Función Senoidal y Respuesta Forzada Sinusoide o Senoide Es una señal que tiene la forma de seno o coseno. Una corriente senoidal se conoce comúnmente como corriente alterna (CA). En conjunto, los circuitos excitados por fuentes de corriente o tensión senoidal se llaman circuitos CA. Una función de forzamiento senoidal produce tanto una respuesta transitoria (respuesta natural) como una respuesta en estado estable (respuesta forzada). La respuesta transitoria se extingue con el tiempo, de modo que sólo la respuesta en estado estable, o forzada, continua indefinidamente. Se dice que el circuito opera en estado estable senoidal cuando la respuesta transitoria se ha vuelto despreciable en comparación con la respuesta en estado estable. Importancia de las sinusoides • • • • La propia naturaleza es característicamente senoidal. Hay variación senoidal en el movimiento de un péndulo, la vibración de una cuerda, las olas en la superficie del océano y la respuesta natural de sistemas subamortiguados de segundo orden, por mencionar sólo unos cuantos ejemplos. Una señal senoidal es fácil de generar y transmitir. Es la forma de la tensión generada en todo el mundo y suministrada a hogares, fábricas, laboratorios, etc. Es la forma dominante de señal en las industrias de comunicaciones y energía eléctrica. Por medio del análisis de Fourier, cualquier señal periódica práctica puede representarse como una suma de senoides. Las senoides, por lo tanto, desempeñan un importante papelen el análisis de señales periódicas. Una senoide es fácil de manejar de manera matemática. La derivada y la integral de una senoide son ellas mismas senoides. Por estas y otras razones, la senoide es una función extremadamente importante en análisis de circuitos. Tensión y corriente senoidal Tensión senoidal 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) Donde: • • • • • 𝑉𝑚 es la amplitud de la senoide [V]. 𝜔 es la frecuencia angular [rad⁄s]. 𝑡 es el tiempo [s]. 𝜙 es la fase [rad]. 𝜔𝑡 + 𝜙 es el argumento de la senoide [rad]. Corriente senoidal 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) Las funciones sinusoidales poseen coseno porque por acuerdo se van a trabajar así. Si hay seno, se debe pasar a coseno. Período, frecuencia angular y frecuencia cíclica (hertziana) Período (𝑇) [s] Frecuencia angular (𝜔) [rad⁄s] 1 Frecuencia cíclica (𝑓) [Hz] [𝑠 ] Es el tiempo en que se repite una Se refiere al desplazamiento Es el recíproco del período o sección del senoide, es decir, es angular por unidad de tiempo. número de ciclos por segundo. el tiempo de un ciclo completo. 𝑇= 2𝜋 1 = 𝜔 𝑓 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 𝑇 𝑓= 1 𝑇 Cabe mencionar que 𝑣(𝑡) es una función periódica, es decir: 𝑣(𝑡 + 𝑇) = 𝑣(𝑡) Comparación de sinusoidales Para comparar senoidales tienen que cumplirse tres condiciones: 1. Ambas deben estar definidas por coseno o seno. No se pueden mezclar 2. Deben ser positivas. 3. Deben poseer la misma frecuencia. Retraso y adelanto Tomar en cuenta los siguientes dos senoides: 𝑣1 (𝑡) = sen(𝜔𝑡) y 𝑣2 (𝑡) = sen(𝜔𝑡 + 𝜙) con 𝜙 > 0 A partir de la figura, se puede denotar que el punto de partida de 𝑣2 ocurre primero en el tiempo. Por lo tanto, se dice que 𝑣2 se adelanta a 𝑣1 en 𝜙 o que 𝑣1 se atrasa de 𝑣2 en 𝜙. Si 𝜙 ≠ 0 también se dice que 𝑣1 y 𝑣2 están desfasadas. Si 𝜙 = 0, se dice que 𝑣1 y 𝑣2 están en fase; alcanzan sus valores mínimos y máximos exactamente al mismo tiempo. Transformar una senoide en seno o coseno sen(𝜔𝑡 ± 180°) = −sen(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 ± 180°) = −cos(𝜔𝑡) sen(𝜔𝑡 ± 90°) = ±cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡 ± 90°) = ∓sen(𝜔𝑡) A la derecha está lo que se tiene y a la izquierda lo que se necesita. Es decir: sen(𝜔𝑡) = cos(𝜔𝑡 − 90°) Método gráfico para hacer las transformaciones Los ángulos se miden positivamente en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el eje horizontal, como suele hacerse en coordenadas polares. Algunos ejemplos pueden ser: Dicho lo anterior, es importante tomar en cuenta lo siguiente: • • • Si la fase es negativa, la señal se desplaza a la derecha (retrasamos). Si la fase es positiva, la señal se mueve a la izquierda (adelantamos). La fase más “positiva”, adelanta al menos “positivo”. La fase tiene que quedar entre -180° y 180°. Esto igualmente es un acuerdo. Representación de una función senoidal La función senoidal 𝐶 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) se puede representar como 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sen(𝜔𝑡). Esto es importante porque puede que se tenga que pasar de una representación a la otra. La demostración está en el libro “Circuitos de Eléctricos” de Dorf (pág. 418-419), pero de ello se deduce lo siguiente: Respuesta forzada (de estado estable) a funciones senoidales Pasos generales para hallar la ecuación 1. 2. 3. 4. Utilizar las leyes de Kirchhoff en el circuito. Asumir la ecuación a partir de la función forzada. Sustituir la ecuación asumida en la obtenida a partir de las leyes de Kirchhoff. Resolver la ecuación anterior y a partir de los factores comunes, solucionar las igualdades a 0 para encontrar las incógnitas de interés. 5. Ahora, basta con sustituir los valores de las incógnitas en la ecuación asumida desde el comienzo. 6. Además, si se desea representar la ecuación de otra manera, es posible hacer uso de la suma de senoides. Circuito RL en serie Se aplica LVK en el circuito RL, así se obtiene que: 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝑅𝑖 + 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Ahora, a partir de la demostración del libro “Análisis de circuitos en Ingeniería” de Hayt (pág. 374-375), se llega a que la respuesta se obtiene mediante: 𝑖(𝑡) = 𝑅2 𝑅𝑉𝑚 𝜔𝐿𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡) + 2 sen(𝜔𝑡) 2 2 +𝜔 𝐿 𝑅 + 𝜔 2 𝐿2 Forma alternativa (usando suma de senoides) 𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 √𝑅 2 + 𝜔 2 𝐿2 cos (𝜔𝑡 − tan−1 ( 𝜔𝐿 )) 𝑅 Circuito RC en paralelo Se aplica LCK en el circuito y así se obtiene que: 𝑖𝑠 (𝑡) = 𝑣 𝑑𝑣 +𝐶 𝑅 𝑑𝑡 A partir de resolver lo anterior por medio de los pasos a seguir, se llega a que la respuesta es: 𝑅𝐼𝑚 𝜔𝐶𝑅 2 𝐼𝑚 𝑣𝑠 (𝑡) = cos(𝜔𝑡) + sen(𝜔𝑡) 1 + 𝜔 2 𝑅2 𝐶 2 1 + 𝜔 2 𝑅2 𝐶 2 Forma alternativa A partir del libro de “Circuitos Eléctricos” de Dorf (pág. 422), la forma alternativa de la respuesta forzada es: 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝑅𝐼𝑚 √1 + 𝜔 2 𝑅2 𝐶 2 cos(𝜔𝑡 − tan−1 (𝜔𝑅𝐶)) Nemónico para recordar quién adelanta a quién ELI is the ICE man ELI ICE En un circuito RL (L), la tensión (E) adelanta a la corriente (I) En un circuito RC (C), la corriente (I) adelanta a la tensión (E).
