Multiplicando con las manos y haciendo dibujos en lugar de cuentas

Lección I
Multiplicando con las manos y haciendo dibujos en lugar de cuentas
“generoso de amores, imposible de cálculos...”
Autoretrato,
Pablo Neruda
Últimamente se ha cuestionado si es realmente necesario que aprendamos las tablas de
multiplicar. El razonamiento es simple: si hoy las calculadoras están al alcance de casi
cualquier persona, ¿no serı́a mejor dejar todo tipo de cálculos, inclusive los más básicos, a
las máquinas?
En la historia de la matemática moderna, hay ciertos conocimientos operacionales que
hemos dejado de fomentar pues, en ese ámbito, una calculadora o un computador son
muchı́simo más rápidos. Por ejemplo, antiguamente, todo matemático profesional debı́a
ser capaz de aproximar –con tantos dı́gitos de exactitud como necesitara– los valores de funciones “complicadas”, como las trigonométricas y logarı́tmicas. Con el tiempo esto dejó de ser
fundamental, debido a la elaboración sistemática de “tablas de cálculo”, es decir, libros que
incluı́an todos los valores de aquellas funciones que fuesen de utilidad. Posteriormente, con la
invención de la calculadora, incluso estos libros fueron relegados a la categorı́a de reliquias de
biblioteca. Ası́, hoy en dı́a, un matemático profesional tendrı́a serios problemas para calcular,
por ejemplo, los valores de cos(31, 5o ) o log(7, 3) con cierto grado de exactitud. No es que
no seamos capaces; simplemente debiésemos destinar muchas más horas de las que usaba un
colega del siglo XIX para una tarea similar.
Un ejemplo mucho más cercano: hasta no hace muchas décadas se enseñaba en las escuelas (al menos en las más aventajadas) el cálculo de la raı́z cuadrada de cualquier número
(con tantas cifras decimales de aproximación como se quisiera). Con justa razón, este procedimiento también desapareció del currı́culum, de modo que no son muchas las personas que
√
hoy se arriesgarı́an al cálculo, por ejemplo, de 3, 73 , con seis dı́gitos decimales de exactitud.
Pese a lo anterior, existe consenso en que las operaciones básicas deben siempre ser potenciadas y que el uso indiscriminado de calculadoras es perjudicial. Esto no significa, sin
embargo, que las tablas de multiplicar deban ser aprendidas por simple memorización. En
la práctica, es mucho más útil y estimulante para el aprendizaje confrontarse a situaciones
“reales” en las que su uso sea fundamental. A fin de cuentas, se trata de una acción que
realizamos a diario, por ejemplo al hacer las compras en un almacén.
En los últimos años, una serie de métodos alternativos de multiplicación se han viralizado
a través de las redes sociales. Se trata de sistemas ancestrales de cálculo tan válidos como
el que solemos emplear y que tienen gran valor cultural y potencialidades didácticas. Sin
embargo, estos métodos suelen ser presentados sin la debida explicación: solo se detalla
cómo, pero no por qué funcionan. Por esta razón, haremos un recorrido riguroso por los más
importantes, explicando en detalle cuál es su fundamento.
Multiplicando con los dedos
Las tablas de multiplicar de 1, 2, 3, 4 y 5 son sencillas; los problemas suelen comenzar con
las tablas de números entre 6 y 10. Ahora bien, existe un viejo método que permite realizar
rápidamente estas multiplicaciones con la simple yuxtaposición de los dedos. Abajo se ilustra
el ejemplo de la multiplicación 7 × 9. La cantidad “7” se representa con dos dedos de una
mano (partiendo del meñique, que representa el 6), mientras que el “9” viene representado con
cuatro dedos de la otra mano. Se ponen entonces en correspondencia el segundo dedo de
una mano con el cuarto de la otra. En total, quedan 6 dedos desde el punto de encuentro hacia abajo (incluyendo los dedos que
se encuentran), los cuales debemos interpretar
como 60. Arriba quedan 3 dedos en una mano
y 1 en la otra, por lo que debemos guardar en
mente la cifra 3 × 1 = 3. El algoritmo nos
indica entonces que 7 × 9 = 63.
Como segundo ejemplo, abajo a la izquierda se ilustra el proceso de multiplicar 8×7 = 56.
Un poco más complicado es el caso de 6 × 6, ilustrado arriba a la derecha. Aquı́, al
disponer los dedos, quedan 2 desde el punto de encuentro hacia abajo, mientras que arriba
quedan 4 en cada mano. Por lo tanto, debemos considerar el dı́gito 2 en la decena y el
producto 4 × 4 = 16 en la unidad. Para llegar al resultado, este 16 se transforma en el dı́gito
6 y cede una decena, transformando el 2 en 3. Ası́ se origina el resultado correcto: 6 × 6 = 36.
¿Por qué funciona este método? Ciertamente, una respuesta correcta pero poco reveladora para esta pregunta consiste en decir que el método funciona porque entrega el resultado correcto en todas las situaciones posibles (estas no son muchas, por lo que pueden ser
corroboradas rápidamente). Sin embargo, hay una forma más interesante de proceder: como
estamos multiplicando dos números entre 5 y 10, podemos expresarlos en la forma 5 + m y
5 + n, respectivamente. El algoritmo nos dice que debemos enlazar el dedo m-ésimo de una
mano con el dedo n-ésimo de la otra. Al hacer esto, quedan m + n dedos desde el punto
de encuentro hacia abajo. Además, arriba del punto de encuentro quedan 5 − m dedos en
una mano y 5 − n en la otra, valores que al ser multiplicados dan (5 − m) (5 − n). Lo
que el algoritmo propone, entonces, es que el valor de la multiplicación (5 + m) × (5 + n)
corresponde a 10 (m+n) +(5 −m)×(5−n), pues –grosso modo– este último número es aquel
que tiene m + n como cifra de las decenas y (5 − m) × (5 − n) como cifra de las unidades
(al menos, este es el caso cuando el último producto es menor que 10). Ahora bien, es una
tarea perfectamente rutinaria chequear la identidad algebraica
(5 + m) × (5 + n) = 10 (m + n) + (5 − m) (5 − n),
la cual corrobora la validez del algoritmo.
Existe un algoritmo similar para multiplicar números entre 11 y 15. Ahora, el dedo
meñique se identifica con el 11, y la regla estipula que el resultado de multiplicar 10 + m
por 10 + n resulta de colocar un 1 como dı́gito en la centena, la cantidad total m + n de
dedos que quedan desde los enlazados hacia abajo como dı́gito de la decena y el producto
m n de las cifras correspondientes a los dedos de una y otra mano que quedan desde los dedos
enlazados hacia abajo como cifra de la unidad. Obviamente, en caso de que alguno de los
valores obtenidos sea mayor o igual que 10, debe cederle a la unidad inmediatamente mayor.
A modo de ejemplo, abajo se ilustran las multiplicaciones 11 × 13 = 143 y 14 × 14 = 196.
¿Por qué funciona este método? Nuevamente, una identidad algebraica (aún más sencilla
que la anterior) justifica el procedimiento:
(10 + m) × (10 + n) = 100 + 10 (m + n) + m n.
Observa que la igualdad anterior es válida incluso para m y n mayores que 5. Ası́, si
tuviésemos más dedos en cada mano, podrı́amos visualizar, por ejemplo, que la multiplicación
17 × 19 resulta como sigue:
1 (7 + 9) (7 × 9) −→ 1 (16) (63) −→ 1 (22) 3 −→ 323.
Existe, sin embargo, un procedimiento alternativo para lidiar con productos de números
entre 16 y 20. En este, el dedo meñique representa el 16 y, para multiplicar 15 + m por
15 + n, se coloca un 2 como dı́gito de la centena, el doble del total m + n de los dedos
que quedan desde abajo hasta el punto de encuentro como dı́gito de la decena y el producto
(5 − m) (5 − n) de la cantidad de dedos superiores de una y otra mano como dı́gito de las
unidades. Posteriormente, se hace el traspaso de unidades en caso de que las cifras sean
mayores o iguales que 10. Por ejemplo, el proceso de multiplicar 17 por 19 es:
2 (2 × (2 + 4)) (3 × 1) −→ 2 (12) (3) −→ 323.
¿Por qué funciona esto? Una vez más, todo es consecuencia de una identidad algebraica:
(15 + m) × (15 + n) = 200 + 20 (m + n) + (5 − m) (5 − n).
A estas alturas, ya debes haber entendido la lógica de estos procesos, y podrás inventar tu
propia regla para multiplicar, por ejemplo, 21 por 24.
Nuestras viejas multiplicaciones
Nuestro método tradicional de multiplicar se ajusta a la notación decimal de los números
que heredamos de varias culturas orientales (India, China y el mundo árabe) y que aparece en
culturas más cercanas (como la incaica). ¿Has pensado alguna vez cómo los antiguos romanos
realizaban la multiplicación, por ejemplo, de 46 (XLVI) por 68 (LXVIII)? Claramente, su
sistema de numeración no resultaba de gran ayuda.
Nuestra forma de multiplicar se apoya en lo que llamamos “propiedad distributiva” que
nos dice, por ejemplo, que
4 × (3 + 5) = 4 × 3 + 4 × 5,
lo cual se explica mediante una simple ilustración:
=
4
8=3+5
4
3
5
Ası́, cuando multiplicamos un número por un dı́gito, procedemos del siguiente modo:
46 × 8 = (40 + 6) × 8
= 40 × 8 + 6 × 8
= 4 × 8 × 10 + 6 × 8
= 32 × 10 + 48
= 32 × 10 + 4 × 10 + 8
= (32 + 4) × 10 + 8
= 36 × 10 + 8
= 368,
lo cual procesamos de manera mucho más resumida ası́:
4
6 × 8
8.
4
3 6
En caso de multiplicar por un número de varios dı́gitos, primero distribuimos respecto al
segundo factor. Por ejemplo, para multiplicar 46 por 68, la operación a ejecutar es
46 × 68 = 46 × (60 + 8) = 46 × 60 + 46 × 8 = 46 × 6 × 10 + 46 × 8.
Luego, los productos 46 × 6 y 46 × 8 son desarrollados como fue explicado anteriormente:
6 × 6 8
8
0
8.
4
3 6
2 7 6
3 1 2
En general, en la escritura anterior, se omite el dı́gito 0 final del resultado de multiplicar 46
por 60 en la segunda fila. De igual manera, en caso de multiplicar por números de más cifras,
se debe ir suprimiendo la cantidad correspondiente de dı́gitos 0. Por ejemplo, el producto
6 700 417 × 641 = 6 700 417 × 6 × 100 + 6 700 417 × 4 × 10 + 6 700 417 × 1,
se escribe:
6
6
2 6 8
4 0 2 0
4 2 9 4
7
7
0
2
9
0
0
1
5
6
0
0
6
0
7
4
4
6
2
2
1
1
8
7
7
9
7.
× 6 4 1
Lamentablemente, este procedimiento suele ser enseñado como algo mecánico: se indica
que los resultados deben ser “corridos” hacia la izquierda la cantidad de veces requerida sin
proveer explicación alguna. Peor aún, a veces se indica que se debe “rellenar” con estrellas o
asteriscos los espacios que deben quedar vacı́os para no equivocarse en la cuenta.
Este puede ser considerado el primer gran error de la enseñanza de la matemática. De
cierto modo, muchos de nuestros problemas en el aprendizaje de esta disciplina derivan de una
acumulación de este tipo de errores: se enseña un procedimiento sin revelar su origen ni transmitir su contenido matemático. Profunda equivocación: lo que se aprende mecánicamente se
olvida; lo que se comprende se retiene por siempre.
Multiplicación en una grilla
Desde hace un par de años han llegado a nuestras escuelas muchos estudiantes haitianos,
que traen consigo un método de multiplicar diferente. Se trata de un viejo método ideado
en el medioevo en Persia y la India que aparece explı́citamente mencionado en un texto
de al-Khwarizmi. Hoy en dı́a es sistemáticamente enseñado, entre otras, en las escuelas de
China.
4
Para comenzar, se dispone en una grilla el
primer y el segundo factor. Por ejemplo, para
multiplicar 46 × 68, comenzamos por la grilla
ilustrada al costado.
4 6
2 3
4 6 6
3 4
2 8 8
6
6
8
Posteriormente, se multiplica dı́gito contra dı́gito, y
en cada resultado se dispone el dı́gito de la unidad en
la parte inferior de la cuadrı́cula correspondiente y el de
la decena en la parte superior, tal como se ilustra a la
izquierda.
Finalmente, se suman todas las cantidades a lo
largo de las diagonales descendentes que apuntan
hacia la izquierda (considerando las reservas) para
obtener el resultado
46 × 68 = 3 128.
3
1
4 6
2 3
4 6 6
3 4
2 8 8
2 8
¿Por qué funciona este método? En esencia, se trata del mismo procedimiento que empleamos habitualmente: distribuimos primero respecto al segundo factor y después respecto
al primero. Hay, sin embargo, dos diferencias de presentación. Por una parte, no “desplazamos” los resultados en cada etapa, pues el hecho de sumar en diagonal permite que se
acoplen adecuadamente los dı́gitos correspondientes. Por otra parte, a lo largo de cada lı́nea
no obtenemos el resultado de multiplicar el primer factor completo por el dı́gito correspondiente (lo cual involucrarı́a traspasar sistemáticamente las decenas que van apareciendo),
sino que multiplicamos dı́gito contra dı́gito y guardamos las decenas, las cuales se acoplan
perfectamente a lo largo de la suma en diagonal (el traspaso de decenas se hace solo tras la
suma total). Ası́, someramente, la grilla de arriba resume el siguiente (largo) proceso:
46 × 68 = 46 × (60 + 8)
= 46 × 60 + 46 × 8
= (40 + 6) × 60 + (40 + 6) × 8
= 24 × 100 + 36 × 10 + 32 × 10 + 48
= (20 + 4) × 100 + (30 + 6) × 10 + (30 + 2) × 10 + 48
= 2 × 1 000 + 4 × 100 + 3 × 100 + 6 × 10 + 3 × 100 + 2 × 10 + 4 × 10 + 8
= 2 × 1 000 + (3 + 4 + 3) × 100 + (6 + 4 + 2) × 10 + 8
= 2 × 1 000 + 10 × 100 + 12 × 10 + 8
= 2 × 1 000 + 10 × 100 + (10 + 2) × 10 + 8
= 2 × 1 000 + 10 × 100 + 100 + 2 × 10 + 8
= 3 × 1 000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 8
= 3 128.
Se trata, evidentemente, de un excelente método para multiplicar, bastante mejor que el
que solemos usar (especialmente en un cuaderno cuadriculado).
Multiplicación con barras
Tanto en el sistema tradicional que empleamos para multiplicar como en el de grillas, los
factores juegan un rol diferente: primero se distribuye respecto al segundo y después respecto
al primero. Por ejemplo, si en lugar de calcular 23 × 12 calculamos 12 × 23 , ejecutamos
un procedimiento distinto. Esto hace que la conmutatividad de la multiplicación no sea
transparente a través del cálculo.
Sin embargo, podemos imaginar un sistema en que distribuimos directamente respecto a
los dos factores. Más precisamente, al operar 23 × 12, podemos hacer
23 × 12 = (20 + 3) × (10 + 2)
= 20 × 10 + 20 × 2 + 3 × 10 + 3 × 2,
es decir
23 × 12 = 2 × 1 × 100 + (2 × 2 + 3 × 1) × 10 + 3 × 2
= 200 + 70 + 6
= 276.
Esta forma de proceder puede ser ilustrada mediante barras. Para describir el proceso,
comenzamos con una observación evidente: si disponemos un grupo de m rectas paralelas
en una dirección y otro grupo de n rectas paralelas en una dirección diferente, entonces la
cantidad total de puntos de intersección entre ambos grupos de lı́neas es m n.
Ahora bien, para multiplicar dos números,
digamos 23 por 12, no dibujamos 23 lı́neas
en un grupo y 12 en otro. Más astutamente, ilustramos el 23 mediante dos grupos
de lı́neas en una misma dirección: el primero
contiene 2 lı́neas y el segundo 3. Del mismo
modo, el 12 lo ilustramos con dos grupos de
lı́neas que apuntan en una dirección distinta
a las anteriores: uno de 1 lı́nea y otro de
2. Posteriormente, contamos los puntos de
intersección y sumamos los que quedan al
mismo nivel. Obtenemos ası́ 23 × 12 = 276.
23
12
2
6
7
A continuación implementamos la multiplicación de 46 por 68. Este proceso es diferente,
pues algunas de las cifras involucradas son mayores que 10:
46 × 68 = (40 + 6) × (60 + 8) = 40 × 60 + 40 × 8 + 6 × 60 + 6 × 8
= 4 × 6 × 100 + (4 × 8 + 6 × 6) × 10 + 6 × 8
= 24 × 100 + 68 × 10 + 48.
Por ello, el resultado final debe procesarse traspasando cifras a las unidades inmediatamente
mayores:
(24) (68) (48) −→ (24) (72) 8 −→ (31) 28 −→ 3 128 = 46 × 68.
24
48
68
¿Por qué funciona este método? Todo se basa en que la igualdad
(10 a + b) × (10 a0 + b0 ) = 100 (aa0 ) + 10 (ab0 + a0 b) + bb0
es válida para toda elección de números a, b, a0 , b0 . En particular, vale cuando estos son
dı́gitos, situación en la cual 10 a + b no es otra cosa que el número que tiene un dı́gito a en
la decena y b en la unidad, y análogamente para 10 a0 + b0 . Basta solo observar ahora que aa0
es la cantidad de puntos de intersección de las barras que representan las decenas; ab0 + a0 b
es la cantidad total de puntos de intersección entre barras que representan decenas de un
número y unidades del otro; y bb0 es la cantidad de puntos de intersección entre barras que
representan unidades de los números.
Este sistema es generalizable a números más grandes. Por ejemplo, la igualdad
(100a+10b+c)×(100a0 +10b0 +c0 ) = 10 000 aa0 +1 000 (ab0 +ba0 )+100 (ac0 +bb0 +ca0 )+10 (bc0 +cb0 )+cc0
justifica la diagramación siguiente para el producto de 124 por 215:
(2) (5) (15) (14) (20)
↓
25 (15) (16) 0
↓
2
20
5
25 (16) 60
↓
14
15
26 660 = 124 × 215.
Cuando alguno de los dı́gitos de los números
es igual a cero, corresponde no dibujar ninguna
barra en la posición respectiva. Sin embargo,
esto suele traer problemas con la posición de
las barras, de modo que, por ejemplo, el producto de 201 por 332 se confunde con 21 por
332. Por ello, es preferible trazar en la posición
del cero una barra punteada y recordar que
los puntos de intersección de esta con las otras
barras no deben ser contabilizados.
2
6
6
3
7
201 × 332 = 66 732
Este método de multiplicación aparece en antiguos textos de matemática de la India.
Hoy es enseñado en las escuelas de muchos paı́ses del mundo, especialmente Japón, razón
por la cual se la conoce en diversos lugares como “multiplicación japonesa”. Hay quienes la
denominan “multiplicación maya”, pese a que no existe ninguna constancia de que los mayas
hayan desarrollado este método (de hecho, esto es muy improbable, pues los mayas tenı́an un
sistema de numeración diferente). Se trata, sin lugar a dudas, de un método muy motivante,
que suele dar excelentes resultados en los primeros años de escolaridad.
La visualización geométrica de operaciones aritméticas y algebraicas es un conocimiento
ancestral. Lamentablemente, estas conexiones son usualmente desdeñadas en los programas
de estudio. Es ası́ que muchos alumnos concluyen su escolaridad sin haber percibido que
el “temible” cuadrado del binomio no es más que un diagrama de suma de áreas, en el que
dos cuadrados pequeños más dos rectángulos ensamblan para generar un cuadrado mayor
(ver la figura a izquierda a continuación). Del mismo modo, desconocen que la primera
“fórmula” de sumatorias, aquella que establece que
1 + 2 + ... + k =
k (k + 1)
,
2
resulta de un simple cálculo de la cantidad de puntos dispuestos en un arreglo triangular
(los puntos de color verde a derecha, cuyo número es igual al de los celestes).
b
a·b
b2
2S = k (k + 1)
a+b
a
a2
k+1
⇓
a·b
S=
a
b
k (k + 1)
2
k
Formas de multiplicar de los incas
Hasta el dı́a de hoy persisten grandes misterios sobre la forma en que muchas culturas
hacı́an sus cálculos. Entre ellas destaca la de los incas, quienes al parecer recurrı́an a yupanas
y quipus para tales tareas. Si bien no hay acuerdo entre los investigadores, se cree que la
yupana, una suerte de tablero que funcionaba como ábaco, permitı́a implementar un sistema
de multiplicaciones similar al de las grillas; en este, las cifras eran simbolizadas con distintas
cantidades de semillas en lugar de ser escritas. Por ejemplo, la imagen de abajo (fácil de
descifrar) ilustra la multiplicación 254×137 = 34 798. Cabe consignar que los incas utilizaban
un sistema numérico decimal, muy similar al que empleamos hoy en dı́a.
1
3
7
3
4
2
7
5
9
4
8
Un poco más de consenso parece haber en torno a los quipus, aquellos famosos arreglos de
cuerdas anudadas que representaban información de diversa ı́ndole, especialmente contable.
Se cree que en ellos las multiplicaciones eran implementadas mediante un método similar al
de las barras. En este, una cuerda principal colocada horizontalmente en la parte superior
permitı́a sostener varias cuerdas para ası́ representar números. Por ejemplo, abajo tenemos
la representación de 27, 123 y 4 015.
Para realizar una multiplicación se recurrı́a a los nudos. Por ejemplo, si se deseaba
multiplicar 123 por 32, en cada una de las cuerdas se hacı́an dos grupos de nudos: uno de 3
y otro de 2. Luego se contaba la cantidad de nudos en diagonal para generar el resultado.
Multiplicación por disección y duplicación
El último de los métodos ancestrales que presentaremos tiene sus raı́ces en Etiopı́a y
Egipto. Este aparece descrito en el famoso papiro de Ahmes (también conocido como papiro
del Rhind), el cual es considerado el documento matemático más antiguo que aún se conserva
y corresponde a una copia de otro documento que data del siglo XIX a. C. Hasta no hace
muchas décadas, una variación del método era utilizado en regiones campesinas de Rusia, y
hasta el dı́a de hoy sigue siendo enseñado en las escuela etı́opes.
Se trata de un procedimiento que difiere radicalmente de los mostrados anteriormente,
pues solo utiliza, además de la suma, multiplicación y división por 2. Este sistema opera gracias al hecho de que todo número puede ser descompuesto como suma de potencias distintas
de 2. Por ejemplo:
26 = 21 + 23 + 24 ,
47 = 20 + 21 + 22 + 23 + 25 ,
63 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 .
Para obtener esta descomposición, se puede recurrir a dos métodos. El primero consiste
en ir buscando la mayor potencia de 2 menor o igual que el número, para luego cambiar
dicho número por su diferencia con dicha potencia y repetir el proceso. Por ejemplo, para 37
tenemos:
25 < 37 < 26 ⇒ 37 − 25 = 5 ⇒ 37 = 25 + 5;
22 < 5 < 23
⇒
5 − 22 = 1 = 2 0
⇒
37 = 20 + 22 + 25 .
⇒
5 = 22 + 20 ;
Claramente, las potencias de 2 que van surgiendo son distintas, pues la aparición de dos
iguales significarı́a que, en lugar de restar dicha potencia al número considerado, podrı́amos
aún restar la potencia de 2 inmediatamente mayor.
El otro método de descomposición consiste en dividir sistemáticamente por 2 y considerar
los residuos. Por ejemplo, puesto que la división de 37 por 2 da resto 1, el término 20 aparecerá
en la expresión de 37. Luego, como 37 : 2 da por resultado 18 (con resto 1) y la división
de 18 por 2 no da resto, tenemos que 21 no aparece en la descomposición de 37. Luego
nos concentramos en 18 : 2 = 9. Como 9 : 2 da resto 1, el término 22 sı́ aparece en la
descomposición, y debemos ahora concentrarnos en el cociente respectivo, es decir, 4. Ası́ se
prosigue hasta llegar a 0 como resultado (con residuo 1) en la división sistemática por 2:
37 : 2 = 18,
1
18 : 2 = 9,
0
9 : 2 = 4,
1
⇒
4 : 2 = 2,
0
2 : 2 = 1,
0
1 : 2 = 0,
1
37 = 20 + 22 + 25 .
La explicación de este método es sencilla: el resto de la primera división nos indica si el
número es par o impar; solo en el segundo caso, debemos incluir 20 en la descomposición.
Luego, el resto de la segunda división nos indica si el número o el número menos 1 (dependiendo de si es par o impar) es múltiplo de 4; solo en caso de que no lo sea, debemos incluir
21 en la descomposición...
Una forma más sucinta de describir lo anterior consiste en usar la llamada notación binaria. En esta, solo se utilizan los dı́gitos 0 y 1: si aparece un 1, la potencia de 2 respectiva debe
ser considerada; si aparece un 0, debe ser descartada. Para evitar confusiones, denotamos las
expresiones binarias con una lı́nea superior. Por ejemplo:
100101 = 20 + 22 + 25 = 37;
111010 = 21 + 23 + 24 + 25 = 58;
100000 = 25 = 32.
La lista de los números (enteros positivos) en notación binaria es entonces:
1
10
11
100
101
110
111
1000
=
=
=
=
=
=
=
=
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
=
=
=
=
=
=
=
=
9,
10,
11,
12,
13,
14,
15,
16,
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
=
=
=
=
=
=
=
=
17,
18,
19,
20,
21,
22,
23,
24,
11001
11010
11011
11100
11101
11110
111111
1000000
=
=
=
=
=
=
=
=
25,
26,
27,
28,
29,
30,
31,
32, etc.
La notación binaria es quizás la más natural de todas. Se la emplea cotidiana y silenciosamente, pues todo sistema computarizado de cálculo procesa los números de esta forma
(someramente, un “bit” encendido corresponde a un dı́gito 1 y uno apagado a un 0).
No solo existen notaciones decimales o binarias de los números. También hay sistemas en
los que contamos de 3 en 3 (ternas), de 12 en 12 (docenas), etc. Por ejemplo, el 2 018 se
escribe en base 12 como 1 202, pues
2 018 = 2 × 120 + 0 × 121 + 2 × 122 + 1 × 123 .
Sistemas de numeración de este tipo han aparecido a lo largo de la historia: los mayas
numeraban en base 20 y los babilonios en base 60. De este último uso heredamos nuestras
unidades (sexagesimales) de medición de ángulos y de división horaria, las cuales han sobrevivido pese a que serı́a perfectamente factible decretar nuevas unidades de medida. Por
ejemplo, de acuerdo a nuestro sistema decimal, serı́a más lógico dividir el dı́a en 10 partes
iguales (equivalentes a 2 horas y 24 minutos), divididas en 100 partes iguales (equivalentes
a 1,44 minutos), divididas a su vez en otras 100 partes iguales (estas últimas equivalentes a
una fracción de 0, 864 = 108/125 de un segundo).
En nuestro último método de multiplicación, lo que se hace es multiplicar un factor por
cada una de las potencias de 2 que aparecen en la descomposición binaria del otro, para
luego sumar los resultados. Como lo anterior requiere solamente multiplicar el primer factor
sucesivamente por 2, las tablas de multiplicar dejan de ser necesarias. Por ejemplo:
37 × 45 = (20 + 22 + 25 ) × 45 = 20 × 45 + 22 × 45 + 25 × 45 = 45 + 180 + 1 440 = 1 665.
Para implementar este método de manera rápida, podemos proceder de dos maneras. En
una, suponemos que la descomposición binaria del primer factor ya es conocida. Listamos,
entonces, todas las potencias de 2 desde 20 hasta la última que aparece en dicha descomposición y tachamos las que no figuran en ella. A un costado de cada potencia de 2 colocamos
el valor del producto de ella con el segundo factor (para ejecutar esto, basta ir multiplicando
sucesivamente por 2). Finalmente, sumamos solo los productos que se corresponden con
potencias de 2 que aparecen en la descomposición, las cuales son fácilmente reconocibles
pues no han sido tachadas. La representación correspondiente para 37 × 45 (sabiendo que
37 = 20 + 22 + 25 ) aparece a la izquierda a continuación.
.20 .
. . 45 .
1
. .90
2
2
2
. 180
3
2
. 360
4
2
. 720
5
2
1 440
37 × 45 = 1 665
.37 .
. . 45 .
. . 90
18
9
. 180
4
. 360
. 720
2
1
1 440
37 × 45 = 1 665
En el segundo procedimiento, la descomposición binaria del primer factor no es conocida,
y la vamos determinando sistemáticamente mediante el proceso de dividir por 2 y considerar
los residuos. Cuando el residuo es 0, tachamos el valor correspondiente. Simultáneamente,
cada vez que dividimos el primer factor, multiplicamos el segundo por 2. Para concluir,
sumamos todos los productos que se corresponden con cantidades no tachadas, tal como
aparece ilustrado arriba a la derecha.
Reconociendo divisores
Tal como hemos visto, los números son objetos a los que, aun cuando tienen cierta
“dinámica propia”, debemos aproximarnos a través de una notación especı́fica. Esta notación (decimal), que permite que tengamos una visión más concreta de ellos, es muy útil en
ciertos contextos. Por ejemplo, dada la notación decimal de un número, podemos reconocer
fácilmente si este es divisible por 2, 5, 10, 4 u 8:
2
El número n es divisible por 2 si y solo si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
5
El número n es divisible por 5 si y solo si termina en 0 o 5.
10 El número n es divisible por 10 si y solo si termina en 0 (pues este es el único dı́gito
final de un número divisible por 2 y 5 a la vez).
4
El número n es divisible por 4 si y solo si el número que resulta de suprimir todos
sus dı́gitos, a excepción de sus dos últimos, es divisible por 4. Por ejemplo, 98 356 824 es
divisible por 4, pues 24 lo es. En general, esto se debe a que si
n = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + . . . ,
entonces
n = (a + 10 b) + (100 c + 1 000 d + . . .) = (a + 10 b) + 4 × (25 c + 250 d + . . .),
por lo que n es divisible por 4 si y solo si a + 10 b también lo es.
8
El número n es divisible por 8 si y solo si el número que resulta de suprimir todos
sus dı́gitos, a excepción de sus tres últimos, es divisible por 8. Por ejemplo, 98 356 824 es
divisible por 8, ya que 824 lo es. Como en el caso anterior, esto se debe a que si
n = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + 10 000e + . . . ,
entonces
n = (a + 10 b + 100 c) + (1 000 d + 10 000 e . . .) = (a + 10 b + 100 c) + 8 × (125 d + 1 250 e + . . .),
por lo que n es divisible por 8 si y solo si a + 10 b + 100 c también lo es.
3
Un número n es divisible por 3 si y solo si la suma S(n) de sus dı́gitos es divisible
por 3. Por ejemplo, para n = 1 479 156 se tiene que S(n) = 1 + 4 + 7 + 9 + 1 + 5 + 6 = 33 es
múltiplo de 3, por lo que n también lo es. La razón de esto es muy sencilla: si
n = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + . . . ,
entonces
n = (a + b + c + d + . . .) + (9 b + 99 c + 999 d + . . .) = S(n) + 3 × (3 b + 33 c + 333 d + . . .),
por lo que
n − S(n) = 3 × (3 b + 33 c + 333 d + . . .),
lo cual implica que n y S(n) deben dejar el mismo resto al ser divididos por 3.
9
Un número n es divisible por 9 si y solo si la suma S(n) de sus dı́gitos es divisible
por 9. Al igual que en el caso anterior, este criterio se deduce del hecho de que si
n = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + . . . ,
entonces
n = (a + b + c + d + . . .) + (9 b + 99 c + 999 d + . . .) = S(n) + 9 × (b + 11 c + 111 d + . . .).
6 Un número n es divisible por 6 si y solo si lo es por 2 y 3 simultáneamente (ambas
divisibilidades deben ser testeadas de manera independiente).
12 Como en el caso anterior, un número es divisible por 12 si y solo si es divisible por
4 y 3 al mismo tiempo.
11 Un número n es divisible por 11 si y solo si la suma alternada Ŝ(n) de sus dı́gitos
también lo es. Por ejemplo, para n = 947 542 871 tenemos
Ŝ(n) = 9 − 4 + 7 − 5 + 4 − 2 + 8 − 7 + 1 = 11,
por lo que n es múltiplo de 11. Como en el caso de la divisibilidad por 9, este criterio nace
del hecho de que si
n = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + 10 000 e + . . . ,
entonces
n = (a − b + c − d + e − . . .) + (11 b + 99 c + 1 001 d + 9 999 e + . . .)
= Ŝ(n) + 11 × (b + 9 c + 91 d + 909 e + . . .),
donde el factor 11 a derecha aparece del siguiente hecho fácil de corroborar:
9090 . . . 909 × 11 = 9999 . . . 999
y
9090 . . . 91 × 11 = 1000 . . . 001.
7
Finalmente, como el 7 no tiene relación directa con el 10, es esperable que todo
criterio de divisibilidad por dicho número sea complicado. Uno de estos opera del siguiente
modo: dado un número n escrito en notación decimal, consideramos el número que resulta
de suprimir su último dı́gito, y a este le restamos el doble de dicho dı́gito. Luego, repetimos
el proceso varias veces. Por ejemplo, para 14 406 tenemos:
14 406 −→ 1 440 − 2 × 6 = 1 428 −→ 142 − 2 × 8 = 126 −→ 12 − 2 × 6 = 0.
Puesto que hemos desembocado en un múltiplo de 7 (el 0), el número original es divisible
por 7 (de hecho, 14 406 = 7 × 2 018).
¿Por qué funciona este método? La explicación es más complicada que las anteriores. El
proceso consiste en reemplazar
n = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + . . .
por
ñ = (b + 10 c + 100 d + . . .) − 2a.
Ahora bien,
n − 10 ñ = a + 10 b + 100 c + 1 000 d + . . . − 10 ((b + 10 c + 100 d + . . .) − 2a) = 21 a = 7 × 3 a.
Por lo tanto, si ñ es múltiplo de 7, digamos ñ = 7 k, entonces
n = 10 ñ + 21 a = 7 × (10 k + 3 a)
también lo es.
Recı́procamente, si n es múltiplo de 7, digamos n = 7 `, entonces
10 ñ = n − 21 a = 7 × (` − 3 a)
también lo es, lo cual implica que ñ mismo debe ser divisible por 7.
Como habrás percibido, este criterio de divisibilidad por 7 (al igual que cualquier otro)
funciona casi tan lento como el procedimiento de dividir por 7 y considerar el resto. El 7 es
un número difı́cil de tratar...
Problemas
1.- Multiplica 6 700 417×641 usando el método de las grillas y el de disección y duplicación.
2.- Usando cualquiera de los métodos alternativos de multiplicación, calcula el producto
de 142 857 por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
3.- Verifica que 333 333 331 = 17 × 19 607 843, pero que 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331,
3 333 331 y 33 333 331 son todos números primos.
4.- Una antigua regla de cálculo dice que para multiplicar un número por 11, basta colocar
su primer y último dı́gitos y, entre ellos, ir colocando sistemáticamente las sumas entre dos de
sus dı́gitos consecutivos (al final se hace el traspaso de decenas si es necesario). Por ejemplo,
23 547 × 11 −→ 2 (2 + 3) (3 + 5) (5 + 4) (4 + 7) 7 −→ 2589(11)7 −→ 258(10)17 −→ 259 017.
Justifica este procedimiento e idea otros análogos para multiplicar por 111, 1 111, etc.
5.- Otra vieja receta señala que para elevar al cuadrado un número terminado en 5 se debe
suprimir el 5, multiplicar el número resultante por su sucesor y agregar un 25 al final de la
expresión decimal del resultado de esta multiplicación. Por ejemplo,
352 −→ 3 × 4 = 12 −→ 1 225;
1252 −→ 12 × 13 = 156 −→ 15 625.
Justifica este método.
6.- Un decágono regular inscrito en una circunferencia tiene sus vértices consecutivamente
numerados del 0 al 9. Si se traza una figura uniendo con un segmento el vértice i con el j
cuando existe un entero n tal que 4 n termina con el dı́gito i mientras que 4 (n + 1) termina
con j: ¿qué figura se obtiene?, ¿qué sucede si se hace lo mismo con los múltiplos de 6 en
lugar de los de 4?
7.- Una calculadora tiene defectuosa su tecla de multiplicaciones, pero aún puede sumar,
restar, dividir por 2 y elevar números al cuadrado. ¿Cómo podrı́as implementar la multiplicación usando solo esto?
8.- Prueba de tantas maneras diferentes como puedas (al menos dos) la siguiente igualdad:
1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n = 2n+1 − 1.
9.- Verifica que xn − 1 = (x − 1) (xn−1 + xn−2 + . . . + x + 1). A partir de esto, concluye
que
x2n − 1 = (x2 − 1) (x2(n−1) + x2(n−2) + . . . + x2 + 1),
x2n+1 + 1 = (x + 1) (x2n − x2n−1 + x2n−2 + . . . + x2 − x + 1).
¿Qué obtienes si x = 10 en estas dos últimas igualdades?
10.- El número 12345654321 está escrito en base 7. Sin transferirlo a base 10, decide si es
divisible por 6 y/o por 8.
11.- Encuentra todos los enteros positivos n tales que, al agregar un 2 por la izquierda y
otro 2 a la derecha de su expresión decimal, se obtiene la expresión decimal del producto
32 n (por ejemplo, esto sucede para 91, pues 2 912 = 32 × 91).
12.- El factorial de un número n, denotado n !, corresponde al producto de todos los enteros
entre 1 y n. Por ejemplo, 4 ! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 y 7 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5 040.
Determina cuántos dı́gitos 0 tienen al final 10!, 25! y 2 018! al ser escritos en notación decimal.
13.- El número 1234567891011121314 . . . 20172018, ¿es divisible por 3 y por 9? De manera
más general, ¿qué números de este tipo son divisibles por 3?
14.- Jimena tiene varias monedas, todas de 100 pesos, repartidas entre sus diez bolsillos.
Ella afirma que en cada bolsillo tiene una cantidad distinta de monedas. ¿Cuánto dinero
tiene como mı́nimo Jimena?
15.- Dado un número n escrito en notación decimal, denotamos S(n) la suma de sus dı́gitos.
Verifica que S(9) = S(18) = S(27) = S(36) = S(45) = S(54) = S(63) = S(72) = S(81) = S(90).
¿Existen otros números para los cuales se cumplen las igualdades análogas de abajo?
S(n) = S(2 n) = S(3 n) = . . . = S((n − 1) n) = S(n2 ) = S((n + 1) n)