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Transformación de Deformación Unitaria Plana
El estado de deformación plana es aquél en el que las deformaciones del material tienen
lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de esos planos. Si se escoge
al eje “z” perpendicular a los planos en los que la deformación tiene lugar, entonces zz =
zx = zy = 0, quedando como únicas componentes de la deformación a xx , yy , xy.
Esta situación ocurre en una barra de longitud infinita sometida en sus lados a cargas
uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que está impedida para expandirse
o contraerse lateralmente, mediante soportes fijos, rígidos y lisos (ver figura 2.33).
Figura 2.33. Segmentos de líneas, después de una deformación
Analicemos un elemento cuadrado centrado en el punto Q, con lados de longitud s
paralelos a los ejes x-y (ver figura 2.34). Al deformarse, el cuadrado se vuelve un
paralelogramo, con lados de longitud s (1 + xx) y s (1 + yy), y formando ángulos de
(/2 - xy ) y (/2 + xy ) entre sí (ver figura 2.34). El propósito buscado es determinar las
componentes de deformación asociadas a unos ejes x´-y´ los que forman un ángulo con
los ejes x-y respectivamente, es decir, se busca expresar x´x´ , y´y´ , x´y´ en función de las
componentes xx , yy , xy y el ángulo (figura 2.35).
Figura 2.34. Elemento diferencial antes y después de la deformación
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Figura 2.35. Elemento diferencial antes y después de la deformación
Para esto, se trabaja con un triángulo ABC de lados x, y, s inicialmente con ángulo
recto en C (figura 2.36); el lado AC es paralelo al eje x y el lado BC es paralelo al eje y.
Al deformarse el triángulo pasa a la posición A´B´C´ cuyos lados son A´B´ = s (1 +
()) (donde () es la deformación normal a lo largo de la línea AB que forma un ángulo
con el eje x), A´C´ = x (1 + xx) y B´C´ = y (1 + yy); además el ángulo en C´ se
transforma en /2 + xy. Aplicando la ley de cosenos al triángulo A´B´C´:
(A´B´)2 = (A´C´)2 + (C´B´)2 – 2(A´C´)(C´B´) cos (/2 + xy)
Figura 2.36. Elemento diferencial triangular, antes y después de la deformación
Desarrollando y asumiendo que:
Cos (/2 + xy) = - sen (xy ) - xy
Si se desprecian los términos de segundo orden (por ejemplo x´x´2 respecto a x´x´), y por
simplicidad xx=x, yy=y se logra:
() = x cos2 + y sen2 + xy sen cos
Con los ejes x´, y´ y usando las transformaciones trigonométricas para pasar al ángulo
doble se tiene:
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cos(2 ) xy sen(2 )
2
2
2
y´ x y x y cos(2 ) xy sen(2 )
2
2
2
x´
x y x y
x´ y´ ( x y ) sen(2 ) xy cos(2 )
(2.92a)
(2.92b)
(2.92c)
Sumando las dos primeras expresiones se logra la invariante de deformaciones:
x´ + y´ = x + y
(2.92d)
Dado que se cumple que z = z´ = 0, se verifica la invariante J1 de deformaciones.
Círculo de Mohr para el estado plano de deformaciones
De la expresión de x´y´ se puede obtener:
x´ y´
2
( x y )
2
sen(2 )
xy
2
cos(2 )
(2.92e)
Las expresiones (a), (b) y (e) para la transformación de deformación plana se parecen a
las ecuaciones deducidas para la transformación de esfuerzo plano, cambiando los
esfuerzos normales i por deformaciones unitarias lineales i, y los esfuerzos cortantes ij
por la mitad de las deformaciones por corte ij /2.
Como es lógico, se puede también construir una circunferencia (conocida como círculo
de Mohr de deformaciones) en un sistema coordenado donde las deformaciones unitarias
lineales son las abscisas y las deformaciones de corte () son las ordenadas. La
circunferencia tiene Centro C, y Radio R (Figura 2.37):
Figura 2.37. Representación del círculo de Mohr para deformaciones
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C = (x + y) /2
Centro:
x y
xy
2
2
2
R
Radio:
(2.93a)
2
(2.93b)
Como antes, es conveniente trazar el eje de ordenadas como positivo hacia abajo, para
que los giros que se hagan en el elemento diferencial y en el círculo de Mohr sean del
mismo sentido.
Las deformaciones principales son:
1 = C + R (el valor de máx)
2 = C - R (el valor de mín)
(2.93c)
(2.93d)
Los ejes principales “a” y “b” correspondientes (figura 2.38) se obtienen haciendo que la
deformación por corte ij sea cero; entonces, se logra el ángulo p:
Figura 2.38. Ejes principales de deformación
tg (2 p)
xy
x y
(2.93e)
La deformación cortante máxima en el plano está definida por los puntos D y E en el
círculo de Mohr (figura 2.37), y es igual al diámetro del círculo:
max ( plano) 2R ( x y ) 2 2 xy
(2.93f)
Por último, para obtener las deformaciones en ejes x´- y´ rotados un ángulo respecto a
los ejes x-y, se debe rotar en el círculo de Mohr un ángulo 2 en el mismo sentido (figura
2.39).
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Figura 2.39. Círculo de Mohr de deformaciones, rotados un ángulo 2
Análisis Tridimensional de la deformación
Se necesita estudiar la deformación en un punto en forma tridimensional a fin de hallar
la deformación cortante máxima máx en el punto. Este valor es el diámetro del mayor de
los tres círculos mostrados en la figura 2.40, por lo que:
máx = máx - mín
(2.94)
Donde máx y mín representan los valores algebraicos de las deformaciones máxima y
mínima en el punto.
Figura 2.40. Círculo de Mohr de deformaciones, rotados un ángulo 2
En el caso de un estado de deformación plana, siendo “x” e “y” los ejes en el plano de la
deformación, el eje z es uno de los ejes principales y el punto correspondiente en el
diagrama de los círculos de Mohr es el origen O. Si los puntos A y B que definen los ejes
principales en el plano caen en lados opuestos de O (figura 2.41) entonces, las
deformaciones principales correspondientes representan las deformaciones máxima y
mínima en el punto, y la máxima deformación de corte es igual a la máxima deformación
de corte en el mismo plano de la deformación, correspondiente a los puntos D y E.
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Figura 2.41. Círculo de Mohr de deformaciones
Si en cambio, A y B están en el mismo lado de O, (figura 2.42) entonces, las
deformaciones principales a b tienen el mismo signo, entonces la deformación por corte
máxima está definida por los puntos D´ y E´ en el círculo de diámetro OA y se cumple
que máx = máx.
Figura 2.42. Círculo de Mohr de deformaciones
En el caso de estado plano de esfuerzos, también puede ocurrir que los puntos asociados
a los ejes principales en el plano A y B estén en el mismo lado del origen O (figura 2.43),
y a pesar que la tercera deformación principal C tiene un valor no nulo, la deformación
de corte máxima es igual al diámetro del círculo AC correspondiente a una rotación
alrededor del eje b, fuera del plano del esfuerzo.
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Figura 2.43. Círculo de Mohr de deformaciones
Comparación entre estado de esfuerzo plano y estado de deformación unitaria plana
La figura 2.44, muestra claramente la comparación entre esfuerzo plano y deformación
unitaria plana, notar que en esfuerzo plano (en el plano xy), se puede dar deformaciones
en “z” y que en deformación unitaria plana (en el plano xy), se puede dar esfuerzos en
“z”.
Figura 2.44. Comparación de esfuerzo plano con deformación unitaria plana
(Resistencia de Materiales - Timoshenko)
Ecuaciones para determinación de deformaciones en rosetas
Las deformaciones en rosetas, se obtienen aplicando la ecuación siguiente:
() = x cos2 + y sen2 + xy sen cos
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La tabla 2.1, muestra las ecuaciones para determinar las deformaciones en las direcciones
de los deformímetros o strain gages.
Tabla N° 2.1. Ecuaciones para determinación de deformaciones en rosetas
Tipo de roseta
Ecuaciones para determinar las deformaciones
a , b , c
a
b
c
x y
x y
2
x y
2
2
x y
x y
2
x y
2
2
cos(2 ) xy sen(2 )
cos 2( ) xy sen2( )
cos 2( ) xy sen2( )
a x
c y
xy b a c
2
a x
b
c
x
4
x
3 y
4
3 y
xy 3
2
xy 3
4
4
2
1
y (2( b c ) a )
3
3
xy
( c b )
3
a x cos 2 ( ) y sen 2 ( ) xy sen(2 )
b x cos 2 ( ) y sen 2 ( ) xy sen(2 )
( b )
xy a
sen(2 )
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Ejemplo 2.12. Se tiene una placa cuadrada de 1m de lado en un estado de deformación
plano
zz xz yz 0
Determinar los desplazamientos y los deformaciones para los ejes x-y, sabiendo que los
desplazamientos son pequeños
Se sabe que las funciones lineales de los lados son rectas antes y después de la
deformación
ax by
cx dy
a,b,c,d constantes
Evaluando en los puntos A, B y C, se tiene:
Punto A: x=0, y=1.0m
A 3mm a(0) b(1)
b=-0.003 m
Punto C: x=1 m, y=0
C 1mm c(1) d (0)
c=0.001 m
Punto B: x=1m, y=1m
A 5mm a(1) (0,003)(1)
a=-0.002 m
B 3.5mm 0,001(1) d (1)
d=0.0025m
Para cualquier punto podemos escribir:
0,002 x 0,003 y
0,001x 0,0025 y
Para deformaciones pequeñas se tiene:
xx
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u
0,002
x
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v
0,0025
y
1 v u
xy
2 x y
xy 2 xy
0,001 (0,003)
xy 0,002
yy
También se pueden evaluar las segundas derivadas, teniendo
2
2 xy
2 xx yy
2 2
xy
y 2
x
Sus dos derivadas son 0+0=0
Ejemplo 2.13. Determinar las deformaciones principales y el estado de deformaciones en
un elemento rotado 25° en forma antihorario con los ejes de referencia
xx 440
yy 160
xy 80
Determinar las deformaciones principales y el estado de deformaciones en un elemento
rotado 25° en forma antihorario con los ejes de referencia
Centro c
440 160
300
2
Radio (440 300) 2 80 2 161
max c R 461
min c R 139
tg(2θp)=80/140
θp=14.87º
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Luego el ángulo con respecto al eje girado x´ desde el eje principal, será:
px1 50 2 p 50 29.74 79,74
Utilizando el círculo de Mohr se tendrá:
x´ C R cos 79,74 329 328,71
y C R cos 79,74 271
xy R sin 79,74 158,66
Otra manera de obtener los mismos resultados, será:
x´
x y
y´
2
x y
x y
2
cos 2 xy sin 2 328,71
x y
cos 2 xy sin 2 271
2
2
xy´
x y
sin 2 xy cos 2 158,66
2
2
2
Ejemplo 2.14. Las deformaciones obtenidas en la roseta mostrada son:
1 93,1
2 385
3 210
Se pide hallar:
a) La orientación y magnitud de las deformaciones principales en el plano de la
roseta
b) La deformación constante máximo en el plano
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Solución
a. Del gráfico podemos indicar que:
x 2 385
En general
1 x cos 2 1 y sin 2 1 xy sin 1 cos 1
93,1 385 cos 2 (75 ) y sin 2 (75 ) xy sin(75 ) cos(75 )
0,93 y 0,25 xy 118,89
(a)
3 210 385 cos 2 (75 ) y sin 2 (75 ) xy sin(75 ) cos(75 )
0,933 y 0,25 xy 184,21
(b)
Desarrollando la ecuación (a) y (b), se tiene:
y 35.0
xy 606.0 ó xy 303
Calculando el centro y radio del círculo de Mohr:
Centro =
Radio =
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385 35
210
2
385 2102 606 / 22 350
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La orientación y magnitud de las deformaciones principales en el plano de la
roseta
max a 210 350 560
min b 210 350 140
tg(2θp)=303/175
θp=30°
b. La deformación constante máximo en el plano
max 2 350 700
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