MATEMATICA III INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES Observación: En el caso que f x, y 0 aún se puede interpretar a f x, y dA D como el volumen del sólido que está arriba de D y debajo de la ( la gráfica de f ) superficie z f x, y MATEMATICA III CASO I: Regiones del tipo I Por tanto: MATEMATICA III CASO II: Regiones del tipo II MATEMATICA III Ejemplos: 1. Evaluar x 2 y dA , donde D y 1 x Solución: 2 D es la región acotada por las parábolas y 2 x 2 y MATEMATICA III 2. Calcular el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z x 2 y 2 y arriba de la región D en el plano xy acotado por la recta y 2 x y la parábola y x 2 Solución: MATEMATICA III MATEMATICA III D x, y 2 / 0 x 2 , x 2 y 2 x MATEMATICA III Otra forma de resolver este ejercicio: MATEMATICA III 3. Evaluar xydA , donde D es la región acotada por la recta y x 1 y la parábola D y2 2x 6 Solución: Tomando los límites en forma horizontal tenemos: MATEMATICA III Si hubiéramos tomado los límites en forma vertical tendríamos: 4. Calcular el volumen del tetraedro acotado por los planos x 2 y z 2 , x 2 y , x 0 , z 0. Solución: MATEMATICA III MATEMATICA III 5. Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY, el plano x y z 2 , y el cilindro parabólico y x 2 CALCULO DE AREAS DE REGIONES PLANAS POR INTEGRACION DOBLE Sea f : D 2 una función continua en la región cerrada D tal que f x, y 1 , x, y D ( función constante ) ; entonces el área de la región D está dada por: A D dA D Es un sólido cuya base es V ( S ) A( D ).1 A D D y cuya altura es 1 tiene un volumen MATEMATICA III Ejemplos: 1. Calcular el área de la región limitada por las curvas y 2 x , x y 2 2. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de y x , 4 y 4 x 2 1 3. Calcular el área de la región encerrada por las líneas y 2 2 x , x 2 y 2 4 y 0 en el IC 4. Calcular el área de la región limitada por las líneas y 4 x x 2 , y x 5. Calcular el área de la región acotada por las curvas x y 2 , x 2 y y 2 CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN Ejemplos: f x, y dA 1. Calcular donde D f x, y Senx ; 4 Sen 2 y D x, y 2 / 0 x ; 0 y x 2 2 4 0 2y 2. Calcular 3. Calcular 1 1 0 y 2 e x dxdy Sen x 2 dxdy Plantee integrales iteradas para ambos órdenes de integración. Después evalúe la integral doble usando el orden más fácil y explique por qué es más fácil: 4. a) ydA , D está acotada por y x 2 , x y2 D b) y e 2 xy D dA , D está acotada por y x , y 4 , x 0