SEMANA 2 ➢ Conductividad térmica y mecanismo de transporte de Calor. Ing. Dr. ORLANDO VILCA MORENO Objetivo: Explica y desarrolla problemas relacionado a los mecanismos de transporte de energía sobre la ley de Fourier. CONDUCCIÓN DE CALOR – LEY DE FOURIER Es de conocimiento común que algunos materiales como los metales conducen calor fácilmente, mientras que otros como la madera actúan como aislantes térmicos. La propiedad física que describe la velocidad a que se conduce el calor es la conductividad térmica, k. La conducción de calor en fluidos puede considerarse como trasporte molecular de energía, puesto que el mecanismo fundamental es el movimiento de las moléculas constituyentes. La energía también puede transportarse por el movimiento global de un fluido, y entonces se denomina transporte de energía convectiva. LEY DE FOURIER DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA TRANSPORTE MOLECULAR DE ENERGIA Considerar una placa de material sólido de área A entre dos grandes láminas paralelas separadas por una distancia Y. Suponer que inicialmente (t<0) la temperatura del material sólido es T0 en todas partes. En t=0, la lámina inferior se lleva repentinamente a una temperatura ligeramente superior T1, que se mantiene constante. Se encuentra entonces que para valores suficientemente pequeños de variación de temperatura se cumple la relación: Es decir, la velocidad de flujo de calor por unidad de área es proporcional a la disminución de temperatura sobre la distancia Y. Q T A y Q T =k A y La constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica de la placa La ecuación anterior también se cumple si entre las dos láminas se coloca un líquido o un gas, en el supuesto de que se tomen las precauciones necesarias para eliminar la convección y la radiación. LEY DE FOURIER DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA 𝑄 𝑑𝑇 =𝑞=𝑘 − 𝐴 𝑑𝑥 Donde : Q : Flujo o velocidad de calor = 𝐽 = 𝑤; 𝑠 𝐵𝑇𝑈 ℎ A : Área de transferencia = 𝑚2 ; 𝑓𝑡 2 q : Flux de calor = 𝑊 𝐵𝑇𝑈 ; 𝑚2 ℎ.𝑓𝑡 2 k : Conductividad térmica o calorífica = T = f(x) FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA 𝑑𝑇 − 𝑑𝑥 : Gradiente de temperatura = 4/05/2022 𝑊 𝐵𝑇𝑈 ; 𝑚.°𝐶 ℎ. 𝑓𝑡.º𝐹 °𝐶 °𝐹 : 𝑚 𝑓𝑡 7 Para un sistema donde varía la temperatura en las 3 direcciones: 𝑞 = −𝑘𝛻𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝛻𝑇 = 𝑖Ԧ 𝑑𝑥 + 𝑗Ԧ 𝑑𝑦 + 𝑘 𝑑𝑧 Para sistemas ISOTRÓPICOS: direcciones 𝑞 = −𝑘 ; k = cte k es un constante que no varía en las 3 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑖Ԧ 𝑑𝑥 + 𝑗Ԧ 𝑑𝑦 + 𝑘 𝑑𝑧 Caso contrario será un sistema ANISOTRÓPICO, donde la variación sí se da en las 3 direcciones. FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA 4/05/2022 8 𝒒 = −𝒌𝜵𝑻 Cuando k no varía: Condición térmica ANISOTRÓPICA. 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝛻𝑇 = 𝑖Ԧ 𝜕𝑥 + 𝑗Ԧ 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕𝑧 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝑞 = − 𝑘𝑥 𝑖Ԧ + 𝑘𝑦 𝑗Ԧ + 𝑘𝑧 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA 4/05/2022 9 SI cgs Inglés q W/m2 cal/cm2. s Btu/h. pie2 T K ºC ºF y m cm pie k W/m. K cal/cm. s ºC Btu/h. pie. ºF m2/s cm2/s pie2/s Mecanismos de Transferencia de Calor Son las maneras que se pueden transferir el calor. Conducción, Convección y Radiación. CONVECCIÓN La convección es el mecanismo de transferencia de calor de un fluido a escala macroscópica en forma de corrientes de circulación. Dividida en dos: convección forzada (si el movimiento del fluido es por elementos externos) y convección libre o natural (si el movimiento del fluido es forzado por las fuerzas de flotación inducidas por la densidad). Mecanismos de Transferencia de Calor Algunos ejemplos de transferencia de calor por convección natural son: enfriamiento de una taza de café, enfriamiento de componentes electrónicos en computadoras sin ventilador y la transferencia de calor del cuerpo humano cuando una persona está en descanso. El flujo de energía está determinado por la ley de Enfriamiento de Newton representado por la ecuación: Q= ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) Q= Transferencia de Calor por convección (W) h= Coeficiente de convección (W/𝑚2 ∙ 𝐾) A= Área de transferencia convectiva (𝑚2 ) 𝑇𝑠 = Temperatura de la superficie del sólido (°C) 𝑇∞ = Temperatura del fluido (°C) Mecanismos de Transferencia de Calor RADIACIÓN Los sólidos, líquidos y algunos gases (especialmente el vapor de agua y los hidrocarburos) emiten radiación térmica como resultado de su temperatura. Un emisor ideal, al que se llama cuerpo negro, emite radiación térmica de acuerdo a la ecuación de Stefan Boltzmann. La ecuación viene dada por: 𝑄𝑟 = 𝜎 𝑇 4 𝜎 = 5.67𝑥10−8 (W/m2 K 4 ) , Constante de Boltzmann y T= Temperatura absoluta de la superficie (K) LEY DE FOURIER DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA A medida que transcurre el tiempo, el perfil de temperatura de la placa cambia, y al fin se alcanza una distribución lineal de temperatura en estado estacionario. Una vez que se llega a esta condición de estado estacionario, para mantener la diferencia de temperatura T = T1 − T0 se requiere una velocidad constante de flujo de calor Q a través de la lámina. 𝒌𝑨 𝒌𝑨 𝑻𝟏 −𝑻𝟐 ∆𝑻 𝑸𝒙 = − 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝑻𝟏 −𝑻𝟐 = = 𝒆 𝒆 𝒆 𝑹 𝒌𝑨 Pared Plana Una aplicación inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la transmisión del calor a través de una pared plana. Cuando las superficies de la pared se encuentran a temperaturas diferentes, el calor fluye sólo en dirección perpendicular a las superficies. Si la conductividad térmica es uniforme, la ecuación que describe el comportamiento es: 𝑻𝟏 k 𝑸𝒙 𝑻𝟐 𝒆 𝑻𝟏 −𝑻𝟐 ∆𝑻 𝑸𝒙 = = 𝒆 𝑹 𝒌𝑨 Paredes Compuestas Muchas aplicaciones de ingeniería de utilidad práctica implican la transferencia de calor a través de un medio compuesto por dos o más materiales de diferentes conductividades térmicas dispuestas en serie o en paralelo. Considere, por ejemplo, las paredes de un refrigerador, estufas calientes, plantas de almacenamiento en frío, tanques de agua caliente, etc., que siempre tienen algún tipo de material aislante entre la pared interior y la pared exterior. Transferencia de calor en paredes Compuestas En la interfase Sólido-Sólido pueden estar determinando la continuidad de Temperatura y el flux de calor. Paredes Compuestas: En Serie 𝑇1 > 𝑇2 > 𝑇3 > 𝑇4 𝐴 𝑇1 𝑊≪𝐿 𝑘𝐴 𝐵 𝐶 𝑘𝐵 𝑘𝐶 𝑇2 𝑄𝑥 𝑄𝑥 = 𝑄𝐴 = 𝑄𝐵 = 𝑄𝐶 RESISTENCIA TÉRMICA ∆𝑻 𝑸𝒙 = σ𝑹 𝑄𝑥 𝑇3 𝐿 𝑇4 𝑨 = 𝑾. 𝑳 𝑒𝐴 𝑒𝐵 𝑒𝑐 𝑊 ∆𝑇𝐴 𝑇1 − 𝑇2 𝑄𝑥 = 𝑄𝐴 = = 𝑒 𝐴 𝑅𝐴 𝐴𝐴 . 𝐾𝐴 ∆𝑇𝐺 𝑇1 − 𝑇4 𝑇1 − 𝑇4 𝑄𝑥 = = = 𝑒 𝑒 𝑒 𝐴 σ 𝑅 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶 + 𝐵 + 𝐶 𝐴𝑘𝐴 𝐴𝑘𝐵 𝐴𝑘𝐶 ∆𝑇𝐶 𝑇3 − 𝑇4 𝑄𝑥 = 𝑄𝐶 = = 𝑒 𝐶 𝑅𝐶 𝐴𝑘𝐶 Transferencia de calor en paredes Compuestas 𝑄𝑥 = 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 = 𝑄𝐶 = 𝑄𝐷 + 𝑄𝐸 Paredes Compuestas: En Paralelo Circuito Térmico 𝑨 = 𝑾. 𝑳 𝐴𝐴 = 𝑊 𝐿/2 𝐴𝐵 = 𝑊 𝐿/2 𝐴𝐷 = 𝑊 2𝐿/3 𝑇1 𝑘𝐶 𝑘𝐴 c 𝑘𝐷 𝑇2 𝟐𝑳 𝟑 𝐿 𝑇3 𝑘𝐵 𝑘𝐸 𝐴𝐸 = 𝑊 𝐿/3 𝑒𝐴 𝑒𝐵 𝑇4 ∆𝑻𝑮 𝑻𝟏 − 𝑻𝟒 𝑸𝒙 = = σ 𝑹 𝑹𝟏 + 𝑹 𝑪 + 𝑹𝟐 𝑊 𝑒𝐶 𝑥 1 1 1 𝐴𝐴 𝑘𝐴 𝐴𝐵 𝑘𝐵 𝐴𝐴 𝑘𝐴 + 𝐴𝐵 𝑘𝐵 = + = + = 𝑅1 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑒𝐴 𝑒𝐴 𝑒𝐴 1 1 1 𝐴 𝐷 𝑘 𝐷 𝐴𝐸 𝑘 𝐸 𝐴𝐷 𝑘 𝐷 + 𝐴𝐸 𝑘 𝐸 = + = + = 𝑅2 𝑅𝐷 𝑅𝐸 𝑒𝐶 𝑒𝐶 𝑒𝐶 𝑅1 = 𝑒𝐴 𝐴𝐴 𝑘𝐴 + 𝐴𝐵 𝑘𝐵 𝑅𝐶 = 𝑒𝐶 𝑅2 = 𝐴𝐷 𝑘𝐷 + 𝐴𝐸 𝑘𝐸 𝑇1 − 𝑇4 𝑄𝑥 = 𝑒𝐴 𝑒 𝑒𝐶 + 𝐵 + 𝐴𝐴 𝑘𝐴 + 𝐴𝐵 𝑘𝐵 𝐴𝑘𝐶 𝐴𝐷 𝑘𝐷 + 𝐴𝐸 𝑘𝐸 𝑒𝐵 𝐴𝑘𝐶 APLICACIÓN DE LEY DE FOURIER Ejemplo 1 La pared de una casa se construye con ladrillos de 22 cm de espesor cuya conductividad calorífica es 0.62 cal/(cm. h. °C). La pared de una de las instalaciones mide 3,2 m x 3,5 pies. Para reducir la pérdida de calor, el propietario cubre la pared con una capa de aislamiento de fibra de vidrio de 15 cm de espesor y conductividad térmica de 0,156 Btu/(h pie °F). Determinar: a. La pérdida de calor de esta pared, si la temperatura interior y exterior son 77 °F y 5 °F respectivamente. b. La temperatura en la interfase. CONDUCCIÓN DE CALOR POR PAREDES COMPUESTAS Para el sistema mostrado determinar el flujo de calor y las temperaturas en la interfase. 𝑇1 𝑇2 L=5 ft E 𝑒𝐴 𝑒𝐶 = 6 𝑖𝑛 𝑇4 = 37.78 °𝐶 𝑇3 B 𝑒𝐵 = 8 𝑖𝑛 𝑇1 = 482 °𝐶 D C 𝑒𝐴 = 4𝑖𝑛 W=18 cm A k A B C D E BTU/(h. ft.°F) 0.60 0.42 0.31 0.5 0.22 𝑒𝐵 𝑒𝐶 𝟐𝑳 𝟑 𝑇4 W L EJEMPLO 2: Una pieza de material de aluminio produce un campo escalar de T(x,y,z) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛 + 𝟐𝟏𝒚𝟐 𝒛 + 𝟏𝟓𝒙𝒛𝟐 ℃ determinar el flux de calor de la pieza en el punto (1, -1/2 ,2). Solución: 𝑞 = −𝑘𝛻𝑇 K= 𝑻 °𝑪 + 𝟐𝟕𝟑. 𝟏𝟓 Tablas (Al): 𝑻 𝑲 𝑲 𝑾 𝒎. 𝒌 273 ………………………………… 236 349.5 …………………………………… k 400 ……………………………………. 240 𝟒𝟎𝟎 −𝟐𝟕𝟑 𝟐𝟒𝟎−𝟐𝟑𝟔 = 𝟑𝟒𝟗.𝟓−𝟐𝟕𝟑 𝒌−𝟐𝟑𝟔 𝟏. 𝟔𝟔𝟎𝟏 𝒌 − 𝟐𝟑𝟔 = 𝟒 𝑾 𝒌 = 𝟐𝟑𝟖. 𝟒𝟎𝟗 𝒎. 𝑲 Ahora: 𝛁𝑻= 𝒊 𝒅𝑻 𝒅𝑻 𝒅𝑻 +𝒋 +𝒌 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝛁 𝑻= (24x𝒚𝟐 𝒛 + 𝟎 + 𝟏𝟓𝒛𝟐 )𝒊 + (24𝒙𝟐 𝒚𝒛 + 𝟒𝟐 𝒚𝒛 + 𝟎)𝒋 +(12𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝟏𝒚𝟐 + 𝟑𝟎 𝒙𝒛)𝒌 𝛁 𝑻= (24x𝒚𝟐 𝒛 + 𝟏𝟓𝒛𝟐 )𝒊 + (24𝒙𝟐 𝒚𝒛 + 𝟒𝟐 𝒚𝒛) 𝒋 + +(12𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝟏𝒚𝟐 + 𝟑𝟎 𝒙𝒛)𝒌 𝛁 𝑻 = 𝟕𝟐𝒊 + (-66) 𝒋 + 𝟔𝟖. 𝟐𝟓𝒌 𝛁 𝑻 = (𝟕𝟐𝒊)𝟐 +(−𝟔𝟔𝒋)𝟐 +(𝟔𝟖. 𝟐𝟓𝒌)𝟐 = 𝟏𝟏𝟗. 𝟏𝟔 𝑲/𝒎 𝒒 = − 𝟐𝟑𝟖. 𝟒𝟎𝟗 𝟏𝟏𝟗. 𝟏𝟔 = 𝟐𝟖𝟒𝟎𝟖. 𝟖𝟐 𝑾 𝒎. 𝑲 𝑲 𝒎 𝑾 = 𝟐𝟖𝟒𝟎𝟖. 𝟖𝟐 𝟐 𝒎 TRANSFERENCIA DE CALOR EN CILINDRO HUECO A partir de la Ley de Fourier de la conducción: 𝑑𝑇 𝑄 = −𝑘 𝐴 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑇 𝑄 = −𝑘 2𝜋𝐿 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑇 𝑄 = −𝑘 2𝜋𝑟𝐿 𝑑𝑟 Condiciones de Frontera: 𝐶𝐹1: 𝑟 = 𝑟1 → 𝑇 = 𝑇𝑖 𝐶𝐹2: 𝑟 = 𝑟2 → 𝑇 = 𝑇0 𝑟=𝑟2 Integrando: 𝑇=𝑇0 𝑑𝑟 𝑄න = −2 𝑘𝜋𝐿 න 𝑑𝑇 𝑟=𝑟1 𝑟 𝑇=𝑇𝑖 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 TRANSFERENCIA DE CALOR EN CILINDRO HUECO Integrando: 2𝜋𝑘𝐿 𝑇𝑖 − 𝑇0 𝑄= 𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 1 𝑇𝑖 − 𝑇0 𝑄= 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟 1 2𝜋𝑘𝐿 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 𝑇𝑖 − 𝑇0 ∆𝑇 𝑄= = 𝑅𝑘 𝑅𝑘 TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA ESFERA A partir de la Ley de Fourier de la conducción: 𝑑𝑇 𝑄 = −𝑘𝐴 𝑑𝑟 𝑄 = −4 𝑘𝜋𝑟 2 𝑑𝑇 𝑑𝑟 Condiciones de Frontera: Integrando: 𝐶𝐹1: 𝑟 = 𝑟1 → 𝑇 = 𝑇𝑖 𝐶𝐹2: 𝑟 = 𝑟2 → 𝑇 = 𝑇0 𝑟=𝑟2 𝑇=𝑇0 𝑑𝑟 𝑄න = −4 𝑘𝜋 න 𝑑𝑇 2 𝑟=𝑟1 𝑟 𝑇=𝑇𝑖 𝐴 = 4𝜋𝑟 2 TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA ESFERA Integrando: 4𝜋𝑘 𝑇𝑖 − 𝑇0 𝑄= 1 1 − 𝑟1 𝑟2 𝑇𝑖 − 𝑇0 𝑄= 1 1 𝑟1 − 𝑟2 4𝜋𝑘 ∆𝑇 𝑅𝑘 𝑇𝑖 − 𝑇0 ∆𝑇 𝑄= = 𝑅𝑘 𝑅𝑘 𝐴 = 4𝜋𝑟 2 AHORA ES TU TURNO PROBLEMA 1 Considere una ventana de hoja doble de 1.5 m de alto y 2.4 m de ancho que consta de dos capas de vidrio (k =0.78 W/m. °C) de 3 mm de espesor separadas por un espacio de aire estancado (k = 0.026 W/m °C) de 12 mm de ancho. Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de esta ventana de hoja doble y la temperatura de su superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 21°C en tanto que la temperatura del exterior es de –5°C. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección sobre las superficies interior y exterior de la ventana como ℎ1 = 10𝑊/(𝑚2 · °C) y ℎ2 = 25𝑊/(𝑚2 · °C) y descarte cualquier transferencia de calor por radiación. PROBLEMA 2 Un alambre eléctrico de 3 mm de diámetro y 5 m. de largo está firmemente envuelto con una cubierta gruesa de plástico de 2 mm de espesor, cuya conductividad térmica es 𝑊 𝑘 = 0,15 𝑚 °𝐶. Las mediciones eléctricas indican que por el alambre pasa una corriente de 10 A y se tiene una caída de voltaje de 8 V a lo largo de éste. Si el alambre aislado se expone a un medio que está a 𝑻∞ = 30 °𝐶, con un coeficiente de transferencia de calor de ℎ = 12 [𝑊/𝑚2𝐾], determine la temperatura en la interfase del alambre y la cubierta de plástico en operación estacionaria. 𝒉, 𝑻∞
