Solucionario de Matemáticas: Polinomios, Grados y Clases

Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
POLINOMIOS: GRADOS Y CLASES
4.
1.
José le pregunta a Miguel cuántos años tiene, y este
le dice que tiene tantos años como la suma de coeficientes
de 𝐏(𝐱). Si
𝐏(𝐱 − 𝟐) = 𝟓𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟔
¿Cuál es la edad de Miguel?
A. 25 años
B. 36 años
C. 39 años
D. 45 años
E. 46 años
RESOLUCIÓN:
A.
B.
C.
D.
E.
Calcula:(𝒏 − 𝒎)𝟑 ; para que el polinomio:
𝑸(𝒙; 𝒚) = 𝟓𝒙𝒎+𝟐 𝒚𝒏−𝟑 + 𝟕𝒙𝒎+𝟐 𝒚𝒏−𝟏 + 𝟏𝟏𝒙𝒎+𝟑 𝒚𝒏−𝟐 ;
sea de grado absoluto 8 y de grado relativo con respecto a
“y” igual a 5.
RESOLUCIÓN:
G.A.=8 → 𝑚 + 𝑛 + 1 = 8…(1)
G.R.(y)=5 → 𝑛 − 1 = 5 → 𝑛 = 6
En (1) 𝑚 + 6 + 1 = 8 → 𝑚 = 1
Luego (𝑛 − 𝑚)3 = 125
P(x − 2) = 5x 2 − 2x + 6
Haciendo 𝑧 = 𝑥 − 2 → 𝑥 = 𝑧 + 2
P(z) = 5(z + 2)2 − 2(z + 2) + 6
Suma de coeficientes = P(1) = 5(9) − 2(3) + 6 = 45 𝑎ñ𝑜𝑠
Respuesta: D
Respuesta: D
5.
Hallar el valor del término independiente del
polinomio 𝑨(𝒙), si este es completo, ordenado en forma
2.
Rony quiere comprar una calculadora científica, en la
tienda le informan que el costo en soles es igual a la suma
de coeficientes de:
𝐏(𝐱) = 𝟓(𝐱 + 𝟑)𝟑 − (𝟑𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟒)(𝟐𝐱 + 𝟔)
¿Cuál es el costo de la calculadora?
A. 𝑆/120
B. 𝑆/130
C. 𝑆/220
D. 𝑆/240
E. 𝑆/280
descendente y de grado 10.
𝑨(𝒙) = 𝒙𝒂+𝒃 + 𝒙𝒃+𝟐 + ⋯ + (𝟐𝒂 + 𝒃)
A.
B.
C.
D.
E.
𝐴(𝑥) = 𝑥 𝑎+𝑏 + 𝑥 𝑏+2 + ⋯ + (2𝑎 + 𝑏)
Como grado del polinomio es 10 tenemos:
𝑎 + 𝑏 = 10... (1)
Además, es completo y ordenado en forma descendente
entonces:
𝑎 + 𝑏 − (𝑏 + 2) = 1 → 𝑎 = 3
En (1) 3 + 𝑏 = 10 → 𝑏 = 7
Término independiente: 2𝑎 + 𝑏 = 2(3) + 7 = 13
P(x) = 5(x + 3)3 − (3x 2 − 2x + 4)(2x + 6)
Suma de coeficientes = P(1)
P(1) = 5(1 + 3)3 − (3(1)2 − 2(1) + 4)(2(1) + 6)
P(1) = 5(4)3 − (3 − 2 + 4)(2 + 6)
P(1) = 320 − 40 = 280
Respuesta: B
6.
Determinar la suma de los valores que puede asumir
“p” en el polinomio homogéneo
Costo de la calculadora S/280.
Respuesta: E
Calcular el coeficiente del monomio
𝑴(𝒙; 𝒚) =
𝟏
−𝟗𝟑𝒂 (− )𝟑𝒃 𝒙𝟑𝒂+𝟐𝒃 𝒚𝟑𝒂−𝒃 ,
𝟑
𝑸(𝒙; 𝒚) = 𝒙𝒏
𝟐 +𝟒
− 𝟐𝒙𝟑𝒏 𝒚𝟒 + 𝟑𝒙𝒑 𝒚𝟑
A. 9
B. 8
C. 7
D. 10
E. 11
RESOLUCIÓN:
si su grado absoluto es 8
y el grado relativo respecto a "𝒚" es 1.
A. 1
B. 2
C. −1
D. 10
E. 15
2
𝑄(𝑥; 𝑦) = 𝑥 𝑛 +4 − 2𝑥 3𝑛 𝑦 4 + 3𝑥 𝑝 𝑦 3
𝑛2 + 4 = 3𝑛 + 4 = 𝑝 + 3
𝑛2 + 4 = 3𝑛 + 4 → 𝑛2 = 3𝑛
𝑛2 − 3𝑛 = 0
𝑛(𝑛 − 3) = 0
𝑛=0 ∨ 𝑛=3
En 3𝑛 + 4 = 𝑝 + 3
Para 𝑛 = 0 tenemos: 3(0) + 4 = 𝑝 + 3 → 𝑝 = 1
Para 𝑛 = 3 tenemos: 3(3) + 4 = 𝑝 + 3 → 𝑝 = 10
Suma valores de p= 11
RESOLUCIÓN:
G.A.=8 → 6𝑎 + 𝑏 = 8…(1)
G.R.(y)=1 → 3𝑎 − 𝑏 = 1…(2)
Sumando (1) y (2) 9𝑎 = 9 → 𝑎 = 1 → 𝑏 = 2
1
1
Luego: 𝑐𝑜𝑒𝑓 = −93(1) (− )3(2) = −36 . 6 = −1
3
15
13
11
6
1
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
3.
90
100
110
125
130
3
Respuesta: E
Respuesta: C
1
Matemática Solucionario 01
7.
CEPRUNSA 2021 II FASE
Si el polinomio Mónico:
𝑴(𝒙) =
(𝒂+𝒎+𝒏+𝒑)
𝟔
𝒎−𝟏𝟎
𝒙
𝒎−𝒏+𝟓
+ 𝟓𝒙
10. Determinar el grado absoluto del polinomio
𝑹(𝒙) = 𝒙𝒂+𝟖 + 𝒙𝒂−𝟒 + 𝒙𝟔−𝒂 , el cual está ordenado en forma
descendente.
A. 6
B. 8
C. 12
D. 13
E. 14
𝒑−𝒏+𝟔
+ 𝟐𝒙
es completo y ordenado en forma descendente. Hallar el
valor de: "𝒂".
A.
B.
C.
D.
E.
−32
−31
−29
−25
−16
RESOLUCIÓN:
𝑎+8≥ 0 ∧ 𝑎−4 ≥ 0 ∧ 6−𝑎 ≥ 0
𝑎 ≥ −8 ∧ 𝑎 ≥ 4 ∧ 𝑎 ≤ 6
Luego 4 ≤ 𝑎 ≤ 6 → 𝑎 = 4,5,6
𝑎 = 4 → 𝑅(𝑥) = 𝑥12 + 1 + 𝑥 2
𝑎 = 5 → 𝑅(𝑥) = 𝑥13 + 𝑥 + 𝑥
𝑎 = 6 → 𝑅(𝑥) = 𝑥14 + 𝑥 2 + 1
ordenado
descendente.
Luego 𝐺. 𝐴=14
RESOLUCIÓN:
(𝑎 + 𝑚 + 𝑛 + 𝑝) 𝑚−10
𝑥
+ 5𝑥 𝑚−𝑛+5 + 2𝑥 𝑝−𝑛+6
6
𝑚 − 10 = 2 → 𝑚 = 12
𝑚 − 𝑛 + 5 = 1 → 𝑛 = 16
𝑝 − 𝑛 + 6 = 0 → 𝑝 = 10
Como 𝑀(𝑥) es mónico
(𝑎 + 𝑚 + 𝑛 + 𝑝)
=1
6
𝑎 + 38 = 6 → 𝑎 = −32
Respuesta: A
𝑀(𝑥) =
forma
Respuesta: E
11. Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo.
𝑸(𝒙) = 𝒃(𝒙𝟐 + 𝒙) − 𝟐𝒂𝒙𝟐 − 𝟑𝒄𝒙 + 𝒄 − 𝒂 + 𝟏;
8.
Si el siguiente polinomio es completo, calcular la suma
de sus coeficientes.
𝑷(𝒙) = 𝟏𝟑𝒏𝒙𝒏+𝒑 + 𝒒𝒙𝒏+𝒑+𝟐 + 𝟏𝟑𝒑𝒙𝒒−𝟏𝟏
A.
B.
C.
D.
E.
en
Calcular el valor de: "𝒂𝒄 − 𝒃".
A. 3
B. 12
C. 21
D. 30
E. 36
9
12
27
30
31
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
𝑄(𝑥) = 𝑏(𝑥 2 + 𝑥) − 2𝑎𝑥 2 − 3𝑐𝑥 + 𝑐 − 𝑎 + 1 ≡ 0
𝑄(𝑥) = (𝑏 − 2𝑎)𝑥 2 + (𝑏 − 3𝑐)𝑥 + 𝑐 − 𝑎 + 1 ≡ 0
𝑏 − 2𝑎 = 0 → 𝑏 = 2𝑎 …(1)
𝑏 − 3𝑐 = 0 → 𝑏 = 3𝑐…(2)
𝑐 − 𝑎 + 1 = 0 … (3)
De (1) y (2) 𝑎 = 3𝑘 , 𝑐 = 2𝑘
𝑐 − 𝑎 + 1 = 0 … (3)
𝑃(𝑥) = 13𝑛𝑥 𝑛+𝑝 + 𝑞𝑥 𝑛+𝑝+2 + 13𝑝𝑥 𝑞−11
Analizando el polinomio concluimos que
𝑛+𝑝 =0
𝑞 − 11 = 1 → 𝑞 = 12
Suma de coeficientes = 13n + 13p + q
Suma de coeficientes = 13(n + p) + q = 13(0) + 12 = 12
2𝑘 − 3𝑘 + 1 = 0 → 𝑘 = 1 → 𝑎 = 3, 𝑐 = 2 𝑦 𝑏 = 6
𝑎 𝑐 − 𝑏 = 32 − 6 = 3
Respuesta: B
Respuesta: A
9.
Calcular “n” en el polinomio
𝑷(𝒙) = (𝟑𝒏𝒙 − 𝟐𝒏)𝟐 + 𝒙𝟐𝒏 + 𝟏𝟐𝒙, si la suma de coeficientes
de 𝑷(𝒙) de excede en 1 al término independiente.
A. −2
B. 2
C. ±2
D. 0
E. 1
12.
Hallar "𝒂𝒃𝒄", si el polinomio:
𝒂
𝒃
𝒄 +𝟏𝟎
𝑷(𝒙; 𝒚; 𝒛) = 𝒙𝒂 −𝟗 𝒚𝒃 + 𝒚𝒃 +𝟗 𝒛𝟕 + 𝒛𝒄
grado de homogeneidad 20.
A. 9
B. 12
C. 21
D. 25
E. 36
RESOLUCIÓN:
𝒙𝟐𝒂 ; posee
RESOLUCIÓN:
Suma de coeficientes-Término independiente=1
𝑃(1) − 𝑃(0) = 1
(3𝑛 − 2𝑛)2 + (1)2𝑛 + 12(1) − (−2𝑛)2 = 1
𝑛2 + 13 − 4𝑛2 = 1
3𝑛2 = 12
𝑛 = ±2
Luego 𝑛 = 2
Respuesta: B
𝑎
𝑏
𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 𝑎 −9 . 𝑦 𝑏 + 𝑦 𝑏 +9 . 𝑧 7 + 𝑧 𝑐
𝑏
𝑏 + 9 + 7 = 20 → 𝑏 𝑏 = 4 → 𝑏 = 2
𝑎𝑎 − 9 + 𝑏 = 20 → 𝑎𝑎 = 27 → 𝑎 = 3
𝑐 𝑐 + 10 + 2𝑎 = 20 → 𝑐 𝑐 = 4 → 𝑐 = 2
Luego : 𝑎𝑏𝑐 = 2.3.2 = 12.
𝑐 +10
. 𝑥 2𝑎
Respuesta: B
2
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CEPRUNSA 2021 II FASE
DIVISIÓN POR RUFFINI Y HORNER
RESOLUCIÓN:
4𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 =
13. Completar la división por el método de Ruffini y da como
respuesta la suma de los coeficientes del cociente:
8
𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏
𝒙−𝟏
3
2
-5
+1
5
3
÷4
0
5
1
10
0
-1
5
6
12
9
6
8
16
12
8
11
2
4
3
2
3
4
1
3
4
2
𝑄(𝑥)
A. 9
B. 11
C. 6
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥) = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 3𝑥 + 2
𝑅(𝑥) = 11
Producto de coeficientes del cociente
(2)(4)(3)(2) = 48
Respuesta: E
D. 20
E. 4
RESOLUCIÓN:
15. Al dividir el polinomio el resto es 4. Encontrar el valor
de “m”.
(𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝒎) ÷ (𝒙 − 𝟐)
Antes de empezar a dividir nos aseguramos que el dividendo
y el divisor estén completos y ordenados.
Luego colocamos los coeficientes del dividendo en forma
horizontal e igualamos el divisor a cero despejando la
variable este valor es entre el cual se dividirá.
𝑥−1=0 →𝑥 =1
3
+1
3
2
-5
1
1
3
5
0
1
5
0
1
2
1
A. 1
B. 2
2
8
1
C. 32
D. 12
E. 0
1
2
𝟑
𝟒
6
3+5+1=9
Respuesta: A
2
4
36-m
1
-3
0
-2
-m
2
8
10
20
36
4
5
10
18
36-m
𝑹(𝒙) = 𝟒
𝟑𝟔 − 𝒎 = 𝟒
𝒎 = 𝟑𝟐
Respuesta: C
-1
12
12
18
2
𝟖𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝟓
𝟒𝒙 − 𝟑
10
-m
𝒙−𝟐=𝟎 →𝒙=𝟐
13. Completar la división por el método de Ruffini y da como
respuesta el producto de los coeficientes del cociente:
8
10
4
-2
10
RESOLUCIÓN:
𝑄(𝑥)
𝑅(𝑥)
3
𝑄(𝑥) = 3𝑥 + 5𝑥 2 + 0𝑥 + 1
𝑄(𝑥) = 3𝑥 3 + 5𝑥 2 + 1
𝑅(𝑥) = 2
Suma de coeficientes del cociente
0
2
16. completar la división por Ruffini y multiplica la suma
los valores que completaste con el residuo.
5
6
(𝟑𝒙𝟓 + 𝟏𝟎𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑) ÷ (𝒙 + 𝟒)
8
2
3
A. 𝟐𝟗
B. 𝟏𝟏
C. 𝟔𝟎
D. 𝟐𝟎𝟎
E. 𝟒𝟖
-12
3
A. 20
B. 11
C. 60
D. 17
E. 18
3
-2
-4
13
-10
8
-16
12
2
-3
-11
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RESOLUCIÓN:
3
𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = −4
3
-4
3
-2
10
-4
13
-10
-3
-12
8
-16
12
-8
-2
4
-3
2
-11
3
-4
-1
-2
-1
-6
20
-38
80
-10
19
-40
79
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥) = 3𝑦 3 − 10𝑦 2 + 19𝑦 − 40
Pero 𝑥 3 = 𝑦
Entonces:
Sumamos los valores que completamos y los multiplicamos
con el residuo
(−4 + 10 + 4 − 3 − 8)(−11)
(10 − 11)(−11)
(−1)(−11) = 11
Respuesta: B
𝑄(𝑥) = 3(𝑥 3 )3 − 10(𝑥 3 )2 + 19𝑥 3 − 40
𝑄(𝑥) = 3𝑥 9 − 10𝑥 6 + 19𝑥 3 − 40
𝑅(𝑥) = 79
Respuesta: D
17. Encontrar el cociente de esta división. Aplica el método
de Ruffini (−𝟖𝒙𝟑 + 𝟑 − 𝒙 + 𝟕𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟔 ) ÷ (𝟐𝒙 + 𝟏).
𝟔𝒙𝟓 +𝟓𝒙𝟒 −𝟒𝒙𝟐 −𝟖𝒙𝟑 −𝟔𝒙+𝟒
que
𝟐𝒙𝟑 +𝟑𝒙𝟐 −𝟏
19. Completar los términos
𝟏
−
𝟐
0
7
-8
0
-1
-2
1
-4
6
-3
6
-4
4
8
-1
÷𝟐
-6
3
faltan en esquema de Horner y encuentra el cociente y
residuo.
5
2
-2
6
-3
0
1
A. 𝟐𝒙𝟓 −𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
B. −𝟐𝒙𝟓 +𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
C. 𝟐𝒙𝟓 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
a
D. 𝟐𝒙𝟓 −𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
E. 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
0
7
-8
0
-1
3
-2
1
-4
6
-3
2
4
-2
8
-12
6
-4
5
2
-1
4
-6
3
-2
1
−
2
÷2
-8
-4
-6
4
-9
0
6
3
0
3
c
0
-1
2
d
e
-2
b
A. 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏; 𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑
B. 𝑸(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏; 𝑹(𝒙) = −𝟓
C. 𝑸(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏; 𝑹(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙
RESOLUCIÓN:
4
5
D. 𝑸(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏; 𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
E. 𝑸(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏; 𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑
RESOLUCIÓN:
Nos aseguramos que el dividendo y el divisor estén
completos y ordenados
𝑄(𝑥) = 2𝑥 5 −𝑥 4 + 4𝑥 3 − 6𝑥 2 + 3𝑥 − 2
𝑅(𝑥) = 5
Respuesta: D
2
6
-3
0
1
18. Aplicar el método de Ruffini para hallar el residuo de la
división: (𝟑𝒙𝟏𝟐 − 𝟒𝒙𝟗 − 𝒙𝟔 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏) ÷ (𝒙𝟑 + 𝟐)
A. 60
B. 70
C. 72
D. 79
E. 80
3
5
-8
-4
-6
4
-9
0
6
3
0
3
-2
0
-1
2
-8
3
-2
-1
Con el algoritmo de Horner
𝑎 = 6÷2 =3
𝑏 = (−8 + 6) ÷ 2 = −1
𝑐 = (−2)(1) = -2
𝑑 = −6 + 𝑐 = −6 + (−2) = −8
𝑒 = 4−1 = 3
𝑄(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1
RESOLUCIÓN:
Hacemos cambio de variable para el dividendo
𝑥3 = 𝑦
3
4
3
3(𝑥 ) − 4(𝑥 )3 − (𝑥 3 )2 − 2𝑥 3 − 1
3𝑦 4 − 4𝑦 3 − 𝑦 2 − 2𝑦 − 1
Por lo tanto
(3𝑦 4 − 4𝑦 3 − 𝑦 2 − 2𝑦 − 1) ÷ (𝑦 + 2)
𝑦 + 2 = 0 → 𝑦 = −2
𝑅(𝑥) = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 3
Respuesta: E
4
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20. Al dividir por el método de Horner la expresión:
𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − (𝒂 + 𝟐)𝒙 + 𝒃 + 𝟑
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
Tiene como residuo −𝟐𝟕𝒙 − 𝟏𝟏
Se presenta en el esquema con dos errores, corrígelos y
encuentra el valor de “𝐚 + 𝐛”.
1
1
-2
-4
6
-1
-1
-a-2
RESOLUCIÓN:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y
divisor
𝐷(𝑥) = 6𝑥 5 + 4𝑥 4 + 9𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 − 1
𝑑(𝑥) = 2𝑥 3 + 0𝑥 2 + 𝑥 − 1
b+3
2
10
0
-1
1
6
-1
1
-6
17
-34
-17
(-a-30)
(b-14)
3
A. 3
B. 7
C. 5
D. 2
El polinomio se encuentra completo y ordenado
1
-2
-4
-2
6
-a-2
-1
3
12
6
b+3
-6
17
-34
-17
(-a-30)
(b-14)
3
-4
c
4
9
0
0
-1
0
-3
0
3
b
0
2
-3
3
1
e
2
2
d
0
-3
0
3
-2
0
2
-3
3
1
-1
2
3
𝟒−𝟑𝒙+𝟓𝒙𝟐 −𝟑𝒙𝟑 +𝒙𝟒
y da
𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟒
a
-3
5
3
b
0
c
d
-3
4
0
3
-4
e
f
A. 3
B. 7
C. 5
D. 2
E. 0
RESOLUCIÓN:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y
divisor
de Horner, encontrar el valor de “𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆”
0
-1
1
-1
2
del cociente y residuo.
1
1
Respuesta: E
6
0
como respuesta la suma de los coeficientes de los términos
𝟒𝒙𝟒 +𝟗𝒙𝟑 +𝟔𝒙𝟓 −𝟏
En la siguiente división
por el método
𝒙+𝟐𝒙𝟑 −𝟏
a
0
cociente y residuo de la división
Revisando el algoritmo nos damos cuenta que en la tercera
columna el valor de -1 debe ser cambiado por -2 para que la
columna de cómo resultado -6 y cuarta columna el valor de
10 debe ser cambiado por 12 para que la columna de cómo
resultado 17.
Respecto del residuo sabemos que es −𝟐𝟕𝒙 − 𝟏𝟏 tiene 2
términos
El primero
−𝑎 − 30 = −27
−𝑎 = −27 + 30
𝑎 = −3
El segundo
𝑏 − 14 = −11
𝑏 = −11 + 14
𝑏=3
Suma de 𝑎 + 𝑏 = −3 + 3 = 0
21.
9
22. Completar el esquema de Horner y determinar el
-1
1
4
𝑎=2
𝑏 = −2
𝑐=3
𝑑=3
𝑒 = −1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 2 + (−2) + 3 + 3 + (−1)
𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒 = 5
Respuesta: C
E. 0
RESOLUCIÓN:
1
6
𝑥 4 − 3𝑥 3 +5𝑥 2 − 3𝑥 + 4
𝑑(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
𝐷(𝑥) =
1
3
-4
A. −3
B. −2
C. 5
D. −12
E. 10
1
-3
5
3
-4
0
-3
4
0
3
-4
1
0
1
0
0
Completamos los valores que faltan en el esquema
𝑎=1
𝑏 = 1 ∙ (−4) = −4
5
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RESOLUCIÓN:
𝑐 = (−3 + 3) ÷ 1 = 0
𝑑 = (5 − 4) ÷ 1 = 1
𝑒 = −3 + 3 = 0
f=4−4=0
1
1
3𝑑
Entonces:
0
-a
3𝑑
−3𝑑
𝑑
-c
3
9𝑑2
−9𝑑3
3𝑑4
−𝑎 + 6𝑑2
𝑏 − 8𝑑3
−𝑐 + 3𝑑4
−3𝑑2
𝑄(𝑥) = 𝑥 2 + 1
𝑅(𝑥) = 0
Encontramos suma de coeficientes de los términos del
cociente y residuo
𝒂+𝒄+𝒅+𝒆+f= 𝟏+𝟎+𝟏+𝟎+𝟎 =𝟐
𝒂+𝒃+𝒄+𝒅+𝒆 = 𝟓
Respuesta: C
b
2
𝑑3
1
3𝑑
El cociente es: 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3𝑑
Por condición del problema el residuo 𝑅(𝑥) = 0
(−𝑎 + 6𝑑2 )𝑥 2 + (𝑏 − 8𝑑3 )𝑥 + (−𝑐 + 3𝑑4 ) = 0𝑥 2 + 0𝑥 + 0
−𝑎 + 6𝑑2 = 0 →
𝑎 = 6𝑑2
3
𝑏 − 8𝑑 = 0
→
𝑏 = 8𝑑3
4
−𝑐 + 3𝑑 = 0 →
𝑐 = 3𝑑4
23. Cuál es el valor que debería tomar “a” para que la
expresión “𝟐𝒂𝒙𝟒 − 𝒂𝟐 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙” sea divisible por “𝒙𝟐 − 𝒙 −
𝒂”.
A. −1
Sustituyendo los valores en:
B. −3
C. 15
D. −2
E. −15
E=
𝒂𝟑
𝑬 = 𝒃𝟐
(6d2 )3 216d6
=
= 3,375
(8d3 )2
64d6
Nos piden que se aproxime a los enteros
Entonces
E=3
RESOLUCIÓN:
Respuesta: D
1
2𝑎
1
0
−𝑎2
2𝑎
2𝑎2
-8
𝑎2
2𝑎
2𝑎
(𝑎2
+ 2𝑎)
POLINOMIOS: ALGORITMO DE LA DIVISIÓN,
TEOREMA DEL RESTO.
2𝑎 2
2𝑎
m
0
(3𝑎2
𝑎3 + 2𝑎2
+ 2𝑎
(𝑎3
+ 2𝑎 − 8)
+
25. Si el resto de la división:
(3𝑎 − 4)(𝑎 + 2) = 0 → 𝑎 =
Además
𝑎 3 + 2𝑎2 = 𝑎2 (𝑎 + 2) → 𝑎 = 0
𝑜
4
𝑜
3
A.
B.
C.
D.
E.
𝑎 = −2
si la división
𝒙𝟒 −𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙−𝒄
𝒙𝟑 −𝟑𝒅𝒙𝟐 +𝟑𝒅𝟐 𝒙−𝒅𝟑
, representa la
5
11
8
16
12
RESOLUCIÓN:
Por el teorema del resto:
𝑎 = −2
𝑥+1=0
𝑥 = −1
Reemplazamos en el dividendo:
𝑃(−1) = 3(−1)11 + 4(−1)6 − 5(−1)3 − 1
𝑅(𝑥) = 𝑃(−1) = −3 + 4 + 5 − 1
𝑅(𝑥) = 5
Son 5 horas que paso en las redes sociales, más las 8 horas
que duermo, en consecuencia, solo me quedaría 11 horas
para hacer mis actividades.
Respuesta: B
Respuesta: D
24.
𝒙+𝟏
cantidad de horas que paso en las redes sociales, al día,
¿cuánto horas me queda para hacer mis actividades, si
duermo 8 horas diarias?
2𝑎2 )
Si decimos que los polinomios son divisibles es porque la
división es exacta, es decir, de residuo cero.
Por lo tanto:
3𝑎2 + 2𝑎 − 8 = 0
Factorizando
𝟑𝒙𝟏𝟏 +𝟒𝒙𝟔 −𝟓𝒙𝟑 −𝟏
es exacta. Encontar
𝒂𝟑
𝑬 = 𝒃𝟐 . (Aproxima tu respuesta a los enteros)
A. 3
B. 2
C. 1
D. 5
E. 0
26. Un polinomio 𝑷(𝒙) de tercer grado, tiene el mismo valor
numérico que es igual a 15, para 𝒙 = −𝟏, 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟑.
Indicar el grado del polinomio del cociente.
A.
B.
C.
D.
E.
6
0
1
2
3
-1
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
RESOLUCIÓN:
Según el enunciado:
𝑃(−1) = 15 → 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑞1 (𝑥) + 15
𝑃(−2) = 15 → 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑞2 (𝑥) + 15
𝑃(3) = 15 → 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)𝑞3 (𝑥) + 15
29. Si el resto de:
Por propiedad del algoritmo:
𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)𝑞(𝑥) + 15
De aquí se deduce que 𝑞(𝑥) es de grado cero
→ 𝑞(𝑥) = 𝑎
Respuesta: A
A.
B.
C.
D.
E.
27. Si el resto de la siguiente división:
𝒙+𝟑
, representa la cantidad de
días del mes de febrero del año 2021, en que me iré de
vacaciones, ¿cuántos días me quedarán luego de mis
vacaciones en dicho mes?
𝟐𝒙𝟓 +𝒙−𝟔𝟎
𝒙−𝟐
9
22
8
24
6
RESOLUCIÓN:
, representa la
Por el teorema del resto:
cantidad de días que hice ejercicios de rutina en una
semana, ¿cuántos días me faltaría completar para cumplir
con el reto de hacer ejercicios todos los días en una
semana?
A.
B.
C.
D.
E.
𝟗𝒙𝟕 +𝟐𝟕𝒙𝟔 −𝟓𝒙+𝟕
𝑥+3=0
𝑥 = −3
Reemplazamos en el dividendo:
𝑃(𝑥) = 9𝑥 7 + 27𝑥 6 − 5𝑥 + 7
𝑃(−3) = 9(−3)7 + 27(−3)6 − 5(−3) + 7
𝑅(𝑥) = 𝑃(−3) = −32 (3)7 + 33 (3)6 − 5(−3) + 7
𝑅(𝑥) = 22
Son 22 días que estaré de vacaciones, y el mes de febrero
del año 2021, trae 28 días, por lo tanto, solo me quedará 6
días de dicho mes.
1
2
3
4
5
RESOLUCIÓN:
Respuesta: E
Por el teorema del resto:
30. Al dividir un polinomio cúbico de coeficiente principal
igual a 3, entre (𝒙𝟐 − 𝟗), se obtiene como residuo igual a 6.
Además, el término independiente del polinomio es – 𝟑.
Hallar el término independiente del polinomio del cociente.
𝑥−2=0
𝑥=2
Reemplazamos en el dividendo:
𝑃(𝑥) = 2𝑥 5 + 𝑥 − 60
𝑃(2) = 2(2)5 + 2 − 60
𝑅(𝑥) = 𝑃(2) = 6
Son 6 días que hice ejercicios de rutina en una semana, para
cumplir el reto de hacer ejercicios de rutina todos los días en
una semana, me faltaría 1 día.
Respuesta: A
A.
B.
C.
D.
E.
RESOLUCIÓN:
28. Si al dividir 𝑷(𝒙) separadamente entre (𝒙 − 𝟐) y (𝒙 − 𝟑)
se obtiene un residuo igual a 5 en ambos casos, además el
término principal del polinomio 𝑷(𝒙) es 𝟐𝒙𝟑 y el término
independiente del mismo es 17. Hallar el término
independiente del polinomio del cociente.
A.
B.
C.
D.
E.
0
1
2
3
4
Por el algoritmo de la división, se tiene que:
𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 − 9)𝑞(𝑥) + 6
Según el enunciado del problema, se deduce que el
cociente es:
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 − 9)(3𝑥 + 𝐵) + 6
Además, el término independiente es −3
𝑃(0) = [(0)2 − 9][3(0) + 𝐵] + 6 = −3
[−9][𝐵] = −9
𝐵=1
Respuesta: B
0
1
2
3
4
RESOLUCIÓN:
Por el algoritmo de la división se tiene:
𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)𝑞(𝑥) + 5
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(2𝑥 + 𝐵) + 5
Además, el término independiente es 17.
𝑃(0) = (0 − 2)(0 − 3)(2(0) + 𝐵) + 5 = 17
(−2)(−3)(𝐵) = 12
𝐵=2
Respuesta: C
31. Ahora que terminé el colegio, me puedo dar ciertos
gustitos, por ejemplo, dormir hasta tarde durante ciertos
días. El resto de dividir:
𝟐𝒙𝟐 +𝟓𝒙+𝟑
𝟐𝒙−𝟏
, representa los días, en una
semana, que seguiré levantándome temprano para ayudar
en casa, ¿cuántos días en la semana, dormiré hasta tarde?
A.
B.
C.
D.
E.
7
5
4
3
2
1
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
Por el teorema del resto:
Por el teorema del resto:
2𝑥 − 1 = 0
1
𝑥=
2
Reemplazamos en el dividendo:
𝑥2 − 1 = 0
𝑥2 = 1
Reescribiendo el dividendo:
𝑃(𝑥) = (𝑥 2 )3 + 3(𝑥 2 )2 + 5(𝑥 2 ) + 6𝑥 − 4
Reemplazamos en el dividendo:
𝑅(𝑥) = (1)3 + 3(1)2 + 5(1) + 6𝑥 − 4
𝑅(𝑥) = 1 + 3 + 5 + 6𝑥 − 4
𝑅(𝑥) = 6𝑥 + 5
Respuesta: D
𝑃(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 + 3
1
1 2
1
𝑃( ) = 2( ) + 5( )+ 3
2
2
2
1
1 5
𝑅(𝑥) = 𝑃 ( ) = + + 3
2
2 2
𝑅(𝑥) = 6
34. Si 𝑷(𝒙) es un polinomio tal que 𝑷(𝟎) = 𝟐𝟏, 𝑷(𝟐) = 𝑷(𝟑) =
𝟑. Determinar el término independiente del cociente que se
obtiene en la división (que no es exacta) del polinomio 𝑷(𝒙)
entre
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)
Son 6 días a la semana que me seguiré levantando
temprano, y solo me quedaría 1 día para poder dormir hasta
tarde.
Respuesta: E
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
RESOLUCIÓN:
32. Halle el resto en:
𝟕(𝒙 − 𝟐)𝟕 + 𝟓(𝒙 − 𝟑)𝟓 + 𝟏
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)
Si se sabe que dicho residuo es de primer grado.
A.
B.
C.
D.
E.
Según el enunciado:
6−𝑥
13 + 2𝑥
12
12𝑥 − 28
32
𝑃(0) = 21
𝑃(2) = 𝑃(3) = 3
Sea 𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 y 𝑞(𝑥) el resto y el cociente, por el
algoritmo de la división, tenemos:
𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)𝑞(𝑥) + 𝑎𝑥 + 𝑏
Para 𝑥 = 2
𝑃(2) = (2 − 2)(2 − 3)𝑞(2) + 𝑎(2) + 𝑏 = 3
2𝑎 + 𝑏 = 3 … … … . (1)
Para 𝑥 = 3
𝑃(3) = (3 − 2)(3 − 3)𝑞(3) + 𝑎(3) + 𝑏 = 3
3𝑎 + 𝑏 = 3 … … … . (2)
Resolviendo la ecuación (1) y (2), tenemos:
𝑎=0𝑦𝑏=3
Además, según el enunciado:
Para 𝑥 = 0
𝑃(0) = (0 − 2)(0 − 3)𝑞(0) + 𝑎(0) + 𝑏 = 21
(6)𝑞(0) + 𝑏 = 21
(6)𝑞(0) + 3 = 21
𝑞(0) = 3
Por lo tanto, el término independiente del cociente es 3
RESOLUCIÓN:
Según el enunciado: 𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Por el algoritmo de la división se tiene que:
𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
7(𝑥 − 2)7 + 5(𝑥 − 3)5 + 1 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)𝑞(𝑥) + 𝑎𝑥 + 𝑏
Por dato se tiene que:
Si 𝑥 = 2
7(2 − 2)7 + 5(2 − 3)5 + 1 = (2 − 2)(2 − 3)𝑞(2) + 𝑎(2) + 𝑏
−4 = 2𝑎 + 𝑏…………………… (1)
Si 𝑥 = 3
7(3 − 2)7 + 5(3 − 3)5 + 1 = (3 − 2)(3 − 3)𝑞(3) + 𝑎(3) + 𝑏
8 = 3𝑎 + 𝑏…………………… (2)
De la ecuación (1) y (2), por sistema de ecuaciones se tiene
que:
−2𝑎 − 𝑏 = 4 … … … (1)
{
3𝑎 + 𝑏 = 8 … … … (2)
_____________________
𝑎 = 12, 𝑏 = −28
Finalmente, el resto será:
𝑅(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑅(𝑥) = 12𝑥 − 28
Respuesta: D
Respuesta: B
35. Hallar el resto de la división:
(𝑥 + 2)2𝑛 + 𝑥 2 + 5
(𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
33. Hallar el resto de:
𝑥 6 + 3𝑥 4 + 5𝑥 2 + 6𝑥 − 4
𝑥2 − 1
A. 2
B. 6𝑥 − 4
C. 6𝑥
D. 6𝑥 + 5
E. −4
A.
B.
C.
D.
E.
8
−4𝑥 − 3
−4𝑥 + 3
𝑥+1≠0
𝑥
1
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
Aplicando el producto:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Entonces: (a + b + c)(a + b + c)2 = 64
(a + b + c)3 = 64
a+b+c = 4
Por lo tanto, Roberto solo trabaja 4 días a la semana
Respuesta: C
RESOLUCIÓN:
Aplicando el teorema del resto:
(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0
𝑥 2 = −4𝑥 − 3
Acomodando el dividendo:
𝑃(𝑥) = [(𝑥 + 2)2 ]𝑛 + 𝑥 2 + 5
𝑅(𝑥) = [𝑥 2 + 4𝑥 + 4]𝑛 + (𝑥 2 ) + 5
𝑅(𝑥) = [−4𝑥 − 3 + 4𝑥 + 4]𝑛 + (−4𝑥 − 3) + 5
𝑅(𝑥) = [1]𝑛 − 4𝑥 − 3 + 5
𝑅(𝑥) = −4𝑥 + 3
Respuesta: B
38. Dada la condición 𝐚𝟒 (𝐚𝟒 + 𝟏) = 𝟏𝟎; hallar: (𝐚𝟒 + 𝐚𝟐 +
𝟏)(𝐚𝟒 − 𝐚𝟐 + 𝟏).
A.
B.
C.
D.
E.
36. Si el resto de la división:
𝒎𝒙𝟕𝟖 − 𝟐𝒙𝟑𝟖 + 𝟒𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏
𝒙𝟒 + 𝟏
Carece del término cuadrático, calcular el valor de “m”.
A.
B.
C.
D.
E.
9
10
7
11
13
RESOLUCIÓN:
a4 (a4 + 1) = 10 efectuando
a8 + a4 = 10
Acomodando: a8 + a4 + 1 = 11
Desdoblando por A´rgand
(a4 + a2 + 1)(a4 − a2 + 1) =11
6
5
7
9
1
Respuesta: D
RESOLUCIÓN:
39. Simplificar la siguiente expresión:
𝐌 = (𝐞𝐱 + 𝟏)𝟐 (𝐞𝐱 − 𝟏)𝟐 (𝟐𝟐𝐱 + 𝟏)𝟐
Aplicando el teorema del resto se tiene:
𝑥4 + 1 = 0
𝑥 4 = −1
Acomodando el dividendo:
𝑃(𝑥) = 𝑚(𝑥 4 )19 𝑥 2 − 2(𝑥 4 )9 𝑥 2 + 4(𝑥 4 )𝑥 2 − 3𝑥 3 + 7𝑥 2 − 5𝑥 + 1
Reemplazando, tenemos:
𝑅(𝑥) = 𝑚(−1)19 𝑥 2 − 2(−1)9 𝑥 2 + 4(−1)𝑥 2 − 3𝑥 3 + 7𝑥 2 − 5𝑥
+1
𝑅(𝑥) = −𝑚𝑥 2 + 2𝑥 2 − 4𝑥 2 − 3𝑥 3 + 7𝑥 2 − 5𝑥 + 1
𝑅(𝑥) = −3𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑚𝑥 2 − 5𝑥 + 1
𝑅(𝑥) = −3𝑥 3 + (5 − 𝑚)𝑥 2 − 5𝑥 + 1
Como el resto carece de término cuadrático, entonces:
5−𝑚 =0
𝑚=5
Respuesta: B
A.
B.
C.
D.
E.
(𝐞𝟐𝐱 )𝟐
(𝐞𝟐𝐱−𝟏 )𝟐
(𝐞𝟐𝐱+𝟏 )𝟐
(𝐞𝟒𝐱 − 𝟏)𝟐
(𝐞𝟒𝐱 + 𝟏)𝟐
RESOLUCIÓN:
Utilizando la propiedad correspondiente.
M = [(ex + 1)(ex − 1)(22x + 1)]2
El producto de la suma por la diferencia
M = [(e2x − 1)(e2x + 1)]2
M = (e4x − 1)2
PRODUCTOS NOTABLES.
Respuesta: D
37. Roberto un trabajador muy especial cierto día le propone
a su jefe si mi producción es: 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜 𝟐 = 𝟐, 𝐲 (𝐚 + 𝐛 +
𝐜)(𝟏 + 𝐚𝐛 + 𝐚𝐜 + 𝐛𝐜) = 𝟑𝟐, entonces trabajaré: (𝐚 + 𝐛 + 𝐜)
días a la semana. ¿Cuántos días trabajaría Roberto de
acuerdo a su propuesta?
A.
B.
C.
D.
E.
40. Al reducir la siguiente expresión:
𝐍 = (𝐱 + 𝟐)(𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟒)(𝐱 − 𝟐)(𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟒)
resulta un binomio, hallar la suma de coeficientes.
A. −63
B. −65
C. −64
D. 64
E. 32
5
3
4
6
2
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
Agrupando convenientemente tenemos el desarrollo de la
suma y diferencia de cubos.
(x 3 − 23 )(x 3 + 23 )
Luego queda: (x 6 − 26 ) = x 6 − 64
Entonces la suma de coeficientes: 1 − 64 = −63
Respuesta: A
Multiplicando por 2 a: (a + b + c)(1 + ab + ac + bc) = 32
(a + b + c)(2 + 2ab + 2ac + 2bc) = 64
Reemplazando a2 + b2 + c 2 = 2
Luego: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc) = 64
9
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
41. ¿Cuánto debe ser el valor de “m” para que la expresión:
𝐦𝐱 𝟐 + 𝟖√𝐦 + 𝟗𝐱 + 𝟐𝟓, represente un trinomio cuadrado
perfecto?
A.
B.
C.
D.
E.
44. Simplificar: 𝐏(𝐚) = (𝐚𝟐 − 𝐚 + 𝟏)(𝐚𝟒 − 𝐚𝟐 + 𝟏)(𝐚𝟐 + 𝐚 + 𝟏)
A.
B.
C.
D.
E.
8
16
4
2
14
a12 + a2 + 1
a6 − a2 + 1
a4 − a2 + 1
a8 + a4 − 1
a8 + a4 + 1
RESOLUCIÓN:
Agrupando convenientemente:
P(a) = [(a2 + 1) − a][(a2 + 1) + a] (a4 − a2 + 1)
Por producto de suma por diferencia:
P(a) = [(a2 + 1)2 − a2 ](a4 − a2 + 1) desarrollando
P(a) = [(a4 + 1) + a2 ][(a4 + 1) − a2 ]
luego
suma
diferencia
P(a) = [(a4 + 1)2 − a4 ] Desarrollando y simplificando
P(a) = a8 + a4 + 1
RESOLUCIÓN:
Para que sea trinomio cuadrado perfecto se debe cumplir lo
siguiente:
mx 2 + 8√m + 9x + 25
√mx 2
√25
por
Respuesta: E
Luego se cumple: 2(√mx)(5) = 8√m + 9x
5√m = 4√m + 9 (elevando al cuadrado)
25m = 16(m + 9) → 9m = 144
∴ m = 16
45. Si se cumple: 𝐚𝟑 + 𝐛𝟑 + 𝐜 𝟑 = 𝟒𝐚𝐛𝐜; 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 + 𝐜 𝟐 = 𝐚𝐛 +
𝐛+𝐜
𝐚+𝐜
𝐚+𝐛
𝟏
𝟏
𝟏
) − ( + + ) 𝐚𝐛𝐜
𝐛𝐜 + 𝐚𝐜 + 𝟏; 𝐚𝐛 ≠ 𝟎. Hallar (
+
+
𝐚
Respuesta: B
𝐛
𝐜
𝐚
𝐛
𝐜
A. −4
B. 3
C. 5
D. 4
E. −3
RESOLUCIÓN:
42. Simplificar:
𝐑 = (𝐱 𝟐 − 𝐱 + 𝟏)(𝐱 𝟐 + 𝐱 + 𝟏)(𝐱 𝟒 − 𝐱 𝟐 + 𝟏)(𝐱 𝟒 − 𝟏) y hallar la
suma de coeficientes del resultado.
A. 1
B. −1
C. 2
D. −3
E. 0
Dado: a3 + b3 + c 3 = 4abc = 3abc + abc
Luego: ⏟
a3 + b3 + c 3 − 3abc = abc ….(1)
(a+b+c)(a2 +b2 +c2 −ab−bc−ac)
También: a2 + b2 + c 2 − ab − bc − ac = 1
Reemplazando en (1)
a + b + c = abc
Luego:
a + b = abc − c = c(ab − 1)
b + c = abc − a = a(bc − 1)
a + c = abc − b = b(ac − 1)
Finalmente, en:
RESOLUCIÓN:
Por Argand en los dos primeros factores
R = ( x 4 + x 2 + 1)(x 4 − x 2 + 1)(x 4 − 1) (Argand)
R = (x 8 + x 4 + 1)(x 4 − 1) (Diferencia de cubos)
R = x12 − 1
Luego la suma de coeficientes: 1 − 1 = 0
Respuesta: E
(
(
b+c
+
a+c
+
a+b
43. Un agricultor para realizar sus labores en el campo debe
𝟑(𝐚+𝐛)
√𝟐𝟕𝐜+𝐝 horas de la mañana, teniendo en
levantarse a
cuenta esta condición: (𝐚 + 𝐛 + 𝐜 + 𝐝)𝟐 = 𝟒(𝐚 + 𝐛(𝐜 + 𝐝). ¿A
qué hora se levanta este trabajador?
1
1
1
a
b
c(ab−1)
c
) − ( + + ) abc
a
b
c
a(bc−1)
b(ac−1)
ab+ac+bc
)−(
) abc
+
+
b
c
abc
(bc − 1 + ac − 1 + ab − 1) − (ab + ac + bc) = −3
a
Respuesta: E
46. A partir de la expresión
A. 4 am
B. 3am
C. 3: 30am
D. 5am
E. 6am
𝐌=
A.
B.
C.
D.
E.
RESOLUCIÓN:
Haciendo cambio de variable: a + b = m; c + d = n
Reemplazando: (m + n)2 = 4mn → (m − n)2 = 0 ∴ m = n
3m
3
Luego: √27n = √27 = 3
El agricultor se levanta a las 3 am.
Respuesta: B
10
𝟕𝐚+𝟑𝐛
𝐚+𝟒𝐛
3
2
−2
4
1
.
(𝐚+𝐛)𝟒 −(𝐚−𝐛)𝟒
(𝐚𝟐 +𝐛 𝟐 )𝟐 −(𝐚𝟐 −𝐛 𝟐 )𝟐
= 𝟒, calcular:
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
RESOLUCIÓN:
COCIENTES NOTABLES
Por diferencia de cuadrados:
[(a+b)2 +(a−b)2 ][(a+b)2 −(a−b)2 ]
(a2 +b2 )2 −(a2 −b2 )2
49. ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente
Notable?
𝐱 𝟕𝟓𝐦 − 𝐚𝐩
=4
Por Legendre
2(a2 +b2 )(4ab)
=4
4a2 b2
a2 +b2
𝐦
A. 75 términos
B. 150 términos
C. 25 términos
D. 15 términos
E. 10 términos
= 1 , al resolver: a = b
2ab
Luego M =
7a+3b
a+4b
=2
Respuesta: B
RESOLUCIÓN:
Tenemos:
47. Pepe estudiante muy preocupado dedica:
(𝐱 𝟐 + 𝐱 − 𝟒)𝟐 − (𝐱 − 𝟐)(𝐱 − 𝟏)(𝐱 + 𝟐)(𝐱 + 𝟑) horas de estudio
diario para postular a la universidad. ¿Cuántas horas diarias
estudia Pepe?
A.
B.
C.
D.
E.
x 75m − ap
m
x2 − a
75m
1
N°T = m
2
2hs
4hs
6hs
3,5hs
5hs
N°T = 150 términos
Respuesta: B
50. Hallar el grado del segundo término del desarrollo del
cociente notable:
𝐱√𝐱 + 𝟏
RESOLUCIÓN:
Agrupando y multiplicando apropiadamente:
(x 2 + x − 4)2 − (x − 2)(x + 3)(x + 2)(x − 1)
(x 2 + x − 4)2 − (x 2 + x − 6)(x 2 + x − 2)
Haciendo: x 2 + x = a
(a − 4)2 − (a − 6)(a − 2)
a2 − 8a + 16 − a2 + 8a − 12 = 4
√𝐱 + 𝟏
A.
48. Sea: 𝐑 =
(𝐱 𝟐 +𝟐𝐱+𝟏)𝟒 +(𝐱 𝟐 −𝟐𝐱+𝟏)𝟒
(𝐱 𝟐 +𝟐𝐱+𝟏)𝟒 −(𝐱 𝟐 −𝟐𝐱+𝟏)𝟒
𝐚
;y𝐱=
cumple 𝐑 = , hallar (𝐚 + 𝐛).
𝟒
√x + 1
1
x
4
1
4
Luego: =
4
=
2 √3
2
=
9
1
1
3
5
4
=
x2 + 1
1
→ N°T =
x2 + 1
1
2
1
1
3
2 =3
1
2
1
Segundo término: x 2
= (x 2 ) − (x 2 ) + 1
Respuesta: A
por proporciones:
51. Después de analizar el cociente notable indica
verdadero o falso según corresponda:
𝐱 + 𝟏
𝟗𝟗
√𝐱 + 𝟏
I. El número de términos del desarrollo del cociente
notable es 100.
II. El término 99 del cociente notable es √𝐱.
III. El cuarto término tiene signo negativo.
A. FFF
B. FVF
C. FVV
D. VVV
E. FFV
, nuevamente por proporciones
(x+1)8 −(x−1)8
∴R=
x2 +1
Elevando a 8 en ambos miembros
(x+1)8 +(x−1)8
→
x2 + 1
1
x2 +1
√3+1
,
√3−1
3
x1+2 + 1
x+1)8 −(x−1)8
(x−1)8
2
Sabemos que:
x√x + 1
(x+1)8 +(x−1)8
(x+1)8
3
RESOLUCIÓN:
Factorizando y por potencia de potencia:
x−1
2
E.
RESOLUCIÓN:
x+1
5
D. 1
, al simplificar se
√𝟑−𝟏
𝐛
A. 5
B. 8
C. 10
D. 9
E. 11
2
C. 2
√𝟑+𝟏
𝟒
1
B.
Respuesta: B
R=
𝐱𝟐 − 𝐚
9+1
9−1
→a+b = 9
Respuesta: D
11
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
RESOLUCIÓN:
54. Hallar el número de términos del cociente notable:
𝐱𝟏𝟖,𝟓 −𝐲𝟗,𝟐𝟓
𝟒
Sabemos que:
√𝐱− √𝐲
A. 34
B. 35
C. 19
D. 37
E. 36
x + 1
1
x 99
I. Número de términos: N° T =
+1
1
1
99
= 99 términos
FALSO
II. El término 99 es el último término que corresponde a la
segunda base que es “1”
FALSO
III. Sabemos que cuando en el denominador hay un signo
más los términos tienen signos en forma intermitente, donde
los de posición par son negativos y los de posición impar son
positivos, entonces debido a que t 4 ; (donde k es PAR); tiene
signo negativo.
VERDADERO
Respuesta: E
RESOLUCIÓN:
𝟏
→ N°T =
1
1
x2 −y4
18,5
1
2
→ N°T = 37
Respuesta: D
55. Hallar el coeficiente del segundo término de:
𝟔𝟐𝟓𝐱 𝟐𝟒 − 𝟏
√𝟓𝐱 𝟑 − 𝟏
A. 125
B. 25
C. 5
D. 15
E. 150
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
Tenemos: … − 𝐚𝟔 𝐛𝟔 + 𝐚𝟑 𝐛𝟖 − ⋯
“a” está disminuyendo de 3 en 3; entonces corresponde a la
primera base a3 .
“b” está aumentado de 2 en 2; entonces corresponde a la
segunda base b2 .
𝟑
4
√x − √y
x18,5 −y9,25
52. La expresión … − 𝐚𝟔 𝐛𝟔 + 𝐚𝟑 𝐛𝟖 − ⋯ forma parte del
desarrollo de un cociente notable, entonces el número de
términos será:
A. 6 términos
B. 8 términos
C. 4 términos
D. 5 términos
E. 12 términos
𝟐
x18,5 − y9,25
Tenemos:
Del dato:
625x24 − 1
√5x3 − 1
Hallamos el número de términos así:
t 2 = (√5x 3 )
8−2
(1)2−1 =
6
1
(52 x 3 )
24
3
=8
= 53 x18
t 2 = 125x18
El coeficiente es: 125
𝟒
… − (𝐚𝟑 ) (𝐛𝟐 ) + (𝐚𝟑 ) (𝐛𝟐 ) − ⋯
Respuesta: A
El número de términos: GA + 1 = 2 + 3 + 1 = 6
56. ¿Cuál es el número de términos de cociente notable?
𝐱 𝐧+𝟒 − 𝐲 𝐧−𝟏
𝐱 𝐧−𝟒 − 𝐲 𝐧−𝟓
A. 2
B. 5
C. 3
D. 6
E. 0
RESOLUCIÓN:
Respuesta: A
53. En el desarrollo del cociente notable de 11 términos, se
consideran los siguientes términos, hallar el valor de “a”
… + 𝐱 𝟒𝐚 𝐲 𝟒𝟐 + 𝐱 𝟗 𝐲 𝟒𝟗 + ⋯
A. 6
B. 4
C. 2
D. 3
E. 1
RESOLUCIÓN:
n+4 n−1
=
n−4 n−5
Tenemos: … + x 4a y 42 + x 9 y 49 + ⋯
“y” va aumentando de 7 en 7 entonces:
… + x 4a (y 7 )6 + x 9 (y 7 )7 + ⋯
Sabemos que el N°T es 11, entonces:
N°T = GA + 1 → 11 = GA + 1 → GA = 10
Observamos que la única base de “x” sería: (x 3 )3 (y 7 )7
x 4a (y 7 )6 = (x 3 )4 (y 7 )6
a=3
Respuesta: D
(n + 4)(n − 5) = (n − 1)(n − 4)
n2 − n − 20 = n2 − 5n + 4
4n = 24
n=6
x10 − y 5
x 2 − y1
→ NT = 5
Respuesta: B
12
Matemática Solucionario 01
CEPRUNSA 2021 II FASE
57. Determinar el conjunto
𝐀 = {𝐧 ∈ ℝ /
𝐱 𝟐𝐧−𝟒 −𝐲 𝐧−𝟏
, 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐜𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐛𝐥𝐞}
𝐱 𝐧−𝟐 −𝐲 𝐧−𝟑
A. A = {5}
B. A = {2; 5}
C. A = {2}
D. A = {2; 3; 5}
E. A = { }
59. ¿Cuál es el lugar que ocupa un término en el siguiente
C.N.:
𝐱 𝟒𝟎𝟎 − 𝐲 𝟏𝟔𝟎
𝐱𝟓 − 𝐲𝟐
contado a partir del primer término sabiendo que la
diferencia del grado absoluto (G.A.) de éste con el G.A. del
término que ocupa la misma posición contado a partir del
extremo final es 9?
A. 40
B. 80
C. 42
D. 36
E. 39
RESOLUCIÓN:
x2n−4 − yn−1
Del dato:
⟹
xn−2 − yn−3
⟹
2n−4
n−2
= n−1
n−3
2(n − 2) n − 1
=
n −2
n−3
RESOLUCIÓN:
2(n − 3) = n − 1 ; n ≠ 2; n ≠ 3
2n − 6 = n − 1 ⟹ n = 5
Del dato: N°T =
Comprobando:
Si cumple: ⟹ n = 5
∴ A = {5}
Respuesta: E
58. Calcular el valor de a + b + c , si el término central del
cociente notable generado al dividir:
𝟏 𝐀
60. El término central del cociente notable
𝐱𝐚 +𝐲𝐛
𝐜 𝟐𝟒𝟎
𝟓 ; es 𝐱 𝐲
𝐱 −𝟔 . Hallar el número de términos.
A. 12
B. 11
C. 15
D. 6
E. 13
A. 255
B. 250
C. 705
D. 775
E. 700
Del dato:
t k = (x 2 )N−k (y 5 )k−1 = x c y 240
1 N−
( 3)
x
k = 49
Si el término central es de lugar 49 además: t N°T+1 = t c
Luego:
(x 2 )N−k
(x 2 )97−49
a
2
a
2
b
5
2
=
xc
= 49 → N°T = 97
=x
N+1
2
N+1
−1
2
(x 2 )
= x −6
1 C
( 3 ) (x 2 )C = x −6
x
c
⟹ −3C + 2C = −6
C=6
→ c = 96
N+1
−1 = C
2
b
= = 97
5
N+1
−1 = 6
2
= 97 → a = 194
= 97
; es 𝐭 𝐜 =
Haciendo un cambio de variable
2
Entonces
𝟏
+ 𝐱𝟐
𝐗𝟑
t c = x −6 si “N” es el número de términos
t N+1 = x −6
2
5(k − 1) = 240
N°T+1
( ) +𝐱𝐁
𝐱
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
→
= 80
tk =
→ G. A. (k) = 5(80 − k) + 2(k − 1)
t k, = (x 5 )k−1 (y 2 )80−k → G. A. (k , ) = 5(k − 1) + 2(80 − k)
5(80 − k) + 2(k − 1) − [5(k − 1) + 2(80 − k)] = 9
3(80 − k) − 3(k − 1) = 9
80 − k − k + 1 = 3
81 − 2k = 3
78 = 2k
39 = k
Respuesta: A
k − 1 = 48
2
(x 5 )80−k (y 2 )k−1
2n − 4 n − 1
=
n − 2 n−3
2(5) − 4 5 − 1
=
=2∈ℕ
5 − 2
5−3
𝐱𝟐 +𝐲
160
→ b = 485
a + b + c = 96 + 194 + 485 = 775
Respuesta: D
13
⇒ N = 13
Respuesta: E