LECCION #4 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

LECCION 4: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Decimos que dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma
y tamaño, de manera que al colocar una de las figuras sobre la otra, éstas coinciden
perfectamente.
Debemos establecer una correspondencia uno a uno entre los vértices del primer triángulo y
los del segundo de esta manera ABC  DEF. De esta correspondencia se obtiene que
AB  DE , BC  EF, AC  DF y A  D, B  E,
C  F.
En resumen podemos escribir la correspondencia ABC  DEF.
Definición 1: Congruencia de triángulos
Sean ABC, DEF dos triángulos y una correspondencia uno a uno ABC  DEF entre sus
vértices. Si cada par de lados correspondientes son congruentes, y cada par de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una congruencia. Es decir,
la correspondencia ABC  DEF es una congruencia si se cumple cada una de las siguientes
condiciones:
1. AB  DE
4. A  D
2. BC  EF
5. B  E
3. AC  DF
6. C  F
Para indicar esta correspondencia es una congruencia escribimos ABC  DEF.
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Mgtr. Eric Hidalgo
Definiciones 2.
1. Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados congruentes.
2. Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene sus tres lados congruentes.
3. Un triángulo equiángulo es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes.
4. Un triángulo escaleno es un triángulo que no tiene lados congruentes.
Postulado LAL: Toda correspondencia LAL es una congruencia
Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos lados y el ángulo comprendido del
primer triángulo son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de un segundo
triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.
La siguiente figura ilustra una congruencia LAL.
Postulado ALA: Toda correspondencia ALA es una congruencia
Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos ángulos y el lado comprendido del
primer triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de un segundo
triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.
La siguiente figura ilustra una congruencia ALA.
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Postulado LLL: Toda correspondencia LLL es una congruencia
Dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los tres del primer triángulo son
congruentes con
los
lados correspondientes del segundo triángulo, entonces la
correspondencia es una congruencia.
La siguiente figura ilustra una congruencia LLL
A continuación presentamos algunos teoremas y corolarios en cuya demostración se aplica los
postulados anteriores.
Teorema 1: Teorema del Triángulos Isósceles.
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a ellos son
congruentes.
Demostración: Sea ABC con AB  AC . Consideremos la correspondencia ABC  ACB
del triángulo ABC consigo mismo. Entonces, como AB  AC , A  A y AC  AB . Por el
Postulado LAL, la correspondencia es una congruencia. Por lo tanto, B  C .
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Corolario 1: Todo triángulo equilátero es equiángulo.
Demostración
Afirmación
Justificación
1
ABC es equilátero
Hipótesis
2
𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐶
Definición de triángulo equilátero
3
∡𝐵 ≅ ∡𝐶 ≅ ∡𝐴
Teorema del triángulo isósceles
4
ABC es equiángulo
Definición de triángulo equiángulo
El siguiente teorema es el recíproco del teorema 8
Teorema 2: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a
ellos son congruentes.
Demostración.
Sea ABC un triángulo. Consideremos la correspondencia ABC  ACB del triángulo ABC
con el mismo. Por hipótesis se tiene que B  C, 𝐵𝐶 ≅ 𝐶𝐵 C  B. Por el Postulado
LAL, la correspondencia ABC  ACB es una congruencia. Por lo tanto, 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶.
Corolario 2: Todo triángulo equiángulo es equilátero
Demostración.
Afirmación
Justificación
1
ABC es equiángulo
Hipótesis
2
∡𝐵 ≅ ∡𝐶 ≅ ∡𝐴
Definición de triángulo equiángulo
3
𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐶
Teorema 2
4
ABC es equiángulo
Definición de triángulo equiángulo
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Definición 3. Si D está en el interior del ABC, y ABDDBC, entonces el rayo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 biseca
al ABC, y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷
se llama la bisectriz del ABC.
Teorema 3: Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.
Demostración: (Existencia)
⃗⃗⃗⃗⃗ tal que ̅̅̅̅
Sea BAC un ángulo. Tómese dos puntos D y E en los rayos ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 y 𝐵𝐶
𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅
𝐵𝐸 .
Sea F el punto medio DE .
Por el Teorema LLL, DBFEBF. Por lo tanto, DBFEBF y así, el rayo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐹 biseca ABC.
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Hemos demostrado que ABC tiene cuando menos una bisectriz.
Demostración (unicidad)
Supongamos que ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐺 biseca al ángulo ABC. Entonces, el punto G está en el interior del
ángulo ABC.
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ tal que 𝐵𝐷
̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐸
̅̅̅̅ . Puesto que D y E están
Tómese dos puntos D y E en los rayos 𝐵𝐴
en lados opuestos de la recta ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐺 , por el Postulados de la Separación de Planos se tiene
̅̅̅̅
𝐷𝐸 ∩ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐺 = {𝐻}, como se ilustra en la figura
Por el postulado LAL, DBH  EBH y en consecuencia 𝐷𝐻 = 𝐸𝐻. Como 𝐷𝐸 tiene un solo
punto medio, entonces BAC tiene exactamente una bisectriz.
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE PERPENDICULARES
Teorema 4: En un plano dado, y por un punto dado de una recta, pasa una y solo una recta
perpendicular a la recta dada.
Demostración
Sea ℓ una recta y P un punto de una recta ℓ. Sea H uno de los semiplanos determinados por
la recta ℓ sea A un punto cualquiera de ℓ, diferente de P. Por el Postulado de la construcción
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del ángulo, existe un rayo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵,
perpendicularidad
con B en H tal que mBPA = 90. Luego, por definición de
⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵 = ℓ1 ⊥ ℓ en P.
El siguiente teorema nos dice que por un punto de una recta pasa una única perpendicular a
dicha recta. Este es un teorema de unicidad que demostraremos aplicando el método
indirecto de demostración “redución al absurdo”
Teorema 5: Desde un punto P de una recta dada, existe a lo sumo una recta perpendicular
a la recta dada que pasa por P.
Demostración.
Sea ℓ una recta y P un punto de ella. Supongamos que ℓ1 y ℓ2 son dos rectas distintas
perpendiculares a ℓ que pasa por P. En consecuencia, ∡QPA 𝑦 ∡𝑅𝑃𝐴 son ángulos rectos.
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Por definición de perpendicular se tiene que mQPA = 90 y mRPA = 90. Por el Teorema
de construcción de ángulo los rayos ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑅 coinciden. Por lo tanto, se concluye que ℓ1 y ℓ2
coinciden.
Teorema 6: Sea una recta y un punto fuera de ella, existe una recta que pasa por el punto
dado y es perpendicular a la recta dada.
Demostración:
Sea  una recta y P un punto tal que P∉  . Por el axioma AI1 la recta 
⃗⃗⃗⃗⃗ y así quede
contiene al menos dos puntos Q y R. Tracemos en el semiplano H 1 el rayo 𝑄𝑃
determinado el ángulo PQR en este semiplano tal que 𝑚∡𝑃𝑄𝑅 = 𝑟°. Por el teorema de la
construcción del ángulo existe en el semiplano H2 un punto S tal que ∡PQR ≅ ∡𝑆𝑄𝑅.
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Por el Teorema de la construcción del segmento, existe un punto T en el rayo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑆 tal que
̅̅̅̅ ≅ 𝑄𝑃
̅̅̅̅.
𝑄𝑇
Como P y T están en lados opuestos de la recta ℓ, por el Postulado de separación del plano
⃡⃗⃗⃗ = {𝑋}
ℓ ∩ 𝑃𝑇
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
Ahora tenemos que 𝑄𝑇
𝑄𝑃,
∡PQX ≅ ∡𝑇𝑄𝑋
y ̅̅̅̅
𝑄𝑋. Luego, aplicando el postulado de
congruencia LAL se tiene que ∆PQX ≅ ∆𝑇𝑄𝑋 y en consecuencia ∡PXQ ≅ ∡𝑇𝑋𝑄.
Por la definición 1, los ángulos ∡PXQ 𝑦 ∡𝑇𝑋𝑄 son ángulos rectos, ya son congruentes y
además forman un par lineal.
⃡⃗⃗⃗ ⊥ ℓ,
Como ∡PXQ es un ángulo recto, por definición de perpendicularidad se concluye que 𝑃𝑇
como se quería demostrar.
Teorema 7: Desde un punto externo P a una recta dada, existe a lo sumo una recta
perpendicular a la recta dada que pasa por P.
Demostración
Supongamos que ℓ1 y ℓ2 son dos rectas distintas perpendiculares a ℓ que pasa por P. Sean
A y B los puntos donde ℓ1 y ℓ2 intersecan a ℓ. En consecuencia, ∡PAB 𝑦 ∡𝑃𝐵𝐴 son ángulos
rectos.
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Por el Teorema de localización de puntos, existe un 𝑅 en el rayo opuesto al rayo ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃 tal que
̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝑄
̅̅̅̅.
𝐴𝑃
̅̅̅̅ y formemos el triángulo AQB. Los ángulos  QAB y  PAB forman
Tracemos el segmento 𝑄𝐵
un par lineal donde  PAB es un ángulo recto. Por lo tanto,  QAB también es un ángulo recto.
̅̅̅̅ ≅ 𝑄𝐴
̅̅̅̅, ∡PAB ≅ ∡𝑄𝐴𝐵 y 𝐴𝐵
̅̅̅̅ es común que aplicando el postulado de
Ahora tenemos que 𝑃𝐴
congruencia LAL se tiene que ∆PAB ≅ ∆𝑄𝐴𝐵 y en consecuencia ∡𝑃𝐵𝐴 ≅ ∡𝑄𝐵𝐴.
Como ∡𝑃𝐵𝐴 es un ángulo recto y forma un par lineal con ∡QBA se tiene que ∡QBA también
⃡⃗⃗⃗⃗ es perpendicular a la recta ℓ en B que
es un ángulo recto. Esto significa que la recta 𝑄𝐵
pertenece a esta recta.
⃡⃗⃗⃗⃗ perpendiculares a la recta ℓ por un punto B de esta recta,
Así tenemos dos rectas ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵 𝑦 𝑄𝐵
lo que contradice el teorema 11. Por lo tanto, por el punto exterior a ℓ pasa una única
perpendicular.
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SEGMENTOS EN UN TRIÁNGULO
Definición 4: Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice del
triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres medianas, una para cada vértice. El punto de intersección de las
medianas se lama baricentro.
Definición 5: Un segmento es una bisectriz de un ángulo del triángulo si:
(1) Esta en el rayo que biseca al ángulo del triángulo, y
(2) Sus extremos son el vértice de ese ángulo y un punto del lado opuesto.
Todo triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo. El punto de intersección de las
medianas se lama Incentro.
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Definición 6: Una altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde el vértice del
triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.
En las figuras anteriores AD es la altura desde el vértice A al segmento BC. Todo triángulo
tiene tres alturas, una desde cada vértice como se puede observar en las siguientes figuras.
El punto de intersección de las tres alturas se llama Ortocentro. Observe que si el triángulo es
acutángulo, el ortocentro está en el interior del triángulo (figura de la izquierda), y si el triángulo
es obtusángulo, las alturas se intersecan en el exterior del triángulo (figura de la derecha)
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