Universidad de Falcón Profesora: Lcda. Haide García Matemática Financiera Unidad: Anualidades vencidas y Anticipadas Definición Anualidades: Es una sucesión de pagos o rentas iguales en periodos o tiempos iguales. Si bien la palabra anualidad parece implicar pagos anuales, puede no ser este el caso. El intervalo entre los pagos puede ser y lo es con frecuencia menor de un año. Así dichos pagos pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales, bimestrales entre otros, (pero no significa el pago anual); más bien trata de las transacciones de la empresa con pagos periódicos que generalmente son igual tomando en cuenta los ingresos, egresos y el tiempo. Tanto las empresas y las personas naturales cuando desean comprar algo, o invertir en una actividad, generalmente lo hacen con dinero prestado importe que deben pagar con pagos a realizar cada determinado tiempo. Una anualidad se suele efectuar en los casos siguientes: a) Con el fin de constituir un fondo que llegue a alcanzar una suma determinada en un determinado de tiempo dado, es decir, constituir un capital. b) Con el fin de agotar un fondo en un número determinado de periodos, es decir, extinguir la deuda, que más adelante estudiaremos, estas dos partes. Podemos citar a los dividendos sobre acciones, fondos de amortización, sueldos de cada mes, rentas de alquiler, impuestos, cuotas al club, pensiones escolares, amortización de crédito, rentas a jubilados, primas de seguros etc. según el caso. NOTA: Para que un conjunto de pagos se considere anualidad debe de cumplir con los siguientes términos: Todos los pagos deben de ser iguales Todos los pagos deben de ser periódicos Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie. A la misma tasa, a un valor equivalente y un valor futuro equivalente. El número de pagos debe de ser igual al número de periodos CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES 1.- Anualidades Ciertas: Son aquellos cuyos pagos comienzan y terminan en fechas determinadas (se establecen previamente, generalmente por contrato entre partes intervinientes, deudor, acreedor) .Estos pueden ser: Temporales: Cuando el plazo está determinado en una fecha y plazo especifico, ejemplo LEASING Perpetuidades: Son aquellas anualidades en que el tiempo no está determinado, ejemplo: emisión de bonos que en algunos países pagan (renta perpetua) 2.- Anualidades Eventuales o Contingentes: Son aquellas cuya fecha inicial o final depende de algún suceso predecible pero su fecha de realización no puede especificarse por que están en función de algún acontecimiento externo no previsible exactamente, ejemplo: los seguros de vida, en los cuales se conoce la renta pero no su duración es incierta. Estos pueden ser: Vitalicia: Es una anualidad que tiene vigencia mientras dure la vida del rentista. Temporales: También se puede decir que una vitalicia termina en un determinado número de pagos aun cuando el rentista continúe con vida. 3.- Las anualidades en general pueden ser a su vez: Simples: Cuando el periodo de venta coincide con el periodo de capitalización Generales: Cuando el periodo de renta no coincide con el periodo de capitalización, pueden darse varios periodos capitalizables por periodo de renta o varios periodos de renta por periodo de capitalización. Impropia o variable: Son anualidades cuyas rentas no son iguales. En resumen las anualidades más usuales son: 1- Anualidades vencidas: Cada periodo cada fin de mes, como son los sueldos 2- Anualidades anticipadas: Inicio de cada mes como son los alquileres. 3- Anualidades diferidas: después de cierto tiempo inicio de pago Anualidades vencidas Definición. A.- Valor final de una anualidad vencida B.-Valor actual de una anualidad vencida C.- Calculo de la renta de una anualidad vencida D.- Calculo del tiempo de una anualidad vencida E.- Calculo de la tasa de una anualidad vencida Definición anualidades vencidas Es una sucesión de pagos o rentas iguales en periodos o tiempos iguales al final de cada período . A: Valor final ( valor futuro) de una anualidad vencida Donde: S: valor final de una anualidad vencida. n: tiempo o plazo de la anualidad vencida. i: tasa de interés de una anualidad vencida. R: pago periódico o renta de una anualidad vencida 1.- Ejemplo Hallar el valor final de una anualidad vencida de Bs 5.000,00 pagaderos semestralmente durante 3,5 años al 18% anual capitalizable semestralmente. Procedimiento paso a paso i = 18/2 = 9% = 0,09 n= 3.5 años X 2= 7 S= valor futuro R= cuota o anualidad S= R [(1 +i)n -1] = 5.000[ (1 + 0,09)7 – 1 = 5.000 [(1.09) 7 – 1] = 5.000 [1,828039121 – 1] I 0,09 0,09 0,09 El valor que se pagará en los 3,5 años será de Bs 46.002,17 2.- Ejemplo El Sr Montero ahorro Bs 600,00 cada medio año y lo invierte durante 2 años y 6 meses al interés del 15% anual capitalizable bimestralmente. Hallar el importe acumulado en su ahorro . S=600[ (1.025)15 - 1] = 600[1,448298166 – 1] = 600 [ 0.448298166] = 268,9788996 = 10.759,16 Bs 0,025 0,025 0,025 0,025 El Sr Montero tendrá como importe final de sus ahorros Bs 10.759,16 3.-. Ejemplo Usted deposita cada fin de mes Bs 400,00 durante 4 años en una cuenta de ahorros que abona el 12% de interés capitalizable mensualmente. Halle el importe que tendrá en su cuenta sabiendo que el segundo año el interés incrementa al 15% capitalizable mensualmente. El importe que se tendrá a fin del 2º año será de Bs 25.652,31 4.- Ejemplo El Sr. Valderrama desea comprar una casa para tal efecto realiza depósitos semestrales de Bs 20.000,00 durante 10 años en un banco que paga el 15% capitalizable semestralmente. Hallar el importe que tendrá al cabo de 10 años; si en los 2 últimos años la tasa de interés se incrementa al 18% capitalizable semestralmente. (Redondear el resultado final al entero positivo inmediato) (Primero por 8 años a 15%. Luego proyectamos por lo que le falta a interés compuesto a 18%, porque no es anualidad. Luego se calcula por el tiempo que falta al 18% por el tiempo que falta. Al final se suman los resultados del tiempo completo.) Respuesta: Los depósitos semestrales del Sr. Valderrama al cabo de los 10 años será se convertirán en un total de S2+S3 = S total = 820.898,0031 + 91.462,58 = 912.360,58 = Bs 912.361 B.-. Valor actual (valor presente) de una anualidad vencida Son las cuotas o pagos periódicos que se realizan al final del periodo, que generan intereses compuestos por los periodos finales hasta la fecha final, 1.- Ejemplo Si usted quiere depositar hoy en un banco que paga el 4% mensual de interés el dinero suficiente para cumplir con el pago de 4 meses de alquiler razón Bs 500,00 mensuales. ¿Cuánto tendría que depositar? Mediante la fórmula: Respuesta: Debe depositar el valor de Bs 1.814,95 para recibir durante meses el valor de Bs 500,00 2- Ejemplo Se deposita Bs 800,00 a final de cada mes durante 5 años en un banco que abona el 18% capitalizare mensualmente. Hallar el valor presente de la anualidad. Respuesta: El valor presente de la anualidad será de Bs 31.504,22 a un interés del 18% capitalizable mensualmente. 3.- Ejemplo La empresa “Importadora ABC” vende al crédito una lavadora con una cuota inicial de Bs 1.000,00 y 12 cuotas mensuales de Bs 700,00 con un interés del 12% capitalizable mensualmente. Hallar el precio al contado. Respuesta: El precio al contado en el que se obtendrá el bien será de Bs 8.878,55. 4.- Ejemplo Usted adquiere mercaderías al crédito que serán pagadas mediante 4 cuotas mensuales de Bs 1.200,00 seguido de 6 cuotas mensuales de Bs 1. 000,00 Hallar el valor al contado de la mercadería si la tasa de interés es del 2% mensual. Valor al contado = Bs 4.569, 27 + 5.174, 86 = Bs 9744,13 C.- Calculo de la renta de una anualidad vencida 1.- Ejemplo ¿Cuál será la cuota constante a pagar por un préstamo bancario de Bs 80.000,00 reembolsables en 4 cuotas cada fin de mes? Si el Banco cobra una tasa del 36% capitalizare mensualmente. Respuesta: La cuota constante a pagar es Bs 2.152,22 2.- Ejemplo Halle los depósitos mensuales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 24% capitalizable mensualmente, para obtener en 1 año un capital de Bs 15.000,00 (Redondear el resultado al entero) Respuesta: Los depósitos mensuales de cada mes será Bs 1.118,00 D.- Calculo del tiempo de una anualidad vencida 1.- Ejemplo Cuantos pagos semestrales de Bs 800,00 se deben hacer para cancelar una deuda de Bs 4.200,00 al 8% capitalizable semestralmente (redondear al número entero superior ). Respuesta: Se deberá realizar el pago de Bs 800,00 durante 6 semestres 2.- Ejemplo Si el Sr. Pérez desea acumular Bs 22.900,00 para reunir dicha cantidad decide hacer depósito de trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde el 32% anual convertible trimestralmente. Si paga cada trimestre Bs 500,00 (redondear al inmediato superior entero). Respuesta: El Sr. Pérez acumulará Bs 22.900,00 con un interés del 32% anual convertible trimestralmente en 20 trimestres. 3.- Ejemplo ¿Cuántos depósitos de fin de mes de Bs 500,0 serán necesarios ahorrar, para acumular un monto de Bs 5.474,86 en un Banco que paga una tasa de 24% capitalizable mensualmente? Respuesta: Se debe hacer 10 depósitos 4.- Ejemplo ¿Con cuántas cuotas constantes trimestrales vencidas de Bs 500,00 se podrá amortizar un préstamo de Bs 5.000,00 por el cual se paga una tasa de 6,120% trimestral? Respuesta: Con 15 cuotas trimestrales más una adicional de Bs 470,00 5.- Ejemplo Con el objeto de retirar Bs 800,00 cada 30 días una persona deposita Bs 10.000,00 en un banco ganando una tasa del 2%. Mensuales. ¿Cuantos retiros podrá efectuar? Respuesta: Se podrá efectuar 15 retiros cada mes E.- Calculo de la tasa de una anualidad vencida Como es difícil el despeje de la variable de la tasa de interés entonces utilizaremos el método del tanteo para poder aproximar el resultado que corresponde, haciendo un tanteo del porcentaje más próximo al valor del cociente. 1.- Ejemplo Se debe pagar hoy Bs 4.000,00 Como no cuenta con esa cantidad disponible acuerda con su acreedor pagar mediante 6 cuotas de Bs 714, 10 al final de cada mes que tasa de interés se aplica en esta operación. Respuesta: La tasa de interés que más se acerca es del 2% mensual 2.- Ejercicio Usted deposita cada fin de mes en una cuenta de ahorro la suma de Bs 1.000,00 durante 2 ½ años al final de este tiempo retira la suma total de Bs 38.500,00 Cuál es la tasa de operación mensual. Respuesta: La tasa de interés que más se acerca es del 1,67% mensual Anualidades anticipadas - Valor final de una anualidad anticipada - Diferencia entre anualidad vencida y anualidad anticipada - Valor presente de una anualidad anticipada. - Valor final de una anualidad anticipada - Calculo de la renta en la anualidad anticipada - Cálculo del tiempo de una anualidad anticipada Es otra de las anualidades más usuales, la anticipadas que son las cuotas o pagos periódicos cada principio de periodo como son los alquileres que se paga al inicio de cada mes y otros dependiendo del contrato entre partes. Valor final de una anualidad anticipada.Estableciendo una ecuación financiera tomando como fecha focal el final del horizonte temporal, el monto S de una anualidad anticipada puede obtenerse del modo siguiente. Cada pago R está sometido a interés compuesto por n números de periodos, el primero ubicado en el momento cero durante n periodos, el segundo durante n - 1 periodos, el penúltimo durante dos periodos y el último durante un periodo (hasta el final del horizonte temporal) El monto total de la anualidad es igual a la suma de los montos parciales de cada renta llevado al final del horizonte temporal. S es igual a la suma de una progresión geométrica cuyo primer término es R (1+i), su razón r es (1+i) y su fórmula es: 1.- Ejemplo Un individuo deposita en su cuenta de ahorro la suma de $ 250 al principio de cada año. Cuanto tendrá al final de 8 años, si su Banco le reconoce una tasa de interés del 3%. Diferencia entre anualidad vencida y anualidad anticipada Anualidad vencida Anualidad anticipada 2.- Ejercicio Una corporación reserva Bs 10.000,00 al principio de cada año para crear un fondo en caso de futura expansión. Si et fondo gana el 3% ¿ Cuál será el monto al término del décimo año Respuesta: El monto reservado por la corporación al final del décimo año será de Bs 118.077,96 Valor presente de una anualidad anticipada 1.- Ejemplo La empresa alquila un terreno de Bs 4.000,00 mensuales y propone al propietario pagar el alquiler anual al principio de año con la tasa del 12% capitalízatele mensualmente. Hallar el valor presente del alquiler. valor presente del alquiler es Bs 45.0470,51 CUADRO DE INTERPRETACIÓN 2.- Ejemplo Si usted quiere depositar hoy en un banco que paga el 4% mensual de interés, el dinero suficiente para cumplir con el pago de 4 meses de alquiler a razón de Bs 500,00 mensual. Cuanto tendría que depositar. CUADRO DE INTERPRETACIÓN Calculo de la renta en la anualidad anticipada 1.- Ejemplo Una familia necesita Bs 4.000,00 para el mes de agosto de 2012. En agosto del 2008 ellos efectúan el primero de los 4 pagos anuales iguales en un fondo de inversiones que gana el 6% de interés anual. ¿Cuál será el importe de cada depósito de manera de tener acumulados los Bs 4.000,00 Respuesta: Se debe realizar los pagos cada principio de año de Bs 862,61. Cálculo del tiempo de una anualidad anticipada 1.- Ejemplo Un empleado consigna Bs 300,00 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8% convertible mensualmente ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar Bs 30.000,00 ? Respuesta: 76 meses y un pago final de Bs 146 2.- Ejemplo Usted tiene ahorrados Bs 100.000,00 en una institución de ahorro y préstamo que paga el 6% capitalizable semestralmente. Si se retiraran Bs 10.000,00 al inicio de cada semestre ¿Qué tantos retiros se podrán efectuar? ¿Cuál sería del retiro final? 11,64693034x10.000 = 116.469,30 11x10000 = 110.000 6.469,3 Respuesta: Son 11 retiros de Bs 110.000,00 y un retiro adicional de Bs 6.469,30. Calculo de la tasa de interés de una anualidad anticipada Utilizaremos solamente las fórmulas correspondientes para despejar la variable de la tasa de interés, aunque lo más correcto es interpolar mediante tablas, para tener un resultado correcto, en este caso solamente nos aproximaremos al resultado. 1.- Ejemplo ¿A qué tasa de interés anual con capitalización mensual, de 10 cuotas mensuales anticipadas de Bs 400,00 se acumularan un monto de Bs 4.723,12? Respuesta: la tasa de interés que más se aproxima al 11,8078 es del 3% mensual 2.- Ejercicio Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de Bs 500,00 al contado. Al crédito se ofrece con tres cuotas mensuales adelantadas de Bs 180,00 cada una ¿Cuál es la tasa efectiva mensual cargada en la transacción? Respuesta: La tasa de interés que más se acerca a 2.778 es del 8,29%.
