Planificación Matemática 8° Básico

2020
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8°BÁSICO
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8°
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ϮϬ20
Matemática
INTRODUCCIÓN
Comprender las matemáticas y ser capaz de aplicar
sus conceptos y procedimientos a la resolución
de problemas reales es fundamental para los
ciudadanos en el mundo moderno. Para resolver
e interpretar una cantidad cada vez mayor de
problemas y situaciones de la vida diaria, en
contextos profesionales, personales, laborales,
sociales y científicos, se requiere de un cierto
nivel de comprensión de los conceptos, desarrollo
de razonamiento y aplicación de herramientas
matemáticas. La formación y alfabetización
matemática de todos los ciudadanos se considera
un elemento esencial de tener en cuenta para
el desarrollo de cualquier país. Se conoce como
alfabetización matemática la capacidad de
identificar y entender el papel que esta disciplina
tiene en el mundo, hacer juicios bien fundados
y usar en forma adecuada tanto las herramientas
como los conocimientos matemáticos para resolver
problemas cotidianos.
El conocimiento matemático y la capacidad
para usarlo tienen profundas e importantes
consecuencias en la formación de las personas.
Aprender matemática influye en el concepto
que niños, jóvenes y adultos construyen sobre
sí mismos y sus capacidades, en parte porque
el entorno social lo valora y lo asocia a logros,
beneficios y capacidades de orden superior, pero
sobre todo porque faculta para confiar en el
propio razonamiento y para usar de forma efectiva
diversas estrategias para resolver problemas
significativos relacionados con su vida. Así, el
proceso de aprender matemática ayuda a que
la persona se sienta un ser autónomo y valioso
en la sociedad. En consecuencia, se trata de un
conocimiento cuya calidad, pertinencia y amplitud
afecta la calidad de vida de las personas y sus
posibilidades de actuar en el mundo.
La matemática es una herramienta fundamental
que explica la mayoría de los avances de nuestra
sociedad y les sirve de soporte científico. Los
aportes de la matemática están en la base de la
innovación en tecnología, ciencia, transporte,
comunicaciones y se aplican en otras áreas,
como las artes, la geografía y la economía.
Tradicionalmente, el aprendizaje de esta disciplina
se ha asociado solo con asimilar fórmulas,
procedimientos y símbolos; sin embargo, la
matemática es dinámica, creativa, utiliza un
lenguaje universal y se ha desarrollado como
medio para aprender a pensar y para resolver
problemas. Por otra parte, se suele hacer
referencia a ella como un espacio de certeza y
de estabilidad ( como ocurre en el álgebra o la
geometría), pero también propone explicaciones
a fenómenos inciertos de la vida cotidiana, por lo
que el pensamiento estadístico y probabilístico
son componentes destacados de la matemática.
Así es capaz de explicar los patrones y las
irregularidades, la continuidad y el cambio.
La formación matemática ofrece también la
posibilidad de trabajar con entes abstractos y
con las relaciones entre ellos, preparando a los
estudiantes para comprender el medio en que
se desenvuelven; un medio en que la cultura, la
005
tecnología y las ciencias se están redefiniendo y
haciendo más complejas permanentemente. Esto
queda de manifiesto en la cantidad de información
que contiene datos e ideas abstractas acerca
de temas económicos, técnicos y científicos,
entre otros. Estos Programas proponen formar
a un estudiante que perciba la matemática en
su entorno y que se valga de los conocimientos
adquiridos para describir y analizar el mundo
con el fin de desenvolverse efectivamente en
él. Se procura que la asignatura lo faculte para
integrar el conocimiento matemático con otros
tipos de conocimientos, de modo de poder sacar
conclusiones y enfrentar situaciones cotidianas
de diferente complejidad. La matemática entrega
herramientas únicas y poderosas para entender el
mundo.
En esa perspectiva, es indispensable que los
estudiantes adquieran una sólida comprensión
de los conceptos matemáticos fundamentales,
como los números enteros, las potencias y
raíces, porcentaje, las funciones, ecuaciones e
inecuaciones, la homotecia, el muestreo y el
azar, y muestren su comprensión por medio de
la representación, la operatoria, la explicación,
la relación y la aplicación de éstos. Con esto, se
espera que los estudiantes adquieran la capacidad
de emplear e interpretar las matemáticas en
diversos contextos. Esto implica que deben
aprender a aplicar el razonamiento matemático
y a utilizar conceptos, procedimientos, datos y
herramientas para entender, describir, explicar
y predecir fenómenos. De esta forma, podrán
reconocer el papel que juega esta disciplina en
el mundo, formular juicios bien fundados y tomar
decisiones necesarias y constructivas.
Para lograrlo, es necesario que desarrollen el
pensamiento matemático, uno de los principales
focos a los cuales se orienta el currículum de esta
asignatura. Esto implica formar a un estudiante
que perciba la matemática en su entorno y que
se valga de los conocimientos adquiridos como
una herramienta útil para describir el mundo
y para manejarse efectivamente en él, que
reconozca las aplicaciones de la matemática en
diversos ámbitos y que la use para comprender
situaciones y resolver problemas. El pensamiento
matemático se define como una capacidad que
nos permite comprender las relaciones que se dan
en el entorno, cuantificarlas, razonar sobre ellas,
representarlas y comunicarlas. En este sentido,
el papel de la enseñanza de las matemáticas
es desarrollar las habilidades que generan el
pensamiento matemático, sus conceptos y
procedimientos básicos, con el fin de comprender
y producir información representada en términos
matemáticos. Se pretende que los estudiantes
desarrollen el razonamiento lógico, que implica
seleccionar, ordenar y clasificar consistentemente
de acuerdo a criterios bien definidos, así como
seguir reglas e inferir resultados. En este ciclo, se
pretende además que avancen progresivamente
hacia el trabajo deductivo y el pensamiento
abstracto, dándole sentido a sus experiencias a
partir de premisas o símbolos matemáticos.
006
La asignatura se focaliza en la resolución de
problemas. Resolver un problema implica no solo
poner en juego un amplio conjunto de habilidades,
sino también la creatividad para buscar y probar
diversas soluciones. Al poner el énfasis en la
resolución de problemas, se busca, por un lado,
que los estudiantes descubran la utilidad de las
matemáticas en la vida real y, por otro, abrir
espacios para conectar esta disciplina con otras
asignaturas. En este contexto, muchas veces lo
que más aporta al aprendizaje de los estudiantes
no es la solución a un problema matemático, sino
el proceso de búsqueda creativa de soluciones en
cualquier área del conocimiento.
Otro de los énfasis del currículum de Matemática
consiste en que los estudiantes sean capaces
de transitar entre los distintos niveles de
representación ( concreto, pictórico y simbólico),
traduciendo situaciones de la vida cotidiana a
lenguaje formal o utilizando símbolos matemáticos
para resolver problemas o explicar situaciones
concretas. Así se logra que las expresiones
matemáticas tengan un sentido próximo para los
estudiantes.
Las Bases Curriculares dan relevancia al
modelamiento matemático. El objetivo de
desarrollar esta habilidad es lograr que el
estudiante construya una versión simplificada y
abstracta de un sistema que opera en la realidad,
que capture los patrones clave y los exprese
mediante símbolos matemáticos.
Asimismo, las habilidades comunicativas y
argumentativas son centrales en este escenario.
Las primeras se relacionan con la capacidad de
expresar ideas con claridad y son muy importantes
para comprender el razonamiento que hay
detrás de cada problema resuelto o concepto
comprendido. Las segundas permiten a los
estudiantes desarrollar una actitud reflexiva y
abierta al debate de sus fundamentos. Por otro
lado, las bases de la asignatura promueven el
uso de las tecnologías de la información y la
comunicación (TIC) fundamentalmente como
un apoyo para la comprensión del conocimiento
matemático, para manipular representaciones
de funciones y de objetos geométricos, o bien
para organizar la información y comunicar
resultados. La asignatura se orienta a que los
estudiantes comprendan las distintas operaciones
matemáticas; por lo tanto, el uso de TIC como
herramienta de cálculo debe reservarse para
las comprobaciones rápidas de cálculos, y para
efectuar una gran cantidad de operaciones
u operaciones con números muy grandes. Es
necesario que los estudiantes comprendan
y apliquen los conceptos y las operaciones
involucradas antes de usar estos medios.
Considerando que el proceso de aprendizaje
que proponen estos programas para Matemática
relaciona constantemente las experiencias de los
estudiantes con el conocimiento matemático,
se espera que ellos desarrollen una inclinación
favorable hacia la disciplina. Especialmente, en
relación con los injustificados resultados inferiores
de las mujeres en la asignatura5 , se pretende
que las estudiantes adquieran mayor confianza y
empatía respeto del aprendizaje de la matemática,
y estimular su participación en la clase de
Matemática en condiciones de igualdad.
5 Agencia de Calidad de la Educación, Chile. (2011)
Resultados TIMSS 2011 Chile: Estudio Internacional de
Tendencias en Matemática y Ciencias. Santiago de Chile,
Ministerio de Educación SIMCE - Unidad de Currículum
y Evaluación (2009). Resumen de resultados PISA 2009
Chile. Recuperado de http://www.agenciaeducacion.cljwp­
content/files_mf/resumenderesultadospisa2009chile..pdf
007
ORGANIZACIÓN CURRICULAR
HABILIDADES
En este ciclo se desarrollan cuatro habilidades
(resolver problemas, representar, modelar y
argumentar y comunicar) que se interrelacionan y
juegan un papel fundamental en La adquisición de
nuevas destrezas y conceptos y en La aplicación de
conocimientos en contextos diversos.
Resolver problemas
Aprender a resolver problemas es tanto un medio
como un fin en La adquisición de una buena
educación matemática. Se habla de resolver
problemas (en Lugar de ejercicios) cuando
el estudiante Logra solucionar una situación
problemática dada, contextualizada o no, sin que
se Le haya indicado un procedimiento a seguir.
Para ello, necesita usar estrategias, comprobar
y comunicar: Los estudiantes experimentan,
escogen, inventan y aplican diferentes estrategias
(ensayo y error, usar metáforas o algún tipo de
representación, modelar, realizar simulación,
efectuar una transferencia desde problemas
similares ya resueltos, por descomposición, etc.),
comparan diferentes vías de solución y evalúan
Las respuestas obtenidas y su pertinencia. De
este modo, se fomenta el pensamiento reflexivo,
crítico y creativo. Cabe destacar que La importancia
de La habilidad de resolver problemas debe
ser desarrollada y aplicada frecuentemente en
problemas rutinarios y no rutinarios.
También es importante que Los estudiantes
desarrollen La capacidad de plantearse problemas
y de hacer preguntas. Esto Lleva a comprender
La clase como un Lugar donde se entrelazan La
creatividad y La curiosidad del estudiante, donde
se pueden formular nuevas preguntas y generar
situaciones de interés personal en el marco de
proyectos. Específicamente, se espera que Logren
plantearse nuevos problemas y resolverlos,
utilizando conocimientos previos e investigando
sobre Lo que desconocen para Llegar a La resolución.
Representar
Para trabajar con matemática de manera precisa,
se requiere conocer un Lenguaje simbólico
(abstracto). En estos programas, al igual que
en Los de Educación Básica, se propone que
Los estudiantes transiten fluidamente desde La
representación concreta hacia La pictórica, para
avanzar progresivamente hacia un Lenguaje
simbólico. Las metáforas, Las representaciones y
Las analogías juegan un rol clave en este proceso
y permiten que Los estudiantes construyan sus
propios conceptos matemáticos. Representar tiene
grandes ventajas para el aprendizaje; entre ellas,
permite relacionar el conocimiento intuitivo con
una explicación formal de Las situaciones, Ligando
diferentes niveles de representación (concreto,
pictórico y simbólico); potencia La comprensión,
memorización y explicación de Las operaciones,
relaciones y conceptos matemáticos y brinda un
significado cercano a Las expresiones matemáticas.
Así, La matemática se vuelve accesible para todos,
se hace cercana a La vida y a La experiencia de
cada uno, se amplía el número de estudiantes que
se interesen por aprenderla y Lo hacen con una
adecuada profundidad.
EL estudiante de este ciclo adquiere conocimientos
por medio del "aprender haciendo" en situaciones
concretas, traduciéndolas a un nivel gráfico y
utilizando símbolos matemáticos; de esa manera,
Logra un aprendizaje significativo y desarrolla
su capacidad de pensar matemáticamente.
Específicamente, se espera que extraigan
información desde el entorno y elijan distintas
formas de expresar esos datos (tablas, gráficos,
diagramas, metáforas, símbolos matemáticos, etc.)
008
según las necesidades de la actividad o la situación;
que usen e interpreten representaciones concretas,
pictóricas y/ o simbólicas para resolver problemas,
y que identifiquen la validez Y las limitaciones de
esas representaciones según el contexto.
>
Seleccione modelos, comparándolos según su
capacidad de capturar fenómenos de la realidad.
>
Ajuste modelos, cambiando sus parámetros o
considerando buenos parámetros de un modelo
dado.
Modelar
La capacidad de modelar se puede aplicar en diversos
ámbitos y contextos que involucren operaciones
matemáticas con números reales y/o con expresiones
algebraicas, análisis de datos, probabilidad de
ocurrencia de eventos y sistemas geométricos.
En los presentes programas, se considera que
modelar es una habilidad que permite resolver
problemas reales mediante la construcción de
modelos, que pueden ser físicos, computacionales
o simbólicos, y que sirven para poner a prueba
el objeto real y ver cómo responde frente a
diferentes factores o variantes.
El modelo construido debe capturar parte de las
características de una realidad dinámica para poder
estudiarla, modificarla y/o evaluarla. Asimismo,
permite buscar soluciones, aplicarlas a otras
realidades (objetos, fenómenos, situaciones,
etc.), estimar, comparar impactos y representar
relaciones. Así, los estudiantes aprenden a
usar variadas formas para representar datos y a
seleccionar y aplicar los métodos matemáticos
apropiados y las herramientas adecuadas para
resolver problemas. Las ecuaciones, las funciones
y la geometría cobran un sentido significativo
para ellos. Es decir, se pretende que, por medio del
modelamiento matemático, los estudiantes apliquen
métodos matemáticos y herramientas apropiadas
para resolver problemas del mundo real.
Al construir modelos, los estudiantes descubren
regularidades o patrones y son capaces de expresar
esas características fluidamente, ya sea con sus
propias palabras o con un lenguaje más formal;
además, desarrollan la creatividad y la capacidad
de razonamiento y de resolución de problemas, y
encuentran soluciones que pueden transferir a otros
contextos. Se espera que, en este ciclo, el estudiante:
>
Por otro lado, usar metáforas de experiencias
cercanas ayuda a los estudiantes a comprender
conocimientos matemáticos; por ejemplo: explicar
las funciones como una máquina que transforma
los números, u ordenar los números en una recta y
explicar la adición como pasos hacia la derecha de
la recta. En el uso de metáforas se reconocen tres
ventajas para el aprendizaje: relacionar experiencias
personales con el conocimiento formal, potenciar
la comprensión, memorización y explicación de
conceptos matemáticos, y brindar a las expresiones
matemáticas un significado cercano.
Argumentar y comunicar
La habilidad de comunicar se desarrolla
principalmente cuando el estudiante tiene la
oportunidad de expresarse oralmente y por escrito
sobre cuestiones matemáticas que incluyen
desde explicar las propiedades básicas de los
objetos familiares, los cálculos, procedimientos, y
resultados de más de una manera, hasta explicar
los patrones y tendencias de los datos, las ideas
y las relaciones más complejas; entre ellas, las
relaciones lógicas.
Use modelos, comprenda y aplique
correctamente las reglas que los definen.
009
Reflexionar sobre los procedimientos, propios o
de otros, comparar o sostener intercambios sobre
situaciones problemáticas y optimiza el proceso
de aprendizaje. Los verbos conjeturar, describir,
fundamentar y verificar caracterizan las actividades
matemáticas básicas y se deben utilizar a diario
en clases. Lo anterior prepara el camino para las
argumentaciones complejas que se deben realizar
en este ciclo. Se apunta principalmente a que los
estudiantes sepan diferenciar entre una explicación
intuitiva y una argumentación; sean capaces de
interpretar y comprender cadenas de implicaciones
lógicas y puedan convencer a los otros de que la
propuesta es válida matemáticamente y aceptada por
todos. De esta manera, serán capaces de efectuar
demostraciones de proposiciones, en un lenguaje
disciplinar, apoyadas por medio de representaciones
pictóricas y con explicaciones en lenguaje cotidiano.
Para lograrlo, es importante que el docente les
otorgue la oportunidad de describir, explicar y
discutir colectivamente sus soluciones, argumentos e
inferencias sobre diversos problemas, escuchándose y
corrigiéndose mutuamente. Así aprenderán a generalizar
conceptos y a utilizar un amplio abanico de formas para
comunicar sus ideas, incluyendo analogías, metáforas y
representaciones pictóricas o simbólicas.
EJES TEMÁTICOS
En este ciclo (7 º a 2 º medio), los conocimientos
se organizan en cuatro ejes temáticos: Números,
Álgebra y funciones, Geometría y Probabilidad y
estadística. Cada una de las habilidades descritas
anteriormente se puede desarrollar en cada uno de
estos ejes.
A diferencia de la Enseñanza Básica, aquí no se
incluye un eje de Medición, ya que los conceptos
básicos de la medición han sido tratados en el
ciclo anterior y, desde 7 ° básico a 2 ° medio, los
conocimientos de medición son aplicados para
resolver problemas en los cuatro ejes temáticos.
Números
En este eje, los estudiantes trabajan la
comprensión de nuevos números y las operaciones
entre ellos. Progresan desde los números enteros
hasta los números reales. En este camino,
comprenden cómo los distintos tipos de números
y sus reglas respecto de las operaciones básicas,
permiten modelar situaciones cotidianas más
amplias. El trabajo con potencias comienza con
la base diez y su uso en la notación científica,
para que puedan tratar el concepto de manera
concreta, pictórica y simbólica. Se espera, además,
que comprendan y manejen adecuadamente los
porcentajes y las posibilidades de este concepto
para modelar situaciones de otras áreas.
También trabajarán las formas de representar estos
"nuevos números", de relacionarlos y de utilizarlos
para resolver problemas y para manejarse en la
vida diaria. Un énfasis de este eje es representar
dichos números en la recta numérica. Se espera
que los estudiantes aprendan a aproximar, estimar
y calcular con precisión, y que tengan una noción
clara sobre la cantidad, la magnitud y la medida
de objetos, utilizando estos números.
En cuanto al cálculo, deben ser precisos en los
algoritmos, pero siempre en un contexto real y
adecuado a la realidad de los jóvenes; es decir, el
cálculo debe orientarse a resolver problemas en
forma contextualizada y real, más que a emplear
los algoritmos sin sentido. Hay que fomentar y
permitir que los estudiantes usen la calculadora
cuando ya han aprendido las operaciones
elementales en un ámbito numérico limitado.
Se espera que, al final de este ciclo, los
estudiantes puedan transitar por las diferentes
formas de representación de un número (concreta,
pictórica y simbólica).
010
Álgebra y funciones
Geometña
En este eje, se espera que los estudiantes
comprendan la importancia del lenguaje
algebraico para expresarse en matemática y
las posibilidades que ese lenguaje les ofrece.
Se espera que escriban, representen y usen
expresiones algebraicas para designar números;
que establezcan relaciones entre ellos mediante
ecuaciones, inecuaciones o funciones, siempre
orientadas a resolver problemas, y que
identifiquen regularidades que les permitan
construir modelos y expresen dichas regularidades
en lenguaje algebraico. Este eje pone especial
énfasis en que los estudiantes aprendan a
reconocer modelos y ampliarlos, y desarrollen
la habilidad de comunicarse por medio de
expresiones algebraicas.
En este eje, se espera que los estudiantes
desarrollen sus capacidades espaciales y la
comprensión del espacio y sus formas. Para ello,
comparan, miden y estiman magnitudes, y analizan
propiedades y características de diferentes figuras
geométricas de dos y tres dimensiones. En este eje,
la habilidad de representar juega un rol especial.
Los estudiantes deben describir posiciones y
movimientos, usando coordenadas y vectores,
y tienen que obtener conclusiones respecto de
las propiedades y las características de lugares
geométricos, de polígonos y cuerpos conocidos, por
medio de representaciones. Deben transitar desde
un ámbito bidimensional a uno tridimensional por
medio de caras, bases, secciones, sombras y redes
de puntos.
Los aprendizajes en Álgebra y Funciones se
relacionan fuertemente con el eje de Números;
un trabajo adecuado en ambos ejes permitirá
que los estudiantes comprendan y desarrollen
conceptos nuevos cuando cursen niveles
superiores, y fortalezcan los adquiridos en el ciclo
anterior. Se espera que, al final de este periodo,
comprendan y manipulen expresiones algebraicas
sencillas, y establezcan relaciones entre estas
expresiones mediante ecuaciones o inecuaciones.
Especialmente, se pretende que puedan usar
metáforas para interiorizarse del concepto de
función y cómo utilizarla para manipular, modelar
y encontrar soluciones a situaciones de cambios en
diferentes ámbitos, como el aumento de ventas en
un tiempo determinado. Se espera que transformen
expresiones algebraicas en otras equivalentes
para resolver problemas y que sean capaces de
justificar su proceder; que expresen igualdades y
desigualdades mediante ecuaciones e inecuaciones
y que las apliquen para resolver problemas; que
comprendan las funciones lineales, las funciones
cuadráticas y sus respectivas representaciones, y
que resuelvan problemas con ellas.
Los estudiantes aprenderán a calcular perímetros,
áreas y volúmenes al resolver problemas técnicos
y cotidianos. Al final de este ciclo, deberán ser
capaces de apreciar y utilizar las propiedades
y relaciones geométricas de manera adecuada
y precisa, tendrán que ser competentes en
mediciones geométricas y deberán poder relacionar
la geometría con los números y el álgebra de
manera armoniosa y concreta. Este eje presenta por
primera vez las razones trigonométricas para que los
estudiantes tengan más herramientas para resolver
problemas. Más aun, propone que comprendan
las representaciones de coordenadas en el plano
cartesiano y usen destrezas de visualización
espacial. En este proceso, tienen que usar
diferentes instrumentos de medida para visualizar
ciertas figuras 2D o 3D; se recomienda tanto las
construcciones manuales como las tecnológicas.
Probabilidad y estadística
Este eje responde a la necesidad de que todos
los estudiantes aprendan a efectuar análisis e
inferencias y obtener información a partir de
011
datos estadísticos. Se espera formar a estudiantes
críticos que puedan usar la información para
validar sus opiniones y decisiones y que sepan
determinar situaciones conflictivas a raíz de
interpretaciones erróneas de un gráfico y de las
posibles manipulaciones intencionadas que se
puede hacer con los datos.
En el área de la probabilidad, se busca que estimen
de manera intuitiva y que calculen de manera
precisa la probabilidad de ocurrencia de eventos;
que determinen la probabilidad de ocurrencia de
eventos en forma experimental y teórica, y que
construyan modelos probabilísticos basados en
situaciones aleatorias. A su vez, en el área de la
estadística, se espera que los estudiantes diseñen
experimentos de muestreo aleatorio para inferir
sobre características de poblaciones, que registren
datos desagregados cada vez que tenga sentido y
utilicen medidas de tendencia central, de posición y
de dispersión para resolver problemas.
El enfoque de este eje radica en interpretar y
visualizar datos estadísticos, en las medidas que
permitan comparar características de poblaciones
y en hacer, simular y estudiar experimentos
aleatorios sencillos para construir, a partir de
ellos, la teoría y modelos probabilísticos. En
particular, al final de este ciclo el estudiante
debe comprender el rol de la probabilidad en la
sociedad, utilizando herramientas de la estadística
y de la probabilidad misma.
ACTITUDES
Las Bases Curriculares de Matemática promueven un
conjunto de actitudes que derivan de los objetivos
de la Ley General de Educación y de los Objetivos
de Aprendizaje Transversales {OAT). Estas actitudes
se relacionan con la asignatura y se orientan al
desarrollo social y moral de los estudiantes.
Las actitudes son objetivos de aprendizaje y
se deben desarrollar de forma integrada con
los conocimientos y las habilidades propios de
la asignatura. Se tiene que promover el logro
de estas actitudes de manera sistemática y
sostenida mediante las actividades de aprendizaje,
las interacciones en la clase, las actividades
extraprogramáticas, las rutinas escolares, y
también mediante el ejemplo y la acción cotidiana
del docente y de la comunidad escolar.
Las actitudes a desarrollar en la asignatura de
Matemática son las siguientes:
A. Abordar de manera flexible y creativa la
búsqueda de soluciones a problemas de la vida
diaria, de la sociedad en general, o propios de
otras asignaturas.
B. Demostrar curiosidad e interés por resolver
desafíos matemáticos, con confianza en las
propias capacidades, incluso cuando no se
consigue un resultado inmediato.
C. Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor
frente a la resolución de problemas y la búsqueda
de nuevas soluciones para problemas reales.
D. Trabajar en equipo, en forma responsable y
proactiva, ayudando a los otros, considerando
y respetando los aportes de todos, y
manifestando disposición a entender sus
argumentos en las soluciones de los problemas.
E. Mostrar una actitud crítica al evaluar las
evidencias e informaciones matemáticas y
valorar el aporte de los datos cuantitativos en
la comprensión de la realidad social.
F. Usar de manera responsable y efectiva
las tecnologías de la comunicación en la
obtención de información, dando crédito al
trabajo de otros y respetando la propiedad y la
privacidad de las personas.
012
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
La búsqueda de nuevos conocimientos, así
como del desarrollo de habilidades y de una
comprensión más profunda de la matemática,
ha llevado a los docentes a proponer variados
lineamientos didácticos y numerosas metodologías
de enseñanza. La literatura reciente indica que el
éxito es posible en la medida en que el profesor
sea capaz de establecer situaciones de aprendizaje
que promuevan el diálogo, la discusión
matemática y el desarrollo de habilidades
matemáticas respecto de los contenidos. A su vez,
estas situaciones de aprendizaje deben despertar
en los estudiantes la curiosidad y la capacidad
de elaborar conceptos que permitan conectar la
matemática con la vida diaria y las diferentes
áreas del conocimiento.
La formación matemática en este nivel requiere
que los estudiantes den sentido a los contenidos
matemáticos. Deben construir y aprender su propio
significado para desarrollar una base sólida y lograr
una comprensión profunda de los conceptos y
procedimientos que utilizarán más adelante. En
este contexto, se espera que el profesor utilice un
modelo pedagógico que promueva la comprensión
de conceptos matemáticos y no la mera repetición
y mecanización de algoritmos, definiciones y
fórmulas. Para esto, debe planificar cuidadosamente
situaciones de aprendizaje en las que los estudiantes
logren establecer vínculos entre los conceptos y
las habilidades matemáticas y puedan demostrar la
comprensión por sobre la mecanización.
Para aprender matemática, se necesita comprender
conceptos y encontrar relaciones, lo que supone la
abstracción de acciones del medio y la habilidad para
"hablar", "escribir" y "leer" en lenguaje cotidiano
y en lenguaje matemático. En esta propuesta,
igual que en la de enseñanza básica, se plantea el
aprendizaje de matemática como un tránsito desde
lo concreto a lo pictórico para luego llegar a lo
simbólico. Esto significa que el estudiante adquiere
conocimientos mediante el "aprender haciendo" en
situaciones concretas, que luego traduce a un nivel
gráfico y después expresa en símbolos matemáticos.
Se debe considerar al estudiante como protagonista
de su aprendizaje, capaz de aprender y generar
representaciones que surgen de una acción.
Al enseñar, el docente debe de tomar en cuenta
los siguientes factores para lograr aprendizajes
profundos en sus estudiantes:
>
En esta propuesta se enfatiza el uso de
representaciones, analogías y metáforas para
una mayor comprensión. En este sentido, los
estudiantes pueden resolver problemas en
distintos niveles de abstracción, transitando en
ambos sentidos desde representaciones reales,
concretas, hasta las representaciones simbólicas y
viceversa. Esta es la esencia del modelo concreto,
pictórico y simbólico.
013
Aprender haciendo: este recurso metodológico
permite al estudiante comenzar con una
experimentación de fenómenos reales para
acercarse a conceptos matemáticos, como
las ecuaciones, las funciones y las razones
trigonométricas, entre otros. De esta manera,
puede descubrir una parábola en el lanzamiento
de un balón o al regar con una manguera.
A partir de estas experiencias, debe poder
formalizar el fenómeno en lenguaje puramente
matemático. Para que el aprendizaje sea
efectivo mediante el aprender haciendo, es
importante que el profesor promueva una
discusión con preguntas, observaciones,
explicaciones y ejemplos después de las
actividades, para que después formalicen entre
todos el concepto nuevo. De este modo, podrán
conectar sus conocimientos matemáticos con
experiencias vividas.
>
>
Centrar el aprendizaje en el estudiante: el
estudiante es el que hace la clase, el profesor
guía en los momentos difíciles y prepara el
proceso de aprendizaje, considerando los
resultados de aprendizaje a lograr. Esta visión
de enseñar y aprender se refleja en un modelo
que comienza con una acción que debe realizar
el estudiante, con el docente como gestor. Para
comprender los contenidos matemáticos, los
estudiantes necesitan tener experiencias de
resolución de problemas basados en acciones que
les permitan descubrir conceptos, estrategias
y soluciones variadas. Además, deben tener
una cultura de aprender de los errores, ya que
estos son parte del proceso. Los errores se
acogen positivamente como oportunidades de
conversación y búsqueda de soluciones más
adecuadas. Posteriormente, es importante que
reflexionen sobre el proceso por medio del cual
adquirieron los nuevos conocimientos, para
poder transferirlo a nuevas situaciones.
los conocimientos toman sentido, relevancia
y utilidad. Esto permite que los estudiantes
tomen conciencia del contexto en el que
se inserta el conocimiento, de su posible
aplicabilidad y, de este modo, relacionen
conceptos de otras áreas del conocimiento
con conceptos matemáticos. Usar experiencias
prácticas en situaciones concretas de la vida
diaria y de modelos matemáticos, científicos y
sociales, también facilita el aprendizaje.
>
Experiencias previas: al enseñar nuevos
contenidos, es relevante que el docente recurra
a los conocimientos, destrezas, habilidades
y experiencias previas de sus estudiantes.
Estas experiencias son los fundamentos para
desarrollar conceptos nuevos. Por ejemplo: la
multiplicación de números naturales sirve para
multiplicar números enteros; las proporciones
directas son la base para aprender la función
lineal; las experiencias con transformaciones
isométricas sirven como base para el lenguaje
con coordenadas. El nuevo conocimiento se
construye sobre el conocimiento previo.
>
Recurrir frecuentemente a representaciones,
analogías y metáforas: facilita la comprensión
del significado de los conceptos. Se considera
que usar representaciones, analogías y metáforas
en clases de Matemática favorece la compresión
de los estudiantes y, por ende, complementa
el proceso de aprendizaje. Se estima que son
un aporte cognitivo y pedagógico, ya que, al
representar situaciones de la vida cotidiana,
se aclaran conceptos y se introducen nuevas
ideas, haciéndolas cercanas y significativas
para los estudiantes, generándoles motivación
y una mayor seguridad en relación con sus
capacidades. Para incorporar metáforas en las
clases de Matemática, los alumnos pueden:
- Utilizar ideas concretas, intuitivas e
imaginativas y lenguaje cotidiano al
representar un concepto matemático
abstracto; por ejemplo: la función se puede
representar con las metáforas crecimiento
o decrecimiento, o como variación, como
correspondencia o como máquina.
- Recurrir a objetos familiares o a recursos
como esquemas y analogías para que les
sea más fácil entender un concepto o un
procedimiento matemático.
Conexiones: es esencial que se establezcan
conexiones entre la matemática y otras
asignaturas para evitar que el aprendizaje
sea fragmentado y, en cambio, lograr una
interacción cruzada entre las diferentes áreas
del conocimiento que permita lograr una
comprensión profunda. Con las conexiones,
014
De esta forma, las metáforas proporcionan
características familiares al objeto y otorgan
relaciones y acciones que el individuo proyecta
sobre la situación para construir nuevos
conceptos, nuevas relaciones y acciones.
>
las posibilidades de ejercitación motivante
y de acceso a información. La tecnología
también ayuda a la evaluación, ya que permite
a los docentes examinar los procesos que han
seguido los estudiantes en sus investigaciones
matemáticas y en los resultados obtenidos.
Progresión de complejidad: la construcción
de una base sólida de aprendizaje considera
que cualquier nuevo aprendizaje se asimilará a
los aprendizajes previos. Por esto, el docente
debe saber qué habilidades y conceptos han
adquirido los alumnos con anterioridad para
activarlos estratégicamente en función del
aprendizaje futuro. Cuando se tienen los
conocimientos básicos activados, se inicia el
trabajo con el nuevo aprendizaje, que tiene
que ir creciendo en complejidad de manera
progresiva, según el principio de ir desde lo
más simple a lo más complejo.
>
Comunicación y aprendizaje cooperativo: al
elaborar las múltiples tareas de la asignatura,
es importante que el docente favorezca
la comunicación y la colaboración entre
estudiantes. Analizar, evaluar y representar
resultados en común son actividades esenciales,
porque profundizan y estimulan el pensamiento
crítico y ponen a prueba el aprendizaje. En este
punto, son recomendables las presentaciones
o conferencias matemáticas y/o la redacción
individual de los procesos en forma de un diario
matemático.
>
El uso de Tecnologías de Información y
Comunicación (TIC): la tecnología puede
ayudar a los estudiantes a aprender matemática.
Utilizando las herramientas tecnológicas,
pueden ejecutar los procedimientos rutinarios
en forma rápida y precisa, liberando tiempo
para razonar, elaborar modelos, buscar patrones,
comprobar conjeturas y resolver problemas
complejos que antes no eran accesibles para
ellos. A su vez, los software educativos amplían
>
Repasar conceptos y ejercitar: es importante
reforzar y repasar los conceptos y los principios
básicos de las matemáticas. Para esto, el
docente debe considerar la ejercitación con
el fin de asegurar la comprensión, pero, a su
vez, desde la repetición, debe incentivar a los
estudiantes a abordar problemas con mayor
desafío y guiarlos a realizar una verdadera
actividad matemática.
>
La retroalimentación: es relevante que los
estudiantes desarrollen una visión positiva de
las matemáticas y sientan que son capaces de
desempeñarse con una autoestima positiva
y con seguridad. Para esto, conviene que
el docente reconozca el esfuerzo de los
estudiantes, sus observaciones y su iniciativa
para explorar nuevos conocimientos por sí
mismos, en un ambiente que acoge todos
los puntos de vista. Se debe aprovechar
las oportunidades para generar discusiones
sobre las vías de solución y respecto de la
efectividad de las estrategias escogidas. En esta
diversidad, el estudiante descubre cómo mejorar
y superarse en su proceso de aprendizaje. En
entrevistas personales, el profesor debe apoyar
al estudiante a revisar su proceso e identificar
las áreas que necesita modificar y aquellas que
ya están logradas.
015
ORIENTACIONES DE EVALUACIÓN
La evaluación formativa ayuda tanto al profesor
como al estudiante a conocer los avances y las
áreas que es necesario fortalecer para continuar el
proceso de aprendizaje. Con esta información, el
docente puede tomar decisiones para modificar su
planificación y adecuarla mejor a las necesidades
de sus estudiantes. Por su parte, los estudiantes
podrán focalizar sus esfuerzos con la confianza de
que podrán mejorar sus resultados. Las evaluaciones
formativas tienen un carácter de orientación y
de apoyo al aprendizaje, no son medidas para
determinar capacidades de los estudiantes.
Permiten obtener información sobre los progresos,
la comprensión y el aprendizaje de los contenidos y
las habilidades en cualquier etapa o momento.
>
Diario de vida matemático: es un cuaderno
o carpeta en que el estudiante desarrolla
estrategias personales, exploraciones,
definiciones propias o descubrimientos. El
profesor puede observar estos registros para
orientar el desarrollo de las habilidades de sus
estudiantes y verificar que comprenden los
conceptos de acuerdo al lenguaje que emplean
para explicar su pensamiento.
>
Trabajo colaborativo: los estudiantes trabajan
una tarea específica en pares o grupos, en
la sala de clases y durante la hora de clase.
Trabajar en grupo no puede significar que los
integrantes diluyen la responsabilidad de su
propio aprendizaje en el grupo. El grupo es una
plataforma que les va a facilitar la construcción
de su aprendizaje, del que son los únicos
responsables; hay que aprender juntos para
poder actuar después individualmente. El grupo
debe tener claro sus objetivos y los productos
que debe lograr, tiene que poder evaluar el
progreso realizado en cuanto al logro de esos
objetivos y los esfuerzos individuales de cada
miembro. Ejemplos de tareas: experimentar,
definir un concepto, clasificar, calcular, resolver
un problema y argumentar su resolución.
Es importante que la evaluación se realice como
un continuo dentro de las actividades en la sala
de clases, pues está inserta en el proceso de
aprendizaje.
A continuación se presentan sugerencias de
instrumentos de evaluación que se pueden usar
durante el proceso de aprendizaje o a final de
éste para verificar el logro de los resultados de
aprendizaje. Dichos instrumentos permiten que
los estudiantes demuestren sus habilidades,
conocimientos y actitudes durante la hora de
clases o después de un proceso de aprendizaje:
>
>
Portafolio: selección de evidencias (que forman
un dosier o una carpeta) que el estudiante tiene
que recoger y aportar a lo largo de un periodo
de tiempo determinado y que responde a uno o
más Objetivos de Aprendizaje. Estas evidencias
(problemas resueltos, trabajos, fragmentos de
películas, entrevistas, actividades académicas,
apuntes, trabajos de asignaturas, entre
otras) permiten al estudiante demostrar que
está aprendiendo, a la vez que posibilitan
al profesor un seguimiento del progreso de
este aprendizaje. Las evidencias tienen que
acompañarse de una justificación y una
reflexión del estudiante. Profesor y alumnos
seleccionan algunas de las evidencias con una
Proyectos (de grupos o individuales):
están orientados a resolver un problema
más complejo, una investigación guiada o el
modelamiento de un problema real; pueden
durar desde un día completo hasta varias
semanas. Los estudiantes los llevan a cabo con
un alto grado de autonomía, con objetivos
claros, acordados previamente y enfatizando
el proceso de aprendizaje, y con resultados
abiertos. Es la forma ideal para conectar
diferentes áreas del conocimiento.
016
periodicidad determinada, lo que permite que
el estudiante asuma un papel activo en su
evaluación.
>
Presentación o conferencia matemática: se
refiere a presentar la resolución de un problema,
indicando el proceso y los procedimientos
usados para fundamentar el resultado obtenido.
Para evaluar una presentación, se requiere una
pauta con indicadores como dominio del tema,
uso de materiales de apoyo, uso del lenguaje y
otros que se consideren necesarios para el tema.
Es importante que los estudiantes conozcan los
indicadores y la forma de evaluación antes de
hacer la presentación.
>
Entrevista individual: mientras el curso trabaja
en una tarea, el profesor dialoga con uno o más
estudiantes de un mismo nivel de desempeño
acerca de un concepto, un desafío o una
pregunta relacionada con el tema abordado en
esa clase. El docente registra esta información
como descripción del logro de sus estudiantes.
>
Actividad autoevaluable: al finalizar un tema
o unidad, el profesor brinda a sus estudiantes la
oportunidad de trabajar con un material que les
permita autocorregirse (puede ser una hoja de
actividades con las respuestas atrás). A partir
de los resultados, pueden verificar su avance
o aquello que deben reforzar, corregir su tarea
con ayuda de otros compañeros, completar su
trabajo con recursos que estén a su alcance
(cuaderno, libro, afiches ...), anotar sus dudas y,
en última instancia, pedir ayuda al profesor.
017
Visión global de los Objetivos
de Aprendizaje del año
El presente Programa de Estudio se organiza en cuatro unidades que cubren en
total 38 semanas del año. Cada unidad está compuesta por una selección de
Objetivos de Aprendizaje, y algunos pueden repetirse en más de una. Mediante
esta planificación, se logra la totalidad de Objetivos de Aprendizaje de las
Bases Curriculares del año para la asignatura.
UNIDAD 1
OA 1
Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de números enteros:
, Representándolos de manera concreta, pictórica y simbólica.
, Aplicando procedimientos usados en la multiplicación y la división de números naturales.
, Aplicando la regla de los signos de la operación.
, Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios.
OA 2
Utilizar las operaciones de multiplicación y división con los números racionales en el contexto de la resolución de
problemas:
, Representándolos en la recta numérica.
, Involucrando diferentes conjuntos numéricos (fracciones, decimales y números enteros).
OA3
Explicar la multiplicación y la división de potencias de base natural y exponente natural hasta 3, de manera
concreta, pictórica y simbólica.
OA4
Mostrar que comprenden las raíces cuadradas de números naturales:
, Estimándolas de manera intuitiva.
, Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica.
, Aplicándolo a situaciones geométricas y en la vida diaria.
OA 5
Resolver problemas que involucran variaciones porcentuales en contextos diversos, usando representaciones
pictóricas y registrando el proceso de manera simbólica; por ejemplo: el interés anual del ahorro.
Tiempo estimado: 57 horas pedagógicas
018
P
019
UNIDAD 3
OA 11
Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y
cilindros:
, Estimando de manera intuitiva área de superficie y volumen
, Desplegando la red de prismas rectos para encontrar la fórmula del área de superficie
, Transfiriendo la fórmula del volumen de un cubo (base por altura) en prismas diversos y cilindros
, Aplicando las fórmulas a la resolución de problemas geométricos y de la vida diaria
OA 12
Explicar, de manera concreta, pictórica y simbólica, la validez del teorema de Pitágoras y aplicar a la resolución
de problemas geométricos y de la vida cotidiana, de manera manual y/o con software educativo.
OA 13
Describir la posición y el movimiento (traslaciones, rotaciones y reflexiones) de figuras 2D, de manera manual
y/o con software educativo, utilizando:
, Los vectores para la traslación.
, Los ejes del plano cartesiano como ejes de reflexión.
, Los puntos del plano para las rotaciones.
OA 14
Componer rotaciones, traslaciones y reflexiones en el plano cartesiano y en el espacio, de manera manual
y/o con software educativo, y aplicar a las simetrías de polígonos y poliedros, y a la resolución de problemas
geométricos relacionados con el arte.
Tiempo estimado: 48 horas pedagógicas
020
UNIDAD 4
OA 15
Mostrar que comprenden las medidas de posición, percentiles y cuartiles:
, Identificando la población que está sobre o bajo el percentil
, Representándolas con diagramas, incluyendo el diagrama de cajón, de manera manual y/o con software educativo
, Utilizándolas para comparar poblaciones
OA 16
Evaluar la forma en que los datos están presentados:
, Comparando la información de los mismos datos representada en distintos tipos de gráficos para determinar
fortalezas y debilidades de cada uno.
, Justificando la elección del gráfico para una determinada situación y su correspondiente conjunto de datos.
, Detectando manipulaciones de gráficos para representar datos.
OA 17
Explicar el principio combinatorio multiplicativo:
, A partir de situaciones concretas.
, Representándolo con tablas y árboles regulares, de manera manual y/o con software educativo.
, Utilizándolo para calcular la probabilidad de un evento compuesto.
Tiempo estimado: 54 horas pedagógicas
021
Visión global de las
actitudes del año
Las Bases Curriculares de Matemática establecen un conjunto de Objetivos de
Aprendizaje de actitudes a desarrollar a lo largo de todo el ciclo. Aunque el
docente debe aprovechar todas las oportunidades de aprendizaje de la asignatura
para desarrollar estas actitudes, este programa las organiza para que pueda dar
especial énfasis a algunas de ellas, según se muestra en la siguiente tabla.
UNIDAD 2
UNIDAD 1
OAA
OA C
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de
soluciones a problemas de la vida diaria, de la sociedad
en general, o propios de otras asignaturas.
Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente
a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas
soluciones para problemas reales.
OA C
OA E
Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente
a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas
soluciones para problemas reales.
Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e
informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos
cuantitativos en la comprensión de la realidad social.
OA D
OA F
Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva,
ayudando a los otros, considerando y respetando los
aportes de todos, y manifestando disposición a entender
sus argumentos en las soluciones de los problemas.
Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de
la comunicación en la obtención de información, dando
crédito al trabajo de otros y respetando la propiedad y
la privacidad de las personas.
022
UNIDAD 3
UNIDAD 4
OA B
OA D
Demostrar curiosidad, interés por resolver desaños Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva,
matemáticos, con confianza en las propias capacidades, ayudando a los otros, considerando y respetando los
incluso cuando no se consigue un resultado inmediato. aportes de todos, y manifestando disposición a entender
sus argumentos en las soluciones de los problemas.
OA C
Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente OA E
a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e
soluciones para problemas reales.
informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos
cuantitativos en la comprensión de la realidad social.
OA D
Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, OA F
ayudando a los otros, considerando y respetando los Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de la
aportes de todos, y manifestando disposición a entender comunicación en la obtención de información, dando crédito
sus argumentos en las soluciones de los problemas.
al trabajo de otros y respetando la propiedad y la privacidad
de las personas.
023
INDICADORES DE EVALUACIÓN DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ACTITUDINALES
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE ACTITUDINALES
INDICADORES DE EVALUACIÓN
Se espera que los estudiantes sean capaces de:
Los estudiantes que han alcanzado este aprendizaje:
OAA
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de
soluciones a problemas de la vida diaria, de la sociedad
en general, o propios de otras asignaturas.
, Aplican estrategias conocidas para obtener una solución.
, Buscan y prueban estrategias propias y alternativas.
, Escuchan los planteamientos de otros.
, Crean tácticas propias.
, Reconocen sus fortalezas y debilidades.
OA B
Demostrar curiosidad, interés por resolver desaños , Comparten de forma desinteresada sus puntos de vista.
matemáticos, con confianza en las propias capacidades, , Formulan preguntas o exponen hipótesis propias acerca
incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.
de una situación o un problema.
, Participan en la búsqueda de una posible solución a
un problema.
, Tienen ideas propias y las defienden, sin rendirse
OAC
Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente fácilmente.
a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas , Planifican su trabajo y los procedimientos detalladamente.
soluciones para problemas reales.
, Buscan, aceptan sus errores y repiten procesos.
, Comprueban en forma autónoma para validar su resultado.
OA D
Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva,
ayudando a los otros, considerando y respetando los
aportes de todos, y manifestando disposición a entender
sus argumentos en las soluciones de los problemas.
, Respetan y valoran las opiniones y logros de otros.
, Comparten, obedecen y asumen responsabilidades.
, Manejan formas de convivencia, como trabajo entre pares,
en grupos chicos, en plenario o en forma individual.
, Aceptan reglas y plazos.
, Trabajan sin supervisión.
, Cuestionan datos que les han sido entregados o que
OA E
Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e hayan encontrados en los medios.
informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos , Usan procedimientos matemáticos para confirmar la
cuantitativos en la comprensión de la realidad social.
veracidad de una información y/o para complementarla.
, Intercambian opiniones sobre los motivos de la
información manipulada.
, Toman decisiones basados en conocimientos matemáticos.
OA F
Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de
la comunicación en la obtención de información, dando
crédito al trabajo de otros y respetando la propiedad y la
privacidad de las personas.
,
,
,
,
024
Indican y citan las fuentes usadas de manera adecuada.
Usan la información de manera efectiva.
Controlan el uso de la tecnología en forma responsable.
Procesan la información extraída, evitando las copias
textuales extremas.
PLANIFICACIÓN 8° BÁSICO I SEMESTRE 2019
Clase
Eje
Objetivos
 Recordar operatoria con números enteros: adición y
sustracción.
1
N
 Representar la multiplicación por -1 en situaciones
concretas.
 Calcular multiplicaciones con números enteros y
2
N
representarlas en la recta numérica.
 Calcular divisiones con números enteros y
3
N
representarlas en la recta numérica.
 Resolver problemas en diversos contextos con
4
N
números enteros.
 Definir fracciones negativas y decimales negativos y
5
N
representar operaciones en la recta numérica.
6
 Resolver ejercicios que involucren multiplicación y
Khan
N
división de enteros, y números decimales y fracciones
Academy
negativas, en la plataforma Khan Academy.
Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de
números enteros:
 Representándolas de manera concreta, pictórica y
simbólica.
PRUEBA 1
N
 Aplicando
procedimientos
usados
en
la
multiplicación y la división de números naturales.
 Aplicando la regla de los signos de la operación.
Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios.
 Representar sumas y restas de fracciones y decimales
8
N
negativos en la recta numérica.
 Representar multiplicaciones de fracciones y
decimales negativos en la recta numérica.
9
N
 Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria
de fracciones y decimales.
 Representar divisiones de fracciones y decimales
10
N
negativos en la recta numérica.
 Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria
11
N
de fracciones y decimales.
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con números positivos y
12
N
negativos.
PRM
 Resolver problemas que involucran las cuatro
operaciones con números positivos y negativos.
PRUEBA UNIDAD 1: NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
 Representar potencias de base y exponente natural
14
N
hasta 3.
15
N
 Representar multiplicación de potencias de igual
025
16
N
17
N
18
N
Prueba
3
N
20
N
21
N
22
N
23
Khan
Academy
N
base y exponente natural hasta 3.
 Conjeturar y aplicar propiedades de multiplicación y
división de potencias.
 Definir potencias de exponente cero.
 Conjeturar y aplicar propiedad de potencia de una
potencia.
 Resolver ejercicios rutinarios y problemas relativos a
potencias.
Explicar la multiplicación y la división de potencias de
base natural y exponente natural hasta 3, de manera
concreta, pictórica y simbólica.
 Definir raíz cuadrada y estimar su valor.
 Ubicar raíces cuadradas de forma aproximada en la
recta numérica.
 Resolver problemas rutinarios y de la vida diaria que
involucran raíces cuadradas
 Resolver ejercicios que involucren potencias y raíces
cuadradas en la plataforma Khan Academy.
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con potencias.
N
 Resolver problemas que involucran propiedades de
las potencias.
25
N
 Recordar definición y cálculo de porcentajes.
 Identificar y expresar variaciones porcentuales.
26
N
 Resolver problemas rutinarios que involucran
variaciones porcentuales.
 Resolver problemas de la vida diaria que involucran
27
N
variaciones porcentuales.
28
 Resolver ejercicios que involucren variaciones
Khan
porcentuales en la plataforma Khan Academy.
N
Academy y
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de
PRM
forma colaborativa, relacionados con porcentajes.
PRUEBA UNIDAD 2: POTENCIAS, RAÍCES Y VARIACIONES PORCENTUALES
30
A
 Multiplicar de expresiones algebraicas.
31
A
 Factorizar expresiones algebraicas: factor común.
 Factorizar expresiones algebraicas: binomio con
32
A
término común.
 Representar y operar mediante balanzas ecuaciones
33
A
e inecuaciones lineales.
 Resolver ecuaciones lineales y problemas con
34
A
ecuaciones lineales.
 Resolver inecuaciones lineales y problemas con
35
A
inecuaciones lineales.
 Resolver problemas mediante ecuaciones e
36
A
inecuaciones lineales.
24
PRM
026
37
Khan
Academy
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Khan
Academy y
PRM
 Resolver ejercicios que involucren ecuaciones e
A
inecuaciones lineales, en la plataforma Khan
Academy.
PRUEBA UNIDAD 3: ÁLGEBRA Y ECUACIONES
 Recordar el concepto de proporcionalidad directa
A
mediante el uso de tablas y en diversas situaciones.
 Definir función lineal y analizar sus principales
A
características.
 Elaborar tablas y gráficos relacionados con la función
A
lineal.
A
 Analizar propiedades de la función lineal.
 Definir función afín y analizar sus principales
A
características.
A
 Analizar propiedades de la función afín.
 Modelar y resolver problemas relacionados con la
A
función lineal y afín.
 Modelar y resolver situaciones de la vida diaria
A
mediante funciones lineales y afines.
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con función lineal y afín.
A
 Resolver ejercicios que involucren función lineal y afín
en la plataforma Khan Academy.
PRUEBA UNIDAD 4: FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN
027
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
1
Habilidades: Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
 Recordar operatoria con números enteros: adición y
sustracción.
 Representar la multiplicación por -1 en situaciones
concretas.
 Representan la multiplicación de números enteros
positivos y negativos de forma pictórica (recta numérica) o
simbólica.
Representan la multiplicación por -1 de manera concreta; por
ejemplo: con situaciones o procesos inversos (estar en contra
de, etc.).
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes resolver en parejas las actividades del “¿Qué debo
saber?” que aparecen en el “Texto del estudiante” (página 10, ejercicios 1, 2
y 3) que se adjuntan al final de esta clase.
Cierre recordando junto con sus estudiantes algunos aspectos claves del
conjunto de los números enteros mediante las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es el conjunto de los números entero?
Respuesta: Es el conjunto de los números enteros positivos, enteros
negativos y el cero.
2. ¿Qué estrategia podemos usar para sumar números enteros?
Respuesta: Si son del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se
mantiene el signo. Si son de signos diferentes, se restan sus valores
absolutos y se mantiene el signo de aquel con mayor valor absoluto.
3. ¿Qué estrategia podemos usar para restar números enteros?
Respuesta: Transformándolo en una suma del primero con el opuesto del
segundo.
Finalice resaltando que en este curso aprenderán a multiplicar y dividir números
enteros.
028
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
MULTIPLICAR POR UN NEGATIVO
Comience preguntando a sus estudiantes: ¿qué significa 3 x 5, o 6 x 3, o 2 x 4?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes identifiquen a la multiplicación
como una suma iterada.
Luego, proponga la ACTIVIDAD: MULTIPLICAR POR UN NEGATIVO que se
encuentra anexa al final de la clase (forme grupos de trabajo).
Finalice la actividad realizando una puesta en común de las respuestas a las
preguntas allí planteadas y sintetizando en el siguiente resultado:
En conclusión:
 Al multiplicar un entero positivo por -1, el resultado es el opuesto del
número.
 Al multiplicar dos enteros de distinto signo, el resultado siempre es
negativo.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 14,
ejercicios 2 al 7), modelando los siguientes ejercicios:
029
Respuesta: Modele los ejercicios a, d, e, i:
a) -1 + 5 + (-2) = 4 + (-2) = 2
d) -23 – (-12 – 19) = -23 – (-12 + (-19)) = -23 – (-31) = -23 + 31 = 8
e) -[34 + (-5) + (-3)] = -[34 + (-8)] = -[26] = -26
i) -8 – [37 – (-3)] – (-2) = -8 – [37 + 3] + 2 = -8 – [40] + 2 = -8 + (-40) + 2 = -48 + 2
= -46
Respuesta: Al pagar $30.000 su deuda quedó en $14.870, pero al pedir un
préstamo de $50.000, su nueva deuda es de $64.870.
Respuesta: Modele ejercicios a y b:
a) Se obtiene como resultado -12.
b) Se obtiene como resultado -16.
030
Respuesta: Modele ejercicios a y b:
a) Se obtiene como resultado 12.
b) Se obtiene como resultado -10.
Práctica Independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 14 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 4 al 7).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Explique qué sucede cuando un entero positivo se multiplica por -1.
2. Resuelva las siguientes multiplicaciones:
a) 2 x -5
b) -3 x 8
c) 3 x (1 – 10)
RESPUESTAS:
1. El resultado cambia de signo.
2. a) -10
b) -24
c) -27
031
Concluya la clase dejando la siguiente interrogante:
¿Qué sucederá cuando multipliquemos dos números negativos?
032
¿Qué debo saber?
033
ACTIVIDAD: MULTIPLICAR POR UN NEGATIVO
En un experimento, la temperatura en un ambiente baja 1° C cada una hora. Si el
experimento se mantuvo durante 8 horas seguidas.
1. ¿Cuál es la variación total que sufrió la temperatura del ambiente?”
2. ¿De qué forma podríamos expresar la situación anterior mediante una
multiplicación?
3. Y si en lugar de 8 horas el experimento se extiende por 20 horas, ¿de qué
forma se podría representar?
4. ¿Qué sucede cuando multiplicamos un número positivo por -1?
5. ¿Qué sucede si en lugar de descender 1° C por hora, desciende 3° C por hora,
cuáles serían las respuestas a las preguntas 3 y 4?
6. ¿Cuál es el resultado de las multiplicaciones -1 x 8 y -1 x 20? Justifique.
7. ¿Qué conclusión puede establecer respecto a la multiplicación de dos números
enteros que tienen distinto signo?
RESPUESTAS
1. Se espera que de manera intuitiva los/as estudiante respondan que la variación
total fue de -8° C.
2. -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 + -1 = 8 x (-1) = -8
3. 20 x (-1) = -20
4. El resultado es el opuesto del número.
5. Respecto a las preguntas 3 y 4, se tiene que 8 x (-3) = -24 y 20 x (-3) = -60.
6. Sus resultados son -8 y -20. Se espera que los/as estudiantes intenten dar
justificaciones a estos resultados relacionando las multiplicaciones de esta
pregunta con las calculadas anteriormente, siendo el/la docente el encargado de
formalizar el argumento mediante la propiedad de conmutatividad de los enteros
respecto a la multiplicación.
7. Se multiplican los valores absolutos de los números y el resultado es negativo
(se espera que los/as estudiantes establezcan conclusiones en lenguaje más
cotidiano a ellos/as, como por ejemplo “se multiplican los números sin signos y
luego el resultado es negativo”).
034
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
2
Habilidades: Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Calcular multiplicaciones con números enteros y representarlas
en la recta numérica.
 Desarrollan la regla de los signos en ejemplos concretos o en
la recta numérica: + • + = +; + • - = -; - • + = -; - • - = +.
 Representan la multiplicación de números enteros positivos y
negativos de forma pictórica (recta numérica) o simbólica.
 Multiplican números enteros positivos y/o negativos,
utilizando la multiplicación de números naturales y la regla de
los signos.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(10 minutos)
Observación: Para esta clase se requieren algunos materiales por cada
grupo:
 Un pliego de cartulina, o bien hojas de cartulinas (block).
 Tijeras y lápices.
Comience la clase formando grupos de trabajo (4 integrantes). Luego, pida a
sus estudiantes que calculen las siguientes multiplicaciones y que expliquen sus
resultados.
a) -2 x 4 = -8
b) 5 x -9 = -45
c) 3 x -4 x 2 = -24
Concluya esta pequeña actividad reconstruyendo con sus estudiantes los
principales resultados de la multiplicación de enteros cuando tienen distinto
signo:
 El resultado siempre es negativo.
 Para multiplicarlos, basta con multiplicar sus valores absolutos y
expresarlo como un número negativo.
Finalice preguntando a sus estudiantes:
035
1. ¿Qué sucede si un número entero lo multiplicamos por 0?
Respuesta: Promueva la discusión y argumentación sobre la
multiplicación por 0, interpretándola como cero vez algo, es decir, cero.
2. ¿Qué sucede si multiplicamos dos enteros negativos?
Respuesta: Señáleles que esto es lo que aprenderán hoy.
Presentación de la nueva información:
(25 minutos)
MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS
Entregue a cada grupo las indicaciones de la ACTIVIDAD INICIAL que se
encuentra al final de esta clase. Se sugiere dividir la actividad en las siguientes
partes:
Primera parte: Asegúrese que cada grupo logre crear el material señalado en la
actividad.
Segunda parte: Modele cómo realizar representaciones, tanto de números
como de multiplicaciones, según los ejemplos presentes en la actividad.
Tercera parte: Haga seguimiento de las actividades propuestas a los/as
estudiantes y del avance que vayan teniendo en sus respuestas.
Cuarta parte: Realice una plenaria final en la que el curso pueda establecer
conclusiones generales, sintetizando los siguientes resultados (se sugiere
analizar previamente caso a caso y pedirle a sus estudiantes que los verbalicen,
es decir: + • + = +; + • - = -; - • + = -; - • - = +):
En conclusión:
 Cuando se multiplican dos enteros del mismo signo, entonces su
resultado será positivo.
 Cuando se multiplican dos enteros de distinto signo, entonces su
resultado será negativo.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Cuadernillo de ejercicios”, página
6, modelando los siguientes ejercicios:
036
Respuesta: Modele los ejercicios a, b y c:
a) (−40) ⋅ 100 = −4.000
b) (−117) ⋅ 4 = −468
c) (−12) ⋅ 6 = −72
037
Respuesta: Modele los ejercicios a, b y c:
a) 8, pues (−5) ⋅ 8 = −40
b) 12, pues 12 ⋅ 7 = 84
c) -1.378, pues 689 ⋅ (−2) = −1.378
Respuesta: Modele los ejercicios a y b:
a) -34
b) 29
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 6 no
abordados en la Práctica Guiada (considere ejercicio 1 hasta letra g, ejercicio 2
hasta letra g, ejercicios 3 y 4 completos. Se sugiere proponer el ejercicio 5 como
desafío para aquellos/as que hayan terminado).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. ¿Por cuánto se podría multiplicar el número 32 para obtener un resultado
negativo? Dé un ejemplo.
2. ¿Por cuánto se podría multiplicar el número -5 para obtener un resultado
positivo? Dé un ejemplo.
3. Resuelva la siguiente multiplicación:
038
-4 x 8 x -2 =
RESPUESTAS:
1. Por cualquier número negativo. Por ejemplo, por -1.
2. Por cualquier número negativo. Por ejemplo, por -1.
3. 64
039
ACTIVIDAD INICIAL
La siguiente actividad tiene por objetivo representar la multiplicación de números
enteros. Para ello, considere lo siguiente:
Instrucciones:
 Corte varias tarjetas cuadradas, todas del mismo tamaño (de cartulina o
papel).
 En cada tarjeta, escriba en una de sus caras el número 1 y en la otra cara
el número -1 (use dos colores diferentes).
Cómo usar las tarjetas para representar
 Cualquier número entero lo podemos representar mediante estas tarjetas.
Por ejemplo:
Representación
del número 5:
Representación
del número -4
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
 Represente usted ahora los siguientes números enteros: 5, -6 y -2
 También podemos representar algunas multiplicaciones. Por ejemplo:
Representación
de 5 x 4:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
040
Representación
de 6 x (-3):
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
Actividades
1. Represente los números 5 y 8 por separado. ¿Qué cambio debe hacerle a
las tarjetas que usó para que ahora representen el producto de las
multiplicaciones 5 x -1 y 8 x -1?
2. ¿Qué efecto tiene en las tarjetas cuando se representa un entero positivo y
éste se multiplica por -1?
3. ¿Se obtiene el mismo resultado con las multiplicaciones -1 x 5 y -1 x 8?
Justifique su respuesta.
4. ¿Es cierto que -5 x (-4) = -1 x 5 x (-4)? Justifique mediante el uso de las
tarjetas.
5. Represente con las tarjetas la multiplicación 5 x (-4). ¿Qué sucede con las
tarjetas si ahora multiplicamos este resultado por -1, es decir,
representamos la multiplicación -1 x 5 x (-4)?
6. ¿Cuál es el resultado de -5 x (-4)?
7. Calcule usando las tarjetas las siguientes multiplicaciones:
a. -5 x -3
b. -6 x -2
c. -4 x -4
8. Escriba una conclusión respecto a la multiplicación de dos enteros
negativos.
041
RESPUESTAS
1. Se espera que los/as estudiantes identifiquen que multiplicar por -1 equivale
a dar vuelta las tarjetas, cambiándolas todas a -1.
2. Se espera que los/as estudiantes verbalicen lo observado en la pregunta
anterior.
3. Se espera que los/as estudiantes intenten justificar que sí sucede lo mismo.
Para apoyar sus argumentos, el/la docente puede recordar (mencionado la
clase anterior) la propiedad conmutativa de la multiplicación en los números
enteros, o también interpretando la multiplicación -1 x 5 como “menos una
vez 5” y dándole un contexto cotidiano, como por ejemplo “una vez una
deuda”, o “bajar una vez 5 escalones”, etc.
4. Sí, ya que de acuerdo a lo concluido con las tarjetas, -1 x 5 = -5.
5. Represente con las tarjetas la multiplicación 5 x (-4). ¿Qué sucede con las
tarjetas si ahora multiplicamos este resultado por -1, es decir,
representamos la multiplicación -1 x 5 x (-4)? Al multiplicar por -1 todas las
tarjetas que representan a 5 x (-4) se invierten, es decir, quedan todas con
un 1, representando así al número 20.
6. Se espera que los/as estudiantes identifiquen esta multiplicación con lo
representado anteriormente, dando como respuesta 20.
7. Los resultados son:
a. 15
b. 12
c. 16
8. Al multiplicar dos enteros negativos, el resultado siempre dará positivo.
042
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
3
Habilidades: Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Calcular divisiones con números enteros y representarlas en la
recta numérica.
 Representan, de forma concreta o pictórica, la división de un
número negativo por un número natural.
 Aplican la regla de los signos de las multiplicaciones y de las
divisiones en ejercicios rutinarios.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
Observación: Para esta clase se requiere el uso de las tarjetas
fabricadas la clase anterior, por lo que la dinámica inicial se propone
grupal.
1. Comience la clase formando grupos de trabajo (4 integrantes) y pidiéndoles
que representen con las tarjetas de la clase anterior las siguientes
multiplicaciones de enteros:
a)
b)
c)
d)
5 x 2 = 10
4 x -5 = -20
-1 x 6 = -6
-4 x -3 = 12
2. Verifique que los grupos hayan logrado realizar las multiplicaciones anteriores
con las tarjetas. Luego, plantéeles la siguiente pregunta:
¿Y cómo dividimos números enteros?
3. Proponga (y modele) el siguiente ejemplo: -12 : 3
Paso 1: Formamos el número -12 con 12 tarjetas “-1”.
Paso 2: Luego, las repartimos en 3 grupos iguales, obteniendo cuatro tarjetas “1” en cada uno de ellos.
Paso 3: Como a cada grupo le corresponde -4, se obtiene que -12 : 3 = -4.
043
4. Pídale a sus estudiante que calculen, usando las tarjetas y realizando los
pasos modelados, las siguientes divisiones:
a) 35 : 7 = 5
b) -10 : 2 = -5
c) -24 : 4 = -6
5. Pídale a cada grupo que establezcan conclusiones respecto a:
 ¿Qué sucede cuando se dividen dos enteros positivos?
Respuesta: El resultado es positivo.
 ¿Qué sucede cuando se divide un entero negativo por uno positivo?
Respuesta: El resultado es negativo.
Finalice comentando que la división también puede dar un resultado no exacto
(puede pedir a sus estudiantes que realicen con la calculadora algunas
divisiones no exactas de enteros de distinto signo y ver sus resultados), pero
que esto lo veremos más adelante.
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
DIVISIÓN DE ENTEROS
1. Comience preguntando a sus estudiantes cuál es el resultado de la división
40 : 5 y por qué es ese el resultado.
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes intenten dar distintas
justificaciones de que el cociente es 8, como por ejemplo que se pueden formar
5 grupos de 8. No obstante, lo que se espera es que emerja la definición
matemática de división y cociente, entendiendo éste último como aquel número
que multiplicado por 5 dé como resultado 40, es decir, 8.
2. Reafirme la definición matemática de división señalada anteriormente,
modelando la división anterior e identificando divisor, dividendo, cociente y resto,
y volviendo a destacar que el cociente es aquel número que multiplicado por el
divisor da como resultado el dividendo.
044
3. Proponga a sus estudiantes intentar calcular el cociente de (-48) : (-12) en
base a la definición matemática de división (se espera que sean los/as
mismos/as estudiantes los que den con el resultado, buscando un número que
multiplicado por -12 dé como resultado -48, es decir, 4).
4. Proponga realizar las siguientes divisiones:
a)
b)
c)
d)
100 : 5 = 20
-30 : 6 = -5
64 : -16 = -4
-50 : -25 = 2
5. ¿Qué puede concluir respecto a la división de enteros?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes identifiquen a partir de los
ejemplos anteriores que la división cumple la misma regla de signos que la
multiplicación, es decir:
En conclusión:
 La multiplicación y la división siguen la misma regla de signos.
 Al multiplicar (o dividir) dos enteros, el signo del cociente será:
o Positivo, si ambos números tienen el mismo signo.
o Negativo, si los números son de signos diferentes.
Finalice preguntando: ¿y qué sucede si dividimos un entero por cero?
Respuesta: Promueva la discusión. Se puede argumentar que esta división no
está definida mediante la definición matemática de la división, pues equivale a
preguntarse qué número multiplicado por 0 da como resultado el número que se
está dividiendo (ninguno en el caso de que el número sea distinto de cero,
infinitos en el caso de que el número a dividir sea el cero).
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante”, páginas 20 y
21, modelando los siguientes ejercicios:
045
Respuesta: Modele los ejercicios a y c:
a) Se obtiene como resultado -2.
b) Se obtiene como resultado -5.
Respuesta: Modele los ejercicio a y c:
a) Se obtiene como resultado 5.
c) Se obtiene como resultado -3.
046
Respuesta: Modele los ejercicios a, b y c:
a) -4
b) -3
c) 21
047
Respuesta: Modele los ejercicios a y b:
a) 8 : (-4) + 1 = (-2) + 1 = -1
b) 8 – 10 : (-5) = 8 – (-2) = 8 + 2 = 10
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 14 y 15
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicio 3, 4, 6 y 7. Se sugiere considerar
solo los 4 primeros ejercicios de cada ítem y dejar el ejercicio 7 para el final,
proponiendo como ejercitación extra o desafío aquellos que no se alcancen a
realizar).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Describa cómo calcularía el cociente de 108 : (–6). Luego, calcúlelo.
2. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver un ejercicio que contiene
las cuatro operaciones básicas?
048
3. Resuelva la división –12 : 4 usando la recta numérica.
RESPUESTAS:
1. Por ejemplo, se puede dividir 108 en 6 y luego poner un signo menos al
resultado, obteniendo -18.
2. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y luego sumas y restas.
3. El resultado es -3.
049
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
4
Habilidades: Utilizar estrategias básicas.
Objetivo:
Resolver problemas en diversos contextos con números enteros.
Indicadores
de
evaluación
Resuelven problemas cotidianos que requieren la multiplicación
o división de números enteros.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(25 minutos)
Comience la clase recordando junto a sus estudiantes las reglas de signos para
la multiplicación y división de enteros. Luego, proponga resolver los ejercicios
del ítem 4, página 8, del “Cuadernillo de ejercicios”:
Divida la pizarra en 3 partes y saque a la pizarra a distintos estudiantes a
medida que se avanza en los ejercicios.
Respuestas:
a) -1
b) -15 c) 364 d) -16 e) -56 f) -12 g) -64 h) 26 i) -3 j) 9 k) -21
050
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Esta clase ha sido reservada para practicar multiplicación y división de enteros
en variados contextos. De esta forma, la clase comenzó con ejercicios rutinarios,
para ahora pasar a una práctica guiada (y posterior práctica independiente) con
resolución de problemas. Para ello, considere los ejercicios propuestos en el
“Texto del estudiante”, páginas 15 y 21, modelando los siguientes ejercicios:
Página 15 (Multiplicación de enteros):
Respuesta:
 Al transcurrir 80 minutos han pasado 4 veces 20 minutos, por lo que la
temperatura subirá 8° C, es decir, subirá a -37° C.
 En 2 horas hay 6 veces 20 minutos, por lo que la temperatura subirá 12°
C, llegando a -33° C.
 A las 17:20 habrán transcurrido 80 minutos, por lo que habrá descendido
8 x 3 = 24° C, llegando a una temperatura de -19° C.
051
Respuesta: No, ya al multiplicar enteros de distinto signo se obtiene un entero
negativo, que no es natural, o cuando se multiplica por 0 se obtiene 0, que
tampoco es un número natural.
Página 21 (División de enteros):
Respuesta: -1.800 : 3 = -600 puntos en cada etapa.
Respuesta: En lugar de cociente debiese decir suma, ya que la suma de un
número y su opuesto aditivo es siempre cero.
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 15 y 21
no abordados en la Práctica Guiada (parte de problemas). Se sugiere proponer
ir alternando entre las páginas, para practicar de manera equilibrada
multiplicaciones y divisiones.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Resuelva los siguientes problemas:
052
1. Marcos registró la masa, en gramos, que ha perdido semanalmente:
–200, –50, –150 y –100. En promedio, ¿cuánta masa ha perdido?
2. Una cámara de refrigeración baja su temperatura en 3 °C cada 20 minutos. Si
en un momento marca 25 °C, ¿cuánto tiempo se demorará en que en la cámara
haya una temperatura de –8 °C?
RESPUESTAS:
1. Ha perdido 500 gramos en las cuatro semanas, es decir, 125 gramos
promedio por semana.
2. Debe descender su temperatura en 33° C, por lo que deberán pasar 11
intervalos de 20 minutos, es decir, 220 minutos, que equivale a 3 horas 40
minutos.
053
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
5
concretas, pictóricas
y
Definir fracciones negativas y decimales negativos y representar
operaciones en la recta numérica.
Representan fracciones negativas y decimales negativos en la
recta numérica.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(10 minutos)
Comience la clase formando parejas de trabajo y proponiendo la ACTIVIDAD
INICIAL que se encuentra al final de esta clase.
Luego, realice una puesta en común de las respuestas y la forma de abordar la
situación por parte de sus estudiantes.
Finalice resaltando que de manera intuitiva en la vida no solo nos encontramos
con números negativos enteros, sino también con números negativos decimales
o fraccionarios.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
FRACCIONES NEGATIVAS Y DECIMALES NEGATIVOS
1. Comience preguntando (y recordando): ¿cómo ubicamos fracciones en la
recta numérica?
Respuesta: Se sugiere recordar mediante ejemplos (fracciones positivas). El
objetivo es saber ubiacrse en la recta numérica, por lo que los/as estudiantes
pueden ayudarse de la calculadora para situar a las fracciones entre números
enteros mediante el cociente de numerador y denominador.
2. Ubique los siguientes números en la recta numérica:
3 3
, , 0,2 y 1,5
4 2
Respuesta: Guíe a sus estudiantes a obtener la expresión decimal de las
fracciones dadas y posteriormente ubicar entre los enteros a 0,75, 1,5, 0,2 y 1,5
054
1
y 1,5 para aprovechar de recordar que existen
2
expresiones equivalente entre fracciones y decimales). El/la docente puede
aprovechar de profundizar en este asunto preguntando a sus estudiantes qué
otras fracciones pueden ser ubicadas en ese mismo lugar, o si existe otra
expresión decimal que se pueda ubicar en dicha posición (1,50 por ejemplo).
(se propone ubicar a
3. Pregunte ahora: ¿cómo ubicarían los siguientes números en la recta
3
3
numérica: − , − y - 0,2 ?
4
2
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes logren identificar estos números
como el opuesto de los números ubicados anteriormente, concluyendo que
deben realizar la misma ubicación, pero en dirección contraria, a partir del 0.
4. ¿Qué pueden concluir respecto a la ubicación de fracciones negativas y
decimales negativos?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes concluyan que se debe realizar el
mismo procedimiento que se emplea para ubicar fracciones y decimales
positivos, pero en sentido contrario (hacia la izquierda) del 0.
Finalice esta parte de la clase concluyendo los siguientes aspectos:
En conclusión:
 Al realizar una división entre dos números enteros el resultado puede
ser positivo o negativo, entero o decimal. Es decir, también existen
fracciones negativas y decimales negativos.
 Para ubicar fracciones negativas y decimales negativos en la recta
numérica se procede de manera similar que en el caso de fracciones
y decimales positivos, pero en sentido contrario (hacia la izquierda) a
partir del 0.
Práctica Guiada:
(25 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante”, páginas 24 y
25, modelando los siguientes ejercicios:
055
Respuesta: Modele solo b y d:
b) − 15 : 25 =
− 15
15
3
=−
=−
25
25
5
d) 18 : (−4) =
1
18 − 18
18
9
=
= − = − = −4
−4
4
4
2
2
Respuesta: Modele solo b y d:
b) 0,125
d) -0,33333…
056
Respuesta: Modele solo a y b, finalizando con las preguntas propuestas en g, h
e i:
g) Negativos son menores que positivos.
h) El menor número se encuentra a la izquierda del mayor.
i) Como regla general se puede establecer que el número ubicado a la izquierda
en la recta numérica es el menor.
057
Respuesta: Modele solo a y c:
a)
2
2
>−
7
5
c) −
11
12
>−
3
3
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 24 y 25
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicio 4 hasta el ejercicio 8. Se sugiere
proponer solo cuatro ejercicios por ítem, de manera que la práctica
independiente se vuelva equilibrada, dejando los demás ejercicios como
actividad complementaria o desafío).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el ticket de salida que se encuentra anexo al final de esta clase.
Finalice revisándolo en conjunto.
058
ACTIVIDAD INICIAL
En una fábrica se registran los tiempos de asistencia de los trabajadores y se les
otorga la siguiente facilidad:
 Si uno llega atrasado dentro de una hora, se registra el atraso como tiempo
negativo.
 Para recompensar el tiempo, se ofrece la posibilidad de recuperar el tiempo
dentro de una semana.
Para un trabajador se registraron ya dos atrasos: −
1
1
h, − h.
2
4
a) ¿Cómo se puede expresar tiempo de atraso lleva acumulado el trabajador?
Justifique su respuesta.
b) Si el trabajador se queda el próximo día por
registra? Justifique su respuesta.
1
h más, ¿qué saldo de horas
2
c) ¿Es posible expresar los resultados de a) y b) usando números decimales?
¿Cómo? Justifique su respuesta.
RESPUESTAS:
a) −
3
h, ya que presenta una pérdida de tres cuartos de hora.
4
1
h, ya que recuperará la media hora de atraso que había registrado uno de
4
los días.
b) −
c) Sí, mediante los números -0,75 y -0,25, ya que son las representaciones
3
1
decimales de
y , respectivamente.
4
4
059
TICKET DE SALIDA
Para cada uno de los números racionales, hay dos representaciones: una como
fracción y otra como número decimal. Ponga las dos representaciones en los
marcos que están pegados a las flechas. Para ello, elija los números correctos de
entre los números racionales que aparecen en la tabla.
SOLUCIÓN:
060
Unidad 1:
Los números en la vida cotidiana
Semestre:
1
Habilidades:
Resolver problemas utilizando herramientas computacionales.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
6
Resolver ejercicios que involucren multiplicación y división de
enteros, y números decimales y fracciones negativas, en la
plataforma Khan Academy.
Aplican conceptos y propiedades de la multiplicación y división
de números enteros, resolviendo ejercicios en la plataforma
Khan Academy.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(5 minutos)
Esta clase ha sido pensada para la ejercitación general sobre la multiplicación y
división de números enteros, así como algunas operaciones básicas con
fracciones y decimales negativos. Para ello, se ha pensado en una clase
dedicada al trabajo con Khan Academy, de manera que se puedan ejercitar en
la plataforma los contenidos antes mencionados. En caso de disponer de
tiempo, se sugiere complementar esta clase con ejercitación con el
“Cuadernillo de ejercicios” (principalmente la resolución de problemas).
Práctica Independiente:
(60 minutos)
Proponga a sus estudiantes las siguientes actividades de Khan Academy:
Busque en Tema: Aritmética -> Números negativos
Multiplicar y dividir números negativos:
 Repaso de la multiplicación de números negativos (documento)
 Repaso de la división de números negativos (documento)
 Multiplicar números negativos (práctica)
Cuestionario #3
Prueba de unidad
Busque en Tema: 7° Grado -> Números negativos: suma y resta
Sumar y restar fracciones negativas:
061
 Sumar y restar fracciones negativas (práctica)
 Cuestionario #2
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice realizando una pequeña
exposición de los problemas generados por sus estudiantes en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Resuelva los siguientes ejercicios:
a) (–5) • (–8) – (–56) : (–4) =
b) –16 : (–2) : 4 + (–20) : 4 =
RESPUESTAS:
a) 40 – 16 = 24
b) 8 : 4 + (-5) = 2 + (-5) = -3
062
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
8
concretas, pictóricas
y
Representar sumas y restas de fracciones y decimales negativos
en la recta numérica.
Indicadores
de
evaluación
Representan sumas y restas de fracciones negativas y
decimales negativos en la recta numérica.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
Comience proponiendo a sus estudiantes el siguiente problema, basado en la
situación 1 de la página 26 del “Texto del estudiante” (se encuentra anexa al
final de esta clase):
“Felipe asiste a un taller de Lenguaje. Como se han producido reiterados
atrasos, la profesora ideó una manera de registrarlos y dar la posibilidad de
recuperar las horas perdidas. Ella anota un atraso como tiempo negativo y las
recuperaciones, como tiempo positivo. Felipe lleva dos atrasos, que pueden
1
1
representarse como − h y − h”
4
6
1. ¿Cuánto lleva acumulado en atrasos Felipe?
Respuesta:
1 1 6
4 10 5
5
+ =
+
=
= . Por lo tanto, el resultado es − .
4 6 24 24 24 12
12
2. ¿Cómo representarían esta situación en la recta numérica?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes intenten representar antes de
revisar las estrategias planteadas en el “Texto del estudiante”.
3. Pida a sus estudiantes que comparen sus estrategias con la solución
propuesta en el “Texto del estudiante” y comente.
4. Si Felipe se queda 0,25 horas extras para recuperar el tiempo perdido,
063
¿alcanza a recuperar todo el tiempo que debe?
Respuesta: No, pues 0,25 =
1
1
, por lo que le faltará
de hora por recuperar.
6
4
Finalice proponiendo a sus estudiantes que comparen sus estrategias con las
propuestas en el “Texto del estudiante” en la situación 2 de la página 27 (se
encuentra anexa al final de esta clase) y comente con ellos/as sobre la
representación que tiene la adición de números positivos y negativos en la recta
numérica:
 Cantidades positivas significan “flechas” hacia la derecha.
 Cantidades negativas significan “flechas” hacia la izquierda.
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
SUMA DE NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
1. Comience recordando qué es el valor absoluto y para qué lo usábamos.
Luego, proponga algunos ejemplos:
a) |-1,2| = 1,2
b) |0,83| = 0,83
4 4
c) − =
3 3
2. Recuerde cómo sumábamos números enteros con algunos ejemplos:
a)
b)
c)
d)
2 + (-3) = -1
(-3) + 8 = 5
2+5=7
(-3) + (-4) = -7
3. Comente que en general estas reglas se aplican para todos los números
positivos y negativos, sean enteros o no, concluyendo en verbalizar los
principales resultados:
064
En conclusión:
 Al sumar números de igual signo, se mantiene el signo y se suman
sus valores absolutos.
 Al sumar números de distinto signo, se restan sus valores absolutos y
se conserva el signo de aquel que tiene mayor valor absoluto.
 Para representar la suma en la recta numérica, cantidades positivas
significan “flechas” hacia la derecha y cantidades negativas “flechas”
hacia la izquierda.
RESTA DE NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
1. Comience recordando cómo se restaban los números enteros mediante
algunos ejemplos:
a)
b)
c)
d)
3 – 9 = 3 + (-9) = -6
(-2) – 5 = (-2) + (-5) = -7
4 – (-3) = 4 + 3 = 7
(-1) – (-4) = (-1) + 4 = 3
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿Qué estrategia usábamos para restar números
enteros?
Respuesta: Cambiábamos la resta por suma y el sustraendo por el opuesto del
minuendo.
3. Modele la situación 3 de la página 27 del “Texto del estudiante” (se
encuentra anexa al final de esta clase) y concluya señalando que en general
estas reglas se aplican para todos los números positivos y negativos, sean
enteros o no, concluyendo en verbalizar los principales resultados:
En conclusión:
Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto (o inverso
aditivo).
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (páginas 28 Y
065
29, ejercicios 4 y 5), modelando los siguientes ejercicios:
Respuesta: Modele solo a, b y c:
a) -0,2
b) -2,2
c) -1,6
066
Respuesta: Modele solo a y b:
a)
4
3
8
3
5 1
.−
=
−
=
=
5 10 10 10 10 2
5
1 3 −2 −3 −5
b) − . − =
+
=
=−
2 4
4
4
4
4
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 28 Y 29
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 4 al 6, ejercicio 7 a y b).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
067
Representa las siguientes operaciones en la recta numérica y calcula su
resultado:
a) 0,2 + −
b)
1
4
2
– (-0,25)
3
RESPUESTAS:
a) 0,2 + (-0,25) = -0,05
b)
2
2
2 1 8
3 11
. − (−0,25) = + 0,25 = + =
+
=
3
3
3 4 12 12 12
068
SITUACIÓN 1, PÁGINA 26 TEXTO DEL ESTUDIANTE
069
SITUACIÓN 2, PÁGINA 27 TEXTO DEL ESTUDIANTE
SITUACIÓN 3, PÁGINA 27 TEXTO DEL ESTUDIANTE
070
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
9
concretas, pictóricas
y
 Representar multiplicaciones de fracciones y decimales
negativos en la recta numérica.
 Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria de
fracciones y decimales.
 Utilizan diferente notación simbólica para un número racional
(decimal, fraccionaria, mixta).
 Realizan ejercicios rutinarios que involucren multiplicaciones
con fracciones y decimales.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes la siguiente situación tomada de la situación 1 del
“Texto del estudiante”, página 30, que se encuentra adjunta al final de esta
clase:
“El pingüino papúa vive en la Antártica chilena y se alimenta principalmente de
krill, calamares y peces pequeños. Para obtener su comida puede sumergirse
en el mar hasta una profundidad de 0,25 km. Un pingüino papúa se sumerge
0,05 km y descansa, luego avanza 0,05 km más y descansa, y finalmente 0,05
km hasta dar con su alimento”.
1. ¿A qué profundidad encontró su alimento el pingüino?”
Respuesta: A 0,15 km de profundidad.
2. ¿Qué operación matemática permite modelar la situación anterior y cómo la
representarían?
Respuesta: (-0,05) + (-0,05) + (-0,05) = 3 x (-0,05)
3. Proponga a sus estudiantes analizar la representación en la recta numérica
propuesta para esta situación en el “Texto del estudiante” y comente.
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES Y FRACCIONES NEGATIVOS
1. Recuerde junto a sus estudiantes las “reglas de signo” de la multiplicación de
071
números enteros mediante algunos ejemplos:
a)
b)
c)
d)
(-2) x 4 = -8
2 x (-4) = -8
2x4=8
(-2) x (-4) = 8
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿y qué sucede si multiplicamos números
decimales o fracciones negativos? Proponga analizar en parejas las
situaciones 2 y 3 de la página 31 del “Texto del estudiante” (se encuentran
anexas al final de esta clase).
3. Comente los resultados obtenidos en ambas situaciones (estrategia de
cálculo basada en multiplicación de decimales y fracciones aprendida en 7°
básico y extensión de la “regla de signos” aprendida para los números enteros) y
sintetice en el siguiente cuadro resumen:
En conclusión:
 Para multiplicar números decimales y/o fracciones se puede
transformar todo a decimales o todo a fracción y operar.
 La multiplicación de decimales y/o fracciones negativos sigue la
misma “regla de signos” de los números enteros, es decir:
o Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
o Si tienen distinto signo, el resultado es negativo.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 32,
ejercicios 3 al 5), modelando los siguientes ejercicios:
072
Respuesta: Aborde solo los ejercicios a y e:
a) -2,1
12
6
 4
e) 3 ⋅  −  = − = −
10
5
 10 
Respuesta: Aborde solo los ejercicios b y c:
b) -0,88
c) -1,92
073
Respuesta: Aborde solo los ejercicios a y b:
a) −
14 2
28
⋅ =−
15 3
45
b) −
6  7  42 1
=
⋅−  =
7  12  84 2
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 32 y 33
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 3 al 8). Puede proponer los
problemas que aparecen a continuación, desde el ejercicio 9 hasta el ejercicio
13 como desafío o ejercitación complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Enuncie la regla de los signos para multiplicar decimales y/o fracciones,
negativos y/o positivos.
2. Resuelva el siguiente ejercicio:
3  5
− 0,3 ⋅ ⋅  − 
5  6
RESPUESTAS:
074
1. A signos iguales resultado positivo, a signos diferentes resultado negativo.
3  5
3 3 5 45
3
2. − 0,3 ⋅ ⋅  −  = − ⋅ ⋅ − =
=
5  6
10 5 6 300 20
075
SITUACIÓN 1, PÁGINA 30, TEXTO DEL ESTUDIANTE
076
SITUACIÓN 2, PÁGINA 31, TEXTO DEL ESTUDIANTE
SITUACIÓN 3, PÁGINA 31, TEXTO DEL ESTUDIANTE
077
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
10
concretas, pictóricas
y
 Representar divisiones de fracciones y decimales negativos en
la recta numérica.
 Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria de
fracciones y decimales.
 Reconocen la operación matemática adecuada en problemas
sencillos para resolverlos.
 Realizan ejercicios rutinarios que involucren multiplicaciones
con fracciones y decimales.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes la siguiente situación tomada de la situación 1 del
“Texto del estudiante”, página 34, que se encuentra adjunta al final de esta
clase:
“Carlos cambió su alimentación por orden de su médico. Siguiendo sus
indicaciones, moderó el consumo de productos grasosos y muy condimentados
y agregó cantidades variables de frutas y verduras, además de incluir legumbres
dos o tres veces a la semana. La meta que se propuso es disminuir su masa
corporal en 4,2 kg a razón de 0,6 kg por mes”.
1. ¿En cuántos meses Carlos podrá alcanzar su meta?
Respuesta: En 7 meses.
2. ¿Qué operación matemática permite modelar la situación anterior y cómo la
representarían?
Respuesta: 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 + 0,6 = 7 x 0,6
3. Proponga a sus estudiantes analizar la representación en la recta numérica
propuesta para esta situación en el “Texto del estudiante” y comente.
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
DIVISIÓN DE DECIMALES Y FRACCIONES NEGATIVOS
1. Recuerde junto a sus estudiantes las “reglas de signo” de la división de
078
números enteros mediante algunos ejemplos:
a)
b)
c)
d)
(-12) : 3 = -4
12 : (-3) = -4
12 : 3 = 4
(-12) : (-3) = 4
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿y qué sucede si dividimos números decimales o
fracciones negativos? Proponga analizar en parejas las situaciones 2 y 3 de la
página 35 del “Texto del estudiante” (se encuentran anexas al final de esta
clase).
3. Comente los resultados obtenidos en ambas situaciones (estrategia de
cálculo basada en división de decimales y fracciones aprendida en 7° básico y
extensión de la “regla de signos” aprendida para los números enteros) y sintetice
en el siguiente cuadro resumen:
En conclusión:
 Para dividir números decimales y/o fracciones se puede transformar
todo a decimales o todo a fracción y operar.
 La división de decimales y/o fracciones negativos sigue la misma
“regla de signos” que la multiplicación, es decir:
o Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
o Si tienen distinto signo, el resultado es negativo.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 36,
ejercicios 3 al 5), modelando los siguientes ejercicios:
079
Respuesta: Modele solo los ejericios a, b y c:
a) 4
b) -6
c) 5
Respuesta: Modele solo los ejercicios a y b:
a) 0,0125
080
b) -1,4
Respuesta: Modele solo los ejercicios a y b:
3
21
3
 14  7
a) 7 :  −  = ⋅ − = − = −
14
2
 3  1 14
b)
5  25  5 21
105
3
: −  = ⋅ −
=−
=−
7  21  7 25
175
5
Práctica Independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 36 y 37
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 3 al 8). Puede proponer los
problemas que aparecen a continuación, desde el ejercicio 9 hasta el ejercicio
12 como desafío o ejercitación complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. ¿Tienen el mismo signo el producto y el cociente de dos números decimales
negativos? Ejemplifique tu respuesta resolviendo las operaciones –3,5 • (–0,7) y
081
–3,5 : (–0,7).
2. ¿Se obtiene el mismo resultado si multiplica un número por –1 que si se
divide por –1? Justifique.
3. ¿La fracción
−3
qué signo tiene, positivo o negativo? Justifique.
8
RESPUESTAS:
1) Si, ya que ambos resultados son positivos. En los ejemplos:
–3,5 • (–0,7) = 2,45
y
–3,5 : (–0,7) = 5
2. Si, ya que en ambos casos el resultado será el opuesto del número.
3. Negativo, ya que una fracción se puede interpretar como la división entre dos
números; en este caso, corresponde a la división entre -3 y 8.
082
SITUACIÓN 1, PÁGINA 34, TEXTO DEL ESTUDIANTE
083
SITUACIÓN 2, PÁGINA 34, TEXTO DEL ESTUDIANTE
SITUACIÓN 3, PÁGINA 34, TEXTO DEL ESTUDIANTE
084
Unidad 1:
Números positivos y negativos
Semestre:
1
N° Clase
11
Habilidades: Utilizar estrategias básicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria de
fracciones y decimales.
Realizan ejercicios rutinarios que involucren multiplicaciones con
fracciones y decimales.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(5 minutos)
Esta clase ha sido reservada para ejercitar todos los conceptos abordados
durante la unidad. Para ello, forme grupos de trabajo y explique a sus
estudiantes que el trabajo de esta clase se basará en la ejercitación del
“¿Cómo voy?” de las páginas 38 y 39 del “Texto del estudiante”.
Práctica Guiada 1:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 38,
ejercicios 1, 3 y 6), modelando:
Respuesta: Modele solo los ejercicios a, b y f:
a) -12
b) -42
f) -24
085
Respuesta: Modele solo los ejercicios a y b:
a) 1 • 17 y (-1) • (-17)
b) 1 • 15, 3 • 5, (-1) • (-15) y (-3) • (-5)
Respuesta: Modele solo los ejercicios b y h:
b) -4
h) 18
Práctica Independiente 1:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 38 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1, 3 y 6). Puede proponer los otros
ítems del “¿Cómo voy?” (considerando para esta primera práctica
independiente de la clase los ítems 1 al 8) a modo de desafío o ejercitación
complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en grupo y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Práctica Guiada 2:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (páginas 38 y
086
39, ejercicios 12, 15, 18 y 19), modelando:
Respuesta: Modele solo ejercicio f.
f) −
39
18
; − 3, 8; − 3,8;
9
−5
Respuesta: Modele solo los ejercicios b y c:
b) 8,638
c) 10,9
087
Respuesta: Modele solo los ejercicios c y e:
c) 0,5824
e) −
3
2
Respuesta: Modele solo los ejercicios c y d:
c) -2,3125
d) −
5
18
Práctica Independiente 2:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 38 y 39
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 12, 15, 18 y 19). Puede proponer
los otros ítems del “¿Cómo voy?” a modo de desafío o ejercitación
complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en grupo y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
088
TICKET DE SALIDA
Realiza un esquema o mapa conceptual que considere los siguientes conceptos,
añadiendo ejemplos ilustrativos en cada uno de ellos.
Conceptos a considerar:







Números enteros
Números decimales (positivos y negativos)
Fracciones (positivas y negativas)
Suma y resta de enteros
Suma y resta de decimales y fracciones
Regla de multiplicación y división para enteros
Regla de multiplicación y división para decimales y fracciones
089
Unidad 1:
Los números en la vida cotidiana
Semestre:
1
Habilidades:
 Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y
de la vida diaria.
 Evaluar la argumentación de otros
Objetivo:
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con números positivos y negativos.
 Resolver problemas que involucran las cuatro operaciones con
números positivos y negativos.
 Resuelven problemas que involucren números positivos y
negativos.
 Resuelven problemas que involucren la multiplicación y la
división de números racionales.
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
12
(5 minutos)
La propuesta de esta sesión considera dos momentos: la primera mitad estará
enfocada en la realización de un PRM, con un problema desafiante relacionado
números positivos y negativos. La segunda mitad de la clase se enfoca en la
resolución de problemas relacionados con la unidad 1.
Por lo anterior, se sugiere explicar a los(as) estudiantes estos dos momentos que
tendrá la clase y partir estableciendo los grupos de trabajo para el PRM, los cuales
pueden también ser aprovechados para la segunda parte de la clase.
Práctica independiente (PRM):
(25 minutos)
Comience contextualizando a sus estudiantes sobre el trabajo que se realizará en
esta sesión, destacando los elementos esenciales del trabajo en PRM:
1. Se espera un trabajo autónomo de los(as) estudiantes, tanto en la organización
de trabajo, como en la lectura, comprensión y abordaje de los problemas.
2. Se espera un trabajo colaborativo de los(as) estudiantes, poniendo al servicio
del grupo todas sus habilidades, en la búsqueda de la comprensión y resolución
de los problemas por parte de cada uno(a) de los(as) integrantes del grupo.
3. Posterior al trabajo por grupo se realizará un plenario final en la que los grupos
deberán exponer sus respuestas, soluciones e inquietudes.
Luego, proponga a sus estudiantes el Enunciado PRM que se encuentra adjunto
090
al final de esta clase.
Solución: Se espera que los/as estudiantes puedan generar distintas estrategias
para abordar este problema. Por ejemplo:
1. Pueden intentar probando diferentes posiciones para el cero. No obstante, dado
que el número -10 aparece en la tercera posición de la secuencia numérica, la
elección debe ser tal que permita identificar una letra al realizar esta secuencia.
Por ejemplo, si elegimos la letra A en el 0, las dos primeras letras del código
serían B y D, pero al interpretar el -10 no habría letra posible a asignar.
2. Otra estrategia es formar una especie de plantilla que permita identificar las
separaciones de las letras representadas en el código:
Esta plantilla podría usarse para irla moviendo a lo largo del alfabeto hasta
identificar 6 letras que den una palabra con sentido, considerando el orden en el
que deben ir las letras.
3. La palabra codificada es “PRIMOS” (se eligió esta palabra por la relación que
tienen hoy en día los números primos con la codificación de claves), siendo la letra
O la escogida como la letra que se ubicó en el cero.
Plenario:
(10 minutos)
Realice plenario final de la actividad, procurando tener en consideración los
siguientes aspectos:
1. Tiempo para el plenario final (asegúrese de disponer al menos de 10 minutos
para ello).
2. Preguntas indagadoras (indague en sus estudiantes no solo respuestas, sino
también obstáculos que se presentaron, como por ejemplo problemas para
comprender el enunciado, intentos previos a su respuesta definitiva que
descartaron por alguna razón, cómo se generó la idea definitiva para abordar el
problema).
3. De acuerdo a su monitoreo por los grupos, procure rescatar en el plenario final
todas las distintas formas en las que los(as) estudiantes llegaron a una respuesta.
091
4. En caso de que los(as) estudiantes no hayan llegado a una respuesta, modere
el plenario final rescatando las ideas de todos los grupos de manera que como
curso puedan dar con una respuesta al problema.
Algunas preguntas facilitadoras que pueden contribuir al trabajo de los(as)
estudiantes:
1. Si la regla fuese 1M, ¿qué letra se habría puesto en el cero? ¿Y si fuese 1T?
2. ¿Qué significa el uno en la regla 1M?
3. Suponga que la regla fuese 1M. ¿Qué letras estarían codificadas bajo la
secuencia de números entregadas?
4. Si se ubica otra letra (que no sea M) en el cero, ¿qué sucede con las demás
letras? ¿Todas se desplazan la misma cantidad de espacios?
Pregunta de profundización:
La regla seguida en el ejemplo es 1M, que ubica a la letra M en el cero y considera
la ubicación de las demás letras de uno en uno. No obstante, se pueden generar
otras reglas, ubicando otra letra en el cero, o bien considerando otra cantidad para
2
ubicar las letras restantes. Por ejemplo, la regla H indica que la letra H ha sido
5
ubicada en el cero y las restantes ubicadas en el orden alfabético a partir de H de
2
2
en . Codifique una frase de 3 palabras que tenga relación con la unidad y
5
5
preséntela en plenario final para que sus compañeros/as lo decodifiquen (no olvide
indicar la regla que ha seguido).
Práctica guiada:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes abordar los problemas de la página 19 del
“Cuadernillo de ejercicios”. Comience modelando los siguientes problemas:
a. El producto de dos números es –72. Si uno de los factores es –9, ¿cuál es el
otro factor?
Respuesta: 8, pues -9 x 8 = -72.
b. Las tres quintas partes de una piscina están con agua, lo que corresponde a 25
m3. ¿Cuántos metros cúbicos de agua faltan para llenar la piscina?
Respuesta: Como las tres quintas partes equivalen a 25 m3, la quinta parte
092
equivale a un tercio de esta cantidad, es decir,
m3.
25 3
50
m . Luego, falta por llenar
3
3
e. Un delfín se encuentra a 5,2 m bajo el nivel del mar y un submarino está a 22,8
m, directamente bajo el delfín. ¿Qué distancia hay entre ellos?
Respuesta: 22,8 – 5,2 = 17,6 m.
Práctica independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los problemas de la página 19 que no
fueron abordados en la Práctica Guiada. Además, puede considerar los problemas
de la página 18 como ejercitación extra en caso de ser necesaria.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida grupal. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Para cada una de las siguientes situaciones, cree un problema y resuélvalo:
1. Un jarro que contiene cinco litros y tres cuartos de jugo y vasos con capacidad
de tres octavos de litro cada uno.
2. El saldo de la cuenta bancaria de una persona es de -1,1 millones de pesos.
093
PROBLEMA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Enunciado:
Las letras del alfabeto se han puesto de manera ordenada en la recta numérica
como se muestra en la figura:
Para codificar y decodificar mensajes, se ha establecido una regla denominada
1M, que quiere decir que se considera para las letras unidades enteras y que la
letra “M” está en el cero.
Por ejemplo, la palabra “tarea” se codifica, según esta regla, de la siguiente forma:
 Las letras a codificar son T, A, R, E, A, por lo que comenzamos en T = 8.
 Desde la ubicación de T, para llegar a la letra A, se debe restar 20,
obteniendo: 8 – 20 = -12.
 Como la letra R = 6, a partir del resultado anterior debemos sumar 18,
pues: -12 + 18 = 6.
 Como la letra E = -8, a partir del resultado anterior debemos restar 14.
 Finalmente, para codificar la última letra se debe restar 4.
De esta forma, la palabra “TAREA” queda codificada mediante la siguiente
secuencia de números:
8, -20, 18, -14, -4.
Una palabra ha sido codificada mediante la siguiente secuencia de números:
-2, 2, -10, 4, 3, 4
No obstante, la persona que la codificó olvidó mencionar la regla que usó (es
decir, cuál es la letra que posicionó en el cero).
¿Cuál es la palabra que se codificó?
094
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
14
concretas, pictóricas
y
Objetivo:
Representar potencias de base y exponente natural hasta 3.
Indicadores
de
evaluación
 Representan potencias de base y exponente natural hasta 3
con material concreto, como candados con clave de dígitos,
trompo poligonal con números, dados didácticos, diagramas
de árbol, etc.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
Comience la clase formando grupos de trabajo y proponga la SITUACIÓN
INICIAL que se encuentra anexa al final de esta clase (inspirada en la Situación
1 de la página 46 del “Texto del estudiante”). Se sugiere no modelar
estrategias para abordar la situación, sino revisar en la puesta en común
aquellas que emerjan de manera natural desde sus estudiantes,
complementándola con indicaciones del docente.
Finalice realizando una revisión común de las respuestas y estrategias
presentadas por sus estudiantes y preguntando:
1. ¿Cuántas claves posibles habría generado con el dado original si en lugar de
números cada casilla correspondiese a cualquier letra del alfabeto?
Respuesta: Considerando 27 del alfabeto, en total se podrían generar 273 =
19.683 combinaciones diferentes (se sugiere fomentar el uso de calculadora
para esta expresión).
2. Y si aumentamos el número de casillas a 4, y consideramos la condición de
que cada una puede corresponder a cualquier dígito, ¿se forman más
combinaciones que en la situación de la pregunta anterior?
Respuesta: No, puesto que se podrían formar en total 104 = 10.000
combinaciones posibles.
3. Manteniendo la condición de que cada casilla puede corresponder a cualquier
dígito, ¿cuántas casillas serán necesarias para que el número de combinaciones
095
posibles supere al número de combinaciones posibles de la situación de la
pregunta 1?
Respuesta: Bastan 5 casillas, ya que el número de combinaciones posibles será
105 = 100.000.
4. ¿Cómo expresaría la cantidad anterior en notación de potencia?
Respuesta: 105.
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
DEFINICIÓN DE POTENCIA
Comience recordando junto a sus estudiantes la idea de potencia estudiada en
7° básico (para potencias de base 10) y en base a la experiencia vivida con la
SITUACIÓN INICIAL generalice el concepto:
En conclusión:
 Una potencia de base y exponente natural representa la
multiplicación sucesiva de un número por sí mismo una determinada
cantidad de veces.
 Una potencia se escribe de la forma an, y se lee “a elevado a n”, en
donde a es la base y n el exponente de la potencia.
 En una potencia, la base indica el número que se multiplica por sí
mismo y el exponente la cantidad de veces que se multiplica, es
decir:
a n = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
(n veces )
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
1. Proponga a sus estudiantes las actividades de las situaciones 2 y 3 de la
página 47 del “Texto del estudiante” (se encuentran anexas al final de esta
clase).
2. Luego, pregunte a sus estudiantes:
a) ¿Cuántas ramificaciones tendría el diagrama de árbol si cada casilla puede
ser cualquier dígito entre 0, 1 y 2? ¿Y cuántas combinaciones?
Respuesta: El diagrama seguirá teniendo 3 ramificaciones, pero esta vez en
cada paso se desprenderán 3 ramas, obteniendo un total de 33 = 27
combinaciones.
096
b) ¿Y cuántas ramificaciones si se mantiene el número de casillas pero cada
una puede corresponder a cualquiera de los 10 dígitos? ¿Y cuántas
combinaciones?
Respuesta: Tampoco cambia el número de ramificaciones (3), pero esta vez en
cada paso se desprenden 10 ramas, obteniendo un total de 103 = 1.000
combinaciones.
c) ¿Qué sucede con el diagrama de árbol si se aumenta el número de casillas
del candado?
Respuesta: Aumenta el número de ramificaciones según el número de casillas
que disponga el candado.
Finalice destacando la utilidad del diagrama de árbol como estrategia para
representar potencias (de exponente 2 y 3 principalmente, debido a lo extenso
que se vuelve para exponentes mayores) y para poder visualizar la cantidad de
combinaciones como el resultado de una determinada potencia.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (páginas 48 y
49, ejercicios 4, 5, 6 Y 8), modelando los siguientes ejercicios:
Respuesta: Modele solo a, b y g:
097
a) 22 = 4 cm2.
b) 32 = 9 cm2.
g) Como el área es 64 cm2 y 82 = 64, se obtiene que el lado del cuadrado mide 8
cm.
Respuesta: Modele solo a, b y g:
a) 23 = 8 cm3.
b) 33 = 27 cm3.
g) Como el volumen es 729 cm3 y 93 = 729, se obtiene que la arista del cubo
mide 9 cm.
098
Respuesta: 33 = 27 números diferentes (se sugiere modelar con diagrama de
árbol para visualizar mejor).
Respuesta:
a) Se sugiere representar en un diagrama de árbol la situación que exprese la
cantidad cajas, la cantidad de tarros en cada caja y la cantidad de pelotas en
cada tarro, para concluir que en total se venden 33 = 27 pelotas.
b) Pida a sus estudiantes que intentes dar respuesta a esta pregunta y recoja
estrategias desde ellos/as. Luego, puede complementar sugiriendo que el
diagrama elaborado anteriormente puede corresponder al diagrama del primer
día, por lo que los tres días también se pueden representar mediante un
diagrama de árbol, agregando otros dos diagramas iguales al construido en la
parte a), obteniendo un total de 34 = 81 pelotas.
099
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 48 y 49
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1 al 9). Puede proponer los
problemas que aparecen a continuación (ejercicios 10 y 11) como desafío o
ejercitación complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
La siguiente imagen representa una ruleta en forma de pentágono regular que
ha sido dividida en 5 partes iguales, dibujando en cada una de ellas una letra:
Cuántas combinaciones de letras diferentes se pueden formar si se hace girar la
ruleta (exprese sus resultados en notación de potencia):
a) Una vez
b) Dos veces
c) Tres veces
d) Una cantidad “n” de veces
RESPUESTAS:
En cada giro de la ruleta se puede obtener cualquiera de las 5 letras, por lo que
las respuestas son 51, 52, 53 y 5n.
100
SITUACIÓN INICIAL
Antonio desea realizar un viaje y para asegurar su maleta compró un candado de
claves. El candado tiene tres casillas y en cada una de ellas puede escoger entre
los dígitos 1 y 2.
1. ¿Cuántas son las posibles combinaciones de claves numéricas que puede
hacer Antonio? Justifique su respuesta.
2. ¿Cuántas son las posibles combinaciones si cada casilla pudiese escogerse
entre los dígitos 0, 1 y 2? Justifique.
3. En la pregunta anterior, ¿se obtienen más, menos o igual números de
combinaciones si esta vez cada casilla puede escogerse entre los dígitos 7, 8 y 9?
Justifique.
4. ¿Puede expresar los resultados de las preguntas 1, 2 y 3 como potencias?
5. Cuántas combinaciones podrá obtener si esta vez los dígitos son 0,1, 2 y 3.
Justifique.
6. ¿Cuántas casillas debiera tener el candado si se quiere tener más de 100.000
combinaciones posibles?
101
RESPUESTAS:
1. Puede modelar la situación construyendo una tabla que muestre todas las
posibles combinaciones:
Casilla 1
Casilla 2
Casilla 3
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
En total, 8 combinaciones diferentes.
2. Se espera que los/as estudiantes construyan la tabla respectiva o generen
alguna otra estrategia de conteo, obteniendo 33 = 27 combinaciones.
3. La situación se modela de igual manera que en la pregunta anterior, ya que
cada casilla tienen tres opciones diferentes, es decir, se obtiene la misma
cantidad: 27 combinaciones.
4. Se sugiere recordar, en caso de ser necesario, el concepto de potencia
construido en 7° básico a partir de las potencias de base 10, y proponer a los/as
estudiantes pensar en algún número que multiplicado por sí mismo una cantidad
determinada de veces dé como resultado las cantidades calculadas.
5. Se sugiere buscar con los/as estudiantes ciertas regularidades a partir de las
tablas, estrategias y cálculos desarrollados en las preguntas anteriores,
conjeturando que deben haber 104 = 10.000 combinaciones en total.
6. Se sugiere nuevamente buscar con los/as estudiantes ciertas regularidades en
los cálculos y estrategias realizadas anteriormente, conjeturando que si se agrega
una casilla más al candado el total de combinaciones será 105 = 100.000, por lo
que para superar ese número se requiere una casilla más, es decir, un candado
con 6 casillas.
102
SITUACIÓN 2, PÁGINA 47, TEXTO DEL ESTUDIANTE
SITUACIÓN 3, PÁGINA 47, TEXTO DEL ESTUDIANTE
103
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
15
concretas, pictóricas
y
Representar multiplicación de potencias de igual base y
exponente natural hasta 3.
Representan pictóricamente la multiplicación de potencias de
igual base o de igual exponente natural hasta 3.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(10 minutos)
1. Comience la clase formando grupos de trabajo y proponiendo a sus
estudiantes el siguiente desafío:
“¿Se pueden escribir los siguientes productos como una sola potencia? ¿Cuál?”
a) 2 2 ⋅ 2 3
b) 3 2 ⋅ 2 2
Respuesta: 2 2 ⋅ 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 5 y 3 2 ⋅ 2 2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = (3 ⋅ 2 ) ⋅ (3 ⋅ 2 ) = 6 ⋅ 6 = 6 2
2. Realice una pequeña plenaria en la que los/as estudiantes puedan mostrar
estrategias para abordar el desafío.
3. Sin calcular, intente escribir como una sola potencia los siguientes productos
y luego compruebe con calculadora sus resultados:
a) 3 2 ⋅ 33
b) 5 2 ⋅ 7 2
Respuesta: 3 2 ⋅ 33 = 35 y 5 2 ⋅ 7 2 = 35 2
4. Elabore junto a sus estudiantes algunas conjeturas respecto a las
multiplicaciones analizadas (poniendo énfasis en multiplicaciones de potencias
de igual base por un lado y de potencias de igual exponente por otro) y
regístrelas en la pizarra).
104
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS
1. Proponga a sus estudiantes abordar en grupos las situaciones 1 y 2 de las
páginas 52 y 53 del “Texto del estudiante” (se encuentran anexas al final de
esta clase).
2. Retome las conjeturas registradas en la pizarra y compruebe junto a ellos/as
si se cumplen, reformulándolas en caso de ser necesarias.
3. Pídales que comprueben sus conjeturas abordando en grupos la situación 3
de la página 53 del “Texto del estudiante” (se encuentra anexa al final de esta
clase).
4. Concluya elaborando en conjunto con sus estudiantes las propiedades que
cumplen la multiplicación de potencias de igual base y la multiplicación de
potencias de igual exponente.
En conclusión:
La experiencia anterior nos lleva a concluir las siguientes propiedades para
la multiplicación de potencias:
Multiplicación de potencias de igual base
Al multiplicarlas, el resultado será la misma base elevada a la suma de los
exponentes de cada una, es decir:
Si a, x, y ∈ N , entonces a x ⋅ a y = a x + y
Multiplicación de potencias de igual exponente
Al multiplicarlas, el resultado será la multiplicación de las bases elevada al
exponente que tienen en común, es decir:
Si a, b, x ∈ N , entonces a x ⋅ b x = (a ⋅ b )x
Práctica Guiada:
(20 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 54,
ejercicios 4, 5, 7 y 10), modelando los siguientes ejercicios:
105
Respuesta:
a) 15 mm
b) 152 = 225 cuadraditos.
c) 5 mm
d) 52 = 25 cuadraditos.
e) Esta pregunta debe ser corregida, pues lo que se espera es contar la
cantidad de cuadritos de 1mm de lado a partir de los cuadrados ABCD y BEFG.
Por tanto, en lugar de pedir expresar el resultado como un producto de
potencias, pida a sus estudiantes que una vez resuelta la pregunta sobre
cuántos cuadrados BEFG se necesitan para formar el cuadrado ABCD, indiquen
como a partir del cuadrado BEFG es posible calcular la cantidad de cuadraditos
de lado 1 mm que tiene el cuadrado ABCD (usando multiplicación de potencias).
106
En este caso, dado que se necesitan 9 = 32 cuadrados BEFG para formar el
cuadrado ABCD, la respuesta es:
3 2 ⋅ 5 2 = (3 ⋅ 5) = 15 2
2
Respuesta: Aborde solo los ejercicios a, e, g y h:
a) 5 3 ⋅ 5 2 = 5 3+ 2 = 5 5 = 3.125
e) 6 2 ⋅ 7 2 = (6 ⋅ 7 )2 = 42 2 = 1.764
g) 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 2+ 2+ 2 = 2 6 = 64
h) 4 2 ⋅ 5 2 ⋅ 3 2 = (4 ⋅ 5 ⋅ 3)2 = 60 2 = 3.600
Respuesta: Aborde solo los ejercicios a y f:
a) 4 ⋅ 2 ⋅ 8 = 2 2 ⋅ 21 ⋅ 2 3 = 2 6
f) 25 ⋅ 5 ⋅ 125 = 5 2 ⋅ 51 ⋅ 5 3 = 5 6
107
Respuesta:
a) Basta multiplicar 8 ⋅ 16 , es decir, 8 ⋅ 16 = 2 3 ⋅ 2 4 = 2 7 = 128 discos.
b) Dentro de 2 años tendrá 16, por lo que el doble de esta edad es 32. Luego, su
cuadrado es 32 2 = 32 ⋅ 32 = 2 5 ⋅ 2 5 = 210 = 1.028 .
c) Basta multiplicar
espectadores.
12 ⋅ 144 ,
es
decir,
12 ⋅ 144 = 121 ⋅ 12 2 = 12 3 = 1.728
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 54 y 55
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 3 al 7, ejercicio 10). Puede
proponer los ejercicios 11 y 12 como desafío o ejercitación complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Explique con sus palabras la propiedad de:
a) Multiplicación de potencias de igual base.
b) Multiplicación de potencias de igual exponente.
2. Dé un par de ejemplos para cada una de las propiedades explicadas en la
pregunta anterior.
108
109
SITUACIÓN 1, PÁGINA 52, TEXTO DEL ESTUDIANTE
110
SITUACIÓN 2, PÁGINA 53, TEXTO DEL ESTUDIANTE
SITUACIÓN 3, PÁGINA 53, TEXTO DEL ESTUDIANTE
111
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
16
concretas, pictóricas
y
Conjeturar y aplicar propiedades de multiplicación y división de
potencias.
 Representan la división de potencias de igual base o de igual
exponente natural hasta 3.
 Descubren, comunican y aplican las propiedades de la
multiplicación y división de potencias.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience la clase proponiendo el siguiente desafío:
“Un terreno cuadrado de 24 cm de lado se quiere cubrir completamente con
baldosas cuadradas de 2 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se necesitan?”
Respuesta: Se sugiere dejar a los/as estudiantes generar sus propias
estrategias para abordar el problema. Éste se puede modelar formando un
cuadrado de 24 x 24 y en cerrando dentro de él cuadrados de 2 x 2, obteniendo
12 filas de 12 cuadrados de 2 x 2, es decir, 144 en total.
2. Realice una pequeña plenaria en la que los/as estudiantes puedan exponer
sus respuestas e ideas al desafío, buscando concluir como curso que la
respuesta es 144 baldosas.
3. Tomando en cuenta el desafío inicial, ¿cuál es el resultado de 242 : 22?
Justifique.
Respuesta: En caso de ser necesario, busque orientar a los/as estudiantes
sobre el significado que tiene esta división como reparto de 242 (un cuadrado de
24 x 24) entre 22 (un cuadrado de 2 x 2), concluyendo en que se obtiene un
nuevo cuadrado de 12 x 12 (12 filas de 12 cuadraditos de 2 x 2), es decir:
242 : 22 = 122
4. Proponga a sus estudiantes la situación 1 de la página 56 del “Texto del
estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase).
112
5. Finalice pidiendo a sus estudiantes que conjeturen una propiedad sobre la
división de potencias de igual exponente.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
DIVISIÓN DE POTENCIAS
1. Pida a sus estudiantes que comprueben sus conjeturas de la actividad
anterior calculando los siguientes ejemplos:
2. Sintetice la propiedad de división de potencias de igual exponente junto a
sus estudiantes:
“Al dividir dos potencias de igual exponente, se dividen las bases y se eleva el
resultado al exponente en común”
3. Proponga a sus estudiantes abordar en parejas la situación 2 de la página 57
del “Texto del estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase).
4. Finalice sintetizando la actividad anterior, pidiendo a sus estudiantes que
enuncien la propiedad de división de potencias de igual base:
“Al dividir dos potencias de igual base, el resultado es la base común elevado a
la resta de los exponentes”
En conclusión:
La experiencia anterior nos lleva a concluir las siguientes propiedades para
la división de potencias:
División de potencias de igual base
Al divdirlas, el resultado será la misma base elevada a la resta de los
exponentes de cada una, es decir:
Si a, x, y ∈ N , entonces a x : a y = a x − y
División de potencias de igual exponente
Al dividirlas, el resultado será la división de las bases elevada al exponente
que tienen en común, es decir:
Si a, b, x ∈ N , entonces a x : b x = (a : b )x
113
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 57,
ejercicios 5 al 8), modelando los siguientes ejercicios:
Respuesta: Resuelva solo ejercicios a, c y e:
a) 8 3 : 2 3 = (8 : 2 )3 = 4 3 = 64
c) 5001 : 1251 = (500 : 125)1 = 41 = 4
e) (30 6 : 5 6 ) : 36 = (30 : 5)6 : 36 = 6 6 : 36 = (6 : 3)6 = 2 6 = 64
Respuesta: Resuelva solo ejercicios a, c y e:
a) 5 3 : 5 2 = 5 3− 2 = 51 = 5
c) 100 3 : 100 2 = 100 3− 2 = 1001 = 100
e) (6 : 3)4 : 2 4 = 2 4 : 2 4 = 2 0 . En este momento se puede introducir la idea intuitiva
de una potencia de exponente 0, entendiendo que al ser divisor y dividendo el
mismo, el cociente debe ser 1, obteniendo en este caso 20 = 1.
114
Respuesta: Resuelva solo ejercicios a y d:
a) 7 3 : 49 = 7 3 : 7 2 = 71 = 7
d) 81 : 27 = 3 4 : 33 = 3 4−3 = 31 = 3
Respuesta: Resuelva solo ejercicios a, c y e:
2 2 ⋅ 2 23
a)
=
= 2 3 : 21 = 2 3−1 = 2 2 = 4
2
2
c)
5 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 4 58
= 5 = 58 : 5 5 = 58−5 = 5 3 = 125
55
5
e)
2 2 ⋅ 53 ⋅ 2 4 ⋅ 53 2 6 ⋅ 56
= 5 5 = 21 ⋅ 51 = 101 = 10
5
5
2 ⋅5
2 ⋅5
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 57 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1 al 9). Puede proponer los
problemas del ejercicio 10 como desafío o ejercitación complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
115
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Resuelva los siguientes ejercicios, expresando el resultado como una sola
potencia:
610
a) 5 5
18 : 3
b)
14 8 : 14 5
73
RESPUESTAS:
a) 6 5
b) 1
116
SITUACIÓN 1, PÁGINA 56, TEXTO DEL ESTUDIANTE
117
SITUACIÓN 2, PÁGINA 57, TEXTO DEL ESTUDIANTE
118
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
17
Habilidades: Describir relaciones y situaciones matemáticas usando símbolos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
 Definir potencias de exponente cero.
 Conjeturar y aplicar propiedad de potencia de una potencia.
 Descubren, comunican y aplican las propiedades de la
multiplicación y división de potencias, potencia de una
potencia, incluyendo el significado del exponente cero, en
forma pictórica o simbólica.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(10 minutos)
1. Comience la clase recordando las propiedades de división de potencias de
igual base. Luego, proponga a sus estudiantes calcular las siguientes divisiones
de potencias:
a) 23 : 23 =
b) 42 : 42 =
c) 54 : 54 =
Respuesta: En cada caso el resultado es 1. Éste puede ser visto como la
división de un número por sí mismo.
2. Si aplicamos las propiedades de las potencias, ¿cuál sería el resultado de
cada una escrito en notación de potencia?
Respuesta: 20, 40 y 50.
3. ¿Qué puede conjeturar respecto a una potencia de base natural y exponente
cero?
Respuesta: Su valor siempre será 1, ya que puede verse como el resultado de la
división de dos potencias iguales.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
POTENCIAS DE EXPONENTE CERO
Sintetice la experiencia de la actividad anterior formalizando que toda potencia
119
de base natural elevado a cero es igual a 1.
POTENCIA DE UNA POTENCIA
1. Proponga a sus estudiantes el siguiente ejercicio:
( )
“¿Cómo podemos escribir la potencia 2 5
3
como una sola potencia?”
Respuesta: Indague en posibles estrategias a seguir por parte de sus
estudiantes.
2. Según la definición de potencias, ¿qué indica el exponente 3?
Respuesta: conduzca a sus estudiantes a recordar que el exponente indica la
cantidad de veces que debe ser multiplicada por sí mismo el número que se
está elevando. Concluya en que en este caso indica:
(2 )
5 3
= 25 ⋅ 25 ⋅ 25
3. Recuerde la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base y pida
a sus estudiantes que expresen el resultado anterior como una sola potencia.
( )
Respuesta: 2 5
3
= 2 5 ⋅ 2 5 ⋅ 2 5 = 215
4. Pida a sus estudiantes que repliquen la misma estrategia con las siguientes
expresiones:
a)
b)
c)
(2 )
(3 )
(5 )
4 2
3 4
4 5
Respuesta: 2 8 , 312 , 5 20 , respectivamente.
5. Pida a sus estudiantes que analicen las potencias de potencias calculadas y
que elaboren una conjetura respecto a una posible propiedad que cumplan.
6. Finalice concluyendo junto a sus estudiantes la propiedad de una potencia de
una potencia.
120
En conclusión:
De las actividades anteriores se pueden establecer las siguientes
propiedades de las potencias:
Potencia de exponente cero
Toda potencia de base natural y exponente cero es igual a 1, es decir:
Para todo a ∈ N , a 0 = 1
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia se puede expresar como una sola potencia,
manteniendo la base y multiplicando los exponentes, es decir:
( )
Si a, x, y ∈ N , entonces a x
Práctica Guiada:
y
= a xy
(20 minutos)
Comience pidiendo a sus estudiantes que expresen como una sola potencia las
siguientes expresiones:
a)
b)
c)
d)
(4 )
(3 )
((2 ) )
(123 )
3 2
5 4
3
4 5
5 0
Respuesta:
a) 4 6
b) 3 20
c) 2 60
d) 1
Luego, considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante”
(página 61, ejercicios 3 al 5), modelando los siguientes ejercicios:
121
Respuesta: Modele solo a, c y e:
a) 25 0 : 1 = 1 : 1 = 1
c) 38 0 + 20 0 = 1 + 1 = 2
e) 108 0 ⋅ 7 0 = 1 ⋅ 1 = 1
Respuesta: Modele solo a y b:
a) Por ejemplo, 30 = 3 2− 2 = 3 2 : 3 2
b) Por ejemplo, 4 0 = 4 5−5 = 4 5 : 4 5
Respuesta: Modele solo a:
33 ⋅ 3 0 33 ⋅ 1 33
a)
=
= 1 = 33−1 = 3 2
3
3
3
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Comience pidiendo a sus estudiantes que expresen como una sola potencia las
siguientes expresiones:
( )
a) 5 6
2
122
( )
((3 ) )
(2 ) ⋅ (2 )
b) 7 4
c)
d)
3
2
2 1
2 4
3 5
Respuestas:
a) 512
b) 712
c) 3 4
d) 2 23
Luego, proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 61
no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1 al 8). Puede proponer el
ejercicio 9 como desafío.
Además, se sugiere considerar los ejercicios propuestos en la página 25 del
“Cuadernillo de ejercicios”, ítems 1 al 4.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Determine la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes igualdades:
RESPUESTAS:
Verdaderas: c, e, f, g.
Falsas: a, b, d.
123
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
18
Habilidades: Presentar ideas propias y soluciones utilizando palabras,
gráficos y símbolos.
Objetivo:
Resolver ejercicios rutinarios y problemas relativos a potencias.
Indicadores
de
evaluación
 Resuelven ejercicios rutinarios, aplicando la multiplicación, la
división y la potenciación de potencias.
 Relacionan situaciones reales con multiplicación, división y
potencias de potencias.
 Representan la potencia de potencias de manera concreta
(combinación de máquinas que amplifican imágenes).
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience la clase proponiendo a sus estudiantes la SITUACIÓN INICIAL que
se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Comente la actividad, recordando la propiedad de potencia de una potencia.
3. Recuerde la definición de potencia de exponente cero (base natural) y
pregunte a sus estudiantes:
¿Es posible definir 00?
Respuesta: Pida a sus estudiantes que recuerden por qué toda potencia de
base natural y exponente cero es igual a 1, buscando aplicar estos resultados
cuando la base es 0 y concluyendo que equivale a definir la división por 0, la
cual está indefinida. Por ejemplo:
00 = 01-1 = 01 : 01 = 0 : 0
Por lo tanto, 00 no se puede definir, ya que la división por 0 no es posible
definirla (para justificar este último hecho, puede recurrir a la definición de
división y preguntar a sus estudiantes: si el resultado de la división debe ser un
único número que al multiplicarlo por el divisor dé el dividendo, ¿qué número
multiplicado por 0 da 0? Hay infinitos posibles resultados, pues cualquier
número multiplicado por 0 da como resultado 0, por lo que no es posible definir
dicho cociente).
124
Presentación de la nueva información:
(5 minutos)
Esta clase ha sido pensada para ejercitar sobre las propiedades de las
potencias estudiadas en clases anteriores, aplicadas en la resolución de
problemas rutinarios y resolución de algunos problemas en contexto.
Para ello, recuerde junto con sus estudiantes las propiedades de las potencias
vistas en clase y anótelas en un rincón de la pizarra:
1.
2.
3.
4.
Multiplicación y división de potencias de igual base.
Multiplicación y división de potencias de igual exponente.
Potencia de una potencia.
Potencias de base natural y exponente cero.
Práctica Guiada:
(25 minutos)
Para esta clase considere los ejercicios propuestos en el “Cuadernillo de
ejercicios”. Modele los siguientes:
Página 21
Respuesta:
a) Si, ya que 2 3 ⋅ 33 = (2 ⋅ 3)3 = 6 3
b) No, ya que 4 2 ⋅ 7 2 = (4 ⋅ 7 )2 = 28 2
c) No, ya que 5 4 ⋅ 5 4 = (5 ⋅ 5)4 = 25 4
Página 22
125
Respuesta: La base se puede escribir como 25. Luego, el área es:
( )
82 ⋅ 25 = 23
2
⋅ 2 5 = 2 6 ⋅ 2 5 = 211 cm2
Página 23
Respuesta:
a) 5 2 ⋅ 10 3
( )
b) 58 ⋅ 2 4 = 5 2
4
⋅ 2 4 = 25 4 ⋅ 2 4 = 50 4
Respuesta:
a) x = 5
126
b) x = 8
c) x = 4
d) x = 2
e) x = 9
Página 24
Respuesta: Basta dividir 125 en 24, obteniendo 6 4 ⋅ 12 = 6 5 ⋅ 2
Página 25
Respuesta:
a) 2 7 : 5 0 = 2 7 : 1 = 2 7 = 256
b) 1, pues toda base natural elevada a 0 es 1.
127
Respuesta:
a) No, ya que la base resulta ser un número natural, por lo que al elevarla a cero
el resultado será 1.
b) No, ya que cualquier número distinto de cero multiplicado por sí mismo una
determinada cantidad de veces nunca dará como resultado cero.
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar la práctica independiente abordando los
siguientes ejercicios del “Cuadernillo de ejercicios”:
Página 21, ítems 4 y 8
Página 22, ítem 9 (problemas j, k)
Página 23, ítems 1, 5, 6
Página 24, ítem 8 (problemas b, h, i)
Página 25, ítems 2, 3, 8
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Invente y resuelva un ejercicio que involucre todas las propiedades de las
potencias estudiadas en clase, es decir:
1. Multiplicación y división de potencias de igual base.
128
2. Multiplicación y división de potencias de igual exponente.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencias de base natural y exponente cero.
129
SITUACIÓN INICIAL
El dibujo muestra tres cuadrados compuestos de cuadrículas. El primer cuadrado
representa la potencia 22.
1. Considerando la subdivisión del cuadrado verde en 4 cuadrados medianos,
¿qué potencia de exponente 2 representa el cuadrado verde?
2. Considerando la subdivisión del cuadrado celeste en 4 cuadrados grandes,
¿qué potencia de exponente 2 representa el cuadrado celeste?
3. Determine el número de cuadrículas en el cuadrado verde y en el cuadrado
celeste.
4. ¿Cómo escribiría los resultados de las preguntas 1 y 2 como potencia de una
potencia?
RESPUESTAS
1. Puede ser pensado como 42, o bien como el cuadrado del cuadrado anterior, es
( )
decir, 2 2
2
2. Puede ser pensado como 82, o bien como el cuadrado del cuadrado anterior, es
( )
decir, 4 2
2
(( ) ) .
o 22
2 2
3. Cuadrado verde tiene 16 cuadrículas, mientras que el cuadrado celeste tiene 64
cuadriculas.
( )
4. 2 2
2
( )
para la pregunta 1 y 4 2
2
(( ) )
o 22
2 2
130
para la pregunta 2.
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
20
Habilidades: Describir relaciones y situaciones matemáticas usando símbolos.
Objetivo:
Definir raíz cuadrada y estimar su valor.
Indicadores
de
evaluación
Estiman en cm, hasta el primer decimal, el largo de un cuadrado
cuya área en cm2 no tiene un número cuadrado, y comparan la
estimación con multiplicación por sí mismo, utilizando la
calculadora.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience la clase formando grupos de trabajo y proponiendo a sus
estudiantes realizar la SITUACIÓN INICIAL, inspirada en la situación 1 del
“Texto del estudiante”, que se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Realice una plenaria final a esta actividad, rescatando algunos conceptos
como:
 Cuadrado perfecto: Pida a sus estudiantes que identifiquen a cuáles
cuadrados perfectos y por qué se llaman así.
 Raíz cuadrada: Comente a sus estudiantes que este concepto, nuevo y
que definiremos formalmente en este clase, se puede entender como el
lado que se buscó en la actividad del cuadrado dado.
Presentación de la nueva información:
(25 minutos)
RAÍZ CUADRADA
1. Comience retomando la actividad anterior y comente a sus estudiantes:
 En la actividad se puede concluir que 12 es la raíz cuadrada de 144, pues
122 = 144.
 Del mismo modo, se puede concluir que 15 es la raíz cuadrada de 225,
pues 152 = 225.
 ¿Cuál es la raíz cuadrada de 196? ¿Y de 961?
Respuesta: 14 y 31, respectivamente.
131
2. Proponga a sus estudiantes abordar la situación 2 de la página 63 del
“Texto del estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase). Luego,
pregunte a sus estudiantes: ¿cómo definirían hasta ahora el concepto de raíz
cuadrada?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes relacionen la raíz cuadrada con el
lado del cuadrado al que le conocen su área.
3. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya área es 80 m2? Justifique
su respuesta.
Respuesta: Busque generar debate acerca de la existencia de dicha raíz
cuadrada, cuestionando a sus estudiantes si es necesario que la raíz cuadrada
sea un número entero.
4. ¿Cuál es el número decimal, con un decimal, cuyo cuadrado es más cercano
a 80? ¿Y con 2 decimales? ¿Y con 3 decimales?
Respuesta: El valor aproximado con 3 decimales es 8,944. No obstante, resulta
interesante proponer a sus restudiantes comprobar con la calculadora, por
ejemplo, cuál resultado es más cercano, 8,92 o 92, 8,942 o 8,952, etc.
5. Concluya que la raíz cuadrada de 80 sí existe, solo que no es un número
entero, y que podemos obtener cada vez mejores aproximaciones de ella
(proponga a sus estudiantes estimar su valor con varios decimales mediante el
uso de la calculadora y el símbolo de la raíz cuadrada).
6. Pregunte a sus estudiantes: ¿cómo definirían raíz cuadrada?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes reafirmen sus definiciones previas
o bien la reestructuren, asociando el concepto de traíz cuadrada al de la medida
del lado de un cuadrado al que se le conoce su área, junto con aquel número
que al cuadrado da como resultado el número dado.
7. Finalice formalizando el concepto de raíz cuadrada e instaurando el símbolo
que en matemáticas se usa para su notación:
132
En conclusión:
 La raíz cuadrada puede ser entendida como la medida del lado de un
cuadrado al que se le conoce su área.
 Es decir, si A es un número positivo, entonces la raíz cuadrada de A
es un número que al cuadrado debe dar como resultado A.
 En matemática, la raíz cuadrada se designa con el símbolo
. Por
ejemplo:
16 = 4 , pues 4 2 = 16
1 = 1 , pues 12 = 1
80 = 8,944...
 La raíz cuadrada de un número natural no siempre es un número
entero. De hecho, las únicas raíces cuadradas que dan como
resultado un número natural son las raíces cuadradas de los
cuadrados perfectos.
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 64,
ejercicios 4, 5 y 6), modelando los siguientes ejercicios:
Respuesta: Modele los dos primeros y luego pida a sus estudiantes que ayuden
133
a completar el resto de la tabla:
Área
(cm2)
Cuadrado
(Sí/No)
Lado del cuadrado
(cm)
49
Sí
7
25
Sí
5
30
No
---
40
No
---
64
Sí
8
80
No
---
100
Sí
10
Respuesta: Modele solo a, d y g. Promueva el uso de la calculadora para
estimar y para comparar con la tecla directa de raíz cuadrada.
a) 11
b) 26
c) 29
134
Respuesta: Modele solo a, b y d:
a) 9, pues 32 = 9
b) 121, pues 112 = 121
d) 0, pues 02 = 0
Práctica Independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 64 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1 al 6).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justifique las
falsas.
RESPUESTAS:
Verdaderas: c) y d).
Falsas: a), pues por ejemplo la raíz cuadrada de 80 no es un número entero,
como se vio en clases.
b), ya que la raíz cuadrada de 1 es 1, es decir, no siempre es menor.
135
136
SITUACIÓN INICIAL
Guadalupe compró un rompecabezas de animales para sus hermanos pequeños.
En la caja del rompecabezas dice que vienen 144 piezas y que su forma, una vez
armado, es la de un cuadrado.
1. ¿Por cuántas piezas estará formado el lado de este rompecabezas cuadrado?
2. El hermano de Guadalupe compró un rompecabezas cuadrado de 196 piezas.
¿Por cuántas piezas estará formado el lado de este rompecabezas?
3. Si se tiene un rompecabezas de 80 piezas, todas del mismo tamaño, ¿pueden
corresponder a las de un rompecabezas cuadrado? Justifique.
4. Si se desea construir un rompecabezas cuadrado que tenga 3 piezas más por
lado que el de Guadalupe, ¿cuántas piezas más tendrá este rompecabezas en
comparación con el de Guadalupe?
5. ¿Cuántas piezas tendrá el rompecabezas cuadrado más grande posible de
construir (considerando todas las piezas de igual tamaño) que tenga menos de
1.000 piezas?
RESPUESTAS
1. Se sugiere realizar una tabla en la que se analicen los totales de piezas que
tienen los distintos rompecabezas cuadrados posibles de acuerdo al número de
piezas que tiene su lado. De esta forma, se obtiene que 122 = 144, por lo que el
lado del rompecabezas tendrá 12 piezas.
2. Siguiendo la misma idea de la pregunta anterior, se concluye que 142 = 196, por
lo que el lado de este rompecabezas tiene 14 piezas.
3. No, ya que 82 = 64 y 92 = 81, es decir, no hay un número natural que al
cuadrado dé como resultado 80, por lo que no es posible armar su lado con una
cantidad exacta (entera) de piezas.
4. El de Guadalupe tiene 12 piezas por lado, por lo que el rompecabezas pedido
tendrá 15 piezas por lado. Luego, la diferencia de piezas entre los rompecabezas
es:
225 – 144 = 81 piezas adicionales
5. Para esta pregunta promueva el uso de la calculadora. De todos modos, se
puede aproximar al resultado calculando algunos cuadrados, como por ejemplo
302 = 900. Esto da una idea de que el número buscado debe ser cercano y mayor
a 30. Como 312 = 961 y 322 = 1.024, se concluye que el mayor rompecabezas
cuadrado con menos de 1.000 piezas tiene 312 = 961 piezas.
137
SITUACIÓN 2, PÁGINA 63, TEXTO DEL ESTUDIANTE
138
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
21
concretas, pictóricas
y
Ubicar raíces cuadradas de forma aproximada en la recta
numérica.
 Ubican la posición aproximada de raíces no exactas en la
recta numérica.
 Calculan el perímetro en situaciones de la vida diaria que
involucran cuadrados; por ejemplo: áreas de deporte,
escenarios, parques, etc.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience la clase proponiendo la siguientes situación:
“Miguel y Arturo discuten sobre el valor correcto de 16 . Por un lado, Miguel
dice que es -4, ya que al multiplicar (-4) x (-4) se obtiene como resultado 16.
Arturo en cambio dice que es 4, ya que ese es el resultado que le dio su
calculadora”
Pida a sus estudiantes que analicen esta situación y decidan sobre si alguno o
ambos tienen la razón.
Respuesta: Si bien es cierto que (-4) x (-4) = 16, el concepto intuitivo de raíz
cuadrada tiene relación con la medida del lado de un cuadrado del que se
conoce su área, razón por la cual su definición la establece como un número no
negativo. Es decir, no puede ser -4.
2. Recuerde junto a sus estudiantes la definición de raíz cuadrada, poniendo
énfasis en su origen geométrico:
 Geométricamente se puede entender como la medida del lado de un
cuadrado del cual se conoce su área.
 Corresponde a un número (no negativo) que al cuadrado dé como
resultado el número del que se dispone.
3. Luego, proponga a sus estudiantes abordar los ejercicios 7 y 8 de la página
139
64 del “Texto del estudiante” (se encuentran anexos al final de esta clase).
4. Finalice preguntando: Si tuvieran que ubicar 10 en la siguiente recta
numérica, más o menos en qué lugar la ubicarían (justifique):
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes, a partir de las actividades previas
con el libro, sitúen a 10 entre 3,1 y 3,2, obteniendo así una idea de más o
menos donde ubicarla en la recta numérica.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
UBICACIÓN DE RAÍCES CUADRADAS EN LA RECTA NUMÉRICA
1. Comience rescatando de las actividades del libro que una estrategia básica
para ubicar raíces cuadradas en la recta numérica es situarlas entre dos
números enteros consecutivos (cuando no son raíces cuadradas exactas).
Modele esta estrategia mediante algunos ejemplos, como:
3 < 10 < 4
4 < 17 < 5
6 < 45 < 7
Ponga énfasis en la búsqueda de cuadrados perfectos para situarlas.
2. Proponga a sus estudiantes abordar las actividades de la Situación 1 de la
página 66 del “Texto del estudiante” (se encuentra anexa al final de esta
clase).
3. Finalice comentando a sus estudiantes que la cantidad a la cual se le calcula
la raíz cuadrada (es decir, la cantidad que se encuentra “adentro” del símbolo de
la raíz cuadrada) se denomina cantidad subradical. Luego, sintetice los
siguientes aspectos:
140
En conclusión:
Para ubicar raíces cuadradas en la recta numérica se deben considerar los
siguientes aspectos:
 Si la raíz cuadrada es exacta, entonces se debe buscar el número
natural correspondiente en la recta numérica y ubicarla en ese lugar.
 Si la raíz cuadrada no es exacta, se debe estimar su valor aproximado
recurriendo a números decimales, dando así una ubicación
aproximada de ésta.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 67,
ejercicios 2, 3 y 5), modelando los siguientes ejercicios:
Respuesta: Aborde solo a y b:
a) 0, pues 02 = 0.
b) 4, pues 42 = 16.
141
Respuesta: Aborde solo a y d:
a) Primero buscamos dos cuadrados perfectos consecutivos cercanos a 5: 4 y 9.
Luego, su valor está entre 2 y 3. Como es más cercano a 4 que a 9, iremos
aproximando desde 2,1 en adelante:
2,12 = 4,41
2,22 = 4,84
2,32 = 5,29
De estas tres, la mejor aproximación es 2,2 (pues su cuadrado es más cercano
a 5 que el cuadrado de las otras dos).
d) Primero buscamos dos cuadrados perfectos consecutivos cercanos a 80: 64 y
81. Luego, su valor está entre 8 y 9. Como es más cercano a 81 que a 64,
iremos aproximando desde 9 hacia abajo:
92 = 81
8,92 = 79,21
De estas, la mejor aproximación es 8,9 (pues su cuadrado es más cercano a 80
que el cuadrado de 9).
Respuesta: Aborde solo a y c:
a) Si el área del cuadrado es 256 cm2, entonces su lado mide
Luego, su perímetro es 4 x 16 = 64 cm.
c) Como el área es 289 m2, el lado del terreno mide
142
256 = 16 cm.
289 = 17 m. Luego, debe
cercar un total de 4 x 17 = 68 m, por lo que deberá gastar 68 x 7.500 =
$510.000.
Práctica Independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 67 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1 al 7). Puede proponer el ejercicio
8 como tarea-desafío.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Escriba tres raíces cuadradas que se puedan ubicar en la recta numérica
entre las posiciones del 7 y del 9.
2. Escriba tres ejemplos de raíces cuadradas en que la cantidad subradical no
sea un cuadrado perfecto.
3. Estime el valor de
7 con un decimal y ubíquelo en una recta numérica.
RESPUESTAS:
1. Se espera que los/as estudiantes identifiquen raíces cuadradas de números
naturales, siendo válidas cualquier raíz cuadrada de los números 50 al 80.
2. Puede ser cualquier raíz cuadrada de un número natural que no sea un
cuadrado perfecto.
3. Aproximadamente 2,6.
143
EJERCICIOS 7 Y 8, PÁGINA 64, TEXTO DEL ESTUDIANTE
144
SITUACIÓN 1, PÁGINA 66, TEXTO DEL ESTUDIANTE
145
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
Habilidades:
Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
22
Resolver problemas rutinarios y de la vida diaria que involucran
raíces cuadradas
 Resuelven problemas de transformación de rectángulos (u
otras figuras 2D) en cuadrados del mismo contenido del área,
calculando el lado del cuadrado.
 Aplican la raíz cuadrada en la solución de problemas de la
vida cotidiana o de ciencias.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Forme grupos de trabajo y proponga a sus estudiantes las actividades de la
SITUACIÓN INICIAL que se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Concluya comentando a sus estudiantes que en esta clase se ejercitará el
concepto de raíz cuadrada, en ejercicios rutinarios y en problemas de la vida
diaria.
Práctica Guiada:
(20 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Cuadernillos de ejercicios”,
modelando los siguientes ejercicios:
Página 26
146
Respuesta: Aborde solo a y b:
a) 12 cm.
b) Hay más de una respuesta. Estas son todas:
4 x 225
9 x 100
25 x 36
900 x 1
Página 27
Respuesta: Modele solo a y c:
a) 2,6
147
b) 3,5
Respuesta: Modele solo a, b y c:
a) Falsa, ya que 62 =36.
b) Falsa, ya que 1 < 3 < 4 → 1 < 3 < 4 → 1 < 3 < 2
c) Falsa, ya que
0 =0
Página 29
Respuesta: Solo aborde problemas a, b y c:
a) 18 mm, ya que 182 = 324.
b) El lado de la parcela mide 200 m, por lo que su perímetro es de 800 m.
148
Luego, se utilizó 5 x 800 = 4.000 m de alambre.
c) Primero calculamos P:
P = 3 ⋅ 16 + 9 + 2 3 + 25 = 48 + 3 + 8 + 5 = 64
Luego,
64 = 8 .
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios no abordados en la
Práctica Guiada:
Página 26, ítems 2, 5 y 6.
Página 27, ítems 2, 5, 6, 7 y 8
Página 29: Problemas a) al g).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Andrea está haciendo su tarea de Matemática. Ahí le piden calcular el valor de
5 y lo hace de la siguiente forma:
4<5<9→ 4 < 5 < 9 →2< 5 <3
Por lo tanto,
5 = 2,5 .
¿Es correcto el cálculo de Andrea? Justifique su respuesta, dando el resultado
en caso de ser incorrecto.
RESPUESTA:
No es correcto, ya que si bien
5 se ubica entre 2 y 3, no es correcto que esté
justo en la mitad de ellos. De hecho, 2,52 = 6,25. El valor aproximado de
redondeando a un decimal, es 2,2.
149
5,
150
SITUACION INICIAL
1. A partir de las áreas dadas en la columna de la izquierda, determine si es
posible que la figura tenga la forma de un cuadrado con lado de medida un
número natural y completan la tabla.
2. Tres terrenos con forma cuadrada tienen las siguientes áreas:
a) 50 m2
b) 20 m2
c) 80 m2
Estime con un decimal la medida de los lados de cada uno de ellos.
RESPUESTAS
1.
Área dada (m2)
Forma:
De Si
es Ejemplo concreto para la forma
cuadrado/ o no cuadrado:
detectada y el área dada
Lado
del
cuadrado
cuadrado
6.500
No cuadrado
4.900
Cuadrado
800
No cuadrado
144
Cuadrado
12 m
Cuadrado de 12 x 12
64
Cuadrado
8m
Cuadrado de 8 x 8
264
No cuadrado
2. a) 7,1
Rectángulo de 65 x 100
70 m
Cuadrado de 70 x 70
Rectángulo de 8 x 100
Rectángulo de 8 x 33
b) 4,5
c) 8,9
151
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
Habilidades:
Resolver problemas utilizando herramientas computacionales.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
23
Resolver ejercicios que involucren potencias y raíces cuadradas
en la plataforma Khan Academy.
Resuelven ejercicios que involucren potencias
cuadradas en la plataforma Khan Academy.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
y
raíces
(5 minutos)
Esta clase ha sido pensada para la ejercitación general sobre potencias y raíces
cuadradas. Para ello, se ha pensado en una clase dedicada al trabajo con Khan
Academy, de manera que se puedan ejercitar en la plataforma los contenidos
antes mencionados. En caso de disponer de tiempo, se sugiere complementar
esta clase con ejercitación con el “Cuadernillo de ejercicios” (principalmente
la resolución de problemas).
Práctica Independiente:
(60 minutos)
Proponga a sus estudiantes las siguientes actividades de Khan Academy:
Busque en Tema: Preálgebra -> Exponentes, radicales y notación científica
Exponentes:
 Exponentes (básico) (práctica)
 Exponentes (práctica)
Cuestionario #1
Raíces cuadradas
 Raíces cuadradas (práctica)
 Aproximar raíces cuadradas (práctica)
 Simplifica raíces cuadradas (práctica)
152
Propiedades de los exponentes





Multiplicación de potencias (práctica)
Potencias de potencias (práctica)
División de potencias (práctica)
Potencias de productos y cocientes (práctica estructurada) (práctica)
Potencias de productos y cocientes (práctica)
Cuestionario #3
Busque en Tema: Álgebra I -> Exponentes racionales y radicales
Repaso sobre las propiedades de los exponentes:
 Multiplica y divide potencias (exponentes enteros) (práctica)
 Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros) (práctica)
 Desafío sobre propiedades de los exponentes (práctica)
Radicales
 Raíces cuadradas (práctica)
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice realizando una pequeña
exposición de los problemas generados por sus estudiantes en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Invente un ejemplo para cada una de las siguientes propiedades de las
potencias y resuélvalo:
a) Multiplicación de potencias de igual base
b) División de potencias de igual base
c) Potencia de una potencia
2. Encuentre todas las raíces cuadradas exactas que se encuentran entre 9 y
11. Justifique su respuesta.
RESPUESTAS:
1. Libre.
2. El único número entero entre 9 y 11 es 10, por lo que la única raíz cuadrada
exacta entre 9 y 11 es la raíz cuadrada que da como resultado 10, es decir,
100 .
153
154
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
Habilidades:
 Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y
de la vida diaria.
 Evaluar la argumentación de otros
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
24
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con raíces cuadradas.
 Resolver ejercicios rutinarios relativos a raíces cuadradas.
 Resuelven problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con raíces cuadradas.
 Resuelven ejercicios rutinarios relativos a raíces cuadradas.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(5 minutos)
La propuesta de esta sesión considera dos momentos: la primera mitad estará
enfocada en la realización de un PRM, con un problema desafiante relacionado
con potencias. La segunda mitad de la clase se enfoca en la resolución de
problemas relacionados con potencias y raíces.
Por lo anterior, se sugiere explicar a los(as) estudiantes estos dos momentos
que tendrá la clase y partir estableciendo los grupos de trabajo para el PRM, los
cuales pueden también ser aprovechados para la segunda parte de la clase.
Práctica independiente (PRM):
(25 minutos)
Comience contextualizando a sus estudiantes sobre el trabajo que se realizará
en esta sesión, destacando los elementos esenciales del trabajo en PRM:
1. Se espera un trabajo autónomo de los(as) estudiantes, tanto en la
organización de trabajo, como en la lectura, comprensión y abordaje de los
problemas.
2. Se espera un trabajo colaborativo de los(as) estudiantes, poniendo al servicio
del grupo todas sus habilidades, en la búsqueda de la comprensión y resolución
de los problemas por parte de cada uno(a) de los(as) integrantes del grupo.
3. Posterior al trabajo por grupo se realizará un plenario final en la que los
grupos deberán exponer sus respuestas, soluciones e inquietudes.
155
Luego, proponga a sus estudiantes el Enunciado PRM que se encuentra
adjunto al final de esta clase.
Solución: Lo abordaremos por parte:
Parte 1: Calculamos la expresión:
1 + 2 ⋅ 16 = 1 + 2 ⋅ 4 = 1 + 8 = 9 = 3 .
Por lo tanto, corresponde a un número entero.
Parte 2: Se puede pensar “desde afuera hacia adentro”:
La expresión 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ a debe ser igual a 9.
Luego, la expresión 1 + 3 ⋅ a debe ser igual a 4.
Luego, la expresión 1 + 3 ⋅ a debe ser igual a 16.
Luego, 3 ⋅ a debe ser igual a 15, por lo que
valor que se debe reemplazar en “a” es 25.
a debe ser 5. Por lo tanto, el
De manera análoga se obtiene que b = 36.
Plenario:
(10 minutos)
Realice plenario final de la actividad, procurando tener en consideración los
siguientes aspectos:
1. Tiempo para el plenario final (asegúrese de disponer al menos de 10 minutos
para ello).
2. Preguntas indagadoras (indague en sus estudiantes no solo respuestas, sino
también obstáculos que se presentaron, como por ejemplo problemas para
comprender el enunciado, intentos previos a su respuesta definitiva que
descartaron por alguna razón, cómo se generó la idea definitiva para abordar el
problema).
3. De acuerdo a su monitoreo por los grupos, procure rescatar en el plenario
final todas las distintas formas en las que los(as) estudiantes llegaron a una
respuesta.
4. En caso de que los(as) estudiantes no hayan llegado a una respuesta,
modere el plenario final rescatando las ideas de todos los grupos de manera que
156
como curso puedan dar con una respuesta al problema.
Algunas preguntas facilitadoras que pueden contribuir al trabajo de los(as)
estudiantes:
Parte 1:
1. ¿Cuándo una raíz cuadrada es un número entero?
2. ¿Cuál raíz cuadrada calcularías primero, la de afuera o la de adentro?
Parte 2:
3. Prueba con distintos números y ve qué resultados vas obteniendo. ¿Te vas
acercando al valor de 3? (Puede usar calculadora).
Pregunta de profundización:
Siguiendo el patrón de las expresiones presentadas en el problema origina,
intente encontrar una expresión que contenga ocho raíces cuadradas y que sea
igual a 3 (note que las expresiones presentadas en el problema original
contienen 2, 3 y 4 raíces cuadradas, respectivamente). Compruebe su
respuesta.
Solución: Siguiendo la secuencia construida a partir de las expresiones
presentadas en el problema original, se puede deducir que:
3 = 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1 + 8 ⋅ 100
Práctica independiente:
(30 minutos)
Proponga a sus estudiantes abordar los ítems 5 al 8 del “¿Cómo voy?” de la
página 28 del “Cuadernillo de ejercicios”.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida grupal. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Considere 25 y b , con b ∈ N . ¿Qué valor debe tener b para que la
diferencia entre las raíces sea igual a -4?
2. ¿Qué valor de b hace que se cumpla la igualdad
157
25 + 14 = b ? Justifique su
respuesta.
RESPUESTA:
1. b = 81, ya que 5 – 9 = -4.
2. 5 + 14 = 19, por lo que b = 361.
158
PROBLEMA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Enunciado: El siguiente PRM consta de 2 partes:
Parte 1: ¿La siguiente expresión corresponde a un número entero? Justifique su
respuesta.
1 + 2 ⋅ 16
Parte 2: ¿Qué número se debe reemplazar en “a” y en “b” para que se cumplan
cada una de las siguientes igualdades? Justifique su respuesta.
3 = 1+ 2⋅ 1+ 3⋅ a
3 = 1+ 2⋅ 1+ 3⋅ 1+ 4⋅ b
159
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
25
Habilidades: Comprobar resultados propios y evaluar procedimientos.
Objetivo:
Recordar definición y cálculo de porcentajes.
Indicadores
de
evaluación
Relacionan porcentajes rebajados y aumentados con situaciones
reales; por ejemplo: ofertas de venta, aumento del sueldo,
inflación, etc.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponga la SITUACIÓN INICIAL
que se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Realice una pequeña plenaria en la que los/as estudiantes puedan exponer
sus soluciones, estrategias y dudas.
3. Finalice la actividad preguntando a sus estudiantes:
 ¿Qué entienden por porcentaje?
 ¿Cómo lo definirían?
 ¿Para qué se usan?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes identifiquen a los porcentajes
como una escala que permite comparar una cantidad respecto a un total de
referencia (que denominamos el 100%).
Presentación de la nueva información:
(10 minutos)
RECORDANDO PORCENTAJES
1. Comience recordando junto a sus estudiantes la definición de porcentajes y
las distintas formas de representarlo:
Un porcentaje es una forma de comparar cantidades considerando un total de
100 partes.
Ejemplo: el 40% corresponde a 40 de esas 100 partes, que lo podemos
160
representar gráficamente de la siguiente forma:
Pero también podemos expresar este porcentaje como fracción o como número
decimal:
40% equivale a
40 2
= = 0,4
100 5
2. Luego, comente que en esta clase comenzaremos recordando cómo calcular
porcentajes y cómo resolver algunos problemas sencillos con ellos.
Práctica Guiada:
(20 minutos)
Antes de comenzar con la práctica, comente junto a sus estudiantes algunas
estrategias sencillas para el cálculo de porcentajes, como por ejemplo:
 Calcular 10%: Basta con dividir por 10.
 Calcular un porcentaje múltiplo de 10: Basta con calcular el 10% y luego
multiplicar para obtener el múltiplo deseado.
 25%, 50% y 75%: Corresponden a cuartas partes.
Considere las actividades del “¿Qué debo saber?” de la página 74 del “Texto
del estudiante”, modelando los siguientes ejercicios:
Respuesta: Aborde solo a, d y f (muestre distintas estrategias para calcular,
poniendo especial énfasis en que muchas veces hay caminos más simples y
comprensibles que “la regla de tres”):
a) 5 de 10 corresponde a la mitad, por lo que inmediatamente lo asociamos al
161
50%.
d) 20 de 25 equivale a 80 de 100 pues:
f) 10 de 8 equivale a 5 de 4, pues:
20 80
=
= 80%
25 100
10 5
= = 1,25 . Luego, equivale al 125%.
8 4
Respuesta: Aborde solo a, c y e (nuevamente, muestre distintas estrategias para
resolver):
a) Como el 25% equivale a la cuarta parte, basta en resolver 24 : 4 = 6.
c) El 10% equivale a la décima parte, por lo que el 5% equivale a la mitad de
ésta. Luego, calculamos la décima parte de 80 (que es 8), siendo el 5% su
mitad, es decir, 4.
e) Para calcular el 18% de 150, podemos utilizar la definición de porcentaje, es
decir, dividir el total (150) en 100 partes iguales (obteniendo 1,5 en cada una de
ellas) y tomar 18 de esas partes, vale decir:
18 x 1,5 = 27
Respuesta: Aborde solo c, d y g:
Antes que todo, se debe identificar que en cada caso “x” representa el 100%.
Luego:
c) Como 35 es el 20%, dividimos 35 en 20 partes iguales, obteniendo 1,75.
Luego, esto equivale al 1%. Por lo tanto, el 100% corresponde a 100 veces
162
dicha cantidad, es decir, 175.
d) Como 50% es la mitad (y equivale a 19), se tiene que el 100% buscado debe
ser 38 (el doble de 19).
g) Como 300% es el triple del 100%, para obtener el 100% basta con dividir por
3, obteniendo 150 : 3 = 50.
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con las actividades del “¿Qué debo
saber?” de las páginas 74 y 75 no abordados en la Práctica Guiada.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Calcule los siguientes porcentajes:
a) 20% de 78
b) 15% de 40
c) 9% de 30
2. Calcule a qué porcentaje corresponde:
a) 5 de 20
b) 8 de 48
c) 20 de 16
3. Calcule en cada caso el valor de “x”:
a) 8 es el 2% de x
b) 50 es el 250% de x
c) 3 es el 40% de x
RESPUESTAS:
1. a) 15,6
b) 6
c) 2,7
2. a) 25%
b) 16,6%
c) 125%
3. a) 400
b) 20
c) 7,5
163
SITUACIÓN INICIAL
1. A continuación, la tabla de la izquierda presenta distintas situaciones de rebaja
y aumento, mientras que la tabla de la derecha diferentes porcentajes.
Una con una flecha cada una de las situaciones de la tabla de la izquierda con su
porcentaje final correspondiente de la tabla derecha.
2. En una venta especial al inicio del invierno, se hizo una rebaja de 25% a una
estufa eléctrica. Después de haber terminado la promoción, el vendedor aumentó
el precio ya rebajado por el mismo porcentaje de 25%. ¿Se volvió al precio
original? Justifique su respuesta.
RESPUESTAS:
1.
2. No, ya que al rebajar en un 25% se obtiene un 75% del precio, pero luego al
aumentar en un 25% éste porcentaje se aplica sobre el producto ya rebajado,
obteniendo un porcentaje final del 93,75%. Esto se puede visualizar de mejor
manera mostrando un ejemplo concreto, como por ejemplo una estufa cuyo precio
inicial es de $100.000.
164
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
26
Habilidades: Comprobar resultados propios y evaluar procedimientos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
 Identificar y expresar variaciones porcentuales.
 Resolver problemas rutinarios que involucran variaciones
porcentuales.
 Expresan porcentajes aumentados o rebajados con números
decimales y viceversa; por ejemplo: un aumento de 15% es
equivalente a multiplicar el valor inicial por 1,15; la rebaja de
12% es equivalente a multiplicar el valor inicial por 0,88, etc.
 Determinan el porcentaje de promociones; por ejemplo: “lleve
4 y pague 3”, etc.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience la clase proponiendo a sus estudiantes abordar los ejercicios 5 y 6
de la página 78 del “Texto del estudiante” (se encuentra anexo a final de esta
clase).
2. Luego, realice revise en conjunto con sus estudiantes las actividades allí
planteadas.
3. Luego, pida a sus estudiantes que resuelvan el ejercicio 7 de la página 78 del
“Texto del estudiante” (se encuentra anexo al final de esta clase).
4. Revise en conjunto con sus estudiantes la actividad antes señalada y pida a
sus estudiantes que identifiquen en cuánto varió el porcentaje final respecto al
inicial.
Por ejemplo, “lleve 4 pague 3” corresponde a un 75%, por lo que el porcentaje
tuvo una variación negativa del 25%.
5. Pida a sus estudiantes que expresen los porcentajes finales de la actividad en
notación decimal y pregúnteles cómo usarían dicha expresión para calcular un
porcentaje.
Respuesta: Conduzca a sus estudiantes a identificar que basta con multiplicar la
expresión decimal por el total. Se sugiere orientar mediante preguntas, como por
ejemplo:
165
“¿Es lo mismo aumentar un valor en un 20% que multiplicarlo por 1,2?”
Presentación de la nueva información:
(10 minutos)
VARIACIONES PORCENTUALES
1. Comience formalizando un nuevo concepto respecto a la actividad anterior:
variación porcentual.
En conclusión:
Una variación porcentual es la diferencia entre los porcentajes final e
inicial, indicando de este modo el cambio (o variación) porcentual que se
ha producido.
2. Continúe pidiendo a sus estudiantes que discutan en parejas las siguientes
preguntas:
a) ¿Es lo mismo aumentar el valor de un producto en un 20% que
multiplicarlo por 1,2?
b) ¿Es lo mismo realizar una rebaja en el valor de un producto en un 1,3%
que multiplicarlo por 0,987?
c) ¿Por qué número decimal habría que multiplicar el valor de un producto
para aumentar su valor en un 23,5%?
Respuestas: Tanto en a) como en b) las expresiones son equivalentes. En
cuanto a la pregunta c), habría que multiplicar por 1,235.
3. Concluya junto a sus estudiantes que toda variación porcentual puede ser
expresada mediante un número decimal y que se puede calcular de manera
directa multiplicando dicha expresión por el monto original. Identifique además
que:
 Si la variación es positiva (aumento porcentual), basta con sumar su
expresión decimal a 1.
 Si la variación es negativa (disminución porcentual), basta con restar su
expresión decimal a 1.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Cuadernillo de ejercicios” (página
32, ítems 1, 3, 5, ítems 7 (problemas a y b)), modelando los siguientes:
166
Respuesta: La altura disminuyó un 30%, que equivale a 41,4 cm.
Respuesta: Aborde solo a y b:
a) 1 + 0,05 = 1,05. Luego, 552.000 x 1,05 = $579.600
b) 1 – 0,65 = 0,35. Luego, 17.260 x 0,35 = 6.041
167
Respuesta: Aborde solo a y b:
a) 150 : 1,2 = 125
b) 150 : 0,8 = 187,5
Respuesta:
a) En Chile, el IVA corresponde a un incremento porcentual del 19%. Luego,
53.550 corresponde al 119% de un producto. Por lo tanto, para obtener su valor
sin IVA se debe recuperar el 100%. Esto se puede hacer dividiendo por 119
(para obtener el 1%) y luego multiplicar por 100. Otra forma de pensarlo es la
siguiente: “si para obtener el precio con IVA se tuvo que multiplicar el valor
original por 1,19, para recuperarlo se debe dividir por 1,19”. En ambos casos, el
valor sin IVA es $45.000.
b) 7.500 x 0,9 = $6.750
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 32 y 33 del
“Cuadernillo de ejercicios” no abordados en la Práctica Guiada (ítems 1 al 6,
ítem 7 (problemas c al g)).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
En un supermercado un producto está en oferta bajo el siguiente slogan: “Lleve
8 y pague 5”.
168
a) ¿Qué variación porcentual equivale a la oferta señalada en el slogan?
b) Si el valor de 8 productos sin la oferta cuestan $5.340, ¿cuánto dinero se
ahorra con la oferta?
c) Si se cambia la oferta por un descuento del 31,2%, ¿cuánto se pagará por los
8 productos?
RESPUESTAS:
a) Una variación porcentual del 37,5%.
b) $3.337,5, que por la ley de redondeo de nuestro país corresponde a $3.337.
c) $3.673,92, que por la ley de redondeo de nuestro país corresponde a $3.674.
169
EJERCICIOS 5 Y 6, PÁGINA 78, TEXTO DEL ESTUDIANTE
170
EJERCICIO 7, PÁGINA 78, TEXTO DEL ESTUDIANTE
171
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
N° Clase
27
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y de
la vida diaria.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Resolver problemas de la vida diaria que involucran variaciones
porcentuales.
 Comparan críticamente varias ofertas de la compra en cuotas
y calculan el costo total de la compra.
 Identifican, en expresiones de la vida diaria, los tres términos
involucrados en el cálculo porcentual: el porcentaje, el valor
inicial que corresponde al porcentaje y el valor que
corresponde a la base.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience proponiendo a sus estudiantes la siguiente situación:
“Un producto de una tienda recibe una rebaja del 30%. Al cabo de dos meses, el
producto es aumentado en su precio ofertado en un 30%. ¿Experimentó el
producto alguna variación porcentual después de aplicar ambos porcentajes?
¿Por qué? ¿Cuál?”
Respuesta: Una rebaja del 30% equivale a multiplicar por 0,7. Un aumento del
30% equivale a multiplicar por 1,3. Luego, la variación total queda reflejada al
realizar el siguiente cálculo:
0,7 x 1,3 = 0,91
Es decir, el producto experimentó una variación porcentual final del 9%
(negativa).
2. Discuta junto con sus estudiantes la situación anterior y recuerde junto a sus
estudiantes el concepto de variación porcentual y sus principales características,
tomando en cuenta los siguientes aspectos:
 Representa un cambio de porcentaje.
 Puede representar un aumento o una disminución.
 Se expresa en porcentaje.
172
 Una forma sencilla de realizar cálculos de variaciones porcentuales es a
través de su expresión decimal.
Práctica Guiada:
(25 minutos)
Esta clase ha sido pensada para la aplicación de variaciones porcentuales en
problemas de la vida diaria.
Considere los EJERCICIOS PRÁCTICA GUIADA que se encuentra anexa al
final de esta clase y resuelva junto con sus estudiantes los problemas allí
presentados:
1. En una fábrica se producen ampolletas para el uso doméstico. Según la
experiencia de los controles que se realizan al azar, se estima que un 4% de la
producción tiene una falla.
a) ¿Cuál es el porcentaje estimado de las ampolletas sin falla?
Respuesta: 96%.
b) ¿Cuántas ampolletas se deben producir para obtener 120.000 ampolletas
sin falla?
Respuesta: Como al multiplicar el total por 0,96 se obtendrán las 120.000
ampolletas, basta con efectuar la operación inversa, es decir:
120.000 : 0,96 = 125.000 ampolletas.
2. El precio de un auto nuevo es de $10.400.000. La tienda ofrece una
alternativa para financiar la compra: se paga un pie de $ 4.000.000 y el resto se
cancela en 12 cuotas de $685 000. Si se deciden por esta oferta de
financiamiento, reciben un bono de $1.000 000 respecto del precio original.
a) Calcule el precio total del auto si optan por el financiamiento de la tienda.
Respuesta: El total en cuotas es de $8.220.000. Si esto lo sumamos a los
$4.000.000 del pie y descontamos $1.000.000 de la oferta, en total se
cancelará por el auto $11.220.000.
b) ¿Cuál es el porcentaje total de la compra en comparación con el precio
original?
Respuesta: Al hacer la división 11.220.000 : 10.400.000 se obtiene
1,0788, es decir, un 107,88%, lo que equivale a una variación porcentual
del 7,88%.
3. Para el viaje de estudios de un curso de 80 alumnos, una empresa de turismo
ofrece las siguientes condiciones: cada 10 alumnos, uno no paga y se reparte el
ahorro a todos los alumnos. El precio del viaje sin la oferta sería de $9.600.000.
173
a) ¿Cuál es el porcentaje de la rebaja? Justifique su respuesta.
Respuesta: Primero dividimos la cantidad en 80 para saber cuánto cuesta
el viaje para un estudiante sin la oferta, obteniendo un total de $120.000.
Luego, en 10 estudiantes se pagará el precio por 9, es decir, 120.000 x 9,
obteniendo una suma de $1.080.000. Luego, cada uno pagará $108.000,
lo que equivale a un 10% de la rebaja.
Es interesante también analizarlo directamente desde los porcentajes.
Para ello, piense que entre los 10 estudiantes debían reunir el 100%,
aportando por tanto cada uno 10%. Pero al quitar el aporte de uno y solo
reunir los aportes de 9 estudiantes se obtendrá 90%. Luego, como se
quiere que cada estudiante aporte lo mismo, dado que son 10 los
estudiantes que aportarán, cada uno deberá aportar 9%. Es decir,
originalmente cada uno aportaba 10%, pero ahora con la rebaja deberá
aportar 9%, es decir, 1 de 10 menos, que constituye un 10% de rebaja.
b) Calcule el precio rebajado que debe pagar cada uno de los alumnos.
Respuesta: $108.000.
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con las actividades de la página 82 del
“Texto del estudiante” (ejercicios 1 al 4.b).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Resuelva el siguiente problema:
1. Un elefante recién nacido pesa aproximadamente 90 kg. Esto corresponde al
3% del peso de un elefante adulto (Fuente: http://www.elefantepedia.com).
a) ¿Cuánto pesa un elefante adulto?
b) Considerando que un elefante estabiliza su masa a los 30 años y que el
aumento es proporcional cada año, ¿presenta la misma variación porcentual de
peso año a año? Justifique su respuesta.
RESPUESTAS:
174
a) Como 90 kg equivalen al 3%, 30 kg equivalen al 1%. Luego, el peso de un
elefante adulto es aproximadamente 3.000 kg.
b) Como el peso final será de 3.000 kg, el aumento año a año irá de 100 kg en
100 kg. Luego, cada año experimentará porcentajes de aumentos diferentes, lo
cual queda clarificado al analizar los primeros dos años. A continuación, una
tabla que muestra las variaciones porcentuales de los primeros años:
Año
Peso (kg)
Variación porcentual
0
90
1
100
11,11%
2
200
100%
3
300
50%
4
400
33,33%
175
EJERCICIOS PRÁCTICA GUIADA
1. En una fábrica se producen ampolletas para el uso doméstico. Según la
experiencia de los controles que se realizan al azar, se estima que un 4% de la
producción tiene una falla.
a) ¿Cuál es el porcentaje estimado de las ampolletas sin falla?
b) ¿Cuántas ampolletas se deben producir para obtener 120.000 ampolletas
sin falla?
2. El precio de un auto nuevo es de $10.400.000. La tienda ofrece una alternativa
para financiar la compra: se paga un pie de $ 4.000.000 y el resto se cancela en
12 cuotas de $685 000. Si se deciden por esta oferta de financiamiento, reciben un
bono de $1.000.000 respecto del precio original.
a) Calcule el precio total del auto si optan por el financiamiento de la tienda.
b) ¿Cuál es el porcentaje total de la compra en comparación con el precio
original?
3. Para el viaje de estudios de un curso de 80 alumnos, una empresa de turismo
ofrece las siguientes condiciones: cada 10 alumnos, uno no paga y se reparte el
ahorro a todos los alumnos. El precio del viaje sin la oferta sería de $9.600.000.
a) ¿Cuál es el porcentaje de la rebaja? Justifique su respuesta.
b) Calcule el precio rebajado que debe pagar cada uno de los alumnos.
176
Unidad 2:
Potencias, raíces y variaciones porcentuales
Semestre:
1
Habilidades:
Resolver problemas utilizando herramientas computacionales.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
28
Resolver ejercicios que involucren variaciones porcentuales en
la plataforma Khan Academy.
Resuelven ejercicios que involucren variaciones porcentuales en
la plataforma Khan Academy.
.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(5 minutos)
Esta clase ha sido pensada para la ejercitación general variaciones
porcentuales. Para ello, se ha pensado en una clase dedicada al trabajo con
Khan Academy, de manera que se puedan ejercitar en la plataforma los
contenidos antes mencionados. En caso de disponer de tiempo, se sugiere
complementar esta clase con ejercitación con el “Cuadernillo de ejercicios”
(principalmente la resolución de problemas).
Práctica Independiente:
(65 minutos)
Proponga a sus estudiantes las siguientes actividades de Khan Academy:
Busque en Tema: Preálgebra -> Razones, tasas y proporciones
Introducción a los porcentajes:
 Introducción a los porcentajes (práctica)
 Porcentajes a partir de modelos de fracciones (práctica)
 Relaciona fracciones, decimales y porcentajes (práctica)
Porcentaje, fracciones y conversiones decimales:




Convierte decimales porcentajes (práctica)
Convierte porcentajes a decimales (práctica)
Convierte porcentajes a fracciones (práctica)
Convierte fracciones a porcentajes (práctica)
Cuestionario #3
177
Problemas de porcentajes:
 Encontrar porcentajes (práctica)
Problemas verbales de porcentajes:





Problemas verbales de porcentajes (práctica)
Expresiones equivalentes con problemas de porcentajes (práctica)
Problemas de porcentajes (práctica)
Problemas verbales sobre precios de venta y comisiones (práctica)
Problemas verbales de números racionales (práctica)
Cuestionario #4
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice realizando una pequeña
exposición de los problemas generados por sus estudiantes en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Un producto es ofertado en dos supermercados, pero con distintas promociones:
Supermercado 1: Lleve 4 y pague 3
Supermercado 2: 60% de descuento en la segunda unidad
Si ambos supermercados tienen al mismo precio original dicho producto, ¿en
cuál de los supermercados compraría usted 4 de esos productos? Justifique su
respuesta.
RESPUESTAS:
En el Supermercado 1, la oferta es del 25% de descuento sobre la compra total.
En el Supermercado 2 habría que comprar 2 pares del producto, obteniendo en
cada par la misma oferta. Como cada unidad tiene el mismo valor, se puede
pensar que cada una representa el 50% de la compra. Luego, el primer producto
no tendrá descuento (por lo tanto ya sumamos 50%), pero el segundo sí, siendo
éste un 60% (por lo tanto, se pagará un 40% de él, es decir, 40% del 50% =
20%). De esta forma, se terminará pagando el 70% de la compra.
Luego, conviene comprar en el Supermercado 2.
178
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones
Semestre:
1
N° Clase
30
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas.
Objetivo:
Multiplicar de expresiones algebraicas.
Indicadores
de
evaluación
 Modelan concreta o pictóricamente (área de rectángulos) la
propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma:
 (a + b) • c = ac + bc, (a + b) • (c + d) = ac + ad + bc + bd.
 Transforman productos en sumas.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience la clase formando grupos de trabajo y proponiendo a sus
estudiantes las actividades de la página 101 del “Texto del estudiante”
(ejercicios 4, 5, 6 y 7).
Modele los siguientes:
Respuesta:
a) 4x
b) x3
c) (a + b)2
Respuestas:
179
a) 14x
b) 2x + 3y – 5
c) 4 – 2p
d)
3
q
8
Respuestas:
a) 8x
c) 6x + 4y
Respuestas:
a) Muestre dos formas de hacerlo: primero, valorizando cada segmento y
calculando la suma de las medidas; segundo, sumando los términos algebraicos
y valorizando al final.
La respuesta es: 21,8r = 152,6.
2. Finalice realizando una puesta en común de las respuestas a la actividad y
respondiendo junto a sus estudiantes las siguientes preguntas:
 ¿En qué consiste una expresión algebraica?
 ¿Qué son y cómo se reducen los términos semejantes?
Presentación de la nueva información:
(30 minutos)
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1. Comience proponiendo a sus estudiantes la SITUACIÓN INICIAL 1 que se
encuentra anexa al final de esta clase.
2. Realice una puesta en común de las respuestas a la actividad.
180
3. Pida a sus estudiantes que generalicen acerca de cómo multiplicar dos
términos algebraicos.
4. Concluya formalizando los resultados respecto a la multiplicación de términos
algebraicos:
En conclusión:
Para multiplicar dos términos algebraicos, se multiplican por separado
sus coeficientes numéricos y sus factores literales.
5. Proponga a sus estudiantes la SITUACIÓN INICIAL 2 que se encuentra
anexa al final de esta clase (preguntas 1 a la 4). Luego, realice una pequeña
puesta en común, poniendo especial énfasis en:
 Relación entre la representación geométrica y el desarrollo algebraico.
 Resaltar la propiedad distributiva.
6. Proponga a sus estudiantes continuar con las actividades de la SITUACIÓN
INICIAL 2 (pregunta 5 en adelante).
7. Finalice realizando una pequeña puesta en común, generalizando la
propiedad distributiva como aspecto clave para multiplicar expresiones
algebraicas. Sintetice los resultados:
En conclusión:
Para multiplicar expresiones algebraicas se debe aplicar la propiedad
distributiva, que establece la multiplicación término a término de cada
expresión algebraica.
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 108
ejercicios 4, 5, 6 y 8), modelando:
181
Respuesta: a2 + 2ab + 2b2 + ab = a2 + 3ab + 2b2 (se sugiere comentar que el
orden en el que se presentan los términos no es relevante).
Respuestas: Muestre cómo operar de manera directa aplicando la propiedad
distributiva respecto a la multiplicación:
a) -16xy + 8y2 (comente que en general el factor literal se anota en orden
alfabético, aunque esto no es relevante para el resultado).
b) -21xz + 14x2z
Observación al docente: el énfasis de esta clase, de acuerdo a lo que
establece el programa, debe estar puesto en la multiplicación de expresiones
algebraicas desde su representación pictórica, pudiendo desde ahí concluir
algunos resultados algebraicos.
Práctica Independiente:
(10 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios propuestos y no
resueltos en la Práctica Guiada (ejercicios 4, 5, 6 y 8).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
182
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1.
¿Cómo
se puede
(14p + 6q) ⋅ (p + 2q)?
interpretar
geométricamente
la
expresión
2. Calcule la multiplicación de la pregunta anterior.
RESPUESTAS:
1. Se puede interpretar como el área de un rectángulo de lados (14p + 6q) y
(p + 2q).
2. Se espera que los/as estudiantes desarrollen apoyados en la representación
geométrica de un rectángulo dividido en partes según las medidas de sus lados,
tal como se trabajó en clases. No obstante, también es posible que alguno/a lo
resuelva directamente aplicando propiedad distributiva. En cualquier caso, la
respuesta es: 14p2 + 28pq + 6qp + 12q2 = 14p2 + 34pq + 12q2.
183
SITUACIÓN INICIAL 1
El dibujo muestra dos rectángulos que tienen la misma área:
1. Exprese el área del rectángulo usando solo la información del rectángulo de la
izquierda.
2. Calcule el área del rectángulo usando solo la información del rectángulo de la
derecha.
3. ¿Qué puede concluir respecto a la multiplicación (2b) ⋅ (3a)?
4. ¿Cuál cree usted que es el resultado de la multiplicación (5a) ⋅ (3b)? Justifique
su respuesta representando el producto mediante dos rectángulos como los de la
figura.
5. Use el siguiente rectángulo para calcular el resultado de (5x) ⋅ (6x):
RESPUESTAS
1. Al ser un rectángulo, el área es (lado x lado), es decir, (2b) ⋅ (3a).
2. Cada rectángulo tiene área ab. Luego, el área total es 6ab.
3. Se espera que los/as estudiantes identifiquen que al ser el mismo rectángulo se
tiene que (2b) ⋅ (3a) = 6ab.
4. Se espera que los/as estudiantes recurran a una representación similar a la de
la figura, concluyendo que (5a) ⋅ (3b) = 15ab.
5. Al calcular el área de cada rectángulo en el que ha sido dividido el rectángulo
original, se obtiene: 2x2 + 3x2 + 10x2 + 15x2 = 30x2, que corresponde al resultado
de (5x) ⋅ (6x).
184
SITUACIÓN INICIAL 2
Observe la siguiente figura:
1. ¿Cuál es el área de cada uno de los rectángulos en los que ha sido dividido el
rectángulo de la figura 1?
2. ¿Qué multiplicación está representada en la figura 1?
3. ¿Se puede representar de otra manera dicha multiplicación mediante un
rectángulo? Muestre ejemplos.
4. ¿Cuál cree usted que es el resultado de la multiplicación 5 x ⋅ (x + 5) ?
5. ¿Qué multiplicación está representada en la siguiente figura?
6. Encuentre el resultado de la multiplicación anterior usando el rectángulo de la
figura.
7. ¿Cómo multiplicaría la expresión (3 x + 1) ⋅ (2 x + 5) ? Justifique su respuesta.
185
RESPUESTAS
1. 2x2, 3x2, 10x, 15x.
2. 5 x ⋅ ( x + 5)
3. Se espera que los/as estudiantes identifiquen que la base (5x) la pueden dividir
en otros segmentos, o inclusive no dividirla.
4. Se espera que los/as estudiantes identifiquen las expresiones de las preguntas
1 y 2 como las correspondientes a la misma situación, concluyendo que
5 x ⋅ ( x + 5) = 5 x 2 + 25 x
5. (2 x + 3) ⋅ ( x + 5)
6. 2x2 + 3x + 10x + 15 = 2x2 + 13x + 15.
7. Se espera que los/as estudiantes generen un rectángulo dividido en cuatro
regiones de acuerdo a las medidas de sus lados y se apoyen en él para calcular el
resultado de la multiplicación. La respuesta es 6 x 2 + 17 x + 5
186
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones
Semestre:
1
N° Clase
31
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Factorizar expresiones algebraicas usando representaciones
geométricas.
 Elaboran expresiones algebraicas a base de composiciones
de áreas y perímetros de figuras 2D.
 Representan composiciones de áreas y perímetros de figuras
2D, basándose en expresiones algebraicas.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience la clase formando grupos de trabajo y propóngales la siguiente
situación:
“La siguiente expresión algebraica corresponde al área de un rectángulo:
a 2 + ab
¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?”
2. Realice una puesta en común de las estrategias abordadas por sus
estudiantes. En caso de ser necesario, guíelos a construir figuras geométricas
bajo las siguientes características:
 ¿Qué figura geométrica podrá tener por área la expresión a 2 ?
 ¿Qué figura geométrica podrá tener por área la expresión ab ?
 ¿Es posible formar un rectángulo a partir de las dos figuras anteriores?
¿De qué dimensiones?
3. Finalice concluyendo que el rectángulo es de lados a y (a + b ) , modelando la
situación mediante la siguiente figura:
187
Presentación de la nueva información:
(25 minutos)
FACTORIZACIÓN
1. Comience comentando a sus estudiantes que la palabra factorización se
refiere a expresar una suma de términos como un producto (puede comentar
además que la palabra factorización indica la identificación de factores cuyo
producto dé como resultado la expresión algebraica a factorizar).
2. Continúe preguntando a sus estudiantes: ¿a partir de la experiencia anterior,
qué puede decir de las expresiones a 2 + ab y a ⋅ (a + b ) ? Justifique su respuesta.
Respuesta: Sí, ya que ambas representan el área del rectángulo.
3. Comente que en álgebra decimos que “la expresión a 2 + ab se puede
factorizar de la forma a ⋅ (a + b ) ”, es decir, escribimos una suma de términos
algebraicos como un producto de términos algebraicos.
4. Pida a sus estudiantes que intenten factorizar la expresión 2 xy + 4 xy 2 . Sugiera
intentar formar un rectángulo cuya área sea igual a la expresión anterior,
tomando como referencia el modelo del ejemplo inicial.
Respuesta: Deje que los/as estudiantes intenten formar un rectángulo a partir de
los términos de la expresión algebraica. Luego, rescate estrategias de sus
estudiantes y analice posibles respuestas, como por ejemplo:
En este caso, la factorización es y ⋅ (2 x + 4 xy ) .
5. Analice junto a sus estudiantes la expresión factorizada y pida a sus
estudiantes que identifiquen estrategias para poder factorizar una expresión
algebraica, poniendo énfasis en “lo que tienen en común”.
En conclusión:
 Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como un
producto.
 Para poder factorizar una expresión algebraica se puede modelarla
como el área de un rectángulo, identificando la multiplicación de
sus lados como una expresión 188
equivalente.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (páginas 112,
ejercicios 3, 4 y 6), modelando:
Respuesta: Modele a y b:
a) Muestre un rectángulo de 1 x 17 y pida a sus estudiantes que justifiquen por
qué no es posible encontrar otro rectángulo de esa área con otros números
naturales.
b) Muestre a sus estudiantes diferentes ejemplos, como 1 x 24, 2 x 12, y pida a
sus estudiantes que encuentren otros posibles.
189
Respuesta: Modele solo a:
a) Muestre distintas opciones, como por ejemplo 1 y 2x2, 2 y x2, 2x y x.
Respuesta: Modele solo a y b:
a) Por ejemplo:
b) Por ejemplo:
190
Práctica Independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 112 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 3, 4 y 6).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
En la siguiente la siguiente figura, A1 y A2 representan las áreas de cada uno de
los rectángulos correspondientes:
1. Encuentre una expresión para A1 y A2.
2. Factorice la expresión algebraica que resulta al sumar las expresiones de A1 y
A2.
RESPUESTAS:
1. A1 = 3x2 y A2 = 3xy
2. La expresión que resulta de sumar A1 y A2 es 3x2 + 3xy. Ésta se puede
factorizar usando el rectángulo de la figura:
3x2 + 3xy = 3x(x + y).
191
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones
Semestre:
1
N° Clase
32
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas.
Objetivo:
Factorizar expresiones algebraicas
Indicadores
de
evaluación
 Representan composiciones de áreas y perímetros de figuras
2D, basándose en expresiones algebraicas.
 Transforman sumas en productos, en ejercicios rutinarios.
 Desarrollan y reducen términos algebraicos que incluyen
sumas y productos, en ejercicios rutinarios.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponga a sus estudiantes la
SITUACIÓN INICIAL que se encuentra anexa al final de esta clase (preguntas
1, 2 y 3)
2. Realice una pequeña puesta en común de las preguntas 1, 2 y 3, de manera
que sus estudiantes muestren sus estrategias para formar el cuadrado a partir
de las figuras 2D.
3. Aborde en conjunto con sus estudiantes la pregunta 4 de la actividad,
concluyendo la equivalencia entre las expresiones r 2 + 2rs + s 2 y (r + s )(r + s ) .
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
1. Proponga a sus estudiantes el siguiente problema:
“En el rectángulo de la figura se ha dividido en cuatro partes, de las cuales se
especifica el área de dos de ellas:
192
Si la expresión que representa el área total de dicho rectángulo es x2 + 10x + 16,
¿cuáles son las medidas de sus lados?”
2. Realice una pequeña puesta en común de las estrategias de sus estudiantes
para abordar el problema. Luego, modele cómo resolverlo.
Respuesta: Primero identificamos que la figura del extremo superior izquierdo
corresponde a un cuadrado. Luego, registramos algunas medidas en la figura:
Ahora se puede pensar en las posibles dimensiones del rectángulo de área 16.
Probando posibles valores (por ejemplo, 16 y 1, 4 y 4, 8 y 2, etc.), se puede
obtener el área de los dos rectángulos restantes, obteniendo así el área total. La
respuesta es 8 y 2, obteniendo así dos rectángulos de áreas 8x y 2x, sumando
en total un área del rectángulo de x2 + 10x + 16.
Luego, las dimensiones del rectángulo son (x + 8) y (x + 2).
3. Deténgase un momento en el problema y muestre a sus estudiantes los
pasos que determinan la estrategia para resolver el problema:
193
 Buscar posibles dimensiones del rectángulo dado (en este caso, dos
números que multiplicados den 16).
 Los rectángulos de los que se desconoce el área tienen 8x y 2x de área,
siendo los números 8 y 2, por lo que no solo se necesita que los números
multipliquen 16, sino que además la suma de ellos dé, en este caso, 10x.
4. Finalice proponiendo a sus estudiantes que intenten aplicar esta estrategia
con el siguiente rectángulo, sabiendo que su área total es x2 + 9x + 20.:
Respuesta: Dos números que multiplican 20 y suman 9 son 4 y 5, por lo que las
dimensiones del rectángulo son (x + 4) y (x + 5).
Observación al docente: El programa propone transformar expresiones
algebraicas en producto de factores de manera pictórica, relacionándolos
con una interpretación geométrica de área. Por lo tanto, esta clase no
establece aprender a factorizar cuadrados de binomio o binomios con
término común mediante una fórmula algebraica, sino establecer
conexiones entre su desarrollo y su expresión factorizada mediante una
interpretación geométrica de área.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 113,
ejercicios 9 y 11), modelando:
194
Respuestas:
a) (x + 4) y (x + 2)
(x + 9) y (x + 8)
b) (x + 4) y (x + 3)
Respuestas:
a) El área total es a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
195
c) (x + 6) y (x + 3)
d)
b) (a + b + c)
Respuesta: Se recomienda modelar esta pregunta construyendo el rectángulo
correspondiente, concluyendo que el área total de un rectángulo de lados (x + 1)
y (x + 6) es x2 + 7x + 6.
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes abordar los ejercicios de la páginas 46 y 47 del
“Cuadernillo de ejercicios” (ítem 4, ítem 6 (ejercicios (a) al (e)). Se puede
proponer como ejercitación complementaria los problemas del ítem 6 de esta
página (ejercicios (f) en adelante).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. El área de un rectángulo viene dada por la expresión b2 + 3b + 2. ¿Cuáles
pueden ser las dimensiones de sus lados?
2. (Desafío) Dada la expresión x2 – 3x + 2, ¿se puede representar mediante la
composición de áreas de rectángulos? Justifica tu respuesta.
RESPUESTAS:
1. Antes que todo, destacar que la pregunta establece cuáles pueden ser y no
cuáles deben ser. Esto porque un rectángulo de largo “b2 + 3b + 2” y ancho “1”
cumple que su área es b2 + 3b + 2.
La respuesta pensada en las estrategias desarrolladas en esta clase es (b + 1) y
(b + 2).
2. Sí, ya que un rectángulo de lados (x – 2) y (x – 1) tiene por área x2 – 3x + 2.
196
SITUACIÓN INICIAL
La siguiente composición de figuras 2D está formada por cuadrados y rectángulos:
a) Elabore una expresión aritmética que representa el área de la composición de
las cuatro figuras 2D.
b) Reagrupe las 4 figuras, mediante un dibuje, de manera tal que entre ellas
formen un cuadrado. ¿Cuánto mide su lado?
c) Considerando la medida del lado del cuadrado formado, ¿cuál es su área?
d) ¿Es posible factorizar la expresión r 2 + 2rs + s 2 ? ¿De qué manera? Justifique su
respuesta.
RESPUESTAS
a) r 2 + 2rs + s 2
b)
c) Como el cuadrado es de lado (r + s), su área es (r + s)(r + s).
d) Sí, ya que el área del cuadrado es igual al área de la figura original. Luego,
r 2 + 2rs + s 2 = (r + s )(r + s ) .
197
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones
Semestre:
1
N° Clase
33
Habilidades: Ejemplificar representaciones con analogías, metáforas y
situaciones familiares para resolver problemas.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Representar y operar
inecuaciones lineales.
mediante
balanzas
ecuaciones
e
 Representan pictóricamente, mediante balanzas, ecuaciones
de la forma: ax = b; x/a = b; a ≠ 0; ax + b = c; x/a + b = c; ax =
b + cx; a(x + b) = c; ax + b = cx + d.
 Identifican las actividades “agregar a la balanza” con la
adición y “sacar de la balanza” con la sustracción.
 Modelan transformaciones equivalentes con actividades que
mantienen el equilibrio de la balanza.
 Representan inecuaciones de manera concreta (balanzas en
estado de desequilibrio), pictórica o simbólica.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience la clase formando grupos de trabajo y proponiendo a sus
estudiantes la SITUACIÓN INICIAL 1 que se encuentra anexa al final de esta
clase (Solo pregunta 1).
2. Analice las respuestas de la pregunta 1 con sus estudiantes en una pequeña
puesta en común, aprovechando de recordar qué entendemos por una ecuación
(igualdad entre dos expresiones que tienen al menos una incógnita o variable).
3. Continúe con la pregunta 2 de la SITUACIÓN INICIAL 2.
4. Finalice con una puesta en común de las respuestas a la pregunta 2 de la
actividad, poniendo especial atención a los argumentos de sus estudiantes
respecto a la pregunta (2.c)
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
BALANZAS Y ECUACIONES LINEALES
Concluya junto a sus estudiantes los siguientes aspectos:
 ¿Cómo podemos representar una ecuación?
 ¿Qué operaciones podemos realizar en una ecuación? ¿Por qué?
198
BALANZAS E INECUACIONES LINEALES
1. Proponga a sus estudiantes la SITUACIÓN INICIAL 2 que se encuentra
anexa al final de esta clase.
2. Revise junto a sus estudiantes las respuestas a las preguntas planteadas y
pregunte: si no puede ser modelada mediante una ecuación, ¿cómo se puede
modelar la situación descrita por la balanza?
Respuesta: Mediante una inecuación (lineal).
3. ¿Qué pasos seguirían para resolver dicha ecuación?
Respuesta: Pida a sus estudiantes que representen cada uno de los pasos
realizados mediante una nueva balanza, anotando al lado de ella la inecuación
correspondiente (de manera similar a como lo hicieron para resolver la ecuación
de la SITUACIÓN INICIAL 1).
La siguiente secuencia de balanzas muestra los pasos a seguir para “despejar la
incógnita”:
4. ¿Cuál es el conjunto solución de esta inecuación? ¿Cómo podemos
representarlo en la recta numérica?
Respuesta: Muestre a sus estudiantes cómo representar en la recta numérica al
conjunto de números menores que 6. Enfatice en que la cantidad de números
que cumplen dicha condición son infinitos (y que también son infinitos aquellos
que no lo cumplen).
199
5. Sintetice las actividades respecto a las representaciones con balanzas de
ecuaciones e inecuaciones lineales y a las operaciones permitidas para poder
resolverlas:
En conclusión:
Una ecuación puede ser representada mediante una balanza en equilibrio,
mientras que una inecuación mediante una balanza en desequilibrio.
Para mantener la balanza en equilibrio (o desequilibrio) se debe operar de
igual manera a ambos lados.
Tanto en una ecuación como en una inecuación, el objetivo es “despejar la
6.incógnita”,
Finalice señalando
queuna
a pesar
de loen
anterior,
más
veremos yque
obteniendo
solución
el caso
deadelante
las ecuaciones
un el
trabajar
con
cantidades
negativas
traerá consecuencias distintas para las
conjunto
solución
en el caso
de las inecuaciones.
inecuaciones, pero que no entraremos en detalle aún.
Práctica Guiada:
(20 minutos)
Modele a sus estudiantes la Situación 1 de la página 128 del “Texto del
estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase), resolviendo de forma
paralela (balanza y ecuación correspondiente), identificando la operación
matemática asociada a cada transformación realizada a la balanza.
Modele a sus estudiantes la Situación 2 de la página 133 del “Texto del
estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase), resolviendo de forma
paralela (balanza y ecuación correspondiente), identificando la operación
matemática asociada a cada transformación realizada a la balanza.
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes abordar los ejercicios del “Texto del estudiante”:
 Página 126, ejercicios 4 y 5
 Página 130, ejercicios 1 al 3
 Página 134, ejercicio 7 (puede considerar el ejercicio 8 e la página 135
como desafíos).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
200
TICKET DE SALIDA
Responda las siguientes preguntas:
1. Cuando en una balanza que se encuentra en equilibrio agregamos una misma
cantidad a cada platillo, ¿qué operación matemática estamos realizando?
2. Si en una ecuación restamos a ambos lados de la igualdad, qué acción se
realizará en la balanza que la representa.
3. ¿Qué diferencias tienen, en su representación como balanza y en su solución,
una ecuación con una inecuación?
4. Explique cómo representaría la ecuación 4x + 2 = 5 mediante una balanza o
un diagrama de barras. Luego resuélvala.
RESPUESTAS:
1. Estamos sumando a ambos lados de la igualdad.
2. Quitar la misma cantidad en cada platillo.
3. En cuanto a su representación como balanza, la ecuación presenta equilibrio,
la inecuación no. En cuanto a su solución, en general la ecuación tiene solución
única, mientras que la inecuación tiene un conjunto solución (infinitas
soluciones).
4. x = 3/4.
201
SITUACIÓN INICIAL 1
1. En la siguiente balanza, que se encuentra en equilibrio, se han dispuesto
“triángulos” y “cuadrados”:
a) ¿A cuántos “triángulos” equivale un cuadrado?
b) ¿Qué ecuación permite modelar la situación anterior?
c) ¿Qué cambio en la ecuación representan las flechas punteadas en la balanza?
¿Cuál es la operación matemática correspondiente a dicho cambio?
d) Resuelva la ecuación planteada. ¿Cómo puede comprobar que su solución es
correcta?
2. Observe la siguiente secuencia de balanzas:
a) ¿Tienen relación con la balanza inicial? Justifique su respuesta.
b) ¿Qué cambio representan las flechas punteadas en cada balanza de la
secuencia? ¿Cuál es la operación matemática correspondiente a dicho cambio?
c) Anote la ecuación correspondiente a cada una de las balanzas y compare con
su respuesta de la pregunta (1.d). ¿Qué transformaciones son válidas realizar
para resolver una ecuación?
202
RESPUESTAS
Pregunta 1
a) Se espera que los/as estudiantes operen la balanza de manera intuitiva,
procurando mantener su equilibrio (en 7° básico debieron realizar estos procesos).
La respuesta es: un cuadrado equivale a 2 triángulos.
b) Si llamamos “x” a cada cuadrado, la balanza se modela mediante la ecuación:
5x + 2 = 2x + 8
c) Las flechas punteadas indican que se está quitando a ambos platillos de la
balanza dos triángulos, lo que matemáticamente se puede representar por la
operación -2 (restar dos unidades).
d) Se espera que los/as estudiantes intenten resolver la ecuación mediante sus
conocimientos de 7° básico sobre ecuaciones. En caso de llegar a una respuesta
mediante este medio, se puede comprobar la solución de la ecuación
representando cada cuadrado por la cantidad de triángulos correspondientes (que
equivale a reemplazar en la ecuación “x” por “2”).
Pregunta 2
a) Sí, ya que cada una de las balanzas de la secuencia puede ser obtenida a partir
de la anterior mediante una operación matemática, siendo además la primera de
ellas el resultado de la operación que indican las flechas punteadas de la balanza
de la pregunta 1.
b) En el orden en el que están presentadas las balanzas (de arriba hacia abajo),
los cambios representan:
“Restar a ambos lados 2x”
“Dividir a ambos lados por 3”
La última balanza representa la solución de la ecuación, es decir, x = 2.
c) Las ecuaciones correspondientes son:
5x = 2x + 6
3x = 6
x=2
Se espera que los/as estudiantes identifiquen que cualquiera de las cuatro
operaciones matemáticas elementales es posible realizar en una ecuación,
siempre y cuando ésta se realiza a ambos lados (para mantener en equilibrio la
balanza).
203
SITUACIÓN INICIAL 2
En la siguiente figura se muestra una balanza en desequilibrio. El adoquín grande
en gris corresponde a la variable x:
1. ¿La situación de la balanza puede ser modelada mediante una ecuación?
Justifique su respuesta.
2. ¿A cuántos adoquines pequeños (amarillos) podría corresponder cada adoquín
gris? ¿Es única esta respuesta?
3. ¿Cómo puede se puede modelar matemáticamente la balanza de la figura?
RESPUESTAS
1. No, ya que la balanza no está en equilibrio.
2. Se espera que los estudiantes operen de manera intuitiva la balanza,
proponiendo diferentes valores posibles para los adoquines grises. La respuesta a
la inecuación que modela la situación de esta balanza es x < 6, es decir, el
adoquín gris tiene una masa inferior a la de 6 adoquines amarillos.
3. Mediante una inecuación (contenido visto en 7° básico). En este caso:
2,5x + 3,5 < 18,5.
204
SITUACIÓN 1, PÁGINA 128, TEXTO DEL ESTUDIANTE
205
SITUACIÓN 2, PÁGINA 133, TEXTO DEL ESTUDIANTE
206
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones
Semestre:
1
N° Clase
34
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y de
la vida diaria.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Resolver ecuaciones lineales y problemas con ecuaciones
lineales.
 Modelan situaciones que requieren de una ecuación o
inecuación para responder a un problema.
 Resuelven ecuaciones de la forma: ax = b; x/a = b; a ≠ 0; ax +
b = c; x/a + b = c; ax = b + cx; a(x + b) = c; ax + b = cx + d en
ejercicios rutinarios.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponga a sus estudiantes la
SITUACIÓN INICIAL que se encuentra anexa al final de esta clase (inspirada en
la Situación 1 de la página 124 del “Texto del estudiante”).
2. Realice una pequeña puesta en común de las soluciones a las actividades
presentadas, procurando rescatar:
 Distintas representaciones que puedan haber elaborado de la situación
mediante el modelo de balanza en equilibrio.
 Relación entre la balanza modelada y la ecuación planteada.
 Relación entre las operaciones matemáticas efectuadas en la ecuación y
las transformaciones realizadas en cada paso a la balanza para encontrar
la solución al problema.
 Respuesta matemática al problema.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
1. Proponga a sus estudiantes analizar la Situación 1 de la página 124 del
“Texto del estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase) y comparar
la resolución propuesta en el texto con las estrategias revisadas en la puesta
común del inicio de la clase.
2. Proponga a sus estudiantes el enunciado de la Situación 2 de la página 125
del “Texto del estudiante” (se encuentra anexa al final de esta clase):
207
“Si una técnico electricista debe cortar un cable de 2,6 metros de largo,
obteniendo 3 trozos de la misma medida y un trozo de 20 cm, ¿qué ecuación te
permitiría obtener la longitud de uno de los tres trozos iguales?”
Pida que la modelen mediante una ecuación y den respuesta al problema.
3. Luego, proponga a sus estudiantes que comparen sus estrategias y
respuestas con la estrategia propuesta en el libro.
4. Finalice señalando que en esta clase abordarán diversas situaciones que se
pueden modelar y resolver mediante ecuaciones.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 127,
ejercicio 7), modelando y resolviendo los siguientes:
Respuesta: Modele solo a, b, c y d:
a) Ecuación: x +
b) Ecuación:
x
= 20 . Respuesta: x = 16.
4
x
= 280 . Respuesta: x = 840.
3
c) Ecuación: 4 x = 2 x + 86 . Respuesta: x = 43.
d) Ecuación: 5 x + 12 = 7 x − 2 . Respuesta: x = 7.
Práctica Independiente:
(25 minutos)
208
Proponga a sus estudiantes abordar los problemas restantes del ejercicio 7 de la
página 127 del “Texto del estudiante” no abordados en la Práctica Guiada,
pidiéndoles modelar y resolver mediante una ecuación (problemas e, f, g, h, i, j).
Luego, propóngales continuar con los ejercicios de las páginas 130 y 131 del
“Texto del estudiante” (ejercicios 4 al 7). Puede proponer los problemas que
aparecen a continuación (ejercicios 8 y 9) como desafío o ejercitación
complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
El tiempo que permanece un tren del Metro de Santiago en cada estación es de
aproximadamente 30 segundos. Una persona que viaja por la línea 1 demora
22,5 min en recorrer las 15 estaciones que hay entre las estaciones Baquedano
y San Pablo.
1. ¿Qué ecuación modela el tiempo que el Metro está en movimiento?
2. ¿Cuánto tiempo se encuentra en movimiento el Metro al moverse entre las 15
estaciones referidas?
RESPUESTAS
1. Suponiendo que la persona aborda el tres apenas llega éste a la estación, al
bajarse en la última de las 15 estaciones habrá que contar 14 detenciones de 30
segundos. Luego:
x + 14 ⋅ 0,5 = 22,5
2. La respuesta es x = 15,5, es decir, 15 minutos 30 segundos.
209
SITUACIÓN INICIAL
Un avión dispone de dos habitaciones para transportar las mascotas de los
pasajeros. Para no sobrecargar ninguna de ellas y para aportar a que el avión
mantenga el equilibrio, se intenta acomodar la misma masa en cada una de las
habitaciones. Para transportar los animales, se dispone de jaulas individuales de 4
kg cada una. En un viaje, se acomodan 3 perros en una habitación y 4 gatos en la
otra. Además, en la habitación de los gatos va 1 jaula adicional.
Si la masa corporal de un gato equivale a la mitad de la masa corporal de un perro
(para modelar el problema, considere que todos los gatos tienen el mismo peso
entre sí, y que todos los perros tienen el mismo peso entre sí):
a) Si se quiere averiguar el peso de cada gato y de cada perro, ¿cómo se puede
representar esta situación en una balanza? Dibuje dicha representación.
b) Encuentre el peso de cada perro y de cada gato mediante el modelo de la
balanza en equilibrio de la pregunta anterior.
c) A partir de la balanza de la pregunta 1, plantee la ecuación correspondiente y
resuélvala.
210
Unidad 2:
Porcentajes y proporcionalidad
Semestre:
1
Habilidades:
 Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y
de la vida diaria.
 Evaluar la argumentación de otros.
Objetivo:
 Resolver problemas desafiantes en grupos
colaborativa, relacionados con proporcionalidad.
 Resolver diversos problemas que involucren
proporcionalidad.
 Resuelven problemas desafiantes en grupos
colaborativa, relacionados con proporcionalidad.
 Resuelven diversos problemas que involucren
proporcionalidad.
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
35
y de forma
porcentaje y
y de forma
porcentaje y
(5 minutos)
La propuesta de esta sesión considera dos momentos: la primera mitad estará
enfocada en la realización de un PRM, con un problema desafiante relacionado
con proporcionalidad. La segunda mitad de la clase se enfoca en la resolución de
problemas relacionados con el tema.
Por lo anterior, se sugiere explicar a los(as) estudiantes estos dos momentos que
tendrá la clase y partir estableciendo los grupos de trabajo para el PRM, los cuales
pueden también ser aprovechados para la segunda parte de la clase.
Práctica independiente (PRM):
(35 minutos)
Comience contextualizando a sus estudiantes sobre el trabajo que se realizará en
esta sesión, destacando los elementos esenciales del trabajo en PRM:
1. Se espera un trabajo autónomo de los(as) estudiantes, tanto en la organización
de trabajo, como en la lectura, comprensión y abordaje de los problemas.
2. Se espera un trabajo colaborativo de los(as) estudiantes, poniendo al servicio
del grupo todas sus habilidades, en la búsqueda de la comprensión y resolución
de los problemas por parte de cada uno(a) de los(as) integrantes del grupo.
3. Posterior al trabajo por grupo se realizará un plenario final en la que los grupos
deberán exponer sus respuestas, soluciones e inquietudes.
Luego, proponga a sus estudiantes el Enunciado PRM que se encuentra adjunto
211
al final de esta clase (en esta ocasión no habrá pregunta de profundización, ya
que la riqueza de este PRM radica en la discusión de las estrategias generadas
por los/as estudiantes).
Solución:
Alumbrado de la calle
Hay muchas maneras de abordar y justificar que esta situación NO presenta dos
variables inversamente proporcionales (tabla, gráfico, relación matemática). No
obstante, la intuición puede jugar en contra, ya que a mayor número de postes que
se coloquen menor será la distancia entre ellos. Lo que permite decidir que NO
establece una relación de proporcionalidad inversa entre el número de postes y la
distancia entre ellos es el cálculo de la constante de proporcionalidad.
La siguiente tabla muestra algunas distancias respecto a la cantidad de postes
ubicados (note que al menos deben colocarse 2, ya que debe ir uno al inicio y uno
al final):
Número
postes
de
Distancia entre
postes (metros)
2
3
4
5
6
240
120
80
60
48
26,
Es claro que el producto entre los valores correspondientes no es constante (una
observación interesante es que el producto entre los valores de las distancias
calculadas y el antecesor de los valores correspondientes de números de postes si
es constante, pues siempre da como resultado 240).
Alumbrado de la plaza
Elaboramos la tabla correspondiente (note que el mínimo de postes en este caso
es 4, y que la cantidad de postes que se debe ubicar para que la distancia entre
postes sea siempre la misma debe ser necesariamente un múltiplo de 4).
Número
postes
de
4
8
12
16
20
Distancia entre
postes (metros)
60
30
20
15
12
212
2
Es claro ver que en este caso el producto de los valores correspondientes siempre
resulta 240, por lo que SÍ presentan una relación de proporcionalidad inversa.
Plenario:
(10 minutos)
Realice plenario final de la actividad, procurando tener en consideración los
siguientes aspectos:
1. Tiempo para el plenario final (asegúrese de disponer al menos de 10 minutos
para ello).
2. Preguntas indagadoras (indague en sus estudiantes no solo respuestas, sino
también obstáculos que se presentaron, como por ejemplo problemas para
comprender el enunciado, intentos previos a su respuesta definitiva que
descartaron por alguna razón, cómo se generó la idea definitiva para abordar el
problema).
3. De acuerdo a su monitoreo por los grupos, procure rescatar en el plenario final
todas las distintas formas en las que los(as) estudiantes llegaron a una respuesta.
4. En caso de que los(as) estudiantes no hayan llegado a una respuesta, modere
el plenario final rescatando las ideas de todos los grupos de manera que como
curso puedan dar con una respuesta al problema.
Algunas preguntas facilitadoras que pueden contribuir al trabajo de los(as)
estudiantes:
1. ¿Cuál es el mínimo de postes que se pueden colocar en cada situación? ¿Hay
un máximo?
2. ¿Qué sucede con la distancia entre los postes al colocar alguna cantidad
particular de postes?
3. ¿Cómo se puede organizar y/o representar la información en cada situación
para distintas cantidades de postes?
Pregunta de profundización:
Suponga que a usted le propusieran diseñar una plaza con la forma geométrica de
cualquier polígono regular para posteriormente colocarle alumbrado público (es
decir, en el que todos sus lados miden lo mismo, como el cuadrado). ¿Es posible
proponer una plaza distinta a la plaza cuadrada del enunciado tal que la relación
entre la cantidad de postes y la distancia entre ellos sea inversamente
213
proporcional?
Solución: Note que si el polígono tiene “n” lados, necesariamente la cantidad de
postes que se deben ubicar tendrá que ser un múltiplo de “n”. Luego, se puede
probar con triángulos, pentágonos, hexágonos, etc., para corroborar que la
situación será igual que en el caso de la plaza cuadrada, es decir, en cualquier
caso se tendrá una relación de proporcionalidad inversa. Esto se debe a que al ir
agregando siempre postes en múltiplos de “n”, lo que se está haciendo en realidad
es agregar cada vez un poste más a cada uno de los lados del polígono, lo cual
significa dividir cada lada en una porción más. Luego, la medida del lado del
polígono se dividirá en un lado más, obteniendo “n” pedazos más, pero el número
de postes que se agreguen también serán “n” más, por lo que la multiplicación de
los valores correspondientes no variará.
Práctica independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes los problemas de la página 74 del “¿Cómo voy?” del
“Cuadernillo de ejercicios” (ejercicios 1, 2 y 3).
Se sugiere aprovechar los grupos de trabajo constituidos.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Invente para cada situación un problema relacionado con proporcionalidad directa
o inversa, según sea el caso:
1. A un acuicultor de Aysén la cantidad de empaques de suplemento dietario en la
alimentación y crianza de 27 jaulas de truchas arcoíris le dura 10 días.
2. Un ciclista pedalea a 32,5 km/h desde Puerto Montt hacia Frutillar, logrando
avanzar 81 km en su primer viaje.
RESPUESTA:
La primera situación presenta dos variables (tiempo y cantidad de jaulas)
inversamente proporcionales. La segunda situación presenta dos variables
(velocidad y distancia) directamente proporcionales.
214
PROBLEMA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Enunciado:
Una empresa eléctrica está a cargo del alumbrado público de una determinada
comuna. En particular, el día de hoy deben determinar la distancia a la que
colocarán los postes en dos situaciones: una calle recta de 240 metros y alrededor
de una plaza cuadrada, cuyo perímetro es de 240 metros.
Si en el caso de la calle debe haber un poste al inicio y al final, mientras que en el
caso de la plaza debe haber un poste en cada esquina, y se quiere como requisito
estético que todos los postes que se ubiquen deben estar a igual distancia,
¿cuál(es) de estas situaciones establece(n) una relación inversamente
proporcional entre la cantidad de postes del alumbrado público y la distancia entre
ellos? Justifique su respuesta.
215
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones
Semestre:
1
N° Clase
36
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y de
la vida diaria.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Resolver problemas mediante ecuaciones e inecuaciones
lineales.
 Resuelven problemas cotidianos, utilizando ecuaciones e
inecuaciones.
 Resuelven problemas de la vida cotidiana que tienen una
base fija y cambio constante, mediante ecuaciones e
inecuaciones de la forma mencionada.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes el
siguiente problema:
“La Empresa de Ferrocarriles del Estado (EFE) es una empresa estatal chilena
que se encarga del transporte de carga y de pasajeros mediante un servicio de
trenes entre las ciudades de Santiago y Chillán, abarcando una distancia
aproximada de 400 km.
Considere que un tren con carga sale directo desde Santiago hacia el sur y,
simultáneamente, desde Chillán parte un segundo tren hacia el norte, 40 km/h
más rápido que el primero. Si los trenes viajan con una rapidez constante en
todo su trayecto y se encuentran después de 2,5 horas de viaje, ¿cuál es la
rapidez de cada uno?”
(Problema correspondiente a la Resolución de problemas del “Texto del
estudiante”, página 148).
Destine 10 minutos para que los/as estudiantes busquen modelar la situación
anterior mediante una ecuación.
2. Realice una puesta en común de las estrategias sugeridas por sus
estudiantes para abordar el problema y pídales que resuelvan la ecuación
planteada para dar respuesta al problema.
3. Finalice realizando un pequeño plenario con las respuestas de sus
216
estudiantes. Luego, puede complementar modelándolo el problema de la
siguiente manera:
(i) Si llamamos x a la rapidez del tren que viaja hacia el sur, entonces la rapidez
del tren que viaja hacia el norte será x + 40.
distancia
. Como ambos trenes se encontrarán al
tiempo
cabo de 2,5 horas, para cada tren el tiempo transcurrido es el mismo. No así la
distancia, ya que el tren que viaja de sur a norte va más rápido. De esta forma,
si llamamos d1 y d2 a las distancias recorridas de norte a sur y de sur a norte,
respectivamente, entonces:
(ii) Sabemos que rapidez =
x=
d1
2,5
x + 40 =
d2
2,5
(iii) Como la distancia entre Santiago y Chillán es de 400 km, se tiene que:
d1 + d 2 = 400
(iv) Despejamos d1 y d2 en cada una de las expresiones de rapidez, obteniendo:
2,5x = d1
2,5x + 2,5 ⋅ 40 = d 2
(v) Luego, d1 + d 2 = 2,5x + 2,5x + 2,5 ⋅ 40 = 5x + 100 .
(vi) Finalmente, la ecuación a resolver es:
5x + 100 = 400
(vii) Resolviendo, se obtiene que x = 60, es decir, los trenes se movían a 60
km/h y 100 km/h, respectivamente.
Presentación de la nueva información:
(0 minutos)
Comente a sus estudiantes que en esta clase se abordarán diversos problemas
que se pueden modelar y resolver mediante ecuaciones e inecuaciones lineales.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los siguientes ejercicios propuestos en el “Cuadernillo de
ejercicios”:
 Página 55
217
 Página 58 y 59, ejercicios 4, 5, 7 (problemas (i) al (m)).
Modele los siguientes:
Respuestas:
a) Ecuación: x + (x + 1) = 65. Al resolver se obtiene x = 32, por lo que el
producto pedido es 32 ⋅ 33 = 1.056 .
b) Ecuación: 2x + 5 = 23. Al resolver se obtiene x = 9, por lo que la longitud es 9
cm.
c) Ecuación: (x – 1) + x + (x + 1) = 153. Al resolver se obtiene x = 51, que es el
número pedido.
d) Ecuación: 4x = 1048. Al resolver se obtiene x = 262, por lo que cada lado del
cuadrado mide 262 cm.
218
Respuestas:
i) Inecuación: x ≤ 120 ⋅ 6 , con lo que se obtiene x ≤ 720 , es decir, se encontrará a
lo más una distancia de 720 km.
j) Inecuación: x – 75 < 26, por lo que se puede afirmar que debía escribir menos
de 101 cartas (es decir, a lo más 100).
k) Inecuación: 12.000 + 100x < 8.000 + 150x. Al resolver se obtiene que 80 < x,
es decir, desde 81 horas en adelante comienza a ser más conveniente el plan A.
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios propuestos y no
resueltos en la práctica guiada del “Cuadernillo de ejercicios”.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(20 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
En el aula de un colegio, se planifica un concierto para adquirir instrumentos
219
musicales. El aula dispone de 400 asientos. Se ofrecen dos entradas diferentes
de $ 1 800 y de $ 3 000. Los ingresos deben ser de $ 1 000 000 como mínimo.
a) ¿Cuántos cupos de $ 3 000 debe tener la sala como mínimo? Elabore una
inecuación para resolver el problema.
b) Resuelven la inecuación y determine los cupos mínimos de $ 3 000.
c) Repita las preguntas anteriores, pero esta vez considerando que se venden
las 400 entradas del evento.
RESPUESTAS:
a) Si designamos por “x” al total de entradas que se venden a $3.000, entonces
se debe considerar que 3.000 x ≥ 1.000.000 (note que dadas las condiciones del
enunciado, existe la posibilidad de que no se vendan todas las entradas del
evento).
b) Resolviendo la inecuación anterior se tiene que:
x ≥ 333, 3
Luego, se requiere un mínimo de 334 entradas a este precio para estar seguros
de lograr el monto.
c) En este caso la condición cambia, ya que si se venden “x” entradas a $3.000,
entonces se venderán (400 – x) entradas a $1.800, estableciendo la siguiente
inecuación:
3.000 x + (400 − x) ⋅ 1.800 ≥ 1.000.000
Al resolver se obtiene que x ≥ 233, 3 , es decir un mínimo de 234 entradas a
$3.000.
220
Unidad 3:
Álgebra y ecuaciones.
Semestre:
1
Habilidades:
Resolver problemas utilizando herramientas computacionales.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
37
Resolver ejercicios que involucren ecuaciones e inecuaciones
lineales, en la plataforma Khan Academy.
Resuelven ejercicios que involucren ecuaciones e inecuaciones
lineales, en la plataforma Khan Academy.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(5 minutos)
Esta clase ha sido pensada para la ejercitación general sobre ecuaciones e
inecuaciones. Para ello, se ha pensado en una clase dedicada al trabajo con
Khan Academy, de manera que se puedan ejercitar en la plataforma los
contenidos antes mencionados. En caso de disponer de tiempo, se sugiere
complementar esta clase con ejercitación con el “Cuadernillo de ejercicios”
(principalmente la resolución de problemas).
Práctica Independiente:
(55 minutos)
Proponga a sus estudiantes las siguientes actividades de Khan Academy:
Busque en Tema: Álgebra -> Resolver ecuaciones
Conceptos básicos de ecuaciones algebraicas:
 Verificar soluciones de ecuaciones (práctica)
Ecuaciones de suma y resta de un paso:
 Ecuaciones de suma y resta de un paso (práctica)
 Ecuaciones de suma y resta de un paso: fracciones y decimales
(práctica)
Ecuaciones de multiplicación y división de un paso:
 Ecuaciones de multiplicación y división de un paso (práctica)
 Ecuaciones de multiplicación y división de un paso: fracciones y
decimales (práctica)
221
Introducción a las ecuaciones de dos pasos:
 Ecuaciones de dos pasos (práctica)
Problemas verbales de ecuaciones de dos pasos
 Problemas verbales de ecuaciones de dos pasos (práctica)
Ecuaciones lineales con variables en ambos lados
 Ecuaciones con variables en ambos lados (práctica)
 Ecuaciones con variables en ambos lados: fracciones y decimales
(práctica)
Busque en Tema: Álgebra -> Resolver desigualdades
Introducción a las desigualdades con variables:
 Verificar soluciones de desigualdades (práctica)
 Graficar desigualdades (práctica)
 Problemas verbales con desigualdades (práctica)
Desigualdades de un paso:
 Desigualdades de un paso (práctica)
Desigualdades de dos pasos:
 Desigualdades de dos pasos (práctica)
 Problemas verbales de desigualdades de dos pasos (práctica)
Desigualdades de varios pasos:
 Desigualdades lineales de varios pasos (práctica)
Cierre:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes realizar las pruebas de unidad de los siguientes
temas de la plataforma Khan Academy:
 Álgebra -> Resolver ecuaciones
 Álgebra -> Resolver desigualdades
222
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
39
Habilidades: Presentar ideas propias y soluciones utilizando palabras gráficos
y símbolos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Recordar el concepto de proporcionalidad directa mediante el
uso de tablas y en diversas situaciones.
 Elaboran, completan y analizan tablas de valores y gráficos,
y descubren que todos los pares de valores tienen el mismo
cociente (“constante de proporcionalidad”).
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(30 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes las
actividades propuestas en el “¿Qué debo saber?” de la página 152 del “Texto
del estudiante” (ejercicios 1 al 4) Modele los siguientes:
Respuesta:
a) Sí, ya que se puede identificar que si uno aumenta el tamaño del diámetro el
perímetro de la circunferencia también lo hará de manera proporcional. Además,
el diámetro cabe exactamente “ π ” veces en el perímetro de la circunferencia, es
decir, el cociente entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia es
constante.
b) Sí, ya que a mayor tiempo de encendida una estufa mayor consumo de
parafina (proporcional al tiempo de encendido) .
223
Respuesta: Basta analizar el cociente de los valores correspondientes. En este
caso:
a) No, ya que el cociente no es siempre el mismo.
b) Sí, ya que el cociente entre los valores correspondientes de las variables y, x
siempre es 2.
Respuesta: Se puede sustituir el valor de “x” en la igualdad y luego resolver la
ecuación para la variable “y”, obteniendo:
a) y = 16.
b) y = 6.
Respuesta: La información nos permite determinar el costo para 6 personas en
un solo día. Para ello, basta con dividir la cantidad total en 12, es decir;
288.000 : 12 = $24.000 por día para 6 personas. Luego, el costo para 1 sola
persona será de 24.000 : 6 = $4.000, es decir, para 15 personas el costo será
de 15 x 4.000 = $60.000.
224
Luego, en 8 días gastarán 8 x 60.000 = $480.000.
2. Realice una puesta en común de las soluciones a la actividad.
3. Sintetice junto a sus estudiantes los siguientes aspectos:
 ¿A qué nos referimos cuando hablamos de proporcionalidad directa?
 ¿Cómo identificamos cuando dos variables son directamente
proporcionales?
4. Finalice preguntando a sus estudiantes: ¿qué representación gráfica tiene
una relación de proporcionalidad directa entre dos variables?
Respuesta: En 7° básico se abordó la representación gráfica de una relación de
proporcionalidad directa entre dos variables mediante una recta en el plano
cartesiano que pasa por el origen. De este modo, se sugiere recordar este
aspecto representando en un sistema de coordenadas algunos de los ejemplos
de las actividades (uno de tabla del ejercicio 2 y uno de los problemas del
ejercicio 4).
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
1. Proponga a sus estudiantes la SITUACIÓN INICIAL que se encuentra anexa
al final de esta clase (solo pregunta 1, partes a, b, c y d).
2. Revise en conjunto con sus estudiantes las respuestas a la actividad,
poniendo el énfasis en la situación de proporcionalidad directa que representa el
ejemplo de la fotocopiadora. Luego, proponga a sus estudiantes la pregunta 2.
3. Revise en conjunto con sus estudiantes las respuestas a la actividad.
3. Pregunte a sus estudiantes: ¿qué relación tiene la constante de
proporcionalidad, en cada uno de los ejemplos, con la fórmula encontrada?
Respuesta: Guíe a sus estudiantes a identificar la constante de proporcionalidad
en el factor que multiplica a la variable “x”.
4. Finalice resaltando junto a sus estudiantes los siguientes aspectos:
225
En conclusión:
Decimos que dos variables son directamente proporcionales cuando el
cociente de sus valores respectivos es constante. Este valor se denomina
constante de proporcionalidad.
Toda relación de proporcionalidad directa entre dos variables x, y se puede
expresar mediante la fórmula y = mx, en donde m es la constante de
proporcionalidad.
Finalice comentando a sus estudiantes que esta forma de modelar una relación
de proporcionalidad directa entre dos variables (y = mx) recibe un nombre
especial que abordaremos con mayor detalle en esta unidad: el de función
lineal.
Práctica Guiada:
(5 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 156,
ejercicios 5 y 6), modelando:
Respuesta: El cociente debe ser siempre el mismo. En este caso, 60 : 30 = 2, es
decir, d = 2t. Luego:
t
15
20
30
55
d
30
40
60
110
226
Respuesta: Se puede calcular directamente la constante de proporcionalidad.
En este caso, y : x = -4. Luego, la ecuación que representa los datos de la tabla
es y = -4x.
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 156 y
157 no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 5 al 8). Se puede considerar
además los problemas del ejercicio 9 como ejercitación complementaria.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
A una persona le pagan en su trabajo $2.500 por hora trabajada. Si designamos
por “x” al número de horas trabajadas y f(x) al pago correspondiente:
a) ¿Es correcto afirmar que las variables “x” y “f(x)” son directamente
proporcionales? Justifique su respuesta.
b) Encuentre una ecuación entre “x” y “f(x)” que represente esta situación.
c) ¿Cuánto dinero gana esta persona al mes si trabaja 8 horas al día durante 20
días?
RESPUESTAS:
a) Sí, ya que el cociente entre el total de dinero y el número de horas trabajadas
227
siempre será 2.500.
b) Como la constante de proporcionalidad es 2.500, la expresión que modela la
situación anterior es f(x) = 2.500x.
c) En total trabajará 20 x 8 =160 horas, es decir, recibirá un pago total de 160 x
2.500 = $400.000.
228
SITUACIÓN INICIAL
En el dibujo se muestra una copiadora que puede aumentar o reducir el tamaño de
los originales:
1. La copiadora está enfocada para duplicar la altura de las letras. Si llamamos “x”
a la altura de las letras originales y f(x) a la altura de las letras de las copias:
a) Complete la siguiente tabla:
b) ¿Las variables altura original y altura de las letras son directamente
proporcionales? Justifique su respuesta.
c) Encuentre una fórmula que relacione x y f(x) de acuerdo a los datos de la tabla.
d) En la expresión anterior, ¿cuál es la variable dependiente y cual la
independiente?
2. Para otro trabajo, la copiadora está enfocada para reducir las alturas de las
letras a la mitad.
a) Complete la siguiente tabla:
b) ¿Las variables altura original y altura de las letras son directamente
proporcionales? Justifique su respuesta.
c) Encuentre una fórmula que relacione x y f(x) de acuerdo a los datos de la tabla.
d) En la expresión anterior, ¿cuál es la variable dependiente y cual la
independiente?
229
RESPUESTAS
Pregunta 1
a)
Altura original x en mm
6
8
10
12
16
20
36
48
72
Altura imagen f(x) en mm
12 16 20
24
32
40
72
96
144
b) Sí, ya que el cociente entre los valores respectivos de f(x) y x siempre es 2.
c) f(x) = 2x
d) La altura de la imagen depende de la altura original, es decir, “f(x)” es la
variable dependiente, “x” es la variable independiente.
Pregunta 2
a)
Altura original x en mm
11
12 16
Altura imagen f(x) en mm
5,5 6
8
18
22
26
28
64
90
9
11
13
14
32
45
b) Sí, ya que el cociente entre los valores respectivos de f(x) y x siempre es 1/2.
c) f(x) =
1
x
2
d) La altura de la imagen depende de la altura original, es decir, “f(x)” es la
variable dependiente, “x” es la variable independiente.
230
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
40
Habilidades: Seleccionar y ajustar modelos lineales para resolver problemas.
Objetivo:
Definir función lineal y analizar sus principales características.
Indicadores
de
evaluación
 Descubren el concepto de función mediante la relación de
proporcionalidad directa.
 Representan la noción de función de manera concreta
(utilizando metáforas de máquinas), pictórica o simbólica.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes la
siguiente situación:
“En la localidad de Cáhuil, ubicada en la Región de O‘Higgins, hay una laguna
de agua de mar desde donde los lugareños extraen sal de mar. La
concentración de la sal extraída es de aproximadamente 35 gramos de sal por
litro de agua”
Analice la situación en conjunto con sus estudiantes, proponiendo las siguientes
preguntas:
a) ¿La situación anterior relaciona dos variables directamente proporcionales?
¿Cuáles? Justifique su respuesta.
Respuesta: Sí, ya que el cociente entre el total de sal y la cantidad de litros de
agua siempre será 35 (se sugiere mostrar mediante una tabla).
b) Si llamamos “x” a la cantidad de agua (medida en litros) y f(x) la cantidad de
sal correspondiente (medida en gramos), una con una flecha el valor del óvalo
de la izquierda que se relaciona con el valor del óvalo de la derecha.
231
Respuesta:
c) En el diagrama anterior solo hemos representado 4 posibles valores para “x”.
Si representáramos todos los posibles valores que podría tomar esta variable,
¿todos los valores de “x” siempre tendrían un valor correspondiente de f(x)?
Justifique su respuesta.
Respuesta: Sí, ya siempre a una cantidad determinada de litros de agua se le
puede extraer una cantidad proporcional de sal.
d) ¿Existe algún valor de “x” que tenga más de un valor correspondiente de f(x),
o siempre el valor correspondiente es uno solo?
Respuesta: Siempre es uno solo, ya que en caso contrario no sería siempre la
misma constante de proporcionalidad.
e) La situación anterior, ¿se cumple siempre en cualquier caso de
proporcionalidad directa?
Respuesta: Sí, ya que al ser una situación de proporcionalidad directa siempre
el cociente entre los valores correspondientes será el mismo, por lo que cada
valor estará asignado con un único valor.
2. Sintetice las principales ideas de la actividad, resaltando que el caso de la
proporcionalidad directa se puede modelar mediante un nuevo concepto
232
matemático: el de función.
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
FUNCIÓN LINEAL
Comience que en matemática, esta idea que relaciona dos variables (una
dependiente y otra independiente) de manera tal que todo valor de la variable
independiente (que llamamos “x”) le corresponde un único valor de la variable
independiente (que llamamos “f(x)”) se denomina función, siendo ésta la forma
de modelar dicha situación, y que por tanto el caso de la proporcionalidad
directa siempre se podrá modelar mediante una función, llamada función lineal.
REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN LINEAL
1. Diagrama sagital: Comente a sus estudiantes que una manera de
representar a una función es mediante los óvalos de la actividad anterior. Esta
representación recibe el nombre de diagrama sagital.
2. Metáfora de una máquina: Otra forma de representar una función es
mediante una metáfora: “piense la situación anterior como una especie de
máquina a la que entra una cantidad de agua de la laguna y sale de ella la
cantidad de sal que contiene”. Analice esta idea en conjunto con sus estudiantes
revisando la Situación 1 de la página 158 del “Texto del estudiante” (se
encuentra anexa al final de esta clase), poniendo en paralelo esta idea y la del
diagrama sagital.
3. Ecuación: La clase anterior y esta hemos visto que toda situación de
proporcionalidad directa la podemos representar mediante una ecuación que
relaciona las dos variables. En el caso de la situación planteada, la constante de
proporcionalidad es 35, por lo que la ecuación que modela la situación es
f(x) = 35x. Esta ecuación es otra forma de representar y modelar una situación
de proporcionalidad directa.
4. Recuerde a sus estudiantes que una situación de proporcionalidad directa
siempre se puede representar mediante una ecuación y = mx, en donde “m” es
la constante de proporcionalidad. De aquí en más, en lugar de llamar x e y a las
variables relacionadas las llamaremos x y f(x), por lo que en vez de anotar
y = mx anotaremos f(x) = mx.
5. Finalice comentando a sus estudiantes que en matemática existen muchos
tipos de funciones, ya que existen muchos tipos de relaciones que se podrían
establecer entre dos variables. Cuando la relación entre ellas es la
proporcionalidad directa, y por tanto la ecuación que la modele sea f(x) = mx, le
233
daremos un nombre especial: función lineal.
En conclusión:
 El concepto de función es un concepto matemático que establece
una relación entre dos variables (una dependiente y otra
independiente), de manera que a todo valor de la variable
independiente siempre le corresponde un único valor de la
variable dependiente. En caso contrario, se dice que dicha relación
no es una función.
 Una función se puede representar de muchas maneras: tabla de
valores, diagramas sagitales, metáfora de una máquina en la que
entran y salen valores, ecuación, etc.
 La relación de proporcionalidad directa entre dos variables es un
ejemplo del concepto de función. Como en matemática existen
muchos tipos de funciones, a este caso se le da un nombre especial
para distinguirla: función lineal.
 La ecuación de la función lineal que modela una situación de
proporcionalidad directa es f(x) = mx, en donde m es la constante
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 161,
ejercicios 1, 6 y 7), modelando:
Respuesta: La variable “y” es el triple de la variable “x”. Luego, la función lineal
es y = 3x o bien, f(x) = 3x.
234
Respuesta: Muestre a sus estudiantes que al plantear la ecuación 4,5x = -45 se
puede obtener el valor de x correspondiente. En este caso, -10. Del mismo
modo, se puede encontrar los otros valores: -6, -3, -9 (también se pueden
calcular mentalmente, ya que al ser número naturales el cálculo es sencillo).
Respuesta: Sola pídales que identifiquen la ecuación de la función
correspondiente. En este caso, f(x) = 4x, ya que la función hace que cada valor
se multiplique por 4.
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 161 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 1, 2, 5 y 6).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
235
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
En una panadería 1 kg de pan cuesta $990. Si llamamos “x” a la cantidad de
pan (medida en kg de pan) y “f(x)” al precio que cuesta dicha cantidad de pan
(medida en $):
a) Encuentre la ecuación de la función lineal que modela la situación anterior.
b) ¿Por qué la situación anterior se puede modelar mediante una función lineal?
c) Represente la función lineal mediante alguna de estas formas vistas en clase:
diagrama sagital o metáfora de una máquina. Para ello, considere los siguientes
valores de “x”: 1, 2, 5 y 10.
RESPUESTAS:
a) f(x) = 990x.
b) Porque la situación relaciona dos variables directamente proporcionales.
c) Se espera que los/as estudiantes elijan alguna de estas representaciones,
relacionado:
1 y 990
2 y 1980
5 y 4950
10 y 9990
236
SITUACIÓN 1, PÁGINA 158, TEXTO DEL ESTUDIANTE
237
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
41
concretas, pictóricas
y
Objetivo:
Elaborar tablas y gráficos relacionados con la función lineal.
Indicadores
de
evaluación
 Elaboran las tablas de valores y gráficos correspondientes,
basados en ecuaciones de funciones lineales f(x) = a • x (y =
a ∙ x).
 Descubren que la inclinación (pendiente) de la gráfica
depende de la constante de la proporcionalidad.
 Verifican que las coordenadas de puntos pertenecientes al
gráfico son soluciones de la ecuación f(x) = a • x.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Proponga a sus estudiantes la siguiente situación:
“Una máquina aumenta al triple la cantidad que le ingresa”
a) ¿La situación anterior corresponde a un caso de proporcionalidad directa?
Justifique.
Respuesta: Sí, ya que el aumento es proporcional (el triple de lo ingresado
siempre).
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre lo que sale y lo que entra en
la máquina?
Respuesta: Siempre sale el triple, por lo que la constante de proporcionalidad es
3.
c) ¿La situación anterior se puede modelar mediante una función lineal? ¿Cuál?
Respuesta: Sí, mediante la función f(x) = 3x, ya que como se vio en la clase
anterior, el número que acompaña a “x” es la constante de proporcionalidad.
d) Complete la siguiente tabla para la función lineal anterior:
238
x
0
1
2
3
x
0
1
2
3
f(x)
0
3
6
9
f(x)
Respuesta:
e) Grafique los datos de la tabla anterior en el plano cartesiano, considerando a
los ingresos como la variable “x”. Describa con sus palabras el tipo de gráfica
asociada a la situación.
Respuesta: La gráfica asociada es una recta que pasa por el origen de
coordenadas (0,0).
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿cómo podemos graficar en el plano cartesiano
una función lineal?
Respuesta: Conduzca a sus estudiantes a identificar la tabla de valores como
recurso útil para elaborar la gráfica de la función lineal.
Presentación de la nueva información:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL
239
(30 minutos)
1. Modele a sus estudiantes cómo representar gráficamente la función lineal
y = 2x en el plano cartesiano elaborando una tabla de valores. Se sugiere
presentar una tabla en la que se evalúen los valores de x: 0, 1, 2 y 3.
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿es necesario construir una tabla con tantos
puntos para construir su gráfica? ¿Cuántos se requieren como mínimo?
Respuesta: Por dos puntos pasa una única recta. Luego, basta con identificar
dos puntos y ubicarlos en el plano cartesiano.
3. Pida a sus estudiantes que grafiquen las siguientes funciones lineales:
y = 5x
y=
1
x
2
4. Concluya reflexionando junto a sus estudiante que al pasar siempre por el
origen la gráfica, en realidad basta con encontrar un punto adicional.
PENDIENTE DE LA GRÁFICA
Se sugiere al docente considerar en las siguientes actividades el uso, por
su parte, de un software geométrico (Geogebra).
1. Muestre a sus estudiantes en una misma gráfica las funciones lineales
1
analizadas en la clase, es decir: y = 3x, y = 2x, y = 5x, y = x .
2
2. Pida a sus estudiantes que miren los factores que acompañan a la variable “x”
240
en cada una de ellas y que lo comparen con el “grado de inclinación” de cada
una de las rectas. ¿Cuál es más inclinada y cuál es menos inclinada?
Respuesta: La más inclinada es y = 5x, mientras que la menos inclinada es
1
y = x.
2
3. ¿Creen que exista alguna relación entre el factor que acompaña a la variable
“x” y el “grado de inclinación” de la recta? ¿Cuál?
Respuesta: Conduzca a sus estudiantes a identificar que a mayor valor es el
número que multiplica a “x” mayor es su “grado de inclinación” (con respecto al
eje X).
4. Muestre la gráfica de diferentes rectas y concluya con sus estudiantes que a
mayor valor mayor es la inclinación respecto al eje X (se sugiere utilizar un
deslizador en Geogebra y mostrar las variaciones que tiene la recta al
hacer variar su pendiente, tanto para valores positivos como para valores
negativos).
5. Si cada una de las funciones lineales representa alguna situación de
proporcionalidad directa, ¿qué representa en cada una de ellas el número que
acompaña a la variable “x”?
Respuesta: La constante de proporcionalidad (esto se vio la clase pasada, por lo
que puede hacer referencia a la clase anterior).
6. ¿Qué conclusión podrían establecer entre la constante de proporcionalidad y
el grado de inclinación de la recta?
Respuesta: Al ser la constante de proporcionalidad el número que multiplica a la
“x” en la ecuación, dicha constante indica el grado de inclinación de la recta.
7. Finalice señalando que desde ahora al “grado de inclinación” de la recta lo
llamaremos pendiente de la recta y la identificaremos con el número que
acompaña a la variable “x” (más adelante daremos una definición formal de este
nuevo concepto).
ECUACIÓN A PARTIR DE LA RECTA
1. Comience señalando a sus estudiantes que en general a la pendiente de una
recta se le designa la letra “m”. Luego, muestre algunos ejemplos a sus
estudiantes:
 Las rectas que representan a las funciones y = 3x, y = 9x tienen
241
pendientes m1 = 3, m2 = 9, respectivamente.
1
1
 Si se tienen las funciones lineales f(x) = x , f(x) = x , ¿cuál de las dos
2
3
tiene una recta más inclinada con respecto a la otra?
Respuesta: Muestre las gráficas en el plano cartesiano para reafirmar la
idea de que a mayor pendiente mayor es la inclinación respecto al eje X.
2. Proponga a sus estudiantes el siguiente gráfico correspondiente a una función
lineal:
Luego, pregunte: ¿cuál es su ecuación?
Respuesta: Promueva la búsqueda de estrategias propias para abordar la
situación. Como solución al problema, al representar una situación de
proporcionalidad directa basta con relacionar los valores correspondientes de
las variables y realizar el cociente entre ellos (determinando así la constante de
proporcionalidad, que es la pendiente de la recta).
En este caso, se puede identificar al punto (4,6) como un punto de la recta,
6 3
concluyendo así que la constante de proporcionalidad es
= , es decir, la
4 2
3
ecuación de la función lineal correspondiente a la recta es f ( x) = x .
2
Finalice sintetizando los aspectos más relevantes revisados en esta clase:
242
En conclusión:
 Toda función lineal se puede representar en el plano cartesiano
mediante una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).
 Definimos de manera intuitiva a la pendiente de la recta como el
“grado de inclinación de la recta”. Por ahora, en una función lineal
f(x) = mx, la pendiente de la recta que la representa la identificamos
con el número “m”.
 A mayor valor tenga la pendiente de una recta, mayor es su
inclinación respecto al eje X.
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 162,
ejercicios 8 y 10), modelando:
Respuesta: Modele elaborando una pequeña tabla de valores, que siempre
incluya a x = 0 y otro posible valor para “x”.
243
Respuesta: Modele ambos realizando la gráfica correspondiente e verificando si
ambos puntos junto al origen son colineales o no.
a) Sí pertenecen a una recta que representa una función lineal. Esta es f(x) = 2x.
b) Sí pertenecen a una recta que representa una función lineal. Esta es f(x) = 2x.
c) No.
Finalice mostrando a sus estudiantes que como la función lineal representa una
situación de proporcionalidad directa, este ejercicio también puede ser abordado
desde el concepto de proporcionalidad directa. Para ello, basta chequear que el
cociente entre las coordenadas de cada punto es el mismo.
Práctica Independiente:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de la página 161 no
abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 8, 9 y 10).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos puntos se necesitan como mínimo para representar gráficamente
una función lineal?
2. ¿Qué relación existe entre la constante de proporcionalidad directa y la
pendiente de la recta?
244
3. Se tiene dos funciones lineales: f(x) = 10x, g(x) = mx. Si se sabe que m es un
número primo y que la gráfica de g(x) es menor inclinada que la de f(x), ¿qué
valores puede tomar “m”? Justifique su respuesta.
RESPUESTAS:
1. Solo dos, ya que dos puntos determinan una recta en el plano. De hecho,
dado que la función lineal siempre se representa mediante una recta que pasa
por el origen, basta con identificar un solo punto, ya que la unión de dicho punto
con el origen dará origen a la recta correspondiente.
2. Tienen el mismo valor.
3. Como g(x) es menos inclinada que f(x), su pendiente tiene que ser menor que
10. Como además se sabe que es un número primo, se concluye que sus
posibles valores son 2, 3, 5 y 7.
245
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
42
Habilidades: Comprobar resultados propios y evaluar procedimientos.
Objetivo:
Analizar propiedades de la función lineal
Indicadores
de
evaluación
 Identifican la pendiente del gráfico Δy/Δx de la función
f(x) = a • x con el factor a.
 Verifican que las coordenadas de puntos pertenecientes al
gráfico son soluciones de la ecuación f(x) = a • x.
 Representan la linealidad f(kx) = kf(x) y f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
en tablas y gráficos.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(10 minutos)
1. Comience la clase proponiendo a sus estudiantes la siguiente gráfica de f(x):
2. Pregunte: ¿la gráfica corresponde a la de una función lineal? Justifique.
Respuesta: Sí, ya que es una recta que pasa por el origen.
3. ¿El punto (3,2) pertenece a la situación modelada con esta función?
Justifique.
246
Respuesta: No. Esto se puede justificar ubicando el punto (3,2) y mostrando que
no pertenece a la recta, o bien calculando el cociente entre sus valores, dado
que es diferente de 2, que es la constante de proporcionalidad.
4. ¿Cuál es la ecuación de f(x)?
Respuesta: Se puede identificar, por ejemplo, el punto (2,4), por lo que la
4
constante de proporcionalidad es = 2 . Luego, la ecuación es f(x) = 2x.
2
5. ¿Cómo definirían la pendiente de una recta con sus palabras?
Respuesta: Busque que sus estudiantes identifiquen las principales
características revisadas hasta acá sobre el concepto de pendiente de una
recta:
 Grado de inclinación de la recta.
 Número que acompaña a la “x” en la ecuación.
 Es el valor de la constante de proporcionalidad de la situación modelada.
6. Finalice mostrando a sus estudiantes diferentes rectas, identificando el
comportamiento que toma la recta (creciente o decreciente), dependiendo del
valor de dicha pendiente (se sugiere mostrar con la ayuda de Geogebra).
Presentación de la nueva información:
(20 minutos)
PENDIENTE DE UNA RECTA
1. Comience concluyendo la actividad anterior mediante el siguiente resultado:
 Si la pendiente es positiva, la recta es creciente.
 Si la pendiente es negativa, la recta es decreciente.
 Si la pendiente es igual a cero, la recta es horizontal.
2. Luego, comente a sus estudiantes que hasta ahora solo se ha abordado de
manera intuitiva el concepto de pendiente, sin dar una definición formal de ella.
En esta clase se dará una definición formal de ella.
2. Pida a sus estudiantes que comience identificando diferentes puntos de la
función lineal dada al inicio de la clase (identifiquen como curso al menos 5
puntos distintos al origen que pertenecen a la recta).
3. Represente gráficamente los puntos identificados por sus estudiantes en la
recta graficada y construya a partir de ellos triángulos rectángulos, mostrando la
variación que se produce desde un punto a otro, como en la siguiente imagen:
247
4. Pídales que elijan dos puntos cualquiera de la lista construida y calculen por
separado los cocientes entre ∆y y ∆x . Modele alguno como ejemplo:
∆y 2
= =2
∆x 1
5. Realice una pequeña puesta en común de los resultados obtenidos por sus
estudiantes, concluyendo que en todos los casos el cociente obtenido es 2.
6. Concluya señalando que lo que se está calculando es la razón de las
variaciones y que ésta es siempre constante en una recta, independiente de los
puntos que se tomen. Por esta razón, matemáticamente se define la pendiente
de una recta como el cociente de estas variaciones, es decir:
m=
∆y
∆x
PROPIEDADES DE LINEALIDAD
1. Pida a sus estudiantes que analicen, a partir del gráfico entregado al inicio de
la clase, las siguientes preguntas:
a) ¿Es verdad que f(7) es lo mismo que f(3) + f(4)?
Respuesta: Comience explicando qué significan las notaciones f(3), f(4) y
f(7), y cómo identificarlos en el gráfico y a partir de la ecuación f(x) = 2x.
248
b) Elija dos números cualquiera a, b, y calcule: f(a), f(b), f(a + b).
Respuesta: Modele un ejemplo.
c) ¿Se cumple que f(a) + f(b) = f(a + b)? Pruebe con varias parejas de
números a, b y concluya si dicha igualdad se cumple siempre.
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes aporten diversos ejemplos,
mostrando que en todos ellos sí se cumple la propiedad.
d) Con los números escogidos, calcule ahora f(ab) y a ⋅ f(b). ¿Se cumple
siempre que f(ab) = a ⋅ f(b)?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes aporten diversos ejemplos,
mostrando que en todos ellos esta propiedad también se cumple.
2. Finalice comentando que la función lineal siempre cumple estas dos
propiedades, que en matemática se conocen como propiedades de linealidad.
En conclusión:
 La pendiente “m” de una recta se define como la razón entre las
Δy
variaciones de “y” y de “x”, es decir, m =
.
Δx
 El valor de la pendiente determina si la recta es creciente (m > 0),
decreciente (m < 0) o constante (horizontal, con m = 0).
 Toda función lineal cumple con dos propiedades fundamentales,
llamadas propiedades de linealidad. Estas son:
f(a) + f(b) = f(a + b)
f(ab) = a ⋅ f(b)
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (páginas 162
y 163, ejercicios 12 y 13), modelando:
249
Respuestas: Modele solo a, b y c:
a) Decreciente, pues -6 < 0.
b) Creciente, pues 7,5 > 0.
c) Decreciente, pues -1,5 < 0.
Respuestas: Corrija en el enunciado de la parte (a) que lo que se pide mostrar
es f(kx) = k ⋅ f(x) Modele solo a y b:
a) f(kx) = f(4 ⋅ 2) = f(8) = 0,4 ⋅ 8 = 3,2
k ⋅ f(x) = 4 ⋅ f(2) = 4 ⋅ (0,4 ⋅ 2) = 4 ⋅ 0,8 = 3,2
Luego, f(kx) = k ⋅ f(x)
b) f(x 1 + x 2 ) = f(2 + -6) = f(-4) = 0,4 ⋅ -4 = -1,6
f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (2) + f (- 6 ) = (0,4 ⋅ 2) + (0,4 ⋅ −6 ) = 0,8 − 2,4 = −1,6
Luego, se cumple que f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 )
250
Práctica Independiente:
(30 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 162 y
163 no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 11 al 15). Puede proponer
como ejercitación complementaria los ejercicios 16 y 17.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Dibuja el gráfico que representa a las funciones f(x) = 2,5x; g(x) = -2x. ¿Cuál
es creciente y cuál es decreciente?
2. Si f(x) es una función lineal tal que f(1) = 5 y f(3) = 15, ¿cuál es el valor de
f(4)? Justifique.
3. (DESAFÍO) Si f(x) es una
f(a + bc) = f(a) + b ⋅ f(c) ? Justifique.
función
lineal,
¿Es
cierto
que
RESPUESTAS:
1. f(x) es creciente y g(x) es decreciente.
2. f(4) = f(1 + 3) = f(1) + f(3) = 5 + 15 = 20.
3. Sí se cumple, ya que por las propiedades de linealidad:
f(a + bc) = f(a) + f(bc)
Pero también por propiedad de linealidad se cumple que f(bc) = b ⋅ f(c) . Luego:
f(a) + f(bc) = f(a) + b ⋅ f(c)
251
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
43
concretas, pictóricas
y
Objetivo:
Definir función afín y analizar sus principales características.
Indicadores
de
evaluación
 Representan, completan y corrigen tablas y gráficos
pertenecientes a cambios con una base fija y tasa de cambio
constante.
 Diferencian modelos afines, lineales y de proporcionalidad
inversa.
 Elaboran, basados en los gráficos, la ecuación de la función
afín: f(x) = a • x + b.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes la
SITUACIÓN INICIAL que se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Realice una pequeña plenaria en la que se analicen cada una de las
preguntas abordadas en la actividad (promueva la discusión).
3. Proponga algunas estrategias de solución en aquellas preguntas que no
presenten solución por parte de los/as estudiantes.
4. Finalice comentando que la situación planteada, que tiene algunas similitudes
con el modelo de función lineal, se modela mediante una nueva función: la
función afín.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
FUNCION AFÍN
1. Muestre a sus estudiantes en una misma gráfica las funciones f(x) = 2x y
g(x) = 2x + 5.
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿qué similitudes ven entre ambas gráficas? ¿qué
diferencias?
Respuesta: Se espera que los/as estudiantes identifiquen que ambas se
252
representan mediante una recta, que ambas rectas presentan la misma
inclinación (la misma pendiente). En cambio, solo la correspondiente a la lineal
pasa por el origen.
3. Muestre diferentes funciones afines y lineales de igual pendiente (se sugiere
utilizar deslizadores en Geogebra para mostrar muchos ejemplos).
4. Concluya señalando que al sumar a una función lineal un número “n” distinto
de cero, se obtiene una nueva función cuya representación gráfica es la misma
recta, pero desplazada “n” unidades en el eje Y. Esta función se denomina
función afín.
En conclusión:
Al sumar a una función lineal f(x) = mx un número “n” distinto de cero se
obtiene una nueva función f(x) = mx + n, llamada función afín.
La gráfica de una función afín f(x) = mx + n es la misma gráfica de la
función f(x) = mx, pero desplazada “n” unidades en el eje Y.
Práctica Guiada:
(10 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (páginas 166
y 167, ejercicios 5 y 7), modelando:
Respuesta: La función que se genera es n(x) = 2x – 1. Muestre a sus
estudiantes la gráfica de m(x) = 2x primero, luego la de n(x) = 2x – 1 como un
desplazamiento de una unidad hacia abajo.
253
Respuestas: Modele a, b y c, mostrando que siempre se parte con una cantidad
fija y luego se le suma un valor de forma constante.
a) d = 9.000 – 500s
b) d = 3.000 + 300x
c) p = 400 – 30x
Práctica Independiente:
(25 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 166 y
167 no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 5, 7 y 8).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(15 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
1. Explique y ejemplifique cómo se define una función afín.
2. Dibuje en el plano cartesiano la función afín g(x) que se obtiene al restar 2
unidades a la función lineal f(x) = 4x.
3. Una persona debe pagar en su cuenta de agua todos los meses $1.000, más
$1,5 por cada litro de agua consumido. Modele la cantidad de dinero a pagar (f)
por una persona que consume una cantidad (x) de m3 en el mes. ¿Es una
254
función lineal o afín? Justifique.
RESPUESTAS:
1. Es una función de la forma f(x) = mx + n, con m ≠ 0 .
2. Se obtiene la función g(x) = 4x – 2, que tiene la misma gráfica de f(x) = 4x
pero desplazada “-2 unidades” en el eje Y.
3. f(x) = 1,5x + 1.000
255
SITUACIÓN INICIAL
Un pino de 5 cm de altura llegó a un vivero. Una de las jornaleras del recinto
constató que el pino fue creciendo en forma constante durante sus primeras diez
semanas, como se indica en la figura:
1. Complete la siguiente tabla de valores:
Tiempo transcurrido (en semanas)
0
1
2
3
4
Altura del pino (en cm)
2. Grafique en el plano cartesiano la información de la tabla anterior, identificando
en el eje X al “tiempo transcurrido” y en el eje Y a la “altura del pino”.
3. ¿Se puede afirmar que la altura del pino se puede modelar mediante una
función lineal? Justifique su respuesta.
4. ¿Cómo calcularía la altura del pino al cabo de 25 semanas?
5. Encuentre una ecuación que modele la altura “h” en términos del tiempo
transcurrido “x”.
256
RESPUESTAS
1.
Tiempo transcurrido (en semanas)
0
1
2
3
4
Altura del pino (en cm)
5
7
9
11
13
2.
3. No, ya que la recta no pasa por el origen.
4. Por ejemplo, se parte desde 5 y luego se suma constantemente 2 durante 25
meses, es decir, 50 en total, obteniendo una altura de 55 cm.
5. h(x) = 2x + 5
257
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
Habilidades: Elegir y utilizar representaciones
simbólicas.
44
concretas, pictóricas
y
Objetivo:
Analizar propiedades de la función afín.
Indicadores
de
evaluación
 Elaboran gráficos de funciones afines a y b dadas o con dos
puntos dados y verifican que las coordenadas de puntos
pertenecientes al gráfico son soluciones de la ecuación
f(x) = a • x + b.
 Identifican, en la ecuación funcional, el factor a con la
pendiente Δx/Δy de la recta y el sumando b con el segmento
entre el punto de intersección del gráfico con el eje vertical y
el origen O(0,0).
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes el
siguiente gráfico:
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿la gráfica anterior a qué tipo de función
corresponde? Justifique su respuesta.
Respuesta: Representa a una función afín, ya que la gráfica corresponde a una
recta que no pasa por el origen.
3. Dibuje y encuentre la ecuación de una función lineal cuya representación
gráfica sea una recta con la misma pendiente de la gráfica.
258
Respuesta: Invite a sus estudiantes a intentar dibujar una recta que pase por el
origen y que tenga la misma inclinación (pendiente) que la recta graficada.
La ecuación de la función lineal que se pide es f(x) =
1
x
2
4. ¿Cuál cree usted que es la ecuación de la función representada en la gráfica?
Respuesta: Promueva en sus estudiantes la búsqueda de estrategias propias
para poder dar con la ecuación, relacionando la gráfica con la de la función
lineal de la pregunta anterior, pero desplazada 2 unidades hacia arriba en el eje
1
Y. La función buscada es: f(x) = x + 2
2
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
ECUACIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
1. Comience comentando a sus estudiantes que para encontrar la ecuación de
una función afín a partir de su gráfica nos basaremos en su pendiente y en su
punto de corte con el eje Y.
2. Comience recordando junto a sus estudiantes cómo se definía la pendiente
de una recta, esto es:
m=
∆y
∆x
Recuerde también a sus estudiantes que la pendiente representa la razón entre
las variaciones en el eje Y con respecto al eje X entre dos puntos cualesquiera
de la recta.
3. Proponga a sus estudiantes identificar dos puntos cualesquiera de la gráfica
anterior y encontrar la pendiente de la recta. Concluya este punto señalando que
1
al identificar la pendiente de la recta (que en este caso es ), ya se sabe que
2
1
esta función afín proviene de la función lineal f(x) = x , pero desplazada.
2
4. Muestre con la ayuda de Geogebra (y un deslizador apropiado) rectas de la
1
forma f(x) = x + n . Concluya junto a sus estudiantes que el valor de “n”
2
determina el punto de corte con el eje Y (promueva el descubrimiento por parte
de sus estudiantes), concluyendo entonces que la ecuación de la recta de la
259
gráfica debe ser f(x) =
1
x+2.
2
5. Concluya los aspectos más relevantes con el siguiente recuadro:
En conclusión:
Dada una función afín f(x) = mx + n, su gráfica corresponde a una recta que
tiene pendiente igual a “m” y que intersecta al eje Y en “n”, es decir, en el
punto (0,n)
Práctica Guiada:
(20 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 170,
ejercicios 2, 4 y 5), modelando:
Respuesta: Al restar 3 unidades la gráfica se traslada “-3 unidades” en el eje Y.
Respuestas: Modele los siguientes ejercicios, graficando previamente cada una de las
funciones:
a) Entre x = -1 y x = 2: ∆ y = 6 , ∆ x = 3 , obteniendo
Entre x = 1 y x = 2: ∆ y = 2 , ∆ x = 1 , obteniendo
260
∆y
∆x
∆y
∆x
= 2.
= 2.
b) Entre x = -2 y x = 0: ∆ y = −6 , ∆ x = 2 , obteniendo
Entre x = 0 y x = 1: ∆ y = −3 , ∆ x = 1 , obteniendo
∆y
∆x
∆y
∆x
= −3 .
= −3 .
Respuesta: Comience modelando el ejemplo con el que se introduce a la pregunta. La
función es f(x) = −
1
x + 1.
2
Respuesta: Modele ubicando dos puntos en la gráfica (por ejemplo, (-3,0) y (0,-2)).
Luego, proponga la pendiente como el cociente de las variaciones (“¿cuánto me muevo
verticalmente vs cuánto me muevo horizontalmente para llegar desde un punto a
otro?”).
−2
2
= − , mientras que el punto de corte con el eje
3
3
2
Y es n = −2 . Luego, su ecuación es y = − x − 2
3
En este caso, la pendiente es m =
261
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 143 y
144 no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 4 al 9).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Sea f(x) = 2x – 1. Con respecto al gráfico de esta función:
1. ¿Cuál es su intersección con el eje Y?
2. ¿Cuál es su pendiente?
3. Grafique la función en el plano cartesiano.
RESPUESTAS:
1. Intersecta en -1, es decir, en el punto (0,-1).
2. Su pendiente es m = 2.
262
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
45
Habilidades: Presentar ideas propias y soluciones utilizando palabras gráficos
y símbolos.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Modelar y resolver problemas relacionados con la función lineal
y afín.
 Resolver problemas rutinarios mediante la función lineal y la
función afín.
 Determinan las regiones en el plano cartesiano cuyos puntos
p(x,y) representan soluciones (x,y) de las inecuaciones:
y <a • x + b o y > a • x + b.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(20 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes la
SITUACIÓN INICIAL 1 que se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Realice una pequeña puesta en común de las actividades propuestas en la
SITUACIÓN INICIAL 1, promoviendo el uso y comunicación de estrategias
propias para cada una de ellas.
3. Finalice concluyendo que, a pesar de que tanto las funciones lineal y afín
tienen como representación gráfica una recta, solo aquellas que representan
una recta que pasa por el origen cumplen con las propiedades de linealidad,
razón por la cual se hace esta distinción entre funciones lineales y afines.
Presentación de la nueva información:
(15 minutos)
1. Proponga a sus estudiantes la SITUACIÓN INICIAL 2 que se encuentra
anexa al final de esta clase.
2. En la pregunta 2 de la actividad, muestre a sus estudiantes las zonas del
plano cartesiano correspondientes a los semiplanos A y B allí señalados.
3. Realice una puesta en común de las actividades de la SITUACIÓN INICIAL 2,
promoviendo el uso y comunicación de estrategias propias para cada una de
ellas.
4. Finalice estableciendo junto a sus estudiantes las siguientes conclusiones:
263
En conclusión:
 ¿Cómo se puede saber si un punto pertenece a la gráfica de
una función?
Respuesta: Basta con reemplazar el valor de “x” en la ecuación. El
resultado debe ser igual a la segunda coordenada del punto para
que pertenezca a la gráfica. En caso contrario, el punto no
pertenece a la gráfica.
 Si un punto no pertenece a la gráfica de una función, ¿cómo se
puede saber si está sobre o bajo su gráfica?
Respuesta: Al reemplazar el valor de “x” en la ecuación y calcular el
valor, el resultado se puede comparar con la coordenada “y” del
punto. Si ésta es mayor al valor calculado, está sobre la gráfica,
pero si es menor, está bajo ella.
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Modele a sus estudiantes la Situación inicial 1 y 2 de las páginas 172 y 173 del
“Texto del estudiante” (se encuentran anexas al final de esta clase).
Se sugiere leer junto con sus estudiantes el problema y proponerles responder a
la pregunta que se desprende de la situación, para luego modelar las estrategias
presentadas en el texto a sus estudiantes y dar respuesta a ella.
Práctica Independiente:
(20 minutos)
Proponga a sus estudiantes abordar los ejercicios de las páginas 174 y 175 del
“Texto del estudiante” (ejercicios 1, 3, 4, 6 y 7). Se sugiere dejar como desafío
para aquellos/as estudiantes que hayan terminado las actividades los ejercicios
8 y 9 que siguen a continuación.
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Considere el gráfico de la SITUACIÓN INICIAL 2:
264
1. Calcule la coordenada faltante para que los siguientes puntos pertenezcan al
gráfico:
a) H(12,y1)
b) K(x2,-13)
c) L(x3;9,5)
2. Según las coordenadas del punto H de la pregunta anterior, ¿qué condiciones
debe cumplir y1 para que y1 > 2x – 3? Justifique su respuesta.
RESPUESTAS:
1. Primero obtenemos la ecuación de la función. Podemos ver que su pendiente
es 2 y que intersecta al eje Y en -3, por lo que su ecuación es y = 2x – 3. De
esta forma:
a) Sustituimos x = 12, obteniendo:
y = 2(12) – 3 = 24 – 3 = 21
Luego, y1 = 21.
b) Sustituimos y = -13, obteniendo:
-13 = 2x – 3
-10 = 2x
-5 = x
Luego, x2 = -5.
265
c) Sustituimos y = 9,5, obteniendo:
9,5 = 2x – 3
12,5 = 2x
6,25 = x
Luego, x3 = 6,25.
2. Al sustituir x = 12 se obtiene:
y = 2(12) – 3 = 24 – 3 = 21
Luego, para que y1 > 2x – 3, gráficamente se requiere que el punto esté sobre la
recta, es decir, que y1 > 21.
266
SITUACIÓN INICIAL 1
Dos empresas, que realizan viajes estudiantiles, cobran un monto fijo para el
chofer que se agrega a los kilómetros recorridos. El profesor a cargo del viaje
elaboró dos gráficos con los cuales se puede aproximar y calcular los gastos para
el curso. La variable y representa los gastos totales y la variable x, los kilómetros
recorridos.
1. Elabore las ecuaciones de ambas funciones afines y represéntelas en la forma
y = ax + b.
2. Determine, mediante el gráfico, el cobro total de ambas empresas para 100 km
y 200 km.
3. Verifique, con los resultados del ejercicio anterior, si se cumple o no la linealidad
en cada función. Recuerde que las propiedades de linealidad establecen que:
f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 )
f(k ⋅ x) = k ⋅ f(x)
4. Determine, mediante el gráfico, el kilometraje a partir del cual la cotización de la
empresa B es más conveniente que la de la empresa A.
5. A medida que los kilómetros recorridos aumentan, ¿se vuelve más o menos
relevante el cobro fijo cobrado por el chofer en cada caso?
267
RESPUESTAS
1. Las ecuaciones de las funciones que modelan cada una de las opciones son:
Modelo A: y = 600x + 50.000
Modelo B: y = 400x + 80.000
2.
Modelo
Cobro para 100 km
Cobro para 200 km
A
$110.000
$170.000
B
$120.000
$160.000
3. Se puede verificar para cada función, por ejemplo, si se cumple que:
f(200) = f(100) + f(100)
f(200) = 2f(100)
Calculando:
Modelo
f(100) + f(100)
f(200)
2f(100)
A
$220.000
$170.000
$220.000
B
$240.000
$160.000
$240.000
4. A partir de la gráfica se puede obtener que, para ambos modelos, f(150) =
140.000, que corresponde a la intersección de las rectas. Desde ese punto el
modelo B pasa a ser el más conveniente, es decir, desde los 150 km de viaje en
adelante.
5. El cobro inicial se vuelve cada vez menos relevante, ya que lo que hace que se
establezcan cada vez más diferencias entre los modelos es la pendiente de cada
una de las rectas.
268
SITUACIÓN INICIAL 2
El siguiente gráfico representa a una función:
1. Encuentre su ecuación y decida si es una función lineal, afín, o ninguna de
ellas. Justifique su respuesta.
2. La gráfica divide al plano en dos “semiplanos”: uno sobre la recta (que
llamaremos semiplano A) y otro bajo la recta (que llamaremos semiplano B).
Determine en cada uno de los siguientes puntos si pertenece al semiplano A,
semiplano B o a la recta graficada.
A(4,7), B(-1,-5), C(6,12), D(7,15), E(-2,-8), F(8,17), G(10,22)
3. Sean A(3,a) y B(b,5) dos puntos del plano cartesiano.
a) ¿Qué condiciones debe cumplir “a” para que el punto A pertenezca al
semiplano A? ¿Al semiplano B? ¿A la recta?
b) Repita las preguntas anteriores para el punto B, estableciendo condiciones
para el valor b.
269
RESPUESTAS
1. y = 2x – 3. Luego, la función graficada es una función afín, ya que su gráfica
corresponde a una recta que no pasa por el origen.
2. La gráfica divide al plano en dos “semiplanos”: uno sobre la recta (que
llamaremos semiplano A) y otro bajo la recta (que llamaremos semiplano B).
Determine en cada uno de los siguientes puntos si pertenece al semiplano A,
semiplano B o a la recta graficada.
A(4,7), B(-1,-5), C(6,12), D(7,15), E(-2,-8), F(8,13), G(10,13)
Semiplano A: Puntos A, C, D, F.
Semiplano B: Puntos E, G
Recta: Puntos B, F
3. Sean A(3,a) y B(b,5) dos puntos del plano cartesiano.
a) ¿Qué condiciones debe cumplir “a” para que el punto A pertenezca al
semiplano A? ¿Al semiplano B? ¿A la recta?
Respuesta: Al reemplazar x = 3 se obtiene y = 3. Luego, podemos distinguir
tres casos:
Semiplano A: a > 3
Recta: a = 3
Semiplano B: a < 3
b) Repita las preguntas anteriores para el punto B, estableciendo condiciones
para el valor b.
Respuesta: Al reemplazar y = 5 se obtiene x = 4. Luego, podemos distinguir
tres casos:
Semiplano A: b > 4
Recta: b = 4
Semiplano B: b < 4
270
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
N° Clase
46
Habilidades: Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y de
la vida diaria.
Objetivo:
Indicadores
de
evaluación
Modelar situaciones de la vida diaria mediante funciones lineales
y afines.
 Modelan situaciones de la vida cotidiana o de ciencias con
funciones lineales.
 Modelan situaciones de la vida diaria o de ciencias con
funciones afines.
 Resuelven problemas de la vida diaria o de ciencias que
involucran el cambio constante expresado mediante
ecuaciones recursivas de la forma f(x + 1) – f(x) = c.
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
(15 minutos)
1. Comience formando grupos de trabajo y proponiendo a sus estudiantes la
situación inicial que se encuentra anexa al final de esta clase.
2. Revise pregunta a pregunta la actividad, poniendo especial énfasis en las
preguntas 3 y 5.
3. Comente que una de las características de la función lineal es que período
tras período se agrega siempre una cantidad constante, por lo que siempre se
podrá definir de una manera recursiva, de la forma:
f(t + 1) = f(t) + c
4. Finalice preguntando a sus estudiantes: ¿cuál es el valor de “c” en la
ecuación anterior y qué relación tiene con la pendiente de la recta?
Respuesta: Este valor es 25.000, es decir, la pendiente de la recta que la
representa.
Presentación de la nueva información:
(10 minutos)
MODELANDO CON FUNCIONES LINEALES Y AFINES
1. Comience formalizando que una función lineal se puede modelar mediante un
modelo recursivo de la forma f(t + 1) = f(t) + c, siendo “c” el cambio constante en
271
intervalos de largo uno. Luego, este valor corresponde a la pendiente de la
recta.
2. Pregunte a sus estudiantes: ¿la función afín se puede modelar mediante una
ecuación recursiva como la anterior? Tome como ejemplo la función
f(x) = 25.000x + 20.000 y justifique su respuesta.
Respuesta: Motive a sus estudiantes a calcular algunos valores: f(1), f(2), f(3),
f(4), y verificar si se cumple la fórmula f(t + 1) = f(t) + c, para algún valor de “c”.
Calculando los valores:
f(1) = 45.000
f(2) = 70.000
f(3) = 95.000
f(4) = 120.000
De esta forma, se puede ver que el cambio también es constante, aumentando
cada vez en 25.000.
3. Concluya que este cambio constante representa es característico de las
rectas, razón por la cual tanto la función lineal como afín se pueden modelar de
esta forma (se sugiere mostrar otras gráficas, no rectas, de manera que los/as
estudiantes puedan apreciar que en otras gráficas el cambio no es constante,
por lo que no es posible definirlas recursivamente de esta manera).
Práctica Guiada:
(15 minutos)
Considere los ejercicios propuestos en el “Texto del estudiante” (página 178,
ejercicios 5 y 6), modelando:
Respuesta: Comience modelando el ejemplo que introduce a la pregunta.
272
Respuesta: Definimos las variables:
x: cantidad de camisas producidas.
C(x) = costo total, en pesos.
C(x) = 2.000x + 350.000
Respuesta: Comience modelando el ejemplo que introduce a la pregunta.
Respuesta: Comience haciendo notar que la ecuación establece un cambio
constante de 4 mm por año, partiendo con una medida inicial de 20 mm, es
decir, C(1)
273
x
C(x + 1) – C(x) = 4
1
C(2) = C(1) + 4 = 20 + 4 = 24
2
C(3) = 24 + 4 = 28
3
C(4) = 28 + 4 = 32
4
C(5) = 32 + 4 = 36
5
C(6) = 36 + 4 = 40
6
C(7) = 40 + 4 = 44
7
C(8) = 44 + 4 = 48
Luego, al cabo de 8 años su diámetro será de 8 mm
Práctica Independiente:
(30 minutos)
Proponga a sus estudiantes continuar con los ejercicios de las páginas 178 y
179 no abordados en la Práctica Guiada (ejercicios 4 al 8).
Se sugiere promover el trabajo en parejas y monitorear el desarrollo de las
actividades.
Cierre:
(10 minutos)
Proponga el siguiente ticket de salida. Finalice revisándolo en conjunto.
TICKET DE SALIDA
Una persona deposita un dinero en el banco. Éste le ofrece un interés simple, el
cual será modelado por:
f(t + 1) = f(t) + c,
siendo t el tiempo (medido en meses) y f(t) el dinero total de la persona
transcurridos “t” meses.
Si la persona deposita $50.000 en el banco y al cabo del primer mes recibe un
2% de interés.
1. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo del primer mes?
2. ¿Cuál será el saldo de esta persona al cabo de un año si no retira su dinero?
274
3. ¿Cuál es el valor de la constante “c” en el modelo?
4. ¿Esta situación se ha modelado con una función lineal o afín? Justifique.
RESPUESTAS:
1. Como el banco le da un 2% de interés, el cual corresponde a $1.000, al cabo
del primer mes tendrá $51.000.
2. Como el modelo establece un cambio constante mes a mes, al cabo de un
año habrá sumado $12.000, obteniendo un saldo de $62.000.
3. La constante es el cambio mes a mes, que en este caso es 1.000.
4. Afín, ya que la función que modela la situación es f(t) = 50.000 + 1.000t
275
SITUACIÓN INICIAL
El curso 8° B, de 20 alumnos, tiene una caja de ahorro para hacer una fiesta a
fines de septiembre. En el Consejo de Curso al inicio del año, deciden pagar
mensualmente una cuota de $ 1 000 cada uno.
1. Complete la siguiente tabla, que muestra el ahorro inicial y el cambio mes a
mes:
2. Elabore la ecuación de una función matemática f que modela el ahorro del
curso, considerando que la variable independiente es el tiempo t y la constante del
ahorro mensual es c.
3. ¿Se cumple que el total ahorrado mes a mes es igual al ahorro del mes anterior
más una cantidad constante?
4. Si designamos por t = 1 el mes de marzo, ya que desde ese mes se comienza a
ahorrar, a qué meses representan los valores:
a) t = 1
b) t = 2
c) t = 5
5. ¿Se cumple que f(t + 1) = f(t) + c? Justifique su respuesta.
276
RESPUESTAS
1.
Ahorro
Ahorro
Ahorro
Ahorro
Ahorro
Ahorro
Ahorro
acumulado acumulado acumulado acumulado acumulado acumulado acumulado
marzo
abril
mayo
junio
julio
agosto
septiembre
25.000
Cambio
del saldo
50.000
150.000
200.000
250.000
300.000
350.000
25.000
25.000
25.000
25.000
25.000
25.000
Cambio
del saldo
Cambio
del saldo
Cambio
del saldo
Cambio
del saldo
Cambio
del saldo
Cambio
del saldo
2. f(t) = 25.000t
3. Sí, ya que mes a mes el cambio del saldo es de $25.000, por lo que el ahorro
de un determinado mes es igual al mes anterior más $25.000.
4. Abril, mayo y agosto.
5. Sí, ya que la fórmula indica que cada mes es el resultado del mes anterior más
una cantidad constante, y como en este caso mes a mes se suma una cantidad
constante, la fórmula correcta es f(t + 1) = f(t) + 25.000.
277
Unidad 4:
Función lineal y afín
Semestre:
1
Habilidades:
 Usar modelos para resolver problemas de otras asignaturas y
de la vida diaria.
 Evaluar la argumentación de otros
 Resolver problemas utilizando herramientas computacionales.
Objetivo:
 Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con función lineal y afín.
 Resolver ejercicios que involucren función lineal y afín en la
plataforma Khan Academy.
 Resuelven problemas desafiantes en grupos y de forma
colaborativa, relacionados con función lineal y afín.
 Resuelven ejercicios que involucren función lineal y afín en la
plataforma Khan Academy.
Indicadores
de
evaluación
N° Clase
Inicio: (Preparando el nuevo aprendizaje)
47
(5 minutos)
La propuesta de esta sesión considera dos momentos: la primera mitad estará
enfocada en la realización de un PRM, con un problema desafiante relacionado
con función lineal y afín. La segunda mitad de la clase se enfoca en la
resolución de problemas relativos a la Unidad 4.
Por lo anterior, se sugiere explicar a los(as) estudiantes estos dos momentos
que tendrá la clase y partir estableciendo los grupos de trabajo para el PRM, los
cuales pueden también ser aprovechados para la segunda parte de la clase.
Práctica independiente (PRM):
(20 minutos)
Comience contextualizando a sus estudiantes sobre el trabajo que se realizará
en esta sesión, destacando los elementos esenciales del trabajo en PRM:
1. Se espera un trabajo autónomo de los(as) estudiantes, tanto en la
organización de trabajo, como en la lectura, comprensión y abordaje de los
problemas.
2. Se espera un trabajo colaborativo de los(as) estudiantes, poniendo al servicio
del grupo todas sus habilidades, en la búsqueda de la comprensión y resolución
de los problemas por parte de cada uno(a) de los(as) integrantes del grupo.
3. Posterior al trabajo por grupo se realizará un plenario final en la que los
278
grupos deberán exponer sus respuestas, soluciones e inquietudes.
Luego, proponga a sus estudiantes el Enunciado PRM que se encuentra
adjunto al final de esta clase.
Solución:
(i) Primero modelamos la situación. Al ser un cambio constante, se puede
modelar mediante una función afín. Esta es:
f(x) = 493.530 + 3.000x
(ii) Podemos averiguar a los cuantos meses obtendrá $900.000. Para ello:
900.000 = 493.530 + 3000x
406.470 = 3000x
135,49 = x
(iv) Luego, al cabo de 136 meses su cuenta pasará a ser “cuenta vip” (note que
no se especifica en el enunciado qué sucede en dicho mes, ya que en el mes
135 no excederá los 900.000, pero en el mes 136 sí, quedando sin claridad qué
si el monto con el que comenzará su “cuenta vip” será de $900.000 o
$901.530, que es el monto que obtendría al sumar 136 veces un interés de
$3.000. No obstante, esto no es impedimento para responder a la pregunta).
Plenario:
(10 minutos)
Realice plenario final de la actividad, procurando tener en consideración los
siguientes aspectos:
1. Tiempo para el plenario final (asegúrese de disponer al menos de 10 minutos
para ello).
2. Preguntas indagadoras (indague en sus estudiantes no solo respuestas, sino
también obstáculos que se presentaron, como por ejemplo problemas para
comprender el enunciado, intentos previos a su respuesta definitiva que
descartaron por alguna razón, cómo se generó la idea definitiva para abordar el
problema).
3. De acuerdo a su monitoreo por los grupos, procure rescatar en el plenario
final todas las distintas formas en las que los(as) estudiantes llegaron a una
respuesta.
4. En caso de que los(as) estudiantes no hayan llegado a una respuesta,
279
modere el plenario final rescatando las ideas de todos los grupos de manera que
como curso puedan dar con una respuesta al problema.
Algunas preguntas facilitadoras que pueden contribuir al trabajo de los(as)
estudiantes:
1. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al cabo de los primeros 6 meses?
2. ¿De qué forma va creciendo su ahorro?
3. ¿Qué situaciones se pueden modelar mediante la función lineal o la función
afín?
Pregunta de profundización:
Las cuentas que ofrece este banco, ¿responden a un modelo lineal, afín u otro?
Justifique su respuesta.
Solución:
La “cuenta especia” se modela mediante una función afín, ya que su ecuación
es de la forma f(x) = mx + n, siendo n un número distinto de cero (también se
puede argumentar que presenta un cambio constante, partiendo de una
cantidad fija distinta de cero).
En cuanto a la “cuenta vip”, esta no es lineal ni tampoco afín, ya que no
presenta un cambio constante (mes a mes el interés va creciendo, ya que se
basa en un porcentaje fijo pero de una cantidad anterior, la cual es cada vez
más grande). Luego, responde a otro modelo, distinto del lineal y del afín.
Práctica independiente:
(30 minutos)
Proponga a sus estudiantes las siguientes actividades de Khan Academy (se
proponen a continuación abundante ejercitación, de manera que el/la docente
las considere para ejercitación en la clase y como ejercitación complementaria):
Busque en Tema: 8° Grado -> Ecuaciones lineales y funciones
Intersecciones:
 Intersecciones a partir de una gráfica (práctica)
 Intersecciones a partir de una ecuación (práctica)
La pendiente:
 La pendiente a partir de una gráfica (práctica)
 La pendiente a partir de dos puntos (práctica)
280
 Pendiente a partir de la ecuación (práctica)
Cuestionario #2
Graficar la forma pendiente-ordenada al origen
 Graficar a partir de la pendiente-ordenada al origen (práctica)
Modelos lineales
 Problemas verbales de ecuaciones de lineales: gráficas (práctica)
 Problemas verbales de ecuaciones de lineales (práctica)
 Problemas verbales de modelos lineales (práctica)
Reconocer funciones
 Reconocer funciones a partir de tablas (práctica)
 Reconocer funciones a partir de gráficas (práctica)
Funciones lineales y no lineales
 Funciones lineales y no lineales (práctica)
 Interpretar gráficas (práctica)
Cuestionario #3
Cierre:
(15 minutos)
Proponga a sus estudiantes como ticket de salida grupal realizar la Prueba de
unidad propuesta en:
8° Grado -> Ecuaciones lineales y funciones
281
PROBLEMA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Enunciado:
En el “Banco X” cualquier persona puede tener una “cuenta especial" que
entrega $3.000 de intereses al mes, y que tiene una capacidad máxima $900.000.
Después de eso se pasa a una “cuenta vip", la cual ofrece un interés tal que
cada mes entrega un 1% del monto que se tiene el mes anterior.
Magdalena tiene $493.530 y decide depositarlos en esta “cuenta especial”.
¿En cuánto tiempo Magdalena pasará a una “cuenta vip”?
282
Preguntas PSU Planificación 8º básico Iº Semestre
Eje Números
Clase 1:
➢ Recordar operatoria con números enteros: adición y sustracción.
➢ Representar la multiplicación por -1 en situaciones concretas.
Respuesta: B
Clase 2:
No
Clase 3:
No
Clase 4:
No
Clase 5: Definir fracciones negativas y decimales negativos y representar
operaciones en la recta numérica.
Respuesta: C
Clase 8: Representar sumas y restas de fracciones y decimales negativos en
la recta numérica.
Respuesta: D
Clase 9:
➢ Representar multiplicaciones de fracciones y decimales negativos en
la recta numérica.
➢ Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria de fracciones
y decimales.
Respuesta: A
Respuesta: D
Clase 10: Representar divisiones de fracciones y decimales negativos en la
recta numérica.
Respuesta: C
Clase 11: Resolver ejercicios rutinarios que involucren operatoria de
fracciones y decimales.
Respuesta: E
Respuesta: D
Clase 12:
No
Clase 14:
No
Clase 15:
No
Clase 16:
No
Clase 17:
No
Clase 18:
No
Clase 20: Definir raíz cuadrada y estimar su valor.
Respuesta: C
Clase 21: Ubicar raíces cuadradas de forma aproximada en la recta
numérica.
Respuesta: B
Clase 22: Resolver problemas rutinarios y de la vida diaria que involucran
raíces cuadradas.
Respuesta: A
Clase 24:
➢ Resolver problemas desafiantes en grupos y de forma colaborativa,
relacionados con potencias.
➢ Resolver problemas que involucran propiedades de las potencias.
Respuesta: E
Respuesta: B
Clase 25: Recordar definición y cálculo de porcentajes.
Respuesta: E
Clase 26:
➢ Identificar y expresar variaciones porcentuales.
➢ Resolver
problemas
rutinarios
que
involucran
porcentuales.
Respuesta: D
Respuesta: C
Clase 27:
No
variaciones
Eje Álgebra
Clase 30:
No
Clase 31: Factorizar expresiones algebraicas: factor común.
Respuesta: D
Clase 32:
No
Clase 33:
No
Clase 34: Resolver ecuaciones lineales y problemas con ecuaciones lineales.
Respuesta: A
Respuesta: B
Respuesta: D
Clase 35:
N0
Clase 36: Resolver problemas mediante ecuaciones e inecuaciones lineales.
Respuesta: C
Clase 39: Recordar el concepto de proporcionalidad directa mediante el uso
de tablas y en diversas situaciones.
Respuesta: D
Clase 40:
No
Clase 41:
No
Clase 42:
No
Clase 43:
No
Clase 44:
No
Clase 45:
No
Clase 46: Modelar y resolver situaciones de la vida diaria mediante funciones
lineales y afines.
Respuesta: C
Respuesta: C