Práctica de Matemáticas: Números Reales, Ecuaciones e Inecuaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CONTABLES Y ADMINISTRATIVAS
ESCUELA ACADÉMICO PROFECIONAL DE CONTABILIDAD
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMÁTICAS
PRACTICA DOMICILIARIA
I. Usar los axiomas y propiedades de los números reales para demostrar:
𝑎 −1
(𝑏 )
1.
𝑏
𝑎(𝑏 − 𝑐 ) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
4.
7. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 <
10.
𝑎2
𝑎
2.
=𝑎
𝑎+𝑏
2
𝑐
+𝑏=
𝑏
𝑎
𝑐
3. 𝑎 − (𝑏 − 𝑐 ) = (𝑎 − 𝑏)+c
𝑏≠0
𝑏
𝑎𝑐
( 𝑏 )(𝑑) = 𝑏𝑑
5.
, 𝑏𝑑 ≠ 0
= 2 , ∀𝑎 𝜖ℝ
11. 𝑆𝑖
𝑎
𝑏
<
𝑚
𝑎
→𝑏<
𝑛
𝑎+𝑚
𝑏+𝑛
𝑚
<
𝑛
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
6.
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
, 𝑏𝑐𝑑 ≠ 0
1
8. 𝑆𝑖 𝑎 < 1 𝑦 𝑏 > 1 → 𝑎 + 𝑏 > 1 + 𝑎𝑏
𝑎, 𝑏 𝜖ℝ
<𝑏
1
𝑎 2 +1
𝑎+𝑐
9. 𝑆𝑖 𝑎 < 0 → 𝑎 + 𝑎 ≤ −2,
∀𝑎𝜖ℝ
12. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 → 𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏
, 𝑏 > 0, 𝑛 > 0
II. Halla el conjunto solución de la ecuación, escribiendo cada una de los axiomas o propiedades aplicadas:
𝑥 − (3𝑥 −
a)
2𝑥−5
10
1
5
) = 6 (2𝑥 − 7) − 3
b)
𝑥
22 −32
+
3𝑥
5
=
5
c)𝑥 − (3𝑥 −
7
2𝑥−5
10
1
III. Usar correctamente las propiedades de los números reales para resolver las inecuaciones:
a)
2𝑥
3𝑎
+4 >
c) 𝑥 +
6−3𝑥
5𝑥
6𝑏
+ 2𝑥, 𝑎 > 𝑏 > 0
b)
+
3𝑥
<
𝑎+𝑏
5
𝑎−𝑏
, 𝑎>𝑏>0
d) 3(𝑥 − 5) − 4(4 − 3𝑥 ) ≥ 2(7 − 𝑥 ) − 3(𝑥 − 5)
<4
4
𝑥
𝑎2 −𝑏2
e) 9𝑥 2 + 54𝑥 > −76
f)
𝑥 4 − 2𝑥 2 − 8 < 0
g)
3𝑥 2 − 8𝑥 + 11 ≥ 4(𝑥 − 1)
h) 𝑥(3𝑥 + 2) < (𝑥 + 2)2
i)
(𝑥 2 + 2𝑥 )(𝑥 2 − 1) − 24 > 0
j)
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) > 16
k)
2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 11𝑥 − 6 ≥ 0
l)
𝑥 5 − 6𝑥 4 − 𝑥 3 + 29𝑥 2 + 8𝑥 − 15 < 0
m) 𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 15𝑥 2 + 4𝑥 + 12 > 0
n) (𝑥 2 − 2𝑥 − 5)(𝑥 2 − 2𝑥 − 7)(𝑥 2 − 2𝑥 − 4) > 0
o) 𝑥 6 + 6𝑥 4 + 9𝑥 2 + 4 > 0
p)
q) (3 − 𝑥 )3 (𝑥 2 − 1)2 (1 − 𝑥 )5 𝑥 > 0
r) (𝑥 + 9)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 + 5) ≤ 385
s) 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 8𝑥 − 3 > 0
t)
(𝑥 2 − 1)(𝑥 2 + 9)(𝑥 + 4)(𝑥 − 5) > 0
𝑥 5 − 6𝑥 4 − 17𝑥 3 + 17𝑥 2 + 6𝑥 − 1 > 0
IV. Resolver las inecuaciones aplicando las propiedades:
a)
c)
e)
−3 ≤ 3𝑥 − 5 ≤ 8
2
b)
5
𝑥+1
1
2−𝑥
+ 𝑥−5 < −1
𝑥
d)
1
≤ − 𝑥 2+1 ≤ − 𝑥
f)
2
𝑥2
5
𝑥2
𝑥+2
4
> 𝑥+2 − 2
2𝑥 2 −3𝑥+3
(𝑥−2)(2𝑥+3)
𝑥
2
𝑥 2 +1
4
1
> −2
≥𝑥
𝑆𝑖 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥+1 + 𝑥−5 < −1} y 𝐵𝑐 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥+2 + 2 > 𝑥+2 } . 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐴∆𝐵.
9
5
h) (4𝑥 2 − 12𝑥 + 5)7 < 0
(𝑥 2 +3) (𝑥+6)3 (𝑥 2 −4𝑥+5) (𝑥−3)4
i)
≤0
2
7
(𝑥−1) (𝑥+3) (𝑥−3)3
g)
j)
l)
n)
4
𝑥+2
𝑥−2
3
− 𝑥 2−2𝑥+2 ≥ 𝑥−1
k)
3
4
(64𝑥 3 +24𝑥 2 −6𝑥−1) (𝑥 2 −𝑥)(𝑥 2+𝑥 4 ) (𝑥+3)
(8𝑥+1)(2𝑥−1)(𝑥 2 −𝑥)3 (𝑥+1)(𝑥 3 −8)
2𝑥 4 +7𝑥 3 +8𝑥 2 +6𝑥+1
6𝑥 5 +17𝑥 4 +23𝑥 3 +18𝑥 2 7𝑥+1
≥0
(𝑥 2 −4)(𝑥 2 −2)
3𝑥+1
1
m) 2 ≥
o)
>0
(𝑥 2 +𝑥−6)(𝑥 2 −𝑥−6)
𝑥
>0
>𝑥
√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 > −2
q) √−8 + 𝑥 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 2) ≥ 0
1
p) √𝑥 − + √4 − 𝑥 ≥ 0
𝑥
5
r)
√(𝑥+5)3 √𝑥 2 +1
34
(𝑥 2 −4𝑥+51) √𝑥−1(𝑥√𝑥)
(3𝑥+2)7 (2𝑥+5)6 (𝑥−3)13 3√𝑥+2 √𝑥+6
3
≤0
s)
1
5
) = 6 (2𝑥 − 7) − 3
√√𝑥+1+√1−𝑥 ≥ 𝑥 − 4
V.
Usar correctamente las propiedades para resolver las inecuaciones:
≥0
√9−𝑥 2 −√𝑥
1
c)
3
√𝑥+1+√𝑥−2
a)
𝑥
2−𝑥
b)
1
(8𝑥+1)(2𝑥−1)(𝑥 2 −𝑥)3 (𝑥+1)(𝑥 3 −8)
VI.
Aplicar propiedades para resolver la ecuación: ⟦
VII.
𝑆𝑖 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ /
VIII.
Hallar el conjunto solución de:
IX.
Usar los axiomas y propiedades para resolver:
2
+
5
𝑥−5
a)
32𝑥−3 34−𝑥
c)
35𝑥−1
|𝑥−2|+3
2
< −1} y 𝐵𝑐 = {𝑥 ∈ ℝ /
5
√𝑥+1+√𝑥−2
√9−𝑥 2 −√𝑥
√(𝑥+5)3 √ 𝑥 2 +1
⟧=5
𝑥2
𝑥+2
+2>
(𝑥 2 −4𝑥+51)
4
X.
}. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 ( 𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
𝑥+2
3 4
√𝑥−1 (𝑥√𝑥)
3
≤0
(3𝑥+2)7 (2𝑥+5)6 (𝑥−3)13 3√𝑥+2 √𝑥+6
1
≥0
b) (2)
> (32𝑥+1 )𝑥−2
d)
√𝑥+4+2
e) √2−√𝑥+4 ≤ 𝑥 − 4
f)
√𝑥 2 − 𝑥 + 1 < √4 − 𝑥
g)
≥0
d) |𝑥 − 1| + |𝑥 + 1| < 4
≤ − 𝑥 2+1 ≤ − 𝑥
𝑥+1
4
(64𝑥 3 +24𝑥 2 −6𝑥−1) (𝑥 2−𝑥)(𝑥 2 +𝑥 4 ) (𝑥+3)
h)
4𝑥−3
2
625
> (10 000)
3𝑥−2
5
√(0.00032)5𝑥−2 ≤ √(0.2)
3
𝑥 2 −16
√|𝑥−4|−|𝑥−1|
√𝑥 2 +3𝑥+4
2𝑥+1
2
>0
≥0
√21+√𝑥 2 −4
Usar correctamente las propiedades de los números reales para resolver las ecuaciones e inecuaciones:
7𝑥−6
a) |2𝑥 − 3| − 4 = 3𝑥
b) |2𝑥 − 5| =
3
|16−𝑥 2 |
c)
4+𝑥
𝑥2
𝑥
e) |𝑥 − |2𝑥 + 1|| = |4 − 8𝑥|
f)
||𝑥 2 − 1| − 𝑥| = 𝑥
g)
|2𝑥 − 3| + 2 = |𝑥 − 6|
h) 3|𝑥 + 1| − 2|𝑥 − 2| = 2𝑥 − 1
i)
4−|4−𝑥|
|𝑥|+4
j)
|
l)
|𝑥 2 + 3𝑥| + 𝑥 2 − 2 > 0
≤0
𝑥+3
|
k)
| < 5−𝑥
𝑥+2
m)
XI.
4
d) |𝑥−1| = 𝑥
= |𝑥−1|
|2𝑥−1|+1
𝑥 2 −2𝑥−3
6𝑥−4
3+𝑥
|≥
𝑥 2
≤0
1
2
𝑥
7
n) |2| + 3 |2| ≤ 4
Resolver las inecuaciones y ecuaciones aplicando las propiedades:
a)
t)
|3𝑥 − 2| ≤ |𝑥 + 6|
u) |𝑥 − 1| + |𝑥 + 1| < 4
v)
|4𝑥 + 2| ≥ |𝑥 − 1| + 3|𝑥 + 1|
w) |6−3𝑥| ≤ |𝑥+3|
x)
𝑥+1
|𝑥 2 +1|
y)
1
<𝑥
|𝑥 2 −2𝑥−48|(|𝑥 2 −2𝑥|−|𝑥−12|)
|𝑥−2|−6
c) ⟦2𝑥⟧ + ⟦4𝑥⟧ = 3
e) ⟦3𝑥⟧ = 𝑥 + 2
g) ⟦
|𝑥−2|+3
2
1
⟧=5
i) |⟦−𝑥⟧ − 1| < 2
k) log1|2𝑥 − 3| > −3
2
m) log 𝑥−4 (3 − 𝑥 ) < 2
≤0
b)
|2𝑥 2 +10𝑥|
2−|2−𝑥|−𝑥
|𝑥−𝑥 2 |−2
|4𝑥|
2
≤ 3𝑥
<0
d) ⟦|2𝑥 2 − 1|⟧ = 1
f) 𝑥 + 1 = ⟦𝑥 − 3⟧
h) ⟦√3 − 𝑥⟧ = 2
j)
√|𝑥|−3
0
⟦𝑥 2 −2𝑥−3⟧
l) log 5(3𝑥 − 5) > log 5(7 − 2𝑥 )
n) log 2 𝑥 2 + log 2 𝑥 4 > 3
XII.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. El siguiente dibujo todos los autos son iguales: Determinar el largo de cada auto.
---------- + 4 ------------------------ + 7 -----------------2. Un farmacéutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La solución debe tener 2% de
ingrediente activo, pero sólo tiene disponibles soluciones al 10% y al 1%. ¿Qué cantidad de cada solución debe usar para
completar la receta?
3. Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10 Km/h. Cinco minutos después, un segundo
corredor comienza en el mismo punto, y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por la misma pista. ¿Cuánto tiempo tardará el
segundo corredor en alcanzar al primero?
4. Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio
de venta de $10. Determinar el número de unidades que deben vender para que la compañía obtenga utilidades de $60 y
calcular el margen por unidad.
5. Un grupo de jóvenes decide pagar por partes iguales el arriendo de $14.000 de un bote. A última hora, tres de los jóvenes se
arrepintieron, con lo cual la cuota de cada uno de los restantes jóvenes subió en $1.500.(a) ¿Cuántos jóvenes habían en el grupo
original?(b) ¿Cuánto pagó cada uno de los jóvenes del grupo final?
6. La liquidación de sueldos de un empleado de la empresa ”Bienvenidos!!” es la siguiente:
Sueldo
Isapre
Isapre (7%)……….
Sueldo líquido..…. $ 257 000…..
base………
(7%)…….
En base a la información entregada determinar:
(a) Su sueldo base
(b) El descuento de la Isapre
(c) El descuento de la AFP
7. Juan tiene un perro. Actualmente su perro tiene 12 años menos que ´el. Dentro de 4 años, Juan tendrá el triple de la edad de
su perro. ¿Cuál es la edad de Alex y su perro?
8. La familia Verdana tiene una huerta con 90 plantas de tomates. El número de plantas de cada fila excede en 3 al doble del
número de filas. Determinar el número de filas y el número de plantas por fila.
9. Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo con alambre. Si el costo por preparar el terreno es de $0.5
dólares por metro cuadrado, y la cerca cuesta $1 dólar el metro lineal. Determinar las dimensiones del terreno si el costo
por prepararlo y cercarlo es de $120 dólares.
10. Hay que repartir $60.000 entre cierto número de amigos, presentes en una reunión, en partes iguales. Alguien nota que si
hubieran dos amigos menos, a cada uno le correspondería $2.500 más. ¿Cuántos son los amigos presentes y cuánto le
corresponde a cada uno?
11. Dos trabajadores A y B realizan juntos una tarea en 10 días. Trabajando por separado, el trabajador A tardaría 5 días más
que B. Determinar el número de días que tardaría en realizar la tarea cada uno de ellos trabajando por separado.
12. La corriente de un río tiene una velocidad de 3km/h. Un bote recorre 40km contra la corriente y 40km con la corriente en un
total de 14 horas. Determinar la velocidad del bote en aguas tranquilas.
13. Un comerciante rehúsa vender en 15000 pesos un cierto número de pacas de algodón Dos meses más tarde, cuando el precio
ha subido 5 pesos por paca, las vende en 15190 pesos. Si en el curso de los dos meses se destruyeron dos pacas, encontrar
el precio por paca de la primera oferta y el número original de ellas.
14. Un terreno deportivo tiene forma rectangular, de tal manera que la medida de su ancho es a cm, y la medida de su largo es el
triple de la medida de su ancho. El terreno se encuentra rodeado de una pista cuyo borde exterior también es rectangular,
de lados paralelos a los del terreno y separados del terreno a la misma distancia. Determinar el ancho de la pista en términos
de la medida del ancho del terreno, para que el área de la pista y la del terreno sean iguales.
15. Hallar tres números reales, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor
que el segundo, que el producto de los dos más pequeños es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.
16. Dos ciclistas A y B parten de un punto P al mismo tiempo y en direcciones que forman un ángulo recto entre sí. El ciclista B
se desplaza a 7 km/h más rápido que A. Después de 3 horas se encuentran a 39km de distancia uno del otro. Determinar la
velocidad de cada ciclista.
17. En las cercanías de una hoguera, la temperatura “T” en °C a una distancia de “x” metros desde el centro de la hoguera, se
600 000
determina mediante la ecuación racional 𝑇 = 𝑥 2+300. ¿A qué distancia del centro del fuego, la temperatura será menor de
500°C?
18. Un grupo de personas van al teatro. Se dispone de S/. 22 para las entradas. Si compra entradas de S/. 3.00 le sobra dinero
pero si compra entradas de S/. 3,50 le falta dinero. ¿Cuántas personas van al teatro?