Fig. 3. Al girar el hombre sosteniendo las pesas con
los brazos estirados y con una rapidez angular baja,
ello se debe a que el momento de inercia total con
respecto a su eje (que pasa por su cabeza) es alto.
(8)
Fig. 4. Al encoger sus brazos, la rapidez
angular del hombre con respecto a su
eje crece debido a la reducción de su
momento de inercia.
Fig. 5. Michelle Kwan, patinadora norteamericana, gira con los brazos estirados antes de
subirlos para poder girar respecto a su eje con
mayor rapidez.
Fig. 6. Al subir sus brazos, Michelle
gira con mayor rapidez que cuando
tuvo sus brazos estirados.
PROBLEMAS
Impulso y Cantidad de Movimiento
1.
El tambor A mostrado tiene una masa de 120 kg y radio de giro centroidal kG =
21 cm. Si en t = 0 se aplica un torque M = 50t (N.m) en el centro del tambor, con
t en segundos. Calcular la rapidez del carro minero C de 450 kg al cabo de 10 s.
El carro está inicialmente en reposo,
y está apoyado sobre el tope, y los
cables están flojos. Despreciar en el
cálculo la fricción entre la polea B y
las ruedas del carro.
2.
Un aro uniforme de masa m tiene un radio de
giro centroidal kCM = 22 cm. El aro se lanza
sobre una superficie horizontal con velocidad
de avance v0 = 3 m/s y velocidad angular de
30 rad/s hacia atrás. Si los coeficientes de
rozamiento estático y cinético entre el aro y la
superficie son 0,25 y 0,20 respectivamente,
calcular:
a) La velocidad lineal
del aro desde el instante que empiece a
rodar sin deslizar.
b) El tiempo en que el
aro alcanza la velocidad calculada en a.
3.
Los engranajes A y B tienen una masa de 750
g cada uno, y un radio de giro centroidal de 40
cm, mientras que la masa del engranaje C es
4,5 kg y un radio de giro centroidal de 10,8 cm.
Considerando que la fricción cinética de los rodajes A, B y C producen un torque 0,2, 0,2 y
0,4 N.m respectivamente, y sabiendo que la velocidad angular inicial del engranaje C es 0 =
1800 rpm respectivamente, calcular:
a) El tiempo requerido para que el sistema se
detenga por completo.
b) El torque que habría que aplicar solo en el
engranaje C para que alcance su velocidad
angular inicial en el mismo tiempo de frenado
calculado en a.
mA = 6 kg, mB = 10 kg, mC = 24 kg; Los diámetros de paso son dA = 12 cm; dB = 16 cm; dC =
24 cm, y los radios de giro centroidales son kA
= 48 mm; kB = 64 mm, y kC = 96 mm.
4.
5.
6.
La placa plana cuadrada
de masa m y lado a está
suspendida en su esquina
A por una cuerda. Si recibe
un impulso horizontal I en
la esquina B, calcular la
posición del punto P –dada
por la distancia y alrededor
del cual la placa aparenta girar durante el
impacto.
7.
Una bola maciza es lanzada sobre una superficie horizontal rugosa con velocidad inicial v0
= 10 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético
entre la bola y la superficie es k = 0,4. Calcular:
Un cilindro de 24 cm
de radio y 8 kg de
masa descansa sobre
un carro de 3 kg. El
sistema se encuentra
inicialmente en reposo,
cuando durante 1,2 s se aplica una fuerza P =
10 N. Se sabe que el cilindro rueda sin deslizar
sobre la plataforma, y despreciando la masa de
las ruedas del carro, para cada disposición,
calcular la velocidad final del carro y del cilindro.
8.
La rueda mostrada rueda sin deslizar, y su radio
de giro con respecto al eje que pasa por su centro
de masa es kG = 75 mm. La fuerza P varía según
la relación P = 3t2, donde t se expresa en
segundos, y P se expresa en newton. Entre los
instantes t = 2 s y t = 5 s la velocidad de G varía
desde 0,2 m/s hasta
1 m/s. Calcular la
masa de la rueda.
9.
El radio de giro del cuerpo A de
8 kg de masa con respecto a un
eje de rotación que pasa por
su centro de masa es
kG = 5 cm. La fuerza P
variable es P = 1,5t2 +
70 (N), y la velocidad
del centro de la rueda
es 0,5 m/s () cuando t
= 0. Calcular la velocidad del centro de masa
cuando t = 5 s.
a) Al cabo de qué tiempo la bola empezará a
rodar sin deslizar.
b) La velocidad angular con que la rueda inicia
su rodadura.
c) La distancia recorrida por la bola en el
tiempo calculado en a.
El tren de engranajes mostrado parte del reposo
y logra una velocidad angular de salida  =
240 rpm en 2,25 s. La rotación del tren tiene
un contratorque T = 150 N.m en el engranaje
de salida C. Calcule la potencia de salida del
motor de 86% de eficiencia que hace posible
lograr lo indicado. Las masas de las ruedas son:
10. El disco macizo de 15 kg de masa y 200 mm de
radio tiene velocidad angular 0 = 30 rad/s. Si
el freno ABC se aplica de tal modo que la
fuerza P varía con el tiempo según se muestra,
y el coeficiente de rozamiento en B es k = 0,4,
2
calcular el tiempo requerido para detener el
disco.
11. El disco mostrado tiene una masa de 30 kg,
radio R = 200 mm, y radio de giro centroidal kG
= 172 mm. Inicialmente el disco gira a 500
rpm, para luego aplicar la fuerza P(t) sobre el
asa del freno en t = 0, según se muestra. Si el
coeficiente de rozamiento cinético entre el
disco y el freno es k = 0,4, calcular:
Conservación del Momento Angular
13. El satélite espacial tiene una masa de 125 kg
y un momento de inercia Iz = 0,94 kg.m2, excluyendo a los cuatro paneles solares A, B, C y D.
Cada panel tiene una masa de 20 kg, y pueden
modelarse aproximadamente como placas planas
y delgadas. Si el satélite gira inicialmente con
respecto al eje z a la razón constante z = 0,5
rad/s cuando  = 90º, calcular la velocidad
angular del satélite cuando los cuatro paneles
se encuentren en la posición  = 0º.
a) El máximo valor de la fuerza P0 para que el
disco se detenga en t = 12 s.
b) La energía disipada en forma de calor hasta
lograr la detención completa del disco.
14. La placa rectangular mostrada de 20 kg de masa
se libera del reposo (fig. a) y cae 200 mm antes
que la cuerda unida a la esquina A se tense.
Suponiendo que la componente vertical de la
velocidad de A es nula, calcular:
a) La velocidad angular de la placa en el
momento que la cuerda se tensa (fig. b).
b) La fracción de energía perdida un pequeño
instante después que la cuerda se tensa.
12. En la figura, el disco superior es macizo, e
inicialmente está en reposo cuando se pone en
contacto con el disco inferior, también macizo,
que gira libremente a 500 rpm. Si la masa de
la barra AD es despreciable, calcular:
a) El tiempo durante el cual ambos discos
resbalan entre sí.
b) La velocidad angular final de cada disco.
c) La pérdida de energía que tiene lugar hasta
que los discos giran sin resbalar entre ellos.
15. Un cubo homogéneo de masa m y lado a = 25
cm, desliza sin fricción sobre una larga mesa
3
horizontal, y golpea un pequeño tope fijo sobre
la mesa en A, de altura despreciable. Hallar:
b) El porcentaje de energía perdida inmediatamente después que la pelota logra subir por
el peldaño.
a) La mínima rapidez v0 para que el cubo pueda
volcar alrededor del tope, sin despegarse.
b) La fracción de la energía perdida en forma
de calor, consumida para lograr el objetivo.
19. Resuelva el problema anterior, si el cuerpo a
analizar fuera un aro delgado de radio R, reforzado con cuatro rayos de longitud R, dispuestos en ángulo recto. La masa del aro es
0,6m, y la de los rayos es 0,1m.
20. Una esfera maciza de masa m y radio R rueda
sin deslizar sobre una superficie horizontal a la
velocidad constante v, hasta que delante de ella
encuentra un plano inclinado un ángulo  con
la horizontal ( < 45°). Si la esfera no rebota
sobre el plano inclinado antes de iniciar su
ascenso sobre él, determinar:
16. Resolver el problema anterior, si el cubo se
reemplaza por una escuadra de masa m, compuesta por dos barras esbeltas y perpendiculares
de longitud 2L/3y L/3, soldadas rígidamente
en sus bordes, con el ángulo recto en posición
de impacto, cuando se la dispone de la
siguiente manera:
a) La velocidad con la cual la esfera inicia su
ascenso en el plano.
b) La pérdida de energía que tiene lugar en el
lapso que la esfera cambia su trayectoria.
Choques Excéntricos
21. Una varilla esbelta AB se suelta del reposo en
la posición horizontal. Al llegar a su posición
vertical, choca con el extremo C de otra varilla
CD que descansa en una superficie lisa. Si el
coeficiente de restitución es e = 0,5, calcular,
después del choque:
a) Con el tramo L/3 en posición vertical.
b) Con el tramo 2L/3 en posición vertical.
17. Según se aprecia, una barra esbelta y homogénea de masa m y longitud L = 80 cm se encuentra
inicialmente en posición vertical, articulada en
el apoyo no fijo A, el cual descansa sobre una
mesa rugosa. Asimismo, la barra tiene anclada
en el punto C un tope, tal que cuando gire 90°
quede pivotada en B (sin
rebotar), instante en el cual
A pierde contacto con la
mesa. En estas condiciones, determinar:
a) La velocidad final de las varillas.
b) El porcentaje de energía perdida.
22. La barra esbelta y homogénea
de 2 m de longitud y masa m
se encuentra inicialmente en
reposo en posición vertical,
según se muestra. En t = 0 se
le libera, gira apoyada en A,
para luego chocar en la esquina
del escalón C sin rebotar, y finalmente girar apoyada en C.
Con la información
dada, e ilustrando
con esquemas que
sustenten su solución, calcular la velocidad angular de
la barra en las siguientes circunstancias:
a) La velocidad angular de la barra después
que queda pivotada en B.
b) La fracción de energía perdida después que
la barra queda pivotada.
18. Una pelota (supuesto cascarón esférico) de radio
R = 10 cm rueda sin deslizar sobre un piso horizontal, hasta que delante de ella se encuentra
un peldaño de altura h < R. Calcular:
a) La mínima rapidez v con que debe rodar la
pelota para poder subir por el peldaño sin
despegarse de éste.
4
a) Un instante antes del impacto en C.
b) Un instante después del impacto con C.
c) Cuando se sitúa en posición horizontal.
a) La velocidad angular del disco y del mango
del martillo después del choque.
b) La fracción o porcentaje de energía perdida
como producto del choque.
23. En la figura se muestra una caja cuadrada de
lado b, que ha de impactar en el tope B a la
velocidad v1. Si el coeficiente de restitución entre
la caja y el tope es e = 0,5, calcular para después del choque:
a) La velocidad angular de la caja.
b) La velocidad del
centro de masa.
26. Se dispara una bala de 50 g de masa con una
velocidad horizontal v0 = 400 m/s contra un
panel cuadrado de lado b = 20 cm y masa M =
4,95 kg. Si la bala impacta horizontalmente en
el borde inferior del panel, el cual está en
reposo inicialmente, calcular:
24. En la figura, la placa
que hace de blanco
de un concurso de
tiro, es un disco
circular de 5 kg de
masa y 30 cm de
radio, que puede
girar
libremente
alrededor del eje z.
Una bala de 25 g de masa impacta en la placa
a la velocidad de 600 m/s, incrustándose
totalmente en ella. Calcular:
a) La velocidad angular del panel inmediatamente después de haberse incrustado el
proyectil.
b) La máxima inclinación que logra
el conjunto con la
bala incrustada.
c) La reacción impulsiva en A, suponiendo que la
bala se incruste
en la placa en tan solo 2 ms.
a) La velocidad angular del conjunto después
del choque.
b) La fracción de energía perdida –en forma de
calor– como consecuencia de la incrustación
de la bala.
27. La barra mostrada tiene una
masa de 10 kg, mide 2 m, y
está articulada en O. Una
bala de 50 g de masa la impacta a la velocidad de 200
m/s en la dirección
indicada, incrustándose en ella en
un lapso t = 20
ms. Calcular las
componentes impulsivas de la reacción en O,
suponiendo que la barra no se
ha movido de su posición inicial
significativamente.
25. En la figura se muestra un disco macizo de masa
m = 5 kg, radio geométrico r = 20 cm y radio de
giro centroidal kA = 16 cm, que gira a la velocidad angular constante 1 = 90 rpm en sentido
horario.
28. Una barra esbelta CDE de longitud L y masa m
está articulada en su punto medio O. Otra
varilla AB igual a CDE pivota alrededor de la
articulación A a la velocidad angular . Si el
extremo B golpea el extremo C de CDE, y el
coeficiente de restitución es e, y asumiendo que
el tiempo de contacto del golpe es despreciable,
hallar la velocidad angular de cada varilla luego
del choque.
Según se aprecia, el disco lleva en su contorno
una pestaña que ha de chocar con el mazo de
un martillo, inicialmente en equilibrio y pivotado
en B, con un tramo de su mango distante a = 40
cm. Si el momento de inercia del martillo con
respecto a B es IB = 0,5 kg. m2, y el coeficiente
de restitución entre la pestaña y el borde del
mango del martillo es e = 0,8, ilustrando con
esquemas, calcular:
5
29. Una jabalina de 800 g de
masa impacta en una barra
esbelta ABC de masa m =
4 kg a la velocidad v0 = 10
m/s. Sabiendo que la jabalina se incrusta en el borde
inferior de la barra en C
en un lapso de 4 ms, sin
penetrar
demasiado,
calcular, inmediatamente
después del impacto:
32.
La barra esbelta AB de masa m se
suelta del reposo en la posición
horizontal, y al situarse en la
posición vertical golpea con el
botón K a la barra esbelta CD de
masa m/2. Sabiendo que el coeficiente de restitución entre K y
CD es e = 0,8, calcular, inmediatamente después del choque:
a) La velocidad angular de cada varilla.
b) El porcentaje de energía perdida.
a) La velocidad angular de la barra.
b) Las componentes de la reacción impulsiva
en B.
33. En la figura se muestra una bola de boliche de
masa m1 = 4,5 kg, modelada como una esfera
maciza y homogénea (ICM = 2/5 mr2), que rueda
sin deslizar a la velocidad v1 = 6 m/s, hasta chocar
con un pino de masa m2 = 1,5 kg, y momento de
inercia con respecto a su centro de masa IC =
250 kg.cm2, en reposo inicialmente. Según se
aprecia, la línea de choque entre los cuerpos está
desviada el ángulo  = 10° con la horizontal, y
desde dicha línea se mide su distancia al centro
de masa del pino, c = 2 cm.
30. En la figura, la bolita de masa m y el cuadrante
de arco circular de masa 2m, articulado en O,
se encuentran sobre una mesa horizontal sin
fricción. El cuadrante se encuentra inicialmente
en reposo en la posición indicada, y la bolita se
traslada hasta chocar en el borde A a la velocidad v = 10 m/s. Si el coeficiente de restitución
entre la bolita y el cuadrante es e = 0,8,
ilustrando con esquemas, calcular la velocidad
angular del cuadrante y la velocidad de la
bolita después del choque.
Si el coeficiente de restitución debido al choque
entre los cuerpos es e = 0,9, ilustrando con
esquemas, calcular la velocidad de la bola y la
velocidad angular del pino inmediatamente
después del choque.
31. En la figura se muestra
una barra esbelta de
masa m y longitud L, que cae horizontalmente hasta que su borde B impacta
sobre un plano inclinado ° con la horizontal,
que carece de fricción. Considerando que el
coeficiente de restitución entre la barra y el
plano es e, determinar, inmediatamente después
del choque, y en función de :
EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM
Lima, 31 de octubre del 2024
a) La velocidad angular de la barra.
b) La velocidad de su centro de masa.
c) La fracción de energía perdida.
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