laplace

L
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definiciones integrales
Transformada de Laplace
F  s   L  f  t   lim

b
b  0
Transformada inversa de Laplace
e  st f  t  dt
s es en realidad una variable compleja pero se trata
como constante durante la integración
f t  
1
L F  s   Rlim

1
2πi
σ  iR

σ  iR
e st F  s  ds
σ es un número real elegido de tal forma que todos los polos de
F  s  queden a la izquierda de la recta vertical que pasa por σ
Tabla de transformadas
f t 
L  f  t 
1
1
s
tn
n!
n es un entero positivo
1
2
3
1
6
e
n es un entero positivo
senh kt  sen kt
2k 3
s4  k4
n 1
18
cosh kt  cos kt
2k 2 s
s4  k4
π
4s 3
19
1  cos kt
20
1
sa
at
t ne at
17
π
s
t
5
L  f  t 
s
t
4
f t 
21
n!
 s  a
n 1
sen kt
k
2
s  k2
8
cos kt
s
s2  k 2
9
senh kt
k
s2  k 2
7
10
cosh kt
11
e at sen kt
12
e at cos kt
13
t sen kt
14
t cos kt
 s  a
 s  a 2  k 2
2ks
 k2

2
 k2

s
2
16
sen kt  kt cos kt
s
2
k
2

2 2

ln t
 k2

1
s
2
s
2
a
2
a
2
 s
2
 b2

2
 b2

s
 s
γ  ln s
s
γ es la constante de Euler
 γ  ln s 
π

6s
s
25
  γ  ln t 
ln s
s
26
27
28
2ks 2
k
cos bt  cos at
a2  b2
2
ln 2 t
2
2k 3
sen kt  kt cos kt

k
24
s2  k2
s

ab a  b
2
s

3
( γ  0.5772156 )
 s  a 2  k 2
s
a sen bt  b sen at
23
k
2
s
2

s
s2  k 2
15
REVISIÓN 6 – 86256.94
22

s s2  k 2
kt  sen kt
2
k2
2 2
29
π2
6
 γ  ln t 2 
ln 2 s
s
e at  e  bt
t
 sb 
ln 

 sa 
e at  e  bt
sb  sa
4πt 3
a
4πt
3
e a
30
erf  t 
31
sen t
t
2
2
/4t
e a
es
2
/4
s
s
 1  erf  12 s  
arctan
1
s
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Teoremas y propiedades diversas
1
L c
Linearidad
1 f1
 t   c 2 f 2  t     c n f n  t   c1F1  s   c 2F2  s     c nFn  t 
donde c1 , c 2 , … c n son constantes
2
Primer teorema de traslación
 F s
L e f  t   L  f  t 
L F  s  a   e L F  s   e f  t 
at
s  s a
s  s a
1
3
Segundo teorema de traslación
donde la función escalón unitario es
0,
U  t  a   1,
0t a
t a
1
at
at
L  f  t  a U  t  a   e L  f  t   e F  s 
L e F  s   L F  s  U  t  a   f  t  a U  t  a 
 as
1
 as
1
 as
t t  a
4
Función multiplicada por t n
(derivada de transformada)
L t
n
5
Función dividida entre t
(integral de transformada)
L 
f t  

t 
Transformada de derivada
L  dfdt   sF  s   f  0 
6
 F  s  a


f  t    1 
2


s

2

n
dn
F s
ds n
n
F  s  ds
L  ddt f   s F  s   sf  0  f   0 
2

n
L  ddt f   s F  s   s
n 1
n
7
Transformada de integral
L  
t
0
8
Teorema de convolución
donde la integral de convolución es
f *g
9

t
0
f  τ  g t  τ  dτ
f  0   s n2 f   0     sf 
n 2 
0 
f
n 1 
0
 F s
f  t  dt  
s

L  f * g  L  f  t  L  g  t   F  s  G  s 
L F  s  G  s   f * g
1
Transformada de una función periódica
con periodo T tal que f  t  T   f  t 
L  f  t   1  1e 
T
10 Transformada de una función periódica
con periodo T tal que g  t  T    g  t 
L  g  t   1  1e 
T
 sT
 sT
0
0
e  st f  t  dt
e  st g  t  dt
 1
, t0  a  t  t0  a

δ a  t  t 0    2a
0, t  t  a o bien t  t  a
0
0
sa
 e  sa
 st 0 e
δ a  t  t 0   e
2sa
L
11 Función delta de Dirac
δ t  t0 
, t  t 0

0, t  t 0
L δ  t  t
0
  e  st
0
12 Derivada de la función delta
(función doble impulso)
L  dtd δ  t  t
13 Teorema del valor inicial
lim f  t   lim  sF  s  
14 Teorema del valor final
REVISIÓN 6 – 86256.94
t 0
0
   se  st
0

s 
lim f  t   lim  sF  s  
s 0
t 
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