EL UNIVERSO Y SU MOVIMIENTO Profesor: Mtro. Iraid Hebed Hernández Barragán Correo institucional: [email protected] Enero - Junio 2024 Estructura de la materia. BLOQUE I: ¿POR QUÉ MEDIMOS EN FÍSICA? BLOQUE II: ¿CÓMO SE MUEVEN LOS OBJETOS? BLOQUE III: ¿POR QUÉ SE MUEVEN LOS OBJETOS? Objetivo general de la materia. El alumno desarrollara la capacidad para describir y analizar el comportamiento del movimiento de los cuerpos; con los principios y leyes físicas que los rigen, usando el método científico y tecnologías digitales, para utilizarlos en su vida diaria. BLOQUE II ¿Cómo se mueven los objetos? Objetivo del bloque. El alumno describirá los diferentes tipos de movimiento para inferir sus trayectorias en una y dos dimensiones por medio de experimentos, estableciendo modelos matemáticos que los caractericen, para su aplicación cotidiana. Competencias a desarrollar. GENÉRICAS 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Creatividad Pensamiento crítico 5.5. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. 6.4. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. Competencias a desarrollar. DISCIPLINARES 3. Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas. 7. Hace explicitas las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemas cotidianos. . Clasificación de la mecánica. MECÁNICA CINEMÁTICA DINÁMICA CINEMÁTICA Estudia los diferentes tipos de movimiento de los cuerpos sin atender las causas que lo producen. DINÁMICA Estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos. Sistema de referencia. ¿Qué es movimiento? Se dice que un cuerpo tiene movimiento cuando varia su distancia o posición en relación con otros cuerpos que se toman como referencia a medida que transcurre el tiempo. . SISTEMA DE REFERENCIAS ABSOLUTO RELATIVO Sistema de referencia absoluto. Un sistema de referencia es absoluto cuando toma en cuenta un sistema fijo de referencia. Ejemplos: El avance de un motociclista. Visto desde un peatón que espera por el semáforo, es un movimiento absoluto visto desde su sistema de referencia en reposo. El movimiento de una bala. Vista respecto de un punto en reposo, la bala sale del arma y se desplaza con un movimiento absoluto. Un objeto que cae. Si vemos caer un objeto mientras permanecemos quietos en la dirección vertical, su movimiento será absoluto desde nuestro sistema en reposo. Un cohete espacial que despega. Visto por quienes quedamos atrás en la tierra, es el cohete quien se mueve, aunque forme parte del desplazamiento orbital de nuestro planeta (al menos hasta que lo abandone del todo). Un automóvil en la autopista. Observado desde el punto de vista del policía que le mide la velocidad. Sistema de referencia relativo. Un sistema de considera móvil referencia. referencia relativo al sistema de Ejemplos: • El caminar de un alumno con respecto a su escuela. • El movimiento de un elevador con respecto al piso. • El movimiento de un avión con respecto a la tierra. • Un alumno que se transporta a la escuela en autobús. • El movimiento de una persona que se encuentra dentro de un elevador. • El movimiento de la azafata dentro de un avión. Movimiento en una dimensión. Movimiento horizontal. El movimiento horizontal es el que presentan los cuerpos que describen una trayectoria rectilínea horizontal. Ejemplos: • El caminar de una persona. • La trayectoria de un tren. • La trayectoria de una canica sobre una superficie. Distancia: Es una magnitud escalar ya que solo interesa saber cuál fue la magnitud de la longitud recorrida por el móvil durante su trayectoria seguida, sin importar en qué dirección lo hizo. Desplazamiento: El desplazamiento de un móvil es una magnitud vectorial, pues corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos: El de partida y el de llegada. Rapidez: Es una cantidad escalar que únicamente indica la magnitud de la velocidad. Velocidad: Es una magnitud vectorial pues para quedar bien definida requiere que se señale además de su magnitud, su dirección y sentido. La velocidad se define como el desplazamiento realizado por un móvil dividido entre el tiempo que tarda en efectuarlo: v= 𝑑 𝑡 Donde: v= Velocidad del móvil. 𝒅= Desplazamiento del móvil. t= Tiempo en que se realiza el desplazamiento. Las unidades de velocidad son: SI= v= m/s CGS= v= cm/s Ejercicios. 1. Un corredor avanza 3 km en un tiempo de 10 minutos. Calcular su rapidez, es decir, la magnitud de su velocidad, en: a) Km/h y b) m/s. 2. La rapidez de un ciclista es de 10 m/s. ¿Qué distancia recorre en 125 s? 3. Encontrar la velocidad en m/s de un motociclista cuyo desplazamiento es de 8 km al este en 9 minutos 4. Determinar el desplazamiento en metros que realizará un automóvil al viajar hacia el norte a una velocidad de 80 Km/h durante 0.9 minutos. 5. Una lancha de motor desarrolla una velocidad cuya magnitud es de 6.5 m/s, si la velocidad que lleva la corriente de un río hacia el este es de 3.4 m/s. Calcular: a) La velocidad de la lancha si va en la misma dirección y sentido que la corriente del río. b) La velocidad de la lancha si va a la misma dirección, pero en sentido contrario a la corriente del río. c) La velocidad de la lancha si se requiere cruzar perpendicularmente el río de una orilla a la otra. Determinar también cuál será la dirección que llevará la lancha, emplear el método del paralelogramo. (Escala: 1cm = 1m) Respuestas. 1. a) v= 18 km/h b) v= 5 m/s 2. d= 1250 m 3. v= 14.81 m/s al este 4. d= 1199.88 m 5. a) v= 9.9 m/s al este b) v= -3.1 m/s al oeste c) La velocidad de la lancha es de 7.4 m/s con un ángulo de 63° en dirección al noreste. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Cuando un móvil sigue una trayectoria recta en la cual realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales se dice que efectúa un movimiento rectilíneo uniforme. Para representar algún cambio en una variable se utiliza la letra griega Δ (delta), por tanto, podemos escribir la fórmula de la velocidad en función de los cambios en su desplazamiento respecto al cambio en el tiempo de la siguiente forma: Δ𝑑 d2−d1 v= = Δ𝑡 t2−t1 Siempre que se trate del movimiento de un móvil en línea recta, recorriendo desplazamientos iguales en tiempos Δ𝑑 iguales, la relación : será un valor constante. Δ𝑡 Δ𝑑 Donde: = k=constante Δ𝑡 Velocidad media. La mayoría de los movimientos que realizan los cuerpos no son uniformes, es decir, sus desplazamientos generalmente no son proporcionales al cambio de tiempo; debido a ello es necesario considerar el concepto de velocidad media; por ejemplo, cuando oímos decir que de la Ciudad de México a la de Puebla se hace en autobús una hora y media, al recorrer la distancia de 128 kilómetros que las separa, podemos calcular la magnitud de la velocidad media durante el viaje: v= 𝑑 128 𝑘𝑚 = = 𝑡 1.5 ℎ 85.3 Km/h Velocidad instantánea. • Es la velocidad que lleva un móvil en un instante determinado. • Si se conocen diferentes velocidades instantáneas, entonces: v1 + v2 + v3 + ... + vn vm = n En donde: Vm: velocidad media (km/h, m/s, cm/s) v1, v2, v3,...,Vn: velocidades instantáneas Ejercicios. 1. Calcular la velocidad media de un coche si partió al sur con una velocidad inicial de 1.5 m/s y su velocidad final fue de 12 m/s. 2. Encuentre la velocidad promedio de un camión que durante su recorrido hacia el sur tuvo las siguientes magnitudes de velocidades. v1= 8 m/s v2= 10 m/s v3= 9.5 m/s v4= 12 m/s 3. Calcular la magnitud de la velocidad promedio de un motociclista que recorre una distancia de 120 km en 90 minutos. Exprese el resultado en km/h. 4. Determine la magnitud de la velocidad media de un patinador que lleva una velocidad inicial cuya magnitud es de 3 m/s y su velocidad final tiene una magnitud de 4.2 m/s. 5. Calcule el tiempo en horas en que un autobús de pasajeros efectúa un desplazamiento de 3km si lleva una velocidad media de 50 km/h al sur. Respuestas. 1. Vm= 6.75 m/s al sur. 2. Vm= 9.88 m/s al sur. 3. Vm= 80 Km/h. 4. Vm= 3,6 m/s. 5. t= 0.6 h. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA). Aceleración Siempre que un cuerpo tiene un cambio en la magnitud de su velocidad con respecto al tiempo, ya sea positivo, cuando la magnitud de la velocidad final es mayor que la de la velocidad inicial, o cuando cambia su dirección, decimos que ha tenido una aceleración. Cuando la aceleración es negativa se dice que existe una desaceleración y esta se da cuando la Velocidad final (𝑽𝒇 ) es menor que la Velocidad inicial (𝑽𝒊 ) Aceleración Cuando la aceleración es positiva se dice que existe una aceleración y esta se da cuando la Velocidad final (𝑽𝒇 ) es mayor que la Velocidad inicial (𝑽𝒊 ) En conclusión: La aceleración representa el cambio en la velocidad de un cuerpo en un tiempo determinado, por tanto la magnitud de la aceleración la podemos calcular así: Magnitud de la = 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 aceleración Como ∆𝑣 ∆𝑣 𝑡 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 α= 𝑣𝑓 −𝑣𝑖 𝑡 (1) Donde: 2 α : magnitud de la aceleración del móvil en m/𝑠 o cm/𝑠 2 . 𝒗𝒇 : magnitud de la velocidad final del móvil en m/s o cm/s. 𝒗𝒊 : magnitud de la velocidad inicial del móvil en m/s o cm/s. t: Tiempo en que se produce el cambio en la magnitud de la velocidad en segundos (s). Cuando un móvil parte del reposo, su velocidad inicial es igual a cero (𝑣0 = 0) y la magnitud de su aceleración es igual a: α= 𝑣 𝑡 (2) Para determinar las unidades de aceleración, sustituimos las unidades de velocidad y tiempo, según el sistema de unidades utilizado: Sistema Internacional (SI): α= 𝑚 𝑠 𝑚 = 𝑠 𝑠2 Sistema Cegesimal (CGS): α= 𝑐𝑚 𝑠 𝑐𝑚 = 𝑠 𝑠2 Cuando un móvil no parte del reposo, entonces el intervalo de tiempo en el cual se considera su movimiento, ya lleva una velocidad inicial diferente de cero ( 𝑣0 ≠ 0) , y la magnitud de su aceleración se determina con la ecuación 1: Comúnmente, al conocer la magnitud de la aceleración de un móvil y la magnitud de su velocidad inicial se desea calcular la magnitud de su velocidad final al cabo de cierto tiempo. Por tanto, despejamos por pasos 𝑣𝑓 de la ecuación 1 tenemos: α 𝐭 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 𝐯𝐟 = 𝑣𝑖 + α t Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cuando la magnitud de la velocidad experimenta cambios iguales en cada unidad de tiempo. En este movimiento la magnitud de la aceleración permanece constante al transcurrir el tiempo. Por ejemplo, si un automóvil al viajar en línea recta lleva una velocidad cuya magnitud es de 2 m/s al primer segundo, una velocidad con una magnitud de 4 m/s en el segundo 2 y una velocidad con una magnitud de 6 m/s al tercer segundo, decimos que la magnitud de su velocidad cambia 2 m/s cada segundo. Por ejemplo, si un automóvil al viajar en línea De donde su aceleración es constante en los 2 tres segundos y cuya magnitud es de 2 m/s , y esto se calcula con la siguiente fórmula: Δ𝑉 𝑉𝑓 −𝑉𝑖 α𝑚 = = Δ𝑡 𝑡𝑓 −𝑡𝑖 Como hemos observado en el movimiento rectilíneo uniforme mente acelerado; la velocidad cambia constantemente de magnitud; por ello, si se desea conocer la magnitud del desplazamiento en cualquier tiempo, se puede obtener si utilizamos el concepto de velocidad media que ya estudiamos: vm= 𝑣𝑓 +𝑣𝑖 2 Como: d = vm t = d = 𝑣𝑓 +𝑣𝑖 2 t A partir de estas expresiones deduciremos las ecuaciones que utilizan para calcular las magnitudes de los desplazamientos y velocidades finales cuando el movimiento tiene aceleración constante: vm= 𝑑 𝑡 d = vm t vm= 𝑣𝑓 +𝑣𝑖 2 (1) (2) (3) Sustituyendo 3 en 2: d= 𝑣𝑓 +𝑣𝑖 2 t (4) Sabemos que: 𝐯𝐟 = 𝑣𝑖 + α t (5) 𝑣𝑖 +αt +𝑣𝑖 d= t 2 𝑣𝑖 +αt d= t 2 (6) Sustituyendo 5 en 4: (7) Multiplicando por t y dividiendo entre 2: α𝑡 2 d = 𝑣𝑖 𝑡 + 2 (8) Si 𝑣𝑖 = 0 d= α𝑡 2 2 (9) Para calcular la magnitud de las velocidades finales en un MRUA partimos de la ecuación: 𝑣𝑓 +𝑣𝑖 (4) d= t 2 Sabemos que: α = 𝑣𝑓 −𝑣𝑖 (10) 𝑡 Multiplicando 10 por 4: αd= (𝑣𝑓 −𝑣𝑖 ) (𝑣𝑓 +𝑣𝑖 ) αd= 𝑡 2 (𝑣 2 𝑓 −𝑣 2 𝑖 ) t (11) (12) 2 Despejando la magnitud de la velocidad final: 𝑣 2𝑓 = 𝑣 2 𝑖 + 2 αd (13) Si 𝑣𝑖 = 0 (14) 𝑣 2𝑓 =2 αd De la ecuación 12 podemos despejar la magnitud del desplazamiento: (𝑣 2 𝑓 −𝑣 2 𝑖 ) (15) d= 2α Si 𝑣𝑖 = 0 𝑣 2𝑓 d= (16) 2α En conclusión, para calcular las magnitudes de los desplazamientos y las velocidades finales en un MRUA, tenemos varias ecuaciones que usaremos dependiendo de las situaciones en las cuales se presente el movimiento, es decir, si hay o no velocidad inicial, además de los datos conocidos. Las siguientes formulas resumen las ecuaciones utilizadas cuando el movimiento es uniformemente acelerado: a) Ecuaciones para calcular las magnitudes de los desplazamientos en un movimiento uniformemente acelerado. 1. d = 𝑣𝑖 𝑡 + α𝑡 2 2 2. d = (𝑣 2 𝑓 −𝑣 2 𝑖 ) 2α 3. d = 𝑣𝑓 +𝑣𝑖 2 t Cualquiera de estas tres ecuaciones nos da el mismo resultado, por tanto su uso sólo depende de los datos del problema, y si estos pueden sustituirse en cualquiera de ellas se escogerá la que nos resulte más sencilla. Cuando se desea conocer la magnitud del desplazamiento de un móvil y éste parte del reposo, la velocidad inicial vale cero y las tres ecuaciones anteriores se reducen a las siguientes expresiones: 𝑣2𝑓 𝑣𝑓 α𝑡 2 1. d = 2. d = 3. d = t 2 2α 2 b) Ecuaciones para calcular la magnitud de las velocidades finales en un movimiento uniformemente acelerado. 1. 𝐯𝐟 = 𝑣𝑖 + α t 2. 𝑣 2𝑓 = 𝑣 2 𝑖 + 2 αd Igual que en el caso de los desplazamientos, para calcular la magnitud de la velocidad de un móvil uniformemente acelerado tenemos la opción de emplear cualquiera de las dos ecuaciones, dependiendo de los datos o de la que nos resulte más sencilla. Cuando se de sea conocer la magnitud de la velocidad final que alcanzará un móvil cuando parte del reposo, tenemos que en esa circunstancia la velocidad inicial es cero y las ecuaciones anteriores se reducen alas siguientes expresiones: 1. 𝐯𝐟 = α t 2. 𝑣 2𝑓 = 2 αd Movimiento vertical. Caída libre. Caída libre Un cuerpo tiene una caída libre si desciende sobre la superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia originada por el aire o cualquier otra sustancia. ¿Quién cae primero al suelo una bolita de papel o un plumón? El científico italiano Galileo Galilei fue el primero en demostrar en 1590 que todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de fricción, caen a la Tierra con la misma aceleración. Para hacer una correcta interpretación del fenómeno que se presenta en durante una caída libre, en un tiro vertical, o en un tiro parabólico se debe considerar la aceleración de la gravedad, esta es una magnitud vectorial cuya dirección está dirigida hacia el centro de la Tierra, puesto que la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo tendrá signo negativo. g= -9.81 𝒎 𝟐 𝒔 Para resolver problemas de caída libre se utilizan las mismas ecuaciones de MRUA, pero se cambia la aceleración (α) por la aceleración de la gravedad (g) y la letra d de distancia por la letra h que representa la altura. 1. 𝒉= 2. 𝒈𝒕𝟐 𝑽𝒊 𝒕 + 𝟐 𝑽𝟐𝒇 −𝑽𝟐𝒊 𝒉= 𝟐𝒈 𝑽𝒇 −𝑽𝒊 3. 𝒉 = 𝟐 𝒕 4. 𝑽𝒇 = 𝑽𝒊 + 𝒈𝒕 5. 𝑽𝒇 = 𝑽𝟐𝒊 + 𝟐𝒈𝒉 Tiro vertical. Tiro vertical Este movimiento se presenta cuando un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba observándose que la magnitud de su velocidad va disminuyendo hasta anularse al alcanzar su altura máxima. Inmediatamente inicia su regreso para llegar al mismo punto donde fue lanzado y adquiere la misma magnitud de velocidad con la cual partió. De igual manera, el tiempo empleado en subir es el mismo utilizado en bajar. En este tipo de movimiento generalmente resulta importante calcular la altura máxima alcanzada por el cuerpo, el tiempo que tarda en subir hasta alcanzar su altura máxima y el tiempo que permanece en el aire. 𝑽𝟐𝒊 𝒉𝒎𝒂𝒙 = − 𝟐𝒈 𝑽𝒊 𝒕 𝒔𝒖𝒃𝒊𝒓 = − 𝒈 1. 2. 3. 𝒕 4. 𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒕 = 𝟐𝒕 𝒂𝒊𝒓𝒆 = 𝒔𝒖𝒃𝒊𝒓 𝟐𝑽𝒊 − 𝒈 Movimiento en dos dimensiones. Tiro parabólico. Tiro parabólico Es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Para su estudio, puede considerarse como la combinación de dos movimientos que son un movimiento horizontal uniforme y un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado. TIRO PARABÓLICO HORIZONTAL TIRO PARABÓLICO OBLICUO Para poder resolver problemas de tiro parabólico se emplean las mismas fórmulas vistas en MRUA, caída libre y tiro vertical, sin embargo también se utilizarán las siguientes fórmulas: 1. 𝑽𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 α 𝑽𝟎 2. 𝑽𝑯 = 𝑪𝒐𝒔 α 𝑽𝟎 3. 4. 𝑽𝟐𝑽 𝒉𝒎𝒂𝒙 = − 𝟐𝒈 𝑽𝑽 𝒕 𝒔𝒖𝒃𝒊𝒓 = − 𝒈 5. 6. 𝐭 𝐭 𝐚𝐢𝐫𝐞 = 𝟐𝐕𝐕 − 𝐠 = 𝟐𝐭 𝐬𝐮𝐛𝐢𝐫 7. 𝐝𝐇 = 𝐕𝐇 𝐭 (𝒕(𝒂𝒊𝒓𝒆) 𝒐𝒕(𝒄𝒂𝒆𝒓) ) 𝐚𝐢𝐫𝐞 8. 𝒅𝑯 = − 𝑽𝟐𝟎 𝑺𝒆𝒏 𝟐 α 𝒈 Movimiento circular. Movimiento circular Un cuerpo o una partícula describen un movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Periodo y frecuencia. Periodo Es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta completa o completar un ciclo. En el Sistema Internacional de unidades del periodo son segundos: 𝑇= 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 = 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 s Es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un objeto en un segundo. Frecuencia 𝑓= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 Hz Como puede observarse, el periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso del periodo, donde: 𝑻= 𝟏 𝒇 𝒇= 𝟏 𝑻 En 𝑠 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 En 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑠 Ángulo Es la abertura comprendida entre dos radios que limitan un arco de circunferencia. Es el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio. La equivalencia de un radian en grados sexagesimales se determina sabiendo que: Radián 2 π rad= 360° 1 360° rad= 2π = 180° π = 57.3° Movimiento Circular Uniforme. Velocidad angular. La magnitud de la velocidad angular representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo. θ 𝑤= 𝑡 Donde: w = magnitud de la velocidad angular en rad/s θ= magnitud del desplazamiento angular en rad t = tiempo en que efectúa el desplazamiento en segundos 2π 𝑤= 𝑇 𝑤 = 2π𝑓 Velocidad angular media. 𝑤𝑓+ 𝑤0 𝑤𝑚 = 2 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado MCUA. Aceleración angular. α= 𝑤 𝑡 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 α= 𝑤𝑓− 𝑤0 𝑡 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑠2 Para resolver problemas de MCUA utilizaremos las fórmulas de MRUA solo que en lugar de desplazamiento (d) por el desplazamiento angular (α) y las magnitudes de velocidad se cambiaran por velocidad angular (w), lo mismo con la magnitud de la 𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 aceleración que es en 2 por la aceleración angular que se da en . 2 𝑠 𝑠 Para calcular la magnitud de los desplazamientos angulares: θ= 1. α𝒕𝟐 𝒘𝟎 𝒕 + 𝟐 𝒘𝟐𝒇 −𝒘𝟐𝟎 2. θ= 3. θ= 𝟐α 𝒘𝒇 −𝒘𝟎 𝟐 𝒕 Si el móvil parte del reposo: 1. θ= 2. θ= 3. θ= α𝒕𝟐 𝟐 𝒘𝟐𝒇 𝟐α 𝒘𝒇 𝟐 𝒕 Para calcular la magnitud de los velocidades angulares finales: 1. 2. 𝒘𝒇 = 𝒘𝟎 + α𝒕 𝒘𝒇 = 𝒘𝟐𝟎 + 𝟐αθ Si el móvil parte del reposo: 1. 𝒘𝒇 = α𝒕 2. 𝒘𝒇 = 𝟐αθ • Rivera, G., Domínguez A. Cuéllar J. (2012), Mecánica con enfoque en Competencias. México: Ed. Book Mart. • Tippens, E. Física. Conceptos y Aplicaciones (Séptima ed.). México: Ed. McGraw-Hill • Pérez Montiel, H. (2015). Física general (Quinta ed.). México: Ed. Patria.
