Análisis de Señales y Sistemas (GUIA 2024)

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Villa María
Avenida Universidad 450 – 5900 Villa María (Cba.) – Tel. (0353)-4537500
ANÁLISIS DE SEÑALES
Y SISTEMAS
Guía de Trabajos Prácticos
2024
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°1: Números complejos y función de variable compleja
1- Realizar las operaciones indicadas en cada caso
a) (3 − 4𝑖)(6 + 2𝑖)
𝑏) 𝑖(6 − 2𝑖) + |1 + 𝑖 |
𝑓) |
3𝑖
|
−4 + 8𝑖
g) 𝑖 3 − 4𝑖 2 + 2
𝑐)
2+𝑖
4 − 7𝑖
h) (3 + 𝑖)3
𝑑)
(2 + 𝑖) − (3 − 4𝑖)
(5 − 𝑖)(3 + 𝑖)
−6 + 2𝑖 2
𝑖) (
)
1 − 8𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
e) (17 − 6𝑖)(−4
− 12𝑖)
j) (−3 − 8𝑖)(2𝑖)(4 − 𝑖)
2- Pasar a la forma polar los siguientes números complejos y graficarlos junto con su conjugado
a) −2 + 2i
d) −4 − i
b) −7i
e) 8 + i
c) 5 − 2i
f) −12 + 3i
3- Obtener todos los valores de las raíces y graficarlos en el plano complejo
8
a) √𝑖
d) √1
b) √−8𝑖
e) √−1
c) √−7 − 24i
f) √1 + 3𝑖
4
3
4- Encontrar las partes real e imaginaria de las siguientes funciones
a) f(z) =
z
1+z
b) 𝑓(𝑧) = 2𝑧 3 − 3𝑧
c) 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 + 4𝑧 − 1
d) 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 3)2 + 4𝑧
5- Obtener las derivadas de las siguientes funciones:
a) (𝑧 2 + 𝑖)3
𝑏)
𝑐)
(𝑧 2 − 4)
(𝑧 2 + 1)
𝑖
(1 − 𝑧)2
Docente: Ing. Cristian Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
𝑑)
(𝑧 + 𝑖)
(𝑧 − 𝑖)
𝑒)
(𝑖𝑧 + 2)
(3𝑧 − 6𝑖)
𝑓)
𝑧2
(𝑖 + 𝑧)2
Hoja N°2
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
6- Las siguientes funciones ¿son analíticas? (usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann)
a) 𝑓(𝑧) = 𝑧 3
𝑑) 𝑓(𝑧) =
𝑖
𝑧2
𝑒) 𝑓(𝑧) =
1
(1 − 𝑧)
b) 𝑓(𝑧) = 𝑅𝑒(𝑧 2 )
c) 𝑓(𝑧) = 𝑒 𝑥 [cos(𝑦) + 𝑖. 𝑠𝑖𝑛(𝑦)]
f) 𝑓(𝑧) = 𝑧 − 𝑧̅
7- Calcular ez (en la forma u + iv) y |ez | si z es igual a:
a) 3 + π. i
d) (1 + i)π
b) 1 + i
e) −9πi/2
c) 2 + 5πi
f) -4+2i
8- Calcular en la forma u + iv lo siguiente:
a) cos(1,7 + 1,5𝑖)
c) cosh(−2 + 3𝑖)
b) 𝑠𝑖𝑛(10𝑖)
d) 𝑠𝑖𝑛ℎ(2 + 𝑖)
9- Calcular el valor de la rama principal de ln(𝑧), si z es igual a:
a) 3
c) -4
b) 1 + i
d) −3 + 4𝑖
10- Resolver las siguientes ecuaciones.
1
4
a) ln(z) = 3 − i
c) ln(𝑧) = √2 + 𝜋𝑖
3
2
b) 𝑙𝑛(𝑧) = −2 − i
d) ln(z) = 8i
11- Calcular el valor principal de:
a) 𝑖 1/2
d) (1 − 𝑖)1+𝑖
b) (1 + 𝑖)𝑖
e) (−5)2+4𝑖
𝑖
c) 22
Docente: Ing. Cristian Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
f) (−𝑖)3𝑖
Hoja N°3
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
12- Encontrar todas las soluciones y graficar algunas en el plano complejo
a) 𝑒 3𝑧 = 3
c) 𝑒 𝑧 = −4
b) 𝑒 𝑧 = −3 + 4i
d) 𝑒 𝑧 = −2
13- Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) cosh(𝑧) = 0
c) cos(𝑧) = 3𝑖
b) sin(𝑧) = 4i
d) sinh(𝑧) = −2 + i
14- Sea una región rectangular en el plano z limitada por x = −1, y = 2, x = 3 y y = 4. Hallar y
dibujar la región en el plano w después de aplicar las siguientes transformaciones:
a) 𝑤 = 2𝑧 + (1 − 3𝑖)
b) 𝑤 = √2𝑧𝑒 −𝑖𝜋/3
c) 𝑤 = √2𝑧𝑒 𝑖𝜋/4 + (1 − 2𝑖)
d) 𝑤 = (−2 + 5𝑖)𝑧 + 7𝑖
Docente: Ing. Cristian Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°4
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
15- Encontrar la ecuación de la recta y = −3x + 5 en el plano z que es transformada por la función de
transformación lineal w = iz + i
16- Hallar la imagen del semiplano y > 1 en z bajo la transformación lineal w = 3z + 5i
17- Hallar la imagen del segundo cuadrante en z bajo la transformación w = z 2
18- Encontrar la ecuación de la recta y = 5x − 2 en el plano z que es transformada por la función de
transformación w = z 2
19- Hallar la imagen de la franja semiinfinita x > 0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 bajo la transformación w = ez .
20- Hallar la imagen de las rectas x=3, y=-π bajo la transformación w = ez .
21- Determinar la imagen de cualquier recta Im(z)=a≠0 bajo la transformación de inversión 1/z.
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°5
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°2: Serie de Taylor y de Laurent – Señales y Sistemas
1. Encontrar la serie de Taylor de la función alrededor del punto. También determinar el radio de
convergencia de la serie.
a. cos(2z)
b.
1
1−z
3
z−4i
𝑧 = −5
𝑧=0
c.
𝑧 = 4𝑖
d. ez − i. sen(z) 𝑧 = 0
2. Encontrar el desarrollo de Laurent de la función en un anillo 0 ≤ |𝑧 − 𝑧0 | ≤ 𝑅 alrededor del punto.
a.
b.
2z
(1+z)2
1−cos(2z)
z2
𝑧=𝑖
c.
𝑧=0
d.
1
z2 −4
2i
z−1+i
𝑧=2
𝑧 =1−𝑖
3. Determine el periodo de las siguientes señales.
a. x1( t)  sin 
2
 3
c. x3( t)  5 sin 


 t
7
 5
t 
4

7
b. x2( t)  sin ( 3  t)
d. x4( t)  cos    t  sin    t
2
5
2

3
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri

Hoja N°6
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
4. Representa las siguientes señales utilizando algún software para graficar.
a. x1( t)  sin 

3
t 
1

5
b. x2( t)  t  e3t
0t 2
c. x3( t) 
t2
t 2
0
2  t  2
t 2
2t
d. x4( t)  2  e t
0t 1
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
y
x4( t  1)
Hoja N°7
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
5. Dada la siguientes función
x3( t) 
t  1
1  t  0
t
0t 2
2
2t 3
0
3t
a. Dibujar x( t )
b. Dibujar x( t  2) , x( t  3) , x( 3t  2) , y x t 
2
3
1

2
c. Encontrar la expresión matemática de las funciones del punto b.
6. Dibujar las siguientes señales
a. x1( t)
u( t)  5  u( t  1)  2  u( t  2)
b. x2( t)
r ( t)  r ( t  1)
c. x3( t)
x1( t)
d. x4( t)
x1( t  2)
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°8
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°3: Integrales en el Campo Complejo
1- Determinar el conjunto de puntos z que satisfacen la ecuación o la desigualdad dada y graficar
la región correspondiente.
a) |𝑧 − 8 + 4𝑖|=1
d) 𝐼𝑚(𝑧) > 5
b) |𝑧 + 4𝑖| ≤ 2
e) 𝑅𝑒(𝑧) > 5
c) |𝑧 − 3| ≥ 1
f) 𝜋/2 ≤ arg(𝑧) ≤ 3⁄2 𝜋
2- Resolver las integrales de línea a lo largo de cada contorno C.
a)
 z dz
2
donde C es el segmento de recta desde z 0  0 hasta z1  1  i
 z dz
donde C es el arco de parábola y  x desde (0,0) hasta (2,4)
z  2 dz
donde C es el semicírculo z  2e i 0     
C
b)
C
c)

2
z
C
3- Hallar el valor de las integrales para cada contorno C y cada función F aplicando la formula de la
integral de Cauchy.
a)
3z
 z  4 dz
2
donde C es la circunferencia z  i  2
C
z 3
 z  3z dz
donde C es la circunferencia z  3  2
c)
ez
dz
 2
C z  2z  2
donde C es la circunferencia z  2
d)
5 z 2  3z  2
C z  13 dz
donde C es la circunferencia z  1,5
e)
ez  z
dz
4

C  z  1
donde C es la circunferencia z  2i  3
f)
 z  i   z dz
b)
2
C
senh( z )
3
donde C es la circunferencia z  1 ,5
C
4- Para cada una de las funciones determinar los polos, el orden y calcular el residuo correspondiente.
e2z
a) f ( z )  2
z  2z
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
b) f ( z ) 
cos z
z3  z
Hoja N°9
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
5- Calcular el valor de las siguientes integrales por el método de los residuos.
a) tg z dz

donde C esta dada por z  2
b)
3z 3  2
dz
2

C  z  1z  9 
donde C esta dada por z  2  2
c)
 z  4 dz
C
 5z
2
2
donde C esta dada por z  2i  3 / 2
C
2
6- Resolver las integrales reales de la forma
 F cos , sen d , donde F es una función racional
0
de sen y de cos .
2
2
a)
1
0 5  3  sen  d
c)
1
 cos   2 d
2
0
2
2
1
d
b) 
5  4  cos 
0
d)
1
 3  cos  d
2
0

7- Resolver las integrales reales de la forma
 F x dx , donde F(x) es una función racional.


a)

1
 x 2  x  1 dx
c)
6


b)
1
 x  1 dx

1
 x 2  1x 2  4 dx
d)
1
 x  1 dx

2
2
2
8- Resolver las integrales reales de la forma
 F x   cosmx, senmxdx , donde F(x) es una
0
función racional.
cosx 
a)  2
dx
 x  4
sen 2 x 
 x 2  x  1 dx
c)

b)
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
x 3 sen x 
 4 dx
 x  1



d)
x 2 cos3x 
 x  1 dx

2
2
Hoja N°10
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°3: Serie y transformada de Fourier
1- Hallar la serie trigonométrica de Fourier y Clasificar cada una de las funciones siguientes como par, impar,
o ni una ni otra (graficar).
a) f ( t ) 
 2
 2
0  t  3
3  t  0
período = 6
b) f (t )  t (10  t )
0  t  10
período = 10
0t 
  t  2
período = 2
cos(t )
0
c) f (t ) 
2- Calcular por serie trigonométrica de Fourier la función siguiente
0   t  0
f (t )  
t 0  t  
3- Para la función f(t) definida en el intervalo mostrado en la figura, se pide:

Definir analíticamente la función

Determinar el período de la misma

Obtener los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier

Expresar el desarrollo de la serie de Fourier

Utilizar algún software matemático para representar gráficamente la función utilizando el
desarrollo de la serie hasta 5 términos

Obtener los coeficientes de la serie exponencial de Fourier (a partir de los coeficientes de la serie
trigonométrica o mediante la expresión matemática correspondiente)

Expresar el desarrollo de la serie exponencial

Realizar el gráfico espectral de la función dada, indicando el valor de cada línea del espectro
hasta una cantidad de 8 líneas.
4
11
9
3
7
L( x) 2
S( x) 5
3
1
1
0
0
4
8
12
x
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
16
20
24
1
0
3
6
9
12
15
18
21
x
Hoja N°11
24
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
4- Desarrollar la función rectangular periódica definida a continuación como serie exponencial de Fourier y
dibuje el espectro de frecuencia.
5
f (t )
0
 2  t   2
 2  t   2
período T = 1/2 y  = 1/20
5- Calcular por serie exponencial de Fourier la onda de tensión proveniente de la salida de un transformador
de red con rectificación de media onda y dibujar el espectro de frecuencia.
6- Dada la función periódica f(t) con período 2π definida por:
f (t )  t 2  t
  t  
a) Dibujar la gráfica de la función para valores de t comprendidos entre ±3π.
b) Obtener la expansión en serie de Fourier, trigonométrica y exponencial
c) Dibujar el espectro de frecuencia
7- Obtener la transformada de Fourier de las funciones indicadas, graficar cada una junto a su respectiva
transformada:
a) Un pulso rectangular
b) Un escalón
c) Un impulso
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°12
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°4: Transformada de Laplace – Ecuaciones diferenciales
1- Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones en forma analítica
a) f t   senat 
c) f t   2  e
b) f t   cos4t 
d) f t   5t
2t
2
2- Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones haciendo uso de las tablas de
Transformadas.
a) f (t )  5t  3 Rta (5-3s)/s^2
d) f (t )  3cos5t  Rta 3s/(s^2+25)
b) f (t )  6sen2t   5 cos2t  Rta (12-5s)/(s^2+4)
e) f (t )  t 2  1 Rta (s^4+4s^2+24)/s^3
2
t
c) f (t )  2t  e Rta (4+4s-s^3)/s^3(s+1)
 
f) f (t )  5e  3 Rta 25/(s-4)-30/(s-2)+9/s
2
2
2t
3- Hallar la transformada de Laplace de cada una de las funciones indicando las propiedades que pueden
utilizarse para llegar al resultado.
3 3t
a) f (t )  t e
d) f (t )  t  2 et Rta (4s^2-4s+2)/(s-1)^3
2
Rta 6/(s+3)^4
t
b) f (t )  e cos2t  Rta (s+1)/(s^2+2s+5)
e) f (t )  e
c) f (t )  2e sen 4t  Rta 8/(s^2-6s+25)
f) f (t )  4t e
3t
2t
3sen4t   4 cos4t 
2t
Rta (1-5s)/(s^2+2s-3)
cosh5t 
g) f (t )"6 f (t )'8 f (t )  1
para f (0)  2 y f ' (0)  1
h) f (t )"4 f (t )'  senh(2t )
para f (0)  3 y f ' (0)  0
4- Hallar la transformada Inversa de Laplace haciendo uso de la tabla de antitransformadas.
a) F ( s) 
1
Rta t^3/3!
s4
c) F ( s) 
1
Rta e^at
sa
b) F (s) 
6s
Rta 6*cosh(4t)
s  16
d) F ( s) 
1
Rta sen(4t)/4
s  42
2
2
5- Hallar la transformada Inversa de Laplace mediante el método de descomposición en fracciones simples.
a) F ( s) 
3s  7
Rta 4e^3t-e^-t
s  2s  3
2
5s 2  15s  11
b) F ( s)  2
Rta –1/3e^s  s  2 s 2  4s  4



c) F ( s) 
2s  1
Rta 1-3/2e^-t+1/2e^t
s3  s
d) F ( s) 
3s  1
Rta 2e^t-2cos+sent
s  1 s 2  1


t+e^2t(7/2t^2+4t+1/3)
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°13
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
6- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace.
a) Y "3Y '2Y  4e 2t
para Y (0)  3 y Y ' (0)  5 Rta –7e^t+4e^2t+4te^2t
b) Y "Y  t
para Y (0)  1 y Y ' (0)  2 Rta t+cos(t)-3sen(t)
a) Y "5Y  2 sin( t )
para Y (0)  3 y Y ' (0)  5
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
a) Una partícula P de 2 gramos de masa se mueve sobre el eje X y es atraída hacia el origen con una
fuerza numérica igual a 8X. Si esta inicialmente en reposo en X=10 cm, hallar su posición en cualquier
tiempo posterior suponiendo que (1) no actúan otras fuerzas, (2) actúa una fuerza amortiguadora igual
a 8 veces su velocidad instantánea.
b) Un inductor de 100 mHy, una resistencia de 570 ohm y un condensador de 2200 µF se conectan en
serie con una f.e.m. de E voltios. En t=0 tanto la carga del condensador como la corriente del circuito
valen cero. Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo t>0 si E=2 Voltios.
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°14
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°5: Transformada Z – Ecuaciones en diferencias
1) Calcular la transformada Z de las siguientes sucesiones, estableciendo, en cada caso, la región de
convergencia.
(a)
 1
 4
 
(b)
3
k
k
(c)
( 2)
(d)
3k
k
2) La señal de tiempo continuo f ( t)  e 2 w t , donde w es una constante real, es muestreada
cuando t > =0 en intervalos T. Escriba el termino general de la sucesión de muestreo y calcule la
transformada Z de la sucesión
3) Demostrar que:
Z { sen(k.w.T) } =
z  sin ( w  T)
w y T son constantes
2
z  2z  cos ( w  T)  1
4) Utilice la primera propiedad de traslación para calcular la transformada Z de la sucesión { y k } con
yk = xk-k0 para k0 ≥ 3 donde:
xk
 1
 2
 
k
5) Las sucesiones son generadas por muestreo de señales causales continuas en el tiempo u(t) para
( t 0) en T intervalos uniformes. Escriba una expresión para u k, el termino general de la sucesión,
y calcule la transformada Z correspondiente cuando u(t) es:
(a)
e
 4t
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
(b)
sen ( t)
(c)
cos ( 2t)
Hoja N°15
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
6) Invierta las siguientes transformadas Z. En cada aso proporcione el término general de la
sucesión.
(a)
z
(b)
z1
z
(c)
3z  1
z 2
z 1
7) Encuentre la transformada inversa de Y(z) cuando está dada por:
(a)
(b)
(c)
z
2
(d)
( z  1)  ( z  2)
z
(f)
( 2z  1)  ( z  1)
z
2z
2
2z  z  1
2
( 2z  1)  ( z  3)
2z  7z
(e)
2
( z  1)  ( z  3)
2z
2
2z  z  1
8) Usando el método de la transformada Z, resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias:
(a)
y k2  2y k1  y k
(b)
2y k2  5y k1  3y k
(c)
y k2  5y k1  6y k
(d)
y k2  4y k
0
0
5
3k  5
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
sujeta a
y0
0 y1
1
sujeta a
y0
3 y1
2
sujeta a
y0
0 y1
1
sujeta a
y0
0 y1
0
Hoja N°16
U.T.N. Facultad Regional Villa María
Análisis de Señales y Sistemas
GUÍA N°6: Métodos Numéricos para resolver Ecuaciones Diferenciales
1- Utilizar el método de Euler y de Heun para aproximar la solución del problema de valor inicial: y´ =
y – t2 + 1, 0 ≤ t ≤ 4, y(0) = 0.5 , con n = 20 y n = 30. Graficar y compara las aproximaciones
2- Aplicar el método de Euler y de punto medio con h = 0.1, para calcular un valor aproximado de
y(1) del problema, y´ = −2.t.y , y(0) = 1 . Graficar y compara las aproximaciones
3- Aplicar el método de Runge-Kutta de orden cuatro con h = 0.1 para obtener un valor aproximado
de y(1) en el siguiente problema de valor inicial, y’ = −2ty , y(0) = 1 . Graficar
4- Encontrar un valor aproximado de y(1), por el método de Runga-Kutta de cuarto orden, del
siguiente problema de valores iniciales y´ = f(t, y) = t − y , y(0) = 2 , con h = 0.2. Graficar
Docente: Ing. Cristian A. Sandri
JTP: Ing. Cristian Sandri
Hoja N°17