Ejemplo 1 – Maximizar
Una empresa fabricante de juguetes produce balones de futbol
y juegos de ajedrez. Cada pelota produce una utilidad
incremental de $2, cada juego de ajedrez, una de $4. La
fabricación de una pelota requiere 4 horas de trabajo en el
centro de maquinado A y 2 horas en el centro de maquinado B.
La fabricación de un juego de ajedrez tarda 6 horas en el centro
de maquinado A, 6 horas en el centro de maquinado B y 1 hora
en el centro de maquinado C. El centro de maquinado A tiene
un máximo de 120 horas de capacidad disponible por día, el
centro de maquinado B tiene 72 horas y el centro de
maquinado C tiene 10 horas.
Si la compañía quiere maximizar la utilidad, ¿Cuántas pelotas y
juegos de ajedrez debe producir por día?
Solución:
Planteamiento matemático:
P = Número de pelotas a producir por día
J = Número de juegos de ajedrez a producir por día
La función objetivo sería:
Las restricciones se plantearían así:
Graficar las restricciones:
Las gráficas de las restricciones se realizan fácilmente si se le da a
una variable el valor de cero, y se calcula la intersección del eje con
la otra variable considerando la igualdad en la ecuación.
Vamos a presentar los gráficos correspondientes a cada una de las
restricciones:
Centro de maquinado A
Primero le daremos el valor de cero a la variable P; por lo tanto, la
ecuación quedaría de la siguiente forma:
Posteriormente repetiremos el procedimiento dando a la variable J
el valor de cero.
Los valores obtenidos, representan la intersección con los ejes
correspondientes a cada variable; quedando finalmente la gráfica de
la siguiente forma:
El signo menor o igual de la ecuación, implica que las soluciones de
la ecuación se encuentran en la parte inferior de la recta; es por ello
que la zona se encuentra sombreada.
Centro de maquinado B
Repetiremos el procedimiento del centro de maquinado A.
Para P = 0, el valor de J será 12
Para J = 0, el valor de P será 36
El gráfico sería:
Centro de maquinado C
Para este caso, se considera directamente el valor de J = 10 para
cualquier valor de P; quedando la gráfica de la siguiente forma:
No negatividad
Hace referencia a que los valores de P y J son sólo positivos; por lo
tanto, las soluciones factibles estarían sólo en el primer cuadrante.
Se puede representar gráficamente de la siguiente forma:
Determinar la región factible:
Para determinar la región factible se superponen todas las gráficas
realizadas; siendo la intersección de todas ellas la región factible.
En nuestro ejemplo tendríamos lo siguiente:
Cómo te podrás dar cuenta, la figura formada es un polígono
convexo. Este detalle es importante debido a que si el gráfico no
tuviera esa convexidad, probablemente el problema esté mal
planteado o no se pueda resolver mediante programación lineal. Si
quieres conocer más sobre los polígonos convexos puedes revisar
este link.
Trazar la función objetivo:
A diferencia de las ecuaciones de restricciones, en la función
objetivo no tenemos un valor al que igualar, para determinar las
intersecciones con el eje. Lo que realizaremos será asignarle un
valor cualquiera al resultado de la ecuación y realizar la gráfica
correspondiente. Así, por ejemplo, le asignaremos valor de 60:
Para P = 0, el valor de J será 15
Para J = 0, el valor de P será 30
La gráfica quedaría de la siguiente forma:
A partir de la gráfica de esta línea podemos trazar una serie de
líneas paralelas a ella; las cuales representan todos los resultados
que se pueden obtener de esa función.
Mientras más alejada se encuentre la línea, del centro del
cuadrante, el valor de la utilidad será mayor.
Encontrar la solución visual:
Ahora unimos los gráficos de la región factible con las rectas de la
función objetivo. Se trazarán rectas de la función objetivo en cada
uno de los vértices de la región factible:
El punto donde se intersecte el vértice de la región factible, con la
recta de la función objetivo más alejada del cuadrante, representa la
solución al problema de programación lineal.
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descargar)
Calcular las coordenadas del punto óptimo
Para calcular las coordenadas del punto óptimo, resolveremos el
sistema de ecuaciones conformado por las rectas que se
intersectan:
Resolviendo el sistema, obtenemos que el valor de P=24 y de J=4.
Por lo tanto, la empresa debe producir 24 pelotas y 4 juegos de
ajedrez para maximizar su utilidad.
Determinar el valor óptimo
Para obtenerla reemplazamos los valores calculados en la función
objetivo:
La máxima utilidad que obtendría la empresa sería de $64.
Ejemplo 2 – Minimizar
Un estudiante de administración de empresas necesita completar un
total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de
administración tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de
cursos ajenos al área de administración deberá ser mayor que o
igual a 20. El curso de administración promedio requiere un libro de
texto que cuesta $60 e implica 120 horas de estudio. Los cursos
ajenos al área de administración requieren un libro de texto que
cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone
de un presupuesto de $3,000 para libros.
1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la
función objetivo y las restricciones.
2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
3. ¿Con qué combinación de cursos de administración y otros
ajenos a esta área se minimizaría el número total de horas de
estudio?
Solución:
Planteamiento matemático:
X = Cursos de Administración que cursará el estudiante
Y = Cursos ajenos al área de Administración que cursará el
estudiante
La función objetivo sería:
Las restricciones se plantearían así:
Graficar las restricciones:
En este caso la región factible sólo corresponde a la línea roja de la
gráfica; esto se debe a que tenemos una restricción obligatoria
(Cursos necesarios para graduarse) con signo igual.
Trazar la función objetivo:
A continuación, se muestra la secuencia de líneas paralelas que se
forman con la función objetivo. Como el problema busca minimizar
la función objetivo, buscaremos la recta más cercana al eje:
Encontrar la solución visual:
Trazamos las funciones objetivo por ambos puntos del segmento
que corresponde a la “región factible”.
Como el problema es de minimización, entonces la recta mas
cercana al origen del cuadrante representa la solución visual.
Calcular las coordenadas del punto óptimo:
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
Resolviendo el sistema, obtenemos que el valor de X=40 y de Y=25.
Por lo tanto, el estudiante debe elegir 40 cursos de administración y
25 cursos ajenos al área de administración.
Determinar el valor óptimo
La mínima cantidad de horas de estudio sería:
Puedes encontrar más ejemplos solucionados en nuestro artículo
de ejercicios resueltos de programación lineal con el método gráfico.
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