Trigonometría: Ángulos y Sistemas de Medición

INDICADORES DE LOGRO:
-
Identificar y definir correctamente el ángulo trigonométrico.
Realizar las conversiones de los ángulos en los tres sistemas.
Utilizar los conceptos en la resolución de problemas específicos.
I. SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS (S)
Es aquel sistema cuya unidad de medida es
sexagesimal (S), el cual resulta de dividir el ángu
vuelta en 360 partes iguales.
1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo en un
plano alrededor de su origen (vértice), desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final). Si la rotación se realiza en sentido antihorario, por convención el ángulo
se considera positivo pero si la rotación es horaria se considera
negativo.
A
ió
sic
Po
n

O
Posición inicial
M
s
Po
n
ició
F in
al
N
B
: Ángulo positivo
m1 vuelta
360
Notación:
- 1 grado sexagesimal: 1°
- 1 minuto sexagesimal: 1’
- 1 segundo sexagesimal: 1’’
Equivalencias:
al
Fin
Posición inicial
1 
1 vuelta <> 360°
*Observación:
1°<>60’ <> 3600’’
a°b’c’’ <> a°+b’+
1’ <> 60’’
: Ángulo negativo
Se deduce:
Nota:
I. El ángulo trigonométrico puede tomar valores de: ;  .
x 3600
x 60


grados
II. Cuando a un ángulo trigonométrico se le invierte su sentido,
su signo cambia.
x 60
minutos
 60
segundos
 60
 3600
Ejemplo: Simplifica el valor de:


M

25 ' 124 '' 2 ' 8 '' 60 ''



5'
12 ''
4 ''
1'
Solución:

III. Para sumar ángulos trigonométricos en un gráfico, estos
deben tener el mismo sentido.
M
M

 

- 
-


2.
Ángulos Trigonométricos Coterminales
Son ángulos que tienen el mismo lado inicial y final, con sentido
y valores diferentes o iguales.
Lado inicial



La
do
Fin
al
 número entero 


 de vueltas 
M
M
M
2  5 ' 1  24 '' 2 ' 8 '' 60 ''



5'
12 ''
4 ''
1'
120 ' 5 ' 3600 '' 24 '' 120 '' 8 '' 1 '



5'
12 ''
4 ''
1'
125 ' 3624 '' 128 '' 1 '



5'
12 ''
4 ''
1'
25  302  32  1
360
II. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS (C)
Sistema cuya unidad de medida es el grado centes
el cual resulta de dividir el ángulo de una vuelta en
tes iguales.
m1 vuelta
1g 
400
Notación:
- 1 grado centesimal : 1g
- 1 minuto centesimal: 1m
1g <> 100m <> 10000s
g m s
g
m
s
a b c <> a +b +c
1m <> 100s
g
C

e deduce:
Rrad
x 10000
x 100
Siendo:
x 100
S: Número de grados sexagesimales del 
grados
minutos
 100
segundos
C: Número de grados centesimales del 
R: Número de radianes del ángulo 
* Se cumple:
 1000
 10000
S
C
R

 K
180 200 
jemplo: Simplifica el valor de:
H
Donde:
3g
6 g30m 2m25s


15m 2g10 m
15s
olución:
* S  180k
* S  9k
* C  200k
* C  10k
k
*R 
20
* R  k
3g
6g  30m 2m  25s
H m 

m
15
15s
2g  10
300m 600m  30m 200 s  25s
H


m
15m
15s
200m  10
* También se cumple:

S
C

9 10
 S  180
R

 C  200
R

Observación:
300m 630m 225s


m
15m
15s
210
H  20  3  15
H  38
H
Sexagesimal
Centesimal
S
C
60S
100C
3600S
10000C
# de grados
# de minutos
STEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
# de segundos
ambién llamado internacional, el cual es un sistema cuya
nidad de medida es el radián (1rad) el cual representa la
mplitud de un arco, en donde su longitud mide igual al radio
e la circunferencia que lo contiene.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Convertir  /5 rad a grados sexagesimales
Solución:

S
R
S



 5  S  36  rad  36
180 
180 
5
vuelta=2rad
R
O
donde:
- 3,1416
R
1rad
- 22/7
R
2.
- 1rad=57°17'45'’
Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo
sumado a dos veces el número de sus grados centesimales es
222. Determina el número de radianes de dicho ángulo.
(Siendo S, C y R lo convencional)
Solución: Del enunciado:
6S + 2C = 222
elación de conversión de los tres sistemas:
omo:
Sabemos:
g
m1vuelta<>360°<>400 <>2rad
S = 9K
C = 10K
R=
ntonces:
g
Reemplazando:
6 . (9K) + 2(10K) = 222
74K = 222
K=3
K

R
.3
Piden: R 
20
20
180°<>200 <>rad
g
Para sexagesimal y centesimal: 9°<>10
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
s la relación entre los números que representan la medida
e un ángulo.
onsideremos un ángulo trigonométrico positivo como se
K
20
3.
R
3
rad
20
Un ángulo en el sistema sexagesimal se expresa por:
* Convirtiendo 140g: 140g.
9
 126
10g
* Cómo:
121
 5  140 g  126
x
x 1

121

 126  5
x
70

g
5 rad
18
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Si 640 
16
x rad
9
Determina: xx
2.
a) 2
b) 4
d) 16
e) 25
c) 9
a) 61°
b) 67°
d) 69°
e) 65°
4. Determina la medida centesimal del ángulo que c
condición :
Si: 150g   abc 
Determina: E 
c) 63°
C
S R

 3
40 30 
1
1
1
 
a 1 b c 1
a) 1/2
b) 1
d) 2
e) 1/6
siendo, S, C y R lo convencional
c) 1/3
a) 30g
b) 60g
d) 70g
e) 50g
c) 40g
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUD
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULO
INDICADORES DE LOGRO:
-
Comprender y utilizar la definición de R.T. de un ángulo agudo.
Reconocer y aplicar las razones trigonométricas en los problemas propuestos.
Aplicar definiciones de R.T. de ángulos agudo en situaciones
problemáticas específicas.
Teorema de
Pitágoras
a2+b2=c2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
A
1. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (R.T.)
B
c
b
a
C
 : Ángulo de referencia
Luego establecemos
C.O. : Longitud del cateto
opuesto a "  "
C.A. : Longitud del cateto
adyacente a "  "
H : Longitud de la
hipotenusa.
(Lado mayor del triángulo)
Se llama razón trigonométrica a la comparación por cociente de
las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.
Del triángulo rectángulo ABC que se muestra se pueden establecer el siguiente conjunto de razones trigonométricas.
a b a b c c
; ; ; ; ;
c
c b a b a

De un triangulo rectángulo
solo se pueden establecer
6 razones trigonométricas
diferentes.
B
c
A
a
b
C
Las razones trigonométricas de ángulos agudos son seis y se
denominan: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante.
PROPIEDADES
I.
Las razones trigonométricas son cantidades adimensi
decir, carecen de unidades.
s ángulos notables a aquellos cuyo valor está relacionado
particulares de triángulos rectángulos. Entre los ángulos
Finalmente, en el triángulo ABH:
más comunes tenemos:
5º, 16º, 30º, 37º,45º, 53º, 60º 74º,75º,82º, etc.
OS RECTÁNGULOS NOTABLES.
triángulos rectángulos notables a aquellos en los que al
o de sus lados es entero y sus ángulos son notables.
CO
6
2 5


H
5
3 5
sen  
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS:
I.
Una razón trigonométrica es recíproca de otra, si su valor es el
recíproco (inverso) de aquel.
Sea: x/y una razón trigonométrica, entonces su reciproco
x y
. 1
y x
es y/x, tal que:
Del gráfico:
*)
B
Cateto
opuesto
H
A
*)
Cateto
adyacente
*)
Luego: sen .csc   
C
C.A es recíproco de: H
H
C.A
cos
CO es recíproco de: H
H
CO
sen
csc
Luego:
cos . sec   
sec
C.O. es recíproco de: C.A.
C.A.
C.O.
tan
cot
Luego:
tan .cot   
ángulos donde se muestra (*), la medida de los ángulos
De éstas relaciones se tiene:
es aproximada.
R.T.() . R.T. recíproca ()  1
RESUMEN
Ejemplos:
.T
30º
60º
45º
en
1/2
3 /2
2 /2 3/5 4 /5
1/2
37º
os
3 /2
an
3 /3
3
1
3/4 4 /3
ot
3
3 /3
1
4 /3 3/4
ec 2 3 / 3
sc
2
sen20º.csc20º=1
cos28º.sec28º=1
tan40º.cot40º=1
53º
2 /2 4 /5 3/5
II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS
Para las razones trigonométricas: seno, tangente, secante; se
definen respectivamente sus co-razones: coseno, cotangente,
cosecante.
2
2
5/4 5/3
Se verifica que la razón de un ángulo y la co-razón del ángulo
2 3 /3
2
5/3 5/4
complementario tienen valores iguales.
B
Del gráfico mostrado, determina sen 
B
c
10
37º
A
C
11
CIÓN:
la altura BH, determinándose con lo cual el triángulo
o notable BHC
A
6 3k
A
37º
Donde:
C
10=5k
k=2
C
b
sen  cos   a / c
tan   cot   a / b
sec   csc   c / b
Si:     90º
Razón()  co  razón()
B
10=5k
a
Entonces:
sen  cos 
tan   cot 
sec   csc 

 de los ángulos
sen(10º )  cos(80º )  es 90º
Determina el valor de:
sec 25º  csc 65º
sen      10  .tan   –  – 3 
tan   –  – 20  .cot   –  – 7 
Ejemplo: Determina el valor de:
H  tan12º.tan 78º  3 sen50º.sec 40º
RESOLUCIÓN:
Transformando cada razón a su co-razón:
tan12º=cot78º
3.
sec40º=csc50º
5
2
a) 1
b)
d) 3
e) 2
c)
3
2
c)
3
10
Con ayuda de la figura mostrada calcula.
sec  x   tan  x 
cot  x  – csc  x 
Luego: H  cot
78º
tan 78º
50º  2

  3 sen50º.csc

1
1
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y se cumple que:
2n + 1
2
tan   ; determina: R  13sen  12 cot 
3
x
2n
RESOLUCIÓN:
Tan 
a)
2 2K C.O.


3 3K C.A.
13
ita
k (P
)
ras
o
g
15
2
15
e) 6
2
4. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, M pun
2k
de CD . Determina: cot(  ) + cot(  ).
B
 2k 
 3k 
Luego: R  13 
  12    2  18  20
 2k 
 13k 
A
D
1
2
5
b)
6
1
c)
3
a)
2x+3x=90º
x=18º
Reemplazando en E:
E=4tan37º+3tan45º
d) 5
 3
E  4    3 1  3  3  6
 4
e)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.Si se cumple las igualdades:
1
0
sec  x  z 
5.
1
6
En un triángulo rectángulo ABC (recto en A), dete
(b2 + c2)sen(B – C) – (b2 – c2)sen(B + C),
Considere con( 2 ) = cos2(  ) – sen2(  )
cot3x . tan(y + 6°) = 1
a) 2b2
b) 2c2
Determina el valor de:
c) 2
sen(x + 6°) + tan2(y – 6)
b) 3,5
C
M
02. Si se cumple que: sen2x=cos3x, para "x" agudo, determina el
valor de:
E=4tan(2x+1º)+3tan(3x-9º)
RESOLUCIÓN:
Como:
sen2x=cos3x
a) 1
b) –6
d) –
3k
sen  y – z  –
n–1
d) 0
c) 1,5
e) 1
RESOLUCIÓN:
RES DE LOGRO:
Graficando el triángulo y trazamos BH  AC
nocer y aplicar las razones trigonométricas en la resolución
ángulos rectángulos.
ar definiciones de R.T. de ángulos agudo en situaciones
emáticas específicas.
C
H
S DE RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
ONOCE DOS LADOS:
a
conocen dos lados, se puede calcular al tercer lado, hao uso del teorema de Pitágoras, luego se puede determinar
edida de uno de los ángulos agudos. Para ello se tomará
uier razón trigonométrica y el otro ángulo es su compleo.
plo:
ver el triángulo.
2.
en el triángulo CBH
BH  a.cos 
B
A
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIÁNGULAR
h
S
a)
3 5
Luego nos pide
det er min ar BH
3
 S
1
bh 2
2
b
x
a
OLUCIÓN:
l teorema de Pitágoras:
S
b)
 S
ab
sen 2
2
b
(3 5)2  x 2  9
Ejemplo:
x=6
De la figura mostrada, determina tan 
o: Para calcular la medida del ángulo utilizaremos la razón
ente.
tan  
3
1
 tan  
6
2
 53 
 
 2 
3k
a como conocido un ángulo agudo (  ) y la longitud de un
(m).
ea es generar una razón trigonométrica para (  ) con el
(m) y el lado incógnita.
O I:
B
BC

 BC  m sen
m
AC

 AC  m cos 
m
A
C
90-
a
3S
S
37º
Reemplazando (I) en (II)
1
1
3. (3k)a.sen   (4k)a. cos 
2
2
sen  4 cos 
3. ÁNGULOS VERTICALES
C
AC
 AC  m cot 
m
AB
csc  
 AB  m csc 
m
cot  
1
(3k)a.sen ........(I)
2
1
3S  (4k)a.sen(90º ) ...... (II)
2
S
4k
tan   4 / 9
m
O II:
m
37º
RESOLUCIÓN:
º
ONOCE UN ÁNGULO Y UN LADO:
B
3S
S
Son aquellos ángulos agudos contenidos con un plano vertical,
el cual contiene tanto al observador como el objeto observado.
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
Es aquel ángulo formado entre la horizontal y la visual cuando
el objeto observado se encuentra por encima de la línea horizontal.
Objeto
Horizontal
O III:
:ángulo de elevación
B

tan  
BC
 BC  m tan 
m
 tan x = 2
2tan x = 8cot x
ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
Es aquel ángulo formado por dos visuales que parten desde un
mismo punto, al observar un objeto de un extremo a otro.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Si AB=x, Determina el radio de la semicircunferenc
ción de "  " ; "  " y "x"
Estatua
ual
Vis
A
: ángulo de
observación
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
B
O
a) x tan .tan 
Desde un helicóptero que se encuentra a una altura «h», se
observan en una misma dirección dos puntos en tierra «A» y
«B», con ángulos de depresión "  " y "  " respectivamente.
Determina la distancia entre "A" y "B" si el punto "B" está más
alejado.
b)
x(tan   tan )
(sec   sec )
c) x sec .sec 
RESOLUCIÓN:
Del enunciado, elaboramos la gráfica:
d)
x(cot   cot )
(cot   csc )
e) x se n.se n
2.
Determina "x" en función de "d" y "  "
h
H
A
d
B
x
HA  h cot 
HB  h cot 
d
Además: d  HB  HA
De donde: d
a) d(1  tan2 )
 h(cot   cot )
2.- Determina tanx, sabiendo que: AD = 8; DC = 2 y BM = MC
B
F
x
1  tan2 
c)
d(1  cot 2 )
d)
M
d
b)
d
1  cot 2 
e) d(tan2   1)
A
Resolución:
E
D
C
3.
Desde lo alto de un edificio de 9 pisos, se observa
en tierra con un ángulo de depresión de 37°. Dete
tangente del ángulo de elevación con que se ve
baja del cuarto piso, desde dicho punto.
a) 1/2
b) 3/4
c) 2/3
d) 1/3
ANALÍTICA
RES DE LOGRO
2.
ar la distancia entre dos puntos.
ar la pendiente de una recta.
APLICACIONES EN EL PLANO CARTESIANO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
P2 (x2 ;y2 )
MA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO
ORDENADO: Un par ordenado es un conjunto que condos elementos, denotado por (a; b); a,b   si y solo si
conjunto tiene la propiedad de que el elemento "a" puede
istinguido como el primero y el elemento "b" como el seo elemento del par.
LANO CARTESIANO:
no cartesiano, con la geometría analítica, es la representación
2
étrica del producto de    o  , donde  representa
njunto de los números reales.
d
P1 (x1 ;y1 )
(x 2  x1 )2  (y 2  y1 ) 2
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
(x; y)
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
y
x
P2 (x2 ;y2 )
stema coordenado rectangular o cartesiano en el plano, es
presentación geométrica de dos rectas coordenadas perculares que se intersectan en el origen "O" de ambas.
cta horizontal se llama eje x o el eje de las abscisas, la recta
al se llama eje y o eje de las ordenadas. Los dos ejes se denon ejes coordenados y el plano, se llama plano coordenado xy.
ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones ó
rantes.
P1P
r
PP2
x  rx 2
x  1
1r
y  ry 2
y 1
1r
P(x; y)
P1 (x1 ;y1 )
y
IIC
IC
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIÁNGULAR
P(x;y)
y
x
IIIC
x
IVC
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
y
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
B(-3; -3)
C(x3; y3)
A(5; 3)
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
x1  x2  x3
3
y  y2  y3
y 1
3
x
x
G(x; y)
A(x1; y1)
3.
B(x 2; y2)
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
RECTAS HORIZONTALES
y
más, existe una correspondencia biunívoca entre los puntos
ano XY,y las parejas ordenadas (x;y)    
da punto P del plano xy le corresponde el par ordenado
a
:y=a; m=0
x
d
Ax1  By1
x
b
A2  B
x
RECTAS CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN
4. ECUACIÓN DE LA RECTA
y
2:Ax+By+C=0
1:ax+by+c=0
  90º  m 2  0
  90º  m1  0
DEFINICIÓN:
Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos
tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1; y1) y
del lugar, el valor de la pendiente m calculado por m
formula.
m
x
y 2  y1
; x 2  x1
x 2  x1
Resulta siempre constante.
FORMA GENERAL
PENDIENTE DE UNA RECTA
Su forma general de la ecuación de una recta esta da
Se llama pendiente de una recta, no vertical, a la tangente de su
ángulo de inclinación de una recta , entonces la pendiente de
: Ax+By+C=0
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECT
es:
m=tan
Además si P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son dos puntos cualesquiera de
una recta
no vertical
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN P
TIENE UNA PENDIENTE
La recta que pasa por el punto dado (x1; y1) y tiene
dada: m, tiene por ecuación:
y  y1  m(x  x1 )
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS DE PAS
P2 (x2 ;y2 )
m
y 2  y1
x 2  x1
y  y1 
x 2  x1
y 2  y1
(x  x1 )
x 2  x1
5. LA CIRCUNFERENCIA
P1 (x1 ;y1 )
DEFINICIÓN
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto
mueve en un plano de tal manera que se conserva
una distancia constante de un punto fijo C del mismo

Esto es, | CP | r . El punto fijo se llama centro de la circu
RECTAS PARALELAS
1
2
y la distancia constante se llama RADIO.
m1  m2
Punto que se
mueve
P
o
di
ra
C
RECTAS PERPENDICULARES
Punto fijo
centro
1
2
m1 .m2  1
FORMA ORDINARIA
La circunferencia cuyo centro es el punto (h;k) y cuyo r
constante r , tiene por ecuación:
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
y
(x  h)2  (y  k)2  r 2
2
y
1
tan  
x
c(h;k)
r
m2  m1
1  m1m2
k
y
c(0; 0)
x
r
x2  y2  r2
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
ENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
a de la ecuación: x 2 +y 2+Dx+Ey+F=0 representa una
ncia de radio diferente de cero sí y solo si D2+E2 - 4F>0
 D E 
;  y el radio es
 2 2 
oordenadas del centro son: 
1
D2  E2  4F
2
LA PARÁBOLA
parábola, como el círculo, es una de las curvas conocidas
ciones cónicas, las cuales se describen por medio de
s de segundo grado (cuadráticas) en dos variables.
arábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve
no de tal forma que su distancia a un punto fijo es siempre
distancia a una recta fija.
nto fijo de la parábola se denomina foco y la recta fija
e la parábola.
•
Forma ordinaria: V(h; k)
Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha.
P  P(x; y)  2 / d(P,L)  d(P, F)
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.
ENTOS DE LA PARÁBOLA
oco "F"
s el punto fijo de la parábola.
értice "V"
s el punto medio del segmento que une la directriz y el foco.
je local L1
s la perpendicular a la directriz L.
uerda focal MN
s el segmento que une dos puntos de la parábola y que
asa por el foco.
adio vector EF
s el segmento que une un punto de la parábola E y el foco F.
ado recto LR
s la cuerda focal perpendicular al eje focal.
xcentricidad: e
s la razón constante entre la distancia de un punto al foco
asta la distancia de ese punto desde la directriz (una línea fija).
CIÓN DE LA PARÁBOLA
je focal paralelo al eje "x"
2. Eje focal paralelo al eje "y"
•
Forma canónica: V(0; 0)
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.
•
Forma ordinaria: V(h; k)
Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.
B. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
LD y LD
:
Directrices
LF
LN
C
V1 y V2
F1 y F2
LR
EE'
DD'
PF1 y PF2
V1 V 2
B 1 B2
F1 F2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Efe focal
Eje normal
Centro
Vértices
Focos
Lado recto
Cuerda focal
Diámetro
Radio vector
Eje mayor
Eje menor
Segmento focal
1
Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
2
C. RELACIONES FUNDAMENTALES
3. Ecuación general de la parábola
D. EXCENTRICIDAD
Ax 2  By 2  Cx  Dy  E  0
e
La ecuación representa a una parábola si cumple las siguientes condiciones:
•
Luego:
Si el eje de la parábola es paralelo o coincidente al eje "x", si
solo sí A = 0, B  0 ; C  0 . Entonces la ecuación se puede
expresar en la forma:
c
a
Como:
ca
c
1
a
e 1
E. LONGITUD DEL LADO RECTO
y 2  ay  bx  c  0
•
Si el eje de la parábola es paralelo o coincidente al eje "y" si
solo si A  0 ; B = 0; D  0. Entonces la ecuación se puede
expresar en la forma:
x 2  ax  by  c  0
F.
DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS DIRECTRICES
LA ELIPSE
A. DEFINICIÓN
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en
forma tal que la suma de las distancias del punto a otros dos
puntos fijos, sea una constante.
Cada uno de los puntos fijos de una elipse es un foco y el punto
G. ECUACIONES DE LA ELIPSE
B. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
orma ordinaria
LD y LD
:
Directrices
LF
LN
:
:
Eje focal
Eje normal
:
Asíntotas
:
:
:
:
:
:
:
:
Centro
Vértices
Focos
Lado recto
Cuerda focal
Eje transverso
Eje congujado
Segmento focal
1
orma general
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0
ocal paralelo al eje "y"
orma canónica
2
LA y LA
1
2
C
V1 y V2
F1 y F2
LR
EE'
V1V2
B1B2
F 1F 2
C. RELACIONES FUNDAMENTALES
orma ordinaria
D. EXCENTRICIDAD
e
c
a
Como:
orma general
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0
LA HIPÉRBOLA
ICIÓN
hipérbola es el lugar geométrico de un punto de tal manera
el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos
os fijos, es una constante.
os puntos fijos se denominan focos y el punto medio del
ca
c
1
a
E. LONGITUD DEL LADO RECTO
Luego:
e 1
Determina su área.
Resolución:
Primeramente representaremos los pares ordena
plano cartesiano:
Y
B(3;7)
Giro
Antihorario
A(–2;5)
G. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
1. Eje focal paralelo al eje x
• Forma canónica
X
C(6;–3)
Sea S el área de la región triangular ABC.
Aplicando la fórmula y siguiendo el orden:
A–C–B–A
•
Forma ordinaria
30
-9
-14
7
•
Forma general
2
S
2
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0
•
1
2
5
–3
7
5
6
42
15
63
(63  7)
 S  28 2
A y C tienen signos diferentes.
2. Eje focal paralelo al eje y
• Forma canónica
–2
6
3
–2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Forma ordinaria
2.
Determina (a+b). Si:

a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13
Del gráfico, determina la ecuación de la recta "
y
53°
A(2;6)
x
•
Forma general
"
MAGNITUD - REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
RES DE LOGRO:
cer el concepto de plano cartesiano y coordenadas de un
o.
nocer los ángulos en posición normal y calcular sus resvas razones trigonométricas.
ificar el signo de las razones trigonométricas, según la pon del ángulo.
puede estar en el IC, IIC, IIIC o IVC o puede coincidir con
algunos de los semiejes, del mismo plano cartesiano.
Ángulos que están en posición normal
y
y

O CARTESIANO
x
quel plano que se forma por la intersección de dos rectas
éricas perpendiculares entre sí, en sus orígenes.
x

y
(Eje de la Ordenadas)
4
IIC
IIC
IC
3
2
IVC
y
 O: Origen de
coordenadas
1
3 2 1
1
0
1
2
x
3 (Eje de la Abscisas)
x
2
3
IIIC

IVC
IIIC
RDENADA DE UN PUNTO
o punto del plano cartesiano le corresponde un par ordey viceversa. Se representa por P(a,b).
de:
y
Ángulos que no están en posición normal
y
y

x
x
P(a;b)
b

y
O

x
a
x
scisa del punto P
denada del punto P
o Vector (r):
distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera
lano cartesiano diferente del origen. En el gráfico (r) se
mina.
P(a;b)
r
r
x2  y2
r0
x
LO EN POSICIÓN NORMAL, CANÓNICA O ESTÁNDAR
uel ángulo trigonométrico ubicado en el plano cartesiano
4. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARAUN ÁNGULO
EN POSICIÓN NORMAL.
Sea  un ángulo en posición normal y (P(x;y) un punto que
pertenece a su lado final, se define:
y
 sen =
P(x;y)
x
r
y
 tan =
x
 cos =
r

O
x
y
r
 cot =
x
y
r
x
r
 csc =
y
 sec =
R.T.() = R.T.()
IIC
IC
sen (+)
csc (+)
PROBLEMAS RESUELTOS
Todas las R.T.
son positivas
x
tan (+)
cot (+)
01. Determina el signo de:
cos (+)
sec (+)
IIIC
M
tan200.cos300
sen200.cot230 
Resolución:
I.
200°  IIIV  tan200°:(+)
IVC
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
ÁNGULO CUADRANTAL
300°  IVC  cos300°:(+)
III.
200°  IIIV  sen200°:(–)
IV.
230°  IIIV  cot230°:(+)
* Por lo tanto:
Es aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con
algunos de los semiejes del sistema de coordenadas. Los ángulos
cuadrantales son de la forma:
  90 K ;k Z
II.
M
( )( )
( )( )
M  ( )
02. Determina el valor de:
Q  (sen90)cos270  (sec180)cot270
Resolución:
Q  (1)0  (1)0
Q2
90°
180°
360°
03. Determina el mayor de dos ángulos coterminales, si la
ambos es 1864° y el menor de ellos está comprendido e
y 500°.
270°
Resolución:
I.     1864 
 res tan do
II.     360n
Razones Trigonométricas de ángulos cuadrantales
0°
90°
180°
270°
360°
sen
0
1
0
-1
0
cos
1
0
-1
0
1
tan
0
ND
0
ND
0
cot
ND
0
ND
0
ND
sec
1
ND
-1
ND
1
csc
ND
1
ND
-1
ND
  932  180n
* Entonces:
 350°<932°–180°n<500°
 432°<180°n<582°
 2,4<n<3,2
n  3
Reemplazando en I y II
    1864 

    1080  sumando
Donde ND: No definido
  1472
6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COTERMINALES
ÁNGULOS COTERMINALES
Dos o más ángulos son llamados coterminales; si se encuentran
en posición normal y tienen el mismo lado inicial y un mismo
lado final.
2  1864  360n
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Del gráfico, determina:
13(sen  cos )
y
2
lado inicial

x

P(5;-12)
lado final
Razones Trigonométricas de Ángulos Coterminales
1
E  tan   5 cos 
R.T. (360° – ) = ±RT()
b) 2
c) 3
e) 5
RT: razón trigonométrica
Co-RT: Co razón trigonométrica
xpresión:
El signo ± dependerá del cuadrante asumido por el ángulo a reducir y la
razón trigonométrica.
–2  4–
al, determina el valor de:
Ejemplos aplicativos
a.
I  sen  tan   cos 
Reducir:
indica que se debe colocar la misma razón o la razón
complemetaria
2
sen(180   )  sen
1
indica el signo (pertenece al III C)
por lo tanto el seno es negativo
mina:

E  cos   2sen
b.
y
cos(90   )  sen
 II C, el coseno en el II C es negativo
(-9;40)

c.
x
tan(180    )   tan 
 IIIC,
d.
la tangente es positivo en el III C
sec(270   )   c sc 
 IV
89
11
b) 
89

41
89
40
c) 
89
39
C, la secante es positivo en el IV C
Ejemplos aplicativos
1.
Reduce: P = sen(2  +x) cscx + tan2x
Resolución:
89
e) 
50
P = sen(2 + x) cscx + tan2x
P = senx cscx + tan2x
P = 1+tan2x
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
primer cuadrante, implica encontrar el equivalente de una
onométrica de cualquier magnitud en términos de un ángulo
er cuadr ante, para enco ntrar dicho equi val en te
onemos los ángulos en términos de los cuadrantes
270°y360°
P = sec2x
2.
E
Resolución:
Si: x + y = 180
O I:
ÁNGULOS POSITIVOS MENORES A UNA VUELTA
x = 180 – y …… (1)
derando a "  " como valor de un ángulo agudo tenemos
Reemplazando
y
II C
E
IC
90°- 
360°+ 
E
270°+ 
sen 180  y 
seny
B.

cos 180  y 
cos y

seny  cos y  tan y


seny
cos y
tan y
E=1–1–1
x
180°+ 
senx cos x tan x


seny cos y tan y
Si: x + y = 180°
E REDUCCIÓN
90°+ 
180°- 
Determina el valor de la expresión:
CASO II

E = –1
tan 180  y 
tan y
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ARCOS CUYA SUMA E
Ejemplos:
C.
Si:

sen(360° + ) = sen

cos(720° + ) = cos[360°x 2 + ] = cos

tan(750° + ) = tan[360°x 2 + 30° + ] = tan(30° + 

sen[40 – ] = sen(–) = –sen
    360

     2
Se cumple:
sen = –sen
CASO III
PARA ÁNGULOS NEGATIVOS
cos = cos
tan = –tan
sen(–) = –sen
cot = –cot
cos(–) = cos
sec = sec
tan(–) = –tan
csc = –csc
cot(–) = –cot
PROBLEMAS RESUELTOS
sec(–) = sec
csc(–) = –csc
1.
Reduce al primer cuadrante.
Ejemplos Aplicativos
a. Reducir al IC
 sen
4
4 
3

  sen       sen
7
7 
7

 cos
4
4 
3

  cos       cos
7
7 
7

 tan
4
4 
3

  tan       tan
7
7 
7

* sen(37 + ) = sen( + ) = –sen
37
2

18
residuo
*
 

 3

tan  39     tan 
     cot 
2
2




2.
Reduce al primer cuadrante: tan10000°
tan 10000° =tan (360°x28–80°)
39

2
2
39
3

2

2
4

2
9
tan 10000° = –tan 80°
3.
Si: A + B = 90°
Determina:
residuo
E
sen(A  2B) tan(2A  3B)
cos(2A  B) tan(4A  3B)
* tan3265° = tan25°
Resolución:
3265° 360°
25°
Dato: Si A + B = 90°
9
 A = 90° – B
residuo
Reemplazando en E
sen(x – 180) = sen[– (180 – x)]
E
= –sen(180 – x)
= –(+senx)
Reduciendo al primer cuadrante
= –senx
1.
E
Ejemplos:
Reduzca
E = sen(6) csc(8) tan() cot
Resolución
E = sen(6 + ) csc(8 + ) tan( + ) cot
E = sen csc (+tan) cot
E = (sen csc) (tan cot)
E=1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE DOS ARCOS CUYA SUMA ES 180°
Si:
  

    180
Entonces:
sen(90  B) tan(180  B)
cos(180  B) tan(360  B)
4.
( cosB)( tanB)
(cosB)( tanB)
 E=1
Reduce la expresión:


sen(  x) cos   x  tan(2  x)
2


E
 3



cos 
 x  sen(  x) tan   x 
2
2




Resolución:
Reduciendo al IC
E
(senx)(senx)( tan x)
(senx)(senx)(  cot x)
E
tan x
cot x
 E = –tanx tanx  E = –tan
lución:
E  cos

3
3 



 cos
 cos   
  c os    
8
8
8 
8


E  cos

3 
3  

 cos
   cos     cos 
8
8 
8  
8

3
3

E  cos  cos
 cos
 cos
8
8
8
8
2.
Del gráfico, determina:
E= cos t  tan 
y
 E=0
PROBLEMAS PROPUESTOS
ifica:
x




sen(  x).cos   x  .tan(  x)
2





cot   x  .sec   x  .csc(  x)
2

2

(-4;-3)
4
en x
a) 
12
5
b) 
d) 
13
5
e) 
4
cos x
3
en x
24
5
c) 
25
12
8
3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
OBSERVACIÓN:
Si un arco dirigido es mayor que una vuelta, se utiliza un arco en
posición normal definido por el ángulo coterminal correspondiente cuya medida sea menor que una vuelta.
Ejemplo:
RES DE LOGRO:
ir la Circunferencia Trigonométrica.
r los números reales en la Circunferencia Trigonométrica.
r y comparar las razones trigonométricas de un arco en
ión normal.
y
UNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
uella circunferencia cuyo centro es el origen de coordenaectangulares y su radio es igual a la unidad de escala del
ma que lo contiene.
C.T
C.T
P
1
A
y
c
1
x
Q
A
x
A'
x2+y2 =1
B'
 : arco en posición
AP
normal

mAP  
C.T
Ecuación de la circunferencia trigonométrica.
Origen de arcos
Origen de complementos
Origen de suplementos
:
Eje de tangentes
:
Eje de cotangentes
 : arco en posición
AQ
normal
 
mAQ
y
t
CRIPCIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
:
0) :
1) :
; 0) :
A
x
B
1
2=1
y
A x
R
1
 : arco en posición
AR
normal
y
B:
C.T
 5  9
;
;
; ...
2 2 2
y
P(x;1)
Cot
x
P
C.T
...; 5; 3 ’
 0; 2; 4 
1
B':
3  7  11
;
;
; ...
2 2
2
k   los árcos cuadrantales son de la siguiente forma:
Si:
x
O
x
O
Eje de
cotangente
LA SECANTE: "La secante de un arco es la abscisa de
intersección entre la tangente que pasa por el extrem
y el eje x.
y
y
B : (4k  1)
C.T
(2k+1) :A'

2
C.T
P(x; 0)
x
A:2k
x
B ' : (4k  3)

2
3. REPRESENTACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UNARCO
EN POSICIÓN NORMAL EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA:
EL SENO: "El seno de un arco en posición normal está dado por
la ordenada de su extremo".
 cot   x
O
Sec
x
sec   x
LA COSECANTE: "La cosecante de un arco es la ord
punto de intersección entre la recta tangente que pa
extremo del arco y eje y.
y
csc   y
P(0; y)
csc
C.T
y
O
C.T
sen
P(x;y)
x
O
x
 sen  y
y
PROBLEMAS RESUELTOS
EL COSENO: "El coseno de un arco esta dada por la abscisa de
su extremo".
y
C.T
cos
 cos   x
LA TANGENTE: La tangente de un arco es la ordenada del
punto de intersección entre el eje de la tangente y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.
C.T
y P(1; y)
1
K 1
9
cos  
4K  3
7
Resolución:
4K 3
 0
7 7
5
3
 K
1 
x

cos x 
5
1

4 4K
 1   1  5  1
4K
4
1 
K   ;1
9 
02. Si:   IIC . Determina los valores de K para que ve
igualdad:
1  cos   0
tan
O
5K  1
4K
1  cos x  1
x
y
Resolución:
cos x 
P(x; y)
O
01. Determina el intervalo al que pertenece K, para que se
4Kcosx–5K+1=0
2  1

 0
tan 2   tan   2
lución:
1
(0  0  1)  (cos   sen  0)
2
1
A  (sen  cos   1)
2
2
1 7

 tan    
2
4

A

4
1
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.


 
4
4


4
-1
mplazando
7
 ;4
4
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones
I.
sen10  sen80
II.
sen4  sen5
III.
sen 5  sen 3  sen 2
a) FVV
b) VFF
c) FVF
d) VVV
e) FFF
mina la extensión de:
sec 2   5
sec 2   4
2.
Si: 
Determina todos los valores que toma "K" para que la igualdad
exista:



3
3
lución:
1
0 

1 
1
sec   4
2
sen 
2k – 1
, si: 30    150
4
a) 3/2
b)
3 / 2 ;5 / 2 
e)
3 / 2;5 / 2
d)

3
3.
1 / 2;1
Si   5 / 4;4  / 3 . Determina la variación del área de la
región sombreada (S).



3
3
1  sec   2
Y

1
2
1  sec 2   4


3
O
amos T:
c 4  8
1
1

ec 2   4 5
1
6


2
sec   4 5
a) 1  S  2
9 6
T ; 
8 5
ráfico, determina el área de la región sombreada en térmi-
e ""
2
2
x +y =1

4.
b)
2
3
S
2
2
c)
2 S 3
d) 0  S 
2
2
e) 0  S 
3
2
Si:  

. Determina la variación de:
4
lución:
)
X
C.T.
2
;sen)
c) –3 / 2;5 / 2 
E
(0,1)

a) 0  E  2
c) –2  E  –1
4
2sen – 3
b) 1  E  2
d) 1  E  2
SIMPLE
INDICADORES DE LOGRO:
-
Demostrar las identidades trigonométricas fundamentales.
Obtener las identidades auxiliares a partir de las fundamentales.
Resolver ejercicios aplicando identidades.
Deducir las identidades trigonométricas del ángulo compuesto.
Utilizar las identidades en situaciones problemáticas específicas.
tanx cotx = 1  x   
Siendo: k  
III. IDENTIDADES POR COCIENTE
IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Una identidad trigonométrica es una igualdad en el cual intervienen
razones trigonométricas que verifican para cualquier valor admisible
de la variable.
Ejemplo:
sen2
 +
cos2
tan x 
senx
cos x
 x    (2k  1)
cot x 
cos x
senx
 x    k
IDENTIDADES ESPECIALES
tan x + cot x = sec x csc x
sec2x + csc2x = sec2x csc2x
Para  = 37°
5
Demostración
tanx + cotx = secx cscx
3
senx cos x

 sec x csc x
cos x senx
37°
2
4
sen2 x  cos2 x
 sec x csc x
cos x senx
2
 3
4
    1
5
5
9 16

1
25 25

25
1
25
1  1 

  sec x csc x
cos x  senx 

1=1
secx cscx = secx cscx
lqqd
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
I.

2
Siendo: k  
 =1
Reemplazando:
k
2
A partir de las identidades trigonométricas anteriores y m
uso de identidades algebraicas se puede demostrar las
identidades auxiliares.
IDENTIDADES PITAGÓRICAS
En la C.T mostrado se observa:
sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x cos2x
sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x cos2x
sen8x + cos8x = 1 – 4sen2x cos2x + 2sen4x cos4x
sec4x + tan4x = 1 + 2sec2x tan2x
sec6x + tan6x = 1 + 3sec2x tan2x
(1 ± senx ± cosx)2 = 2(1 ± senx)(1 ± cosx)
(senx ± cosx)2 = 1 ± 2senxcosx
(senx + cosx + 1)(senx + cosx – 1) = 2senx cosx
x
1
sen x
cos x
sen2x + cos4x = cos2x+sen4x
2
x y  1
+
(cosx)2 =
 1  cos x  senx
Demostración de:
Del gráfico por Pitágoras
(senx)2
1  cos x
senx
cos x
1  senx

1  senx
cos x
2
cos x
1  senx

1  senx
cos x
12

E
cos x
1  senx
Multiplicando por la conjugada
sen2x + cos2x = 1
E
sen2x + cos2x = 1  x  
1 + tan2x = sec2x  x    (2k  1)

2
E
1 + cot2x = csc2x  x    k
E
Siendo: k  
II. IDENTIDADES RECÍPROCAS
cos x(1  senx)
(1  senx)(1  senx)
cos x(1  senx)
1  sen2 x
cos x(1  senx)
2
cos x

1  senx
cos x
PROBLEMAS RESUELTOS
senx cscx = 1  x    k
1.

Simplifica:
1
1
1



  tan x  csc x
(csc x  cot x)  csc x  cot x 
csc x  cot x
csc 2 x  cot 2 x
Luego sumando (3) y (4) m.a.m.
 tan x  csc x
1 + 2senx cosx = a2
1 – 2senx cosx = b2
= cscx + cotx + tanx – csc x
= secx cscx
Sumando
ifica:
2 = a 2 + b2
PROBLEMAS PROPUESTOS
sec x csc x  cot x
E
sec x csc x  tan x
1.
Simplifique la siguiente expresión
ución:
cot x 
sec x csc x  cot x
E
sec x csc x  tan x
E
tan x  cot x  cot x
tan x  cot x  tan x
E = tanx tanx  E =

E
tan x
cot x
tan2x
2.
ifica:
E
(a  2)(a  2)
 2  cos x
a2
e) cscx
A partir de la igualdad
tan4  tan2   nsec2   n
a) n
n 1

b) – 
 n 
d) n/2
e)–n
b  tan  – tan3   csc 2   1
Determina: a2 / 3 – b2 / 3
 E = a + 2 – 2 – cosx
o:
E = secx + cosx – cosx
E = secx
4.
ÓN DE ÁNGULOS
minar "  "
lución:
x
De (1) sen 
a
b) 22/3
d) 4
e) 21/3
Si Ksen  cos   1
Determina "E" en términos de "K" si
a) 2 K
d) 6 K
5.
a2

y2
b2
1
nar "x" en:
senx + cosx = a …… (1)
senx – cosx = b …… (2)
b) 5 K
e) 4 K
c) 3 K
Si:
asen6x + bcos4x + acos6x + bsen4x es independiente de x.
Determina el valor del " cos  "
si: cot  
y
De (2) cos  
b
o sabemos sen2  + cos2  = 1
plazando
c)21/2
1/2
= asen  …… (1)
= bcos  …… (2)
a) 2
E= 1 – K 2  tan   1  K 2  sen 
mina así al proceso por el cual se obtiene un expresión
a independiente de la variable angular, para conseguir esto
aremos en el uso de las identidades trigonométricas.
:
x2
c)1 + 1/n
a  sec   csc  tan3   csc 2   1
2
E
d) senx+1
c) cscx–1
3.Dados los siguientes
a 22
 2  cos x
a2
a 4
 2  cos x
a2
b) senx
cos 2  – sen2
en término de n
sen2 sen2
2
E
a) cscx+1
Determina el equivalente de
sec2 x  cos 2 x  2
E
 2  cos x
sec x  cos x  2
lución:
ndo secx + cosx = a
ndo al cuadrado
(secx + cosx)2 = a2
sec2x + 2secx cosx + cos2x = a2
sec2x + cos2x = a2 – 2
mplazando:
cos x
senx

csc x  cot x  csc x  cot x 2
a2
4b2 – 2a2
a) 
2
5
b) 
2
13

2
10
d) 
2
16
e) 
2
11
c)
8
COMPUESTOS
INDICADORES DE LOGRO:
-
Deducir las identidades trigonometrícas del ángulo compuesto.
-
Utilizar las identidades en situaciones problemáticas específicas.
sen sen

cos  cos 
tan(  ) 
sen sen
1

cos  cos 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO
 tan(  ) 
SENO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS:
sen(  )  sen cos   cos sen
2.
sen(  )  sen cos   cos sen
tan   tan 
1  tan  tan 
IDENTIDADES AUXILIARES:
sen(x  y)sen(x  y)  sen2 x  sen2 y
COSENO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS:
cos(x  y) cos(x  y)  cos 2 x  sen2 y
sen(  )
tan   tan  
cos  cos 
sen(  )
cot   cot  
sensen
cos(  )  cos  cos   sensen
cos(  )  cos  cos   sensen
DEMOSTRACIÓN:
De la circunferencia trigonométrica que se muestra:
tan   tan   tan(  ) tan  tan   tan(  )
tan   tan   tan(  ) tan  tan   tan(  )
y
Q(cos; sen)
d
P(cos; sen)
1
PROPIEDADES
I.
x
Asenx  B cos x 
A 2  B 2 sen(x  ),
Si : tan     
senx - Bcosx  a2  B 2 sen(x  ),
Si : tan   B / A
Si la longitud del segmento PQ es d, entonces:
II.
d2  (cos   cos )2  (sen  sen)2 ..... (1)
Además, por la ley de cosenos.
x  
Se cumple :
2

A 2  B 2  Asenx  B cos x  
A 2  B

d2  12  12  2(1)(1) cos(  ) ..... (2)
mínimo
Igualando (1) y (2)
Ejemplo: Determina el máximo valor de
(cos   cos )2  (sen  sen)2  2  2 cos(  )
R  3senx  2 cos(45º  x)
Reduciendo el primer miembro tenemos.
RESOLUCIÓN:
Desarrollando el coseno, tenemos:
2  2 cos  cos   2sensen  2  2 cos(  )
Por lo tanto:
cos(  )  cos  cos   sensen
R  3senx  2(cos 45º cos x  sen45º senx)
Demostrado
 1
1

R  3senx  2 
cos x 
senx 
2
 2

TANGENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE ÁNGULOS
tan(  ) 
R = 3senx + cosx - senx
tan   tan 
1  tan  tan 
R = 2senx + cosx
tan   tan 
tan(  ) 
1  tan  tan 
Aplicando la propiedad II, el máximo valor de R será
R m á x  (2)2  (1)2
sen(  )
Demostración: tan(  ) 
cos(  )
tan(  ) 
sen cos   cos sen
cos  cos   sensen
Dividimos entre cos  cos  al numerador y denominador del
segundo miembro.
sen cos  cos sen

cos  cos  cos  cos 
máximo
 R máx  5
III.
Si : x  y  z  k  k  
Entonces :
* tan x  tan y  tan z  tan x tan y tan z
* cot x cot y  cot x cot z  cot y cot z  1
nces :
ot x  cot y  cot z  cot x cot y cot z
an x tan y  tan x tan z  tan y tan z  1
1 1

8
4
tan  3 5 

1 1 14 7
1 .
3 5
PROBLEMAS RESUELTOS
a1
mina k, si:
Respuesta: B)
4
7
PROBLEMAS PROPUESTOS
n50° = tan70° – tan20°
1.
Determina el máximo valor de:
tan  si BC = 2 y CD = 1
a)
3
lución:
b)
3
3
(70° – 20°) = tan70° – tan20°
c) 1/3
an70°–tan20° 
  tan70   tan20 
 tan70 tan20  
d) 2
1  cot20
tan20

  k  2
1
2.
2 1

6 3
2
1


10 5

A
D
Dada la igualdad:
sen(2x + y) = 2seny
Respuesta: A) 2
Determina:
figura, determina tan .
lución:
C
e) 1/2
+ tan70°tan20°
a2
B
tan(x + y)cotx
3.
a) 1
b) 4
d) 7
e) 3
c)2
Determina cot  en la siguiente figura si:
BE = BD y BC = 6
B
D
30°
A
4.
E
C
a)
5 3
3
b)
13 3
3
d)
17 3
3
e)
11 3
3
c)
7 3
3
Se sabe que "x" e "y" pertenecen al primer cuadrante. Determina "tanx" si se cumple lo siguiente.
xy

3
cos 2 x – sen2 y 
2
,xy
4
a)
6 – 2 2– 3
b)
6  2 2– 3
c)
6 – 2 2 3
d)
6  2 2 3
8
MÚLTIPLES
INDICADORES DE LOGRO:
-
Deducir las identidades trigonométricas del ángulo múltiple: doble, mitad y triple.
Aplicar las diversas identidades a situaciones problemáticas específicas.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE:
sen2x  2senx cos x
sen
x
1  cos x

2
2
cos
x
1  cos x

2
2
tan
x
1  cos x

2
1  cos x
cos 2x  cos2 x  sen2 x
El signo (+) o (-) depende del cuadrante al que pertenece
cos 2x  2 cos 2 x  1
FÓRMULAS RACIONALIZADAS
cos 2x  1  2sen2 x
tan 2x 
2 tan x
x
 csc x  cot x
2
x
cot  csc x  cot x
2
tan
1  tan2 x
cot 2x 
cot 2 x  1
2 cot x
DEMOSTRACIÓN:
A partir de las identidades de la suma de dos ángulos.
Ejemplo:
cos   5 / 13
sen2x  sen(x  x)
sen2x  senx cos x  cos xsenx

Determina:
sen2x  2senx cos x

tan
180º    270º

2
RESOLUCIÓN:
cos 2x  cos(x  x)
cos 2x  cos x cos x  senx senx

2
tan
2
cos 2x  cos x  sen x

1  cos 

2
1  cos 
tan x  tan x

1  tan x tan x
 tan 2x 
como : 90º 

 135º
2


 IIC, entonces tan 
2
2
tan 2x  tan(x  x)
tan 2x 
x
2
2 tan x
1  tan2 x
Por lo cuál:
tan

1  cos 

2
1  cos 
SENO Y COSENO DEL ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE LA TANGENTE:
sen2x 
2 tan x
1  tan2 x
;
cos 2x 
1  tan2 x
1  tan2 x
DEMOSTRACIÓN:
tan

1  5 / 13

2
1  5 / 13
tan

18

2
8
 tan

3

2
2
3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE
De :
h
2 tan x
CO
tan 2x 

2
1  tan x CA
2tanx
sen3x  3senx  4sen3 x
cos 3x  4 cos3 x  3 cos x
2x
1-tan2x
tan 3x 
Ahora del triángulo determinamos h:
2
h2  (2 tan x)2  (1  tan2 x)

sen2x 
2 tan x
1  tan2 x
Del cual: h  1  tan x

cos 2x 
1  tan2 x
1  tan2 x
1  3 tan2 x
DEMOSTRACIÓN:
sen3x = sen(2x + x)
sen3x = sen2x cosx + cos2x senx
sen3x = 2senx.cosx.cosx + cos2x senx
sen3x = 2senx(1-sen2x) + (1-2sen2x)senx

FORMA CUADRÁTICA DEL SENO Y COSENO:
sen3x  3senx  4sen3 x
IDENTIDADES AUXILIARES
2
2sen x  1  cos 2x
sen3x  senx(2 cos 2x  1)
cos 3x  cos x(2 cos 2x  1)
2 cos 2 x  1  cos 2x
4sen3 x  3senx  sen3x
IDENTIDADES AUXILIARES:
cot x  tan x  2 csc 2x
cot x  tan x  2 cot 2x
3 tan x  tan3 x
4 cos 3 x  3 cos x  cos 3x
PROPIEDADES
I.
4sen(60º )sen sen(60º )  sen3
culo trigonométrico que se muestra en la figura, determina:
.
M
2.
tan2 x – 4ctg2 2x  cot 2 x – 2
1  tan4 x  3 tan6 x  5 tan8 x
a) tan3x
b) 0
d) tan22x–1
e) –1
Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a:
E
1  sen2x  1
1 – sen2x – 1
a) – tan
b)  3
5
c)  2
5
d)  1
e) 0
5
c)
x
2
x
2
x 
d) cot   
2 4
b)
– cot x / 2
tan
x 
e) – tan   
2 4
ón:
fico: tg    2
2tan 
 tan2 
c)1/2cot3x

3.Si se verifica:
mcscx = ncscy
2(2)
4

2
5
1  (2)
además: x – y 
Expresar:
Respuesta:  4
5
3
2
E = csc(2x + 2y) + cot(2x + 2y)
a2
s simple la expresión:
en términos de "m" y "n"
– tan 
ón:
a)
dades:
c)
–
mn
m2n2
mn
mn
2mn
e)
2
n  m2
sen cos 2  – sen2 

cos
sencos
4.
o del doble
2
multiplicando x 2 el numerador y el denominador:
cos
s2 
2cos

 K  2cot2 
cos sen2
b)
d)
2mn
m2 – n2
1
1
 2
2
m
n
De la figura, determina "x"
20°
a) 10°
b) 20°
c) 30°
n   2cot2 
n   2csc2 
x
40°
°
e) 50°
30
d) 40°
al:
Respuesta: K  2cot2 
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
RES DE LOGRO
ar las identidades trigonométricas del ángulo compuesto
deducir fórmulas de transformaciones trigonométricas.
lar y resuelve problemas de aplicación respecto al tema.
SFORMACIÓN DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO:
forma una suma o diferencia a un producto es el proceso
x y
x y
senx  seny  2sen 
 cos 

 2 
 2 
x y
x y
senx  seny  2 cos 
 sen 

2


 2 
x y
x y
cos x  cos y  2 cos 
 cos 
 si: x>y
senA  senB  senC  4sen
sen sen
2
2
A
B
C
cos A  cos B  cos C  4 cos cos cos
2
2
2
sen(A-B)=senAcosB-cosAsenB .......... (2)
Sumando: (1) y (2)
sen(A+B)+sen(A-B)=2senAcosB ......... (3)
Si hacemos que: A+B=x  A-B=y
Ahora determinamos: A y B:
xy
xy
A
 B
2
2
Reemplazando en (3)
III. sen(x  120º )  senx  sen(x  120º )  0
cos(x  120º )  cos x  cos(x  120º )  0
xy
xy
senx  seny  2sen 
 cos 

 2 
 2 
3
2
3
cos2 (x  120º )  cos 2 x  cos 2 (x  120º ) 
2
sen2 (x  120º )  sen2 x  sen2 (x  120º ) 
2. TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA.
2senx cos y  sen(x  y)  sen(x  y)
2 cos xseny  sen(x  y)  sen(x  y)
9
8
9
cos 4 (x  120º )  cos 4 x  cos 4 (x  120º ) 
8
sen4 (x  120º )  sen4 x  sen4 (x  120º ) 
2 cos x cos y  cos(x  y)  cos(x  y)
2senxseny  cos(x  y)  cos(x  y)
DEMOSTRACIÓN:
De las identidades del ángulo compuesto:
senx cos y  cos xseny  sen(x  y) ..... (1)
senx cos y  cos xseny  sen(x  y) ..... (2)
2
3. SERIES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIALES
-
Serie de senos de ángulos en progresión aritmética:
Sumando (1) y (2):
senp  sen(p  r)  sen(p  2r)  ...  sen 
Restando (1) y (2):
sen
2 cos xseny  sen(x  y)  sen(x  y)
-
Ejemplo:
1.
sen
cos p  cos(p  r)  cos(p  2r)  ...  cos  
sen
Resolución:
Como: sen20º = cos70º
Además: tan 315º = -1
Entonces:
P  5;   175º ; r  5º
 x  1
y
nr
2 .co
n  35  H 
r
sen
2
sen
35.5º
nr
sen
p




2 .cos  5º 175º  
2 .cos
H



H
5º
2
r

 2 
sen


sen
2
2
cos 90º0
Ejemplo:
sen
Determina : E=cos41ºsen4º
Resolución:
Multiplicando por 2 cada miembro
PROPIEDADES:
2E  2
cos 41º sen4º
2E  sen45º sen37º
  E
Si : A  B  C  180º
senA  senB  senC  4 cos
I.
Si : n es impar, n  1

3

(n  2)  1
cos  cos
 cos
 ...  cos

n
n
n
n
2
2
4
6
(n  1)
1
cos
 cos
 cos
 ...  cos

n
n
n
n
2
II.
n  

2
3
n
sen
.sen
.sen
... sen

2n  1
2n  1
2n  1
2n  1
5 2 6
20
PROPIEDADES
I.
2
Resolución:
Transformando a producto:
2 3

2
5
2 cos
r
H  cos 5º  cos10º  cos15º  cos 20º ...  co
x cos10º   cos 70º  cos 50º
2E 
nr
Ejemplo: Determina el valor de:
cos 50º  x cos10º   cos 70º
x  2 cos 60º
2
Donde:
n: número de términos de la serie
r: razón de ángulo
p: Primer ángulo
u: último ángulo
cos 50º  x cos10º
 1
cos 70º
x cos10º   2 cos 60º cos10º
2 sen
r
Serie de cosenos de ángulos en progresión aritmé
Determina el valor de "x", si se verifica:
cos 50º  x cos10º
 tan 315º
sen20º
2.
nr
sen
2senx cos y  sen(x  y)  sen(x  y)
A
B
C
cos cos
2
2
2

2
3
n
1
mina la medida del ángulo C.
0°
B) 50°
C) 60°
S
D) 40°
E) 80°
1 Sen32
Respuesta
2 Sen1
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
lución:
Determina:
o A + B + C = 180°
ando la propiedad antes mencionada:
E  sen2

2
3
15
 sen2
 sen2
 ...  sen2
31
31
31
31
AsenBsenC = 2senAsenB
ciendo: 2senC = 1  senC 
1
2
a) 15/4
b) 21/4
d) 31/4
e) 19/4
c)17/4
ato: C = 30°
Respuesta: A
mina la suma de la siguiente serie:
os1 + cos3 + cos5 + ... + cos31
2.
Si x  –
nr
2 cos (P  U)
r
2
sen
2
16.2
2 cos (1  31)
2
2
sen
2
en
Determina la extensión de:
A
senx  cos 2x  cos 4x  cos 6x 
cos 4x
a)
0;1
b)
1 1
– ;
2 2
c)
–1;1
d)
1 1
– ; 
2 2
e)
0;1
lución:
sen
 
;
18 18
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
RES DE LOGRO
minar las soluciones básicas de una ecuación elemental.
ver ecuaciones trigonométricas elementales y no elemen-
conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación se
le denominará conjunto solución de dicha ecuación.
•
Sus soluciones serán: x  ...; 0; ; 2;...
ver sistemas de ecuaciones trigonométricas.
lar y resolver problemas de aplicación respecto al tema.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
efinición
on igualdades establecidas entre expresiones que involucran
zones trigonométricas de una o más variables (expresiones
gonométricas), las cuales se verifican para cierto número
e valores de dichas variables.
Para que una igualdad sea considerada una ecuación
trigonométrica, la variable o incógnita, deberá estar
afectada de algún operador trigonométrico.
sen2x  1


 Son ejemplos de
2
senx  cosx  1
 ecuaciones


senx  tanx  cos 2x  trigonométricas
 x  senx  1
 Son ejemplos de


 x  tanx  cosx  ecuaciones que no
 x  cosx  sen2x  son trigonométricas


oluciones de la ecuación trigonométrica
Dada la ecuación senx  0
•
Dada la ecuación cos x  1
Sus soluciones serán: x  ...; 0; 2; 4;...
C. Resolución de ecuaciones trigonométricas
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en determinar todas sus soluciones; es decir, determinar su conjunto
solución, para lo cual se empleará la circunferencia
trigonométrica como herramienta de análisis, así como también la gráfica de las funciones presentes en la igualdad.
Aplicación
Resuelva la ecuación: sen2x 
3
2
Resolución:
Ubicamos en la C.T. todos los arcos que verifiquemos la igual-
3
, igualando 2x a
2
estos valores de donde se despejará los valores de x que son las
soluciones de la ecuación planteada.
dad; es decir todos los arcos cuyo seno es
cosx 
 ecuaciones trigonomé

2

elementales




 tan  x    2 
3



Son ejemplos
senx  cosx  1



senx  1  tanx
 ecuaciones trigonom
senx  tanx  cos2x 
no elementale



E. Expresiones generales para los arcos
Cuando se conoce el valor de una razón trigon
(ecuación elemental), el arco o ángulo que cump
igualdad se puede generalizar buscando la regla
ción existente entre las soluciones de la ecuació
estas formas generales las siguientes:

 2 7
;
;
;...
3 3 3
  7
 x  ...; ; ;
;...
6 3 6
 2x  ...;


Aplicación  Resuelva la ecuación: cos  2x     0
3

Resolución:
Se grafica cada uno de los miembros de la ecuación como una
función independiente; es decir graficamos:

y  cos  2x    y  0
3

PROBLEMAS RESUELTOS
Para luego buscar las intersecciones que es donde se cumple la

igualdad: cos  2x    0 , siendo las abscisas de estos pun3

Problema 1
Resuelve la ecuación (k  )
2sen2 x (c os2x  2)  2
tos las soluciones de dicha ecuación.
A)
C)
E)
  2  k  2 
k  4  k  2 
  4  k  2 
B)
  4  k  2
D)
  2    2
Resolución:
Degradamos 2sen2x y expresamos todo en términos del c
2sen2 x(c os2x  2)  2


Algunos valores de x que cumplen la igualdad cos  2x 

(1  cos2x)(c os2x  2)  2

 0
3
efectuando:
cos2 2x + cos2x = 0
cos2x (cos2x + 1) = 0
son: x1, x2, x3, x4, ..., los cuales se calculan del modo siguiente:
x1 
  5
7  11
 
;x 
 
6 4 12 2
6
4
12
x3 
•
7  17
13  23
 
; x4 
 
6
4
12
6
4
12

 x  ...;

5 11 17 23
;
;
;
;...
12 12 12 12
D. Ecuaciones trigonométricas elementales
Se denominará asi a aquellas igualdades en las cuales se
conoce el valor de alguna razón trigonométrica y son de la
forma:
rt(wx  )  n
 cos2x  0  cos2x  1
cos2x = 0
 2x  2k  arc
cos(0)

 x  k 
 /2
•

4
cos2x = – 1
 2x  2k  arc
cos(1)


 x  k 



2
C.S.  k 


 k 
4
2

Donde:
x :
variable o incógnita
w:
coeficiente angular

π


 k 
3
6



3
6


  
k / 3  k  6



B)
3
6
E)

C) k  k 
6

a) 2k 
ón:
ndo la expresión por transformaciones trigonométricas:
 sen3x

  senx  0
cos2x  sen3x  0
3x(2cos2x  1)  0
x  0  cos2x  1 / 2

1
 2k  arc cos
2

 x  k 

6
 /3

C.S.  k
k
4
entre

x k
3
= 1/2
d)

3
b) k 

6
e) k 

3
c)
k
3
2. Para que valores de "a" la ecuación
(senx + cosx)sen2x = a(sen3x + cos3x) tiene soluciones

 0  3x  k 
cos x
senx

 0;  k  Z 
cos 2x sen2x


 k 
3
6


y
2
a)
1
– ;0
3
b)
1
– ;0
3
c)
2
– ;0
3
 2
d)  – ;0
 3
π
 π
∪ kπ ± 
6
 3
Respuesta: A) C.S. = k
 2 1
e)  – ;
 3 3
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I-II
RES DE LOGRO:
y
zar funciones trigonométricas elementales.
nocer dominio, rango, continuidad y paridad.
minar el periodo de una función.
zar funciones trigonométricas de la forma
A.F.Tn(Bx+C)+D.
pretar comportamiento de las funciones trigonométricas.
y2
RANGO
GRÁFICA DE Y = F(X)
y1
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA - I
mina FUNCIÓN TRIGONOMETRICA al conjunto de pares
s (x,y), tal que la primera componente «x» es la medida de
cualquiera en radianes y la segunda componente «y» es
rigonométrica de «x».
T. = {(x,y) / y = R.T.(x)}
y rango de una función trigonométrica
os una función trigonométrica cualquiera:
= R.T.(x)
enomina DOMINIO(DOM) de la función trigonométrica al
nto de valores que toma la variable «x».
= {x / y=R.T.(x)}
nomina RANGO(RAN) de la función trigonométrica al conde valores que toma la variable «y».
= {y / y=R.T.(x)}
ordar álgebra
áfica corresponde a una función y = F(x) donde su DOMIes la proyección de la gráfica al eje X y el RANGO es la
O
x1
x2
x
DOMINIO
FUNCIÓN PAR: Una función f es par si:
f(–x) = f(x), donde
x  dominio de la función.
Ejemplos:
*
y = f(x) = cosx; probando:
si f(–x) = cos(–x)
= cos(x)
= f(x),
por lo tanto es una función par.
*
y = f(x) = x2 es una función par, verificar.
FUNCIÓN IMPAR: Una función f es impar si:
f(–x) = –f(x), donde x  dominio de la función.
Ejemplos:
* y = f(x) = senx; probando
si f(–x) = sen(–x)
= -sen(x)
= -f(x),
por lo tanto es una función impar.
x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2)
* Función Creciente y Decreciente, además es cont
periodo es 2
Ejemplos:
Y = f(x) = x4, para x > 0 es una función creciente.
FUNCIÓN DECRECIENTE: Una función es decreciente en un
intervalo de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 se
cumple:
x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2)
FUNCIÓN COSENO:
f(x) = cosx = {(x;y) / y = cosx; x    y 
y
1
FUNCIÓN PERIÓDICA: Una función f es periódica, si existe un
número T 0, tal que para cualquier x de su dominio se cumple:
Al menor número positivo T se denomina periodo mínimo o
simplemente periodo
F(x+T) = F(x)
y=f(x) =cosx
0

/2
Ejemplo: Averiguar si la función f(x) = senx es periódica
3/2
x
2
-1
COSINUSOIDE
Del gráfico de la función se observa que:
* Dominio: Dom f= R, Rango: Ran f =[–1;1] , –1  co
* Si P(x0;y0)  y = cosx  y0 = cosx0
* Es una función par porque cos(–x) = cosx
* Función Creciente y Decreciente, además es co
Resolución:
Aplicando la definición tenemos:
f(x) = senx
f(x+T) = senx(x+T)
= senx cosT + cosx senT,
para que se cumpla la igualdad:
su periodo es 2
FUNCIÓN TANGENTE:
cosT = 1 , senT= 0 , esto se verifica si:
......ndonden



f  tan  (x; y) / y  tan x; x    (2n  1)  y  
2


el menor valor positivo es 2 .
Por lo tanto el periodo de la función senx es 2
y=f(x) =tanx
y
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una función trigonométrica, F.T., es el conjunto no vacío de pares
ordenados (x;y) tal que la primera componente «y» es un arco en
posición normal expresado en radianes y la segunda componente «y»
es el valor de la razón trigonométrica (R.T.) de dicho arco de la C.T.
F.T.={(x;y)  R2 / y =R.T.(x)}
0
/2
Donde R.T., puede ser: sen, cos, tan, cot, sec o csc.
Propiedad 1: Si se tiene la función trigonométrica.
Del gráfico de la función se observa que:
A: amplitud
*
T: período
 y  sec Bx
esta relación también es válida para obtener el periodo de  y  csc Bx

Propiedad 2:
 y  A tanBx
Si se tiene las funciones  y  A cot Bx

Su período está dado por la relación
T

B
Del gráfico de la función se observa que:
y=f(x) =senx
3/2
* Si P(x0;y0)  y = tanx  y0 = tanx0
* Es una función impar porque tan(–x) = –tanx
* Función Creciente en todo su dominio, además es d
Periodo:
La función tangente es periódica, pues:
tan(x + k) = tanx ;  k  
x  (2n  1)
f(x) = senx = {(x;y)/y = senx; x    y  [-1;1]
2
x

; n 
2
FUNCIÓN COTANGENTE:
f = cot = {(x;y) / y = cotx ; x   – n, y  
y=f(x) =cotx
y


/n ,
2
Siendo su periodo mínimo: T = 
Asíntotas: Las asíntotas de la gráfica determinan las r
FUNCIÓN SENO:
/2
Dominio: Dom f    (2n  1)
Rango: Ran f  ,   tan x  
2
Su periodo se obtiene a partir de la relación: T  B
0
x
2
TANGENTOIDE
 y  AsenBx

 y  A cos Bx
y
1
3/2

0
/2

3/2
2
x
0
0
0
0
s una función impar porque cot(–x) = –cotx
unción Creciente en todo su dominio, además es discontinua
odo:
nción cotangente es periódica, pues:
2.
Determina el dominio de la función:
y  f(x) 
cot(x + k) = cotx ;  k  
Resolución:
Para que la función exista debe cumplirse:
sen5x + senx  0
o su periodo mínimo: T = 
totas: Las asíntotas de la gráfica determinan las rectas:
2sen3x cos2x  0
x = n; nZ
SECANTE:
sen3x  0
y=f(x) =secx
y
x
/2

3/2
2
ó
cos2x  0
3x  k ó 2x  (2k+1)
x
  k  

k

ó x  (2k+1)  Do min io     3  U (2k  1 ) 4 

3
4
   
1. Sean las funciones, donde: n  Z+
-1
f(x)  sen2n 1 (Bx) 
f(x)

entonces :
2n 1

f(x)  cos
(Bx) 
f(x)

2
2n 1
T

f(x)  sec
(Bx) 
 f(x)
lBl

2n 1
f(x)  csc
(Bx) 
f(x)
SECANTOIDE
ráfico

minio: Dom f    (2n  1) / n   ,
 sen2n (Bx) 

entonces :
 cos2n (Bx) 


 sec2n (Bx)  T 
lBl

 csc2n (Bx) 
2. Sean las funciones, donde: n  
2
entonces :
g(x)  tann (Bx) 


g(x)  cotn (Bx)  T 
lBl
ngo: Ran f     1;1
P(x0;y0)  y = secx  y0 = secx0
una función par porque sec(–x) = secx
nción Creciente y Decreciente, además es discontinua
odo:
nción secante es periódica, pues:
Importante:
90°
y
B (0,1)
sec(x + 2k) = secx ;  k  
o su periodo mínimo: T = 2 
totas: Las asíntotas de la gráfica determinan las rectas:
A
180°
1
,
A
-1
(-1,0)

x  (2n  1) ; n  
2
-1
1
y=f(x) =cscx
x 0°, 360°
(1,0)
,
B (0,-1)
COSECANTE:
y
C.T.
P(cos,sen)
270°
(nZ)
Arcos cuyo extremo coincide con:
1
0
/2

3/2
2
x
-1
A
,
A
2n
(2n+1) 
B
B
(4n  1)

2
,
(4n  3)
(2n  1)
n

2
n
2
COSECANTOIDE
PROBLEMAS RESUELTOS
ráfico de la función se observa que:
ominio: Dom f =  – n  , Rango: Ran f =  – ]–1;1[
Problema 1
Determina el dominio de la función si se tiene:
s una función impar porque csc(–x) = –cscx
unción Creciente y Decreciente, además es discontinua
odo:
nción cosecante es periódica, pues:
F:y 
Resolución:
o su periodo mínimo: T = 2 
totas: Las asíntotas de la gráfica determinan las rectas:
 Cos 2x  0
P(x0;y0)  y = cscx  y0 = cscx0
csc(x + 2k) = cscx ;  k  
x = n ; n  
PARA CALCULAR DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
:
mina el dominio de la función:

2
REGLAS PARA DETERMINAR PERIODOS DE LAS FUNCIONES
COMPUESTAS
1
0
2 cos 2x  1
sen5x  senx
y
1  senx
cos 2x
1  senx

cos2x
(2k+1) 
2
•
•
2x(2k+1) 
2
x  (2k+1)  ;k
4


2
x
6
;
 2K  1 
4
c)
y además f: y = 3senx + 2
Resolución:
e)  8K  3 
Ubicamos el arco “x” en la C.T., luego calculamos la variación del
d)  8K  3

4

2
Senx.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
INDICADORES DE LOGRO:
senx
-
Del gráfico se
observa que x 
Analizar funciones trigonométricas de la forma
f(x)=A.F.Tn(Bx+C)+D.
Interpretar comportamiento de las funciones trigonom

;
6
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
0  senx  1  0  3senx  3
2  3senx
2  5


y
 Ran(F) ]2; 5]
Respuesta: Ran(F) = ]2; 5]
Presenta la siguiente forma:
n
{(x; y )/y=A.F.T (Bx+C)+D}
Siendo:
F.T
:
A
:
D
D>0
D<0
C
C>0
C<0
B
Problema 03
Determina el intervalo de variación de la
expresión: y = 3Cosx + 2
Resolución:
:
:
:
:
:
:
:
Funciones trigonométricas
Amplitud A.
Solo cuando F.T sea seno y coseno.
Valor del desplazamiento vertical:
Se desplaza hacia arriba.
Se desplaza hacia abajo.
Indica el desplazamiento horizontal(desface)
Se desplaza hacia la izquierda.
Se desplaza hacia la derecha.
Modificador del período:
–1  Cosx  1 Multiplicamos por 3
–3  3Cosx  3 Suman de (2) miembro a miembro
–1  3Cosx
2  5  –1  y  5  y –1,5

y
Respuesta: –1,5
REGLA PRÁCTICAPARA CALCULAR
PERIODO:
Para: seno, coseno, secante y cosecante:
*
*
Para: tangente y cotangente
n : PAR O IMPAR
T=  /B
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Si: x  – ;  ; Determina el rango de:
FUNCIÓN PERIÓDICA
3senx  2
f x 
senx  3
a)
–1;1
Dada una función “f” con dominio D, se dice que dicha f
periódica si existe algún número positivo “T”.
b)
 1 5
d)  – ;
 2 4
c) –
0;2
1 5
;
4 4
 1 5
e)  – ; 
 2 4
el periodo de la función.
Todo múltiplo entero de “T” también es un periodo de la
PROPIEDAD:
Determina el rango de:
a)
*
x
x
 sec
2
2
0;2
d) – ; – 2   2;  
Tal que f(x+T)=f(x); para todo x  R
Al menor número “T” se le denomina periodo mínimo o com
02. Si: x  – ;0
P  x   cos
n: IMPAR
T = 2  /B
n: PAR
T =  /B
Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyo periodo es “T”, en
función:
b) 2; 
c) 2; 
e)  –2; 
03. Determina los valores de "x" para el cual la función g(X) alcan-
za su máximo valor.
g(x) = 2senx–cosx+2sen2
x
– 1; K  Z
h(x) =a.f(x) + b.g(x), (a y b constantes) tiene periodo
*
Cuando se grafican funciones periódicas, frecuente
dibuja la curva en [ 0 ; T >
DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONE
TRIGONOMÉTRICAS COMPUESTAS
GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPUEST
Tomando como base la gráfica de una función elemen
y=f(x)+D
La gráfica de esta función se obtiene comprimiendo o
dilatando verticalmente la gráfica de y = f(x), lo cual
y
depende del valor de “a”:
Si: 0 < a < 1; se comprime
D
D
D
D
y=f(x)
y
o
y = f(x)
x
< 0 entonces la gráfica se desplaza hacia abajo.
y
o
y=f(x)
x
y = a f(x)
Si: a > 1; se dilata
D
D
x
o
y=f(x)  D
D
y = a f(x)
y
y = f(x)
LAZAMIENTO HORIZONTAL
áfica de esta función se obtiene desplazando la gráfica de
o
) horizontalmente.
y = f(x + C)
> 0; hacia la izquierda
5. DILATACIÓN O COMPRESIÓN HORIZONTAL
y
y=f(x+C)
x
y = f(ax); a > 0
y=f(x)
La gráfica de esta función se obtiene comprimiendo o dilatando
horizontalmente a la gráfica de y = f(x)
x
Si: 0 < a < 1; se dilata con factor 1/a
y = f(x)
y
<0; hacia la derecha
y = f(ax)
y=f(x)
y=f(x - c)
o
x
Si: a > 1; se comprime con factor 1/a
y
y = f(ax)
ERVACIÓN 1
binando los casos 1 y 2 se puede graficar la función:
y = f(x+C) + D
y = f(x)
te caso hay doble desplazamiento.
EJO VERTICAL
y = – f(x)
ráfica de esta función se obtiene por reflexión respecto
e “x” de la gráfica de y = f(x)
y
o
x
6. REFLEXIÓN VERTICAL POSITIVA
y= f(x)
y = | f(x) |
La grá fica de esta fun ción se obtiene reflejando
simétricamente, hacia el semiplano superior, la parte de la
* Th x  2   k . 2   2  ; 4 ; 2 ; 8 ; ...
2 3
3
3
3
3
 
o
o
x
x
 Periodo de f: T = 2
OBSERVACIÓN 4
Siendo f(x) = A|FT (Bx+C) +D, donde FT es seno
secante. cosecante, tangente o cotangente; el periodo
7. FUNCIÓN PERIÓDICA
La función y=f(x); x  Df, se denomina periódica si existe un
se calcula mediante:
T 
|B|
número real T denominado periodo de “f” tal que:
i)
ii)
 x  Df
 x  Df
:
x+T  Df
:
f(x+T) = f(x)
OBSERVACIÓN 5
Si: f(x)=AsenBx ó f(x)=AcosBx, entonces:
CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES COMPUESTOS
Amplitud de f: | A |
DE LA FORMA
Amplitud de f:
f(x) = A.FT(Bx+C) +D
Para:
f(x) = A.sen(Bx+C) + D
A1 f
f
2  x máx  x mín
ó
f(x) = Acos(Bx+C)+D el periodo mínimo T se calcula mediante:
8. FUNCIÓN PAR
T  2
|B |
La función y = f(x); , se denomina par si:
Para:
f(x) = Asen(Bx+C)+D
i)
ii)
ó
x  Df :  x  Df
f( x)  f(x)
f(x) = A.csc(Bx+C)+D el periodo mínimo T se calcula
Tengamos en cuenta que la gráfica de toda funció
mediante:
simétrica con respecto al eje “y”
T  2
|B |
y
Para:
y = f(x)
f(x) = A.tan(BX+C) + D
ó
f(x) = Acot(Bx+C) + D el periodo mínimo T se calcula
mediante:
T 
|B |
x
x
x
OBSERVACIÓN 2
En general n    {0} , tenemos:
* Para las FT seno, coseno, secante y cosecante:
y  AFTn


2
Si "n " es impar  T= |B|
Bx  C  D 
Si "n" es par  T= 
|B|


** Para las FT tangente y cotangente:
9. FUNCIÓN IMPAR:
La función y = f(x) , se denomina impar si:
i)
ii)
x  Df :  x  Df
f (  x)   f (x)
Tengamos siempre en cuenta que la gráfica de tod
impar es simétrica con respecto al origen de coor
y  AFTn Bx  C  D  T  
|B|


y
y = f(x)
OBSERVACIÓN 3
f(x)
Cuando tengamos funciones como:
f (x)  sen 2x  cos
3x


 
 
g x
 
h x
Podemos calcular los periodos Tg(x) y Th(x) de las funciones
f(x)
x
f( x)
x
f(  x)
x
x  f (x )  f (x )
2
1
2
o
y=f(x)
b
x
y
S
14. FUNCIÓN POSITIVA
f(x)2
y=f(x) es positiva en el intervalo S si se cumple: f(x) > 0
f(x)1
o
x1
x2
15. FUNCIÓN NEGATIVA
x
y= f(x) es negativa en el intervalo S si se cumple: f(x) < 0
S
IÓN DECRECIENTE O ESTRICTAMENTE DECRECIENTE
y
unción y= f(x) es decreciente en el intervalo S si " x1,
S se cumple que:
x
o
x  x  f (x )  f (x )
1
2
1
a
c
b
2
* f es positiva en   ; a  b ; c
y
* f es negativa en a ; b  c ; + 
16. PUNTOS DE NULIDAD
f(x)1
Los puntos de nulidad de la función y=f(x) son aquellos “x”
tal que: f(x) = 0
gráficamente, los puntos de nulidad coinciden con los puntos
de intersección de la gráfica de “ f ” con el eje x.
f(x)2
o
x1
x2
x
S
17. PUNTOS DE INTERSECCIÓN O PUNTOS DE EQUILIBRIO
Sean las funciones y=f(x), y=g(x). Si las gráficas de éstas
se intersecan, entonces es posible resolver la ecuación:
f(x) = g(x)
donde las soluciones son las abscisas de los puntos de
intersección
ÓN CONTINUA
x) es continua en x=a si satisface las siguientes
diciones:
y
(a)
y=g(x)
existe
 
lim f x
x a
y = f(x)
y
y = f(x)
f(a)
existe
P
f x
 a   xlim
a
o
a
x
f(xo ) g(xo )
xo
o
x
IÓN DISCONTINUA
x) es discontinua en x = a si su gráfica experimenta un

s discontinua sobre S”
o
0
o
; g(x )
0

Además desplazán don os de izqu ierda a derecha,
observamos que antes de P la función “g” predomina sobre
la función “f”: g(x) > f(x); y después de P, “f” predomina
sobre “g”: f(x) > g(x)
s discontinua en x = a”
y
PROBLEMAS RESUELTOS
y = f(x)
1.
Indica el intervalo de (x) pero verifiquen la igualdad.
tan2  
o
 
P  x ; f(x )  x
vertical en dicho punto.
a
x
7K – 6
5
Resolución

K
Y
6
6 
K  ,
7
7 
M
6
7
;6

Respuesta:  ,  
2.

Determina la ecuación de la curva mostrada.
X
N
6
; –2


a) y  4sen  2x   – 2
3



b) y  4sen  2x    2
6

c)
Resolución:
Se observa que la gráfica corresponde al opuesto del coseno
(gráfica invertida), por consiguiente su ecuación será de la forma:


d) y  4sen  2x    2
3



e) y  4sen  3x    2
3

y   Acos(x  )  B
Los valores se buscan en la gráfica
–


y  4sen  x    2
3

02. Del gráfico, determina A + B; A > 0
Y
Eje se ubicó en y = 7
P
 B7
; 2
y=AsenBx
–
La mayor altura de la curva es 4
 A4
–
El periodo de la curva es
X

2

 2

–
El desfase de la curva es


5
 
2
  
 5
5
a) 5
b) 8
d) 10
e) 7
c)6
03. De la función definida por:




f  x   sen  – x   cos  – x 
6

9

determina su amplitud y periodo respectivamente.
a) 2sen
5
;
9
b) 2sen
7
;2
18
d) 2sen
5
;2
18
e) 2sen
5
;
18
04.Sea
x

sen 4 ; si :x  0; 4 

x
f x  
sen 2 ; si :x  4 ;6 ]

senx; si :x  6;7
de las afirmaciones:
I.
Es continua en su dominio
II. Decreciente en x  2;4 

2 
y  4cos  2x 
7
5 

III. Creciente en x  4 ;5
IV. El rango es [–1;1]
c) 2sen
5
9
OBLICUÁNGULOS
A B
tan 

ab
 2 

ab
A B
tan 

 2 
B  C
tan 

bc
 2 

bc
B  C
tan 

 2 
A C
tan 

ac
 2 

ac
A C
tan 

 2 
RES DE LOGRO:
ar las leyes trigonométricas.
minar las R.T. de los semiángulos de un triángulo.
ir al ángulo horizontal y las aplica.
B
GULO OBLICUÁNGULO
c
enomina triángulo oblicuángulo a aquel triángulo que no
ene el ángulo recto.
LUCIÓN DE UN TRIÁNGULO
a
A
triángulo oblicuángulo está determinado, entonces resolcho triángulo significa calcular, sus elementos básicos descidos.
C
b
TEOREMA DE LOS SENOS Y COSENOS
DE LOS SENOS
odo triángulo se verifica que las medidas de los lados son
orcionales a los senos de sus ángulos opuestos".
B
4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS Y ÁREA DE LA
REGIÓN TRIÁNGULAR
RAZONESTRIGONOMÉTRICASDELOSSEMIÁNGULOS DEUNTRIÁNGULO
En un triángulo ABC, de los lados a, b y c y semiperímetro:
R
c
a
b
c


senA senB senC
a
a  b  c se tiene:
2
sen
Ley de los senos
C
b
p
(p  b)(p  c)
bc
A

2
A
p(p  a)

2
bc
A
(p  b)(p  c)
tan 
2
p(p  a)
cos
más:
a
b
c


 2R
senA senB senC
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Siendo "S" el área de la superficie triangular entonces:
ta última se obtienen:
a  2RsenA ; b  2RsenB ; c  2RsenC
I.
EN FUNCIÓN DE DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO.
E LOS COSENOS
B
odo triángulo el cuadrado de la medida de cualquiera de
ados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
os el doble de el producto de dichos lados por el coseno del
o formado por estos".
ab
S
senC
2
ac
S
senB
2
bc
S
senA
2
B
2
c
2
2
a  b  c  2bc.cos A
a
b2  a2  c2  2ac.cos B
C
b
II.
A
a
S
C
b
EN FUNCIÓN DE LOS LADOS
B
c 2  a2  b2  2ab.cos C
c
TEOREMA DE LAS PROYECCIONES Y TANGENTES
DE LAS PROYECCIONES
odo triángulo se cumple que un lado cualquiera es igual a
ma de los otros dos lados multiplicados cada uno por los
nos de los ángulos adyacentes a dicho lado".
c
a
S
A
S  p(p  a)(p  b)(p  c)
donde : p 
C
b
abc
2
III. EN FUNCIÓN DE LOS LADOS Y EL CIRCUNRADIO
B
b
B
a  b cos C  c cos B
b  a cos C  c cos A
a
C
DE LAS TANGENTES
c  a cos B  b cos A
R
a
c
o
S
C
abc
4R
B
senB
senA
R
a
c
Despejando:
o
6.sen60 
b=
=
sen 45
C
6.
b
A
sen60
sen45
3
2 = 6 3. 2
2
2
2
2
b=3 6
02. La figura representa un prisma exagonal regular de
V.
EN FUNCIÓN DEL SEMIPERÍMETRO Y EL INRADIO
8 a. Entonces el ángulo  de la figura mide
altura
B
c r
A
a
S  p.r
S
donde : p 
C
b
abc
2
VI. RECUERDE QUE EN TODO TRIÁNGULO SE CUMPLE:
A
2
B
* r  (p  b) tan
2
C
* r  (p  c) tan
2
* r  (p  a) t an
 8 

 11a 
B) arc cos 
 19 

 22a 
 3


 8
D) arc cos
A) arc cos 
VII.
C) arc cos 
B

E) arc cos
 1922 
 118 
Resolución:
SABC  mn cot
r
A
m
•

2
a
A
C
n
B
a 3
a
VIII. RECUERDE QUE EN TODO TRIÁNGULO SE CUMPLE:
a 8
*
*
*
A
2
B
r b  p tan
2
C
rc  p tan
2
ra  p tan
PROBLEMAS RESUELTOS
1. En un triángulo ABC:
Resolución:
Â
= 45°;
B̂
= 60°; a = 6. Determina “b”..
a 3
D
C
•
Se pide 
El triángulo ABC es isósceles.
(AC = BC)
•
AB es diagonal del hexágono regular AB  a 3 .
•
En el
ADC:
 AC 2   a
C

8
  
2
 a 3
2
entonces: AC  a 11
b
a=6
•
En el
 ABC: (Ley de Cosenos)
2
2
2

del triángulo ABC es 100u2.
Respuesta: D)
arccos  19 
 22 
2a
LOS HORIZONTALES
A
4b
ngulos longitudinales son aquellos ángulos cuyos lados se
entran en un mismo plano horizontal.
6a
o general, estos ángulos son empleados para definir las
ciones cardinales:
b
Este, oeste, norte y sur.
Punto de
referencia
B
N
O
C
a) 10u2
b) 15u2
d) 24u2
e) 40u2
c) 20u2
E
S
2.
BO:
En la figura, determina el valor del "senA" en función de m, n y
x
mbo es la dirección del movimiento de un móvil trazado en
B
no horizontal. Se han establecido cuatro direcciones cardi-
m
que permiten definir cuatro rumbos principales: norte,
ste y oeste. En base a estos rumbos se pueden definir todos
emás rumbos posibles.
A
N
NO
NE
2
45º
O
45º
45º
a)
2n
cos 
m
b)
2n
sen 
m
c)
2n
tg 
m
d)
2n
ctg 
m
e)
2n
m
SE
S
LA ROSA NÁUTICA O COMPÁS MARINO
esentación esquemática de la brújula náutica, lo cual está
n 32 partes iguales.
A NAÚTICA
RO S
N
NNO
3.
NNE
O
Del gráfico, determina "m".
NE
B
ENE
E
ESE
O
D
E
45º
SO

C
Los PUNTOS
CARDINALES
son:
* Norte (N)
* Sur (S)
* Este (E)
* Oeste (O)
5
SE
SSO
A
SSE
8
D
S
a) 6
b) 7
c) 8
3
C