PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALITICA

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
1
SI ST EM A DE COORDEN ADAS
Demostrar que los puntos A = (0,1) y B = (3,5) ; C = (7,2) y D = (4,−2)
son los vértices de un cuadrado.
Solución:
!
AB =
9 + 16 = 25 = 5
!
BC =
16 + 9 = 25 = 5
!
AD =
9 + 16 = 25 = 5
!
CD =
16 + 9 = 25 = 5
Como :
ˆ
AB = BC = AD = CD = 5
ABCD es un cuadrado.
LQQD
1
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A = (−1,1) y
B = (3,1) . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).
Solución:
Sea C = (x,y ) el tercer vértice.
!
BC = AC
(x − 3)2 + (y − 1)2
!
=
!
!
De
ˆ
=
(x + 1)2 + (y − 1)2
→
"
BC = AB
(x − 3)2 + (y − 1)2
" y !:
(



= 16
→
!
x =1
y = 1± 2 3
C = 1,1 ± 2 3
)
Dados los puntos P1 = (2,−3) y P2 = (−1,2) encontrar sobre P1 P2 el
punto que diste doble de P1 que P2 .
Solución:
Sea P = (x,y ) el punto pedido.
! r=
!
P2P
=
2
=2
1
x + r x 2 2 + 2(− 1)
=
=
x= 1
1+ r
1+ 2
=
2
PP1
2−2 0
= =0
3
3
!
x=0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! y=
y1 + r y 2 − 3 + 2 (2) − 3 + 4 1
=
=
=
1+ r
1+ 2
3
3
ˆ
 1
P = (x, y ) =  0, 
 3
!
y=
1
3
El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son
los puntos P = (4,9 ) y Q = (− 2,1) . Calcular el área de este rombo.
Solución:
PQ =
!
36 + 64 =
(
x 2 = 5 10
100 = 10
)2 − 5 2 = 250 − 25
!
x 2 = 225
!
x = 15
Luego : :
A =
D × d 30 × 10
=
= 150
2
2
!
A = 150 m 2
3
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en tres partes iguales por los puntos P = (2,2) y Q = (1,5 ) .
Solución:
! Cálculo de A = (x 1 ,y 1 ) :
! r=
!







ˆ
!
AP
PQ
=1
1 + x1
2
!
x1 = 3
y +5
2= 1
2
!
y 1 = −1
2=
A = (3, − 1)
Cálculo de B = (x 2 ,y 2 ) :
! r=
ˆ
PQ
QB
=1 !







1=
2 + x2
2
!
x2 = 0
5=
2 + y2
2
!
y2 = 8
B = (0,8 )
La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
M = (3, − 2 ) ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a −12 . Hallar
las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de
ordenadas un ángulo dado.
4
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Solución:
! Si
AB = −12 ! x − 3 = −12
! Si
MN = 13
ˆ
!
!
x = −9
(x − 3 )2 + (y + 2)2
= 13
!
y = −7
N = (x, y ) = (− 9, − 7 )
Tres de los vértices de un paralelogramo son A = (− 1,4 ) , B = (1, − 1) y
C = (6,1) . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?
Solución:
Sea D = ( x ,6) el punto pedido.
!
AD = BC
!
(x + 1)2 + (6 − 4) 2
=
(6 − 1)2 + (1 + 1)2
5
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Efectuando operaciones:
!
x 2 + 2x − 24 = 0



!
x1 = 4
x 2 = −6
Luego :
! D = ( x ,6 ) !
D = (4,6 )
El punto medio de cierto segmento es el punto M = (− 1,2 ) y uno de sus
extremos es el punto N = (2,5 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo.
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido.
!
xM =
!
yM =
ˆ
x + xN
2
y + yN
2
! −1 =
!
2=
x+2
! x = −4
2
y+5
2
!
y = −1
P = (x, y ) = (− 4, − 1)
Los vértices de un triángulo ABC son A = (2, − 1) , B = (− 4,7 ) y C = (8,0 ) .
Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.
Solución:
Sabemos que :
6
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
!
x + x 2 + x3
x= 1
3
! x=
2−4+8
3
!
y + y 2 + y3
y= 1
3
! y=
− 1+ 7 + 0
6
! y= =2
3
3
ˆ
! x=
6
=2
3
G = (x, y ) = (2,2)
¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos
A = (1, − 1) y B = (4,5 ) en la dirección AB, para que su longitud se triplique?
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido.
! Sabemos :
AB
BP
=
1
2
! BP = 2 AB
7
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
!
(x − 4 )2 + (y − 5 )2
=2
(4 − 1)2 + (5 + 1)2
Efectuando operaciones :
!
!
x 2 + y 2 − 8x − 10y − 139 = 0
También :
!
→
"
AB + BP = AP
(4 − 1)2 + (5 + 1)2 + (x − 4)2 + (y − 5)2
=
Efectuando operaciones :
!
De
ˆ
8
x 2 + y 2 − 8x − 10y + 14 = 0
" y !:



→
x1 = 10 ;
y1 = 17
x 2 = −2 ;
y 2 = −7
P = (x, y ) = (10,17 )
!
(x − 1)2 + (y + 1)2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
2
GRÁFI CA DE U N A ECUACI ÓN
Y LU GARES GEOM ÉT RI COS
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
16 x 2 − y = 0
Solución:
E(x,y ) : 16 x 2 − y = 0
→
!
1º. Intercepciones con los ejes:
Eje X :
y = 0 ! 16x 2 = 0 !
Eje Y :
x=0 !
y=0
x=0

 !

O = (0,0 )
9
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2º. Simetría:
Eje X :
E(x,− y ) ≠ E(x, y )
Eje Y :
E(− x, y ) = E(x, y )
Origen :
E(− x,− y ) ≠ E(x, y )





Curva simétrica sólo
con el eje X
3º. Extensión:
y = 16x 2 ;
!:
De
∀ x∈ú
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
x
0
1
−1
12
−1 2
....
y
0
16
16
4
4
....
6º. Gráfico:
10
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
xy − 2x − 1 = 0
Solución:
E(x, y ) :
xy − 2x − 1 = 0
→
!
1º. Intercepciones con los ejes:
A = (− 1 2 ,0 )
Eje X :
y=0 !
x = −1 2;
Eje Y :
x = 0 ! ò intercepci ón con el eje X
2º. Simetría:
Eje X :
E(x,− y ) ≠ E(x, y )
Eje Y :
E(− x, y ) ≠ E(x, y )
Origen :
E(− x,− y ) ≠ E(x, y )





Curva no simétrica ni con
los ejes ni con el origen
3º. Extensión:
De
!:
xy − 2 x − 1 = 0 !
y=
1 + 2x
;
x
∀x≠0
4º. Asíntotas:
De
!:
1+ 2 x
x
1
;
x=
y−2
y=
!
!
x=0
!
y−2=0 !
y=2
5º. Cuadro de valores:
x
1
2
−1
−2
....
y
3
52
1
32
....
11
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
6º. Gráfico:
x3 + y 2 − 4y + 4 = 0
Solución:
E(x, y ) :
x 3 + y 2 − 4y + 4 = 0
→
!
1º. Intercepciones con los ejes:
A = (− 1.6,0 )
Eje X :
y=0 !
x = −1.6 ;
Eje Y :
x=0 !
y = 2 ; B = (0,2 )
2º. Simetría:
12
Eje X :
E(x,− y ) ≠ E(x, y )
Eje Y :
E(− x, y ) ≠ E(x, y )
Origen :
E(− x,− y ) ≠ E(x, y )





Curva no simétrica ni con
los ejes ni con el origen
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3º. Extensión:
!:
De
y = 2 ± − x3 ;
∀x≤0
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
x
0
−8 5
−1
−2
....
y
2
0
13 10
24 5 , − 4 5
....
6º. Gráfico:
13
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
y2 =
x2 − 1
x2 − 4
Solución:
E(x, y ) :
y2 =
x2 − 1
→
x2 − 4
!
1º. Intercepciones con los ejes:
A = (± 1,0 )
Eje X :
y=0 !
x = ±1;
Eje Y :
x=0 !
y = ± 1 2 ; B = (0,± 1 2 )
2º. Simetría:
Curva simétrica con los ejes y con el origen.
3º. Extensión:
!:
De
y=±
x2 − 1
∀ x ∈ − ∞, − 2
x2 − 4
∪
[− 1,1]
∪
2, + ∞
4º. Asíntotas:
!:
De
!
y=±
!
x=±
x2 − 1
2
x −4
!
4 y2 − 1
!
2
y −1
x2 − 4 = 0 !
x = ±2
y2 − 1 = 0 !
y = ±1
5º. Cuadro de valores:
14
x
1
−1
0
±3
±4
±1 2
.....
y
0
0
±1 2
±1 3
± 11 10
± 24 5
....
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6º. Gráfico:
(
)
y x2 + 1 = 4
Solución:
E(x, y ) :
(
)
y x2 + 1 = 4
→
!
1º. Intercepciones con los ejes:
Eje X :
y = 0 ! ò intercepción con el eje X
Eje Y :
x=0 !
y = 4;
A = (0,4 )
2º. Simetría:
Curva simétrica sólo con el eje Y.
15
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
3º. Extensión:
De
!:
y=
2
4
!
x +1
x 2 + 1 = 0;
∀ x∈ú
4º. Asíntotas:
!:
De
4
!
y=
!
x=±
2
x +1
4−y
y
!
x2 + 1 = 0 !
x∉ú
y =0 !
y=0
!
5º. Cuadro de valores:
x
0
±1
±2
±3
....
y
4
2
45 25
....
6º. Gráfico:
16
( Eje
X)
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Una recta pasa por los dos puntos A = (− 2,−3 ) y B = (4,1) . Si un punto
de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?
Solución:
Sea
C = (10, y ) el punto pedido.
Dado que :
AB + BC = AC
36 + 16 + 36 + (y − 1)2 =
!
(10 + 2)2 + (y + 3 )2
=
Efectuando operacione s :
y=5
!
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos
puntos A = (2,−2) y B = (4,1) es siempre igual a 12.
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido.
Entonces de la condición del problema tenemos :
!
BP
2
− AP
2
= 12
De donde :
! 

− 

(x − 4)2 + (y − 1)2 

2
−
(x − 2)2 + (y + 2)2 

2
= 12
Luego, efectuando operaciones :
!
4x + 6y + 3 = 0
17
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de
los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece
siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto
medio del segmento.
Solución:
De la condición :
!
PA + PB = 4
(x − x 2)2 + (− y 2)2 +
!
+
(x 2)2 + (y
2 − y )2 = 4
Efectuando operacione s :
!
x 2 + y 2 = 16
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P = (x, y ) , tal que la
distancia de P al punto A = (0,6 ) es igual a la mitad de la distancia de
P al eje X.
Solución:
De la condición :
!
AP =
1
y
2
!
x 2 + (y − 6 )2 =
Luego, efectuando operaciones :
!
18
4x 2 + 3 y 2 − 48 y + 144 = 0
1
y
2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
3
LA LÍ N EA RECTA
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A = (4,2 ) y
B = (− 5,7 ) .
Solución:
Sea
‹ la recta buscada.
Dado que se conocen dos puntos de la recta,
se puede conocer su pendiente.
 A = (4,2)
‹ : 

ˆ ‹:
B = (− 5,7 )
y−2 = −
! m‹ = m
5
(x − 4 ) "!
9
AB
=
7−2
5
=−
−5−4
9
‹ : 5x + 9 y − 38 = 0
19
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Calcular el área del triángulo que forma la recta 3 x − 4 y − 12 = 0 con los
ejes coordenados.
Solución:
!
‹ : 3 x − 4 y − 12 = 0
Luego :
!
‹ : 3 x − 4 y = 12
Dividiendo × 2 :
!
‹:
x
y
+
=1 !
4 −3
ˆ A∆ =
4 × (− 3 )
2
=
12
2



a=4
b = −3
A ∆ = 6u2
"!
Los vértices de un triángulo son A = (0,0 ) , B = (4,2 ) y C = (− 2,6 ) . Obtener
las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.
Solución:
! Ecuación de AB :
AB :



A = (0,0 )
B = (4,2)
! m
AB
=−
ˆ y − 0 = − (x − 0) "!
1
2
1
2
x − 2y = 0
! Ecuación de BC :
BC :



B = (4,2)
C = (− 2,6 )
! m
ˆ y − 2 = − (x − 4 ) "!
20
2
3
BC
=−
2
3
2x + 3 y − 14 = 0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! Ecuación de AC :



AC :
A = (0,0 )
B = (− 2,6)
! m
ˆ y − 0 = −3(x − 0 ) "!
AC
= −3
3x + y = 0
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por A = (4, 8 3 ) y por la
intersección de las rectas 3 x − 4 y − 2 = 0 , 9 x − 11y − 6 = 0
Solución:
‹:







A = (4, 8 3 )
Un punto de la recta
‹1: 3x − 4y − 2 = 0
‹2 : 9 x − 11y − 6 = 0


 !

‹1 ∩ ‹2 = B = (2 3 ,0 )
Luego :
‹ : y − y1 = m(x − x1 )
Donde : m ‹ = m
AB
=
0−8 3 4
=
2 3−4 5
Finalmente :
‹: y−
8 4
= (x − 4 ) "!
3 5
Si la recta ax + by + c = 0
‹ : 12x − 15 y − 8 = 0
pasa por el punto P = (p, q) , escribir una
ecuación en forma de:
a) pendiente y ordenada en el origen.
b) punto - pendiente.
c) simétrica.
Solución:
a)
‹ : ax+ by + c = 0 !
a
c
y =− x−
b
b
21
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
a
b ) ‹ : ax + by + c = 0; Donde
: m ‹ = − ; P = (p, q)
d
b
‹ : y − q = − (x − p )
a
b
!
c ) ‹ : ax + by + c = 0 !
‹:
!
‹ : ax + by = −c
y
x
+
=1
c
c
−
−
b
a
Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que
pasa por el punto A = (8,−6 )
Solución:
‹:
Sea :
x y
+ = 1 Pero :
a a
A = (8,−6 ) ∈ ‹
8 −6
+
=1 ! a = 2
a
a
Luego :
x y
+ = 1 "!
2 2
ˆ ‹:
‹ : x+y−2 = 0
Desde el punto M0 = (− 2,3 ) se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz
con una inclinación de un ángulo α , se sabe que tg α = 3 . El rayo se ha
reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están
los rayos incidente y reflejado.
Solución:
! Ecuación del rayo incidente :
pendiente : m = tgα = 3
!
22
y − 3 = 3 (x + 2) "!
3x − y + 9 = 0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! Ecuación del rayo reflejado :
Si
y=0 !
x = −3 ; P0 = (− 3,0 )
pendiente : m = tg ( 180 º −α ) = −tgα = −3
!
y − 0 = −3 (x + 3 ) "!
3x + y + 9 = 0
Dados los puntos M = (2,2 ) y N = (5,−2) . Hallar en el eje de abscisas un
punto P de modo que en el ángulo MP̂N sea recto.
Solución:
Dado que :
MP ⊥ NP
!
"! m
MP
⋅m
NP
= −1
 −2   2 
 = −1
⋅

 x −2  x −5
Efectuando operacione s :
x 2 − 7x + 6 = 0 !
ˆ



x1 = 6
x2 = 1
P1 = ( 6,0 ) ; P2 = (1,0 )
23
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Los puntos A = (3,−2) , B = (4,1) y C = (− 3,5 ) son los vértices de un
triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los
lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.
Solución:
! Cálculo de M1 = (x1, y1 )
!





x A + xB 7
=
2
2
y A + yB
1
=−
y1 =
2
2
x1 =
 7 1
! M1 =  ,− 
2 2
! Cálculo de M2 = (x 2 , y 2 )
!
24





x A + xC
=0
2
y + yC 3
=
y2 = A
2
2
x2 =
 3
! M2 =  0, 
 2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
BC * M1 M2
Sabemos que :
"! m
BC * M1 M2
Luego efectivamente :
BC
=m
M1 M2
"!
−
4
4
=−
7
7
LQQD
Calcular la distancia entre las rectas paralelas:
x + 2y + 4 = 0 y
2x + 4 y − 5 = 0
Solución:
Dado que :
‹ 1 : x + 2y + 4 = 0 ∧ ‹ 2 : 2x + 4 y − 5 = 0
Hallamos un punto cualesquie ra P , de la recta
x=0 !
Para
y = −2
ˆ
‹1 .
P = (0, − 2)
Luego :
ˆ
d=
(2)(0) + (4)(− 2) − 5
2
2 +4
2
=
−8−5
20
"!
d=
13
≈ 2.90
20
25
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
4
LA CI RCU N FEREN CI A
Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de
un diámetro son los puntos A = (− 2,3 ) y B = (4,−1) .
Solución:
C = (h,k ) es punto medio de AB
!



Luego :
ˆ
C:
h=1
k =1
! C = (1,1)
r=
AB
2
=
52
2
! r 2 = 13
(x − h)2 + (y − k )2 = r 2
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 13
C : x 2 + y 2 + 12x − 12y + 36 = 0
27
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,
en el segundo cuadrante.
Solución:
Del gráfico, se deduce que
C = (h,k ) = (− 6,6 ) es el centro
de la circunferencia
y su radio r = 6.
ˆ
C:
(x − h)2 + (y − k )2 = r 2
(x + 6)2 + (y − 6)2 = 36
C : x 2 + y 2 + 12x − 12y + 36 = 0
Dada la ecuación de la circunferencia 3 x 2 + 3 y 2 + 4 y − 7 = 0 , encontrar
el centro y el radio.
Solución:
Completando cuadrados :
! 3x 2 + 3 y 2 + 4y − 7 = 0
4
4
4

3 x 2 + 3 y 2 + y +  = 7 +
3
9
3

2
2
25

3x 2 + 3 y +  =
3
3


2
2
25

x2 +  y +  =
3
9

28
ˆ
d donde : h = 0 , k = −
; De
5
2

C =  0,−  ; r =
3
3


2
3
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C = (− 4,−1)
y que es tangente a la recta: 3 x + 2y − 12 = 0 .
Solución:
r = Distancia de C a
Sea :
‹ : 3x + 2y − 12 = 0
Luego :
! r=
=
=
(3)(− 4) + (2)(− 1) − 12
3 2 + 22
− 12 − 2 − 12
13
− 26
13
=
26
13
! r 2 = 52
ˆ C : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2
Reemplazando :
C:
(x + 4)2 + (y + 1)2 = 52
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (4,0 ) ,
B = (0,3 ) y C = (− 2, − 2) .
Solución:
Sea
C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
→
!
A = (4,0 ) ∈ C
! 16 + 4 D+ F = 0
!
B = (0,3 ) ∈ C
! 9 + 3E + F = 0
!
C = (− 2, − 2) ∈ C
Luego, de
# ," y ! :
→
→
! − 2D − 2E + F = 8
D=−
⊗
#
"
→
!
132
5
19
; F=−
; E=
13
13
13
29
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
En
⊗:
ˆ
C : x 2 + y2 −
132
5
19
=0
y−
x+
13
13
3
C : 13 x 2 + 13y 2 − 19 x + 5y − 132 = 0
Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X,
cuyo centro está sobre la recta x = 2y .
Solución:
! Primer caso
‹ : x = 2 y pero C = (h1,10) ∈ ‹ ! h1 = 20 ; C = (20,10)
C:
(x − h1)2 + (y − k1)2 = r 2
(x − 20)2 + (y − 10)2 = 100
x 2 + y 2 − 40x − 20y + 400 = 0
30
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
! Segundo caso
‹ : x = 2 y pero C = (h2,−10) ∈ ‹ ! h2 = −20 ; C = (− 20,−10)
C:
(x − h2 )2 + (y − k 2 )2 = r 2
(x + 20)2 + (y + 10)2 = 100
x 2 + y 2 + 40x + 20y + 400 = 0
La ecuación de una circunferencia es x 2 + y 2 = 50 . El punto medio de
una cuerda de esta circunferencia es el punto P = (− 2,4 ) . Hallar la ecuación
de la cuerda.
Solución:
Sea
y
‹2 la recta que contiene a la cuerda referida
‹1 la recta que pasa por el punto P y el centro de la circunferencia.
! Pendiente de
‹1 : m‹1 =
4−0
= −2
−2−0
Luego :
‹1 ⊥ ‹2 "! m‹1 ⋅ m‹ 2 = −1
"!
(− 2)⋅ m‹ 2
"! m‹ =
2
= −1
1
2
Luego :
!
‹ 2 : y − 4 = (x + 2)
1
2
‹ 2 : x − 2y + 10 = 0
31
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C = (4, 4 3 ) y
que pasa por Q = (− 1,− 4 3 ) .
Solución:
De los datos, tenemos :
C:
(x − h)2 + (y − k )2 = r 2
(x − 4)2 + (y − 4 3)2 = r 2
!
ˆ
Q = (− 1,− 4 3 ) ∈ C
(x − 4)2 +  y − 4 
C:

(− 1 − 4)2 +  − 4 − 4 
!
 3
2
=
3
2
3
= r2 ! r2 =
289
9
Hallar el área del círculo cuya ecuación es:
9 x 2 + 9 y 2 + 72 x − 12 y + 103 = 0
Solución:
Tenemos la ecuación de la circunferencia :
C : 9x 2 + 9 y 2 + 72x − 12y + 103 = 0
Despejando el término independiente y completando cuadrados
! C : 9x 2 + 9 y 2 + 72x − 12y = −103
(
)
4
4

9 x 2 + 8x + 16 + 9  y 2 − y +  = −103 + 144 + 4
9
3

2
2

9 (x + 4 )2 + 9  y −  = 45
3


(x + 4)2 +  y − 2 

32
ˆ
A = πr2 = π × 5
3
2
=5
"!
Donde : r 2 = 5
A = 5 πu 2
289
9
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
5
T RAN SFORM ACI ÓN
DE COORDEN ADAS
Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:
3 x 2 − 2y 2 − 42 x − 4 y + 133 = 0
en otra que carezca de términos de primer grado.
Solución:
Completando cuadrados :
3x 2 − 2y 2 − 42x − 4y + 133 = 0
) (
(
)
3 x 2 − 14x + 49 − 2 y 2 + 2y + 1 = −133 + 147 − 2
3 (x − 7 )2 − 2 (y + 1)2 = 12
Siendo :



xN= x − 7
yN= y + 1
!
3xN2 − 2yN2 = 12
33
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Simplificar la ecuación:
72 x 2 + 36 y 2 − 48 x + 36 y − 55 = 0
por una traslación de los ejes coordenados.
Solución:
Completando cuadrados :
72x 2 + 36y 2 − 48x + 36y − 55 = 0
(
)
1
2

72  x 2 − x +  + 36 y 2 + y + 1 = 55 + 8 + 9
9
3


2
2
1
1


72  x −  + 36  y +  = 72
2
3


2
2
1
1


2x −  + y +  = 2
2
3










Siendo :
xN= x −
1
3
2xN2 + yN2 = 2
!
1
yN= y +
2
Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:
x 2 − 2y 2 + 8 x + 4 y − 3 = 0
Solución:
Completando cuadrados en la expresión, se tiene :
(x
2
) (
)
− 8x + 16 − 2 y 2 − 2y + 1 = 3 + 16 − 2
(x − 4 )2 − 2 (y − 1)2 = 17
Siendo :
34



xN= x − 4
yN= y − 1
!
xN2 − 2yN2 = 17
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado
de la ecuación: 2xy − x − y + 4 = 0
Solución:
2x y − x − y + 4 = 0
!



x = xN+ h
y = yN+ k
"
→
→
#
# en " :
2 (xN+ h)(yN+ k ) − (xN+ h) − (yN+ k )
2 xNyN+ 2 k xN+ 2 k yN+ 2 hk − xN− h − yN− k + 4
2 x Ny N+ (2 k − 1)xN+ (2 h − 1)yN+ 2 hk − h − k + 4 = 0



De donde :
Luego en
2 k− 1 = 0
2 h− 1 = 0
!
→
h=k =
1
2
!
4 x Ny N+ 7 = 0
!
!:
 1 1 1 1
2 x Ny N+ 2     − − + 4 = 0
 2  2  2 2
Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación:
16 x 2 + 24 xy + 9 y 2 + 25 x = 0
en otra que carezca del término en xy.
Solución:
16x 2 + 24xy + 9y 2 + 25x = 0 →
Luego :
x = xN cosθ − yN sen θ
y = xN sen θ + yN cos θ
"

 →

#
35
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
# en " :
Ahora
( 16 cos θ + 24 senθ cos θ + 9 sen θ) xN +
+ ( 16 sen θ − 24 sen θ cos θ + 9 cos θ) yN +
+ ( 24 cos θ − 32 sen θ cos θ − 24 sen θ + 18 sen θ cos θ) xNyN+
2
2
2
2
2
2
2
2
+ 25 xNcos θ − 25 yNsen θ = 0
→
⊗
Luego para eliminar el término xN e yN.
! 24 cos 2 θ − 32 sen θ cos θ − 24 sen2 θ + 18 sen θ cos θ = 0
24 cos 2 θ − 24 sen2 θ − 14 sen θ cos θ = 0
(
)
24 cos 2 θ − sen2 θ − 14 sen θ cos θ = 0
24 cos 2θ − 7 × 2 sen θ cos θ = 0
24 cos 2θ − 7 sen 2θ = 0
Dividiendo × cos 2θ :
! 24 − 7 tg 2θ = 0 ! tg 2θ =
24
7
Luego de la figura :
! cos 2θ =
7
25
Además :
!
1 − cos 2θ
senθ =
=
2
1 + cos 2θ
! cosθ =
=
2
36
7
25 =
2
9
25
!
senθ =
3
5
7
25 =
2
16
25
!
cosθ =
4
5
1−
1+
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
⊗:
En
(4 cos θ + 3 sen θ) 2 xN2 + (4 sen θ + 3 cos θ) yN2 + 25 xNcos θ − 25 yNsenθ = 0
!
2
3
4
4 2
3 2  3
 4
 4 ⋅ + 3 ⋅  xN +  4 ⋅ + 3 ⋅  yN + 25 ⋅ xN− 25 ⋅ yN= 0
5
5
5
5
 5
 5
25 xN2 + 20 xN− 15 yN= 0
5xN2 + 4xN− 3yN= 0
!
Simplificar la ecuación:
x 2 − 10 xy + y 2 − 10 x + 2y + 13 = 0
por transformación de coordenadas.
Solución:
x 2 − 10xy + y 2 − 10x + 2y + 13 = 0
Luego :



x = xN+ h
y = yN+ k
→
→
"
#
# en " :
xN2 + 2 hx N+ h2 − 10xNyN− 10 k xN− 10 h yN− 10 hk + yN2 + 2 ky N+ k 2 −
− 10xN− 10 h+ 2yN+ 2 k + 13 = 0
xN2 + yN2 + (2h − 10k − 10 ) xN+ (2 + 2 k − 10 h) yN+
+ k 2 − 10 hk − 10 h + 2 k + 13 = 0
→
⊗
Para eliminar los términos xN e yN; debe cumplirse que



2 h− 10 k − 10 = 0
2 + 2 k − 10 h = 0
! h = 0 ; k = −1
37
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
En
⊗:
! xN2 + yN2 − 10xNyN+ 1 − 2 + 13 = 0
xN2 + yN2 − 10xNyN+ 12 = 0 ......!
Pero :
xN= xNNcos θ − yNNsen θ
yN= xNNsenθ + yNNcos θ

 ......$

$ en ! :
! xNN2 cos2 θ − 2 xNNyNNsenθ cos θ + yNN2 sen2 θ + xNN2 sen2 θ +
+ 2 xNNyNNsen θ cos θ + yNN2 cos2 θ − 10 + xNN2 senθ cos θ −
− 10 xNNyNNcos2 θ + 10 x NNyNNsen θ + 10 yNN2 sen θ cos θ + 12 = 0
!
(cos θ + sen θ − 10senθ cosθ) xNN +
(sen θ + cos θ + 10senθ cosθ) yNN +
+ (2 senθ cos θ − 2 senθ cos θ − 10 cos θ + 10 sen θ) xNNyNN+ 12 = 0
2
2
2
2
2
2
2
!
2
(1− 10 senθ cos θ) xNN2 + (1+ 10 senθ cos θ) yNN2 +
)
(
+ − 10 cos2 θ + 10 sen2 θ xNN
yNN+ 12 = 0 ...... ⊕
Ahora
el término
xNN
yNN:
Ahorapara
paraeliminar
eliminar
el término
x´´y´´:
! − 10 cos2 θ + 10 sen2 θ = 0
(
)
− 10 cos2 θ − sen2 θ = 0
! cos2 θ − sen2 θ = 0 ! cos 2θ = 0
38
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Además :
! sen θ =
1 − cos 2θ
=
2
1
2
=
2
2
! cos θ =
1 + cos 2θ
=
2
1
2
=
2
2
Reemplazan do en
⊕:

2
2  2
2
2  2 
⋅
⋅
! 1 − 10 ⋅
yNN + 12 = 0
xNN + 1 + 10 ⋅

2
2 
2
2 


(1 − 5) xNN2 + (1 + 5) yNN2 + 12 = 0
2
2
− 4 xNN
+ 6 yNN
+ 12 = 0
Dividiendo × 2 :
!
2
−6 = 0
2xNN2 − 3 yNN
Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los
dos puntos
A = (1,4 ) y B = (− 2,1) es siempre igual a 3. Hallar la
ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de
coordenadas.
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto que se mueve.
De la condición :
!
AP − B P = 3
(x − 1)2 + (y − 4)2 − (x + 2)2 + (y − 1)2
=3
39
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Efectuando operaciones se tiene :
! 20 x − 4 y − 8 x y + 9 = 0
→
"
Pero :
!
x = xN+ h
y = yN+ k



→
#
Luego :
!
(20 − 8 k ) xN− (4 + 8 h) yN− 8xNyN+ 20 h− 4 k − 8 h k + 19 = 0
Ahora para eliminar los términos xN e yN:
!
20 − 8 k = 0
4 + 8h = 0

1
5
 ! h= ; k=−
2
2

# en ! :
5
 1  5 
 1
! − 8xNyN+ 10  −  − 4   − 8  −   + 19 = 0
2
2


 
 2  2 
− 8xNyN− 10 − 10 + 10 + 19 = 0
! − 8xNyN− 9 = 0
40
→
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
6
LA PARÁBOLA
Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz
es y = 2 .
Solución:
Del gráfico, se tiene :
: x 2 = −4py
→
!
p=2
En
!
!:
: x 2 = −8 y
41
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta x = −6 y su
foco es F = (0,0 ) .
Solución:
Del gráfico :
(y − k )2 = 4 p (x − h)
:
V = (− 3,0 ) y
Como :
En
→
!
p = FV = 3
!:
: y 2 = 12 (x + 3 )
!
: y 2 = 12x + 36
Calcular el radio focal del punto M de la parábola y 2 = 20 x si la abscisa
del punto M es igual a 7.
Solución:
: y 2 = 20 x
De
→
!
4p = 20 ! p = 5
!:
de donde : F = ( 5,0 )
M = ( 7, y1 ) ∈
En
!:
!
y12 = 20 (7 ) !
(
! M = 7,± 140
)
y1 = ± 140
Por lo tanto :
FM =
42
FM =
(
)2
140 − 0 + (7 − 5 )2
144 = 12
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Dada la ecuación de la parábola x 2 + 8 y − 2x = 7 . Hallar el vértice, eje,
foco y directriz. Trazar la curva.
Solución:
: x 2 + 8 y − 2x = 7
Completando cuadrados
: x 2 + 8 y − 2x = 7
:
: x 2 − 2 x + 1 = −8 y + 7 + 1
!
(x − 1)2 = −8y + 8
!
:
(x − 1)2 = −8(y − 1)
Luego, las coordenadas del vértice de la parábola :
Seguidamente :
4p = −8
V = (h,k ) = (1,1)
! p = −2
Ahora, las coordenadas del foco : F = (h,k + p ) = (1,−1)
! Ecuación del eje :
x =1
! Ecuación de la directriz :
y=3
43
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto V = (3,2 ) y
el foco es F = (4,2) .
Solución:
(y − k )2 = 4p(x − h)
:
→
!
Dado que se conoce el vértice y el foco :
p = VF = 1
Reemplazando los valores en
!
:
!:
(y− 2)2 = 4 (1)(x − 3)
(y− 2)2 = 4 (x − 3)
: y 2 = 4y + 4x − 16
Obtener la ecuación de la parábola con foco en F = (2,3 ) y cuya ecuación
de la directriz es x = −6 .
Solución:
Del gráfico :
!
FP = Distancia de P
a
!
‹ (definición)
(x − 2)2 + (y − 3)2
=x+6
Efectuando operaciones :
!
44
:
y 2 − 16 x − 6y − 23 = 0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación y 2 = 4 x ,
con la recta de ecuación x = 2y − 3 .
Solución:
Tenemos :
De



:
y 2 = 4x
!
→
‹ : x = 2 y − 3 → "
! y " obtenemos los puntos
P1 = (1,2)




P2 = (9,6 )
P1 y P2 intersección de las dos gráficas :
Luego :
P1 P2 =
(9 − 1)2 + (6 − 2)2
=
64 + 16
"!
P1 P2 = 4 5 ≈ 8,94
45
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la
cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es y 2 = 16 x .
Solución:
: y 2 = 16 x
→
!
se deduce que el vértice V = (h,k ) = (0,0 )
é : F = (h + p,k ) = (4,0 )
Tambien
(lado recto )
→ "
 P1 = (4,8 )

Luego, la cuerda normal
! CN :
De
x=4
! y ":
!


! r = FP1 = P2F = 8
P2 = (4,−8 )
"! r 2 = 64
Siendo C centro de la circunferencia
!
C = F "! C = (4,0 )
Por lo tanto :
C:
(x − 4 )2 + y 2 = 64
C : x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0
Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen
y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto A = (− 3,8 ) . Calcular
las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta.
Solución:
!
:
y 2 = 4px
y su vértice
46
→
!
V = (h,k ) = (0,0)
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Además : p = 3
" en ! :
!
→
:
"
y 2 = 12x
 A = (− 3,8 )
‹ : 

→
F = (h + p,k ) = (3,0)
$
! m‹ = m
AF
=−
4
3
‹ : y − 0 = m ‹ (x − 3)
y=−
De
$ y #:
4
(x − 3) "!
3
P:



‹ : 4x + 3y − 12 = 0 → #
: y 2 = 12x
‹ : 4x + 3y − 12 = 0
"!
P1 = (3 4 ,3 )
P2 = (12,−12)
47
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.
y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la
forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente,
determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a
100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal).
Solución:
Del gráfico, se observa que
! P = (150,80) ∈
!:
:
x2 =
x 2 = 4py
→
!
.
! 1502 = 4p (80 ) "!
En
:
4p =
75 × 15
4
75 × 15
y
4
Luego :
! P1 = (50, y1) ∈
48
! P2 = (100, y 2 ) ∈
! 50 2 =
75 × 15
y1
4
! 100 2 =
!
75 × 15
y2
4
y1 =
!
80
≈ 8,88 m.
9
y2 =
320
≈ 35,55 m.
9
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
7
LA ELI PSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices (± 10,0 ) .
Solución:
õ:
Sabemos :
x2
y2
+
= 1 →
a 2 b2
!
Luego del enunciado :
!
CN =
!
a = 10
2 b2
= 5 "! b 2 = 25
a
!
Por lo tanto en
a 2 = 100
!:
õ:
x2
y2
+
=1
100 25
49
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con x = 1 , C = (1,5 ) ,
F = (1,8 ) ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.
Solución:
õ:
Del enunciado deducimos :
Pero : 2a = 12
"!
a=6
"!
"!
c2 = 9
Luego : c = CF = 3
Sabemos : b 2 = a 2 − c 2
Por lo tanto :
50
õ:
"!
(x − h)2 + (y − k )2
b2
=1
a 2 = 36
b 2 = 36 − 9 = 27
(x − 1)2 + (y − 5)2
27
a2
36
=1
"! b 2 = 27
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Reducir la ecuación x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0 a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
x 2 + 4 y 2 − 6x + 16y + 21 = 0
Completando cuadrados para x e y :
(x
2
) (
)
− 6x + 9 + 4 y 2 + 4y + 4 = −21 + 9 + 16
(x − 3)2 + 4(y + 2)2 = 4
õ:
(x − 3)2 + (y + 2)2
4
1
=1
De la ecuación tenemos : C = (h,k ) = (3,−2)
Luego los vértices de la elipse se obtienen de :
!
V = (h ± a,k ) = (3 ± 2,−2) !




V1 = (5,−2)
V2 = (1,−2 )
También :
!
a2 = 4
!
a 2 = b2 + c 2
!
a = ±2
!
!
4 = 1+ c2
! Eje mayor : 2a = 2 × 2 = 4
!
b 2 = 1 ! b = ±1
Cuerda Normal : CN =
! Excentricidad : e =
!
!
c2 = 3
!
c2 = ± 3
Eje menor : 2b = 2 × 1 = 2
2b2
2 ×1
=
=1
a
2
c
3
=
<1
a
1
51
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse x 2 25 + y 2 15 = 1 se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de
esta perpendicular con la elipse hasta los focos.
Solución:
Tenemos la ecuación de la elipse :
!
õ:
x2 y2
+
= 1 →
25 15
Sabemos : b 2 = a 2 − c 2
!
c 2 = a2 − b2
!
!
c = ± 25 − 15 = ± 10
Luego, los focos de la elipse son :
(
! F = (± c,0 ) ! F = ± 10 ,0
)
La ecuación de la perpendicu lar
trazada en el primer foco es :
52
x = 10
→
"
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
De
9 y2
+
=1 !
25 15
! y ":
De aquí : C = (x, y ) =
y2 = 9 !
y = ±3
( 10,3)
Por lo tanto :
!
F1C =
( 10 −
!
F2C =
(−
10
)2 + (0 − 3)2 = 3
10 − 10
)2 + (0 − 3)2 = 7
Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro C = (− 2,4 ) y
sea tangente a los dos ejes de coordenadas.
Solución:
Sea :
õ:
(x − h)2 + (y − k )2
b2
=1
a2
Para este caso :
! a : Distancia de C al eje X
!
a=4 !
a 2 = 16
! b : Distancia de C al eje Y
! b = 2 ! b2 = 4
!
õ:
(x + 2)2 + (y − 4)2
4
16
=1
53
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
V1 = (5,0 ) y pasa por el punto P = (2,3 ) .
Solución:
x2
y2
+
=1
a 2 b2
! õ:
V1 = (5,0 ) !
Dado que :
õ:
Luego :
a=5
!
a 2 = 25
x 2 y2
+
=1
25 b 2
Como : P = (2,3 ) ∈
õ !
75
4
3
+ 2 = 1 ! b2 =
7
25 b
Por lo tanto :
õ:
x2
y2
+
=1 !
25 75 7
õ : 3x 2 + 7y 2 = 75
La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m
de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha
claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro
foco?
Solución:
Según
losdatos
datosdel
del
enunciado:
Segúnlos
enunciado
:
! a = 10 ! a2 = 100
! b = 8 ! b2 = 64
De donde : b2 = a2 − c 2
Porlo
lotanto
tanto:
Por
:
54
! c 2 = 36 ! c = ±6
F1F2 = 2c = 12
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos
en F = (− 3,4 ) y F2 = (5,4 ) eje mayor 12.
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto que se mueve.
Por la definición de elipse, se tiene que :
!
F1P − F2P = 2a = 12
De donde :
!
(x + 3)2 + (y − 4)2 − (x − 5)2 + (y − 4)2
= 12
Efectuando operaciones :
õ : 5x 2 − 9y 2 + 10x + 72y + 31 = 0
55
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la
mitad de la longitud del eje mayor.
Solución:
Sea
õ:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 la elipse con vértice en el origen.
Probar que :
!
B1 F1 =
V1 V2
2
Luego, de la figura :
=
2a
=a
2
B1 F1 =
c 2 + b2
pero, sabemos por definición que : a 2 = c 2 + b 2
Por lo tanto :
56
B1 F1 = a 2 = a
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
puntos A = (− 2,0 ) y B = (− 2,6 ) es 8. Hallar la ecuación del lugar
geométrico de P .
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto que se mueve.
Por la
la condición
condicióndel
delproblema
problema:
:
AP + BP = 8
De donde :
(x + 2)2 + y 2
+
(x + 2)2 + (y − 6 )2
=8
Efectuando operacione s, se tiene :
õ : 16 x 2 + 7 y 2 + 64 x − 42y + 15 = 0
(x + 2)2 + (y − 3 )2
∴ õ:
7
16
=1
La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una
elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica
es de 300 000 km. y la excentricidad es de 0,017 aproximadamente.
Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Solución:
De los datos y según el gráfico, tenemos que :
!
2a = 300 000
!
a = 150 000
Del valor aproximado de la excentricidad de la elipse :
!
e=
c
= 0,017 !
a
c = 0,017 × a = 0,017 × 150 000
!
c = 2 550
57
Capítulo 7. LA ELIPSE
Luego :
! Máximo : a + c = 150 000 + 2 550 !
a + c = 152 550
a − c = 150 000 − 2 550 !
a − c = 147 450
´
! Minimo
:
58
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
8
LA H I PÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto A = (2,3 ) , tiene
su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus
asíntotas es la recta 2y − 7 x = 0 .
Solución:
Sean
Si
‹ 1 y ‹ 2 asíntotas de la hipérbola H .
‹ 1: 2y − 7 x = 0 ! ‹ 2 : 2y + 7 x = 0
Luego :
!
H:
Pero :
En
!:
(2y −
)(
)
7 x 2y + 7 x = k !
H : 4 y 2 − 7 x 2 = k →
!
A = (2,3 ) ∈ H ! 36 − 28 = k ! k = 8
H : 4y 2 − 7 x 2 = 8 ! H :
y2 x2
−
=1
2 87
59
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en V = (0,±7 ) y e = 4 3 .
Solución:
H:
De los datos se deduce :
Si :
y2
a2
−
x2
b2
=1
V = (0, ± 7 ) = (0, ± a ) ! a = ±7
Además :
e=
c 4
784
4
=
! c = × a ! c2 =
9
3
a 3
Luego : b 2 = c 2 − a 2 =
H:
Por lo tanto :
343
784
− 49 ! b 2 =
9
9
y2
x2
−
=1
49 343 9
H : 9x 2 − 7 y 2 = 343
Dada la ecuación de la hipérbola x 2 − 4 y 2 = 4 , hallar las coordenadas de
los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la
excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
H : x 2 − 4y 2 = 4 ! H :
Sabemos :
x2 y2
−
=1
4
1
De donde :
! a 2 = 4 ! a = ±2
! b 2 = 1 ! b = ±1
! c 2 = a2 + b2 = 4 + 1 = 5 ! c = ± 5
Vértices :
V = (± a,0 ) = (± 2,0 )
(
Focos : F = (± c,0 ) = ± 5 ,0
Excentricidad :
60
e=
c
a
!
)
e=
5
2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Cuerda Normal : CN =
2b 2
2 ×1
=
=1
a
2
Eje Transverso :
2a = 4
Eje Conjugado :
2b = 2
Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos F1 = (− 1,1) y F2 = (5,1)
y un vértice en V = (0,1) .
Solución:
61
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Sabemos :
F1 F2 = 2c = 6 ! c = 3 ! c 2 = 9

! C = (h,k ) ! 

Ahora :
h=2
! C = (2,1)
k =1
! a = CV = 2 ! a 2 = 4
! c 2 = a 2 + b2 ! 9 = 4 + b2 ! b2 = 5
Por lo tanto :
H:
(x − h)2 − (y − k )2
=1
H:
(x − 2)2 − (y − 1)2
=1
a2
4
b2
5
Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los
puntos F1 = (3,4 ) y F2 = (3,−2 ) y su excentricidad es igual a 2.
Solución:

! C = (h,k ) ! 

h=3
k =1
! C = (3,1)
Luego : c = F1C = CF2 = 3
9
3
c
=2 ! a=
! a2 =
4
2
a
27
9
! b2 =
Sabemos que : b 2 = c 2 − a 2 = 9 −
4
4
Además : e =
Por lo tanto :
62
H:
(y − k )2 − (x − h)2
=1
H:
(y − 1)2 − (x − 3)2
=1
a2
94
b2
27 4
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la
elipse: x 2 100 + y 2 64 = 1 . Y las directrices pasan por los focos de esta
elipse.
Solución:
En la elipse :
õ:
x2 y2
+
=1
100 64
! a 2 = 100 ! a = ±10
! b 2 = 64 ! b = ±8
! b 2 = a 2 − c 2 ! c 2 = a 2 − b 2 = 100 − 64 = 36 ! c = ±6
De donde : F = (± c,0) = (± 6,0)
En la hipérbola :
H:
x2
a2
−
y2
b2
=1
Por condición del problema, obtenemos el valor de c en la hipérbola
a partir del valor de a en la elipse.
! c = ±10 ! c 2 = 100
63
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
La ecuación de la directriz de la hipérbola :
!
x=±
a
a2
a2
=
=±
ca
c
10
→
x=±
a
e
!
Por condición del problema : x = c ; donde c es un valor obtenido
en la elipse.
Luego en
!:
a 2 = 60
Seguido : b 2 = a 2 − c 2
Por lo tanto :
H:
H:
64
! b 2 = 100 − 60 ! b 2 = 40
x2
a2
−
y2
b2
=1
x2
y2
−
=1
60 100
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Dada la ecuación de la hipérbola: (x − 4 )2 16 − y 2 128 = 1 , encontrar las
coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones
de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
Si
(x − 4)2
H:
16
−
y2
= 1 →
128
!
se deduce que C = (h,k ) = (4,0 )
Además :
! a 2 = 16 ! a = ±4
! b 2 = 128 ! b = ±8 2
! c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 128 = 144 ! c = ±12
Vértice :
V = (h ± a,k ) = (4 ± 4,0 ) !
s:
Focos : F = (h ± c,k ) = (4 ± 12,0 ) !






V1 = (8,0 )
V2 = (0,0 )
F1 = (16,0 )
F2 = (− 8,0 )
Ecuaciones de las directrices :
x = h±
a
4
= 4±
e
3
!



x = 16 3
x=8 3
Ecuaciones de las asíntotas ; en
!:
8(x − 4 ) − y − 128 = k
2
!
[2


! 


][
]
2 (x − 4 ) + y ⋅ 2 2 (x − 4 ) − y = 0
‹ 1: 2 2 (x − 4) + y = 0
‹ 2 : 2 2 (x − 4) − y = 0
65
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Cuerda Normal : CN =
66
2b 2
2 × 128
=
= 64 = 64
a
4
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos A = (3,−2) y
B = (7,6 ) , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el
eje X.
Solución:
H:
x2
a2
−
y2
b2
=1
! A = (3,−2) ∈ H : !
! B = (7,6 ) ∈ H : !
De
!
y
∴
a
49
a
2
2
−
−
4
b2
36
b2
= 1 →
= 1 →
!
"
a 2 = 4 ; b 2 = 16 5
":
H:
Luego :
9
x2
y2
−
=1
4 16 5
H : 4x 2 − 5y 2 = 16
Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el
golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el
lugar geométrico de P es una hipérbola.
Solución:
Sean :
!
Vb :
Velocidad de la bala
!
Vs : Velocidad del sonido
Además :
e = v⋅t ! t =
e
v
67
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Por condición del problema :
De
!:
!
RP BP BR
−
=
Vs Vs
Vb
! RP − BP = Vs ×
! RP − BP = k
68
RP BR BP
=
+
Vs
Vb Vs
→
BR
=k
Vb
(Definición de hipérbola )
LQQD
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
9
CU RVAS PLAN AS
DE GRADO SU PERI OR
Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: y 2 = x 3 .
Solución:
! y 2 = x3 ! y = ± x3
! y = ±x x ; ∀ x ≥ 0
Cuadro de valores :
x
0
1
2
3
...
y
0
±1
± 2.8
± 5. 1
...
69
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: y = log10 x
Solución:
∀x>0
! y = log10 x ;
Cuadro de valores :
70
x
1
y
0
4
9
0.301 0.47
100
0.1
...
1
−1 2
...
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: y = 4 e x −1
Solución:
! y = 4 e x −1 ;
∀ x∈ú
Cuadro de valores :
x
0
1
2
−1
...
y
1.4
4
10.8
0.5
...
71
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
x
Trazar la curva, cuya ecuación es: y = cos   .
3
Solución:
Cuadro de valores :
x
0
π2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
y
1
0.86
12
0
− 0.86
−1 2
−1
La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de
presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación p ⋅ v = c , para
algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20
libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas.
Hallar c de la ecuación: p ⋅ v = c
Solución:
! p ⋅ v = c ! c = 20 × 300 ! c = 6000
Luego :
! p ⋅ v = 6000 ! v =
72
6000
p
; ∀p≠0
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Cuadro de valores :
x
1
6000
−1
− 6000
...
y
6000
1
− 6000
−1
...
73
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
10
PROBLEM AS
SU PLEM EN TARI OS
¿Para qué valor de h estará el punto P = (h,−3 ) en la recta determinada
por A = (1,−1) y B = (4,7 ) ?
Rpta. :
1
4
Demostrar que el triángulo cuyos vértices son A = (10,5 ) , B = (3,2 ) y
C = (6, − 5 ) es rectángulo. Hallar el área.
Rpta. : 29 u2
Si
A = (5,12 ) es el punto medio del segmento BC y B = (− 7,−3 ) .
¿Cuáles son las coordenadas de C ?
Rpta. : C = (17,27 )
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
a ) x 2 y 2 + 2x 2 − 4 = 0
(
)
b ) y x 2 + 4 = 10 x
75
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de
A = (− 6,0 ) es dos veces su distancia de B = (6,0 ) . Trazar la curva.
Rpta. :
x 2 + y 2 − 20 x + 36 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por P = (5,3 ) y su X-interceptor
es 10.
Rpta. : 3 x − 5 y − 30 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (7,4 ) y forma un
ángulo de 120º con la parte positiva del eje X.
Rpta. :
3x + y − 4 − 7 3 = 0
Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección
de las rectas
x + 2y − 4 = 0
y 4 x − y − 2 = 0 , tal que forman con el
primer cuadrante un triángulo de área 25 u 2 .
Rpta. :
2x + y − 10 = 0 , 9 x + 2 y − 30 = 0
Los puntos X = (3,−2) , Y = (4,1) y Z = (− 3,5 ) son los vértices de un
triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa
por Y .
Rpta. :
6 x − 7 y − 17 = 0
Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro
está en el cuarto cuadrante.
Rpta. :
76
(x − 4)2 + (y + 1)2 =
1
34
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
La ecuación de la circunferencia es x 2 + y 2 − 10 x = 28 . Hallar la ecuación
de la recta tangente a la circunferencia en el punto A = (3,7 ) .
Rpta. : 2 x − 7 y + 43 = 0
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de
las circunferencias: x 2 + y 2 + 2x + y − 1 = 0 y x 2 + y 2 + 2x + 2 y − 4 = 0
y por el punto P = (− 3,0 ) .
Rpta. : 3 x 2 + 3 y 2 + 10 x + y + 3 = 0
Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:
2x 2 + y 2 + 3 x − 7 y − 1 = 0
Rpta. : 16 xN2 + 8 yN2 = 115
La parábola y 2 = 2 p x tiene un extremo de la cuerda focal en el punto
A = (8,8 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo.
1

Rpta. :  ,−2 
2

Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una
parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una
altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el
centro.
Rpta. :
6.25 pies
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Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación de la elipse con focos en F1 = (0,7 ) y F2 = (0,12 ) , un
vértice en V = (0,16 ) .
Rpta. :
x 2 (y − 19 2)2
+
=1
36
169 4
Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el
eje Y, e = 4 5 , cuerda normal (lado recto) 18 5 .
Rpta. :
x2 y2
+
=1
6
2
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal
(real) sobre el eje X; pasa por los puntos S = (3,1) y T = (9,5 ) .
Rpta. :
x2 y2
−
=1
6
2
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C = (− 1,8 ) , con vértice en
V1 = (3,8 ) , e = 3 .
Rpta. :
(x + 1)2 − (y − 8 )2
16
128
=1
Trazar la curva, cuya ecuación es: y = x 2 ⋅ e 2
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