CIRCUITOS DE ELECTRONICOS III
CIRCUITOS DE ENGANCHE
PLL 1
RPCG
Lazos enganchados por fase, Phase Locked
Loops (PLLs)
Conceptos previos:
• Función de transferencia de sistemas realimentados.
• Fases y frecuencias.
Función de transferencia en lazo cerrado
xe(s)
xer(s)
G(s)
xs(s)
Entrada
-
Planta
Salida
xr(s)
H(s)
Red de
realimentación
xs(s)
G(s)
=
xe(s) 1 + G(s)·H(s)
xe y xs pueden ser
magnitudes de distinto tipo
PLL01
Casos particulares con realimentación negativa
1 + G(s)·H(s) > 1
xe(s)
xer(s)
G(s)
xs(s)
Alta ganancia de lazo
Entrada
-
Planta
Salida
G(s)·H(s) >> 1
xr(s)
xs(s)
G(s)
=
xe(s) 1 + G(s)·H(s)
xe(s)
xer(s)
G(s)
-
Planta
xr(s) = xs(s)
H(s)
Red de
realimentación
xs(s)
xs(s)/xe(s) = 1/H(s)
La red de realimentación determina
la función de transferencia
Con H(s)=1 y G(s) >> 1
xs(s)/xe(s) = 1 xs(s) = xe(s)
¡Ojo!: xs(s) y xe(s) no tienen por qué ser tensiones
o corrientes; podrían ser, por ejemplo fases.
PLL02
Fases y frecuencias (I)
Señal de banda estrecha: v1(t) = a(t)·cos(F(t))
v1(t)
t
Con amplitud constante: v1(t) = A·cos(F(t))
v1(t)
t
F(t) es la fase absoluta
PLL03
Estructura básica de un PLL (I)
ve = Vesen(Fe)
vosc = Voscsen(Fosc)
ve
Entrada
vosc
V = k(DF)
Salida
Detector de fases:
entrega una tensión
proporcional a la
diferencia de fases
Filtro pasa-bajos:
Necesario para filtrar
la salida del detector
de fases
Oscilador
controlado por
tensión (VCO):
la frecuencia de la
señal de salida
depende de una
tensión de control
PLL06
Estructura básica de un PLL (II)
ve = Vesen(Fe)
vosc = Voscsen(Fosc)
ve
Entrada
vosc
V = k(DF)
Salida
Muy importante: como lo que se comparan son las fases de
las señales de salida y entrada y como la ganancia de la red de
realimentación es 1, el sistema tenderá a anular la diferencia de
fases entre estas señales. Los niveles de tensión de ambas no
serán similares.
En fase
vosc
ve
DF
PLL07
Diagrama de bloques de un PLL (I)
Estudiamos los PLLs aplicando la teoría de sistemas.
Vesen(Fe)
Voscsen(Fosc)
V = k(DF)
Detector de fases:
Fe
-
Fosc
Conv.
F/V
Filtro
pasabajos
Fosc
VCO
Hay que localizar un punto de equilibrio para linealizar el
funcionamiento del sistema. La clave está en el VCO.
PLL08
Diagrama de bloques de un PLL (II)
VCO controlado por una tensión vc que puede tomar valores
positivos y negativos.
+
G
RG
Ojo: en este
caso KV > 0
L2
+
RC2
+
RC1
C22
vc
CS
S
C3
C21
D
C1
LCH
vosc
-
R1
-
fosc = fosc0 + KV·vc (linealizando
el comportamiento del varicap)
Por tanto:
PLL09
wosc = wosc0 + 2p·KV·vc
Diagrama de bloques de un PLL (III)
t
Como: wosc = wosc0 + 2p·KV·vc Fosc = wosc0·t + 2p·KV· vc·dt
0
Ahora referimos la fase absoluta Fosc a la frecuencia wosc0:
Fosc = wosc0·t + fosc(vc)
t
Siendo fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt la fase relativa
0
Hacemos lo mismo (referir a la frecuencia wosc0) la fase absoluta Fe:
Fe = wosc0·t + fe
Diagrama de bloques relativo a wosc0
fe
fe- fosc
PLL10
Conv.
F/V
vDF
Filtro
pasabajos
vc
VCO
fosc
Diagrama de bloques de un PLL (IV)
Ecuaciones:
t
VCO: fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt
0
Filtro pasa-bajos vc = F(vDF)
fe
-
Conv.
F/V
vDF
Filtro
pasabajos
fosc
vc
VCO
Convertidor F/V: vDF = KDF·(Fe – Fosc) = KDF·(fe – fosc)
Tomamos transformadas de Laplace y calculamos las funciones de
transferencia:
VCO: fosc(s)/vc(s) = 2p·KV/s
Filtro pasa-bajos vc(s)/vDF(s) = F(s)
Convertidor F/V: vDF(s)/Df(s) = KDF
Restador de fases: Df(s) = fe(s) – fosc(s)
PLL11
Diagrama de bloques de un PLL (V)
fe(s)
Df(s)
-
KDF
vDF(s)
Conv. F/V
F(s)
fosc(s)
vc(s)
2p·KV/s
Filtro pasa-bajos
VCO
Funciones de transferencia (I)
Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) =
2p·KV·KDF·F(s)/s
1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s
TDf-fe (s) = Df(s)/fe(s) = 1- Tfo-fe(s) =
=
2p·KV·KDF·F(s)
s + 2p·KV·KDF·F(s)
s
s + 2p·KV·KDF·F(s)
Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s
PLL12
Funciones de transferencia (II)
fe(s)
Df(s)
-
fosc(s)
Tfo-Df(s)
Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s
Tfo-fe(s) =
vc(s)
fe(s)
-
KDF
Tfo-Df(s)
F(s)
2p·KV/s
fosc(s)
1 + Tfo-Df(s)
fe(s)
KDF·F(s)
-
VCO
VCO
Tvc-fe(s) = vc(s)/fe(s) =
KDF·F(s)
1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s
=
vc(s)
2p·KV/s
KDF·s·F(s)
s + 2p·KV·KDF·F(s)
PLL13
Diagrama de bloques de un PLL (V)
fe(s)
Df(s)
-
KDF
vDF(s)
Conv. F/V
F(s)
vc(s)
Filtro pasa-bajos
fosc(s)
2p·KV/s
VCO
Funciones de transferencia (I)
Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) =
2p·KV·KDF·F(s)/s
2p·KV·KDF·F(s)
=
1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s s + 2p·KV·KDF·F(s)
TDf-fe (s) = Df(s)/fe(s) = 1- Tfo-fe(s) =
s
s + 2p·KV·KDF·F(s)
Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s
ATE-UO EC PLL12
Funciones de transferencia (II)
fe(s)
Df(s)
-
fosc(s)
Tfo-Df(s)
Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s
Tfo-fe(s) =
vc(s)
fe(s)
-
KDF
Tfo-Df(s)
F(s)
2p·KV/s
fosc(s)
1 + Tfo-Df(s)
fe(s)
KDF·F(s)
-
VCO
VCO
Tvc-fe(s) = vc(s)/fe(s) =
KDF·F(s)
vc(s)
2p·KV/s
KDF·s·F(s)
=
1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s s + 2p·KV·KDF·F(s)
ATE-UO EC PLL13
Funciones de transferencia (III)
fe(s)
Df(s)
-
Tfo-Df(s)
fosc(s)
TDf-fe (s) =
s
s + 2p·KV·KDF·F(s)
Condición para que fosc(s) siga a un escalón de fe(s) en régimen
permanente: que Df(s) se anule en régimen permanente
Escalón en fe(s):
fe(s) = fe1/s
Entonces: Df(s) = TDf-fe (s)·fe(s) = TDf-fe (s)· fe1/s
fe1
Df(s) =
s + 2p·KV·KDF·F(s)
Teorema del Valor Final:
lim Df(t) = lim s·Df(s) =
ATE-UO EC PLL14
t→
s→0
fe1·s
s + 2p·KV·KDF·F(s)
Funciones de transferencia (IV)
fe(s)
Df(s)
-
Tfo-Df(s)
fosc(s)
lim s·Df(s) =
s→0
fe1·s
s + 2p·KV·KDF·F(s)
Para que lim Df(t) → 0 F(s) s ·F’(s)
t→
Es decir, F(s) no puede tener un cero en cero.
Por ejemplo: F(s) = 1/(1+ R·C·s)
R
Entrada
vale como filtro.
F(s)
C
Salida
ATE-UO EC PLL15
Funciones de transferencia (V)
R
Tfo-fe(s)
fe(s)
-
fosc(s)
Entrada
Ejemplo: Kv = 105 Hz/V
R·C = 10-6/p s
Tfo-fe(wj)
20
Salida
2p·KV·KDF·F(s)
s + 2p·KV·KDF·F(s)
KDF = 1-100 V/rad
F(wj)
KDF = 100
0
-20
-40
-60
103
ATE-UO EC PLL16
C
Tfo-Df(s)
Tfo-fe(s) =
Diagrama
de Bode
F(s)
KDF = 1 10
104
105
f [Hz]
106
107
Funciones de transferencia (VI)
Fe
fe(s)
PLL
PLL
Fosc
fosc(s)
Tfo-fe(s)
Aplicamos los conceptos de frecuencia
instantánea y frecuencia relativa a Fe y a
Fosc :
d(Fe(t))/dt = We(t) = wosc0 + we(t)
d(Fosc(t))/dt = Wosc(t) = wosc0 + wosc(t)
siendo:
we(t) = d(fe(t))/dt
wosc(t) = d(fosc(t))/dt
Tomamos transformadas de Laplace:
we(s) = s·fe(s)
wosc(s) = s·fosc(s)
we(s)
PLL
wosc(s)
Tfo-fe(s)
Por tanto:
Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = wosc(s)/we(s)
ATE-UO EC PLL17
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (I)
wosc0
We
wosc0
we1
t
We(t)
Fe
PLL
Wosc(t)
Wosc
t
Fosc
t
t
we(s)
PLL
wosc(s)
Tfo-fe(s)
we(s) = we1/s
wosc(s) = Tfo-fe(s)·we(s) =
2p·KV·KDF·F(s)
s + 2p·KV·KDF·F(s)
·we1/s
ATE-UO EC PLL18
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (II)
we(s)
wosc(s)
PLL
Tfo-fe(s)
wosc(s) =
Ejemplo anterior:
2p·KV·KDF·F(s)
s + 2p·KV·KDF·F(s)
·we1/s
wosc(t)
KDF = 100
KDF = 10
we1
F(t)
0
ATE-UO EC PLL19
KDF = 1
2
t [ms]
4
6
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (III)
wosc0
We
We(t)
we1
t
PLL
Wosc(t)
wosc0
Wosc
t
Resumen de la respuesta ante un escalón en la frecuencia de
entrada:
• Con una simple red RC como filtro, la frecuencia de la señal de
salida en régimen permanente es la misma que la de entrada.
• La rapidez en la respuesta y la sobreoscilación depende del
producto KV·KDF.
¿Qué pasa con la fase de la señal de salida del oscilador
ante un escalón en la frecuencia de entrada?
Fe
We(t)
t
PLL
Wosc(t)
Fosc
t
?
ATE-UO EC PLL20
Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (IV)
fe(s)
Df(s)
-
Tfo-Df(s)
fosc(s)
Como: we(s) = we1/s
entonces: fe(s) = we(s)/s = we1/s2
Aplicando el Teorema del Valor Final:
lim Df(t) = lim s·Df(s) = lim s·TDf-fe (s)·fe(s)
t→
s→0
lim Df(t) = lim
t→
s→0
we1
s → 0 s + 2p·KV·KDF·F(s)
=
we1
2p·KV·KDF·F(0)
Luego si queremos que lim Df(t) = 0, entonces KV·KDF·F(0) →
t→
Es decir, hace falta un elemento con ganancia infinita en continua
(por ejemplo, en el filtro).
ATE-UO EC PLL21
Conceptos de Orden y de Tipo de un PLL
Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s)
fe(s)
Df(s)
-
Tfo-Df(s)
fosc(s)
Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) =
= 2p·KV·KDF·F(s)/s
Tfo-fe(s) =
Tfo-Df(s)
1 + Tfo-Df(s)
Orden: Número de polos de Tfo-fe(s)
Tipo: Número de polos en s = 0 de Tfo-Df(s)
ATE-UO EC PLL22
Ejemplo de la determinación del Orden y de Tipo de un PLL
Ejemplo:
Red RC como filtro: F(s) = 1/(1+ R·C·s)
2p·KV·KDF·F(s
2p·KV·KDF
Tfo-fe(s) =
=
)
s + 2p·K ·K ·F(s) R·C·s2 + s + 2p·K ·K
V
DF
V
DF
Orden 2 (2 polos)
Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s =
2p·KV·KDF
s·(1+ R·C·s)
Tipo 1 (1 polo en s = 0)
Como siempre la función de transferencia del integrador
tiene un polo en cero, el Tipo mínimo posible es 1.
ATE-UO EC PLL23
0
