Números Complejos: Definición, Operaciones y Representación

Los Números Complejos
Los números complejos son los números de la forma a+ib donde a y b son números reales, y
i es un numero imaginario tal que i2 = -1.
Los números complejos a veces se representan con una sola letra z=a+bi, decimos que a es la
parte real de z y que b es su parte imaginaria. Los números complejos distintos de 0 con parte
real 0 se llaman imaginarios.
Los números complejos pueden sumarse coordenada a coordenada. Si z=a+bi y w=c+di
z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i
Es inmediato que la suma es conmutativa y asociativa, que hay un neutro aditivo y que cada
numero z=a+bi tiene un inverso aditivo, -z=-a-bi.
Ejemplo. Si z=1+√2i
y w=1-√2i
entonces z+w=2 y z-w=2√2i
Los números complejos también pueden multiplicarse, distribuyendo el producto con la suma y
haciendo que el numero i conmute con los números reales: z=a+bi y w=c+di entonces
z∙w = (a+bi) ∙ (c+di) = ac+adi+bic+bdi2 = (ac-bd) + (ad+bc)i
Ejemplos. Si z=-2+3i
entonces z∙w = (-2∙5 -3∙7)+(-2∙7+3∙5)i = -31+i
y w=5+7i
Si z=1+√2i y w=1-√2i
entonces z∙w = (1+2)+(-√2+√2)i =3
Es fácil ver que el producto es conmutativo pero no es inmediato que sea asociativo (tarea).
El 1 es un neutro multiplicativo, y la multiplicación por i es sencilla: si z=a+bi entonces iz=-b+ai
Lema. Para cada numero complejo z≠0 existe un único numero complejo que multiplicado por z
da 1. Este es el inverso multiplicativo de z, y es denotado por z-1.
Demostración. Si z=a+bi y w=c+di entonces zw=(ax-by)=(ay+bx)i
y este numero es 1 si y solo si
ax -by = 1
bx +ay = 0
Si multiplicamos la primera ecuación por a y la segunda por b y las sumamos obtenemos
(a2+b2)x = a
así que x =
a
siempre que a2+b2≠0.
a2+b2
Si multiplicamos la primera ecuación por b y la segunda por a y las restamos obtenemos
-(a2+b2)y = b
así que y =
-b
siempre que a2+b2≠0.
a2+b2
Observar que a2+b2=0 solamente cuando a=b=0, es decir, cuando z=0.
Se puede verificar fácilmente que (a+bi)(
a
a2+b2
-
b
a2+b2
i) = 1, asi que este es un inverso.
La demostración de que los inversos multiplicativos son únicos es la misma que en cualquier anillo
conmutativo: Si zw=1=zw' entonces w'=w'1=w'(zw)=(w'z)w=(zw')w=1w=w .
●
Ejemplos.
•
El inverso multiplicativo de i es -i, ya que i(-i) = -i∙i = 1
•
El inverso multiplicativo de z= 2+3i es z-1 =
2
22+32
-
3
22+32
i =
2
13
-
3
13
i
Como cada número complejo distinto de 0 tiene un inverso multiplicativo, podemos definir la
división de complejos z y w≠0, como z/w = zw-1.
Ejemplos.
•
•
3+4i
i
4+5i
2+3i
= (3+4i) i-1 = (3+4i) (-i) = 4-3i
= (4+5i) ∙ (2+3i)-1 = (4+5i) (
2
13
-
3
13
i)=
23
13
-
2
13
i
Las observaciones anteriores demuestran el siguiente
Teorema. Los complejos forman un campo, denotado por C, que es una extensión del campo de
los números reales R.
Los números complejos conservan muchas de las propiedades de los números reales, pero con los
complejos se pueden hacer otras cosas que son imposibles con los reales.
La raíz cuadrada de un numero z es un numero w tal que w2=z. Ya sabemos que cada numero
real positivo r tiene 2 raíces cuadradas reales, una positiva y otra negativa, denotadas √r y -√r .
El 0 solo tiene una raíz cuadrada real, y los números negativos no tienen ninguna raíz real.
Como i2=-1, cada numero real negativo r tiene al menos dos raíces complejas: √-r i
y -√-r i .
Así que todos los números reales tienen raíces cuadradas complejas (que incluyen a las reales) y
es natural preguntarse cuales otros números complejos tendrán raíces cuadradas complejas.
Ejemplo. ¿El número i tendrá raíz cuadrada? Hay que ver si existe un numero complejo w tal que w2=i.
Si escribimos w=x+yi, entonces w2 = (x+yi)(x+yi) = (x2-y2) + (2xy)i
Así que w2 = i si y solo si x2-y2= 0
y
2xy = 1.
La primera ecuación dice que x=y o x= -y , la segunda ecuación dice que 2x2=1 o -2x2=1, la
primera de estas tiene soluciones x=1/√2 , x=- 1/√2 y la segunda no tiene soluciones (porque x
debe ser real), así que x=y y los dos posibles valores de w son
w1 = 1/√2 + 1/√2 i
w2 = -1/√2 - 1/√2 i
y es fácil comprobar que w1 y w2 son raíces de i.
Lema. Cada número complejo z≠0 tiene exactamente dos raíces cuadradas complejas.
Demostración. Si z=a+bi entonces w=x+yi es una raíz cuadrada de z si y solo si w2 = z, es decir si
(x+yi)(x+yi) = (x2-y2)+(2xy)i = a+bi
x2-y2 = a
(1)
2xy = b
(2)
o sea si
De (2) podemos despejar y= b/2x y si sustituimos en (1) obtenemos x2 -b2/4x2 = a
y multiplicando por x2 obtenemos x4 -b2/4 = ax2 que equivale a x4 -ax2 -b2/4 = 0
Esta es una ecuación cuadrática en la incógnita x2 y sus soluciones (en caso de existir) son
a ±√a2+b2
x2 =
2
a +√a2+b2
como a2+b2>0 la raíz es real y como a a2+b2≥a entonces
2
negativo, así que solo la primera tiene raíces reales, que son
x= ±
a -√a2+b2
es positivo y
2
es
a +√a2+b2
2
así que hay dos valores posibles para x. De manera similar podemos hallar los dos valores posibles para y
y= ±
-a +√a2+b2
2
Se puede checar que solo 2 de las 4 combinaciones posibles de valores de x y y (tomando los 2 signos
positivos o los 2 negativos) dan números complejos w=x+yi que son raíces cuadradas de a+bi.
●
Ejemplos.
Las raíces cuadradas de - i son
Las raíces cuadradas de 2+3i son
1
√2
1
-
√2
2 +√13
2
i
+
y
-
1
√2
-2+√13
2
+
i
1
√2
y
i
2 +√13
-
2
-
-2+√13
2
i.
Teorema. Todo polinomio de segundo grado con coeficientes complejos tiene raíces (soluciones)
complejas.
Demostración. Sea az2 + bz + c = 0 un polinomio con a, b, c números complejos.
z 2 + b/a z + c /a = 0
⇔
2
z2 +b/a z +(b/2a) +c/a = (b/2a)
2
(z+b/2a) + c/a = (b/2a)
2
2
⇔
⇔
b2-4ac
2
(z+b/2a) =
4a2
Como todos los números complejos tienen raíces cuadradas, la ultima igualdad equivale a:
b2-4ac
z+b/2a = ±
2a
o sea
z=
-b ±
b2-4ac
2a
que es la misma formula para resolver ecuaciones cuadráticas reales.
●
Ejemplos. ¿Cuales son las raíces de los siguientes polinomios?
Las soluciones son
z=
iz2+z+i = 0
Las soluciones son
z=
iz2+z+1-i = 0
Las soluciones son
z=
-3 ±
32-4(1)5
=
2(1)
-1±
12- 4(i)i
=
2(i)
-1 ± 12- 4(i)(1+i)
=
2(i)
-3 ±
-11
=-
2
-1± 5
2(i)
- 1 ± -3-4i
2(i)
=
=
1
±
z2+3z+5 = 0
5
2
3
2
±
11
2
i
i
-1±(1-2i)
2i
= -1, 1+i
Problemas.
1. Calcula
b. (1−i)3
a. (2+3i)(4-3i)
c. (1−i)(2−i)(3−i)
2. Escribe a los siguientes números en la forma a+bi
a.
1
3+2i
b.
4+5i
c. (1+i)−2
1-2i
d. √3+4i
3. a. Da dos números complejos cuya suma sea real y su diferencia sea imaginaria.
b. Da dos números complejos cuyo producto sea real y su cociente sea imaginario.
4. Demuestra que la multiplicación de números complejos es asociativa.
5. Encuentra las soluciones de los siguientes polinomios
a.
z2+2z+3=0
b.
z2+2z+i=0
Representación geométrica de los números complejos.
Así como los números reales pueden identificarse con los puntos o segmentos en una recta,
los números complejos pueden identificarse con los puntos o vectores en el plano.
2+3i
-3+i
i
1
-4
0
-2-2i
La suma de números complejos corresponde a la suma de vectores:
(a+c)+(b+d)i
a+bi
c+di
0
ac+bci
La multiplicación de complejos es mas interesante.
a+bi
Al multiplicar un complejo a+bi por un real c
obtenemos ac+bci, asi que multiplicar por un real
positivo c equivale a escalar por el factor c.
La multiplicación por -1 invierte la dirección.
-b+ai
Al multiplicar a un complejo a+bi por i obtenemos
-b+ai,o sea que el vector (a,b) va al vector
perpendicular (-b,a).
a+bi
Así que multiplicar por i equivale a rotar 90°.
Para ver que hace la multiplicación por un complejo c+di, consideremos la función que a cada
complejo x+yi lo multiplica por c+di, es decir f(x+yi) = (cx-dy)+(dx+cy)i
Si vemos a los complejos como vectores, f(x,y)=(cx-dy,dx+cy) es una transformación lineal por
lo que esta determinada por f(1,0) y f(0,1).
Como f(1,0)=(c,d) y f(0,1)=(-d,c) los dos vectores rotan el mismo ángulo y crecen en la misma
proporción, entonces todos los vectores del plano deben rotar y girar en la misma proporción.
(a+bi)(c+di)
-d+ci
i
a+bi
c+di
1
Así que la multiplicación por un complejo rota y escala a todos los complejos por igual.
Problemas.
6. Si z=1+2i w=3-i dibuja cuidadosamente los puntos del plano que corresponden a
z
w
z+w
z-w
zw
7. Dibuja cuidadosamente los puntos del plano que corresponden a z y a 1/z
a. z=1+2i
b. z=3-i
8. Si z=1+i dibuja cuidadosamente juntos a z0, z1, z2, z3, z4.
9. a. Encuentra dos números complejos que sumados den 1+2i y restados den 3+4i.
b. Encuentra dos números complejos que multiplicados den 2+i y divididos den 1+2i.
c. Encuentra dos números complejos que sumados den 1 y multiplicados den 2.
Módulo y argumento.
z= a+bi
2
El módulo, magnitud o norma de un número
=
|z|
√
2 b
a+
b
complejo z=a+bi es el número real |z| que
a
mide el tamaño de z como vector
|z| = √a2+b2
Ejemplo. |2+3i| = √22+32 = √13
z=a+bi
El argumento de z es el ángulo φ entre z y 1
b
vistos como los vectores (a,b) y (1,0)
es decir arg(z)= tan-1(b/ ).
a
φ
a
Observar que arg(z) solo esta bien definido salvo
múltiplos de 2π, así por ejemplo, podemos escribir
arg(-i) = -1/2 π y también arg(-i) = 3/2 π.
z
Ejemplo. Si z = 2+3i entonces |z| = √22+32 = √13
|z|
arg(z)=tan-1(3/2) ≈ 0.9827 radianes.
|z|sen φ
φ
Observar que si un número complejo z tiene
argumento φ entonces
z = |z| (cosφ + senφ i)
Esta es la expresión polar de los números complejos.
|z|cos φ
Ejemplo. La expresión polar de z=1+i es z=√2(cosπ/4+senπ/4 i ).
Los complejos de norma 1 se llaman unitarios, son los que pueden escribirse z = cosφ + senφ i
Lema. Las magnitudes de los complejos cumplen las desigualdades del triángulo
1. |z+w| ≤ |z| + |w|
2. |z-w| ≥ ||z|-|w||
Demostración.
1. Hay que ver que si z=a+bi y w=c+di entonces |(a+ib)+(c+id)| ≤ |a+ib|+|c+id|
Esto se sigue inmediatamente de la desigualdad del triángulo para vectores en el plano demostrada
en geometría analítica. También se puede demostrar algebráicamente viendo que las siguientes
desigualdades son equivalentes:
|(a+c)+(b+di)| ≤ |a+ib|+|c+id|
⇔ (elevando al cuadrado)
|(a+c)+(b+di)|2 ≤ (|a+ib|+|c+id|)2
⇔ (desarrollando)
(a+c)2+(b+d)2 ≤ (√a2 +b2 + √c2 +d2)2
⇔
(a+c)2+(b+d)2
2ac + 2bd
≤ a2 +b2 +2√a2 +b2 √c2 +d2 + c2 +d2
≤ 2√a2 +b2 √c2 +d2
⇔ (desarrollando y simplificando)
⇔ (entre 2 y elevando al ciuadrado)
(ac + bd)2 ≤ (a2 +b2)(c2 +d2)
⇔ (desarrollando)
a2c2+2abcd+b2d2 ≤ a2c2+a2b2+b2c2 +b2d2
⇔ (simplificando)
2abcd ≤
a2b2+b2c2
⇔ (agrupando)
0 ≤ a2b2-2abcd+b2c2
0 ≤ (ab-cd)2
⇔
lo que es cierto porque los cuadrados de números reales son ≥0
así que podemos invertir todos los pasos y llegar a la desigualdad que queríamos.
2. Se sigue de 1, ya que |z| = |w-z+w| ≤ |w-z| + |w| por lo tanto |z|-|w| ≤ |w-z|.
Lema. |z · w|=|z|·|w|
●
y arg(z · w) = arg(z) + arg(w)
Demostración. Si z = |z|(cos(φ) + sen(φ) i)
y
w = |w|(cos(ψ) + sen(ψ) i) entonces
z · w = |z|(cos(φ) + sen(φ) i) · |w|(cos(ψ) + sen(ψ) i)
= |z|·|w| (cos2(φ) - sen2(φ) ) + (cos(φ) sen(ψ) + sen(φ) cos(ψ)) i)
= |z|·|w| (cos(φ+ψ) + sen(φ+ψ) i)
(por las formulas trigonométricas de una suma de ángulos)
que es la expresión polar para un numero con modulo |z|·|w| y argumento φ+ψ.
Corolario. |1/z|=1/|z|
●
y arg(1/z) = -arg(z)
Demostración. Se sigue del lema anterior ya que
1 = |1| = |z·1/z| = |z| · |1/z|
0 = arg(1) = arg(z·1/z) = arg(z) + arg(1/z)
●
Problemas.
10. Demuestra directamente (sin usar la forma polar) que para cada par de números complejos
se cumple |z · w| =|z| · |w|
11. Calcular sin trabajar de mas
a. |(3+4i)(2+3i)|
b.
5-5i
7+i
|(1+i)10|
c.
d.
|2 2-3i |
12. Encuentra un número complejo que tenga la magnitud de 2+3i y el argumento de 4+5i.
13. ¿En que casos es cierto que arg(z+w) es el promedio de arg(z) y arg(w)?
14. Demuestra que si z y 1/z están alineados con 0, entonces z es real o imaginario.
Potencias y raíces
Fórmula de De Moivre.
Si z = |z| (cos(θ) + sen(θ) i)
entonces
zn = |z|n (cos(nθ) + sen(nθ) i)
para cada entero n.
Esta fórmula es una consecuencia inmediata
z3
z2
de las fórmulas para el módulo y argumento
de un producto cuando n>0, y de la fórmula
para el modulo y argumento de los inversos
z
cuando n<0.
Cada vez que multiplicamos por z, el módulo se
1
multiplica por |z| y el argumento se incrementa arg(z).
z-1
Lema. Cada número complejo z≠0 tiene n raíces n-esimas.
Demostración. Si w es una raíz n-esima de z, entonces el módulo de w elevado a la potencia n debe ser el
módulo de z y al argumento de w multiplicado por n debe ser el argumento de z mas un múltiplo de 2π.
Por lo tanto |w|=|z|1/n y arg(w) = 1/n arg(z) para algún valor de arg(z) pero z tiene muchos argumentos
que difieren por múltiplos de 2π. Al dividir entre n dan argumentos que corresponden a n números distintos.
Así que si z = |z| (cos(θ)+ sen(θ) i )
las raíces n-esimas de z son los números complejos
wk=|z|1/n (cos( θ+2kπ ) + sen( θ+2kπ ) i ) para 0≤k<n.
n
n
●
Ejemplo. Como -8 = 8 (cos(π) + sen(π) i)
entonces las raíces 3 cubicas de -8 son en forma polar
z0
π+0π
π
π
) + sen( π+0π ) i ) = 2cos( ) + 2sen( ) i
3
3
3
3
π+2π
3π
π+2π
3π
1/3
w1= 8
(cos(
) + sen(
) i ) = 2cos( ) + 2sen( ) i
3
3
3
3
π+4π
π+4π
1/3
5π
5π
w2= 8
(cos(
) + sen(
) i ) = 2cos( ) + 2sen( ) i
3
3
3
3
w0= 81/3 (cos(
Ejemplo. Como 16i = 16 cos(
z1
-8
z2
16i
π
π
) +16 sen( ) i
2
2
entonces las raíces cuartas de 16i son:
π
π
) +2sen( ) i
8
8
5π
5π
z1= 2cos(
) +2sen( ) i
8
8
9π
9π
z2= 2cos(
) +2sen( ) i
8
8
13π
13π
z3= 2cos(
) +2sen( ) i
8
8
z0= 2cos(
z1
z0
z2
z3
z
Ejemplo. Las raíces quintas de un complejo z son los
w1
complejos wi situados en los vértices de un pentágono con
centro en 0.
w2
w0
Sus módulos son |z|1/5.
El argumento de w0 es un quinto del argumento de z.
Los argumentos de los otros wk se obtienen sumándole al
argumento anterior un quinto de vuelta, o sea 2π/5.
w3
w4
Problemas.
15. Calcula y dibuja cuidadosamente (usando la fórmula de De Moivre).
a. Las raíces cuartas de -1.
b. Las raíces cúbicas de -i.
c. Las raíces quintas de 1.
16. ¿Por que número complejo hay que multiplicar a las raíces sextas de 1 para obtener las raíces
sextas de -1? ¿Y para obtener las raíces sextas de -i?
z
17.* Muestra que si z es un complejo unitario, entonces existe una
n>0 tal que zn=1 (y entonces z una raíz n-esima de 1) o se pueden
hallar potencias de z tan cercanas como se quiera a cada punto del
círculo (y las potencias de z se acumulan en todo el círculo).
Conjugación
En los complejos existe una operación que no existe en los reales, y que se parece a la
multiplicación por -1 en que al hacerla dos veces da la identidad.
z = a+bi
Si z = a+bi es un numero complejo, el conjugado
de z es el numero complejo z = a-bi.
Ejemplos. 3 = 3 , i = -i , 2-3i = 2+3i
0
Geométricamente, la conjugación corresponde a
reflejar en el eje real.
Lema. La conjugación en C tiene las siguientes propiedades:
•
z+w = z + w
•
z·w = z · w
•
w/z = w / z
en particular,
1/z = 1 / z
•
z · z = |z|2
por lo tanto
1/z = z /|z|2
•
z=z
•
Re(z) =
z+z
2
Im(z) =
z-z
2
z = a-bi
Las operaciones aritméticas reales corresponden a operaciones geométricas en la recta:
•
Las sumas dan traslaciones
x → x+3
Ejemplo:
•
Los productos dan homotecias.
x → 3 /2 x
Ejemplo:
Las operaciones aritméticas complejas corresponden a operaciones geométricas del plano:
•
Las sumas dan traslaciones
Ejemplo:
•
Los productos por reales dan homotecias (centradas en 0)
Ejemplo:
•
z → (2/√5+1/√5i)z
Los productos por complejos arbitrarios dan homotecias con rotación (centradas en 0)
Ejemplo:
•
z → 3 /2 z
Los productos por complejos unitarios dan rotaciones (centradas en 0)
Ejemplo:
•
z → z+(1+3i)
z → (2+i)z
La conjugación da una reflexión en el eje real
Ejemplo:
z → z
Combinando las operaciones aritméticas complejas podemos obtener rotaciones con cualquier
centro, reflexiones en cualquier recta y homotecias centradas en cualquier punto del plano.
Ejemplos.
Para rotar el plano 90° alrededor de 1 podemos llevar 1 a 0, rotar 90° alrededor de 0 y regresar
el 0 a 1, lo que se logra restando 1, multiplicando por i y sumando 1, es decir con la composición
z → z-1 → i(z-1) → i(z-1)+1 = iz+1-i
Para reflejar en la recta Imz=1 podemos llevarla a la recta Imz=0 (el eje real), reflejar en el eje
real y regresar la recta Imz=0 a la recta Imz=1, lo que se logra restando i, conjugando y luego
sumando i, es decir por medio de la composición
z → z-i → z-i → z-i +i = z+i+i = z+2i
Problemas.
18. Si arg(z)=φ, cuanto valen...
a. arg(-z)
b. arg(z)
c. arg(-1/z)
d. arg(1/z)
19. Demostrar que si un complejo z es raíz del polinomio anzn+an-1zn-1+...+a2z2+a1z+a0 = 0,
entonces z es raíz del polinomio con coeficientes conjugados anzn+an-1zn-1+...+a2z2+a1z+a0 = 0.
20. Demostrar que si un complejo z es raíz de un polinomio real, entonces z también es raíz de
ese polinomio. Mostrar que esto falla si el polinomio no es real.
21. ¿Como se expresan las siguientes transformaciones del plano como operaciones algebraicas
complejas?
a. La reflexión del plano en el eje imaginario.
b. La rotación de 45° con centro en 0
c. La reflexión del plano en la recta Re(z)=Im(z)
d. La rotación de 90° con centro en i
22. ¿Que hacen geométricamente estas operaciones algebraicas?
a. z → 2z+3i
b. z → 2iz+3
c. z → (3/5-4/5i)z
d. z → (3-4i)z
23.* Muestra que todas las operaciones algebráicas complejas preservan la forma de las figuras
del plano (aunque pueden cambiar su tamaño y su orientación).
Los enteros gaussianos.
Los enteros gaussianos son los complejos de la forma z = m+ni con m y n enteros.
Las sumas y productos de enteros gaussianos son enteros gaussianos, y los inversos aditivos de
enteros gaussianos también lo son (pero los inversos multiplicativos generalmente no lo son).
Así que los enteros gaussianos forman un anillo E con propiedades similares a Z.
Lema. Si u y v son enteros gaussianos entonces
1. |u|2 es un entero que es suma de dos cuadrados.
2. |uv|2=|u|2|v|2
Demostración.
1. Si z=m+ni entonces |z|2=m2+n2 que es la suma de los cuadrados de dos enteros.
2. La norma del producto de dos complejos es el producto de sus normas.
●
Si u y v son enteros gaussianos, decimos que u divide a v si existe un entero gaussiano z tal que
uz=v. Por el lema anterior, si u divide a v entonces el entero |u|2 debe dividir al entero |v|2.
Ejemplos:
•
2+3i divide a 3-2i ya que (2+3i)(-i) = 3-2i.
•
1+i divide a 2 ya que (1+i)(1-i)=2
•
1+2i no divide a 3 ya que |1+2i|2=5 y |3|2=9 y 5 no divide a 9.
Diremos que un entero gaussiano u es una unidad si existe un entero gaussiano v tal que uv=1.
Lema. Las unidades de E son los enteros gaussianos de norma 1, que son 1,-1,i,-i.
Demostración. Por el lema anterior si el producto de dos enteros gaussianos da 1, el producto de sus normas
debe ser 1, así que sus normas deben ser 1. Pero los únicos enteros gaussianos con norma 1 son los
números m+ni con m2+n2=1 así que m o n debe ser 0 y el otro debe ser 1 o -1, por lo que los únicos
enteros gaussianos de norma 1 son 1, -1, i, -i y es fácil ver que todos estos son unidades.
●
Cada entero gaussiano u es divisible entre las unidades y entre el producto de unidades por u.
Un entero gaussiano u que no es una unidad es un primo gaussiano si la única manera de
escribir a u como producto de dos enteros gaussianos es con alguno de ellos una unidad.
Como la norma del producto es el producto de las normas y las unidades son los enteros de
norma 1, un entero gaussiano u es un primo gaussiano si y solo si u no es producto de dos
enteros gaussianos de norma menor que u.
Ejemplos.
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2 no es un primo gaussiano, ya que 2=(1+i)(1-i).
3+2i es primo gaussiano: si 3+2i fuera el producto de dos enteros gaussianos u y v entonces
|u|2|v|2 = 13 por lo que |u|2=1 y |v|2=13 o |u|2=13 y |v|2=1, asi que u o v son unidades.
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3 sí es un primo gaussiano: Si 3 fuera producto de dos enteros gaussianos u y v entonces se tendría
|u|2|v|2=|3|2 = 9 así que si u y v no son unidades entonces |u|2=|v|2=3.
Pero 3 no es suma de dos cuadrados, así que no hay enteros gaussianos con esa norma.
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¿5 es primo gaussiano? Para verlo busquemos sus posibles factores.
Si 5=uv entonces |u|2|v|2 = |5|2 = 25 y la única posiblilidad si no son unidades es que |u|2=|v|2=5
Como 5=22 +12 si hay enteros gaussianos con esa norma: ±2±i o ±1±2i
Si tomamos u=2+i y v=2-i entonces uv=(2+i)(2-i)=5 asi que 5 no es primo gaussiano.
Problemas.
24. ¿Cuales de estos primos son primos gaussianos y cuales no?
a. 7
b. 11
c. 13
d. 17
25. Demuestra que si z es primo gaussiano entonces -z y z también son primos gaussianos.
26. Escribe a z como producto de dos enteros gaussianos que no sean unidades
a. z = -2+9i
b. z = 11+10i
27. Muestra que si n es un número natural cuyo cuadrado es la suma de dos cuadrados mas
chicos, entonces n no es un primo gaussiano.
Lema. Cada entero gaussiano es una unidad o es producto de primos gaussianos.
Demostración. Si un entero gaussiano no es primo, podemos escribirlo como producto de dos enteros
gaussianos con normas menores. Si estos son primos ya acabamos y si no entonces podemos escribirlos
como producto de enteros gaussianos con normas aun menores, y podemos repetir el procedimiento, que
debe acabar en algún momento porque las normas al cuadrado de los enteros gaussianos son enteros
positivos, así que sólo podemos hallar otros con normas menores una cantidad finita de veces.
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Ejemplo. Hallar una factorización de z = -1+13i como producto de primos gaussianos.
Primero veamos cuales pueden ser las normas de los factores.
Si z=uv entonces |u|2|v|2 = |z|2 = (-1)2+132 = 170 donde |u|2 y|v|2 son enteros mayores que 1
que son sumas de dos cuadrados.
Una posibilidad es |u|2=10 y |v|2=17, veamos si funciona:
|u|2=32+12 de donde u=±3±i o u=±1±3i
|v|2=42+12 de donde v=±4±i o v=±1±4i
y se puede ver que (3+i)(1+4i)=-1+13i.
Podemos ver que v=1+4i es primo ya que |v|2=12+42=17 no es producto de enteros mas chicos.
Veamos ahora si u=3+i es primo: |u|2=10, así que podría ser u=u'u'' con |u'|2=2, |u''|2=5
|u'|2=12+12 de donde u'=±1±i
|u''|2=5= 22+12 de donde u''=±2±i o u''=±1±2i
y se puede ver que (1+i)(2-i)=3+i.
Ahora u'=1+i y u''=2-i si son primos ya que |u'|2=2 y |u'|2=5 no son productos de enteros positivos
mas chicos. Así que una factorización prima que buscamos es -1+13i = (1+4i)(1+i)(1+2i).
Si la factorización que elegimos de la norma al cuadrado no da una factorización del numero, hay que
intentar las otras factorizaciones (en este caso 170=5x34 o 170=2x65).
Vamos a demostrar que la factorización en primos gaussianos es única, salvo por multiplicación
por unidades. Para esto necesitamos definir una división entera con residuo.
Algoritmo de la división. Si u y v son enteros gaussianos con u≠0, entonces existen enteros
gaussianos q y r tales que v=qu+r con |r|<|u|.
q es el cociente y r es el residuo de la división.
Demostración. El cociente v/u es un numero complejo z=a+bi, donde a y b en general no son enteros, pero
podemos 'redondearlos' a los enteros mas cercanos m y n, de modo que -1/2<a-m≤1/2 y -1/2<b-n≤1/2.
Entonces q=m+ni es un entero gaussiano y r=v-qu.
Como |z-q|≤√(1/2)2+(1/2)2 =√1/2 entonces |r| = |v-qu|= |zu-qu| = |z-q||u| ≤ √1/2|u| < |u|.
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Ejemplo. Si u=1+2i y v=5+3i entonces como complejos z=v/u=(5+3i)(1+2i)-1=(5+3i)(1/5-2/5i)= 11/5-7/5i
y el cociente es el entero gaussiano 'redondeado' q = 10/5-5/5i = 2-i
Ahora qu = (2-i)(1+2i) = 4+3i y el residuo es r = v-qu = 1.
Geométricamente la división anterior puede verse como sigue:
5+5i
5i
-3+4i
2+4i
Los enteros gaussianos están en gris.
4+3i
-1+3i
5+3i
Los múltiplos de 1+2i están en rojo, y
forman una cuadrícula.
El múltiplo de 1+2i mas cercano a 5+3i
6+2i
1+2i
-2+i
3+i
es 4+ii = (2-i)(1+2i)
Así que el cociente es 2-i.
0
El residuo es la diferencia entre
5
2-i
5+3i y 4+3i, que es 1.
-1-2i
Ejemplo. Dividir a v=4+5i entre u=2+i como enteros gaussianos.
Como números complejos v/u = (4+5i)(2+i)-1 = (4+5i)(2/5-1/5i) = 13/5+6/5 i
El cociente de la división entera es el entero gaussiano mas cercano, que es d = 3+i
du = (3+i)(2+i) = 5+5i de donde v–du = -1 así que el residuo es r = -1.
Problemas.
27. Calcula el cociente y el residuo de dividir v entre u como enteros gaussianos
a. v=7-6i entre u=3+2i
b. v=7+8i entre u=4-i
28. Factoriza a los siguientes enteros gaussianos como productos de primos gaussianos
a. 3+4i
b. -4+7i
c. 10
Observar que si u,v,w son enteros gaussianos tales que u|v y u|w entonces u|av+bw para cada
par de enteros gaussianos a y b.
Lema. Si u y v son enteros gaussianos, entonces existe una combinación lineal entera au+bv
(con a y b enteros gaussianos) que divide a ambos.
Demostración. Sea w una combinación lineal entera de u y v con norma (distinta de 0) mínima
Si w no dividiera a u, entonces u=dw+r con 0<|r|<|w|
Pero r es una combinación lineal entera de u y v ya que r = u-dw = u-d(au+bv) = (1-da)u+(-1)v
y esto contradice la suposición de que w era la combinación lineal entera de norma mínima.
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Corolario. Si u y v son enteros gaussianos distintos de 0, entonces existe un entero gaussiano w
que divide a ambos, y que es divisible entre todos los divisores comunes de u y v.
Este numero es el máximo común divisor de u y v.
Demostración. Si w es la combinación lineal entera de norma mínima de u y v entonces por el lema anterior
w divide a u y v. Y cualquier divisor común de u y v divide a las combinaciones lineales enteras de u y v, en
particular a w.
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Observar que el máximo común divisor de u y v esta bien definido salvo unidades.
Lema. Si un primo gaussiano divide a un producto entonces divide a uno de los factores.
Demostración. Supongamos que el primo gaussiano z divide a uv y que z no divide a u.
Entonces el máximo común divisor de z y u debe ser una unidad, ya que los únicos divisores de z son
unidades y productos de z por unidades, y si uno de estos dividiera a u entonces z dividiría a u.
Como el mdd de z y u es 1, por el lema anterior existe una combinación lineal entera az+bu=1.
Multiplicando por v obtenemos azu+buv=v.
Como z divide a z y también a uv entonces divide a azu+buv=v.
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Teorema. La factorización de cada entero gaussiano como producto primos gaussianos es única
salvo multiplicación por unidades.
Demostración. Tomemos dos factorizaciones primas de z, z=p1p2p3...pm=q1q2q3...qn.
Como p1 divide a z=q1q2...qn entonces por el lema anterior p1 debe dividir a algún qi, digamos a q1.
Como p1 divide a q1 que es primo entonces q1=u1p1 para alguna unidad u1.
Podemos dividir a z entre p1 y obtener el entero z/p1 = p2...pm=u1q2...qn
Ahora p2 divide a z/p1 =q2...qn así que debe dividir a algún qi, digamos a q2.
Como p2 divide a q2 que es primo entonces q2=u2p2 para alguna unidad u2.
Podemos dividir a z/p1 entre p1 y obtener el entero z/p1p2 = p3.....qn
Y podemos seguir dividiendo hasta que del lado izquierdo no quede ningún pi, de modo que queda 1 y del
lado derecho no puede quedar ningún qj (porque el producto es 1) y solo pueden quedar unidades.
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Ejemplo. Ya vimos que -1+13i tiene factorización prima -1+13i = (1+2i)(1-i)(1+4i).
Podemos hallar otras factorizaciones primas multiplicando los factores primos por unidades cuyo
producto sea 1. Por ejemplo, multiplicandolos por i, -1 y i obtenemos
-1+13i = (-2+i)(-1+i)(-4+i).
Problemas.
29. Calcula el máximo común divisor de u y v
a. u=1+3i
v=4+2i
b. u=11+10i
v=3+11i
30. Muestra que el mcd de cualquier entero gaussiano y su conjugado es real (salvo unidades).
31. (2+i)(1-3i) = 5-5i = 5(1-i) ¿Por que no contradice esto al teorema de factorización única?
32. Las ternas pitagóricas son ternas de números naturales a, b, c tales que a2+b2=c2, por
ejemplo 3,4,5 y 5,12,13.
a. Cada cuadrado gaussiano produce una terna pitagórica ¿pueden adivinar como?
b. ¿Que terna pitagórica produce (1+4i)2? ¿Y (2+5i)2?
c. ¿De que cuadrado gaussiano viene 3,4,5? ¿y 5,12,13?