geometria-y-trig-conamat compress

Geometría y
Trigonometría
Geometría
.
,
y tri gonometr1 a
AITTURO AGUILAR MÁRQUEZ
FABIÁN V AJ.APAI BRAVO V ÁZQUEZ
HERNIAN AuREuo GALLEGOS Ru1z
M IGUEL CERÓN VLLEGAS
RICARDO REYES FIGUEROA
REVISIÓN TÉCNICA
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.)
lng. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Estado de México
Prentice Hall
México • Argentina • Bra~il • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador
Esparia • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela
/
Datos de catnlogación bibliográfica
Geometría y trigonometría
Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607 ·442-350· l
Área; Matemáticas
Formato: 20 X 25.5 cm
Páginas: 320
Tocios los derechos reservados
Lilia Moreno Olvera
e-mail: [email protected]
Editor de desarrollo:
Alejandro Gómez Ruiz
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villa1obos
Editores:
PRIMERA EDICIÓN, 2009
D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C. V.
Atlacomulco 500-5° Piso
Industrial Atoto
53519 Naucalpan de J uárez, Estado ele México
Cámara Nacional dela Industria Editorial Mexicana. Reg. n6m. 1031
Prentice·Hall es marca registmda ele Pearson Educación ele México, S.A. de C. V.
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sistema ele recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoqufmico, magnético
o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
8 préstamo, alquiler o cualquier otm forma de cesión de uso ele este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus
representantes.
ISBN: 97&-607-442-350-1
Prentice Hall
es una marca de
--
PEARSON
Impreso en México. Printed in Mexico.
1234567 890-12111009
Para los que enseñan
y para
los que aprenden
ING. A RTURO SANTANA PINEDA
El poder de las matemáticas
El que domina las matemáticas
piensa, razona, ana liza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por lo tanto, domina al mundo.
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
Prefacio
l Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido
cursos de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente
satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda,
decidió plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos
años y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por
tanto actúa con lógica.
E
A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación
oon el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va
aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes
oonvencido de que es
que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar
alguna carrera afín.
racil
De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución
para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que
requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos
en el aula.
Enfoque
El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoria que se trata es lo más básica posible, sólo se
abordan los oonceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoria
analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor.
De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia
para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos
oonvencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin
embargo, la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.
Estructura
El libro está formado por 17 capítulos, los cuales llevan un orden especifico tomando en cuenta siempre
que el estudio de las matemáticas se va construyendo, es decir, cada capítulo siempre va ligado con los
conocimientos adquiridos en los anteriores.
Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son
desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente
resolver los ejercicios correspondientes. Las respuestas a los ejercicios se encuentran al final del libro, de tal
forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje. Por otro
lado, en algunos capítulos aparece una sección de problemas de aplicación, la cual tiene como objetivo hacer
una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en
cada tema.
Como recomendación se propone que se resuelvan los ejercicios preliminares de aritmética y álgebra que
se encuentran al final del libro, para que el lector haga un diagnóstico de sus conocimientos en dichas áreas
los cuales son fundamentales para poder iniciar el aprendizaje de la Geometria y la Trigonometria. De tener
VII
GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA
algún problema con dichos ejercicios se recomienda retomar los temas correspondientes y consultarlos en el
libro de aritmética y álgebra publicado por la misma editorial.
En el primer capítulo se dan las definiciones básicas de Geometrla y algunas notaciones que se utilizarán
en el desarrollo de los siguientes temas como son: recta, segmento de recta, arco, entre otros. En el segundo
capítulo, se estudian los ángulos y sus generalidades.
El tercer capítulo estudia las rectas paralelas y perpendiculares, así como las rectas paralelas cortadas por
una secante. En el capítulo cuatro, se estudian los triángulos y sus generalidades. Se continúa en el siguiente
apartado con cuadriláteros, mientras que en el capítulo seis, se analizan los polígonos en forma general
(ángulos interiores y exteriores, diagonales, etc.). El capítulo siete corresponde a transformaciones (escala,
rotación, simetrla axial, simetrla central}.
la circunferencia, sus elementos, rectas notables y otras generalidades de ésta, se estudian en el capítulo
ocho. En los capítulos nueve y 1O se estudia el perimetro y área de figuras geométricas en el primero y
volumen en el segundo.
En los capítulos 11 y 12 se comienza con el estudio de la Trigonometrla. Se dan los conceptos de
funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo y valores para distintos ángulos, para estos capítulos
se agregan las tablas de funciones trigonométricas que encontrará en la parte final del libro. En el capítulo
13 se analizan las gráficas de dichas funciones. Las distintas identidades trigonométricas se contemplan en
ei capítulo 14.
En los dos capítulos siguientes, se estudia la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos,
respectivamente. La parte de Trigonometría termina en el capítulo 17 el cual corresponde a la forma
trigonométrica de los números complejos.
VIII
Agradecimientos
Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero
que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional.
ARTURO SANTANA PINEDA
IJrREcroRGENERALDECONAMAT
A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Cherna e Hiram
los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi fiunilia (Echevenia, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al
ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue
un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán.
ARTURO
AGUILAR MÁRQllEZ
A mis padres Maria Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos
(Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y
Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo
yHerman.
F ABIÁN V ALAPAI BRAVO V ÁZQllEZ
Una vez mi padre me dijo que "un hombre triunrador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel
que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes", agradezco y dedico esta obra a la memoria de
mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra
con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida.
HERMAN A. GALLEGOS RIJIZ
ramilia
A toda mi
muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir;
a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis
amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado
este sueño.
MIGUEL CERóN Vil.LEGAS
A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial
agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y
tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por
hacer realidad nuestro sueño.
RICARDO REYES FiGllEROA
Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos
logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.
Los AUTORES
IX
Acerca de los autores
Arturo Aguilar Márquez. Llegó romo estudiante al Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades
y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de
Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases
de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT.
FabiánValapaiBravoVázquez. Desdemuytempranaedad,conlapreparacióndeprofesoresdeCONAMAT,
participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente
de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo,
estudió la carrera de Diseño Gráfioo en la Escuela Nacional de Artes Plásticas.
Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela
Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaria en la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más
de 15 años en el Colegio Nacional de Matemáticas.
Miguel Cerón Vtllegll$. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias
Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene
más de 15 años de experiencia en docencia.
Ricanfo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en
CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente
en la misma institución donde ha impartido las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años. Realizó sus
estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional,
y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.
XI
Anexo: Ejercicios preliminores, 285
Contenido
eometría y trigonometría
Prefacio VII
Agradecimientos IX
/laJrco de los autores XI
CAP1TuLO 1 C.Onceptos básicos
Conceptos básicos 4.
CAP1TuLO 2 Ángulos
Cefinición, 8. fvl.edidas, 8 . Sistema sexogesimol, 8. Sistema cíclico o circular, 10. Conversión de grodas
o rodiones yde rodiones o grodos, JO. Operociones, 12. Closifiooción de ocuerdo con su medido, 14.
Convexos, 14. Llono o de lodos colineoles, 15. Cóncovo o enfronte, 15. Perigonol o de vuelto entero,
15. Complementarios, 15. Suplementarios, 15. Conjugados, 16.
ÚPlTuLO
3 Rectas perpendiculares y paralelas
Perpendiculoridod, 22. Porolelismo, 22. Ángulos opuestos por el vértice, 23. Ángulos oontiguos, 23.
Ángulos odyocentes, 23. Rectos porolelos oortodas por uno recto seoonte, 23.
CAPITULO 4 Triángulos
Cefinición, 30. Closifiooción de los triángulos, 30. Por sus lodos, 30. Por sus ángulos, 30. Rectos y puntos
notobles, 31. Teoremos, 32. Triángulos oongruentes, 37. Teoremas de congruencia, 37. Proporciones, 44.
Teoremas de proporciones, 45. Semejonzo, 46. Propiedades fundomentoles, 46. Teoremas de semejonzo,
47. Teorema de Toles, 49. eoremo de Pitógoras, 54. Noturolezo del triángulo o porlir del teorema de
Pitágoros, 56. Teoremas de semejonzo en triángulos rectángulos, 57.
CAPITULO 5 Cuadriláteros
Cefinición, 62. Closifiooción, 62. eoremo, 63. Propiedodes de los porolelogromos, 63. Demostraciones,
65. Porolelogromos especiales, 66. Propiedades de los trapecios, 68. Propiedades de los trapecios
i5ósceles, 68.
CAP1TuLO 6 Polígonos
Cefinición, 72. Clasifiooción, 72. Por sus lodos, 72. Por sus ángulos, 72. Sementas, 73. Número de
diogonoles, 73. NJmero de diogonoles trozados desde un mismo vérlice, 73. Número de diagonales
l::>loles, 73. Ángulos de un polígono, 75.
ÚPlTuLO
7 Transformaciones
Escalo, 82. Figuras o escolo, 82. Tronsformociones de figuros en el pleno, 84. Trosloción, 84. Roloción, 87.
Simetría axiol, 91. Simetrío central, 96.
XIII
GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA
CAPITULO
8 Grcunferencia y circulo
Circ unfere ncia, 102. Recios notables, 102. Porciones de un círculo, 102. Circunfe re ncia y polígonos,
Áng ulos notables, 103. 7eoremos, 107. Tangente o uno circ unfere ncia, 112. longitud de uno tangente,
Propiedades de los tangentes, 112.
CAPITULO
Posiciones re lativos,
103.
112.
113.
9 Perímetros y superficies
l:efiniciones, 118. Perímetro y á rea de uno figura plano, 118. Fióngubs, 118. Coodril:reros, 119. Po#gonos
¡egubres, 121 . Orcooferencio yóro.ib, 122. Sector ysegmenb drcubr, 122. heo de figuras combinados, 125.
CAPITULO
10 Cuerpos geométricos, áreas y volúme nes
132. Oosificoción, 132. Áng ulo triedro, 132. Oosificoción, 133. Áng ulo poliedro,
134. Oosificoción, 134. Poliedro, 135. Bemenfos, 135. Clasificación, 135. Poliedros regulares, 136.
Clasificación, 136. Desarrollo, 137. Áreo y volumen de un poliedro regular, 137. Prisma, 140 . Clasificación,
140. Área y volumen, 142. Pirá mides, 144. Área y volumen, 145. C uerpos con superficies no planos, 147.
Cilindro circular, 148. Cono circular, 148. Esfera, 151. Figuras esféricos y zonas esféricos, 151. Área de
figuras esféricos y volumen de cuerpos esféricos, 152.
Áng ulo diedro,
CAPITULO
11 Funciones trigonométricas
158. Definiciones, 158. Cofunciones, 159. Rango numérico, 160. Valor, 160.
Signos de los funciones trigonométricos en el plano corlesiono, 162. Tablo de signos, 162. Funciones
trigonométricos poro á ngulos mayores q ue 90º, 164. Funciones trigonométricos de á ng ulos negativos, 166.
\blores numéricos de los funciones trigonométricos circula res, 167.
Funciones trigonométricos,
CAPITULO
12 Funciones trigonométricas para ángulos notables
Oº, 90º, 180º, 270º y 360º, 172. Valor de los
30º, 45º y 60º, 173. Aplicación de los valores trigonométricos
\blor de los funciones trigonométricos de los á ngulos de
funciones trigono métricos de los á ngulos de
ck los ángulos notables, 175.
CAPITULO
13 Representación gráfica de las funciones trigonométricas
180. Gráfico de y= sen x, 180. Gráfico de y = cos x, 181.
GráFico de y= fon x, 181 . Gráfico de y= dg x, 182. GráFico de y= sec x, 182. GráFico de y= ese x, 183.
1 x,
Resumen, 183. Amplitud, periodo y desplozomienfo de fose, 184. Gráficos de y = sen-1 x, y =
1
y= fon- x, 187.
G ráficos de los funciones trigonométricos,
cos-
CAPITULO
14 Identidades y ecuaciones trigonométricas
192. Obtención de los identidades trigonométricos básicos, 192. l:emostrocián
193. O btención de los identidades trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de
á ngulos, 198. Valor de uno función trigonométrico poro lo sumo y lo diferencio de ángulos, 200. Aplicación
de los funciones trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de á ng ulos, 20 l. Funciones trigonométricos del
á ngulo doble, 205. Seno del ángulo doble sen (2a}. 205. Coseno del ángulo doble cos (2a}. 205. Tangente
ckl ángulo doble fon (2a). 206. Funciones trigonomé tricos de lo mitad de un á ng ulo, 207. Seno de lo
Identidades trigonométricos,
de identidades trigonométricos,
mitad de un ángulo: sen( ~} 207. Coseno de lo mitad de un ángulo:
de un ángulo: fon(~)· 207.
cos( ~ } 207. Tangente de lo mitad
Identidades trigonométricos poro tra nsformar un producto en sumo o resto,
2 12.
Demostración de identidades, 214. Identidades po ro tra nsfo rmar sumos o restos de funciones trigonométricos
2 16 . l:emosfroción de identidades, 219. Ecuaciones trigonométricos, 220.
en un producto,
XI V
Contenido
CAPITuLO
15 Triángulos rectángulos
Solución de triángulos redángulos, 226.
16 Triángulos oblicuángulos
Solución de triángulos oblicuángulos, 236. ley de
CAPITuLO
senos, 236. ley de cosenos, 238. ley de tangentes,
240.
ÚPÍlULO
17 Forma trigonométrica de los números complejos
Formo trigonométrico o polar, 250. Operaciones fundamentales, 251.
Solución o los ejercicios, 257
Anexo: Ejercicios preliminares, 285
lOblos de valores de los funciones trigonométricos, 297
XV
,
'
I
CAPÍTULO
1
CONCEPTOS BÁSICOS
~ETREIN,
ªMEDIR")
mo de los matemáticos que se
ocupo de los propiedades del es·
ocio. En su formo más elemen·
tal, lo geometría se ocupo de problemas
métricos como el cálculo del área y dió·
metro de figuras pionas y de lo superfi·
de y volumen de cuerpos sólidos. Otros
campos de lo geometría son lo geometría analítico, geometría descriptivo, topología, geometría de espacios con 4
o más dimensiones, geometría fractal y
geometría no euclídeo.
Los seis libYOs primeYOs de la geometrla
de Euclides
Geometria plana
Romo de lo geometría elemental que es·
ludio los propiedades de superficies y figuras planos, como el triángulo o
el círculo. Esto porte de lo geometría también se conoce como geometría
euclídeo, en honor a l matemático griego Euclides, el primero en estudiarlo
en el siglo IV o .C. Su extenso trotado Los seis libros primeros de lo geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta lo aparición de
los llamados geometrías no Euclídeos en el siglo XIX.
1
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Conceptos básicos
Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos conceptos básicos:
Geometría. Rama ele las matemáticas que estudia las propiedades, las formas y las dimensiones ele figuras y
cuerpos geométricos.
Punto. Según Euclides: "Punto es lo que no tiene partes", para evitar confusiones al dar una definición más
compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un lápiz sobre el papel, tan pequeña que
carece ele dimensión.
linea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma:
B
A
RectaAB
Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden se le llama semirrecta.
e
D Semirrecta
CD
Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes .
•
•e
A
D
B
Segmento CD
Curva. Fs aquella línea que no tiene partes rectas.
~B
A
Arco. Porción ele curva limitada por 2 puntos no coincidentes.
A
Áii
B
ArcoÁB
~
Figura geométrica. Extensión limitada por puntos,
lfnea¡ y superficies.
o
Cuerpo sólido. Fs todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y altura.
Proposición. Enunciado que nos propone algo y que por tanto se puede calificar como falso o verdadero.
CAPÍTULO
1
Conceptos b6sioos
Axioma. Proposición evidente que no requiere demostración.
Ejemplos
Dos puntos diferentes determinan una recta y sólo una.
Sobre cualquier recta hay al menos 2 puntos diferentes.
Postulado. Proposición cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma se admite sin demostración.
Ejemplos
Dos rectas determinan un punto y sólo uno.
Siempre es posible describir una circunferencia de centro y radio dado.
'Thorema. Proposición cuya verdad necesita demostración.
Ejemplos
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
La suma ele los ángulos interiores ele todo triángulo son 180°.
Corolario. Proposición que es consecuencia inmediata ele otra.
Ejemplo
Del postulado de Euclides: "Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta". Se obtiene el
siguiente corolario: "Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si".
Lema. Proposición que sirve para facilitar la demostración ele un teorema.
Ejemplos
Toda linea poligonal convexa es menor que cualquier otra linea envolvente que tenga los mismos extremos.
Un ángulo no nulo y no llano divide al plano en 2 regiones, ele tal suerte que en una y sólo una de las regiones,
2 puntos cualesquiera siempre pueden unirse por un segmento que oo interseca ninguna de las 2 semirrectas que
forman el ángulo.
5
CAPÍTULO
2
ANGULOS
-
SEXAGESIMAL
o LOfU.F.MINTOJ
E
,. '"'"n" ' "•••IO-
-::¡::C-=-·
-! ._.;:¡;; :¡.,;,_.::::E...:=-:;.,.
·~~
·==-....:~
.r=.-....., ...-
-
:~-=-·
··--
..
-----::,
E
s un sistema de numeración posi·
cionol que empleo lo base sesenta .
Tuvo su origen en lo antiguo Babi·
lonio.
Definiciones de ángulos del libro
A d iferencio de lo mayoría de los demás
l.oselementosdeEuclides
sistemas de numeración, e l sexogesimol
no se uso mucho en lo computación general ni en lo lógico, pero sí en lo medición de ángulos y coordenados
geométricos. Lo unidad estándar en sexogesimol es el grado. Uno circun·
ferencio se d ivide en 360 grados. Los d ivisiones sucesivos del grado don
lugar o los minutos de orco ( 1/ 60 de grado) y segundos de orco ( 1/ 60
de minuto).
Quedan vestigios del sistema sexogesimol en lo medición del tiempo. Hoy
24 horas en un día, 60 minutos en uno hora y 60 segundos en un minuto.
Los unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal.
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Definición
Un ángulo es la abertura comprendida entre 2 semirrectas que tienen un punto en común, llamado vértice.
Fl ángulo se representa como LA, L BAC, a, o con letras del alfabeto griego. Si un ángulo se mide en sentido contrario al movimiento de la> manecilla> de un reloj, entonces es positivo, si se mide en el mismo sentido entonces será
negativo.
Medidas
Los ángulos se miden en grados o radianes de acuerdo al sistema.
Sistema sexagesimal
Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360 partes llamadas
grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el nombre de segundos.
1º=60';
1'=60"
Ejemplos
A continuación se dan 3 números en sistema sexagesimal:
a) 45º
b) 21° 36'
e) 135º 28' 32"
Relación de conversión
Es la relación que existe entre los grados, minutos y segundos de un ángulo expresado en sistema sexagesimal.
R>r3600
~~
Grados
Minutos
: : : : - - Entre60___.-/ ...____ Entre60
Segundos
~
- - - - - Entre3 600 - - - - - - -
O: acuerdo con la gráfica, se establecen la> siguientes condiciones de conversión:
e
e
Para convertir de una unidad mayor a una menor se multiplica por 60 o 3 600, según sea el caso.
Para convertir de una unidad menor a una mayor se divide entre 60 o 3 600, según sea el caso.
8
CAPÍTULO
Ángulos
EJEMPLOS,-------------
~ 1
E
.L
w
•••Convierte 19º 47' 23" a grados.
Solución
Los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3 600:
19º 47' 23" = 19º + (
~ J+(3~00
J
= 19º + 0.7833° + 0.0063° = 19.7896°
Por tanto, 19º 47' 23" equivalen a 19.7897º.
2
•••Convierte 32º 12' IS' a minutos.
Solución
Los grados se multiplican por 60 y los segundos se dividen entre 60:
32° 12' 15" =(32)(60)' + 12'
+(~~)' = 1920' + 12' +0.25' = 1932.25'
Por consiguiente 32º 12' IS' equivalen a 1 932.25'.
3
•••Convierte 45.5638° a grados, minutos y segundos.
Solución
la parte decimal de 45.5638° se multiplica por 60 para convertir a minutos:
45.5638° = 45° + (.5638)(60') = 45° 33.828'
la parte decimal de los minutos se multiplica por 60 para obtener los segundos:
45°33.828' = 45° 33' + (.828)(60") = 45° 33'49.68"
EJERCICIO 1
Convíerte los siguíentes ángulos a grados:
l. 40° 10' 15"
2. 61° 42'21"
3. 1° 2' 3"
4. 73°40'40"
5. 9° 9' 9"
6. 98°22'45"
Convíerte los siguíentes ángulos a su equivalente en grados, mínutos y segundos:
7. 40.32°
8. 61.24°
t::)
11. 19.99º
12. 44.01°
9. 18.255°
10. 29.411°
Verffi:a tus nsultados en la sección de soludone1 cOf'ftspondiente ••• •.•• ••••••••• •••.•
9
2
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Sistema cíclico o circular
Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por un arco igual a
la longitud del radio del círculo. Se llama valor natural o valor circular de un ángulo.
~
Oº
Un radián (1 rad) equivale a 57.29º y rr radequivalen a 180°.
Conversión de grados a radianes y de radianes a grados
Sea S un ángulo en sistema sexagesimal (grados) y R en el sistema cíclico (radianes), entonces para convertir:
Se multiplíca el número de grados por el factor
Se multiplíca el número de radianes por el factor
; . y se simplifca, esto es:
1
180º
. I"'
- y se somp
nea, esto es:
1!
.....
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~
~ 1 • • •Convierte 150° a radianes.
E
Solución
.ll.
Se multiplica 150° por el factor ; .
1
R:>r consiguiente, 150° es equivalente a
2
• •Convierte a grados
21!
4
~ 1! rad.
rad.
Solución
180°
Se multiplica por el factor - - y se simplifica al máximo, obteniendo:
1!
2 1!=2 1!(180º)= 7(180º)1! - 7(180º) =315 º
4
4
1!
41!
4
Finalmente,
21! rad equivalen
4
a 315°.
10
CAPÍTULO
Ángulos
3
• • · Convierte 12° 15' 36" a radiane$.
Solución
Se convierte a grados el ángulo:
12° 15' 36" = 12°
J J
+(!~ +(3:0
= 12°
+0.25° +0.01° = 12.26°
La conversión a grados se multiplica por el factor ~ y se simplifica a su mínima expresión:
180°
12.260 (~)
180°
= 12.26ºit = 1226it = 613it rad
180º
18 000
9 000
.
613it
Por tanto, 12° 15' 36" eio eqwvalente a - - rad.
9000
4 • •· Exprei¡a un ángulo 6 que mide 3 radianes en grados, minutos y segundos.
Solución
Para convertir de radiane$ a grados se multiplica por el factor (
3 rad = 3(
n180º)
n180º ) = 171.8873°
La parte decimal se convierte en minutos,
171.8873°=171° + (0.8873)(60') = 171° 53.238'
El nuevo decimal se convierte en segundos, entonces:
171.8873° = 171o53' + (0.238)(60") = 171o53' 14.28"
EJERCICIO 2
•
Transforma a radíanes los sigulenteS ángulos:
e
l. 210°
8. 330°
2. 300°
9. 120°
3. 225°
10. 135°
4. 450°
11. 45.23°
5. 72°
12. 128.30°
6. 100°
13. 150º 36' 40"
7. 30°
14. 420º O' 45"
Verifica tus r..ultados en la .. ccl6n da .00.clonu CO<ft_....nta a
11
-----------==
2
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJ E~CICIO
3
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos:
e
l.
- 11:
2
3
4.
- 11:
4
3
7.
-
11:
10. 4.7124 rad
13. 6.2832 rad
2.
-11:
11
6
5.
111:
8.
-11:
11. 0.1683 rad
14. 0.5 rad
3.
- 11:
3
4
6.
1
-11:
9
9. 1.5708 rad
13
5
1
12
12. 1.1201 rad
Ylriflca tusr..ultaclos en la -cl6n do soluc:lonH oon . .pondionte • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Operaciones
A continuación se presentan las operaciones básicas con ángulos: suma, resta, multiplicación y división.
..
~EMPLOS~~~~~~~~~~~~~--.
...2
a.
1
E
• • •Ffectúa la suma ele los siguientes ángulos: 29º 38' 22"; 18° 47' 52" ; 36° 42' 37''
Solución
L!-
Se acomodan en forma vertical ele acuerdo a su orden:
29º 38'
+ 18° 47'
36° 42'
72:'
52"
37"
83° 127' 111"
l\!ro 111" = 1' 51"
83° 127' 111"
=83° 127' + 1' 51" =83° 128' 51"
y 128' = 2° 08'
83° 128' 51" = 83° + 2° 08' 51" = 85° 08' 51"
R>r tanto, el resultado es: 85° 08' 51".
2
•••Realiza lo que se indica: Resta 24º 42' 18" de 138º 29' 17''
Solución
Se acomodan en forma vertical:
138° 29' 17"
- 24º 42' 18"
Dacio que 42' > 29' y 18'' > 17'', entonces 138° 29' 17'' se transforman en
138° 29' 17'' = 137° 89' 17'' = 137° 88' 77''
Y se realiza la resta,
-
137° 88' 77"
24º 42' 18"
113º 46' 59"
Finalmente, se concluye que el resultado es 113° 46' 59".
12
CAPÍTULO
Ángulos
3
• • •Multiplica 73º 16' 32" por 29.
Solución
73°
X
16'
32"
29
2 117° 464' 928"
FJ resultado que se obtiene se simplifica, al transformar los segundos a minutos:
2 117° 464' 928" = 2 117° 464' + 15' 28" = 2 117° 479' 28''
Y después minutos a grados:
2 117° 479' 28" =2 117° + 7° 59' 28" =2124° 59' 28"
Por tanto, el resultado es: 2 124° 59' 28".
4
• • · Encuentra la novena parte de 165° 48' 29".
Solución
Se dividen los grados entre 9:
18°
91165° 48' 29"
3º
FJ residuo se transforma a minutos y se suma con 48',
18°
48' 29"
91165°
3º=180'
228'
Ahora 228' se divide entre 9 y el residuo se transforma a segundos,
18°
25'
91165º
48'
29"
3° = 180'
228'
29"
3' = 180"
209"
Finalmente, 209" se divide entre 9:
18°
25'
23"
91165º
48' 29"
3º = 180'
228' 29"
3'=180"
209"
2"
13
2
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 4
Efectúa las síguíentes operaciones:
l.
40° 30' 18"
+ 15° 16' 32"
8. 35° 28"
X 25
2.
30"
25º
+15° 12' 45"
9. 25° 35' 25.4"
3.
e
X
15
36° 42' 28"
+ 10° 23' 40"
2° 13' 25''
10. 25º 13' 42''
4.
180°
- 120° 40' 15"
11. 261118° 23'
5.
213° 25' 13"
-105° 17' 25"
12. 8 1125° 30' 25"
6.
90º
- 14° 15' 38''
13. 12 140° 20' 16''
7.
14°30' 15"
X
17
14. 141185° 34' 12"
X
Ylriflca tus ..sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte
9
a-----------=--=
Clasificación de acuerdo con su medida
La magnitud de un ángulo depende ele su abertura comprendida entre los lados y no de la longitud de éstos. De acuer-
do con su magnitud, se clasifican en:
Convexos
Son los que mielen más de Oº y menos de 180º, a su vez se clasifican en:
Agudo. Es aquel que miele más ele Oº y menos ele 90º.
Recto. Es aquel cuya magnitud es ele 90°.
14
CAPÍTULO
Ángulos
Obtuso. F.s aquel que miele más ele 90º y menos ele 180º.
Uano o de lados colineales
Fs el que miele 180º.
180°
Cóncavo o entrante
Fs aquel que miele más ele 180° y menos ele 360°.
Perigonal o de vuelta entera
Fs el que miele 360°.
Complementarios
Son aquellos cuya suma e> igual a un ángulo recto (90°).
La+ Lb =90º
Suplementarios
Son aquellos cuya suma e> igual a dos ángulos rectos (1 80°).
La+Lb=180º
..
15
2
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Conjugados
Son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°).
La+ Lb=360º
• • • D:termina el complemento del ángulo de 38° 40'.
Solución
Por definición, 2 ángulos son complementarios si suman 90º, entonces:
38° 40' +
X
= 90º
X
= 89° 60' - 38° 40'
X
= 51° 20'
pero
90º = 89° 60'
Rlr consiguiente, el complemento de 38° 40' es 51° 20'.
2 • •· D:termina el ángulo que es el triple de su complemento.
Solución
Sea x el complemento, entonces 3x es el ángulo, al aplicar la definición de ángulos complementarios:
Ángulo+ Complemento= 90º
3x+ x=90º
4x=90º
90º
x=4
x= 22.5°
R>r tanto, el ángulo es de 67.5º = 67º 30'.
3
• • •Fncuentrael valor de los ángulos que se muestran en la siguiente figura:
Solución
Los ángulos L AOB, L BOC y L COD son suplementarios, entonces:
LAOB=x - 10°
(r - 10°) + 3x + (2x - 20°) = 180°
LBOC=3x
fu: - 30° = 180°
6x = 210°
L COD = 2x - 20°
X
16
=35°
CAPÍTULO
Ángulos
Entonces:
LAOB = x-10° = 35°-10° = 25°
L BOC = 3x = 3{35°) = 105°
L COD = 2x- 20° = 2(35°)- 20° = 70° - 20° = 50°
4
••· Determina el valor de los ángulos de la siguiente figura:
N
Q
Solución
Fn la ti gura,
LMON=
1
1
2x+20º, LNOP= ¡x + 10º
y LPOQ=
1
Jx
+20º
Los ángulos L MON, LNOP y L POQ forman un ángulo llano, entonces:
1
1
1
- x+20º+ - x + 10º+ - x +20º=180°
2
4
3
Donde x = 120º, ¡x>r consiguiente,
LMON=80º,LNOP=40º y LPOQ=flJº
.
EJERCICIO 5
lndíca sí los pares de ángulos síguíentes son complementarios, suplementarios o conjugados:
l. 37°y 143°
2. 42ºy 48°
3. 135ºy225º
4. 21ºy 339°
5. 132° y228º
6. 34° 48' y 55°12'
7. 22° y 158°
8. 10° y 80°
9. 270° y 90º
10. 179º y 1°
Efectúa lo síguíente:
11. Determina el complemento de 80°.
12. Encuentra el suplemento de 123°.
13. Encuentra el conjugado de 280°.
14. Si el complemento de un ángulo mes 2m, ¿cuál es el valor del ángulo?
15. ¿Cuál es el ángulo cuyo complemento es 4 veces mayor que él?
16. Si el suplemento de un ángulo es 8 veces el ángulo, ¿cuánto vale éste?
17. Un ángulo y su complemento están en la razón 2:3. ¿Cuál es la medida del ángulo?
17
2
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
18. ¿Qué ángulo es igual al doble ele su suplemento?
19. Determina el valor ele los ángulos que se muestran en las siguientes figuras:
e
a)
b)
B
B
o
A
A
e)
d)
B
A
e)
..
A
.
O
fJ
D
//0(
-g--~~~~j---
e
g)
h)
1x + 16º
A
,,,.,,.&z
B
e
Vlrlfk• tus nsultaclos •n 1.e Mec16n de soluciones cornisponclent• .
18
----------~=~
CAPÍTULO
2
Ángulos
- - - - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Los ángulos se encuentran en tocio aquello que tenga intersecciones de líneas, bordes, planos, etcétera. La esquina de
una cuadra, el cruce de los cables de luz, al abrir un libro, la esquina de un cuarto, la abertura formada por las manecillas de un reloj, la unión de una viga y una columna, son algunos ejemplos de ángulos, 6>tos tienen aplicación en la
aviación, la navegación, la topograffa y la trigonometría, entre otros.
e
Ángulo vertical
Sirve para definir el grado de inclinación del alineamiento sobre un terreno. Si se toma como referencia la línea
horizontal, al ángulo vertical se le conoce como pendiente de una línea, el cual es positivo (de elevación) o negativo
(de depresión).
9: Ángulo de elevación
a: Ángulo de depresión
e
Ángulo horizontal
Lo forman 2 líneas rectas situadas en un plano horizontal. El valor del ángulo horizontal se utiliza para definir la
drección de un alineamiento a partir de una línea que se toma como referencia, y por lo regular son los puntos
cardinales: norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).
N
Fn la figura se muestran las direcciones de los
puntos A y B respecto al punto P.
Ilrección de A respecto a P
N25º0 o 065ºN
Ilrección de B respecto a P
ElOºS o S80ºE
1
Un barco sale de un puerto con dirección 040°50'N, mientras que una segunda embarcación sale del mismo muelle
con dirección E24º30'N. ¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos buques?
Solución
Al establecer las direcciones de los dos barcos, se observa que el ángulo 8 que forman es:
N
8 = J 80" - (40° 50'+ 24° 30')
8= 180° -65° 20'
8= J 14° 40'
Por tanto el ángulo que forman mide 114º 40'.
o
E
s
19
2
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2
¿Cuál es el ángulo agudo formado por el horario y el minutero si el reloj marca las 18:20 hr?
Solución
En un reloj de manecillas cuando el minutero recorre una vuelta (360•), el horario sólo avanza 30•, esto significa que el horario avanza la doceava parte de lo
qie recorre el minutero por vuelta, a partir de las 12:00 hr, luego, a las 18:20 hr,
120•
el minutero avanzó 120• y está ubicado en el número 4 mientras que el horario
1
avanzó
(120•) = 10• y está entre las 6 y las 7 horas, por tanto, el ángulo agudo
12
es de 10•.
10•
EJERCICIO 6
• Resuelve los siguientes problemas:
1. Un barco sale de un puerto con dirección norte y una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección
sureste. Determina el ángulo que forman las direcciones de los dos buques.
2. Dos aviones parten de una ciudad con direcciones S32•Ey E s1•N, ¿cuál es el ángulo que forman sus direcciones?
3. El ángulo que forman las direcciones de 2 personas es 125•, Determina los ángulos 6y así la primera persona tiene
drección OfJN, la segunda EaNy fJequivale a los cinco sextos dea.
4. Desde un punto P se observan dos edificios, el primero de ellos tiene una dirección NS• 39'0. Si el ángulo que forman las direcciones de estos edificios es de 144• 39', determina la dirección del segundo edificio si se encuentra en
el plano oeste-sur.
5. ¿Cuál es el ángulo agudo formado por las manecillas del reloj cuando marcan las 14: 15 hr?
6. Determina el número de grados en el ángulo formado por las manecillas del reloj a las 10: 1O hr.
7. Encuentra el número de grados en el ángulo mayor formado por las manecillas del reloj a las 5
¡.
8. ¿A qué hora entre las 12:00 y las 13:00, las manecillas del reloj formarán un ángulo de 165•?
9. ¿Cuántos radianes girará el minutero de un reloj en un día completo?
10. ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj forman un ángulo de 130•7
e:> lllrlflca tus r..ultados en la Mecl6n do soluclonu - - d i ento • ------------~
20
CAPÍTULO
3
RECTAS PERPENDICUlARES Y PARALElAS
HISTÓRICA
o
IC
5t
&
E
1 quinto postulado (axioma
de para lelismo d e Euclides)
causó un trastorno conside·
rabie desde la época de los griegos. Muchos geómetras pensaron
AXIOMA DE PARALELISMO
V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.)
q.¡e tal vez podría deducirse como
Si 2 rectas distintas 1y r. a:>planares cortadas por
leorema a partir d e los restantes
una secante ten puttos distittos, foanan con ella
axiomas o postulados. Euclides
en d semiplano IL 2 ángulos itteriores, de tal
mismo trató de evitarlo mientras
1111llera que la suma de sus medidas sea menor
pudo, pues no lo utilizó en sus
que 180°, entonces las 2 rectas se coitan en algún
demostraciones
sino hasta que ll epunto del semiplano II,.
gó a la proposición 120. Durante
El quitto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un
más de 2 000 años fueron ofre·
enunciado equivaleme, llamado el postulado de
cidas diferentes •demostraciones•
la paralela única de Playfuir, el cual dice: "por un
del postulado, pero cada una se
pumo exterior a una
pasa una paralela a la
= y sólo una".
basaba en una suposición equiva·
lente al mismo. La independencia
del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fue demostrada
la compatib ilidad de los otros geómetras donde el V Postulado se nega·
bao cambiaba par otro. Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen
alguno de los de Euclides, es llamada no euclidiana. La primera de ellas
que se inventó fue la geometría Lobachevsquiana. Gauss ( 1777·1855) en
Alemania, Bolya i ( 1802·1860) en Hungría y Lobachevsky ( 1793·1856)
en Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair ( 1748·1819)
del postulado, considerando 3 pasibilidades: par un punto exterior a una
recta pueden trazarse más de una, únicamente una o ninguna paralela a
la recta .
=
3
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Perpendicularidad
Dos rectas son perpendiculares si, al cortarse, forman 4 ángulos rectos. Para denotar que una recta es perpendicular a
ttra se utiliza el símbolo l..
c
Si
o
A
AB CD,
.L
entonces
LAOC = LCOB = LBOD = LDOA = 90º
B
D
e
Tuorema L Si por un punto exterior a una recta se traza una perpendicular y varias oblicuas, se verifica:
A
~
C
B
D
a) El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menor que cualquier segmento de las
oblicuas.
Si AC .L BD, entonces AC < AB y AC <AD
b) De 2 segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es mayor aquel que dista más.
Si BC <CD, entonces AB <AD
e) Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan al pie de la perpendicular, son iguales.
Si BC =CD, entonces AB =AD
e
Tuorema 2. Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
Paralelismo
Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en común y guardan siempre una misma distancia.
A---------B
D
C
e
Tuorema L Dos rec~ en el plano,
parale~
a una tercera, son paralelas entre sí.
A ---------------- B
C
E
D
F
22
CAPÍTULO
3
Rectos perpendiculares y paralelos
e 'I\!orema 2. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella.
p
......~~~-
e
C~~~~
D
A
B
'Ieorema 3. Si una recta ( 1 es perpendicular a €,, también es perpendicular a tocia paralela a la recta €,.
Ángulos opuestos por el vértice
Son aquellos que tienen el vértice común, y los lacios de uno de los ángulos son la
prolongación de los del otro.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales:
La=Lc y Lb=Ld
Ángulos contiguos
e
º~'
Son aquellos que tienen un lacio y un vértice en común.
L AOB es contiguo a L BOC, entonces:
LAOB + LBOC = LAOC
Ángulos adyacentes
¿__'
Son ángulos contiguos cuyos ángulos no comunes están alineaclos, esto es, suman
180°.
L AOB es aclyacente a L BOC, entonces:
L AOB + LBOC = 180º
A
o
Rectas poralelas cortadas por una recta secante
Dadas l~ rectas,
RR'llrr' y SS' una recta secante, se forman los siguientes ángulos:
s
S'
& tos ángulos reciben los siguientes nombres:
Ángulos alternos internos. Ángulos internos no aclyacentes situados en distinto lacio de la secante; son iguales.
L 3 = L 5;
23
L 4 =L 6
e
3
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Ángulos alternos externos. Ángulos externos no adyacentes situados en distinto lacio de la secante; son iguales.
L 1 = L 1; L 2 = L 8
Ángulos correspondientes. Dos ángulos no adyacentes situados en un mismo lacio de la secante; son iguales.
L 1 = L 5; L 4 = L 8; L 2 = L 6; L 3 = L 7
Ángulos colaterales internos (suplementarios). Dos ángulos internos no adyacentes y situados del mismo lado de
la secante; suman 180°.
L4+ L 5=180º; L3+ L6= 180º
Ángulos colaterales externos (suplementarios). Ángulos externos no adyacentes situados del mismo lacio de la
s:cante; suman 180º.
L 1+L8= 180°; L2+ L1=180º
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.
...
..S!
a..
1
• • ·Si t, 11 t 2 , calcula el valor de los ángulos a, b, e, d, e,f, x, y 2x - 15º, de la siguiente figura:
E
i!-
Solución
Los ángulos x y 2x- 15° son colaterales externos, entonces:
X+ (2x-15") = 180°
3x-15º = 180°
3x= 180°+15°
3x = ¡95•
¡95•
x=-3
x=65•
Los ángulos a y x son ángulos suplementarios:
a+x= 180°
a=l80º-x
a= 180º -65º
a= 115°
Para obtener los valores de los ángulos restantes, únicamente se torna la posición de cada par de ángulos:
L d =La
Lc=La
L e=L x
L f = Le
por ser correspondientes, entonces L d = 115°
por ser opuestos por el vértice, en consecuencia Le = 115°
por ser correspondientes, se determina que Le = 65°
por ser opuestos por el vértice, por tanto L f = 65 •
Luego, los valores de los ángulos son:
La=l15º
Ld=ll5º
Le= 115°
L2x-15º = 115°
Lx=65º
Lb=65º
Le= 65°
Lf =65º
24
CAPÍTULO
Rectos perpendiculares y paralelos
2
• • •Si
t 111t,. obtén los valores de x y de yen la siguiente figura:
Solución
Los ángulos 110° y 2y son suplementarios:
2y + 110° = 180°
y=
donde
180°-110 °
2
70°
--=35°
2
Los ángulos x - y y 110º son alternos internos, entonces,
x - y = llOº
donde
x -35°=110°
X=
110° + 35°
X=
145°
Finalmente, las soluciones son:
x= 145°; y= 35°
.
EJERCICIO 7
Calcula el valor de cada uno de los ángulos que se indican en las figuras siguíentes:
l.
2. Si
11 L 2
B
A
3. Si L,
L,
11
L,
4.
a
D
e
A
B
L1
d
2x
25
3
3
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
5. Si L1 11 L,. encuentra el valor
el: los ángulos
6. Si L,
11
L,. halla el valor de x
7. Si L, 11 L,. determina el valor ele x, a y b
8. En la siguiente figura: A
11 B,
C
11
D y el L 3 = 110º. Determina la medida ele los ángulos L 4, L 7, L 1, L 1O,
Ll3yL16
e
4
~~-<--1-1--~~~---+-+-;>--~-A
8
15
11
En los ejercidos del 9 al 11 determina el valor de x y y
9. Si AB 11 CD
10. Si AB 11 CD
12. Si AB 11 CD, encuentra la medida
del ángulo R
26
CAPÍTULO
Rectos perpendiculares y paralelos
En las síguientes f¡guras encuentra la medida de los ángulos que se forman:
13. Si L. 11 L,
14. Si L.
11 L,
15. Si L.
16. Si L.
11 L,
11
L,
Resuelve los síguientes e_íercicíos:
17. Con ba5e en el croquis que se muestra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
Av. Cuauhtémoc
Av. Diagonal de
San Antonio
Av. Xola
José Maria Vértiz
a)
La calle de Uxmal es paralela a la ele Tajín
b)
La avenida Xola es perpendicular a la calle ele Xochicalco
e)
La avenida Diagonal de San Antonio es paralela a la avenida Xola
d)
El ángulo que forman la calle Petén y la avenida Diagonal de San Antonio es de 35° 20'
e)
Las avenidas Xola y José María Vértiz son paralelas
f)
Las avenidas Cuauhtémoc y José María Vértiz son paralelas
g)
Las avenidas Diagonal de San Antonio y José María Vértiz son perpendiculares
e:> V.riflca tus ,...,atados en la sección de soludotlos con..ponchnte • -----------~
27
3
CAPÍTULO
4
TRIÁNGULOS
P
hnagen de Pitágoras obtenida del
Diccionario de Autores, perteneciente a la obra 8/ustrium lmagi·
nes de Ful vio Orsini, publicada en
IS70.
itógoras (c. 582-c. 500 a C.), filósofo
y matemático griego, cuyas doctrinas
influyeron mucho en Platón. Nacido
en la isla de Somos, Pítógoras fue instruido en
las enseñanzas de los primeros filósofos jonios: Tales de M ileto, Anaximandro y Anaxí·
menes. Se dice que Pítógoras fue condenado
a exiliarse de Somos por su aversión a la
tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a .C. se
instaló en Crotona, una colonia gñega a l sur
de Ita lia , donde fundó un movimiento con
propósitos relig iosos, políticos y filosóficos,
conocido como pitagorismo.
Teoria de los números
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóri·
cos se encuentran sus estudios de los números pores e impores, y de los
números primos y de los cuadrados, esencia les en la teoría de los números. Desde e l punto de vista aritmético cultivaron el concepto de número,
que ll egó a ser poro e llos el pñncipio crucial de toda proporción, orden y
armonía en el universo. A pomr de estos estudios establecieron una base
óentífica poro las matemáticas. En geometría el gran descubñmiento de la
escuela fue e l teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitó·
goras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a
la suma de los cuadrados de los otros 2 lados.
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Defin ición
Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.
l¡
A, B y C: vértices
AB, BC y AC: lacios
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lacios o la magnitud de sus ángulos.
Por sus lados
Triángulo equilátero
Sus lacios son iguales
'Iriángulo isósceles
llene 2 laclos iguales
B
B
6
A
'Iriángulo escaleno
Sus lacios son diferentes
6
A
C
AB = AC = BC
B
C
AB = BC" AC
AB " BC "AC
Por sus ángulos
Triángulo rectángulo
n ene un ángulo recto
'Iriángulo acutángulo
Sus 3 ángulos son agudos
'Iriángulo obtusángulo
Fs el que tiene un ángulo obtuso
B
e
B
LA = 90º
D
A
B
LA <90º, LB <90º y L C <90º
30
e
C
LA>90º
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Rectas
y puntos
notables
Son rectas y puntos con características especiales dentro de un triángulo y son:
e
Altura. Fs el segmento perpendicular tmzado desde un vértice
al lado opuesto.
O: Ortocen tro
Ortocentro. Se define así al punto donde se intersecan las alturas.
e
Mediana. Así se denomina al segmento que une un vértice
con el punto medio del lado opuesto.
/
ot _.,.
,.. .,....
I
'
¡
Baricentro. Fs el punto donde se intersecan las medianas.
A
PmBC
....'é:: ....
O:Baricentro
'
B
PmAB
e
Bisectm. Recta que divide en 2 ángulos iguales a un ángulo
interior ele un triángulo.
O: lncentro
lncentro. Fs el punto donde se intersecan las bisectrices.
Mediatriz. Recta perpendicular al lado de un triángulo y
que pasa por el punto medio de este mismo lado.
e
Circuncentro. Fs el punto donde se intersecan
las mediatrices.
,_ ,
AL-----..,...:.J~~---~B
/
/ Pml AB ' ,
/
1
1
31
'
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Teoremas
A continuación se mencionan y demuestran algunos teoremas importantes sobre triángulos.
e
Tuorema L La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A
LA+ LB+ LC = 180°
Demostración: Por ángulos suplementarios,
L 1+LA+L2=180°
La recta que pasa por el vértice A es paralela a BC y por ángulos alternos internos entre paralelas:
Ll=LB;L2=LC
Al sustituir en L 1 + LA+ L 2 =
180~
se obtiene:
LB+LA +LC= 180°
e
Tuorema 2. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los 2 interiores no adyacentes a él.
L M= LB+LC
LP = LA+LB
LN = LA+LC
A
B
Demostración: En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180°.
LB+LA+LC=180º
Los ángulos A y M son suplementarios:
LA+ L M= 1800
Al igualar:
LB+LA+LC=LA+LM
LB+LC=LA - LA+LM
LB+LC=LM
Rita L N y L P s: reali2'.a el mismo procedimiento.
32
CAPÍTULO
4
Trióngulos
e
'I\!orema 3. UI suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360".
L M + L N + L P = 360°
Demostración: Los ángulos M, P y N son ángulos exteriores, entonces al aplicar el teorema 2.
+
LM=LB+LC
LP=LA+LB
LN=LA+LC
L M + L N + L P =2L A + 2L B + 2L C
LM+LN+LP=2(LA+LB+Lq
L M + L N + L P = 2(180°) = 360°
Por tanto, L M + L N + L P = 360°
e
Thorema 4. En tocio triángulo la longitud del segmento que une
los puntos medios de dos lacios es pamlela e igual a un medio de
la longitud del lacio restante.
e
A
e
'I\!orema S. Úl suma de dos lacios cualesquiera de un triángulo
es mayor que el lacio restante, mientras que su diferencia es
menor.
6
DEllAB y
B
1-
DE= - AB
2
e
A6BAB<AC+BC
e
e
Thorema 6. Si 2 lacios de un triángulo son distintos, al mayor
lacio se opone mayor ángulo.
Thorema 7. Rita 2 ángulos distintos de un triángulo, a mayor
ángulo se opone mayor lado.
e
,6.
6
e
A
33
B
Si BC > AC
entonces
LA>LB
Si LA>LB
entonces
BC > AC
4
CAPÍTULO
GfoNmíA Y TOOONONf'TlllA
EJEMPl.os~~~~~~~~~~~~~----e
"'o l • • Calcula el valor de los llngulos del siguiente triángulo:
o..
l
Solución
Por definición, los ángulos interiores de un triángulo suman 1800
x+ 2.r+ 3x = 180°
donde
fu,= 180°
180°
x= --=30º
6
Si x = 30°, entonces:
L A =x = 30º, L C= 2x = 2(30°) = 60° y LB= 3x= 3(30°) = 90°
l\:Jr consiguiente: L A
2
=30°, L C =60° y L B = 90º
• •Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo:
Solución
l\:Jr ángulos exteriores:
L e+ 53º = 135º
donde
L C= 135° -53° = 82°
l\:Jr ángulos suplemenlarios,
L B+ 135º= 180º
LB= 180° -135° = 45°
L A+53º= 180°
LA= 180° -53° = 127°
L C+L D=l80º
L D = 180° - L C= 180° -82° =98°
Por tanto, L A = 127º, L B = 45°, L C = 82º y L D = 98º
34
CAPÍTULO
4
Trióngulos
3
••· Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo:
Solución
La suma de los ángulos interiores es 180°
2x+ X+ (2x-5") = 180°
5x-5º = 180°
1&5º
x= - - = 37º
5
Por ser ángulos suplementarios:
LA+x= 180°
LA= 180°-x = 180°-37º= 143°
LB+2x-5º=180°
LB= 180°-2x + 5° = 180°-74°+ 5° = 111°
L C + 2x = 180°
LC= 180º-2x= 180°-74º=106°
Por consiguiente:
LA= 143°
Lx= 37°
4
LB=lllº
L 2x-5º=69º
L C= 106°
L 2x=74º
•••La medida de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a 3 nómeros pares consecutivos, ¿cuál es la medida
de cada ángulo?
Solución
Sean los ángulos 2x, 2x + 2°, 2x+ 4°, si aplicas el teorema 1 de los triángulos:
2x+2x+2º +2x+4º = 180°
& + 6°=180°
&= 174°
X
Por tanto, el valor de cada uno de los ángulos es:
58°, 60° y62º
35
=29°
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 8
Resuelve los siguíentes problemas:
1. Calcula el valor ele los ángulos exteriores del siguiente
triángulo:
2. Uno de los ángulos agudos ele un triángulo rectángulo
es 8 veces el otro. ¿Cuánto vale cada ángulo?
3. En un triángulo isósceles, un ángulo ele la base es el
cuádruplo del ángulo diferente. ¿Cuánto mide cada
ángulo?
4. Uno de los ángulos interiores de un triángulo miele 84°
y la diferencia ele los otros 2es ele 14°. ¿Cuánto mielen
los ángulos restantes?
A
B
5. Encuentra los ángulos interiores cielos siguientes triángulos:
6. Determina los valores de {3 y 8. Si AC biseca al ángulo
DCBy DC IAB
112°
7. Determina el valor de los ángulos interiores del triángulo ABC.
8. En la siguiente figura el lado AC es bisectriz del ángulo
L BAD. Determina los ángulos interiores ele los t;. ABC y
ACD sabiendo que L BAC y+ 8~ L CAD= x + 13°,
10
LABC=3x-6ºyLACD= - y +7º
3
=
A
B
e
-..rlftca tus NSUltac:los en
la MCdón de soluciones COfft5piOnclente •
36
~. ,.
C
D
-----------~
E
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Triángulos congruentes
Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño.
Si 2 triángulos son congruentes entonces:
a) Sus lacios homólogos son iguales.
ó) Sus ángulos homólogos son iguales.
A'
A
e
B
2
C'
2
Los triángulos ABC y A 'B'C' son congruentes, porque tienen iguales tanto sus lados como sus ángula>, es decir,
existe igualdad entre los 3 pares de lacios y los 3 pares de ángulos.
Esto se representa á ABC: á A 'B'C' y se lee: "El triángulo ABCes congruente con el triángulo A'B'C' ".
Teoremas de congruencia
e
'Ieorema I (lado, lado, lado). Dos triángulos son congruentes si tienen sus lacios iguales.
L L
E
F
E'
F'
DE= D' E', EF=E F' y DF=D' F'
e
'Ieorema U (ángulo, lado, ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos yel lado adyacente a ellos
respectivamente iguales.
]'
J H'
H
LH=LH', HJ = H'J' y LJ=LJ'
e
'Ieorema m (lado, ángulo, lado). Dos triángulos son congruentes si 2 lados yel ángulo comprendido entre ellos son
respectivamente iguales a sus homólogos del otro.
K
K'
66
L
M
L'
M'
KL=K'U, LL=LL' y LM=L'M'
37
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
• ••Fn la siguiente figura MOllPN. Determina si los siguientes triángulos son congruentes y encuentra los valores de
xy y.
N
Solución
Se construye una tabla en la que se dan las afirmaciones y las razones que nos lleven a la demostración que se pide.
1.
1. Datos
2. Datos
3. Por ser lado común a los triángulos MON y PNO
4. Por el teorema: lado, ángulo, lado
S. los ángulos homólogos de triángulos congruentes son
íguales
6. En el triángulo OMN:
MO•PN
2. L MON• L PNO
3. ON• NO
4.
a MON :
.ó. PNO
S. y•SSº
L MON+ L ONM+ L NM0• 180"
76º + x + ss•. 180"
x • 180"- 76º -ss• - "9°
EJERCICIO 9
En cada uno de los síguientes casos indica por qué son congruentes los triángulos y determina los valores de x y y.
2. E
1.
J
3. Si NR =QO
o
M
p
N
e
\flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • . •• • • • .. .. . . • . . . . . •..
38
CAPÍTULO
Trióngulos
Aplicación de los teoremas de congruencia
Dacios dos triánguloo, establece loo criterioo por loo que son congruentes.
EJEMPLOS,------------~ 1 • • · Si ABIJDF, ACIJEF y CB=DE, demostrar que t!. ABC=
ti. FDE
E
i!-
~
\:
C
E
F
Solución
Demostraci6n:
1. L C : L E
2. CB
: DE
3. L B :LD
4. 1!. ABC : 1!. FDE
2
1. los lados AC y EF son paralelos y CE es la recta
secante, por tanto. los ángulos C y E son alternos
internos
2 Datos
l Los lados AB y DFson paralelos y CEes la recta secante,
en c.onsecuencía, los ángulos B y O son alternos íntemos
4. Por el teorema: ángulo, lado, ángulo
• • •Si AB es bisectriz de L CAD y AC ;;, AD. Demuestra que BE es billectriz de L CBD.
A
e
E
Solución
1. AC : JlD
2. L CAB :L DAB
3. AB : AB
4. I!. CAB : I!. DAB
5. L CBA : L OBA
1. Datos
2 Definición de bisectriz
3 Por ser lado c.omún a los triángulos CAB y DAB
4 Por el teorema: lado, ángulo, lado
5 los ángulos homólogos en triángulos congruentes son
iguales
6. L CBE : L DBE
7.
BE es bisectriz del
6. L EBA• L ABE --+LCBA+ L CBE• L DBA+ L DBE,
peroL CBA • L DBA. entonces L CBE • L DBE
7. Definición de bisectriz:
ángulo L CBD
L CBE• L DBE
39
4
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
3
--
• • •Si L DCB = 111° y DB l.AC , demuestra que los triángulos DBC y ACB son congruentes y determina los valores
dex yy.
A
Solución
1.
2.
3.
4.
LCEB•90º
L DBC•45°
L DCB• 111°
LECB•45°
1.
2.
3.
4.
Datos
Datos
Datos
En el triángulo EBC:
L CEB+ L EBC+ L ECB •100°,
9QO + 45°+ LECB • 100°
L ECB • 100°-135º
L ECB • 45°
5. L AEC • 100°
6. L AEB • 9QO
7. L ABE•66º
8. LCBA• 111º
9. LDBC:LACB
10. CB: BC
11. L DCB : L ABC
12. a DBC: a ACB
13. x• 12, y• 24°
4
••Fn la figura,
=
=
0Q PQ , (;Ji
Demuestra que OU PT.
5. Por ser ángulo llano
6. L AEC• L CEB+ L AEB
100° • 90° + L AEB
90º• L AEB
7. En el triángulo ABE:
L AEB+ L EAB+ L ABE• 100°
<;()• + 24°+ L ABE• 100°
L ABE• 100°-114°
L ABE• 66º
8. LCBA•LCBE+ LABE
L CBA• 45°+ 66º
L CBA• 111°
9. Por las aflnnacíones 2 y 4, sí L ACB • L ECB
10. Por ser lado común a los tríángulos DBC y ACB
11. Por las aflnnacíones 3 y 8, sí L ABC • L CBA
12. Por el teorema: lado, ángulo, lado
13. los lados y ángulos homólogos de tríángulos congruentes
son íguales
=QR , U es el punto medio de QS, Tes el punto medio de QR , L OQR =L PQS.
p
o
40
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Solución
Para comprobar que OU
=PT, es necesario demostrar que los triángulos TQP y UQO son congruentes, entonces:
1. 05 : CR
2.
1. Datos
ar -: ou
2 Los puntos Uy T divíden en 2 segmentos
iguales a los lados OS y QR
3. L OOR: LPQS
l Datos
4. LCúR-: LOOS+ LSOR
4. Ángulos contiguos
5. L POS-: ¿ POR+ L ROS
S. Ángulos contiguos
6. L OOS-: ¿ POR
6. De 3 se tiene que: L OQR -: L POS, entonces:
L OQS + L SQR : L PQR+ L RQS, pero
L SOR -: L ROS, por tanto:L OQS -: L POR
.
7. CO -: PQ
7. Datos
8. 6 TOP : 6 UOO
8. Por el teorema: lado, ángulo, lado
9. aJ : PT
9. Los lados homólogos en triángulos congruentes
son iguales
EJERCICIO 10
Demuestra cada uno de los siguientes e_íercicios:
l. En la figura, los puntos P. Q y R son colineales, S, Q y T son colineales y U. Q y V son colineales. Si
SQ E QT
y
UQ E QV , demuestra que á PUQ E á RVQ
p
S
U
T
>K
V
R
2. En la tiguraMED, con AE:DE y AB:CD. Demuestra queL CBE: L BCE
E
3. En la figura, L CDH E L CEH, FH E GH , DH E EH , AC E BC y DC E EC. Demuestra queá ADG E á BEF
e
41
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
4. En la figura, L ABC;;; L ACB; BF;;; CF y L BFD;;; L CFE. Demuestra que BE;;; CD
A
5. En la figura, AD s BC , AC s BD, AE s BF y AG s BH . Demuestra que EG s FH
e
D
6. Enlafigura, PS:QT, RS:RT. Demuestraque PT:QS
R
p
Q
7. EolafigurasetieneeláABCcoo DF .LAC, EF .LBC, AD:BE y DF:EF.DemuestraqueáABCesisósceles.
e
8. De esta figura realiza lo que se indica.
R
p
a) EneláPQR, PR :QR
e
y L7
= L3,demuestraque RS
s RT
ó) En el á PQR, L RPQ;;; L RQP y L 6;;; L 4, comprueba que PS ;;; QT
Elt• ejercicio no 1ion• ooluclonu .. &al del libro, por ... clemostreclonu. ••• •••• •••••• •.•• • • ••
42
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Relación entre ángulos y lados homólogos de dos triángulos congruentes
Sean los triángulos congruentes ABCy A'B'C':
A
e
B
e·
B'
Entonces se verifica que sus lacios y ángulos homólogos son iguales:
LA=LA',LB=LB',LC=LC', AB
= A'B',
BC
= B'C'
yAC = A'C'
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--
...~
1
••· Determina los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes:
E
i!-
Solución
Dado que los triángulos son congruentes, sólo basta con igualar los ángulos y lacios homólogos para determinar los
valores tanto de xcomo de y, entonces:
X
3y + 15° es homólogo a 48º y ''.x + 4" es homólogo a " - + 6"
2
Paray
3y+ 15° =48°
3y = 48° -15°
--+
--+
3y= 33•
y= 11•
Parax
!
2
+6=x+4
--+
6-4=x- ~
2
--+
2=
!
2
x=4
En consecuencia, los valores de x y y son: 4 y 11•
43
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
11
En las síguientes figuras los triángulos 1y 11 son congruentes. Determína el valor de las Incógnitas.
B
l.
D
D
A
e
E
Si AB = 2y-5, BC =5x+ 10
AD =x+30, EC=3x
3.
4.
e
B
D
x+3
A
D
2y
B
A
e
5.
B
e
e:> Ytriflca
t\lt ,...,lt.dos en
la -cl6n de solucionu oon..,,pocu:llont• •• ••••• •••••••••• ••••
Proporciones
La razón es la comparación ele dos cantidades.
a
b
r=-
Una proporción es una igualdad ele 2 razones.
a
e
- =b d
Y se lee: aes a b como e es a d.
44
o
a:b=c:d
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Teoremas de proporciones
e
Tuorema l. En tocia proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Si a:b = c :d, entonces ad= be
e Thorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción
cierta.
Si a:b = c:d, entonces a:c = b:d
e
Tuorema 3. En una proporción pueden invertiJSe las razones.
Si a:b = c:d, entonces b:a = d:c
~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-..
~
...2
~
1
E
X
3
• • •Encuentra el valor de x en la proporción - = 20 5
Solución
&!-
Se despeja la incógnita x,
-20X =-53
Por consiguiente, x = 12
2
• • •Determina el valor dex en la proporción
x= 3(20) = 60 =12
donde
5
5
~=~
X
5
Solución
Se despeja la incógnita:
3
X
15
2
5
3(5)
x= - -
donde
2
= -152
Fioalme nte:x= -
2
3
• •Determina el valor de x en la proporción x: 2x -3 = 3: 5
Solución
Se establece en forma de cociente la proporción:
3
X
--=2x-3 5
Ahora de la igualdad se realiza un producto cruzado y se resuelve para x:
5x= 3(2x - 3)
5x=6x - 9
5x - 6x= - 9
- x= - 9
x=9
De acuerdo con lo anterior, x = 9
4
• • •Determina el valordexenlasiguiente proporción
32
X
=~
2
Solución
Se realiza un producto cruzado y se resuelve para x,
32 X
-=donde
X
2
x(x) = (2) (32)
x2= 64
X=
±M
x= ± 8
45
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
12
Precisa el valor de x en las siguíentes proporciones:
l.
2.
3.
4.
5.
x:4=6:8
3:5=x:12
3:x=x:27
X; 5 = 2x; (X+ 3)
(x-2):4=7:(x+2)
e -.rfflc.
6. (2x + 8): (x + 2) = (2x + 5): (x + 1)
7. X: 2y = 18y : X
8. (x + 4): 3 3: (x-4)
9. (x-1) :3 5: (x+l)
JO. 2x:(x+7) =3:5
=
=
tul NSUltados •n la MCC'6n de soluckHtes cornsportdliente • • • • • • • • • • • • • • •
Semejanza
Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.
Lados homólogos. Son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales.
a con a', b ron b', e oon e'
e
b
C'
A
b'
A'
Para indicar que 2 triángulos son semejantes se escribe ti. ABC - ti. A'B'C', donde el símbolo ( - ) se lee: es semejante.
Propiedades fundamentales
l. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales.
LA
= LA', L B =L B' y L
C =L C'
2. Dos triángulos son semejantes si la razón de cada par de lados homólogos es constante, es decir, si sus lados
son respectivamente proporcionales.
a b e
-=-=a' b' e'
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.
~ l ••· SitJ.ABC-1!.A'B'C',encuentraelvalordebyc.
E
B
.L
:·~5
9
C' U
A'
4
b
Solución
La proporcionalidad entre los lados se establece como
2.3 = !!.4 = ~5 , de la cual se obtiene:
e 9
- =5 3
-+
9(5)
c= - - =15
3
b
4
-+
b=
9
3
46
4 <9) = 12
3
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Teoremas de semejanza
e
Tuorema l. Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos.
B
Si L C=L C' y LA= L A'entonces,.6 ABC - .dA'B'C'
e
Tuorema 2 . Dos triángulos son semejantes si sus 3 lacios son proporcionales.
B
B'~c'
a'~
e
A
b
C'
b'
A'
Si
!!.. =!.=.E.. entonces,llABC-llA'B'C'
e
Tuorema 3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que los forman son proporcionales.
a'
b'
e'
H
6
G•
h
Si L K = L K'y
.K..=.!!. ,entonces ll GHK g'
h'
ll G'H'K'
h'
~EMPLOS.-~~~~~~~~~~~____.,.
S l • • •Los siguientes triángulos son semejantes, determina la longitud del lado a en el triángulo a ABC
~
e
i!-
B
A
Solución
Se establece la proporción entre los lados homólogos:
Se sustituyen los valores respectivos y se despeja para a,
a 24
-=Por tanto, el valor de a = 16
4
6
47
a
e
- =a' e'
donde
4(24)
a= - - = 16
6
K'
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2 • •· Fncuentra la longitud de los lados b' y e:
e
··~
B
e
C'
a' =~
A
B'
~
c'=6
A'
Solución
Fn los triángulos LA= LA', L C = L C' entonces, t:.ABC - 11A'B'C' por lo que se establece la proporcionalidad
entre los lados homólogos.
12 24 e
- =- = 4 b' 6
~ esta relación se obtiene:
12
24
4
b'
b'= (4)(24) =8
12
e
4 6
Entonoes se deduce que, b ' = 8 y e = 18
e= (12)(6) = 18
12
- =-
EJ E~CICIO
4
13
En cada uno de los síguientes ejercicios se dan tríángulos semejantes y las medídas de alguno de sus lados. Encuentra
las medídas de los lados restantes y los valores de las íncógnítas.
l.
4.
8
6
12
a'
2.
5.
15
~
~12
6.
3.
8
20
e
10
6~
~1
'lllriflca tuu ..ultados • n la sección de &oluclonu correspondiente ••• •• • •• ••••• •••••••••
.48
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Teorema de Tales
Cuando en un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lacios, el triángulo que se forma es semejante al primero.
e
Si A'B'jjAB,entonces
11ABC - 11 A'B'C'
EJEMPLOS·-------------
S 1 •••Fn el siguiente triángulo determina el valor dex, si DE 11 BC
o.
E
;!-
Solución
Por semejanza de triángulos, la proporcionalidad se establece como:
12
- =-14
x+12 42
Se realiza un producto cruzado y se resuelve la ecuación para x:
=
(12)(42) (14)(x+ 12)
504 = 14x + 168
504- 168 14x
=
Por tanto x =24
A
49
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 14
Calcula el valor de x en las síguientes figuras:
t. Si RTllQS
2. Si QRllSP
T
Q
R
3.
4.
12
5. Si TPllRS
6. Si TWllVR
7. Si DEllCB
8. Si OTllRQ
e
Q
A
R
9. Si RSl!OP
10. Si EGl!DH
T
e
Ylriflca tusr..ultaclosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a
50
----------~
CAPÍTULO
4
Trióngulos
- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Para encontrar la longitud ele la base ele un cerro, se construyó una pareja de triángulos rectángulos semejantes como
se muestra en la figura, en la cual PA
=180m,
=150 m y
CD
=
PC 50m. ¿Cuánto mide la longitud del cerro?
Solución
Por semejanza de triángulos:
AB
CD
PA
PC
AB
180
150
50
===
Se sustituyen los valores dados,
Donde,
AB= 150(180) = 27000 = 540
50
Por tanto, AB
2
50
p
=540 m
¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16 m, al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de
estatura proyecta una sombra de 1.20 m?
A
l
''
H
1
'
'
c
''
A'
TL
'
h
1
B
s
De acuerdo con el problema, la relación entre los ángulos es la siguiente:
L CAB = L C'A'B' y L ABC = L A'B'C'
Por tanto,~ ABC- ~ A'B'C y la proporcionalidad se establece como:
Donde
h
S
h
s
= l.80m, S= 16 mys =l.20m
Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:
H
16
-1.80
=-1.20
Entonces, se resuelve para H:
H
=(16)(1 .80) = 28.8 =24 m
1.20
Finalmente, resulta que la altura del poste es de 24 m.
51
''
C' ...,_S-t
Solución
H
'
1.20
B'
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
3
A cierta hora del día un edificio de flJ ft de altura proyecta una sombra de 42 ft. ¿Cuál es la longitud de la sombra
que proyecta un semáforo de 10 ft de altura a la misma hora?
¡
00(
A
000
000
000
00 0
000
000
000
000
l
10ft
e
E
B
42ft
Solución
~la
figura,
L C4.B = L EDB, por ser ángulos correspondientes.
L ABC = L DBE,
por ser ángulo común.
Rir tanto, los triángulos son semejantes:
flABC - 6. DBE
Y la proporcionalidad se establece como:
AC
DE
CB
EB
===
Donde,
AC =fl:Jft, DE= IOfty CB =42ft
Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:
60 42
- ==
10 EB
Y al despejar EB,
-
42(10)
EB= - - =7ft
60
Rir consiguiente, la sombra que proyecta el semáforo es de 7 ft.
52
CAPÍTULO
Trióngulos
.
EJERCICIO 15
Resuelve los siguíentes problemas:
l. Para encontrar la anchura AB de un río se construyeron 2
triángulos semejantes, como se muestra en la figura. Y al
medirse encontró que: AC =17 m, CD= 5 m, DE= 20 m.
¿Cuál es la anchura del río?
B
2. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes
triángulos semejantes, en los cuales se tiene que: AC = 215 m,
A' C
=50 m, A' B' =112 m. ¿Cuál es la longitud del lago?
3. Para medir laanchuradeunríoseforman los siguientes triángulos, en los que: AO 32 m, CD 30 m, OD
6 m.
Encuentra AB.
=
=
=
c
4. Un árbol proyecta una sombra de 5 mala misma hora en que
un poste de 2 m de altura, muy próximo al árbol, proyecta una
2
sombra de 3 m. Determina la altura hdel árbol, si tanto éste
como el poste son perpendiculares al terreno.
I~
B
5. Un árbol de 14 m dealtura próximo a una torre, proyecta una
sombra de 24 m a la misma hora. Determina:
a) La altura de la torre, si su sombra es de 48 m
b) La sombra que refleja la torre, si su altura es de 70 m
5m
c
,... ,...
.... ....
.... ....
.... ....
....
t-=-=-= 24m - - - -::.....
e
Verifica tul r..ult..io. en fa H«f6n de soludonH con'H.pondlent• •
53
-----------~
4
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
e: hipotenusa
a, b: ca te tos
c2=á1+b2
A
Demostraci6n: Se traza la altura sobre la hipotenusa:
A
Los triángulos Ji ABC -
a CBD por ser L
e
ABC = L CBD
a
-==
a BD
y LCAB = L
DCB entonces,
c·BD= a 2
donde
Los triángulos Ji ABC - Ji ACD por ser L CAB = L DAC y L ABC = L ACD entonces,
e b
-==
b AD
donde
-
Al sumar e· BD =a 2 y e· AD= b2. se obtiene,
-
-
2
2
e· BD+c· AD= a +b
e (BD + AD)= a 2+b2
l\!ro BD + AD
=e, por tanto:
c2 =a2+b2
54
2
AD=b
C·
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Ejemplo
Determina el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra, según los datos proporcionados en cada uno de los
siguientes incisos:
a) b = 12, a= 9
b) a=3,b=6
e) a=3,b=1
~a
b
Soluciones
a) a= 12, b =9
é2=a2+b2
b)
a= 3, b =6
e)
a=3,b=1
c2=a2+b2
c2 = (3)2 + (6)2
c2 =(3)2 + (7)2
é2 = 81+144
c2
c2 =9+49
é2 = 225
c2 = 45
c2 =58
e= Es= 15
c=.f45=3J5
e=
é2 = (9)2 +
(12)2
=9+36
./58
Obten ción de los catetos. Fn todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los
cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto.
Ejemplo
Utiliza la figura para determinar el cateto que se pide en cada inciso:
a) a = 24, e = 25
b)b=6,c=8
e) a=4J3,c=8
e
Soluciones
e) a= 4 J3, e= 8
a) a = 24, e = 25
b)b=6,c=8
b2=é2-a2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
b2 = (25)2 - (24)2
a2 = (8)2- (6)2
b2 = (8)2 - (4J3)'
b2 = 625-576
a2=64-36
b2=64-48
b2 = 49
a2 =28
b2 = 16
b= J49 =7
a= .J2s = 2..J7
b= Jf6 =4
55
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitógoras
Sea el triángulo ABC, cuyo lacio mayor es el lacio e, éste será un triángulo: rectángulo, acutángulo u obtusángulo, si al
aplicar el teorema de Pitágoras se cumple que:
=
l. Si c2 a2 + b 2 , el triángulo es rectángulo
2. Si c2
* a2 + b
2
c2 < a2 + b2, el triángulo es acutángulo
, entonces
{ c2 > a2 + b2, el triángulo es obtusángulo
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-4
~ 1
E
• • •Sea un triángulo cuyos lacios miden 3, 4 y 5 unidades. Comprueba si es un triángulo rectángulo.
Solución
i!-
Se toma el valor mayor como la hipotenusa:
(5)2 = (3)2 + (4)2
25
=9 + 16
25 = 25
R>r tanto, el triángulo es rectángulo.
2
•••Sea el triángulo cuyos lacios miden 7, 9 y 12 unidades. Determina qué tipo de triángulo es:
Solución
Se toma el mayor de los lacios como e, entonces:
(12)2 = (9)2 + (7)2
144 = 81 + 49
144" 130
Dacio que 144 > 130, el triángulo es obtusángulo.
3
•· O:termina la naturaleza de un triángulo cuyos lacios miden 6, 4 y 5 unidades.
Solución
Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene:
(6)2 = (4)2 + (5)2
36 = 16 + 25
Pues to que 36 < 41, el triángulo es acutángulo.
56
36•41
CAPÍTULO
4
Trióngulos
Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos
e
Tuorema L La altum trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos que
son semejantes al triángulo dacio, y a su vez semejantes entre ellos.
t!.ACD - t!.BAD
t!.OtB -t!.CDA
t!. CAB - t!.ADB
e
e
'Ieorema 2. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la medida de los segmentos de la hipotenusa.
e
e
Tuorema 3. Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y la
medida del segmento de la hipotenusa interceptado por la altura, y el lacio que es adyacente a ese cateto.
-
2
AB
e
57
--
= CB·DB
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 16
Sí a y bson los catetos de un triángulo y csu hipotenusa, determina el lado que falta:
a = 12, e = 20
9. a=6myb= 3
1. a = 15, b = 20
5.
2. a= 5,b= 4
6. b=6,c =8
10. a= 12myc
3. a= S. b = 4
7. b = 15, e = 17
11. a= 14 cm y b = 15 cm
4. a= 7, b = 7
8. a=5Ji,c=10
12. b=15dmyc=20dm
=13m
Determina la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden:
1
J3
13. 4, 5 y7 cm
16. 7, 24y25cm
19. -2. - 2
14. S, 12 y 13 cm
17. 6, 8y IOmm
20. 0.5, 0.7y0.8m
15. 7, 9y 11 cm
18. 1,
Ji y2cm
ylcm
21. x,x-ly hx2 -2x+l
22. Fn el triángulo rectángulo PQR, con Q el ángulo recto y QS como altura trazada mcia la hipotenusa:
a) Determina QS si PS = 12 y SR= 5
b) Encuentra QR si PR = 25 y RS = 13
c) Halla QR si PS=6, PQ=2M y RS=4
d) Encuentra PQ si PS = 21 y RS = 15
e) Determina
PQ si RS = 6, RQ = 10 y QS = 8
f) Determina QS si PQ = 13 y QR =7
g) Encuentra RS si PQ
e
=17 y
QS = 13
,.rffka h.IS NIUltadOS en la MCC'6n de soluckHtel COfftsportclente •
58
-----------~
CAPÍTULO
4
Trióngulos
- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Determina la longitud de la diagonal de un cuadrado de ladoxcm.
Solución
Al tra7.ar la diagonal en un cuadrado, se forman 2 triángulos rectángulos, entonces:
(hip)2
=(cat)2 + (cat)2
i=r+r
i=2x2
y= M =x·..fi.
Por tanto, la diagonal es x .J2.
2
xcm
Al abrir una escalera de pintor, se forma un triángulo isósceles, la distancia entre las bases es de 1 m y los lacios
iguales miden 1.40 m. Determina la altura de la escalera.
Solución
La altura de un triángulo isósceles divide a la base en 2 partes iguales, formándose 2 triángulos rectángulos:
lí1 =
(1.4)2-(0.5)2
lí1=1.96-0.25
lí1 = 1.71
h=
.J1Ti
h =1.3 m
Por consiguiente, la altura de la escalera es de 1.3 m.
0.5m
3
Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2.5 mis y pasa por debajo de un puente peatonal. Determina a
los 12 s, ladistanciaentreel automóvil y el punto ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del
puente es de 6 m.
Solución
La altura del puente es de 6 m y a los 12 sel automóvil recorre 12(2.5) = 30 m, entonces:
d1- = (6)2 + (30)2
d1- =36 + 900
d1- = 936
d=
J9'36
d=30.5m
Fn consecuencia, la distancia es de 30.5 m.
59
4
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 17
Resuelve los siguíentes problemas:
1. Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m.¿Qué cantidad de malla se
necesita para cercarlo?
d
2. Con una escalera de 6 m se desea subir al extremo de una barcia de 4 m de altura. ¿A qué
cistancia se necesita colocar la ba.5e de la escalera para que el otro extremo coincida con
la punta de la torre?
3.
4.
5.
6.
Calcula la altura de un triángulo isósceles si su ba.5e mide 60 cm y cada uno de sus lados mide 50 cm.
Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide JO cm.
¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m?
¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su
¡:ie está a 3 m del muro?
7. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal mide 5.J2 cm?
8. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm,¿cuánto mide su apotema?
9. Una persona camina 7 kilómetros hacia el sur, 3 hacia el oeste, 2 hacia el sur y 6 más hacia el oeste. ¿Cuál es la
cistancia entre el punto de partida y su destino?
N
E
s
10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Encuentra la longitud de los catetos.
11. Fn un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a m y la mediana de uno de los ángulos agudos es igual a
mJ3. Determina la magnitud de los catetos.
3
12. En un triángulo rectángulo, m y n representan la longitud de las medianas tra7.adas a los catetos. Obtén la longitud
el: éstos y la hipotenusa en función de m y n.
e
Ylriflca tus .. sultadosen la -cl6n do soluclonH"°'"'opondionte
60
a------------~
CAPÍTULO
5
CUADRllÁTEROS
E
staba destinado al oficio religioso, pero lo
impresión que le produjo lo lectura de los Elementos de Euclides le llevó hacia los motemó·
ticos. Se interesó por lo mecánico, por el incipiente
cálculo infinitesimal y por lo geometría .
Teorema de Varignon
Pierre Varignon
(1654-1722)
Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, el polígono que determinan los puntos medios (E, F, G, H) de sus lodos es un poro·
lelogromo, y el áreo de éste es lo mitad de lo del cuadrilátero inicial.
ÁrcO.UCB
1
2
=-
Árt::a.MCI>
A
B
5
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Defin ición
Fl cuadrilátero es tocio polígono de 4 lacios.
Clasificación
Los cuadriláteros se dividen en:
Paralelogramo. & el cuadrilátero cuyos lacios opuestos son paralelos.
Cuadrado. & el paralelogramo que tiene tocios sus lacios iguales y sus ángulos son rectos.
Rectángulo. & el paralelogramo que tiene sus lacios contiguos desigualei> y los 4 ángulos rectos.
Rombo. & el paralelogramo que tiene los lacios iguales y ángulos contiguos desiguales.
Romboide. & el paralelogramo que tiene los lacios contiguos desiguales y ángulos oblicuos.
'frapecio. & el cuadrilátero que sólo tiene 2 ele sus lacios paralelos.
'frapecio rectángulo. & el que tiene 2 de sus ángulos rectos.
Thapecio isósceles. & el que tiene 2 lacios no paralelos iguales.
'frapecio escaleno. & aquel que tiene sus lacios no paralelos diferentes.
'frapezoide. & el cuadrilátero que no tiene ningún lacio paralelo a su opuesto.
D CJ
o
LJ
o
Q
d
Cuadrado
Trapecio
Rectángulo
D
Rombo
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Romboide
Trapezoide
Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vérticei> ele un cuadrilátero no adyacentes.
AC y BD son diagonales
62
CAPÍTULO
Cuodnl6teros
Teorema
la suma ele los ángulos interiores ele un cuadrilátero es igual a 360°.
Demostración: Dacio el cuadrilátero ABCD, se traza una ele sus diagonales:
B
D
Se observa que se forman dos triángulos !J. ABC y !J. ACD.
la suma ele los ángulos interiores de los triángulos es igual a 180°.
L BAC+ LABC+ L ACB= 180°
L CAD+ LADC+ LACD= 180°
Al sumar ambas expresiones, se obtiene:
L BAC+ L ll4C+ L ABC+ LADC+ LACB + LACD=360º
pero L BAC+ L ll4C= L BADy L ACB+ LACD = L BCD
Al sustituir estas igualdades en la expresión anterior:
(L BAC+ L DAC)+ L ABC+ LADC+(L ACB + L ACD)=360º
L BAD + L ABC + L ADC + L BCD = 360°
Por consiguiente, queda demostrado el teorema.
Propiedades de las paralelogramos
B
l. Los lacios opuestos son iguales.
AB=CD Y AC=BD
2. Los ángulos opuestos son iguales.
LA=LDyLB=LC
3. Los ángulos adyacentes a un mismo lacio son suplementarios.
c
LA + L B = 180°, L C + L D = 180°
LA+ L C= 180°, LB+ L D = 180°
4. Las diagonales se bisecan mutuamente.
5. La diagonal lo divide en 2 triángulos congruentes.
~ABD:~CDA
63
5
5
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-4
a
D.
1 • •. ~termina los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:
!
Solución
En tocio paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios, entonces:
LP+LM=180º
--+
x+3x-12º=180º
--+
4x = 180º + 12º
4x= 192º
192°
4
x= - - =48°
Luego, los ángulos opuestos son iguales, por tanto:
LN=LP=48º
L O= L M = 3{48°)- 12° = 144° - 12° = 132°
EJE~CICIO
18
Encuentra los datos que se píden en cada uno de los siguíentes paralelogramos:
5. Halla el valor de x y y
l. Determina L A, L By L C
o·
D
C
2. Encuentra L DCA, L OID, L DAB, L DCB, L D y L B
\Z
l \
A
B
7. Precisa el valor de x y la medida de los ángulos y y z
3. Encuentra L A, L B, L C y L ADC
E
6. Calcula la medida de los ángulos y y z
D
C
4. Determina el valor x, Ly y Lz
8. Halla el valor de
x y la medida de los ángulos y y z
e:> 'lllriflca tusr.,ultados en la sección de &oluclonu correspondiente • •• ••• •••••. ••• •••..
64
CAPÍTULO
5
Cuodnl6teros
Demostraciones
Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo se debe probar que 2 de sus lados son iguales y paralelos.
EJEMPLOS,------------~ 1 •••Sea el triángulo ABC cuyos puntos medios ele los lados AB, BC y
E
DFCEes un paralelogramo.
AC son D, E y F respectivamente, demostrar que
A
.2.
...,,
e
Solución
1. En todo triángulo el segmento que une los puntos
medios de dos lados es paralelo e ígual a la mítad del
tercer lado.
-
1- 1(- -) 1( ;:;;'\ -
DE =-AC = - AF+FC = - 2FC¡ =FC
2
2
CF =EC, DFllEC
2.
2
2
En todo triángulo el segmento que une los puntos
medios de dos lados es paralelo e ígual a la mítad del
tercer lado.
DF = .!ec =.!(BE +EC) = .!(2ec) = EC
2
2
2
3.
2
DFCE es paralelogramo
3.
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son íguales y
paralelos, es un paralelogramo.
• • •SeaPQRSlos vértices de un paralelogramo, Te! punto medio de PS y U el punto mediocleRQ, demuestra que TQUS
es un paralelogramo.
Solución
1.
2.
PT=TS
1.
Tes el punto medio del segmento PS
ou=uR
2.
U es el punto medio del segmento OR
3.
En un paralelogramo los lados opuestos son íguales y
paralelos.
- -
3. PS =OR y PSJIOR
4.
-TS =au
-
4. De la afrmacíón 3, se tiene que PS = OR, entonces:
s.
TSJIOU
S.
6.
TOUS es paralelogramo
6. Dos lados opuestos TS y OU son paralelos e iguales.
'PT + TS = au+ ~ --+ 2TS = 2au--+ TS = au
Son segmentos de PS y OR, bs que a su vez son
paralelos.
65
5
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
19
Realiza las siguíentes demostracíones:
l. SeaABCD los vértices de un paralelogramo, Py Q dos puntos sobre la diagonal AC, de modo que PA es congruente
con QC, demuestra que PBQD e> paralelogramo.
2. Sea ABCD los vértices de un paralelogramo, E y F son puntos sobre la diagonal AC, de tal manera que DF biseca
al L ADC y BE biseca al L ABC, demuestra que DEBF es paralelogramo.
3. Sea RSTU un paralelogramo, V y W puntos sobre la diagonal TR de modo que UW y SV son perpeocliculare$ a TR,
demue>tra que UWSVes un paralelogramo.
4. SeaABCDlosvértice¡deun paralelogramo, Q,R,S, T,puntossobreloslaclos AB, BC, CD, DArespectivameote,detal
manera que AQ =es y BR = ro. demuestra que QRST e> pamlelogmmo.
5. Sea PQRS los vértices de un trapecio, SR e> paralelo a PQ y PS=SR, demuestra que RP biseca L P.
e
6. Demue>tra que la suma de los cuadrados de I~ diagonales de un paralelogramo, e> igual al doble producto dela suma
del cuadrado de sus lados adyacentes.
Esta •Jordclo no tiene ool\ldonu .. &al dolllbro por ... dom0S1racloclu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paralelogramos especiales
Se les denomina así al rectángulo, al rombo y al cuadrado, los cuales pertenecen al conjunto de los paralelogramos y
se definen de la siguiente manera:
Rectángulo. Bs el paralelogramo que tiene sus ángulos iguale>, también se le conoce como paralelogramo equiángulo.
Rombo. Rlralelogramo que tiene sus lados iguales, también recibe el nombre de paralelogramo
equilátero.
MN = NO = OP = PM
Cuadrado. Se define como el paralelogramo equiángulo y equilátero, esto e>, un cuadrado es un
rectángulo y a la vez UD rombo.
LR=LS=L T=L U=90º; RS
= ST =TU= UR
Propiedades
l. Los rectángulos tienen sus ángulos rectos.
L A = LB = L C
=L D = 90º
2. Las diagonale> de un rectángulo son iguales.
3. Las diagonale> de UD rectángulo forman 2 pare> de triángulos congruentes.
66
CAPÍTULO
5
Cuodnl6teros
4. l..a5 diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se bisecan mutuamente, esto es, una diagonal es mediatriz de la otra.
B
AC l. BD, AE = EC, BE= ED
5. Las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos formados por los
\értices que unen.
A~..,,----~-----;~
L1=L~L3=L~L5=L6yL1=L8
D
6. Las diagonales de un rombo forman 4 triángulos congruentes.
t.AED st.BEC st.AEB st.CED
Los cuadrados por ser rectángulos y rombos a la vez, cumplen con las propiedades anteriores.
• • •Determina la longitud de los lados del siguiente rombo:
Solución
En un rombo, los lados son iguales, entonces:
3x+4=2x+5
x=I
3x-2x=5-4
Luego, sustituyendo x = 1en cualquiera de los lacios, se obtiene:
3x + 4 = 3{1) + 4 = 7
Por tanto, los lados del rombo miden 7u.
2
• • •Encuentra la longitud del lado AD ene! siguiente rectángulo, si AC = 13, DB = 3x + 4 y AD =x + 2
Solución
En todo rectángulo, las diagonales son iguales, esto es:
AC = DB
13=3x+4
9=3x
x=3
Luego, AD = x + 2, por tanto, AD = 3 + 2 = 5u.
J
• • •En el romboABCD,determinael valordeL ABC si L BAC=6xy L ll4C= 4x + 10°
Solución
En el rombo, la diagonal AC biseca al ángulo BAD,esto es:
L BAC= LDAC
6x=4x+ 10°
2x = 10°
D
Por otro lado, en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y como AC es diagonal, se deduce que
L BAC = L BCA = 30°, luego, en el triángulo BAC:
L ABC + L BAC + LBCA = 180°
L ABC = 180° -(L BAC + L BCA)
L ABC= 180° -60°
LABC= 120°
Por tanto, el ángulo ABC mide 120°.
67
e
5
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Propiedades de los trapecios
l. En un trapecio la longitud de la línea media (paralela media) es
igual a la semisuma de las bases del trapecio.
2. Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado lateral del trapecio son perpendiculares y el punto de intersección se encuentra
en su línea media.
b' b. = l:isectriccs
PV 1-TV
Propiedades de los trapecios isósceles
l. Los ángulos de la base son iguales.
L D =LC
2. Sus diagonales son iguales.
DB=AC
......
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~
~ 1
••· Determina la longitud de las bases AB y DC del siguiente trapecio si E y F son puntos medios y EF mide 14 cm.
E
&!-
3x + 4
A
D
e
8x + 2
Solución
En todo trapecio la longitud de la paralela media es igual a la semisuma de las bases:
EF = AB+ DC
2
Al sustituir, se tiene:
14= (3x+4)+(8x+2)
2
--+
28 =11x+6
--+
22=11x
--+
Rlr consiguiente, las longitudes de las bases son:
AB ='.h'+4=3(2) +4= 10
68
DC = 8x + 2 = 8(2) + 2 = 18
x=2
CAPÍTULO
5
Cuodnl6teros
2
• • •Determina la longitud de la diagonal AD en el siguiente trapecio, si CD IAF, By E son los puntos medios de AC y
DF respectivamente.
p
y
A
Solución
De la figura se tiene que BE =
Ci5 +AF , entonces:
2
x+ 1+2x+1 = IO+y
2(3x + 2) = 10 +y
2
y=fu'-6
Fn el triángulo ADF, por proporcionalidad, se establece que:
2x+l
x+5
--= - y
2x+10
2x+l
-- = y
2
4x+2=y
Se sustituye y= &- 6:
4x+2=6x-6
2x= 8
x=4
Por tanto, AD = 2x + IO = 2(4) + 10= 8+ 10 = 18cm
3
• • •Determina el valor de los ángulos de la base del siguiente trapecio isósceles:
D
Solución
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales:
3x + IOº =X+ 50°
3x-x=50º-10º
2x=40º
x=20º
Fn consecuencia, los ángulos de la base miden:
3(20°) + 10° = 60° + 10° = 70°
69
5
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 20
Resuelve los siguíentes problemas:
1. Encuentra el valor de x en el rectángulo ABCD, si AC = 24 cm y BD = Sx + 4
2. Determina la longitud de los lados del rectánguloABCD, si AO = 2J5 y AB = 2BC
3. En el rombo MNOP, determina el valor de los lados si MN =6x + 5 y
MP =1x-I
4. Determina el ángulo NPO, si L PON= 132" y NP es bisectriz del ángulo P y N
o
5. Halla el valor dex y yen el rombo PRST, si L TRP = 2x + 10°, L RTS = x + 30° y
L TSR=y+ 12°
rA~ n
6. En la figura, cy_D son puntos mediosdeAE y BF. Encuentra el valor de AB. si
AB =x+ 1, CD =x+2y EF = 13 cm
7. En la figura, R y O son puntos medios de MQ y NP. Determina la longitud de MN,
si OS = 3x + 1, RS = 14 y QP = 9x + 1
E~F
· f fs i ·
R
NO
Q
8. En la figura, los lados Al y BJ están divididos en 4 partes iguales. Encuentra la
3a+b a+b
longitud de AB e U,si CD= - - y EF = - -
4
9.
2
En~ figura, CJ...!J son puntos medios de AE y BF. Determina la longitud de AE,
si AB =x+ 1, CP =y, PD =2y+2, EF = 11, AC = CE = x
70
p
C
-~
A
BD
•
F
G
H
1
J
6
CAPÍTULO
POÚGONOS
L
a palabra polígono procede del griego
pofy, muchos, y gwnos, ángulos.
Una de las aplicaciones de los poJgonos es el attiguo juego llamado
111ngram chino "tt>la de la sabiduóa~, que se confonna de 7 piezas
lamadas Taos y son:
C> Cinco triángulos de diversos
tamaños
C> Un cuadrado
C> Un paralelogramo romboide
Cl>n ellas se pueden formar figuras
cvradascomo:
Cada polígono recibe un nombre de acuerdo al número de lados que lo conforman;
para saber cómo se llama un polígono de
menos de cien lados se realiza la lectura
del número de lados de acuerdo con la
siguiente tabla.
1
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1• · 1, 11r . ,.
l'll
teosa-
-/caí-
TriacontaTetraconta-
PentacontaHexacontaHeptaconta-
OctacontaEneacontaHecta-
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.r~J:T:~J-ll
-Hen1>o
"
....
-gono
-Dí-Trí-Tetra-Penta-Hexa-Hepta-Octa-
-Enea-
Se cuenta el número de lados que tiene el
polígono y se pone el prefijo conveniente,
como en el siguiente ejemplo, y se agrega
la terminación •gano·.
El polígono de
de:
78
lados recibe el nombre
•Heptacontakaioctágono•
6
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Definición
Se llama polígono a aquella figura plana cerrada, delimitada por segmentos ele recta. Se clasifican de acuerdo con la
medida de sus lacios o sus ángulos.
Clasifica ción
Los polígonos se clasifican ele acuerdo con sus lacios o la magnitud de sus ángulos interiores.
Por sus lados
Regulares. n enen todos sus lacios iguales.
Irregulares. n enen la medida de sus lacios diferentes.
Por sus ángulos
C.Onvexo. Los ángulos interiores son tocios menores que 180°.
Tocios los ángulos son menores
que 180º
E
B
A
Cóncavo. Uno ele sus ángulos interi= es mayor que 180º.
t ,z
C
B
LA> 180°
e
Por su número de lados. Los polígonos reciben un nombre según su número de lados, como se muestra a
continuación:
1
. .
~
.
·h
.. ........
....
1
3
Tríángulo
12
Dodecágono
4
Cuadrilátero
13
Trídecágono
5
Pentágono
14
Tetradecágono
6
Hexágono
15
Pentadecágono
7
Heptágono
16
Hexadecágono
8
Octágono
17
Heptadecágono
9
Nonágono
18
Octadecágono
10
Decágono
19
Nonadecágono
11
Undecágono
20
lcoságono
72
CAPÍTULO
Polígonos
Elementos
Tocio polígono está formado por los siguientes elementos:
\\?rtice. Fs el punto donde concurren 2 lados.
Ángulo interior. Fs el que se forma con 2 lados adyacentes de un polígono.
Ángulo exterior. Aquel que se forma entre la prolongación de uno de los lados y su lado adyacente.
Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vértices no adyacentes.
Bementos:
A: rertice
L BAF: ángulo interior
e
F
L DEG: ángulo exterior
EB:diagonal
A
B
Un polígono tiene el mismo número de lados que de ángulos interiores, así como exteriores.
Número de diagonales
El número de diagonales en un polígono se obtendrá en función del número de lados.
Número de diagonales trozadas desde un mismo vértice
En un polígono de n lados se pueden trazar (n - 3) diagonales desde un solo vértice, entonces la fórmula es:
d=n-3
Donde:
d =diagonales trazadas desde un solo vértice.
n =número de lados.
Número de diagonales totales
El número total de diagonales que se pueden trazar desde tocios los vértices está dado por la fórmula:
Donde:
D=n(n-3)
2
D =diagonales totales del polígono.
n = número de lados.
73
6
6
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
~EMPLos~~~~~~~~~~~~--
s
i5..
1
!
• • •Calcula el número ele diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice en un hexágono.
Solución
En un hexágono n = 6, al sustituir en la fórmula se obtiene:
Fórmula
d= n - 3
e
F
Sustitución
d=6 - 3=3
A
B
Rlr consiguiente, se pueden trazar 3 diagonales desde un solo vértice.
2
• • •Calcula el número ele diagonales totales que se pueden trazar en un octágono.
Solución
En un octágono n = 8, por lo que al sustituir en la fórmula se obtiene:
F
D = n(n-3)
2
donde
D= 8(8-3) = 8(5) = 40 =20
2
2
2
B
Rlr tanto, en un octágono se pueden trazar 20 diagonales en total.
3
• •¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 65 diagonales?
Solución
O: acuerdo con el problema, D = 65; entonces, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, se determina que:
D = n(n-3)
2
65
= n(n-3)
2
130=n2 -3n
n 2 -3n-130=0
(n-13)(n+t0)=0
n - 13=0;
n+l0=0
n = 13;
Fn consecuencia, el polígono es ele 13 lados, esto es, un triclecágono.
74
n = - 10
CAPÍTULO
6
Polígonos
.
EJERCICIO 21
Resuelve los siguíentes problemas:
l. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un unclecágono?
2. Determina el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde un solo vértice.
3. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un decágono.
4. Determina cuál es el polígono en el que se pueden trazar 9 diagonales desde un vértice.
5. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice?
6. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en cada uno delos siguientes polígonos:
a) lcoságono
d) Hexágono
b) Dodecágono
e)
e) Nonágono
f) Heptágono
g) Hexaclecágono
~ntadecágono
h) O::taclecágono
i) Undecágono
7. ¿En qué polígono se pueden trazar 14 diagonales en total?
8. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 104 diagonales?
9. Determina el polígono en el cual se pueden trazar 119 diagonales en total.
10. Precisa en qué polígono se pueden trazar en total 152 diagonales.
11. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales en total es el doble que su número de lacios?
12. ¿En qué polígono el número de lacios es la cuarta parte de su número de diagonales en total ?
13. Determina el polígono en el cual el número de lacios equivale al número de diagonales en total.
~ del número de diagonales en total.
Determina el polígono en que el número de diagonales en total son los ~ del número de lacios.
14. Precisa el polígono cuyo número de lacios es
15.
16. Encuentra el polígono cuyo número de diagonales en total, equivale al número de lacios del polígono en el que se
pueden trazar 170 diagonales.
17. ¿En cuál polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es
<:)
Verifica has Nsultados en Ja sección de soludorles cornspondliente •
~
1
<hl número de diagonales en total?
----------~=
Ángulos de un polígono
La magnitud de los diferentes ángulos de un polígono se obtiene con las fórmulas siguientes:
Suma de ángulos interiores de cualquier polígono
S1
Ángulo interior de un polígono regular
. JSOº(n-2)
1-= - - -
=180º (n -2)
n
Suma de ángulos exteriores de cualquier polígono
Ángulo exterior de un polígono regular
360°
e =--
s, = 360°
n
Donde n = número de lacios.
75
6
CAPÍTULO
Gt<:wmíA Y TillGONovmiA
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--
..2
t
1 ••
CUatro ángulos interiores de un polígono de 5 lados miden respectivamente: 120°, 90°, 75° y 135º. ¿Cuánto mide el
quinto ángulo?
.5-
Solución
En un pentágono n = 5, entollQCS la suma de sus ángulos interiores es:
s,= 1soo (5 -2) = 1800 (3) = 540º
S1= 180" (n - 2)
Luego, el quinto ángulo se obtiene así:
5400 -(120" + 90" + 75° + 135°) = 540" -420" = 120"
RJr tanto, el quinto ángulo mide 120".
2
• • · ¿Cuál es el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1 440º7
Solución
U: acuerdo con el problema S1
s, = l 80º(11 - 2)
=1 440°, entonces:
180º(n - 2) = 1 440º
donde
1440°
n- 2 = 180°
n=8+2= 10
R>r consiguiente, el polígono es un decágono.
3
• • •¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 120°7
Solución
En este caso i = 120", al sustituir en la fónnula y resolver la ecuación, se obtiene:
.
1=
180º(n-2)
n
-+
l 20" = ISOº(n -2)
n
120° n = 180" n -360
360° = 180" n - 120" n
360° = 60" n
6=n
Fmalmente, resulta que el polígono es un hexágono.
76
CAPÍTULO
6
Polígonos
4
• • · ¿En cuál polígono regular el ángulo exterior mide 20º?
Solución
Fn este caso e = 20°, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, resulta que:
360°
n
e=--
360°
20º=--
20° n=360º
n
360º
n= 20°
n = 18
Entonce>, el polígono del que se trata es un octadecágono.
5
• • •Determina los ángulos interiore> del siguiente polígono:
Solución
En un pentágono la suma de los ángulos interiores es igual a 540°, entonce> se calcula el valor de x para encontrar
los ángulos:
(3x + 31°) + (4x- 8°) + (7x-23º) + (3x + 5°) + (4x + 10°) = 540°
2lx + 15° = 540°
21x= 525°
525°
x= - - =25º
21
Fn consecuencia, los valore> de los ángulos son:
LA= 4x + 10° = 4(25) + 10 = 110°
L B=3x+ 31° = 3(25) + 31=106°
L C=4x-8º = 4(25) -8 =92º
L D = 7x - 23° = 7(25) - 23 = 152°
LE= 3x+ 5° = 3(25) + 5 = 80°
77
6
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 22
l. Calcula la medida de un ángulo interior de los siguientes polígonos:
a) Hexágono
b) Octágono
e) Dodecágono
d) Polígono de 20 lados
e) Polígono de 18 lados
f) Polígono de 42 lados
2. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:
a) Un pentágono
b) Un decágono
e) Un pentadecágono
d) Un octágono
e) Un tridecágono
f) Un polígono de 37 lados
3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1 2tí0º?
4. Precisa en cuál polígono el total desus ángulos interiores suma 900º.
5. Determinaen cuál polígono la suma de sus ángulos interiores es 2 520°.
6. ¿En cuál polígono el total de sus ángulos interiores suma 1 620º?
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 720º?
8. Determina el polígono regular cuyo ángulo interior mide 157.5º.
9. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 140°?
10. Determina en cuál polígono regular el ángulo exterior mide ~ rad.
11. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 135°?
12. Determina en cuál polígono regular el ángulo interior mide 60°.
13. Precisa en cuál polígono regulare! ángulo exterior es de 60°.
14. Determina el polígono cuyo ángulo interior equivale a
15. ¿En cuál polígono el ángulo exterior es
~ de su ángulo exterior.
~ de su ángulo interior?
7
16. Determina el polígono en el cual la suma de ángulos interiores equivale a
~
de su ángulo exterior.
1
17. Calcula el valor de los ángulos interiores de un pentágono si su magnitud es respectivamente: x, ; x ,
2.4x, 2x y 2.2x.
18. Calculael valor de cada uno delos ángulos de un pentágono si valen, respectivamente: x,x - 10º,x +5°,x + 25° yx - 30°.
19. Calcula el valor de los ángulos interiores de un heptágono cuyos valores son: x, 2x, 3x, 4x, 5x, 7x y !U'.
78
CAPÍTULO
Polígonos
20. Encuentra los ángulos exteriores del siguiente polígono:
21. Determina los ángulos exteriores del siguiente polígono:
e
Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a
79
-----------===-
6
CAPÍTULO
7
TRANSFORMACIONES
~LA ESCALA
4". - - - - - - - - - - - .
~
un
::::1
1!
~
.!!
0
Imagen del libro matemticas
simplificadasenlaescala l:S
ejemplo del uso de lo escalo son los
fotografías, en los que podemos reconocer personas, objetos y lugares, yo
que guardan semejanza con los reales. Hoy
fotogra fías que agrandan miles o millones de
veces seres u objetos del mundo real gracias al
uso de lo tecnología, mientras que en otros, se
ven reducidos en varios decenos de veces, lo
real idod representado .
Los planos de cosos, muebles, aparatos u objetos en general también se
elaboran o escalo, y de su lectura podemos especificar los dimensiones
reales que éstos poseen y captor sus formas.
Oro uso importante de los escalos se encuentro en lo elaboración de
mapas, el cual es lo representación convencional de lo configuración su·
perficiol de lo tierra, con uno relación de similitud proporcionado, o lo que
se llamo escalo.
Lo tecnología nos auxilio con algunos instrumentos poro poder llevar o
cabo estos representaciones y que en nuestro vida cotidiano los hemos
utilizado seguramente más de uno doceno de veces; ejemplo de ello son:
lo cámaro digital, lo fotocopiadora, lo televisión, entre otros.
-
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Escala
Es la razón que existe entre dos cantidades o magnitudes. Las escalas pueden ser numéricas, analíticas y gráficas.
Las escalas numéricas se definen como la razón entre la magnitud dibujada y la longitud real.
LD
oLD:l.R
l.R
Las escalas numéricas pueden ser de ampliación o de reducción.
Ejemplos
&:alas de reducción 1:10, 1:100, 1:1000 ...
Escalas de ampliación 10:1, 100:1, 1000:1 ...
1
Una escala de 1: 10 significa que cada unidad dibujada es
parte de la unidad real, y una escala de 100:1 repre10
senta que una unidad dibujada es 100 veces mayor que la unidad real.
Figuras a escala
Un cuerpo está a ~ala de otro si tiene la misma forma y sus dimensiones están en la misma razón.
Hgi raA
""" """
""'
Pigu raB
"""
La figura B se encuentra a escala 1:3 de la figum A, esto significa que la longitud de los lados de la figura B son una
tercera parte de la longitud de los lados de la figum A.
2
•.
Pigu raB
F gura :0.
/
1
"""
1/
/
"""
"""
La figura B se encuentra a escala 2: 1 con respecto a la figura A, es decir, cada longitud de la figura B es el doble de la
figura A.
82
CAPÍTULO
Tronsformociones
EJERCICIO 23
• Reproduce cada una de las figuras en la escala indicada.
l.
5.
""'
1:3
21
2.
6.
1""-
'
'""'
1/
/
I" "
""'
""-. '-
1:2
"""'
\
\
""" / /
3l
3.
7.
1/
/
-
/
23
4.
5:2
8.
1/
/
/
1/
1
32
1
1
3:4
e
V.riflca tus ..... atados •n la sección de soludotlos con. .ponchnt• • -
83
.
- -- - - -- - -
"""I""'
7
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Transformaciones de figuras en el plano
Cuando a una figura dacia se le aplica una traooformación, se obtiene otra a la que se llama imagen bajo la traoofor-
imción.
Traslación
Esta traooformación consiste en desplazar cada uno de los puntos de una figura en una misma dirección y la misma
clstancia.
Para poder realizar la traslación se necesita especificar la dirección y distancia en base a una directriz.
Thaslación de un punto. Para trasladar un punto en la dirección de la directriz, se
drectriz y de la misma longitud, así se obtiene la imagen del punto.
traza
un segmento paralelo a la
Ejemplos
li'aslacla los puntos indicados de acuerdo con la directriz:
•
A
''
''
'
''
'
''
,
,,
''
''
''
'•
,,
,
,,
,,
Q ,'
A'
•
Imagen de Q = Q'
Imagen de A= A'
'fraslación de un segmento. Se determina la imagen de los extremos del segmento en la dirección de la directriz.
Ejemplos
D:termioa la imagen de los siguientes segmentos:
R_ _ _ _ _ _ _ s
A
B'
R'
Directriz
Imagen de RS =R'S'
Imagen de AB = A'B'
Para realizar los trazos es necesario auxiliarse de
I~
84
escuadras.
CAPÍTULO
Tronsformociones
Thaslación de una figura. Se traslada cada uno de los lacios de la figura para obtener la imagen.
Ejemplos
Fncuentra la imagen de las figuras.
A
B
B'
'
Imagen de ABCD =A'B' C'D'
Directriz
Imagen de ABCDE = A'B'C'D' E'
85
'
7
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
24
Determina la imagen de los siguientes puntos. segmentos y figuras.
1.
6.
Q
10
R
•
p
s
.
'
T
7.
B
2.A~
•
ii'1'
<V-.seP
e
11.
e
3.
A
•R
~
....
Directriz
""
~·
A
8.
E
e
A
4.
l
B
~
D
12.
D
9.
B
5. R
s
e ..
rffkl tul resuftados en la MCC'6n de sol.udonll cornisponchnte • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
86
E
CAPÍTULO
7
Tronsformociones
Rotación
&ta transformación se realiza alrededor de un punto fijo y con respecto a un ángulo dado. Para realizar una transforrmción se debe proporcionar el centro de la rotación, el ángulo que se va a rotar la figura y el sentido del giro.
Si el ángulo es positivo, el sentido del giro es opuesto al de las manecillas del reloj, si el ángulo es negativo, el
giro es en el sentido del giro de las manecillas del reloj.
Rotación de un punto. Para obtener la imagen de un punto al rotarlocon respecto a otro punto, se traza un segmento
que una ambos puntos, después, con ayuda delco~ se hace girar al segmento de acuerdo con la medida del ángulo
d: rotación.
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
s
Rota los siguientes puntos de acuerdo a las indicaciones.
"iS..
E
i!1
• • · Punto A, ángulo de rotación de 80° con respecto al punto O.
A',
~ -------,,
'
'
\
',
'
.80°
,,
·~ _,
'
,
o
2
•
...
\
• • · Punto R, ángulo de-150° con respecto a C.
,
'
•,R
,
'
'
''
'
c~) -1so 'j
'
'
'
..
'
'
'R'
'
87
A
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Rotación de un segmento. Se obtiene rotando los puntos extremos del segmento según lo indique el ángulo de
rotación.
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.
~
Rota los siguientes segmentos.
~ 1
• • •Segmento AB, ángulo de 120° con respecto al punto O.
--- -- -----,,
, ,'
'
,'
''
''
'
'
B'
o
Imagen de AB = A'B'
2
• • · Segmentos RS, ángulo de -100° con respecto a C.
R'
\ -100°, , )'
\
_,.
~,
·.:: -'
.. _,. --
-100°
e ,. ,
'
''
'
Imagen de RS = /(S'
88
'
''
'
CAPÍTULO
7
Tronsformociones
Rotación de una figura. Se debe realizar la rotación de cada segmento que forma a la figura, para obtener su
imagen.
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~--
~
E
.l.
w
Obtén la imagen de cada 6 gura.
1
• • · Fl triánguloABC, ángulo de 60º con respecto al punto O.
...
-------- .. _
B
B'
e
'
'
'
1
...
",A'\
--- - ---/. ... {'
,'
I
I
I
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',/,,'A
'--.\, 60º
,\
, ... ~,o•
\ )"\
___ I ¡
' \\\ 60°1J ¡/ I
I
,.. ...
_.,--'v: - ..... I
,, ,,,
, ~,
_..
... -
_ _. ...
......... -
e
o
Imagen de ABC =A'B' C'
2
• • · El pentágonoABCDE, ángulo de -90º con respecto al punto O.
e
------- --
... - -
B
.... - -...
,,
' '' '
,
'
';'..'
''
,'
~
' '
o
Imagen de ABCDE = A'B'C'D' E'
89
''
C'
\
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
25
Determina las irnagenes de los puntos, segmentos y figuras al hacerlos rotar.
l. Punto P, ángulo ele 45° con respecto a O.
7. Segmento RS , ángulo ele -110° con respecto a O.
p
•
./'
•o
2. Punto R, ángulo ele 210° con respecto a O.
•
o
R
•
8. Segmento TW, ángulo de -150° con respecto a O .
r------ w
•o
3. Punto W, ángulo de --90º con respecto a O.
•
o
o
•
9. Triángulo ABC, ángulo ele 45° con respecto a O .
•w
4. Punto A, ángulo ele-300° con respecto a O.
o
•
A
A
•
5. Segmento AB , ángulo ele 80° con respecto a O.
A
~.
•o
•
o
JO. Cuadrilátero ABCD, ángulo de 120° con respecto a O.
B
e
6. Segmento PQ ,ángulo de 225° con respecto a O.
A
o
•
•
o
p
90
D
CAPÍTULO
7
Tronsformociones
11. PoligonoABCDE,ángulo de-270° con respecto a O.
12. PoligonoABCDEF, ángulo de240º con respecto a O.
e
•O
B
D
~C~_ __,D
B
A
F
E
•o
e
Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlente • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Simetría axial
En esta tramformación se refleja a las figuras del plano sobre una recta conocida como eje de simetría, razón por la
cual a la imagen se le conoce como su simétrico.
Simétrico de un punto. Conocido un punto y el eje de simetría, la imagen del punto se determina trazando un segmento perpendicular desde el punto hacia el eje de simetría.
La imagen se encuentra del lado opuesto al eje y a la misma distancia que el punto.
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~--
~
.wi
Determina los simétricos de los siguientes puntos .
1
• • · Punto P, eje de simetría AB .
B
p
•,
P' es simétrico de P.
A
2
• • · Punto Q,eje de simetría ST.
'
'
s
: p
---~~~~~~~~~·
T
PQ=PQ'
Q' es simétrico de Q.
• Q'
91
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Simétrico de un segmento. Para obtener la imagen o simétrico del segmento, se determinan los simétricos de los
puntos extremos.
..
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--
~
E
i!-
O:termina los simétricos de cada uno de los segmentos con respecto al eje de simetría indicado.
1
• • •Segmento AB , eje de simetría PQ •
p
--- -----
B
B'
Q
AO = A'O
BO'= B'O'
A'B' es simétrico de AB
2
• • · Segmento PQ, eje de simetría RS.
R
p
P'
Q
s
OP =OP'
O'Q =O'Q'
P'Q' es simétrico de PQ
92
Q'
-- -
A'
CAPÍTULO
7
Tronsformociones
Simétrico de una figura. Para determinar la imagen, se determinan los simétricos ele cada lado.
Para determinar el simétrico de los lados de un polígono, se puede emplear el compás como lo ilustran los siguientes ejemplos.
Fncuentra los simétricos ele los siguientes polígonos.
• ••El cuadrilátero ABCD con respecto al eje de simetría
--·
'
PQ .
p
'':. ........
'
----=--:
A
'
_B'
'
'
'
---"Q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A'
A'B'C'D' es simétrico de ABCD
Se trazan los segmentos perpendiculares al eje PQ , luego se apoya el cotnpá5 en el punto P y se abre a cada uno ele los
\értices del polígono, se trazan los arcos y en los puntos donde se intersecan con sus respectivos segmentos se ubican
las imágenes de los puntos, que posteriormente se unen.
2
• •El polígonoABCDEF con respecto al eje de simetría XY.
X
,'
,
,
'
,,
,,,,
,,
,,
,,, ,
,,
E
,,"
,,
>
~'... ,,, ......
''
_,' A
y
F'
A'B'C'D'E'F' es simétrico deABCDEF
93
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 26
Obtén el simétrico de los siguientes puntos, segmentos y figuras con respecto al e_íe de simetria indicado.
-
-
1. Punto A, eje ele simetría PQ.
5. Segmento RS, eje de simetría XY.
X
R
2. Punto Q,ejeele simetríaAB.
s
y
• Q
6. Segmento PQ, eje de simetría AB.
A -------- B
'\
3. Punto P,eje de simetría AB.
A
A
Q
• p
B
4.
7. FiguraABC,ejeele simetría PQ.
Segmento AB, eje ele simetría PQ.
A\
A
si----
------8
p
e
P---------Q
Q
94
CAPÍTULO
Tronsformociones
8. Triángulo ABC, eje de simetría PQ.
B
p
A
e
Q
9. PentágonoABCDE,ejede simetría XY.
e
X
B
D
E
10. FiguraABCDEF,ejede simetría PQ.
B
A
Q
F
e
p
V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con..ponchnt• .
95
-----------~
7
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Simetría central
Fste tipo ele simetría es con respecto a un punto conocido también como centro. A la imagen de una figura bajo esta
transformación se le conoce también como simétrico.
Simétrico con respecto de un punto. Rlra obtener la imagen ele un punto se traza un segmento que pase por el
punto y centro. La imagen se ubica al otro lacio del punto sobre el segmento y a la misma distancia Para realizar este
¡rocedimiento, se puede utifu.ar el compás para marcar ele manera precisa la distancia; el compás se coloca en el
centro y con una abertura igual a la distancia del centro al punto, se traza el arco que corta a la recta en el lado opuesto
cbl punto, éste será la imagen.
....
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~
S
Fncuentra el simétrico de los siguientes puntos.
a.
.i
1
• • •PuntoA,centro O.
·--- ..
A
o
_ _ ... ...... - • ---
.
1
...
'
''
,,
'
----AO = A'O
A' es simétrico ele A
2
A'
-- -- -- - '!
• • · Punto P,centro O.
,
''
'
'
'
OP =OP'
P' es simétrico de P
96
,,'
CAPÍTULO
7
Tronsformociones
Simétrico de un segmento. Para obtener la imagen o simétrico de un segmento, se trazan los simétricos de sus puntos
extremos y se unen.
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
...
Determina el simétrico de los siguientes segmentos:
~
!
1
• • •Segmento AB con respecto al centro O.
---- .... AO = A'O
BO = B'O
A'B' es simétrico de AB
2
• • · Segmento PQ con respecto al centro O.
Q
'
,,
'
'
,,
,~,,
,
,'
,,
'
'
'
''
'
'
'
'
o
'
''
,
,
''
'
~,;
N
~
'
...... -
'
OP = OP'
OQ =OQ'
P'Q' = es simétrico de PQ
97
''
'
7
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Simétrico de una figura. Se determinan los simétricos de sus vértices.
~EMPLos~~~~~~~~~~~~--
~
E
.L
D:termina los simétricos de las siguientes figuras.
1
• • •TriánguloABCcon respecto al centro O .
...
------
_B______ _
''
I
I
I
'
'
.. ' ... ---- ...
I
~
'
'
A
- _-_... ......
e - --------'. o
............
__
''
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''
'
''
-~-::...":.":.:.-
\
'
'
''
'
'
'
'
'
'
'•
'C'
''
A'
'
''
'
'
''
'•
A'B'C' es simétrico de ABC
B'
2
• • · Cuadrilátero ABCD con respecto al centro O.
B
e
IY
''
A'
....'::~ o ,. . .
: ---.. ------:.,e-:. .----.
,
'
- .
''
A
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I
I
'
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I
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I
I
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'
I
--_______ .. ......
--- ... _______ _
...
,_
98
I
~
A'B'C'D' es simétrico de ABCD
CAPÍTULO
7
Tronsformociones
.
EJERCICIO 27
de los síguientes puntos. segmentos y figuras con respecto al centro dado.
Obtén el simétrico
l. Punto W con respecto al centro O.
7. Triángulo ABC con re>pecto al centro O.
•w
o
e
•
2. Punto P con respecto al centro O.
p
•
o
•
A
3. Punto A con re>pecto al centro O.
8. Cuadrilátero ABCD con respecto al centro O.
o
A
•
•
B
4. Segmento AB con re>pecto al centro O.
e
A
A
B
•
9. Polígono ABCDEcon respecto al centro O.
5. Segmento PQ con respecto al centro O.
p
o
B
Q
A
•
D
o
o
•
E
6. Figura ABCD con respecto al centro O.
1O. Polígono ABCDEF con respecto al centro O.
B
e
e
A
C
~'
F
•o
Verfflca tul resultados en la SIOC'6n de soh.ldones corresponcllinte •
99
------------~
CAPÍTULO
8
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
DE MILETO
~
.g
G
eómetra griego y uno de los siete sabios
de Grecia. Fue el primer matemático griego que inició el desarrollo racional de lo
geometría. Se le atribuyen 5 teoremas de lo geometría elemental :
TulesdeMileto
(640- 560 a. C.)
1. Los ángulos de lo base de un triángulo isósceles
son iguales.
2. Un círculo es bisecado por a lgún diámetro.
3. Los ángulos entre 2 líneos rectos que se cortan son iguales.
4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen 2 ángulos y un lodo igual.
5.
Todo ángulo inscrito en uno semicircunferencia es recto.
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Circunferencia
Circunferencia. Fs el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro y su longitud representa el
perímetro del círculo.
Círculo, Se define como la superficie limitada por una circunferencia.
Arco. Nombre que recibe una parte de la circunferencia y se representa con el símbolo ,.,-...
Semicircunferencia. Fs un arco igual a la mitad de la circunferencia.
Rectas notables
Radio. Así se nombra al segmento de recta unido por el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.
Cuerda. Se denomina así al segmento de recta que une 2 puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Diámetro. Se nombra así a la cuerda ~ grande que une 2 puntos opuestos de la circunferencia y pasa por el centro.
Secante. Aquella recta que pasa por 2 puntos de la circunferencia.
Thngente. Así se llama a la línea recta que tiene sólo un punto en común con la circunferencia.
Flecha o sagita. Fs la perpendicular trazada de un punto de la circunferencia al punto medio de una cuerda.
O: Centro
A:E: Arro
íiii: Semicircunferencia
OA: Radio
D E: Diámetro
H
Be: Secante
iit: Tungente
FG: Cuerda
KJ: Sagita o flecha
T: Punto de tangencia
Porciones de un círculo
Son las superficies limitadas por un arco y ciertas rectas notables, las cuales generan:
Sector circular. Porción de círculo comprendida entre 2 radios.
Segmento circular. Porción de círculo comprendida entre el arco y su cuerda.
Semicirculo. Porción de círculo entre la semicircunferencia y su diámetro, es decir,
es la mitad de un círculo.
102
e
e
CAPÍTULO
8
Circunferencio y círculo
Circunferencia y polígonos
Cuando los lacios de un polígono son tangentes a la circunferencia o cuer-
A
ces, se genera la circunferencia inscrita o circunscrita.
Circunferencia inscrita. Aquella circunferencia que es tangente a los
lacios de un polígono.
B
Polígono cireunscrito. Cuando los lados del poi ígono son tangentes a la
circunferencia.
e
Circunferencia cireunscrita. & la circunferencia que pasa por los vértia:s de un polígono.
p
Polígono inscrito. Cuando los lados del polígono son cuerdas ele la circunferencia.
Ángulos notables
Son aquellos que forman la.5 rectas notables y se clasifican de la siguiente manera:
Ángulo central. & aquel ángulo que forman 2 radios, o bien por un diámetro y un radio, y tiene su vértice en el
centro.
La medida ele un ángulo central es igual al arco comprendido entre sus lados.
o
LAOB =Afi'
Ángulo inscrito. n ene su vértice en un punto de la circunferencia y lo forma un par ele cuerdas.
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
r--.
LABC = AC
2
B
103
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Ángulo semünscr ito. 'llene su vértice en un punto ele la circunferencia y lo forman una cuerda y una tangente.
La medida ele un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
A
B
,,...___
AC
LACB= 2
Ángulo interior. Su vértice se encuentra en un punto interior ele la circunferencia y lo forman 2 cuerda5 que se cortan.
La medida ele un ángulo interior es igual a la semisuma ele los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones.
LABC=
'Á2'+M
2
Ángulo exterior. n ene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y lo forman 2 secantes.
La medida ele un ángulo exterior es la semicliferencia ele los arcos comprendidos entre sus lados.
B
íJE-Ac
LABC= - - 2
Ángulo circunscrito. Se denomina así al ángulo que forman 2 tangentes trazadas desde un punto exterior a la circunfi:rencia.
La medida ele un ángulo circunscrito es igual a la semicliferencia ele los arcos comprendidos entre sus lados.
/""°'.
/""°'.
LABC= AEC-AGC
E
2
104
CAPÍTULO
Circunferencia y círculo
EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
S
1
Q..
E
• • · Si
AB = 35°, determina los valores ele L
AOB y L BOC.
Solución
&!-
FJ ángulo LAOBescentral, entonces:
LAOB= AB=35°
De la figura,
L AOB + L BOC= 180°
Al despejar L BOC, se obtiene:
L BOC= 180° -L AOB = 180° -35° = 145°
Por tanto, L AOB
2
=35° y L BOC = 145°
• • •Encuentra el valor del ángulo L ABC formado por las secantes, si
AC = 63º
y DE = TIº.
Solución
FJ ángulo L ABC es exterior, entonces:
LABC= AC-DE
2
Al sustituir los valores de
AC = 63º
y DE = Tlº,se obtiene:
B
LABC= 63º-Tlº
36 º =1 8º
2
2
Por lo que se deduce que, L ABC = 18º
J
• •Determina la medida del ángulo L AOB si AB = 1600 y CD = 500.
Solución
FJ ángulo L ABC es interior, entonces:
L AOB-AB+él5
2
B
Y al sustituir los valores de AB = 160° y CD = 500 , se obtiene:
A
LAOB = 160º+50º
2
210º = 105º
2
Por consiguiente, L AOB = 105°.
4
• • •Si TST' = 240" , determina el valor del ángulo que forman las rectas tangentes AF y
Ar.
Solución
FJ ángulo L TAT' es externo, entonces:
L TAT' = fST•-fS"i'
2
De la figura fST·+ m ' = 3600. donde m ' = 120º
Al sustituir TST' = 240° y
= 120°, se obtiene:
m·
L TAT' = 240º-120º = 120º = 60º
2
2
Porconsiguiente, LTAT' =600
105
s
8
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 28
Resuelve los siguíentes ejercicios:
1. En la siguiente figura, AC = 00", BC = 104° y BD = 80°. Encuentra los valores
de L ABC, L AOC, L BOC y AD.
2. Fn esta figura AD= 100º y BC = 150". Determina los valores de La, Lb, Le,
Ld, LeyLf
3. Fn la siguiente figura, AC = 70° y DE = 15°. Precisa el valor de L ABC.
B
4. De esta figura, DE = 50° y AC = 120°. Fncuentra los valores de L ABC y
LDBA.
~D
E
5. Fncuentra el valor de los 4 ángulos internos del siguiente cuadrilátero si
AB = 60°, BC =110°, CD= 100° y AD= 90º.
A
6. Si !J. ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, halla:
a) LAsia= 150°y c = 150º
b) LA siAB .1 BC y a= 100"
e
106
CAPÍTULO
8
Circunferencia y círculo
7. Si L e= so•, L BFC = 65~ CD= 120•, AE =X y AB =X+ 10•, encuentra el
valor ele los ángulos restantes.
8. En la figura, AB y AC son secantes que se cortan en A, determina:
B
d
a) LAsic=90º,a=60º
b) LAsic-a=80º
e) LA si e= a+ 60º
d) asic=135°,LA=50º
e) csia=60ºyLA=30º
fJ e -a si LA= 70º
g) a si e = 2a y L A = 35º
h) asic=5ayLA=80º
A
9. En la siguiente figura halla el valor ele L
10. Si AB
e
1~
L
·~
L x, L y y L
z.
600
=130ºy CD= 50°,encuentraL a.Lb, L c. L d. Le. Lf. L g. Lhy L i.
Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a - - --
- - - -- - -
Teoremas
e
'Ieorema L Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o ele círculos congruentes son
congruentes, entonces sus arcos intersecados son congruentes.
AB =CD
®
C
e
'Ieorema 2. En una circunferencia ele cuerdas iguales se subtienden arcos iguales y
viceversa.
Si AB = CD si y sólo si AB = CD
107
D
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
e
Tuorema 3. Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.
e
Tuorema 4. Una recta que pasa por el centro de un círculo y es perpendicular a una
cuerda, biseca a la cuerda y a su arco.
PéR
Pi<:\
A(Y
Si NO .L AB entonces, AM = MB y AÑ = ÑB
e
Tuorema S. Una recta tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado hacia
el punto de tangencia.
AB .L (Y[' ,OT = r
e
Tuorema 6. Dos cuerdas tmzaclas en un círculo y que equidistan del centro, son
congruentes.
Si OE= OF entonces AB :CD
e
Tuorema 7. Las tangentes tmzaclas desde un punto fuera del círculo son congruentes
y forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el centro y dicho punto.
AC:AByLl = L2
A
e
Tuorema 8. Si 2 cuer~ se intersecan dentro de un círculo, el producto de las mecidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los
segmentos re la otra.
AE·EC=BE· ED
e
Tuorema 9. Si desde un punto exterior a un círculo se traza una tangente y una secante, la medida de la tangente es media proporcional entre la medida de la secante
y su segmento externo.
108
D
B
CAPÍTULO
Circunferencia y círculo
e
'I\!orema 10. Si desde un punto exterior a un círculo se trazan 2 secantes, el producto ele la medida de una secante por la medida de su segmento exterior e> igual al
producto de la medida de la otra secante por su segmento exterior.
AC·BC=EC·DC
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-­
"'o
Q.
1
• • •Si L KOLE L MON, demuestra que arco KM E arco IN.
·@:
i
Solución
I· .
2
1
1.
LKOL:LMON
1.
Dato
2.
Arco KL;;; arco MN
2.
De la figura:
LKO. .i(t yLMON•MN,pero
L KOL;;; L MON, por tanto,
arco KL;;; arco MN
3.
Arco KM;;; arco LN
3.
O• • Fn la siguiente figura SR
KM'-'Kt+ íM. fN-fM +f;!N
pero MN -1<1::, entonces KM: fÑ
= QP, demuestra que: SQ =RP.
Solución
1....~,
I:•••
o
1
L1
1.
SR:OP
1.
Dato
2.
LSRP:LPOS
2.
LSRP•
3.
Arco SR ;;; arco OP
3. Cuerclas íguales( SR: OP)subtíenden
=
s; ,LPOS - =s;
arcos íguales(Sih Ófl')
SR-,LORP- 6P ,pero
4.
LROS:LORP
4.
s.
2
2
S°R'• 6P, por tanto L ROS;;; L ORP
LSRO;;;LROP
S.
LSRO•LSRP+LORP y
LROP •LROS +LPOS, pero
LSRP• LPOSyLROS•LORP,
por tanto L SRO;;; L ROP
6.
RO;;;RO
6.
7.
8.
~SRO;;; ~POR
7.
8.
Por ser lado común a los tríángulos
SROy POR
Por el teorema lado, ángulo, lado
Por ser lados homólogos en tríángulos
congruentes
RP:SO
109
LROS•
8
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 29
Resuelve los siguíentes ejercicios:
l. De la siguiente figura:
a) Encuentra PT si TQ = 5, RT =9 y 1S = 6
p
ó) Halla 1S si PT=ll, RT=7 y TQ=5
-
-
-
e) Determina TR si PQ=22, TQ=5 y TS=9
2. De esta figura:
a) Determina AC si AD= 6 y BD = 11
ó) Encuentra AB si AD = 5 y AC = 9
e) Halla AC
si DB =10 y AB =23
Realiza las siguientes demostraciones.
3. Si el Afi
= éi5, demuestra que AC
_ BD.
4. Si SU .L OT. SV .L OR y SU :
SV, comprueba que
fS = SR.
5. Si RO .L LN. OQ .L MPYIN _ MP, demuestraque:
LORQ E LOQR.
L
6. Si PR es un diámetro y L PRS - L PRQ, comprueba que; QR
_ SR .
s
o
11
CAPÍTULO
Circunferencia y círculo
7. Si L OOA : L OGD,
~muestra
que AC :
BD.
8. Si AC _ BD, comprueba que L OOA : L OGD.
D
9. PT y PT' son tangentes al círculo en los puntos Q y R, respectivamente.
Demuestra que OP liseca a la cuerda QR.
10. PTy PT'son tangentes al círculo en los puntos Q y R, respectivamente, ysi
se unen Q y R, comprueba que: L PRS =< L PQS.
r·
11. Sea MN tangente común a las circunferencias con centro en O y P. Si
se unen los centros OP, interseca a la tangente en Q. Demuestra que:
LMOQ : LNPQ.
12. Comprueba que la suma de las medidas de un par de lacios opuestos de un
cuadrilátero circunscrito, es igual a la suma de las medidas del otro par.
R
13. PQ y QR son segmentos tangentes a la circunferencia. Demuestra que
LQPR : LQRP.
111
Q
8
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
14. En la figura AB, BD y BC son tangentes.
Comprueba que: AB
= BD = BC.
=
'lllriflca tu11..ultados on la sección do soluclonu corrospondlont• •
----------~=~
Tangente a una circunferencia
Se le denomina tangente a tocia recta que tiene un punto en común con la circunferencia.
AB: recta tangente
B
A
Longitud de una tangente
Fs el segmento trazado desde un punto exterior al punto de tangencia.
AP, : longitud de la tangente
A
Propiedades de las tangentes
l. Tuda tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
A
112
CAPÍTULO
8
Circunferencia y círculo
2. Si una recta es perpendicular a una recta tangente en el punto ele tangencia,
ésta pasa por el centro ele la circunferencia.
B
A
3.
tangentes trazadas desde un punto exterior a la circunferencia son
iguales.
ÚIS
AB = AC
A
e
4. La recta que une un punto exterior y el centro ele una circunferencia, es
bisectriz del ángulo formado por las tangentes trazadas del punto a la
circunferencia.
AO es bisectriz del ángulo BAC
Posiciones relativas
Circunferencias concéntricas. Son aquellas que tienen el mismo centro y distinto radio.
Circunferencias exteriores. Son aquellas que no tienen puntos en común y cada una está en una región exterior a la
ttra. La distancia entre los centros de estas circunferencias es mayor que la suma de sus radios.
d>R+ r
Circunferencia interior. Fs aquella en la cual tocios sus puntos son interiores a otra circunferencia.
d<R - r
113
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Circunferencias tangentes exteriores. Se les llama así a la.5 que tienen un solo punto en común. La distancia entre
sus centros es igual a la suma de sus radios.
d=R+ r
Circunferencias tangenles interiores. Son circunferencias que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus
centros es igual a la diferencia de sus radios.
d= R - r
Circunferencias secanles. Son aquellas que se intersecan en 2 puntos. La distancia entre sus centros es menor que
la suma de sus radios.
d<R+ r
Circunferencias ortogonales. Cuando se intersecan 2 circunferencias los radios forman un ángulo de 90", esto
significa que son perpendiculares en los puntos de intersección.
R .L r
114
CAPÍTULO
8
Circunferencia y círculo
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~__...
so..
i
1
¡¡:¡
• • •Desde un punto exterior se trazó una recta tangente, cuya longitudes ele 10 cm ye! segmento que une dicho punto con
el centro ele la circunterencia es ele 12 cm, determina el radio ele la circunferencia.
Solución
FJ radio es perpendicular a una recta tangente en el punto de tangencia, esto significa que se forma un triángulo rec-
tángulo, del cual se tiene:
(12)2
=(10)2 + r2
al despejar r:
r = ,/144-100
r=fli =2.Jit
Luego, el radio ele la circunferencia es de 2 Jll cm.
2
•••Los radios ele 2 circunferencias son R y r, si las circunferencias son tangentes exteriores, expresa la distancia entre los
oentros en términos ele r, si r =
!, R .
3
Solución
Por ser circunferencias tangentes exteriores, la distancia entre los centros se define como:
dcc =R+r
1
al despejar R de r =
!. R
3
y sustituir, se obtiene:
3
5
d=-r+r=-r
2
En conclusión, la distancia entre los oentros es de
3
e
2
1r .
2
••·Dos circunferencias ortogonales de radio 5 cm y 9 cm, determina la distancia entre sus centros.
Solución
Si 2 circunferencias son ortogonales, sus radios son perpendiculares, entonoes, por el teorema ele Pitágoras:
(ccS =<s>' +(9)2 :
Por consiguiente, la distancia entre los centros es
fi06 cm.
115
8
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 30
Determina las posiciones de 2 circunferencias, cuyos centros distan 24 u y sus radios miden:
l. R=l5u,r=8u
2. R=13u,r=11 u
3. R=42u,r=13 u
4. R= 28 u, r = 20 u
5. R = 35 u, r = 11 u
6. R=20 u, r =4 u
Resuelve los siguientes problemas:
7. Se tienen 3 circunferencias tangentes entre sí ele radio r, determina el perímetro del triángulo formado por los puntos
ele tangencia ele las circunferencias.
8. Desde un punto exterior A se traza una recta tangente a la circunferencia de diámetro 4'13 u, si la longitud del
segmento que une el centro de la circunferencia con el punto A mide 4 u, ¿cuál es la longitud ele la tangente?
9. La distancia entre los centros ele 2 circunfere·ncias secantes es 2 J5 u, determina el radio ele e 1 si el radio ele e2 es
2../2 u.
10. De un punto A se traza una recta tangente a la circunferencia con centro en el' la longitud ele la tangente es
y el segmento Ae1 = 2.fi cm, determina el radio ele la circunferencia
J3 an
11. La circunferencia e2 es tangente interior a e1 en P, la circunferencia e3 es tangente interior a e2 en P, determina la5 distancias ele los centros ele e 1 a e2 ycle e 1 a e; ysi los diámetros de el' e2 y e3 son: R,
~R y ~R. respectivamente.
12. Se tienen 3 circunferencias con centros en e1, e2 y e3 ele manera que e,e2 .l e,e, , determina el radio ele la circunferencia en <; si el radio ele la circunferencia en e1 y en e3 son: .:!.. r y .:!.. r, respectivamente y e,e3 = J6i r.
4
2
4
13. Se tienen 3 circunferencias que son tangentes entre sí. El radio ele la circunferencia e1 y e2 es R, nientras que el ele
la circunferencia e 3 es .:!.. R , determina la distancia entre el centro ele
2
e
'lllriflca hit r..ultadot •n la -cl6n do toluclonu --diento .
116
S y el punto ele tangencia entre e 1 y <;.
-----------==-
CAPÍTULO
9
PERÍMETROS Y SUPERFICIES
M
atemático griego, precursor de Euclides.
Entre los mayores logros de Hipócrates
está el haber demostrado que las áreas
de 2 círculos se hallan entre sí en la misma razón
que los cuadrados de sus d iámetros. Esto es equivalente a haber descubierto que el área de un círculo
es m 2 , sin determinar e l valor de 1t. Es posib le que llegara a esta conclusión
a l considerar a l círculo como el límite de un polígono regular.
Uno de los problemas más importantes poro los griegos era e l de la cuadratura del círculo o de cualquier figura en general, la cual se define así:
la cuadratura de uno figura plano es la construcción con regla y compás
de un cuadrado con la mismo superficie que lo figura plana orig inal.
En esa época sólo se habían realizado las cuadraturas de d iversas figuras
planas de lados rectos, sin embargo Hipócrates fue el primero en cuadrar
una figura con lados curvados conocidos como lúnulas.
Logró trazar una lúnula de área igual a l triángulo que es mitad de un cuadrado dado.
Área de la lúnula AEDF =Área del triángulo ADB
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Defin iciones
l\!rímetro. Fs la suma ele los lados de un polígono.
Superficie o área. Fs la región del plano limitada por una figura en dos dimensiones.
Perímetro
y área
de una figura plana
Las siguientes fórmulas se emplean para determinar el perímetro y el área ele una figura.
Triángulos
Equilátero
Escaleno
'
''
'
h¡
''
:'____________\,_
b
b
b
l\lrímetro: p = 3b
Perímetro: P = 2a + b
.
Perímetro: P = a + b + e
bil
Área: A= -
Área· A= bil
2
_____
Área· A= bil
.
2
Área de un triángulo en función de sus lados (fórmula ele Herón ele Alejandría).
A = -Js(s - a)(s - b)(s- c)
Con s = a+~+c ,donde:
s = semiperímetro, a, b, e =lados del triángulo y 11 = altura
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--
sa..
E
i!-
1 • ••D:termina el área del triángulo cuya base y altura son 6 y 4 cm, respectivamente.
Solución
Se sustituyen los valores en la fórmula y se obtiene:
A= bh =
2
(6cm)(4cm)
2
R>r tanto, el área del triángulo es de 12 cm2
118
2
= 24cm = 12 cm2
2
2
__::,.,_
CAPÍTULO
~rlmetros y superficies
2
• • · Determina el perímetro y el área de un triángulo isósceles, si los lados miden 3, 3 y 5 cm.
Solución
FJ perímetro se define como la suma de los lacios, entonces:
P=3+3+5=11cm
Para hallar el área se aplica la fórmula de Heróo de Alejandría:
A= Js(s-a)(s-b)(s-c)
Sis= a+b+c = 3 +3 + 5 = !..!,alsustituireolafórmula:
2
2
2
Por tanto, el área del triángulo es
¡Jfí
2
cm
Cuadriláteros
Cuadrado
Paralelogramo
a
e
b
Peñmetro: p =4 Q.
Área: A= a2
Perímetro: P = 2 (b + e)
Área: A= he
Peñmetro: P = 2 (a + b)
Área: A= ab
Rombo
Trapecio
b
Perímetro:
Perímetro: P = 4a
Área: A=
P=a+b+ c+d
2Dd
Área:
Donde:
a
d = Diagonal menor
A= (a+b) h
2
D = Diagonal mayor
Donde:
a= Lado del rombo
4 b, e, d = Lados del
trapecio
a = Base mayor
b = Base menor
h =Altura
119
9
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-4
a
D..
1 • ••Determina el perímetro y el área de un rectángulo de lados 4 y 2 cm, respectivamente.
~
Solución
Al sustituir los valores respectivos en las fórmulas del rectángulo, se obtiene:
Perímetro
P = 2a + 2b = 2(2 cm) + 2(4 cm)= 4 cm + 8 cm= 12 cm
Área
A = ab = (2 cm) (4 cm)= 8 cm2
2
• • •Encuentra el área de un paralelogramo que mide 6 cm ele ba5e y 2.5 cm de altura.
Solución
Se sustituyen los valores de c = 6 cm y h = 2.5 cm, entonces:
Área
A= ch = (6 cm)(2.5 cm) = 15 cm2
3
• • •Encuentra el área ele un rombo cuyas diagonales mielen 12 y 8 cm.
Solución
Al sustituir en el área de un rombo en término de sus diagonales se determina que:
= (12)(8) = 96 =48 cm2
A= Dd
2
2
2
En consecuencia, el área del rombo miele: 48 cm2
4
• •El perímetro ele un trapecio isósceles es ele 32 cm, si los lados iguales mielen 5 cm y la altura 3 cm, determina su
{rea,
Solución
Sea a la ba5e mayor y b la menor, P el perímetro y c la longitud de los lados iguales del trapecio, entonces:
P=a+b+2c
Al despejar a+ b, se tiene:
a + b = 32 - 2(5) = 32 - 10 = 22
a+b=P -2c
Luego, el área de un trapecio se define como:
A= (a+b)h
2
Al sustituir a + b =22 y h = 3, resulta que:
A= (22)(3) = 66 = 33 cm2
2
Por consiguiente, el área del trapecio es: 33 cm2
120
2
CAPÍTULO
9
~rlmetros y superficies
Polígonos regulares
Perímetro. FJ perímetro se define como el producto del número de lacios por la medida de cada lacio del polígono.
Área. & el semiproclucto del perímetro por la apotema.
Apotema. & la longitud del segmento que une el centro del polígono y el punto medio de uno de los lacios.
b
Peri me·tro: p = nb
•
Pe
2
Area:A = -
Donde:
n =Número de lacios del polígono
b = Lacio del polígono
e =Apotema
e
b
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-­
"'o
Q..
1
E
•••Determina el perímetro yel área de un pentágono regular de lado 4 cm y apotema 2.7 cm.
Solución
i!-
En UD pentágono el número de lacios es 5, entonces el perímetro es:
P = 5(4) = 20 cm
Para hallar el área se aplica la fórmula:
A= Pe = (20)(2.7) = 54 = 27 cm2
2
2
2
Por tanto, el perímetro yel área son: 20 cm y 27 cm2 , respectivamente.
2
•••Determina el área de un octágono regular, si uno de sus lados mide 3 cm y el segmento que une UD vértice con el centro
d:l octágono mide 4 cm.
Solución
La apotema ces el segmento perpendicular a uno de los lacios en su punto medio, esto genera UD triángulo rectángulo,
en consecuencia:
(4)2 = (1.5)2 + c2
16=225+c2
e= J13.75
e= 3.7
Luego, el área del octágono regular es:
A = 8(3)(3.7) = 88.8 =
2
Por consiguiente, el área mide 44.4 cníl
121
2
44 _4 cm2
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Orcunferencia y circulo
Longitud de la circunferencia. & el perímetro de un círculo y se define como el doble producto de su radio por 1t o
el producto del diámetro por 1t.
Cálculo del círculo. & el área o superficie limitada por la circunferencia y se denomina como el producto de 1t por
d radio al cuadrado.
Área
Perímetro
P
1
A = 1tr2 = 4
=21tr =Drr.
1tD2
Donde:
r =Radio, D =Diámetro y 1t = 3.14159...
Sector y segmento circular
l\!rímetro de un sector circula& Se nombra así a la suma de los radios y el arco que subtienden.
Área de un sector circular. Se define como el producto del área del círculo por la fracción ~, donde n es el
360
ángulo que forman los radios del sector circular.
Perímetro
Área
P=a+2r
A= 1tr2n =~
360° 2
a
Donde:
r = Radio, n = Grados sexagesimales
a = Longitud de arco (1tnr )
180°
l\!rímetro de un segmento circular. Se denomina así a la suma de la cuerda y el arco que subtienden los radios.
Área de un segmento circular. F.s igual a la diferencia del sector circular correspondiente, menos el área del triángulo
<pe forman los radios y la cuerda que subtienden.
Perímetro
Área
P=a+m
A= 1tr n _ mh
360° 2
2
a
Donde:
r = Radio, n = Grados sexagesimales
m = Cuerda, h = Altura del triángulo
2nrn
a= Arco= - 360º
122
o
CAPÍTULO
9
~rlmetros y superficies
EJEMPLOS,------------~ 1 • • •Determina la longitud de la circunferencia, cuyo diámetro mide 4 cm.
E
.L
w
Solución
l1l longitud se define como: P = 27t r= 7t D, sustituyendo D = 4 cm.se obtiene:
P=1t(4cm)=41tcm.
2
• • •Fncuentrael área del círculo de radio r= 12 cm.
Solución
FJ área de UD círculo está dada por: A = 7t r2, se sustituye r = 12 y se obtiene:
A = 7t r2 = (7t) (12cm)2=1447tcm2
Fste resultado está en términos de 'lt; sin embargo, se puede sustituir su valor y el resultado será equivalente:
A= 144(3.1415) cm2
3
=45237 cm2
• • •Determina el área del sector circular que forman 2 radios si el ángulo que forman es de 60° y miden 4 cm.
Solución
En este caso n = 60° y r = 4 cm, al sustituir en la fórmula del sector circular resulta que:
2
A= 11:r2n = 11:(4) (60°) = 1611: = Str cm2
360°
360°
6
3
8; crrí2
En consecuencia, el área del sector circular es
4
• •Encuentra el área del segmento circular formado por el arco y la cuerda subtendidos por 2 radios con longitud de
1 cm, si la cuerda también mide 1 cm.
Solución
De acuerdo con la figura, se forma UD triángulo equilátero, esto significa que el ángulo formado por los radios mide
60°, luego, la altura del triángulo es:
Ahora el área del segmento circular resulta así:
,(111
A= 11:(1)2 60º 360°
Ej
2
123
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
31
Calcula el perimetro y la superfcie de las síguientes figuras:
l. Rectángulo
5. Pentágono regular
Dl.7m
2.5m
2. Triángulo equilátero
6. Triánguloescaleno
32.5m
8.3m
7. Cuadrado
3. Trapecio isósceles
llm
º''"
9cm
14m
4. Triángulo isósceles
8. Rombo
12.Sm
Determína las supe rflcies de:
9. Rectángulo de 1Oy 15 m.
10. Paralelogramo de base (x - 1) m y altura
~
- 2) m.
11. Triángulo de base 14 dm y altura 9 dm.
12. Trapecio ele bases 6 y 4 dm y altura de 3.5 dm.
13. Círculo de radio 30 cm.
14. Círculo de diámetro 18 cm.
124
CAPÍTULO
9
~rlmetros y superficies
Resuelve los síguientes problemas:
15. Encuentra el área de un cuadrado si el radio del círculo inscrito es de 1Ocm.
16. Por impermeabilizar el techo de una casa rectangular de 12.5 por 15 m se pagaron $500. ¿Cuál es el precio por metro
cuadrado?
17. Se quiere pintar una habitación que mide 10 metros de frente por 7 de fondo y 2.5 de alto, dicha habitación tiene 4
'entanas de 1 m de alto por 1.8 m de largo. ¿Cuál será el importe si se pagan $5 por m2? Considera la pintura para el
techo y una puerta de 1.5 m x 1.8 m.
18. Precisa la base y la altura del triángulo que tiene 486 m2 de área, si la base es los
~ de la altura.
4
19. Un trapecio tiene 400 m2 de área, los lados paralelos tienen 35 y 45 m.¿Cuál es el valor de la altura?
20. ¿Cuántos círculos enteros de 4 cm de radio se pueden cortar de una hoja de lata de 80 cm de largo por 65 cm de ancho
y cuál es el área total de ellos?
21. Encuentra el área del triángulo que tiene como longitud de sus lados:
c) a = 8 , b = 5 , c = 12
b) a=1,b=16,c= 11
a) a=13,b=9,c=10
22. El área de un paralelogramo está dada por la expresión (x2 + 17) ní1, la base es igual a (x + 5) m, y su altura es igual
a (x - 2) m. Determina el valor de x y el área de este cuadrilátero.
23. Encuentra el área del sector circular si:
a) el radio mide 4 cm y el ángulo central es de 45°
b) el radio mide 1 cm y el ángulo central es de 60°
c) el diámetro mide 6 cm y el ángulo central es de 90º
d) el diámetro mide 8 cm y el ángulo central es de 240°
24. Determina el área del segmento circular si:
a) el radio del círculo es 2 cm yel ángulo central es de 90º
b) el radio del círculo y la cuerda correspondiente al segmento circular miden 3 cm
e
c) el radio del círculo mide 8 cm y la cuerda correspondiente al segmento mide
sJ2 cm
Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlente • • • • • • • • • • • • • • • •
Área de figuras combinadas
Se obtienen las áreas por separado de cada una de las figuras, y se realizan las operaciones necesarias para hallar el
irea que se pide.
~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-..
~
E
~
1
••·Se inscribe una circunferencia de radio r en un cuadrado, determina el área que existe entre las 2 figuras.
Solución
FJ área sombreada se obtiene al restar al área del cuadrado el área del círculo, entonces:
A,= (2r)2-(itr2) = 4r2- itr2 = r2 (4-it)
Por tanto, el área sombreada es A,= r2 (4 - it)
125
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2 • • •Fn cada una de las esquinas de un cuadrado de lacio 4 r, se tienen cuartos de circunferencia de radio r con centro en cada uno de
los vértices del cuadrado, detennina el área entre el cuadrado y los cuartos de circunferencia
Solución
FJ área sombreada (As) se obtiene mediante la resta del área del cuadrado (A 1), menos el área de los cuatro cuartos
ool círculo (A¡). por tanto:
Donde,
A 1 =(4rf=16r2 y A2 =
4(ir¡')
=1tr2
R>r consiguiente, el área sombreada es:
A,= t6r2-1tr2 = r2 (16-1t)
J • ••O:termina el perímetro de la figura sombreada si el área del cuadrado ABCD es 1 cnr
Solución
Fl perímetro de la figura sombreada se define como:
P= AD+
~ro
AB
+ BD
1 (AB) (¡)
~ = - (21t) AB
2
2
1
=1t - = -1 1tY -BD = -1 (21t) (-AB) = -1 it(I)= -1t
22
4
2
2
En consecuencia, el perímetro es:
1
1
P = 1 + - 1t + - 1t = (1 + it) cm
2
2
4
• •Calcula el área y perímetro de la región sombreada si ON = 6 cm,
MN = 12 cm, Q es el punto medio de MN y
Res el punto medio de MQ.
Solución
FJ área sombreada (A,) se obtiene de la siguiente manera:
A,= Rectángulo MNOP- Semicirc. en MN + Semicirc. en MQ-Semicirc. en RQ
Siendo:
Semicircunferencia con diámetro en MN =
.!. 1t(6)2
Semicircunferencia con diámetro en MQ =
'21 1t(3)2
2
126
CAPÍTULO
9
~rlmetros y superficies
Semicircunferencia con diámetro en RQ
= ~ 1t ( ~
J
Si se sustituye en A,, se tiene que:
117n) cm2
A =(12)(6)- -1 1t(6)2+ -1 1t(3)2- -1 1t(3J
=72-181t+ -9 1t - 9
- 1t= (72- I
2
2
22
2
8
P = MP + PO + ON + ÑiJ · + MQ +
QR
+ RM
8
Luego, el perímetro de la figura sombreada es:
Si sustituyes los valores de los segmentos y de las semicircunferencia> resulta que:
P= 6+12+6+1t(6) + 1t(3) + 1t(%)+ 3 = (21+ ~In )cm.
Rlr tanto, el área y perímetro de la figura sombreada son:
117 ) 2 (
21 )
.
( n- 8 n cm y 27+-;¡n cm,respecnvamente.
.
EJERCICIO 32
Resuelve los síguientes e_íercicios:
T
l. De la figura, A, B, C son los puntos medios de los lados del á RST.
Determina:
s
a) TS si AC = 12 cm, b) BC si RT = 26 cm
e) ÁreayperímetrodeláABCsi RT =42cm, RS =30cmy
ST =16cm
2. Encuentra el área sombreada de la siguiente figura: los centros de
C 1 y C2 son los puntos medios de los lados AC y BC respectivamente,
AB es diámetro de C 3 y tiene una longitud de 25 cm, el lado
AC = 24cm.
3. Se inscriben 2 circunferencias de radio ren un rectángulo, determina el
área sombreada.
4. Se tienen 2 círculos concéntricos, determina el área del anillo circular si el
radio de uno de ellos es el doble del otro.
127
R
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
5. Si el á ABC es rectángulo y los á AEC, á BDA, á CFB son
equiláteros, demuestra que:
E
e
6. Los triángulos ABD y BCD son equiláteros de lacio 10 cm;
Q, R, S y T son los puntos medios de los lacios de los
triángulos. Determina el área sombreada.
7. En un cuadrado ABCD de lado 10 cm se inscriben
2 semicircunferenc~. corno se muestra en la figura.
Encuentra el área sombreada.
TXJ
C
8. Se inscribe un cuadrado de lacio 20 dm en una
circunferencia Determina el área sombreada que
se muestra en la figura.
9. La figura ABCD es un cuadrado y r =
el área sombreada si R = 12 mm.
32 R. Determina
10. Calcula la cantidad de vitral opaco que se necesita en
la siguiente ventana de tipo bizantino.
128
D
CAPÍTULO
9
~rlmetros y superficies
11. Si la figuraABCD es un cuadrado y el áreaA'B'C'D'
tiene 392 crrí1, determina el área sombreada.
D
12. Precisa el área y el perímetro de la zona sombreada si
OC= 24mm y los arcos AD,AB,BCyCDson
cuartos de circunferencia.
c
A
B
13. Encuentra el área sombreada si la figura ABCD es un
cuadrado de lacio 16 mm, los puntos E, F, G, H son
puntos medios del cuadrado ABCD, y los puntos
/, J, K, Lson puntos medios del cuadrado HEFG.
14. Halla el área de la zona sombreada si la figura ABCD
es un cuadrado de lado 16 mm, y AB, BC, CD y DA
son semicircunferencias.
15. La figura ABCD es un cuadrado de lacio 32 cm, R y S
son puntos medios de OC y OB respectivamente, y
las figuras de las esquinas del cuadrado son cuartos de
circunferencia Determina el área sombreada.
129
9
CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
•
16. Si el triángulo ABC es equilátero y OA =16 dm:
B
a) Calcula el área del triángulo más pequeño.
ó) Calcula la suma de todas las superficies ele los
triángulos si la figura se proyecta infinitamente.
17. Determina el área ele la zona sombreada en la siguiente
figura si el diámetro del círculo mayor miele 18 cm.
18. Fncuentra el área de la rona sombreada si AC = Ji.cm y ABCD es un
cuadrado.
e
D
19. Determina el área y perímetro ele la zona sombreada en la siguiente figura,
si ABDC y DCFE son cuadrados ele lado 1 cm.
º. . . . . . . . . .
B
A
20. Precisa el área y perímetro de la zona sombreada en la siguiente figura, si
ABCD es un cuadrado ele lado 4 cm y E es el punto medio de CD.
C
Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a-----------~
130
F
A r-""""- - - - - - rB
D
e
E
e
CAPÍTULO
1Q
CUERPOS GEOMÉTRICOS, ÁREAS Y VOLÚMENES
M
Arquímedes
(287 - 212 a. C.)
"Dadme un pumo de apoyo
ymoveréal mundo"
atemático y geómetra griego, a quien
se considera el ma-,or científico y ma·
temático de la Antigüedad, entre sus legados destacan: el principio de Arquímedes, sus
aportes a la cuadratura del círculo, el estudio de
la polanca, el tornillo de Arquímedes, la espiral
de Arquímedes y la relación aproximada que existe
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro,
lo que dio origen al número 11: (pi).
Con sus estudios sobre áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de
áreas de figuras planas se anticipó al descubrimiento del cálculo integral.
Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del
cilindro que la circunscribe.
1OCAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Ángulo diedro
Es el espacio que limitan dos semiplanos (cara>) que tienen una recta en común (arista).
A
AB: Arista
D
CW, DAB: Caras
dosificación
Un diedro es agudo, recto, obtuso o llano, según la medida del ángulo rectilíneo correspondiente.
Diedro llano. Se forma por dos semiplanos opuestos.
i
z
B
Diedro cóncavo. Fs aquel cuya medida es mayor que un diedro llano.
B
Diedro convexo. Su medida es menor que un diedro llano.
Diedros adyacentes. Son aquellos cuya suma es igual a un diedro llano.
Rectilíneo correspondiente a un diedro. Es el ángulo plano 8 formado por
lacios perpendiculares a la arista sobre las caras y es igual al ángulo diedro.
Se traza un plano perpendicular a la arista del diedro y se obtiene en la
intersección el rectilíneo correspondiente.
Ángulo triedro
Fs el espacio que comprenden tres planos, los cuales se cortan dos a dos y tienen un punto en comón.
A
V.·
~rtice
AV, CVy BV: Arista
AVC, AVB y BVC: Caras
e
B
132
7
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
Clasificación
1Hedros escalenos. Si las caras son desiguales.
E
e
D
1Hedros isósceles. Si dos caras son igualei> y una desigual.
ABC=ACD °*ABD
e
B
D
A
1iiedros equiláteros. Si las caras son iguales.
ADB = BDC = CDA
A
e
B
'friedros trirrectángulos. Si sus diedros y caras son rectos.
ADB .L ADC, BDA .L BDC, BDC .L CDA
LADB = L BDC= L CDA =90º
A
e
B
133
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Ángulo pol iedro
Fs el ángulo que fonnan tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice del poliedro. De acuerdo con el
número de caras, recibe el nombre de triedro, tetraedro, pentaedro, etcétera.
A
A: Vértice del poliedro
AD , AC, AB y AE: Aristas
AED,ADC, ACB, ABE: Caras
dosificación
Ángulo poliedro regular. Si todos los diedros y todas la; caras son iguales entre sf.
LBAC= L CAD = L DA E= L EAF= L FAB
A
D
Ángulo poliedro cóncavo. Si al cortar sus caras con un plano determina un polígono cóncavo.
En el cuadrilátero BEDC: L B, L E, L D y L C son menores que 180º
A
Ángulo poliedro convexo. Si al cortar sus caras mediante un plano determina un polígono convexo.
En el polígono BCDEF: L E es mayor que 180°
A
D
134
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
Poliedro
Fs un cuerpo geométrico al que limitan polígonos.
Elementos
Cara. Cada uno de los polígonos que lo limitan.
El cuadrado ABCD es una cara del poliedro.
Arista. Las intersecciones de las caras del poliedro.
FJ segmento AE es una arista.
Wrtice. Los puntos donde concurren las aristas de un poliedro.
El punto D es un vértice.
Ángulo diedro. Se forman con las caras que tienen un arista en común.
Lo forman las caras ADHE y CDHG.
Ángulo poliedro. Se forman por tres o más caras que tienen un vértice en común.
Lo forman las caras AD HE, CDHG y ABCD.
Diagonal. Recta que une dos vértices que no pertenecen a una misma cara.
La recta
BH es una diagonal del poliedro.
Superficie. Fs el conjunto de todas las caras y se le denomina área del poliedro, ésta se obtiene mediante la suma de
las áreas de las caras.
Volumen. Fs la región de espacio que limita el área del poliedro.
Clasificación
Poliedros cóncavos. Si una recta cualquiera cruza en dos puntos a sus caras.
G y F son los puntos de cruce.
A
135
1OCAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Poliedros convexos. Si existe una recta que cruce en más de dos puntos a sus caras.
K, L, M y N son los puntos de cruce.
A
Poliedros regulares
Son aquellos limitados por polígonos regulares iguales, sus ángulos poliedros son iguales y sus ángulos diedros
iguales.
dosificación
Tutraedro. Sus caras son cuatro triángulos equiláteros.
Dodecaedro. Sus caras son doce pentágonos regulares.
Hexaedro o cubo. Sus caras son seis cuadrados.
Icosaedro. Sus caras son veinte triángulos equiláteros.
Octaedro. Sus ~ son ocho triángulos equiláteros.
136
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
Desarrollo
& la representación en un plano de los poliedros, en la cual se tienen sus caras unidas por las aristas.
Tutraedro
Hexaedro o cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Área y volumen de un poliedro regular
'Thtraedro. & el poliedro que forman cuatro caras triangulares iguales.
e
e
Ána total: cuatro veces el área de una de sus caras.
Volumen: un tercio del área de una de las caras por la altura del cuerpo.
Área total en función de L
Ar= J3L2
Volumen total en función de L
Donde,
Vr= ..fj,Vh= J2L,
12
12
L= Longitud de la cara
h = Altura del cuerpo
L
137
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Hexaedro o cubo. es el poliedro que forman seis caras cuadradas iguales.
e
e
Área total: reís veces el área de una de sus caras.
Volumen: cubo de su arista (se le denomina arista a la longitud de uno de los lados de una de la> caras).
Área total
Ar=6L2
L
1
1
1
/
,,
/
~lumen
total
Vt= L3
>---
/
Donde,
L = Longitud de la cara
L
Octaedro. es el poliedro que forman ocho caras triangulares iguales.
e
e
Área total: ocho veces el área de una de sus caras.
Volumen: un tercio del cuadrado de la arista por la altura total del cuerpo.
Área total en función de L
1
l
Ar=2.f3L'
~lumen
h
total en función de L
1,
,/2,
Vt= -Ch= - L
3
3
Donde,
L = Longitud de la cara
h Altura total del cuerpo
=
Dodecaedro. es el poliedro que forman 12caras pentagonales iguales.
e
Área total: d:>ce veces el área de una de las caras.
Área total en función de L
Ar= 3J25+10../5 · L2
~lumen
total en función de L
Vt=
( 15+ 1../5)
Donde,
4
/J
L = Longitud de la cara
Icosaedro. es el poliedro que forman 20 caras triangulares iguales.
e
Área total: 'l:inte veces el área de una de las caras.
Área total en función de L
Ar=
~lumen
total en función de L
Vt=
(15+5../5) '
L
12
Donde,
L
138
5../3· /3
=Longitud de la cara
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
~ 1 ••· Determina el área total y el volumen ele un tetraedro con arista de 3 cm.
E
Solución
L!-
Fn este caso L = 3 cm y al sustituir en las fórmulas ele área total y volumen se obtiene:
Área total=
../3!3 = ../3(3 cm )2 = 9../3 cm2
J2L'= -(3cm)
J2
3
J2
) = --cm
9J2 3
Volumen= = -(27cm'
12
12
12
4
2
•••Si el volumen de un hexaedro es ele 128 cm', determina la arista y su área total.
Solución
El volumen ele un hexaedro se define como: V= L3 , al sustituir Vy despejar L,se obtiene:
(128 cm') = L3
Entonces, la arista del hexaedro es
L= .J128cm' =
4Jí cm
4J2 cm y el área total es:
A =6L2 =6( 4J2 cm)2 =6(32 cm2)= 192cm2
Por tanto, el área total es 192 cm2.
3 ••· FJ área total ele un octaedro es 54 ../3 cm2. Determina su volumen.
Solución
FJ área total de un octaedro se define como: A = 2../3 L2 , al sustituir en A y despejar Lse tiene:
54 ../3
cm2 = 2 ../3
L2
luego, el volumen se define como: V=
L=
~
L3 , sustituyendo L=
54../3 cm 2
~ ~ r;;
r;;
= ,¡27 cm = .>V3 cm
2v3
3../3 cm ,se obtiene:
Por tanto, el volumen del octaedro es: 27../6 cm'.
4
•••Determina la altura de un tetraedro de arista
J2 cm si su volumen es ~ cm 3•
Solución
../3
El volumen ele un tetraedro en términos de la arista y la altura es: V=
entonces:
r
1~ L h, sustituyendo V y L, se despeja h,
2
h= 12V = 12Gcm') = 4cm' = 4J6 cm= 2J6 cm
fj¡] ../3( J2 cm
J6 cm'
6
3
Por consiguiente, la altura del tetraedro es:
2
~ cm.
139
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO
33
Determina el área total y el volumen de los siguientes poliedros regulares:
1. Tetraedro de arista 2 cm
6. Octaedro de arista ../3 cm
2. Tetraedro de arista J3 cm
1. Dodecaedro de arista 2
3. Hexaedro de arista 2../3 cm
8. Dodecaedro de arista 2 cm
4. Cubo de arista
~
dm
J5 cm
9. Icosaedro de arista ../3 cm
5. Octaedro de arista 6 cm
10. Icosaedro de arista 5
.J2 dm
Resuelve los siguientes problemas:
11. Determina el área total ele un tetraedro, si su altura es
.J6 cm y su volumen es ~Ji cm3
12. Determina el volumen de un tetraedro si su área total es 27 J3 cm2
13. Encuentra la altura de un tetraedro si su volumen es
!
3
cm3
14. Encuentra el volumen de uncubosisuárea totales 12cm2
15. Si el volumen de un cubo es 2 m3, determina su arista y área total.
16. Determina la altura ye! área total de un octaedro de volumen 72 Ji cm3
17. La altura de un octaedro es de 2 cm ysu área total es 4J3 cm2 ,encuentra su volumen.
18. Si la altura de un octaedro es de 6 cm determina su volumen.
19. Si el área total de un icosaedro es 10 ../3 cm2,encuentra su volumen.
20. Determina el volumen de un icosaedro de lacio Len términos del área total.
e
\flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • • . • . • . . . . . . . • • . •• • ••
Prisma
Fs un poliedro en que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos; las caras restantes son
paralelogramos.
dosificación
Rectos. Si las caras laterales son perpendiculares
alas bases.
~
Oblicuos. Si las caras laterales no son perpen-diculares
alas bases.
acuerdo con sus bases, los prismas se clasifican también de acuerdo con el polígono que tienen como base.
Prisma rectangular. Sus bases son rectángulos.
Prisma triangular. Sus bases son triángulos.
......
-- --- --1.40
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
Prisma cuadrangular. Sus ba5es son cuadrados.
Prisma pentagonal. Sus bases son pentágonos.
'
:
''
''
/
- ~'---- -- ---
Paralelepípedo
Son prisma5 cuya ba5e es un paralelogramo y sus caras opuestas son para!~. también se les conoce como ortoeclros.
A
B
:'.......
º -~~~;;
·""~...-:........
~·
G
........,~.
E
Características principales
l. Las cuatro diagonales de un paralelepípedo son iguales.
AF = BE =CH =DG
2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.
Oes el punto medio de AF,BE,CHyDG
3. El punto de intersección de las diagonales de un paralelepípedo es el centro del mismo.
O es el centro del paralelepípedo
4. La longitud de una diagonal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las aristas que concurren en un vértice.
EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~_,..
S 1
o.
[
• • •Determina la longitud de la diagonal de un paralelepípedo si su ancho
mide 3 cm, el largo 4 cm y el alto 2 cm.
w
'
'
,;;L------- - -- -,/
Solución
4 cm
Sea d la diagonal del paralelepípedo, entonces:
d= J 2 2 +32 +42 = ,/4 +9+16 = fi9cm
141
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Área y volumen
e
e
e
Área lateral de un prisma: producto del perímetro de la base y la altura.
Área total: suma del área lateral y el área de las dos ba.5es.
Volumen de un prisma: producto del área de la base y la altura del prisma.
Prisma rectangular
Prisma triangular
a
b
L
Área lateral
Área lateral
AL=2(a+b)h
AL=Ph
Área total
Área total
h
Ar=2(a + b)h + 2ab
h
Ar= Ph +2As
Volumen total
Volumen total
Vr= abh
Vr=Ash
Prisma cuadrangular (cubo)
L
...
/""- - - - - - : :
L
Prisma cuya ba5e es un polígono den lados
AL=4L2
AL=Ph
L Área total
,.
.....
Área lateral
L
Área lateral
Área total
h
Ar=6L2
Ar= Ph +2As
Volumen total
Volumen total
Vr=L3
Vr= A,ji
EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-...
a
.i
D.
1 • ••~termina el área lateral, área total y volumen de un prisma triangular de 2 cm de lado con altura de 4 cm.
Solución
Fl área lateral de un prisma triangular se define: AL= Ph, se determina el perímetro de la base,
P = 3{2 cm) = 6 cm, entonces AL= (3)(2 cm)(4 cm) = 24 cm2
FJ área total de un prisma triangular se define: Ar= Ph + 2As• por lo que se obtiene el área de la base triangular meciante la fórmula de Herón de Alejandrfa:
As= Js(s-a)(s - b)(s - c) = J3(3-2)(3-2)(3-2) =
J3
cm2
Luego el área total es:
Ar= Ph +As= 24 cm2 + f3 cm2 = (24 + f3)cm 2
El volumen del prisma triangular se define Vr= Ash, entonces:
Vr=Ash = ( ,J3 cm2 )(4 cm) = 4 ,J3 cm3
2
25
• • •Determina el volumen de un prisma cuya ba.5e es un triángulo rectángulo isósceles de área
cm2 , si el área lateral del
2
pismaes (80+4oJ2)cm2.
Solución
Fl área de la base es un triángulo rectángulo isósceles, entonces:
1
A= 1.bh
~
25
2
cm 2 =
1
2(x)(x)
1.42
~
x2 = 25 cm2
~
x=5cm
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
luego, la hipotenusa (d) del triángulo es:
<fl=x2+x2
d=
J2x
X
al sustituir x = 5 cm se obtiene:
d = 5.fi. cm
FJ área lateral de UD prisma se define como: AL= Ph, si P = 10 + 5 .fi., entonces:
A,
h=
p =
80+40.fi.
I0+ 5.J2
=
X
8(1o+s..fi.)
l0+
=8cm
5
Ji
por tanto, el volumen del prisma es:
Vr=A 8 h=(~cm 2}8cm)= IOOcm'
3
••• ~termina el área total y el volumen de UD prisma hexagonal de lacio 1 cm y altura 2 cm.
Solución
Se obtiene el área de la base que es el hexágono
lcm
Luego,
3.fj
=-
2
2
cm
Área total
Ar=Ph+2A8 =(6)(1 cm)(2cm)+
3./3
T
cm2=
( 12+ 3.fj) cm2
2
Volumen
.
EJERCICIO 34
Determina el área lateral, total y volumen de los síguientes cuerpos geométricos:
l. Prisma rectangular de dimensiones 2, 3 y 5 cm.
2. Prisma cuya ba.5e es
UD
triángulo equilátero de 4 cm de lacio y 6 cm de altura.
3. Prisma cuadrangular si el lacio de la ba.5e es 1 cm y su altura 4 cm.
4. Prisma de ba.5e un hexágono regular de lacio 2.5 cm y altura 6.5 cm.
5. Paralelepípedo de dimensiones .fi., 4 y 2../2 cm.
6. Cubo de lacio 2 cm.
7. Prisma cuadrangular si el área de la ba.5ees 12 cm2 y la altura es 8 cm.
8. Prisma cuya ba.5ees
UD octágono
regular de lacio 10 cm y apotema (5 + 5 .J2) cm si su altura es de 5 cm.
9. Prisma hexagonal regular si el perímetro de la base es de 60 cm y la altura es el doble que el lacio de la base.
143
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Resuelve los siguíentes problemas:
10. Determina el área lateral de un prisma cuadrangular de volumen de 16 cm3 , si la altura mide 4 cm.
1t. Determina el volumen de un cubo cuya diagonal es
W.
12. Encuentra el área lateral de un paralelepípedo si las dimensiones de la base son 8 y 4 cm y una de sus diagonales
mide 2 ..fii cm.
13. Determina el volumen de un prisma cuya base es un triángulo isósceles de lacios 2, 2 y 3 cm si la altura del prisma
es el doble que la altura de la base.
14. Encuentra el área total de un prisma cuya base es un triángulo equilátero, si la altura excede en 1 cm al lado de la
base y el área lateral es de 90 cm2.
15. Encuentra el volumen de un prisma cuya base es un hexágono regular de lado 3 cm y área lateral de 18 J3 cm2.
16. Determina el área lateral de un prisma cu yo volumeo es de 8 cm3, si su base es un triángulo rectángulo isósceles con
área de 2 cm2.
17. El área lateral de un paralelepípedo si el largo de la base es el doble que el ancho, su altura es de 2 cm y su diagonal
mide 7 cm.
18. Expresa el volumen de un cubo de arista xen términos de su área total y área lateral.
19. De acuerdo con la fórmula anterior encuentra el volumen de un cubo si su área total es de 27 cm2.
20. Expresa el área lateral de un paralelepípedo en términos de su volumen si sus dimensiones son L, 2L y
e
~L.
Ylriflca tusr..ultaclos en la -cl6n do soluc:lonH oon . .pondionte • • • • • • • • • • • • • • •
Pirámides
Fs el espacio entre un ángulo poliedro y un plano que corta a las aristas del mismo, que recibe el nombre de base, la
superficie que lo limita se denomina superficie piramidal y son caras triangulares (caras laterales) terminadas en un
'~rtice en común.
V
V: Vértice
O: Centro de la base
AV: Generatriz
ov: Altura
PV: Apotema
ABCDE:
D
B
e
Base de la pirámide
AVB, BVC, CVD, DVE y EVA: Caras laterales
V
Pirámide recta. & aquella cuyas caras son triángulos isósceles.
Fn la figura:
AV=BV=CV=DV
144
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
Pirámide regular.
es una pirámide recta cuya ba5e es un polígono regular.
V
Fn la ti gura:
AB = BC =CD= DE= EF =FA
De acuerdo con el número de lacios de la ba5e, las pirámides se clasifican en:
1. Pirámide triangular, su base es un triángulo.
2. Pirámide cuadrangular, su ba5e es un cuadrado.
3. Pirámide pentagonal, su base es un pentágono.
A
Área y volumen
e
e
e
Ána lateral: producto del perímetro ele la ba5e por la apotema ele la pirámide (apotema de una pirámide es la
altura de los triángulos que forman sus caras).
Área total: suma del área lateral y el área ele la base.
Volumen de la pirámide: tercera parte del área ele la base por la altura.
Pirámide regular
Área lateral
h
a
A = Pa
L
2
Área total
Ar=AL+As
~lumen
V7
1
= -3
A¡/I
EJEMPLOS,------------~ 1 • • •Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular con arista ele la ba5e ele 3 cm, apotema ele 6 cm y
E
al tura ,/15 .
.l.
""'
i
Solución
E'J área total se define como A7 = AL+ As, entonces se determina el área lateral así como el área de la base:
Área lateral de la pirámide:
Área de la ba5e de la pirámide
As= L2 = (3 cm)2= 9 cm2
Por tanto, el área total es:
El volumen se define como: V7 = ~ A¡¡li, sustituyendo As = 9 cm2 y h =
V7 = 1 A¡/l
3
=31 (9cm (32 E
2
145
)
cm )
i ,/15
cm, se obtiene:
9 = cm '
= 2"15
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2 •••D:termina el área lateral, área total y volumen de una pirámide hexagonal regular, si el lacio de la base es de 4 cm y
la apotema de la pirámide mide 5 cm.
Solución
FJ área lateral se define como: AL= P;, siendo P = 6(4 cm)= 24 cm
AL=
Pa =
2
(24cm)(5cm) = 120cm =Wcm2
2
FJ área total se define como: Ar=
2
2
~ +As, y para determinarla se debe hallar el área de la base, entonces:
Px
As= T, donde x: apotema del hexágono.
x= J(4)2 -(2)' = '116-4 = Jfi =2.J3cm
As= 6(4cm)(2.J3cm) = 24.J3cmi
2
2cm
Por tanto, Ar=60cm2 + 24 ,/3 cm2 = (60+24.J3)cm2
El volumen se define como: Vr = ~ As h, dela cual no se conoce la altura, pero la pirámide es regular, esto indica que
la altura coincide con el centro del polígono, generando un triángulo rectángulo con las aristas, tanto de la base como
ele la pirámide, entonces:
por tanto, el volumen es:
Tronco de pirámide
Es el poliedro que se obtiene al cortar una pirámide mediante una sección paralela a la base.
V
J
Troncode
pirámide
Características principales
e Si la pirámide inicial es regular, el tronco de pirámide también será regular y se formarán trapecios iguales.
ABB'A' =BCC'B' = ... =EAA'E'
e
Las aristas laterales, alturas, apotemas y otras rectas trazadas desde el vértice quedan divididas en segmentos
proporcionales.
AV BV
EV
r:v =Fv =... =Fv
1.46
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
e
Las áreas de la base y la sección paralela son proporcionales a los cuadrados de sus distancias al vértice.
ÁreaABCDE
_
ÁreaA'B'C'D'E' -
(ov)'
(o·v)'
•••Una pirámide cuadrangular con base de 4 cm por lacio y altura 8 cm,se corta mediante una sección paralela de lacio
de 1 cm, determina el volumen del tronco de pirámide que se genera.
Solución
Se establece la proporcionalidad entre l~ ~ de los polígonos y su distancia al vértice,
sea A' y A el área del cuadrado de lacio 1 cm y 4 cm respectivamente, entonces:
A' -
0.:f
A - (h)
1
1
1cm2
h"
16 cm2 = 64 cm 2
2
h
al despejar h', se obtiene:
h'=
(1 cm')(64 cm')
~
16cm2
= J4cm 2 =2cm
por tanto, el volumen del tronco es la diferencia de volómenes entre la pirámide mayor (V) y la menor (V'):
1(
)'( 8cm-3lcm
) 1(
)'( 2cm=3cm-3cm
) 32 3 2 3
V7 =V-V'=34cm
= 10 clti'
Cuerpos con superficies no planas
Fste tipo de cuerpos se clasifican en:
Superficie cilíndrica. La genera una línea recta que se mueve siempre paralela a
sí misma sobre una directriz.
,B
A
AB: Directriz
/
--~
l : Generatriz
Superficie cónica. La genera una línea recta que se mueve sobre una directriz y
¡:asa por un punto fijo llamado vértice.
A: Vértice
A
BC: Directriz
l : Generatriz
e
B
147
"~
'
~~
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Figurm de revolución. Las genera un plano al gimr sobre una recta que pertenece al mismo
plano.
00 ': Eje de la superficie
ABCD: Figura plana
Cilindro circular
Superficie cilíndrica cerrada que limitan dos círculos iguales y paralelos llamados bases.
Cilindro circular recto. Aquel cuyas generatrices son
perpendiculares a las bases.
Cilindro circular oblicuo. Aquel cuyas generatrices
oo son perpendiculares a las ba5es.
1
h
l
Área y volumen de un cilindro circular recto
Área lateral: producto del perímetro de la ba5e y la altura del cilindro.
Área total: la suma del área lateral y las áreas de la base y tapa.
Volumen: producto del área de la base y la altura.
Área lateral
AL =2trr h
h
Área total
A,-= 2 tr r (h + r)
Volumen total
--,--
Vr =tr r2h
Cono circular
Es la región del espacio que limita una superficie cónica cerrada y cuya ba5e es un círculo.
Cono circular recto. Si el segmento que une al vértice
y al centro de la ba5e es perpendicular a la base.
Cono circular oblicuo. Si el segmento que une al vértice
y al centro de la ba5e no es perpendicular a la base.
Área y volumen de un cono drcular recto
e
e
Área lateral: producto de tr, radio y la generatriz.
Área total: la suma del área lateral y el área de la base.
1.48
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
e
Volumen: producto del área de la base y la tercera parte de la altura. La altura del cono es la recta que baja de
su vértice al centro de la base.
Área lateral
AL= 1t r g
Área total
Ar= 1t r (g + r)
\úlumen total
1
Vr=Jnr2h
• • •Calcula el área lateral, área total y el volumen de un cilindro con radio de la base de 3 cm y con altura de 6 cm.
Solución
FJ área lateral de un cilindro se define como: AL= 2n r h, se sustituye r = 3 cm y h = 6 cm y se obtiene:
AL= 21t (3 cm)(6 cm)= 361t cnr
FJ área total de un cilindro está dada por la fórmula: A,= 2n r h + 2ni2
Ar= 2n(3 cm) (6 cm)+ 21t (3 cm) 2 = 361t cnr + 18ncm2 = 54ncnr
El volumen se define como: Vr = n i2 h, entonces:
Vr= n (3 cm)2 (6 cm)= n(9 cm2) (6 cm)= 54n cm3
2
• • •Determina el área lateral, área total y el volumen de UD coDo recto cuyo radio mide 1 cm y la altura 2 cm.
Solución
Se calcula la medida de la generatriz, la cual forma un triángulo rectángulo con la altura y el radio de la base, entonces:
g2 = (2 cm)2 + (1 cm)2
g2 =4 cnr + 1 cm2
g= ~5cm
2
g=..f5cm
Se sustituyen en las fórmulas r =1 cm, h =2 cm y g =.J5cm.
Área lateral
Área total
Ar= nr(g + r) = n(l
cm)( JScm+l cm)= n ( .J5+1) cm2
Volumen
1
1
2
Vr= - nr2h= - n(l cm)2(2cm) = - ncm3
3
3
3
149
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 35
Determina el área lateral, total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:
1. Pirámide regular cuya ba5e cuadrangular de lado tiene 3 cm si su altura mide 4
cm.
2. Pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero ele lado 1 cm si su altura mide .j6 cm y la arista ele las caras
3
laterales mide 1 cm.
3. Pirámide regular cuya ba5e es un hexágono regular de lado 2 cm si su altura es 5 cm.
4. Pirámide regular cuya ba5ees un octágono regular de lado 4 cm, apotema4.8cm y altura de 6.4 cm.
5. Cilindro circular recto de radio 3
cm y altura 5 cm.
6. Cilindro circular recto de diámetro 8 cm y altura 4
cm.
7. Cono circular recto de radio 7 cm, altura 9 cm y generatriz
.J150 cm.
8. Cono circular recto de radio 2 cm y altura 8 cm.
9. Cono circular recto de diámetro 5 cm y altura J3 cm.
10. Cono circular recto de radio 1 cm y generatriz 3 cm.
Resuelve los siguientes problemas:
11. Encuentra el volumen de una pirámide cuya base es un trapecio isósceles de base menor 2
lados iguales
cm, base mayor 4 cm y
JIO cm si la altura de la pirámide es de 4 cm.
12. Determina el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 2
el: la pirámide 6 cm.
J2 cm y altura
13. Encuentra el volumen de una pirámide cuadrangular de lado 6 cm, si sus cara\l laterales son triángulos isósceles cuyos
lados iguales mielen 8 cm.
14. Una pirámide cuadrangular de base 8 cm por lado y altura 10 cm,se corta mediante una sección paralela ele lado 4
cm, determina el volumen del tronco de pirámide que se genera.
15. El área lateral de una pirámide es 60 cm2 , si su base es un hexágono regular y la apotema de la pirámide mide 5 cm,
cl:termina el área de la base.
16. Encuentra el volumen de un cilindro circular recto si su área total es 32ircm2 y su altura mide 6
3 , si
17. El volumen de un cilindro circular recto es 175n: cm
á'ea lateral.
cm.
el radio es dos unidades menos que su altura, determina su
18. El área total de un cono circular recto es 24ir cm2, si la generatriz excede en dos unidades al radio de su ba5e, determina su volumen.
19. El área lateral de un cono circular recto es 32n: cm2 ,si la medida del radio es la mitad de la generatriz, encuentra el
área total.
20. Expresa el área total ele un cono circular recto en términos de su volumen si su altura es el doble de su radio.
e
'lllriflca hit r..ultadot •n la -cl6n do toluclonu --diento . - - -- - - -- - - -
150
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
Esfera
Fs un sólido geométrico al que limita una superficie esférica, cuyos puntos equidistan de un punto fijo que se conoce
como centro de la esfera.
O: Centro ele la esfera
r: Radio de la esfera
AB: Wmetrode la esfera
A
e,: Circunferencia mayor
Figuras esféricas y zonas esféricas
Resultan ele cortar la esfera y la superficie esférica.
Ca$quete esférico. Se obtiene al dividir la superficie esférica en dos partes,
mediante un plano; si éste pasa por el centro de la esfura los casquetes son
iguales.
Segmento esférico. Fs el espacio que limitan el casquete esférico y el
círculo base.
Zona esférica. Fs aquella superficie esférica limitada por dos planos.
Rebanada esférica. & el espacio que limitan dos planos paralelos y la
:zona esférica correspondiente.
Huso esférico. & la porción de superficie esférica que se obtiene con dos
planos que concurren en un diámetro.
Cuña esférica. Fs la porción de espacio que limitan dos planos que
concurren en un diámetro y el huso esférico correspondiente.
A
f::===E::::::=::tB
Sector esférico. Fs la porción de espacio limitado por un casquete esférico
y la superficie cónica con vértice en el centro de la esfera cuya directriz es
la base del casquete.
o
151
1OCAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Área de figuras esféricas y volumen de cuerpos esféricos
Área: es igual al área ele cuatro círculos máxúoos ele esa esfera.
A =4irr2
Volumen: es igual a cuatro tercios ele ir por el radio al cubo.
4
V = -irr3
3
Volumen de un sector esférico
2
V= -ir r2h
3
Donde
o
r: Radio de la esfera
h: Altura del casquete esférico
Área de un C$()uete esllrico y zona esférica
A ='br rh
Volumen de un segmento esférico
2
1
V= - irr2h - - irR2 (r-h)
3
3
Volumen de una rebanada esférica: dferencia ele volúmenes de los
segmentos estericos con radio r2 y r 1 respectivamente.
Donde
r: Radio ele la esfera
r1 y ri
Radios de las circunferencias que limitan la rebanada
h: Altura del casquete esférico o zona esférica
R: Radio de la base del casquete esférico
Área del huso esférico
2
A= irr n
90º
Volumen de la cuña esférica
3
V= irr n
Donde
270°
r: Radio ele la esfera
n: Ángulo que forman los planos de un buso
152
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
~ 1 • • · Calcula el área y el volumen de una esfera de 6 cm de diámetro.
E
Solución
i!-
FJ área de una ei>fera está dada por la fórmula: A = 4ir r2, si r =
A= 4ir (
6
~m
~ entonces:
J
= 4ir (9 cm2) = 36ircm2
El volumen de una esfura está dado por la fórmula: V=
~ir r3, se sustituye r = 3, obteniendo:
4
3
4
3
V= - ir(3 cm?= - ir (Tl cm3) = 36ir cm3
Por tanto, A = 36ir cm2 y V= 36ir cm3 •
2
• •!Xtermina el área del huso esférico y el volumen de la cuña ei>férica que forman dos planos con un ángulo diedro de
45°, si el radio de la esfera es de 9 m.
Solución
2
FJ área del huso esférico está dada por la fórmula: A= ir.:o.n, sustituyendo r = 9 m y n = 4.5°, se obtiene:
2
A= ir(9 m)' .45• = ir(Sl m ) = Slir m2
90º
2
2
3
El volumen de una cuña se obtiene mediante la f6rmula: V= ;; :. entonces:
0
3
3
V= ir ?n = ir{9 m) • 45º = ir· 729 m = 243ir m3
TTOº
TTOº
6
Por tanto, el área del huso ei>férico y el volumen dela cuña son: Slir m2 y
2
3
2
243
ir
2
m3 rei>pectivamente.
••·Determina el área del casquete ei>férico cuya ~e dista 2 cm del centro, si el radio de la
~eei> fiicm.
Solución
FJ área de un casquete ei>férico se obtiene mediante la siguiente fórmula:
A=2ir m
d! los cuales se desconocer y h, de la figura se tiene que:
r = ~(2cm)2 +( J2t cm)' = J4cm2 +21 cm 2 = J25 cm2 = 5 cm
luego, la altura del casquete es:
h = r-2cm= 5 cm-2cm = 3 cm
al sustituir r = 5 cm y h = 3 cm en A = 2ir rh, se obtiene:
A= 2ir(5 cmX3 cm)= 30ir cm2
Por consiguiente, el área del casquete ei>férico es 30ir cm2•
153
1O CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
4
• • •Una esfera de 1Ocm de radio se corta mediante dos planos paralelos a una distancia de un mismo lacio del centro de
2 cm y 6 cm respectivamente, determina el volumen del segmento e>férico.
Solución
Para determinar el segmento e>férico, primero se encuentran los volúmeoe> de los casquetes e>féricos, como lo mue>tra
la figura:
V= \ólumen del segmemo esférico
V1
=\blumendel primercasquete
V2
=\blumen del segundo casquete
. . • . • • . . . . . "R; ' ..•..
'r=lOan
·
Eola figura,R 1 = Jl00-36
R 1 =8cm
V1 =
2
1
2
2
3 irr2h-3 irR2<_r -h) = 3ir(to)
1
2
800
384
416
(4)-3ir(8) (10-4) = 3ir-3ir= 3 i r
2
V2 =!_ir r2h - .!. ir R'l(_r -h) =!.ir( to)' (8)-.!.ir(../96) (10-8) =
3
3
3
3
1408
416
992
Por tanto, V= V2 -V1 = - -ir cnil - - ir cm3 = - ir
3
3
3
Jtoo-4
R2= J96
En 1a figura, R,=
1408
1600
192
irir=
ir
3
3
3
cnil
EJERCICIO 36
• Resuelve los siguíentes problemas:
l. Determina el área y volumen de una e>fera con radio de 4 cm.
2. Encuentra el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 6J5 cm.
3. El radio de una e>fera es de 3 cm, determina el volumen de un sector e>férico cuyo casquete e>férico tiene una altura
de 1 cm.
4. Determina el volumen de un sector esférico si la base de su casquete esférico se encuentra a 4 cm del centro de la
e>fera cuyo radio es de 9 cm.
5. El radio de una estera mide IO cm, ¿cuál es el área del casquete esférico cuya base se encuentra a 7 cm del centro de
la estera?
6. ¿Cuál es el área de un casquete e>férico cuya base dista del centro de una e>fera 2 cm y su radio mide 2 ../15 cm?
7. ¿Cuál e> el volumen de un segmento e>férico cuya base tiene una altura de 2 cm y el diámetro de la e>fera mide 6 cm?
8. Encuentra el volumen de un segmento e>férico si su base tiene un radio de 4 cm y el radio de la e>fera mide 5 cm.
9. Una e>fera con un radio de 12 cm se corta mediante dos planos paralelos a una distancia de un mismo lacio del centro
de 4 cm y 7 cm respectivamente, determina el área de la zona esférica y el volumen de la rebanada esférica.
IO. Una esfera con un radio de 1 cm se corta mediante dos planos paralelos, uno a cada lado del centro a una distancia
de
.!. cm y .!. cm respectivamente, determina el área de la zona e>férica y el volumen de la rebanada esférica.
2
3
154
CAPÍTULO 10
Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes
11. Encuentra el área del huso esférico si el ángulo que forman sus planos es de ©' y el radio de la esfera miele 10 cm.
12. El área de un huso esférico es
16
3
n, si el radio de la esfera mide 2 cm, ¿qué ángulo forma el huso esférico?
13. Calcula el volumen de una cuña esférica si el ángulo que forman sus planos es de 30" si el área de la esfera es 36n cm2 •
14. Dos planos que concurren en un diámetro forman una cuña esférica de volumen 2ncm3 y un buso esférico de área
2
3n cm2, encuentra el radio, área y volumen de la esfera.
e
Verlft:a tu1 ,.ouftaclos en la Hccl6n de solucloaH comollpOndlente a
155
------------=----
CAPÍTULO
11
FUNCIONES lRIGONOMÉlRICAS
R
ama de las matemáticas que estudia las rela·
óanes entre los ángulos y lados en cualquier
lriángulo.
Hiparco de Nicea
(190-120 a. C.)
Hiparco
Desde hace más de 3000 años los babilonios
y los egipcios fueron los primeros en utilizar los
ángulos y las razones trigonométricas para efec·
luar medidas en la agricultura, así como para la
construcción de pirámides.
de Nicea
Astrónomo, matemático y geógrafo griego nacido en N icea . Uno de los
principales desarrolladores de la trigonometría (plana y esférica), construyó
tablas que relacionaban los ángulos ce ntrales con las cuerdas delimitadas
por su ángulo central correspondiente. Gracias a esta tabla, equiva lente a
una tabla de senos actual, logró relacionar los lados y ángulos en cualquier
triángulo plano.
Los triángulos esféñcos se forman en la superficie de una esfera y son objeto de estudio de la trigonometría esférica, la cual se aplica en la náutica
y navegación.
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Funciones trigonométricas
A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se les llama funciones o razones
trigonométricas.
Definiciones
Seno de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tungente de un ángulo. Fs la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Cotangente de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto adyacente y el opuesto.
Secante de UD ángulo. Fs la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante de UD ángulo. Fs la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Nota: los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilice.
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.
S
a..
1 • ••Fn el siguiente triángulo determina los catetos opuesto y adyacente para cada uno de los ángulos agudos.
!
a
b
Solución
Para el ángulo a:
cateto opuesto= a
cateto adyacente = b
hipotenusa =e
Pam el ángulo {J:
cateto opuesto = b
cateto adyacente =a
hipotenusa = e
FJ cateto que es opuesto para uno de los ángulos será el adyacente para el otro, siendo la hipotenusa el lado que no
presenta variante.
2 • •• Obtén las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo:
a
158
CAPÍTULO 11
Funciones trigonométricos
Solución
F.o el triángulo la hipotenusa es e y los catetos son a y b, entonces las funciones para los ángulos agudos a y p son:
Funciones de a:
a
sena = e
b
[
cosa = e
a
rana= b
b
ctga = a
e
seca= b
e
esca = a
w
Funciones de {J:
b
~
sen f3 =e
a
cos f3 = e
b
~
~
ran{J = a
a
erg f3 = b
J
e
sec f3 = a
e
ese f3 = b
funciones trigonométricas de un ángulo agudo guardan ciertas relaciones entre sí:
Función directa
Función recíproca
seno
(sen)
'"(f------)"'
cosecante
(ese)
coseno
(cos)
<1(E - - - - - - ')•
secante
(sec)
tangente
(tan)
<1(E - - - - - - ')•
cotangente
(erg)
C.Ofunciones
Cualquier función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento.
F.o el triángulo rectángulo:
Por geometría:
90º+a+ P= tso•
Donde:
a+ P = 90°; P= 90º -a
por tanto, a y p son complementarios.
b
Entonce>, mediante las definiciones:
sena=cos (90° -a) =cos P
cosa =sen (90° -a) =sen P
tan a =ctg (90° -a) =erg p
ctg a= tan (90° -a) =tan p
seca =ese (90° - a) =ese P
ese a =sec (90° - a) =sec P
159
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Ejemplos
[8clas las
funciones trigonométrica5, se determinan sus respectivas cofunciones:
sen 32° =eos (90° - 32°) =eos 58°
tan 25º = etg (90º - 25º) =erg 65º
see ¡1': =ese
(1':2-¡
1':) =ese¡
1':
Rango numérico
Dacio que la hipotenusa ele un triángulo rectángulo siempre es mayor que cualquiera de los dos catetos, los valores del
seno y el coseno ele un ángulo agudo no pueden ser mayores que +1, ni menores que -1, mientras que los valores de las
funciones cosecante y secante, al ser recíprocas del seno y coseno, no pueden estar entre -1 y+ I; los catetos de un
triángulo rectángulo pueden guardar entre sí cualquier proporción, por tanto, los valores de la tangente y la cotangente
varían sobre todo el conjunto de números reales.
Valor
Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se pueden determinar las demás funciones a partir de la construcción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema de Pitágoras como a continuación se ilustra.
EJEMPLOS
..§D. 1
!
3
4
• • •Si Bes agudo, y eos 8 = - . calcula los valores de las funciones trigonométrica5 para 8.
Solución
Se construye un triángulo rectángulo, donde 8 es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa es 4 y el cateto adyacente
es 3.
Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lacio restante:
(4)2 = (x)2 + (3)2
16=x2+9
16-9 =x2
7 =x2
J7 = x
R>r tanto, las funciones trigonométricas del ángulo agudo 8 son:
.J7
sen8= -
4
.J7
tan8= -
3
etg8=
3.fi
"'J37 = -:¡-
ese 8 =
4
3
see8= -
160
4
"'J7
4.fi
=- 7
CAPÍTULO 11
Funciones trigonométricos
2
•••Si Bes agudo y tan B =.!.,calcula los valores de seno y coseno del ángulo B.
2
Solución
Se construye un triángulo rectángulo, donde Bes uno de los ángulos agudos, el cateto opuesto es 1 y el cateto adyarente es 2.
Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del la~ restante:
(.>')2= (1)2+ (2)2
x2=1+4
x2=5
x=
.J5
n...
• •
1 = -.J5 y cos B = 2r. = -2.JS
cvr
coos1gwente,
sen B = r.
-v5
5
-v5
5
.
2
EJERCICIO 37
1. Obtén el valor de
~
funciones trigonométricas de los ángulos agudos, en los siguientes triángulos:
a)
X
b)
d)
N
N
7
2. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos rectángulos:
a) Si B y a son los ángulos agudos y cos B =
~
d) Si By a son los ángulos agudos y sec B = 2 .J3
b) Si L A y LB son complementarios y tan B =
~
3
e) Si L M y L N son complementarios y t::fC N = 2
e
e) Si a+ f3 = 90º y erg a=
f) sen A =
4
Jí5
5
:¡;; y L Bes complemento de L
Verift:• tui resultados •n la secc&6n de soludoa•• COl'1'9spondient• . - -- -- - -- - - -
161
A
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano
Si un triángulo rectángulo se ubica en el plano cartesiano, de manera que uno de sus catetos coincida con el eje horizontal,
funciones trigonométriCa5 tendrán un signo dependiendo del cuadrante sobre el cual se encuentre dicho triángulo.
m
11
+
X
m
N
bbla de signos
.. - .
-
1
.
.
Seno
+
+
Coseno
+
Tangente
+
Cotangente
+
Secante
+
-
Cosecante
+
+
.
..
-
.
.
+
+
-
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-­
_..~Q.
E
i!-
1
• ••Sea el punto A(-3, 4), determina ~ funciones trigonométrica5 del ángulo agudo a= LX O A.
Solución
R>r el teorema de Pitágoras:
(OA)'
y
=(-3)2 + (4)2
(oA)'=9+16
OA =
..fil
=5
X
Por tanto, las funciones trigonométricas del ángulo a, son:
4
sena= -
5
4
tona= -3
3
4
ctga= --
162
5
3
seca= - esca=
¡5
•1
+
+
-
CAPÍTULO 11
Funciones trigonométricos
2
•••Calcula las funciones trigonométricas para el ángulo {3, si se sabe que tan f3 = 4 y 180° s f3 s 270°.
Solución
FJ ángulo se define en el tercer cuadrante y la función tangente es positiva, por tanto, tan f3 =
se ubican en el plano cartesiano.
RJr el teorema de Pitágoras:
(h)2
~ = -4 , estos valores
1
-1
y
=(-4)2 + (-1)2
Jí2 = 16 + 1
h
= .fi7
X
Entonces, las funciones trigonométricas del ángulo f3 son:
sen/3= - -
4
.fi7
1
=-Ji? = .fi7
17
cos /3
.fi7
tan {3=4
csc{J= - -
1
erg {3= 4
4
sec f3 = -.fi7
3 ••· Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo agudo 8 que forman el punto P(2, -S) y el eje horizontal.
Solución
Por el teorema de Pitágoras:
2
0P
=(2)2 +(-5)2
X
OP= ..J4+25
OP=
Ji9
Las funciones trigonométricas son:
5
5..fi.9
5
../29
sen 8 = - - = - - - tan8 = -- sec8 = -
.fi9
29
2
2.fi.9
..fi.9
29
cos8= - = - -
2
2
ctg 8=--
5
163
2
..fi.9
csc8 = - -
5
P(2, -S)
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJ E~C ICIO
38
1. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo a=< XOM que forman el punto M( 12, -5) y el eje horiwntal.
2. Encuentra las funciones trigonométrica; del ángulo agudo a= YON que forman el punto N(- 4, -7) y el eje vertical.
3. Determina las funciones trigonométrica; del ángulo agudo f3 = XOA que forman el punto A(2, 3) y el eje horizontal.
4. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo
horizontal.
(J)
=
XOB <pe forman el punto B(J2. , - J2.)y el eje
2
2
5. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo a, si se encuentra en el tercer cuadrante con ese a =
-~
6. Determina las funciones trigonométricas del ángulo a, si se encuentra en el cuarto cuadrante con erg a= 7. Fncuentra las funciones trigonométricas del ángulo
p, si se sabe que eos P = - ;
8. Obtén las funciones trigonométricas del ángulo w,si se sabe que erg w
=- 8 y
3
;
3
y 90° s
Ps
}¡
180°
s w s 2ir
1
9. Si ese ll = : si 90° s ll s 180º, calcula las funciones trigonométricas del ángulo ll
10. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo psi se sabe que cos
p = - J3
3
3
y ir:!> f3 :!> ir
2
11. Si sen a > O, tan a < O y seca = -2, calcula las funciones trigonométricas del ángulo a
12. Si sec a >O, erg a< O y eos a=
.!. , calcula las funciones trigonométricas del ángulo a
2
Funciones trigonométricas para ángulos mayores que 90º
lbdo ángulo mayor que90º , se puede expresar en la forma (n ·900± a) o bienG ·~±a). donde nes un entero positivo y aes un ángulo cualquiera, la función de dicho ángulo será equivalente a:
i) La misma función de a sin es un número par.
ii) La cofunción correspondiente de a si n es un número impar.
&to con el fin de expresar la función trigonométrica de dicho ángulo en una expresión equivalente, pero con un ángulo agudo, conservando el signo correspondiente a la función dada, segón el cuadrante donde se encuentre el lado
terminal.
EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-­
"'
o l
D.
E
• • •F.xpresacomo función de un ángulo agudo tan 140°.
Solución
Fl ángulo se sitúa en el segundo cuadrante, donde la función tangente es negativa, entonces:
tan 140° =tan (2 · 90º -40°) =-tan 40°
Ahora bien, tan 140° se puede expresar también como tan (1 · 90º + 50°), n = !, por tanto se utiliza cotangente, la cual
es cofunción de la tangente, entonces:
tan 140° =tan (I · 90º + 50°) =- erg 50°
164
CAPÍTULO 11
Funciones trigonométricos
2 • •• Expresa como función de un ángulo agudo sen !.! ir.
9
Solución
FJ ángulo está en el tercer cuadrante, donde la función seno es negativa, entonces:
sen
sen
!.!ir
9
!.!ir =sen(2.!:.+3.ir) =-sen 3.ir
9
2
se puede representar también como sen(3·
d:cir, se expresa en términos del coseno.
sen
3
9
9
!:-~ir).
n = 3 por tanto se utiliza la cofunción del seno, es
2 18
11
(ir5)
5
9 ir =sen 3· 2 -¡gir =-cos 18 ir
• • •Expresa como función de un ángulo agudo sec 350° 15' 28".
Solución
FJ ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde la función secante es positiva, entonoes:
sec 350° 15' 28" = sec (4
· 90° - 9° 44' 32") = sec 9º 44' 32"
O en términos de cosecante:
sec 350º 15' 28" = sec (3 · 90º + 80º 15' 28") = ese 80º 15' 28"
4
• • · Expresa como función de un ángulo agudo cos 1 000º.
Solución
Cuando el ángulo es mayor que 360°, debe dividirse entre esta cantidad para obtener el número de giros o vueltas que
da el lado terminal y el residuo es el ángulo que debe expresaise en función de un ángulo agudo.
¿---
giros o vueltas
2
360°
11 000º
280°
~ Ángulo equivalente
FJ ángulo equivalente a 1 000° es 280°, situado en el cuarto cuadrante donde la función coseno es positiva, entonces:
CQS
1 000º = CQS 280° = CQS (4 · 90° - 80º) = COS 80º
O bien, en términos de la función seno,
cos 1 000º = cos 280° = cos (3 · 90º + 10°) =sen 1Oº
5
• • •Expresa como función de un ángulo agudo sen 6 290º.
Solución
Se obtiene el ángulo equivalente, que sea menor que 360°,
17
360º 16290°
170°
FJ ángulo equivalente es 170º, el cual se sit1Í11 en el segundo cuadrante donde la función seno es positiva, entonces,
sen 6 290º =sen 170º =sen (2 · 90º -
10º) = sen 10º
O bien, en términos de coseno,
sen 6 290º =sen 170° =sen (1
165
· 90º + 80°) = cos 80°
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
6
• • · Expresa como función de un ángulo agudo tan (-65°).
Solución
Se traza el ángulo negativo, el cual girará en sentido horario y será equivalente a un ángulo de 295°, que se sitúa en el
cuarto cuadrante, donde la función tangente es negativa.
Rlr consiguiente:
tan (-65°) =tan 295º =tan (4 · 90º -65º) =-tan 65°
O bien, en términos de cotangente:
tan (-65°) =tan 295º =tan (3 · 90º + 25°) = -ctg 25°
7
• • • Expresa como función de un ángulo agudo sen (-
~~ n)
Solución
Se traza el ángulo negativo, el cual se encuentra en el tercer cuadrante donde la función seno es negativa.
37
-n
36
Por tanto,
sen (- 35
n) =sen 37
TC =sen (1 · ~ +
36
36
2 36
!:..) = -sen!:._
36
O bien, en términos de coseno:
sen (- 35
36
n) =sen
37
n
36
=sen(3·!E.-.!2.n)
=-cos.!2.n
2 36
36
Funciones trigonométricas de óngulos negativos
Los ángulos negativos giran en sentido horario y las funciones trigonométricas de ángulos negativos, se expresan en
términos de funciones trigonométricas de ángulos positivos.
166
CAPÍTULO 11
Funciones trigonométricos
Fn el triángulo !J. AOB, ubicado en el primer cuadrante:
AB
sen8= =
sec8= =
BO
BO
AO
eos8= =
ctg8=
BO
=
ese8=
AB
AO
=
AB
o
Fn el triángulo !J. AOB, ubicado en el cuarto cuadrante:
AB
sen(- 8) = - -
AO
eos(- 8) =
~
AO
AB
tan(- 8)= - -
BO
erg (- 8)
=- .!.!!
AB
Por consiguiente: sen (-8) = -sen 8
eos (-8)
A
AO
BO
AB
tan8= =
AO
y
=cos 8
AO
BO
see(- 8)= -
ese(-8)= - ~
A
AB
tan (-8) = -tan 8
erg (-8) = -erg 8
see (-8) =see 8
ese (-8) =-ere 8
EJEMPLOS,------------~
1
E
.l.
w
• • •Expresa sen (-30°) en términos de un ángulo positivo.
Solución
Al aplicar sen (-8) =-sen 8,se obtiene:
2
sen (-30º) =-sen 30º
• • •Expresa tan (-120°) en términos de un ángulo positivo y agudo.
Solución
Se aplica tan (-8) = -tan 8 y se obtiene:
tan (-120º)= -tan 120º
y al reducir a un ángulo agudo,
tan (-120") =-tan 120º = -tan (2 · 90º -60°) =-(-tan 60°) =tan 60°
Valores numéricos de las funciones trigonométricas circulares
Los valores de las funciones trigonométricas guardan una estrecha relación con el círculo unitario y se pueden
calcular por medio de la medición de algunos segmentos de éste, el uso de tablas matemáticas o con el empleo de
una calculadora.
y
M R
167
X
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Si se consideran las distancias OR = ON = OV = 1, entonces para calcular el valor ele las funciones trigonométricas del
ángulo a, se emplean las definiciones ele las mismas y representan la longitud de los segmentos:
sen a=
careto opuesto
MN
MN
.
==
= = MN
hiporermsa
ON
1
cosa=
caretoadyacente
OM
OM
.
= == OM
luporenusa
ON
1
rana=
careto opuesto
SR
SR
===-=SR
careto adyacente
OR
1
c01eto adyacente
VT
Clg a= COJetO opuesto = OV
VT
-
= - 1- = Vf
seca=
hiporeruisa
OS
= =
careto adyacente
OR
= OS
-1
-
ese a=
hiporeruisa
OT
OT
- carero opuesto
ov = - 1 = OT
= OS
~EMPLOS--------------.
8
1
a..
E
i!-
• • • Calcula el valor ele las funciones trigonométricas del ángulo 32º 10'.
Solución
Si se emplea el círculo unitario para calcular las funciones, donde a= 32° 10', entonces:
y
X
Se consideran los segmentos OR
= ON = OV = 1, entonces:
sen 32º 10' = MN = 0.5324
ese 32º 10' = OT = 1.8783
COS 32° 10'
= OM = 0.8465
sec 32º 10' = OS
= 1.1813
tan 32° 10'
= SR
erg 32º 10'
= VT
= 1.5900
= 0.6289
168
CAPÍTULO
11
Funciones trigonométricos
Si se emplean las tablas matemáticas (incluidas al final del texto) para calcular el valor de las funciones trigonométricas de 32° 10', entonces, se procede de la siguiente forma:
Grados
0'00'
1
Radianes
.0000
Sen
.0000
Ten
.0000
'"
.52QQ
.!5324
1.6003
1.5900
1.5798
1.5697
1.5597
1.5497
Cos
1.0000
1.5708
90' 00'
.8480
.8450
.8434
.8418
.8403
1.0123
1.0094
1.0065
1.0036
1.0007
.9977
58' 00'
50'
40'
30'
20'
10'
32' 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.5585
.5614
.5643
.Sl48
.5701
.5730
.5373
.5398
.5422
.6249
.6289
.6330
.6371
.6412
.6453
33' 00'
.5760
.5446
.6494
1.5399
.9387
.9948
57' 00'
45' 00'
.7854
.7071
1.0000
Cos
Cta
1.0000
Ten
.7071
Sen
.7854
Radianes
45' 00'
Grados
.sen
.8465
r
El renglón superior corresponde a la columna izquierda cuyos valores van desde 0° 00' a 45° 00' y el renglón inferior
va desde 45° 00' a 90º 00'.
El valor desen 32° 10' se busca en la columna izquierda de arriba hacia abajo y además se observa que es el mismo
valor que el de cos 57º 50', buscado en la columna derecha de abajo hacia arriba, esto es porque son cofunciones.
Si se busca el valor de lm funciones trigonométricas empleando una calculadora, el procedimiento es el siguiente:
a) Verificar si la calculadora es de renglón simple o es más sofisticada y cuenta con doble renglón. Esto es porque
se teclea de forma diferente; en la explicación que a continuación se presenta se considera que el estudiante
empleará una máquina de doble renglón.
b) Es necesario definir en qué medidas angulares se desea trabajar (grados o radianes).
e) Considerar que el idioma que regularmente emplean los fubricantes en los menús y teclados es el inglés, es por
ello que el ejemplo así lo considera.
d) Para encontrar las funciones cosecante, secante y cotangente, es necesario encontrar primero sus respectivas
funciones recíprocas, ya que las calculadoras no cuentan con estas funciones de manera directa, y después
dividir la unidad entre dicho resultado.
Lla cual indica que la medida
angular está en grados sexagesimales.
Si se busca el sen 32° 10', entonces:
Se digita ~después, el valor de los grados 32 a continuación la tecla ~enseguida 10 y por último la tecla
~ Para que el resultado aparezca en la pantalla es necesario digitar la tecla~ y el resultado desplegado en
la pantalla de la calculadora es 0.53238389.
Si la función buscada es sec 32° 10', ésta no puede ser calculada de forma directa, por lo que es necesario encontrar
su función rec~ Además, ahora vamos a usar la medida angular en radianes, por tanto:
Se digita ~y se elige la opción 1 Rad I , la cual indica que la medida angular empleada está en radianes, 32°
10'=0.5614rad.
Se comienza digitando un paréntesis
en seguida la función recíproca de la secante, la cual es el coseno
~de0.5614, después se cierra el paréntesis [ I ) y por último la tecla~ la cual es la función recíproca.
Para que aparezca el resultado se teclea~ y se desplegará en la pantalla l. 1813.
Si se emplea la medida en grados debes digitar la tecla ele IMooelyelegir la opciónl Deg
ITJ
169
11 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 39
1. Expre5a en función de un ángulo agudo las siguientes funciones:
a) sen 210•
h) tan 254• 46'24"
b) tan 165°
i) eos 95• 25'
e) eos 280°
¡) see 320°48'12"
d) ese 120•
k) ese 121•
e) see 358º
l) erg (-48º)
f) sen 240° 37'25"
m) eos (-38° 54')
g) erg 315°
n) sen (-28°35'24")
2. Expre5a en términos de un ángulo positivo las siguientes funciones:
a) sen (-160°)
f) ese (-90º)
l>) erg (-140º)
g) eos (-225º 15' 46")
e) see (-240º)
h) erg (-176º 45' 23")
d) eos (-280°)
i) see
e) tan (-345°)
¡) sen (-228° 15')
(-tos• 32')
3. Expresa en función de un ángulo agudo las siguientes funciones:
a) sen (-160°)
g) sen (1 315°)
b) erg 1 240º
h) tan 823º 25' 18"
e) eos (-2 800º)
i) eos (-428° 45' 24")
d) tan 5 445º
¡) erg 920•
e) ese (-98º 32' 12")
k) see (-220°)
f) see (-230º)
l) ese 328º 33' 41"
4. Fncuentra el valor de las siguientes funciones trigonométricas (empleando tablas o calculadora):
a) sen
e
ts•
f) ese 79º
l>) erg 46º
g) eos 22• 10'
e) see 25•
h) erg 14º 40'
d) eos 83°
i) see to• 30'
e) tan 37•
a----------.. . -=- =
J) sen 29• 50'
Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte
170
CAPÍTULO
12
FUNCIONES lRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS NOTABLES
strónomo, motemático y geógrafo egip·
cio del siglo 11 de lo ero cristiano, nace
en Tolemoido Hermio (en el A lto Egipto),
alrededor del año 100, y vive y trabajo en A lejandría .
A
Ptolomeo calculó cuerdos inscribiendo polígonos
regulares de lodos 3, 4, 5 y 6 en un círculo, lo
cual le permitió calcular cuerdos subtendidos por
ángulos de 36º, 72º, 60º, 90° y 120º. En su obro Almagesto, Ptolomeo
p-oporcionó uno tablo de cuerdos de 0° o 180º con variaciones de 1º,
con uno exactitud de 1 /3 600 de uno unidad .
Ptolomeo
(100 4 c. -170 d. C.)
Los astrónomos de lo Indio habían desarrollado to mbién un sistema trigonométrico basado en lo función seno, en vez de cuerdos como los griegos.
Esto función seno ero lo longitud del lodo opuesto o un ángulo en un
lriángulo rectángulo de hipotenusa dado. Los matemáticos indios utilizaron
diversos valores poro ésto en sus tablas.
A f¡ noles del siglo vii los astrónomos árabes trabajaron con lo función seno
y o fina les del siglo x yo habían completado lo función seno y los otros
cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundomen·
toles de lo trigonometría, tonto poro triángulos planos como esféricos. Los
matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 (rodio de lo circunferencia) y
esto dio lugar o los valores modernos de los funciones trigonométricos .
12 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos
de Oº, 90º, 180º , 270º y 360º
Las coordenadas del punto P sobre el eje X son (a, O) y la distancia al origen es igual a a, entonces las funciones de
los ángulos de Oº y 360º son:
o
sen o· = sen 360° = - = o
y
a
eOS 0° = eos 360° = ~ = 1
a
360°
o
tan o• = tan 360° = - =o
P(a, O)
d=a
a
X
erg o• =erg 360º = ~ No existe
o
see o• =S'1e 360º = ~ = 1
a
ese o• =ese 360º = ~ No existe
o
Para el ángulo de 90°, las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje Y es P(O, b), la distancia al origen es b,
entonces:
y
s,¡n
90º =
~
=1
b
o
eos90º = - =O
b
P(O, b)
%No existe
o
erg 90º = - =0
tan 90º =
d=b
b
X
s,¡e
90º =
~
o
No existe
ese90º=~=1
b
Para el ángulo de 180° las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje -X son (-a, O), la distancia al origen es a.
o
sen 180º= - =O
a
eos 180º = -a =-1
a
d=a
P(- a, O)
tan 180° =
X
o
- =O
-a
erg 180º = -; No existe
see 180º= ~=-1
-a
ese 180º = ~ No existe
172
CAPÍTULO 12
Funciones trigonométricos poro óngulos notobles
Para el ángulo de TTOº las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje - Y son P(O, -b), la distancia al origen es b.
b
b
sen TTOº = - - = -1
y
o
eos TTOº = - = o
TTOº
b
tan 270º =
X
-b
0
No existe
o
erg 270º = - = O
-b
see 270º = ~ No existe
P(O, - b)
ese 270º = .!... = -1
-b
Cuadro de valores de las ilncione1 trigonom6tricas
Funciones
Oº
seno
o
90°
coseno
100°
2700
3W'
o
-1
o
o
-1
o
tangente
o
No exÍSte
o
No exÍSte
o
cotangente
No exÍSte
o
No exÍSte
o
No exÍSte
No exÍSte
-1
No exÍSte
No exÍSte
-1
secante
cosecante
No exÍSte
No exÍSte
Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º
Para las funciones trigonométri~ de los ángulos de(J()º y 30° se construye un triángulo equilátero de lacio igual a 2:
c
B
A
D
Se traza CA .l BD , CA es bisectriz del L C y mediatriz del lado BD.
En el triángulo BAC, L B = (J()º, L ACB = 30° y BA = 1
c
B
A
173
12 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Rlra obtener el lado b = CA se usa el teorema de Pitágoras:
2
CA = (2)2 -(1)2
2
CA =3
CA=
J3
Las funciones trigonométricas del ángulo de 60° son:
sen 60° =
J3
tan 60° =
2
J3
2
sec60º= - =2
1
1
erg 60º = - -
eos 60º = .!.
2
1
J3 = J3
•
2
2../3
ese60 = - = J3 3
=J3
3
Las funciones trigonométricas del ángulo de 30º son:
sen30º =
1
1
l
eos 30º = ../3
2
J3
2
2../3
J3 = 3
tan 30º = ../3 = 3
sec 30º =
erg 30º = J3
ese 30º = -= 2
1
2
= J3
1
Rlra calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45° se construye un cuadrado de longitud por lado igual a
la unidad y se traza su diagonal.
Rlra obtener el valor de la hipotenusa, se aplica el teorema de Pitágoras:
a2 =b2 + e2
a2 =(1)2+ (1)2
donde:
a2=1+1
~ acuerdo con el resultado anterior, a=
a2=2
..fi.
c
b=I
B
Las funciones trigonométricas del ángulo de 45° son:
1
sen 45° = - -= Ji
ran45º = ! = 1
cos 45• = _l_ = Ji
erg 45º = - = 1
Ji
Ji
2
2
1
1
1
174
.!l?C45º=
Ji =Ji
1
ese 45 • = Ji
1
=Ji
CAPÍTULO 12
Funciones trigonométricos poro óngulos notobles
Aplicación de los valores trigonométricos de los ángulos notables
EJEMPLOS,------------~ 1 • • •Calcula el valor numérico de 2 sen 30° cos 60°.
E
.L
w
Solución
Se sustituyen los valores ele las funciones trigonométricas y se efectúa la operación:
= (fl{~)=~
2sen 30° · cos 60° 2 ·
2 • •· Determina el valor numérico ele la expresión: taríl 60° + ctg245°.
Solución
Se sustituyen los valores ele las funciones trigonométricas y se determina que:
tarí1- 60º + ctg2 45º =(tan 60°)2 + (ctg 45°)2
Por tanto, tan260º +ctg2 45º = 4
3 • •· Calcula el valor numérico de sen 7..11:
+ 3 sen
6
=(J3
= =
)2 + (1)2 3 + 1 4
!!11: •
6
Solución
Los ángulos se expresan en función ele ángulos agudos para obtener los valores ele las funciones trigonométricas:
Entonces,
sen
Por tanto, sen
7
11:
6
+ 3 sen
sen
~11:
sen
~11: =sen ( 4·%-~) =-sen~=-~
=sen
~ 11: + 3 sen ~1 11:
11
-¡¡11:
(2·~+~) =-sen~=-~
=-~ + (-D =-~ -~ =-~ =3
2
=-2
4 • •• Mediante ángulos notables demuestra la siguiente igualdad:
sen 30º - (cos 30º · ctg 60°)2 = cos2 60º
Solución
Primero se encuentran los valores ele las funciones trigonométricas:
sen 30°
=-·
1
2'
cos 30º
=-J3 ;
ctg 60º
2
=
1
r;:; ;
v3
1
2
cos 60º = -
Después se sustituyen los valores ele las funciones y se demuestra que se cumple con la igualdad:
sen 30º - (cos 30º · ctg 60º)2 = cos2 60º
¡-(~·i-J =Gr
~-Gr=¡
1
1
2 4
1
4
- - - =1
- = Con lo cual queda demostrada la igualdad propuesta.
175
4
4
12 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
5 • ••Demue$tra la siguiente igualdad, mediante el valor de los ángulos notables:
/sen 2 ~11:+3see211: =ese!:.
V
2
6
Solución
Primero se encuentran los valores de las funciones trigonométricas:
sen ~11: =-1· sec 211: = l·, ese !:. =2
2
'
6
Entonces:
2
J(-1) + 3(1) = 2
.J1+3 =2
Ji.
=2
2=2
R:>r tanto, la igualdad es verdadera.
.
EJERCICIO 40
Completa la síguiente tabla:
Ciil
1l!7I!1!IJ
1 ~i' l• I ' 11 {
()"
o
D'
.l!.
45º
.l!.
«Y'
~
9(J'
2
120°
3
135°
4
150"
.l!.
180°
Jt
210"
Zll
225°
~
240"
.h
'ZJO"
J.l!.
D:l°
á
315°
330"
360°
mi
·.o
6
4
Jt
,.
Jt
6
6
4
3
2
3
7Jt
4
111t
6
2Jt
176
l!Jj]
cm
cm
G;¡,'!J
1
CAPÍTULO
Funciones trigonométricos poro óngulos notobles
Encuentra el valor numérico de las siguíentes expresíones:
l. 2 sen 30° eos 30°
9. 2sen¡ eos¡
(sen2 ~+eos 2 ~)
2. 2 sen 30° sen 60°
10. 2sen30ºcos30º (1-2sen2 30º)
3. 3 tan!:. sen !:.
6
3
2 5
5
2 5
11. tan - 1r+4sen- ir-3erg - 1r
3
6
4
4. sec2 45º - 2 ran2 45º
12.
eos 120º + see 180º
ese Z70 • + sen 330º
(sen 120º)(tan 240º)J
13. [
tan 315° - eos 300°
6. [sen2 45ºeos'45ºj
14. J(ran 225º)(sen 180°)(eos 240º)
7. 3 tan 60º erg 30º sen 45º ese 45º
15. sen90º+(eos 210º +sen 300º) +see 240º
2
8. 2 sen 60° sec 30° eos 45 • tan 45 •
Utiliza ángulos notables para demostrar las siguientes igualdades:
. sen 240º+sen120º·eos60º =tan 210•
16
sen 120º ·sen(-60º)
1r
2
3
1r
17. tan - ·sen - 1r =1+sen3
6
18. sen 180º =2sen 60º +sen 240º(sec45º)
2
19. cos225º+3sen225º = -2sec45º
•
20. ese 60 =-
e
sen30º
sen 150º ·sen 300º
V.riflca tus ..... atados •n la sección de soludotlos con. .ponchnt• •
177
-------------~
12
CAPÍTULO
13
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE lAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
S
e les considero como fundamento·
les por diversos rozones: poseen
Onda senoidal
propiedades matemáticos muy
interesantes (un ejemplo, con combino·
cienes de señales senoidoles de d iferente
amplitud y frecuencia se puede reconstruir
Ondasenoidalamortiguada
cua lquier formo de onda), lo señal que
se obtiene de los tomos de corriente de
cua lquier coso tiene esto formo, los señales de test producidos por los
circuitos osciladores de un generador de señal también son senoido·
les, lo mayoría de los fuentes de potencio en AC (corriente alterno)
producen señales senoidoles.
Lo señal senoidol amortiguado es un coso especial de este tipo de ondas
y se produce en fenómenos de oscilación, pero que no se mantienen en
el tiempo.
13 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Gráficas de las funciones trigonométricas
Al establecer una regla de correspondencia entre dos conjuntos, por medio de las funciones trigonométricas, se establecen relaciones como:
y= sen x,jµ") = cos (- x), y= tan
(x+~ir)
Para construir la gráfica de una función o raz.ón trigonométrica se dan valores al ángulo (Argumento), é$tos van sobre
el ejex, los valores obtenidos se grafican sobre el eje y.
Los valores asignados para el argumento se expresan en grados sexagecimales o radianes.
Gráfica de y= sen x
Thbulación
1im ..
y
I~
• • ·.,. ' •
2
3ir
4
45•
90'
135°
0.7
1
0.7
o
~
o
o
X
u•
4
~
~•
1
" . 1n!'t.
1 ... r.
...
... 1
-Sir
3ir
4
2
7ir
4
21<
1800
225°
2700
315º
3/IY
o
-0.7
-1
-0.7
o
1<
Gráfica
Características
y
l. La función tiene periodo igual a 2ir rad.
2. La función es creciente en el primero y cuarto cuadrantes.
3. La función decrece en el segundo y tercer cuadrantes.
4. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes
y negativa en el tercero y cuarto cuadrantes.
5. La función interseca al eje horimntal en múltiplos enteros de ir.
6. --<x<oo.
7. - lsysl.
180
CAPÍTULO 13
Representoci6n gr6fioo de los funciones trigonométrioos
Gráfica de
y= cos x
Tubulación
1-.
..
11:
11:
3
4
45°
07
2
¡"'
11:
90°
135°
-07
100°
-1
1
1
o
o
X
y
1
o
• 1,,,,
..
511:
311:
711:
4
225°
-07
2
4
315º
07
.. 1-.
270"
o
• 1
211:
3W'
1
Gráfica
Características
y
l. La función tiene periodo igual a 2ir rad.
2. La función decrece en el primero y segundo cuadrantes.
3. La función crece en el tercero y cuarto cuadrantes.
X
4. La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes, y
negativa en el segundo y tercer cuadrantes.
- 1
5. La función interseca al eje horizontal en múltiplos impares
de?:..
2
6. -oo <x < oo.
7. - t,;y,;I.
Gráfica de
y= ton x
Tubulación
1
X
o
O"
y
o
1
-
•
· ~,i
,,
11:
11:
11:
211:
6
30"
3
2
3
511:
6
60"
90º
120°
150°
057
No
1.7 existe -1.7
1
11:
--0.57
-
.
711:
-¡;
180" 210"
o
057
1
t'?:\...
411:
311:
511:
3
2
3
240"
270"
1.7
No
"
existe
o I
~"
,,
.•
1
300°
1lir
6
330"
3W'
-1. 7
-0.57
o
2T
Gráfica
Características
l. La función interseca al eje X en múltiplos de ir.
2. La función es positiva en el primero y tercer cuadrantes.
3. La función es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes.
4. La función tiene periodo igual a ir rad.
5. xes un número real tal que x ;t (2n + t) ~con
ne Z (asíntotas verticales).
6. -oo<y<oo.
181
13 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Gráfica de y=
ctg x
Tubulación
1-•••J"ll.•.•rc -
.r¡---.i.
o
X
F-4•'9•
"3 "2
21'
600
900
1200
057
o
--0.57
"6
00 300
No
y
exÍStE 1.7
....
1
3
-
• r: · . . .. .
-
... l•J"ll.•
1
1
-
r:
o r.r--ir.1..r ")
71'
6
6
1500 100° 2 10•
No
-1.7 exÍSte 1.7
St<
- -
r: .,...
1
or.r--ir.1..r")
5"
3
240•
3'r
2
2700
3000
111'
6
330•
057
o
-0.57
-1.7
41'
"
3
1
21'
3600
No
exÍSte
Gráfiat
. y
Características
l. La función interseca al eje X en múltiplos impares de ~.
2. Úl función es positiva en el primero y tercer cuadrante.
3. Úl función es negativa en el segundo y cuarto cuadrante.
o
~ir
-1
X
1
1
1
1
1
4. Úl función tiene periodo igual a rr rad.
5. xes un número real tal quex ;f n irconn e Z (asíntotas
'erticales).
T
6. -- <y <oo.
Gráfica de y= sec x
Tubulación
( "1':
-~
... 1
.
"
r••
X
o
"-4
-"
2
-3'r
4
y
1
14
No exÍSte
-1.4
.
1
"
-1
~
.
5"
1
o:
,,
· ·r: ·
• 1
4
31'
2
71'
4
21'
-1.4
No exÍSte
1.4
1
-
Gráfica
Características
y
1. Úl función no interseca al eje X.
2. Úl función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes.
3. Úl función es negativa en el segundo y tercer cuadrantes.
4. Úl función tiene periodo igual a 2 ir rad.
o
-1
"2
"
3ir
2
2ir
5. x es un número real tal que x ,.
X
(asíntotas verticales).
'(\'
1
1
1
1
1
1
6.
182
y~l
oy!> - 1.
(2n + 1) ~con n e Z
CAPÍTULO 13
Representoci6n gr6fioo de los funciones trigonométrioos
Gráfica de y= ese x
Tubulación
1 •.
.... ,.
- .
-
1
.-~T"
1t
o
3n:
1t
X
o
-
-
y
1
1.4
No existe
4
r: • 1 I• •
-
1t
51t
4
31t
2
-71t
4
21t
-1.4
-1
-1.4
No existe
1.4
1
r
1
- -
''º
4
2
-
1
11 •
I:· •l'w.•.•r • r·
1
11
Gráfica
y
Características de la función cosecante
l. La función no interseca al eje X.
2. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes.
3. La función es negativa en el tercero y cuarto cuadrantes.
o
"2
- l
:n:
"
31C
2
1
21'
4. La función tiene periodo igual a 2tr rad.
X
5. El valor de x es un número real tal que x "# n1t ron n e Z
(asíntotas verticales).
1
1
1
6.
y ~lo y ~-1.
1
1
Resumen
La siguiente tabla muestra el periodo, la amplitud, las asíntotas verticales, el dominio y el rango de cada una de las
funciones trigonométricas.
- - ..-
, .~. ~.....-.T~r.11 ,#•T"-;T,
1
1•"-" ~·
~
,,
.•.. ...
·- -
····'l•ll· ~
• ,___...
-
"l.'l.l ·11· 1 ••
+
-
y• senx
21'
1
No tiene
{x e R)
{ye R/- 1SyS1}
y• cosx
21'
1
No t iene
{xe R)
{ye Rl- 1SyS 1)
y• tan X
"
l(2n+1), ne Z
y• Ctg X
"
n;1f ne Z
{ x eR/x ,oM}
{ye R)
y•secx
21'
2 ( 2n + 1),ne Z
{xeR/x,o~(2n +1)}
{ye RI ys - 1oy~1)
y• cscx
21'
n1c.,ne Z
{xe R/x,onir}
{ye RI ys-1oy~1)
1t
1
1t
183
{x eR/x,o
~(2n+1)}
(ye R)
1
13 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Amplitud, periodo y desplazamiento de fase
Si y =a sen bx, o bien y =a cos bx, para a, b e R, distintos de cero, entonces la gráfica tiene amplitud 1a 1. y
. d
peno o
2ir
lbf
~EMPLos~~~~~~~~~~~~--
~ l
E
i!-
• • •Calcula la amplitud, el pericxlo y traza la gráfica de y= 4 sen 2x.
Solución
De y= 4 sen2xseobtienea= 4 y b= 2, los cuales al sustituir en las fórmulas se detenninan la amplitud y el pericxlo:
.
Amplitud: la l= 14 1=4
2ir
Penodo· -
.
~I
2ir
= ir
2
=-
Luego, la gráfica tiene amplitud 4 y periodo ir.
Thbulación
1t
X
o
¡
y
o
4
1t
3
2
¡1f
1t
o
-4
o
51t
31t
4
2
4
o
7
- 1<
21t
-4
o
4
Gráfica
Amplitud
R:riodo
184
CAPÍTULO 13
Representoci6n gr6fioo de los funciones trigonométrioos
2
• • •Calcula la amplitud, el periodo y traza la gráfica de y= 2 sen
.!. x.
2
Solución
De y= 2 sen
periodo:
.!. x se obtiene a = 2 y b = .!., los cuales al sustituirlos en las fórmu~ se determinan la amplitud y el
2
2
Amplitud: la l= l2 1=2
Periodo:
2n: 2n:
lbf
= .!_ = 4n:
2
Entonces, la gráfica tiene amplitud 2 y periodo 4n:.
y
,.
,.
2
:¡,.
2
~
SI<
2
31<
7,.
2
4t<
3
1.41
2
1.41
o
-1.41
-2
-1.41
y=
o
• • Determina la amplitud y el periodo de y=
~cos.!.x.
3
3
Solución
Fn este caso a =
1
"32 y b = 3,
por tanto,
Amplitud =
l~I = ~
.
2n:
Penodo= -
2n:
=-
lbl .!.
3
Entonces, la gráfica tiene amplitud ~ y periodo 6n:.
Desplazamiento de fase (desfosamiento)
e
Caso L Siy =a sen (bx +e~ o bien y =acos (bx +e) con a ;t Oy b ;t O
FJ desplazamiento de rase se calcula resolviendo las siguientes ecuaciones:
bx+c=O
185
y
bx + c=2n:
= 6n:
1
2sen-x
2
13 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Ejemplo
Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento ele fase y traza la gráfica ele:
1r:
y= 3 sen (2t+ - )
2
Solución
y = 3 sen (2t + ~ ~ tiene la fomia de y = a sen (bx + e) donde a = 3, b = 2 y e = ~. por consiguiente:
2
2
.
2tr:
2tr:
Penoclo= -=-=tr:
lbl 2
Amplitud= la l = l 3 I= 3
Para determinar el desplazamiento de fase y el intervalo, se resuelven las siguientes ecuaciones:
2x+ ~ =0
2
Donde x =
-¡1r:
y x=
.
¡3 rr: • respectJvamente.
X
- - 1'
-n
- - 1'
y
o
3
5
4
2t+ ~ =2tr:
2
y
3
1'
1'
4
2
4
o
-3
o
o
1'
1'
4
2
3
o
-3
3
3
4
21'
1'
- 1'
o
3
o
4
y
3
5
- 1'
____________
-3
7
- 1'
4
o
_Y= 3 sen(2x+~)
X
-3
e
Caso 2. Si y =a tan (b:r + e) con a
'#
O y b '# O, entonces:
a) El periodo es ;
1
Se pueden determinar las asíntotas verticales sucesivas en la gráfica resolvieoclo las ecuaciones:
bx+c=-~ y bx+c= ~
2
b) El desplazamiento de rase es _E_
b
186
2
CAPÍTULO 13
Representoci6n gr6fioo de los funciones trigonométrioos
Ejemplo
Calcula el periodo y traza la gráfica de y = ~ tan (x + ¡)
Solución
1
1t
a= -,b = 1 y e= -,entonces,
2
4
a) El periodo es
!:... = !:. = n
lbl
1
b) Para determinar las asíntotas verticales sucesivas se resuelven las ecuaciones:
1t
1t
4
2
x+ -= - Dondex =
-¡n
e) En la función a=
do a que e=
.¡
1t
1t
4
2
x+ -=-
y
y x = ¡,respectivamente, esto significa que cada n rodse traza una asíntota.
.!2 ,la gráfica de la ecuación en el intervalo [-~4 n, !:.]
tiene la forma de y= .! tan x, debi4
2
y b = 1, el desplazamiento de fuse se define como -* = -¡,por consiguiente, la gráfica se
obtiene desplazando y=
i
tan X mcia la izquierda una distancia de ¡
Gráfica
Finalmente se traza la gráfica de la función y=
i
tan (x +¡)con los elatos ya obtenidos.
y
X
Gráficas de y= sen- 1 x, y= cos-1 x, y= tan- 1 x
Seno inverso (y= sen- 1 x)
Se representa como sen- 1 y se define como sigue:
y= sen-1 x
x =sen y
si y sólo si
donde -1SxS1, -oo <y< oo
La expresión se puede escribir de las siguientes formas:
y= sen-1x =are sen x
o
y= ang sen x
Las cuales se leen, respectivamente, arco seno de x o dnguk> seno de x.
187
13 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Gráfica
Tabulación
y
o
-1<
1
-1
- 21<
.J2
- - 1<
1
4
2
1
2
1
- -1<
6
o
o
1
2
- 1<
X
1
6
1
.J2
- 1<
4
2
1
21<
o
1<
Coseno inverso (y= cos- 1x)
La expresión coseno inverso se define como:
y=co.r1x
si y sólo si
x=cosy
donde -1:!>x<1, -oo <y< oo,
La expresión se puede escribir de la siguiente forma:
y= cor' X= are cos X= ang cos X
Las cuales se leen, respectivamente, arco coseno de x o á11gulo coseno de x.
Gráfica
Tabulación
y
-1
.fi
-2
1
"
3
- 1'
4
2
-2
3"
o
2"
1
1
1
2
3"
J2
-1'
2
1
1
X
4
o
188
CAPÍTULO 13
Representoci6n gr6fioo de los funciones trigonométrioos
Tangente inversa (y= tan- 1x)
La expresión tangente inversa se define como:
y= tan- 1x
donde _.,. < x < oo,
'Y' es un real tal que y>' (2n + 1)
x= tan y
si y sólo si
1r
2
con ne Z
La tangente inversa se puede escribir de la siguiente forma:
y= tan-1x =are tan x =ang tan x
y
----------- ------------
X
189
13 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 41
Obtén la amplítud, el periodo y el desplazamiento de fase de las síguientes funcíones:
l. y=2cos
(3x-~)
4. y=
5sen(¡x+~)
7. y=
~senGn-5x)
(1¡x+3n)
2. y=2sen4x
5. y= 4cos(x-.¡n)
1
8. y= -3cos
3 )
3. y= -34 sen( - -23x+-n
2
6. y= -3 COS 2x
9. y=
sen(~)
Calcula el periodo, las asíntotas vertk:ales y el desplazamiento de ~se de las siguientes funciones:
10. y= 3 ran(2x)
13. y= -4ranGx-n)
15. y= tan (x -n)
Traza la gráfka de:
23. y =sec-1x
17. y=sen2x
24. y=angcscx
25. y=2+sen3x
19. y=
sen(~)
20. y= tan 2x
26. y = cos(2x) - 3
27. y= 1+2.sen 4x
2 8. y = sen(3x - n)
22. y= are erg x
e
Ylriflca tusr..ultaclosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a-----------~
190
CAPÍTULO
14
IDENTIDADES Y ECUACIONES lRIGONOMÉlRICAS
PITAGÓRICAS
-8.g
·.e:
e
"8 i.--1-~~..¡:.¡,.~~-1---.i
Definiciones de
ángulos del libro
l.Qs elementos de Euclides
A
sí se denomino o lo s identidades
que resultan del teorema de Pitágoros y se obtienen del círculo unitaño
mediante un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y catetos con long itudes sen a y
cosa.
Por definición del teorema de Pitágoras:
( 1)2 = (sen a)2 + (cos a) 2
1 = sen2 a
+cos2 a
A la cuol se le denomino identidad fundo·
mental.
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Identidades trigonométricas
Son igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para cualquier valor angular.
Cbtención de las identidades trigonométricos básicas
Para determinar las identidades se hace uso ele las definiciones de las funciones trigonométricas.
Ene! triángulo las funciones del ángulo a se definen:
a
sen a= e
b
cosa= e
a
e
= -b
ese a
= -a
erg a= ba
sec a
= b-e
tan a
a
b
Al multiplicar una función directa por cada una ele sus recíprocas se obtiene:
(ª) (e) c·a
(cosa )(sec a) = (b)
- · (e)
- =b
- ·e =
ª) · (b)-a = - a =
(tan a Xctg a) = (-.
= -a · e =1
(senaXcsca)= - · e
a
b
C
C·
1
b
a·b
b·
b
1
R>r tanto, se deducen las identidades recíprocas.
Identidades recíprocas
(sena)(csc a) = 1
(cosa)(seca) = 1
(tan a) (erg a)= 1
Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:
1
1
1
tan a= - erg a
sen a= - esca
1
esca= - sen a
1
cosa= - seca
seca = - cosa
crga=-tana
Identidades de cociente
Si se reali7.a el cociente de la función seno (sen a) por la función coseno (cos a), se obtiene la función tan a:
u
sen a= ~
cosa b
= a · e = ~ =rana
b·e
b
e
~ manera
análoga se obtiene la función cotangente (ctg a),
b
cos a -= J:.
sena a
b· e
b
= -=
=erg a
a· c
a
e
Por tanto:
tan a
sen a
=cosa
crga =
192
cosa
sen a
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
Identidades pitagóricas
Fn el triángulo se aplica el teorema de Pitágoras:
a2 +b 2 = c 2
Se divide entre c2a ambos miembros.
a2 b'
- + c2
- =1
c2
Se aplica la ley de los exponentes.
(~J ~J=
+(
Los cocientes son equivalentes a las funciones sen a y cosa
1
(sen a )2 + (cos a)2
= 1,
por consiguiente ser?- a + cos2 a = 1
En forma semejante se obtienen las demás identidades pitagóricas, entonces:
serí2 a+ coi2 a= 1
;
rarí2 a+ 1 = sec2 a
y
De las identidades anteriores se reafuan despejes, con el fin de obtener otras identidades:
ran2 a + 1 = see2 a
sen a = ± J(t-cos2 a)
eos a
= ± J(t-sen'a)
tan a = ± J(see2a -
sec a
=±
J(ran2 a +
1 + erg2
a = ese2 a
t)
erg a = ± J(cse2 a -
t)
t)
ese a = ± J(etg2 a +
t)
Demostración de identidades trigonométricas
Para realizar la demostración ele una identidad trigonométrica se aplican procesos algebraicos como la fuctorización, las
operaciones entre fracciones asf como su simplificación, además de las identidades trigonométricas básicas.
La aplicación ele estos procesos depende de la identidad en sf; esto significa que no existe un orden o procedimiento
específico, debido a esta situación sugerimos iniciar con el lado má.5 complejo o elaborado de la igualdad, con el fin
ele llegar a demostrar el lado más sencillo, como a continuación se ejemplifica.
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--
_"'o
~
E
i!-
1
. .
'ele 'dad: sen x = CQSX
• • • Demuestra la s1gwente
1 nu
~X
Demostración
. del segu ndo hac'18 e 1 pnmer
.
. mbro, se susutuye
.
CQSX y rea..,..
" - e 1 cooente
.
Se trabaJa
nne
erg x = -correspon diente:
senx
CQSX
senx= - crgx
eosx
senx= - eosx
senx
senx =
senx · cosx
CQSX
senx =senx
Por tanto queda demostrada la identidad.
193
14CAPÍTULO
GfoNmíA Y TOOONONf'TlllA
2
• • · Demuestra la siguiente identidad: stn fl + eos fl erg fl = ese fl
Demostroción
Pdra esta identidad se tmbaja con el primer miembro para obtener el segundo.
sen fl + cos fl ctg fl = ese fl
eos fl
stn fl + cos fl · - - = ese fl
stn fl
cos fJ
se utifua la identidad del oociente erg fJ = stn fJ
se efectúa el producto.
cos2 fl
stn fl+ - - =ese fl
Stn {J
se realiza la suma fraccionaria.
stn1 fl + cos2 fl
=ese fl
Stll {J
se sustitu)e la identidad pitagórica sen2 fl +col {:J = 1
1
- - =ese fl
stll fl
1
se aplica - - =ese fJ
stn fJ
ese {:J • ese fl
Finalmente, queda demostrada la identidad.
3
• •Demuestra la siguiente identidad:
_ . . :cs:..:ce ...ac..__ - cos a
tan a+ctg a
Demostroción
Se utiliza el primer miembro de la igualdad y se realizan loo siguientes cambioo:
1
ese a
t<n a+ ctg a
gna
cos a
sen a cosa
--+-cosa sen a
sena
-cosa
sen 2a+cos2a sena · cosa ·
Se realiza la suma del denominador,
Ypooteriormente la división,
sena · cosa
- - - -----cosa
sen a · ( stn 2 a +eos 2 a ) sena · cosa
=cosa
sen a(I)
Y finalmente se simplifica la fracción:
cosa= cosa
19.4
=cos a
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
A
• • •Demuestra la siguiente identidad:
CQS X
l+senx
1- senx
CQS X
Demostración
Se utiliza el segundo miembro como ba5e para la demostración:
cos x _ l+senx
1- senx
cosx
cos x
1- senx
CQS X
1+senx
cosx
1- sen x
1- senx
Se multiplica por el conjugado del numerador.
1- sen2 X
(cos x)(l - senx)
se reemplaza 1 -sen2 x = col x.
cos2x
(cos x)(l- sen x)
se simplifica la fracción.
--- = ------
1- senx
CQS X
1- senx
CQS X
1- sen x
5
CQS X
se demuestra la identidad.
- 1- senx
• • •Demuestra la siguiente identidad:
2coi2 x-1=1-2sen2 x
Demostración
Fn este caso se utiliza el primer miembro para obtener el segundo.
2cos2 x-1=1-2serí2 x
Se utiliza la identidad 1 =sen2 x + coi2 x.
2cos2 x- (sen2 x + coi2 x) = 1 - 2serí2 x
2cos2 x-serí2 x - coi2 x = 1 - 2serí2 x
coi2 x - serí2 x = 1 - 2serí2 x
1 -serí2 x -serí2 x = 1 1-
2serí2 x
2serí2 x "' 1 - 2serí2 x
Por lo que la identidad queda demostrada.
195
se simplifican términos semejantes.
se emplea cos2 x =1 - sen2 x.
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
6 • ••Demue$tra la siguiente identidad:
col a - sen2 a
1- tan a
=
l+tan a
1+2sen a · cosa
Solución
Se utiliza el lacio izquierdo para demostrar la ideo tidad:
1- rai a
col a - sen2 a
=
1+2sena· cosa
1+ tai a
cola - sen2 a
sen a+2sena · cosa+cola
-~--------~
2
(cosa- sen a)(cos a +sen a)
(sen a+ cos a)
1- tana
= l+raia
1- tana
l+tan a
2
cosa - sen a
sen a+cos a
1- ran a
1+ tan a
2
Se emplea la identidad sen a + col a = 1
se factoriz.a denominador y numerador
se simplifica la fracción
se divide entre cos a numerador y
denominador.
cosa - sena
cosa
sena+ cosa
cos a
.
1- tan a
l+tan a
EJERCICIO 42
Demuestra las siguientes identidades:
l. sen x (1 + cor x) = sen x + cos x
2. (1 + rail x)cos x
3
·
(
=sec x
:::r +Cs~x r
=1
4. (sec x + sen2 x + cos2 x)(sec x - 1) = tail x
5. ese 8 (1 -cos2 8) =sen 8
ª
6.
erg = ese a
cos a
7.
....
1- sen .P
2
= cos .,,
sec .P
2
8. ctg2 y-cos2 y= ctg2 ycos2 y
9. secy=
erg y+ un y
ese y
to. l+cos w = sen w
sen w
1- cos w
11. sec f3 · sen f3 · erg f3 = 1
196
1- tan a
l+tan a
1- tan a
l+tan a
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
2eos2 x - I
senx · eos x
12. ergx-ranx= - - - - 13. 2ese2 y =
1
+---
1- eos y l+eos y
J
14. - - - - - - ese a - erg a
ese a +erg a
15. 3sen2 x-9sen x ·erg x + 1eoi2 x-4eos x
ton2 X
l+seex
2
=(4cos x -
1)(cos x -3)
2
16. cos x+ ---+sen x=seex
17. cos4 x + sen2 x + se1í1 x cos2 x
=2csc J3
1+ cos J3
1- cos¡3
18.
=1
19. cos x (2sec x + tan x)(see x - 2tan x) = 2cos x - 3tan x
20. 1 +
sen x · erg 2 x
=ese x
!+sen x
21. 2(serf' x +col' x)-3(sen4 x + cos4 x) + J =O
22. sen x (1 + erg x) = coil x (1 + tan x) + seri' x (1 + ctg x)
23. (ese x-sen x)2 + (sec x -cos x)2
=ran2 x + etg2 x -
1
2
24.
2- cse x
2
- ese x + 1 =erg x
tanx - 1
25. ton x+ctg x = seclx
csex - senx
cosx - see x
senx - csc x
2
26. - - - - - =secx(sec x-l)senx
3
27. see x =
sec3 x - seex ran2 x
(1- sen x)(l+sen x)
2 8. sen2 x+ ran2 x+ cos2 x=
~
CO:f X
29. see2 x + csc2 x =(ese x sec x)2
30. see2 x e sen x ese x + sen x (sen x sec2 x)
31.
2
ese x +erg x
32. 1 -erg x
e
erg x - ese x
= J¡ csc2 x -
senx
2crg x¡
Este ejercido no tiene soluclotlu al final del Obro por ... clemos1raclotlu .
197
----------==
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Obtención de los identidades trigonométricos
de lo sumo y lo diferencio de ángulos
Considerando que 08 .L 8C, OC .L DC, se realiza una proyección de OD con el eje X y OA .L AD, DE .L CE,
donde AE =8C , así como AB = CE
Para obtener sen (a + {3)
y
D
o
AD
sen(a+f3)= =pero AD=AE+ED;
OD
entonces,
AE+ED
sen (a+ {3) = ~~­
OD
AE ED
sen(a+{J)= = + =
OD OD
Para obtener las funciones trigonométricas ele los ángulos a y {3
8C
AE
CE
sen a= =
= = = = ... (1)
OC
OC
CD
sen {3
08
ED
cos a= =... (2)
OC
CD
cos /3 = ... (4)
OD
= -AE · -OC = -AE ... (5)
OC OD
OD
CD ED
ED
(sen {J)(cos a) = ·= ... (6)
OD CD
OD
Al sumar (5) y (6):
(sen a)( cos {3) + (sen {3)( cosa)= AE + ED ;
OD OD
Se obtiene sen (a+ {3), entonces:
sen (a+ {3) =(sen a )(cos {3) +(sen {J)(cos a )
Para obtener cos (a+ {3)
OA
cos(a + fJ) = ;
OD
pero
0A=08-AB;
entonces,
cos(a+{J) =
8
-º~
=
-~AB­
OD
198
OD
oc
Si se reafua el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:
(sen a)(cos {3)
= =CD ...(3)
cos(a+{J)
= =08 - =AB
OD
OD
CAPÍTULO
14
Identidades y ecuociones trigonométricos
Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:
(cos a)(cos {3) = =OB · =OC = =OB
OC OD
(sen axsen /J) = =CE . =CD
CD
OD
...
OD
(7)
= =CE = =AB
OD
...
OD
(8)
Al restar (8) de (7):
(cos a)(cos PJ - (sen a)(sen {3) = =OB
AB
OD
- =;
OD
Se obtienecos (a+ {3)
c<>S (a + {3) = (c<>S a Xc<>S {3)- <ien a)<ien fJ)
Para obtener tan (a+ {3), se emplean identidades básicas:
tan(a+fJ)=
Si se divide entre
sen (a+/3)
;
cos (a+/3)
tan (a+,.,I>) = (sen a)(cos f3)+(sen f3)(cos a)
(cosa)( cos /3)-(sen a)(sen /3)
~~~-~~~~~
(cos a)(cos {3) 7' O, entonces,
(sen a)( cos f3)+(sen /J)(cos a)
(sen a)( cos /3) +(sen /3)( cosa)
(c_
os..,.a,...)_.,
(c,....
os_/3
~)"""'""__,.,.. _ (cosa)(cos/3) (cosa)(cos/3).
tan(a+PJ = ..,..-_,...,.....
(cosa)(cos/3)-(sena)(sen/3) - (cosa)(cos{J)_(sena)(sen/3) '
(cosa)(cos/3)
(cosa)(cos/3) (cosa)(cos/3)
(sena) (sen/3)
tan(a+PJ = (cosa) (cos/3) _ rana+tai1/3
_ (sena) .(sen /3) - 1-tana·tan/3
1
(cosa) (cos/3)
--+--
Finalmente se deduce que:
tan (a+ /J) = tan a + tan{J
1- tana · tan/J
Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia se emplean las identidades de los ángulos negativos en
función de ángulos positivos, es decir:
sen (-x) =-sen (.r)
cos (- .r) = cos (.r)
tan (-x) =- tan (x)
Por tanto:
sen (a+ {3) =(sen a)(cos PJ +(sen fJ)(cos a)
Se cambia f3 por - f3 y se obtiene:
sen (a-{3) =(sen aXcos(-(3)) +(sen (-{J))(cos a)
sen (a - /J) =(sen a )(cos fJ) - (sen /J)(cos a)
De una manera semejante se reafua la diferencia para las demás funciones trigonométricas y se obtiene:
cos (a - /J) = (cos a )(cos /J) +(sen a)(sen /J)
tan ( fJ)
tan a - tan fJ
a - = l+tana· tan{J
199
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Resumen de fórmulas
Identidades trigonométricas ele la suma de ángulos:
sen (a+ /3) = (sen a )(cos /3) +(sen fJ)(cos a )
cos (a+ /3) = (cos a )(cos /3) - (sen a )(sen /3)
tan (a+/!) =
tan a+ tm fJ
1 - tana · tm fJ
Identidades trigonométricas ele la diferencia de ángulos:
sen (a - /3) = (sen a )(cos /3) - (sen fJ)(cos a )
cos (a - /3) = (cos a )(cos /3) + (sen a )(sen /3)
tan (a - /J)=
tana - tmfJ
l+tana·tan/J
\álor de una función trigonométrica para la suma
y la diferencia de ángulos
Los valores ele las funciones trigonométricas ele ángulos notables se emplean para obtener el valor ele una función
cuyo ángulo se pueda descomponer en una suma o diferencia.
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-4
~ 1
o.
• • •Obténel valor de sen(.!:+.!:).
4 6
.i
Solución
""
Al aplicar la identidad para el seno de la suma ele ángulos, se determina que:
sen (¡+~) =sen¡ cos ~ +cos ¡sen~= ( ~)( ~)+( ~)(~)
.J6 J2
=- + 4
4
.f6+J2
=
2
4
• • · Calcula el valor exacto de tan (90°-60°).
Solución
Se aplica la identidad de la tangente ele la diferencia ele ángulos y se obtiene:
tan (90º-60º) = ran 90°-ran600
1+tan90-tan 600
tan 90º no está definida, por consiguiente, se multiplica la identidad ran(a - p) - rana -ran/3 por la unidad
ctga
l+ranaran/3
expresada como 1= - erg a
La
ran(a-/3)
=( l+ranaran/J
rana-ran/3 I crga ) - ranacrga-ranf3crga
crga c1ga+ranaranf3ctga
Por identidades rana erg a= 1, entonces:
, /3) 1-ranfJcrga 1-ranf3crga
ran,a - = -----'----''-crg a+ 1(ran f3) ctga+ran/3
Sustituyendo a= 90º, /3= 60º y posteriormente los valores ele erg 90º =O y ran600 = J3. se obtiene como resultado:
ran(900-600) = 1-tan60º ctg90º _ 1-(JJ)(O) _ 1-0 = _1 = 2-. J3 = J3
ctg90°+tan60"
O+ J3
J3 J3 J3 J3 3
200
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
3
• • •Expresa en función dex la identidad
eos(~n-x)
Solución
Se aplica la identidad del coseno de la diferencia de ángulos:
cos(a - {J) = eos a cos fJ + sen a sen fJ
Se obtiene:
eos(~n-x) = cos~n cos x+sen~ n sen x =(O) eos x + (- l)senx
2
Resulta que,
2
2
=0-senx
=-senx
eos(%n-x) =- sen x
.
EJERCICIO 43
cos(¡n -~)
6.
3. sen(45º + 60°)
7.
ran(45º + 90º)
8.
2.
4.
cos(TlOº - 45º)
10.
erg(2n-¡n)
'"t~·~l
ese -1r +-3tr)
4
2
Expresa en funeí6n del ángulo indicado las siguientes expresíones:
<:)
11.
sen(8+~)
15.
esc(~-a)
19.
ran(3n- a)
12.
eos(¡n -x)
16.
erc(¡ +P)
20.
sen(¡n- 8)
13.
sen(2n + {J)
17.
eos(x-~n)
14.
ran(~ -x)
18.
sec(n+2ia)
Verifica has Nsultados en Ja sección de soludorles cornspondlient• •
-----------~
Aplicación de las funciones trigonométricas
de la suma y la diferencia de ángulos
Para determinar el valor de una función trigonométrica de determinados ángulos, éstos se descomponen como la suma
o la diferencia de dos ángulos notables.
201
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~_.
S 1 • ••O:termina el cos 75º y expresa 75º como una suma de ángulos notables.
a.
E
Solución
i!-
FJ ángulo de 75º, como la suma de ángulos notables, es 75º = 30º + 45º
Entonces,
COS 75°
= COS (30° + 45°)
Se emplea la identidad cos (a + {3) = cos a cos f3 - sen a sen f3
cos (75º) = cos (30º+ 45º) = (cos 30º)(cos 45°) - (sen 30º)(sen 45º)
Al sustituir el valor de cada función trigonométrica, se determina que:
cos75º=
(~}( ~}(~}(~)= ~ -~ =J6-fi.
4
J6-fi.
Por tanto, cos 75° = - - 4
2 • •· O:termina ton 15° y expresa 15° como una diferencia de ángulos notables.
Solución
FJ ángulo de 15º se expresa como 60º - 45º, entonces:
ton (15º) =tan (60°-45º)
=
ton a- ton pp en la que se sustituyen los valores de los ángulos a= 60° y
l+tona·ton
ton (15º) =ton (60°-45º) = ton 60º-ton 45º
1+tan60° ·ton 45°
Se emplea la identidad tan (a - {3)
{3= 45••
Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:
tan (15°) =ton (60°-45°)
J3-1
= 1+J3-1
(-v3¡;;)( 1) = ¡;;----v3 + 1
Al racionalizar el denominador, se obtiene:
3
• • •Calcula
1:
nS{JS -
2
ton 15º = 2 - J3
funciones trigonométricas básicas de (a+ {3) si sabes que sen a=
~ para ~
:s; a :s; n y ton f3 =
1~ para
.
Solución
Se obtienen las funciones de los ángulos a y {3, con el teorema de Pitágoras y se respetan los signos de las funciones
en los cuadrantes indicados.
Para sen a, el segundo cuadrante
Para tan {3, el tercer cuadrante
y
y
-12
- 4
X
X
-5
Funciones del ángulo a: sena=~. cosa=-~ y ton a=-~
5
5
4
Funciones del ángulo {3: sen f3 = -
1~ , cos f3 = - ~~ y tan f3 = 1~
202
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
Por consiguiente, estos valores se sustituyen en las identidades de sumas de ángulos.
~
sen (a+ p) =(sen a)(cos P) +(sen P)(eos a)= ( }(-
:~ } ( - : 3}(-~)
36 20
16
=-- + - =-65 65
65
cos (a+ p)
=(cos a)(cos P) - (sen a)(sen P) = (-~}(- :~ }(~) (- 1~)
48 15 63
=- +- =65 65 65
4
--
6
ran(a+{J)= rana+ranfJ =
4
12 =__u_ =_!_
1-ran a·tan/3
63
63
1_ -~ . 2_
4
12
48
Por tanto, los resultados son:
4
16
63
16
sen(a+P)=- - ,eos(a+P)= - yran(a+P)= - 65
65
63
• • •Demuestra la siguiente identidad:
2..fi
r
l
an; tan -an:: erg ..;r = an; sen r:-;
r-1
..;r+I
Solución
~
2
..fi y a= an:: erg Ji, entonces 8 -a= an:: sen
quees la identidad a demostrar donde
r-1
r
vr+l
2..;t
r
tan 8= y erg a= ..;r
r-1
Sean 8 = an:: tan
Se construyen los triángulos respectivamente,
Para el ángulo8
Por el teorema de Pitágoras
2
h =
(2.Ji) 2 + (1-1)2
h = .J4t+t2 -2t+1
h=
.J1
2
+2t+l
h= J(t+l)' = I + 1
r-1
Para el ángulo a
Por el teorema de Pitágoras
,,, = (Ji )2+ (1)2
/¡
=
.¡¡:¡:¡
Ji
Se reafua la demostración aplicando seno a (8- a)
2Ji
Perosen8= -
r+I
Donde,
1-l
,eos 8= -
t+l
sen (8- a)= sen 8 cosa -sen a cos 8
Ji
1
,cosa= ~
vt+l
sen(8 -a)=2..fi. Ji
r+I ..fi+í
y sena= ~ ,entonces
vr+l
_ _ 1_
.r-I=
Ji+t
1
sen (8 - a) = ..fi+í
r+l
~
Así queda demostrada la identidad.
203
2r-r+1 =
(r+l)
(t+l)Ji+t
(r+l)Afl =
8 - a= an:: sen
1
.¡¡:¡:¡
¡
Ji+t
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 44
Determína los valores de las sígulentes funcíones trigonométricas y expresa los ángulos corno suma o díferencía:
l. tan 105°
2.
.
4
11. St
cosa =- -
12. Si
tan a =
5
13. Si seca=
ese
sec
3.
4.
cor 75•
1C
con -
1 con
2
5 a5 n
n 5a 5 ~ n
y
tan 255°
cos 2&5°
5.
15°
105°
6.
7.
8.
tan 345•
sec 165º
2
1C
con O5 /35 - , baila sen( a+ {J), cos(a + {J) y ran(a + {J).
3
2
tan fJ = -
y sec fJ = 2 con in 5 fJ 5 2n, halla sen(a - {J),
cos(a -
Demuestra las sígulentes identidades:
[sen (n -x) +sen (% -x)] [senx - cosx]" 1 -
16. [
l7.
2cos2x
eos (% -x) - sen (n + x)] - [ cos(n + x) + cos(% + x )] "3senx+cosx
sen(P -~)
sec fJ
+ cos(% -P) ,.
ese fJ
3
18. ran(n - a) ·sen(a+ ; ) · sen(n - a) " 1 - cos2 a
2
19. [sena -senfJJ' - 2cos(a + /3) + (cosa+ cos/3] "2
20.
sec(n - a>)
sen( n + a>)
(
) +
" rana> ese %+ a>
cos(n + a>)
21.
cse(n - y) + cos(n + y) " sen y
ran(n + y)
1
ran(n - x)
-"------'- " sec x · (ese x + 1)
sen x
23.
24
·
{J) y
tan(a -
{J).
-% con n 5 a 5 %n y erg fJ = J2 con O5 fJ 5 %, halla las seis funciones trigonométricas ele (a+ {J)
y(a - {J).
14.
9. esc255º
sen 165º
10.
[sen(x + 2n) +
cos(~ -
x)T
+
4 cos(x - 2n)
ese(~
- x)
sen(a+fJ+r) + sen(a-fJ-r)
•tan a
eos (a+fJ+r) + cos(a-fJ-r)
204
" 4
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
25. sen(B+w) · sen(8-w) "' (sen 8 + sen w) (sen 8 - s•m w)
26. ron(!:. +
4
.s) + tan(!:.4 - .s) "' - sen 8
2
27. 4 are tan ( -
~)
29. cos -· ..!!..
13
cos -1 ~ • - sen-1 -3
30. see-•
31.
-
J 12
+
"'
+ 1
~)
5
- ag_,t "' O, t> O
1
t 2 -1
vt +1
t +1
1
•-are tan - , r > O
t
~+sen_,
~
•sen-1(1 ), t>O
2
2
'l/!
33. sen
4arc tan ( -
65
are sen r:;--:-are
cos-22
32. sen-•
vt +1
+1
-·E;
--sen
t+l
-1
1
-1!-l
~•sen
-,t<!:l
vt+l
t+I
34. are tan s - are sen
e
1!
2
- cos2 8
t
--.===
J t2 +
s - t
1 + S1
"' arcran - - - , s > Oyt >O
Verfflca tul resultados en la SIOC'6n de soh.ldones corresponcllinte •
----------~=
Funciones trigonométricas del ángulo doble
Estas funciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ángulos, como se muestra a continuación:
Seno del ángulo doble sen (2a)
Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a+ {3) donde {3 =a
Entonces:
sen (a+ {3) =(sen a)(eos {3) +(sen {3)(cos a)
sen (2a) =(sen a)(cos a) +(sen a)(eos a)
sen (2a) = 2 (sen a)(cos a)
Coseno del ángulo doble cos (2a)
Para obtener eos (2a) se emplea la identidad cos (a + {3) donde f3
Entonces:
eos (a+ {3) (eos aXcos {3)- (sen a)(sen {3)
=a
=
cos (2a) = (cos aXcos a) - (sen a)(sen a)
cos (2a) = cos2 a -sen2 a (con el empleo de identidades trigonométricas básicas)
cos (2a) = 1- 2sen2 a
cos (2a) = 2cos2 a - 1
205
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
bngente del ángulo doble Ion (2a)
Para obtener tan (2a)se emplea la identidad tan (a+ {3) donde f3 =a
Entonces:
ª)
tan a+ran P
rana+,,=
(
1-ran a ·tan P
tan (2a) = tan a+ tan a
1-rana·tana
tan. (2a) = 2ran a
l-ran2 a
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~---.
~ 1
a.
E
.~
w-
• • •Obtén las funcione$ trigonométricas de (2al), si se sabe que tan al= 3, para 1t $al$
Sol"
"
ucion
En este caso el ángulo al se encuentra en el tercer cuadrante, entonces:
-
3
n
2
tan al = -~
-1
Por el teorema de Pitágoras
Y
r2 = (-1)2 + (-3)2
- 1
r2=1+9
X
r=
JiO
-3
Se obtienen las funciones trigonométricas de al:
3
3Ji¡j
.sen al=- JiO = ----¡¡¡ ,
Por tanto,
cos al= -
JiO
1
.JiO = - t o
3
sen2w=2(senal)(cosal)=2(- Jiii)·(-Jiii)=
10
cos2w=cos2 al-seií1-al= (-
2
-3
1
tan al= _ =3
y
• • · Demuestra la siguiente identidad:
10
3
JiOJ-(.[IOJ=
l0-90 =-~
10
10
100
5
ran2w= 2tanal = 2·(3) = ~ = -~
2
l -ran w
1-(3)2
-8
4
3
.sen6 x +col' x= 1 - - seií1- 2x
4
Demostración
3
(.seií1- x + cos2 x)(.sen4 x - .sen2 x·coi x + cos4 x) = 1 - - .seií1- 2x
3
4
(l)(.sen4 x - .seií1- x-cos2 x + cos4 x) = 1 - -seií1- 2x
4
3
.sen4 x - .seií1- x-cos2 x + cos4 x + 3.sen2 x·coi x - 3.sen2 x·cos2 x = 1 - - .sen2 2x
3
(.sen4 x + 2.seií1- x·cos2 x + cos4 x) - 3sen2 x·cos2 x = 1 - -seií1- 2x
3
3
1-
3.sen2 x·cos2 x = 1 - - .sen2 2x
4
4
(pero sen 2x = 2 sen x·
3
3
1 - - .sen2 2x"' 1 - - .seií1- 2x
4
4
4
(.seií1- x + cos2 x)2 - 3.seií1- x·cos2 x = 1 - -seií1- 2x
4
206
~
=~
100
5
cos x)
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
3
• • •Demuestra la siguiente identidad:
1+eos2x
erg x
,.,_
--- -sen~
Demo5troción
Se inicia con la sustitución ele las siguientes identidades:
1
=sen
2
x+eos2 x, eos2x =eos2 x-sen2 x
y
erg x =eos x
senx
Se realizan l!t> operaciones correspondientes y se simplifica:
1+cos2x
erg x
= (sen
2
= _2e_o_s__x = 2eos
2
x+eos2 x)+(cos2 x-sen2 x)
ctg X
2
x senx =2senxcos x
eos X
eos X
senx
Pero 2 sen x cos x =sen 2x, por co~iguiente se comprueba la igualdad:
1+eos2x
ergx
- - - • sen 2 x
Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo
Seno de la mitad de un ángulo: sen( '~)
Para obtener el sen (
~) , se emplea la identidad eos(2a) = 1 - 2 sen2 a, entonces se realiza el cambio a= ~
cos
(2·~)= 1-2sen (I)
~
2
eos w
=1-2sen2(I)
. (ú))
~
2 = IJ-Z
2 , resultando sen("')
Se despejasen
Coseno de la mitad de un ángulo: cos( ~)
Para
obtenercos(~) se emplea la identidad cos (2a) =2 cos2 a - 1
Entonces se realiza el cambio a = ~
2
eos
(2-~ )=2eos2(~)-1
cosw= 2eos2(~
)-1
. (ú)2 ), resultando cos ("'Z )= ~-Z
f1+cOS{;
Se despeja cos
Tangente de la mitad de un ángulo: Ion(~)
Para obtener tan
(~).se emplean identidades trigonométricas básicas:
tan
(J)
¡1-eos (J)
(~ ) = sen -(J)2 _ ~
2
cos
2
2
- p+eos(J)
~
207
2
1- eos (J)
=
2
l+CQS(J)
2
=
1- cos (J)
l+eOS(J)
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Al racionafuar el denominador:
"')
tan ( 2
(1-cos(J))·(l-cosro)
(l+cosro)·(l-cosro) =
=
2
(t-cosro)
l -cos2 ro
(l-cosro)
sen' ro
=
2
=
1-cosro
sen ro
Por tanto:
tan
(~)
=
Jl-cos"'
=
1 + cos "'
2
1-cos"'
sen "'
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--
.i
~
i
¡¡¡
1
• • •Obtén las funciones
trigonométric~ básicas ele (~)
si se sabe que: sen "' = - J55
2
8
para 270° S:"' S: 360°.
Solución
Se ubica el ángulo "'en el cuarto cuadrante:
y
Por el teorema de Pitágoras
x =3
(8)2
X
=(x)2 + (- J55 )2
64 = x2 + 55
64-55
=x2
X =
..f9
x =3
Se obtienen las funciones
trigonométric~
del ángulo "':
J55
sen"'= - -
CQS
8
O: acuerdo con el resultado anterior, las funciones
(J) =
J55
g3
tan"'= - 3
trigonométric~ del ángulo ( ~) son:
ro) _- ~-cosro -_µ,u-
sen (-
2
CQS
i
2
"') -ff+cosro _( -2 2
2
gu+
¡
2
5
=
8
.,fil = 8
208
5
J55
=
J55
-11
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
2
• • •Obtén el valor de las funciones trigonométricas básicas del ángulo de 15º, haciendo 15º =
300
2
Solución
a) Para hallar el valor de .¡,in 15° se utifua la siguiente fórmula:
.f'!n
~-cos
(-(J))2
2
(J)
Entonces,
sen
R
30° _
15º -_ .¡,in (30"
2 )-- p-cos
2
-
_
-
/2-f3
_ f2::J3
42
~-
Por tanto:
.¡,in 15° =
f2::J3
2
b) Para hallar el valor de cos 15° se utifua la siguiente fórmula:
cos
~
(2(J)) =..¡~
Entonces,
cos 15º -_ cos (30º)- Jl+cos30º -_
2
2
~ -_ J1+f3
h+f3
- - -_ -'----4
2
Por tanto,
cos 15º =
¡¡;J3
2
e) Para hallar el valor de tan 15° se utiliza la siguiente fórmula:
(J))
(
tan 2
1-cos (J)
= --.¡,in (J)
Entonces,
1 fj
0
tan 15 =tan
(30º)
T
=
l-cos30"
.¡,in30º
=
-2
T
2
Por consiguiente,
tan 15º =2-f3
209
=
2-!3
- 2-
T
2
2-!3
= - 1
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
3 • ••Demue$tra la siguiente identidad:
cosa - cos2a
sen a + sen 2a
"
a
sen -
_ _2_
a
cos -
2
Demostración
Se aplican las identidades del doble del ángulo
a
cosa-(cos2 a-sen2 a) sen=-2
a
sen a+2sen acosa
cos2
a
cosa - cos 2a = sen2
a
sen a + sen2a
CQS 2
cosa-cos 2 a+sen2 a
sen a+2sen acosa
a
2
a
cos-
sen
2
a
cosa-cos2 a+l-cos2 a_ sen2
sena+2sena cosa
cos~
2
a
1+cosa-2cola = sen2
sen a+ 2sen acos a cos a
2
Se realiza una factorización tanto en el numerador como en el denominador,
1+cosa-2cos2 a
sen a+2sena cosa
(l-cosa)(l+2cosa)
sen a(1+2cos a)
l-cosa
sen a
Se aplican identidades básicas con el nuevo resultado,
l-cosa
sena
1-ccsa
Ji-col a
JI-cosa
1-ccsa
_ Jt-cosa _
Ji
J(l+cos a)(l-cosa) Jt+cosa Jt+cosa
Ji
cosa - cos2a
sen a + sen 2a
"
a
sen a
cos -
__
2_
2
210
CAPÍTULO
14
Identidades y ecuociones trigonométricos
.
EJERCICIO 45
l. Utiliz.a las identidades del ángulo mitad para obtener las funciones trigonométriea5 de los ángulos!:., ~ir, ~ir y '!.. ir.
8 8
8
8
2. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y
= 1;
3. Si se sabe que tan fJ
, para ir s
f3 s %ir,
4. Dada la función trigonométrica eos w =
3
Sisen~=
J
+J5
2
6
7. Si eos 2{J =
y
15
y ir s
17
(~)si
se sabe que: Jl!C a= - J7
2
2
!:.sasir,determinasena, cosayrana.
2
f3 s ~ir ,encuentra las funciones trigonométricas de fJ y
2
~
2
6
J3-v6
y Os
17
=- 3y
/3 s !:. , halla las funciones trigonométricas de fJ y
2
2a
2
1+
eos a = sec
2
13. cos 8x + cos 4x = 2cos 2x- 4sen2 3x · cos 2x
14. sen 4x + sen & = 2 (sen 5x · eos x)
15. erg (ir
- - <o) = 1 + sen 2<o
4
eos 2<o
1
16. cosª/3 - sen1 /3 = - eos 2/3 · (3 + cos 4/3)
4
J2 sec (a - -ir)
4
f!. .
2
~ir s <os 2ir, halla las funciones trigonométricas de"'• 2w y 4w.
2
12. [cos2x-sen2x]2-1 =sen(-4x)
= 2
(sen a + cosa)
1 + sen 2a
18. cos 12• cos 24. cos 48° cos 96° = _ ..!_
16
19.
2
2
Demuestra las siguientes identidades:
17.
f!..
w
4
10. Si erg
trigonométricas de
para !:.s as ir.
2
Sisen .!.a= lO-J50+lOJ5 ,determinalasfuncionestrigonométricasdeasi Osas!:.
9. Si ese .!. /3 =
4
11.
*) .
~ donde ~ir S <o S 2ir, encuentra las funciones
5. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y
8.
halla las funciones trigonométricas de (2{J) y (
(~).
(2w)y
6.
(~).si se sabe que ese a= 4 para ~ SaS ir.
cos' x - sen 3 x
=
cos 2x
COS X -
sen 2x
+ senx
2 ( sen x + cosx )
211
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
1+
20.
1+
ran ~
2
sen rp
22. sen(x+2y)-sen x =2seny·cos(x+ y)
23. 4 csc 2P · cos P = crg2 /!..
2
24. [ 3 cos
25.
- ran2 /!..
2
~ - sen ~] · [cos ~ + sen ~] = 2 cos 8 + sen 8 + 1
sen• x + cos• x = 1 - ~ sen 2 2x
4
e:> ..-r111cuus ,.,..ftad0$ en
la -cl6n de soluclonu -..spondlonte • ••••• ••••• •••••• ••••
Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta
O: las identidades:
sen (x +y) =(sen x) (cos y) +(sen y) (cos x) se realiza la suma con
sen~ - y) =(sen x) (cos y) - (sen y) (cos x)
sen (x +y)+ sen~ - y) = 2 (sen xXcos y)
+
Al despejar,
(sen x)(cos y)= ..!.[sen(x+ y)+sen(x-y)]
2
O: forma semejante se obtiene:
(cos x) (sen y)= ..!.[sen(x+y)-sen(x-y)]
2
O: las identidades:
cos (x +y)= (cos x) (cos y) -(sen x) (sen y)se realiza la suma con
+ cos ~ - y)= (cos x) (cos y)+ (sen x) (sen y)
cos (x +y)+ cos ~ - y) = 2 (cos x)(cos y)
Al despejar,
(cos x) (cos y)=
.!..[cos (x+ y)+ cos(x-y)]
2
O: la misma manera se obtiene:
(sen x) (sen y)= -~[cos(x+ y)-cos(x-y)]
212
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
EJEMPLOS,-------------
~ 1 •••Expresa el siguiente producto en forma ele suma o resta:
E
;!-
-~-~
Solución
Se emplea la identidad (cosx) (eos y)= ![eos(x+y)+cos(x-y)] yse obtiene:
2
1
eos (8x) eos (2x) = -[eos(8x+2x)+eos(8x-2x)j
2
cos(8x) eos(2x) = ![cos(10x)+cos(6x)]
2 .......~ ,, ~·~ "'' ....... ""'"'""
-(': ,:(.~
l
Solución
Se emplea la identidad (sen x) (eos y)= ![sen (x+y)+sen(x-y)]
2
}os(i~) = ¡(sen(3: + 1~}sen(3:- 1~]
9
3
sen( : }os(1~) = Msen( ~;ir }sen(9~;ir )]
3
sen( :
3
sen( : }os(:i) =
H
sen(5; )+sen(2; )]
Al sustituir el valor ele las funciones trigonométricas ele ángulos notables:
sen(341r}os(.!!...)
12 = .!.[!+
2 2 F3]
2 = ![l+F3]
2 2 = l+F3
4
EJE~CICIO
46
Convierte los siguientes productos en sumas o díferencías de funcíones trigonométrícas:
l.
sen(a+ {3) cos(a- {3)
2. eos(45') sen(60')
3. sen(y +fJ) sen(y- {3)
4. cos(~; }os(¡)
5. sen(82º 30') eos(37°30')
6. sen(37º 30') sen(7º 30')
7. cos(:c +a) sen(K-a)
8. cos(~;}os(~;)
9. sen(187º30') cos(217º 30')
JO.
e
7
cos( :
11.
4sen(3a) sen(a)
13.
5eos(2a) sen(6a)
cos(47')sen(43º)
12.
14. cosGa) eos(%P)
15. 3sen(9a) eos(&a)
16. sec(~}ec(¡)
17.
tan2actg a
18. sec(¡ir )ese(¡)
19. tan(x +a) tan(x-a)
)cos(1~)
20.
sen(2a+P)
sec(2a-fJ)
Verifica tusr..ultado. .n la Moción de soludo<IH con. .pondlente , , • • • • • • • • , • • • • ,
213
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Demostración de identidades
EJEMPLOS
~ 1
!
• • •Demuestra la siguiente igualdad: sen
~ cos
:i = ¡
1
Demostración
Se aplica la identidad (sen x) (cos y) = ~[ sen(x+ y)+sen(x-y)]
Tr
l\:ro sen -6
= -21
y seno=O, entonces·
.
Por tanto queda demostrada la igualdad.
2
• •Demuestra la siguiente expresión:
senx cos y+ sen y cos x = sen(x +y)
Demostración
Se aplica la transformación de productos a sumas y se o btiene:
1
2
senxcosy= -[sen(x+y)+sen(x-y)]
1
sen y cos x = cos x sen y= 2[ sen(x+ y)-sen(x-y)]
Al sumar ambas expresiones:
1
1
senx cos y+ sen ycos x = 2[ sen(x+ y)+sen(x- y)] + 2[ sen(x+ y)-sen(x-y)]
1
1
1
1
2
2
2
2
senx cos y+ sen y cos x = - sen(x+ y)+ - sen(x- y)+ - sen(x+ y)- - sen(x-y)
Se simplifican términos semejantes, entonces:
senx cos y+ sen y cos x = sen(x +y)
R:>r tanto, queda demostrada la igualdad.
214
CAPÍTULO
Identidades y ecuociones trigonométricos
.
EJERCICIO 47
Demuestra las siguientes igualdades:
3
4
l.
- -----= -
2.
sen 75° eos 45° = _ _ .fj
2
sen 225° eos 75°
3.
eos 35° sen 100 + eos 100 sen 35°
J6
= cos 200eos100 - sen200 sen100
3
4.
see 30° ese 120°
'Ir
57r
'Ir
57r
tan - tan - + tan - tan -
6
12
12
12 = 2 + .fj
1- tan ~ tan !!...
6
12
5. sen x eos x + eos 3x sen x =
7.
3
cos(27r- x)eor( 1r- x
2
21 sen 4x
}en (%-x)
8.
eos x[eos 2x- 2sen1 x] = eos 3x
9.
tan(x+~) tan (~-x)
3
3
= see x
2
=
2eos2x+l
2eos2x - 1
10. sen(lOº + x) eos (20° - x) + eos(80°- x)sen(70º + x)
12.
sen(~-x)
2
ese 2x
=sen(2x- 10°)
senx
-..,.---..- =sen 3x
ese (37r + 2x)
2
13. eos 2x + 2[sen X eos y + eos X sen y] sen(x - y) = eos 2y
14. sen(%- x)
e
·sen(~Tr -x) ·eos(Tr - x) = eos3 x
Esto ojorcldo no tiene soNCiotlH ol flnol dol IJbro por .., dom011rOC:iotlH •
215
-----------~
14
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Identidades para transformar sumas o restas de func iones trigonométricas
en un producto
Dados los ángulos x y y, tales que
x+y=a
x - y =/3
Al resolver el sistema de ecuaciones para x y y se obtienen los siguientes resultados:
a-fJ
a+fJ
x= - -
y= - 2
2
& tos valores angulares se sustituyen en la identidad:
1
2
(senx) (cos y)= -[sen(x+ y)+sen(x-y)]
Y el resultado es:
(ª-/3)= 2[sena+senf3]
sen( -a+fJ
- ) cos - 2
2
1
Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:
sen a + sen /j = 2 sen( "' ~
/J)cos ( "'; /J)
O: la misma manera se obtiene:
sen a - sen
/J =2 cos("' ; /J)sen("' ; /J)
/J)cos("' ; /J)
!f\
cos a - cos /j = - 2sen( "'
- +-/J) sen("'
- ---}
2
2
cos a + cos fJ = 2 cos("' ;
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--.
S
1
a.
• • · Efectúa lo siguiente: sen !!.. - sen !!..
2
E
i!-
6
Solución
Al aplicar la transformación de diferencia de senos a productos, se obtiene:
-Í -•M¡;
o
2
2 16
ro•[i;~ ]-[Í~~} ,;,.rn<"OO
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
2
• • •Calcula, sin hacer uso de las tablas trigonométricas:
senG; }sene;)
Solución
Se emplea la identidad, sen a+ sen ,B =2 sen(ª; p} cos(ª; p)
Se simplifica,
Dacio que .!!... no es un ángulo notable, se puede emplear la identidad:
12
cos(-2x)= ~+cosx
--2
~
1!
Donde .!!... = .2., entonces,
12
2
Por tanto,
senC; }sen(~;)= 2[( ~]
senC;}sen(~;)= h+J3
1 ){
3
• • · Simplifica la siguiente expresión:
cos(w+~ )-cos(w-~)
Solución
Se emplea la identidad,
cosa -cos ,B =-2[sen(a;p }sen(ª;P]
cos(w+~ }cos(w-~ }-2sen(w)-sen(~)
cos(w+%}cos(w-~}-2sen(w){ ~)
cos(w+% }cos(w-%}-J3·sen w
217
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Solución
Al
utilizar la identidad,
sen a-sen ,8 =2cos( a; P) sen(ª; P).se obtiene:
X ir\_ (X lt)
sen (2+2
rsen 2-2 = 2cos2X sen 2lt
lt)=2cos-2X (1)
sen (-2X+-lt}
sen (X--2
2 2
EJE~CICIO
48
Convíerte en producto las síguíentes sumas y restas de funciones trigonométricas:
cos(3: }cos(1~ )
l.
sen 165° +sen 75°
2.
cos(1/J)+ cos(-2/J)
10.
3.
sen(240º) +sen(l20")
11.
4.
cos( 58) - cos (3 8)
12.
sen(:f}sen(~)
sen(a+~ }sen(~+ P)
5.
cos (37° 29') +cos( 52º 31 ')
13.
cos(a+¡ } cos(a-¡)
14.
sen~+¡ }sen~-¡)
15.
sen(~ir+a}sen(iir-a)
16.
cos(a;p }cos(ª;P)
6.
7.
8.
9.
senG; }sene~)
cos(~: }cos(2;)
sen 35° -sen 25•
218
cos~+~ }cos~-~)
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
Demostración de identidades
~EMPLOs.~~~~~~~~~~~~~-­
S
J3
sen 50º+sen 10°
cos 50º+ cos 10º
-a.. 1 • • · Demuestra la siguiente igualdad: - - - - - E
i!-
3
Solución
Se aplica la suma de senos y cosenos
sen 50º+sen 10º
2
sen~(50º+lOº)cos~(50º-IOº)
sen 30ºcos 20º
cos 50º+cos 10º = 2[ cosi(50º+10º)cosi(50º-10º) J= cos30ºcos 20º
=tan 30º
Pero tan 30° = ,fj , por lo que la igualdad queda demostrada.
3
2
• • •Demuestra la siguiente igualdad:
sen x +sen 3x +sen 5x +sen 1x = 4 sen 4x cos 2x cos x
Solución
Se agrupan dos a dos los sumandos
sen x +sen 3x +sen 5x +sen 1x =(&in x +sen 3x) +(sen 5x +sen 1x)
Se aplica la transformación de suma de senos a productos
senx+sen3x= 2[seni(x+3x)cosi(x-3x)] = 2[sen2x cos(-x)]=2sen2xcosx
sen 5x +sen 1x = 2[seni(5x+ 1x)cosi(5x-1x)] = 2(sen 6x cos(-x)]= 2 sen 6xcos x
Entonces,
sen x +sen 3x + sen 5x + sen 1x =2sen 2x cos x + 2sen fu- cos x =2cos x (sen 2x + sen 6x)
En esta nueva expresión se aplica la transformación de sumas a productos,
2 cos x (sen 2x+ sen 6x)
=2 cos x · 2[sen~(2x+6x)cos~(2x-6x)]
=4 cos x [sen 4x cos(-2x)]
=4 cos x sen 4xcos 2x
Por tanto, queda demostrada la igualdad.
219
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJ E~CICIO 49
Demuestra las síguientes ígualdades:
2 . sen 40º+sen 20° = .J3 et8 10•
sen 40°-sen 20• 3
1t
51t
6
18 =~
sen - +sen3.
51t
1t
sen--sen18
6
21t
tan -
1t
tan18
4. CQS (x-1t) + CQS (x + 1t) =-2 CQS X
sen 2x+ sen 4x-sen fu'= 4senxsen 2xsen 3x
X
5x
6. senx-sen 2x+ sen 3x-sen 4x = -4sen - cos - cos x
5.
2
2
5x
X
7. CQSX + cos2x+ CQS 3x+ CQS 4x = 4cos - CQS XCQS 2
2
sen 5x-sen 3x
8. tan X= - - - - CQS 5x+cos3x
9.
10.
1-2sen2 x
1
= - cscx
sen 3x-sen x 2
cos(x+ y)-cos(x-y)
= -tanx
sen (x+y)-sen(x-y)
1
3x
X
11. - - - - - - - = - csc - secxsec2
2
senx+sen2x+sen3x 4
12. .!..[cos(a+b+c)+cos(a+b-c)+cos(a-b+c)+cos(a-b-c)] =cosacos b cose
4
e
Esta ejercicio no tiene sofuciotlH al ftial clol IJbro
por,., clomOS1rac:io<IH • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos ele funciones
trigonométricas.
Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es,
que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución 6nica, en ocasiones existen ~. las cuales se
expresan como conjunto solución.
220
CAPÍTULO 14
Identidades y ecuociones trigonométricos
EJEMPLOS,------------~ 1 • • · Resuelve la siguiente ecuación para O ,; x,; 2:n:.
.i
sen (x+
Solución
w
¡)
=1
Se despeja la incógnita x y la función seno se representa como are sen en el segundo miembro, luego el intervalo
indica que se tomarán como solución aquella5 entre 0° y 360°
sen
(x+¡)
(x+¡)
~
=1
=arcsen(l)
:n:
:n:
x+ - = 4
2
x= !: -!:=!:=45°
2
4
4
E'J resultado puede expresarse en grados o en radianes.
2
• •Resuelve la siguiente ecuación para 8 si 0° ,; 8 ,; 360°.
3 tan 8-4 =tan 8-2
Solución
Se agrupan los términos que tienen a las
incógni~
y se reducen:
3 tan 8 -tan 8 = -2 + 4
2tan8=2
tan 8 = 1
3 tan 8 - 4 = tan 8 -2
De esta expresión se despeja el ángulo 8
tan 8 = 1
8 =are tan (1)
8=
!: =45°
4
Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrantes, por consiguiente, el conjunto solución es
3
• • •Resuelve la siguiente ecuación para x si O sx,; 2:n:.
2 sen2 x-1 = -senx
Solución
Se agrupan los términos en el primer miembro:
2 sen2 x-1 = -senx
2sen2 x +sen x - 1 =O
La expresión resultante se factoriza,
(2sen x -!)(sen x + 1) =O
Por tanto, 2sen x - 1 = O y sen x + 1 = O, de las cuales se despeja la incógnita x, entonces,
2senx-1=0
senx=
senx+l=O
1
senx=-1
2
x =are sen(&)
:n:
x=arc sen (- 1)
3:n:
x= -
5:n:
x= - 6' 6
2
.
1 'ó
:n: 5:n:
3:n:
Luego, e 1conjunto
so UCI n es 6. 6 y 2.
221
!:
4
y S:n: •
4
14CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
4
• • · Resuelve la siguiente ecuación para 9, si 0° ,; 9 ,; 360°.
4cos29-3=0
Solución
Se despeja cos 9 de la ecuación:
~
4cos29-3=0
~
4
J3
cos9=±-
4cos2 9=3
cos29=
2
Se obtienen dos ecuaciones
cos9=
Se despeja el ángulo 9
9 = aft' cos(
J3
J3
cos9=- -
y
2
~ ) = 30º, 330º
2
9=arc cos(-
~)= 150º, 210º
Al final, el conjunto solución es 30°, 150°, 210° y 330°.
5
• •Resuelve la siguiente ecuación para 9 si o• ~ 9 ~ 360º.
2sen2 9= -sen9
Solución
Se resuelve la ecuación:
2sen29 +sen 9=0
sen9(2sen9+ 1) =0
Se obtienen dos ecuaciones:
sen 9 =O
2sen9+1=0
sen 9 =O
2sen9+1=0
Se despeja el ángulo 9,
9 = are sen (O)
9
=o·. 180°, 360°
9 = aft'
sen(-~)
9 = 210°, 330°
R>r tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.
6
• •Resuelve la siguiente ecuación para x si o•~ x ~ 360º.
2cos2x = senx-1
Solución
2(1 -sen2 x) = senx- 1
2 cos2 x= sen x- 1
2-2sen2 x= sen x- 1
2-2sen2 x-senx+ 1 =O
-2sen2 x-senx+ 3 =O
(+-1)
2sen2 x+ senx-3 =O
(2sen x + 3)(sen x - 1) =O
Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones:
senx-1 =O
x = a1t' sen (1)
2senx+3=0
sen x =-~(no existe solución)
2
x=90º
Cabe mencionar que 2 sen x+ 3 =O no tiene solución porque -1 ,; sen xs 1, entonces el conjunto solución es 90º.
222
CAPÍTULO
Identidades y ecuociones trigonométricos
.
EJERCICIO 50
Resuelve las síguientes ecuaciones, tales que O" s x s 360°.
l. senx =sen
(~-x)
16. 2senx+cscx=3
2. eos x + 2 sen x = 2
17.
=1
18. 2eos3 x + eos2 x - 2cos x - 1 = O
3.
2eos (¡-x)
4.
ese x = see x
19. 4eos x - 2 = 2 tan x ·erg x -see x
5.
2eos x · tanx-1 = O
20. tan5x-9tanx=0
6.
4eos2x=3-4eosx
21. -
1
- +.J3ranx=O
etg2 x
7. 3 cos2 x+ sen2 x = 3
22.
senx·seex+J2senx -J2 = sec x
8. 2sen2 x+ senx = O
23.
(2-J3)senx+(2-J3) =2eos2 x
9. eos x + 9 sen2 x = 1
24. (2+
10. csc2 x = 2eot2 x
11. senx · tanx + 1
.J5) - (1 + 2.J5) eos x
J3ranx
seex
=senx + tanx
26. - - --eosx=O
J2eos x -J2senx =-J3
Tl.
13. senx-eosx= O
28. 5sen2 x + cos2 x = 2
14. 3cos2 x-sen2 x = O
5
29. - - -5J3eos x = O
ese x
cos x-.J3 !Jl!nx = O
30.
Verifica tul resultados en la Hoci6n de soluciones corni~nte •
223
2
= 2 sen
25. see x(2sen x + 1) - 2(2sen x + 1) =O
12. 2cos2 x + 3sen x = O
15.
e
senx ·etg x -senx = O
eos2 x + eos x = sen2 x
------------~
x
14
CAPÍTULO
15
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
S
u origen se encuentro en la cultura egipcia,
específicomente en la geometría egipcia.
los egipcios d ominoban o la perfección los trión·
gulos, yo que fueron la base paro la construcción
eo el antiguo
de sus pirámides así como la medición de tierras.
Egipto mediante
Se auxiliaba n de los anudadores, hacían nudos
los anucladol'e-s
igualmente espaciados para medir y se dieron
cuenta que a l ubicar cuerdas de diversas longitu·
des en forma de trióngulo obtenían ángulos rectos y, par tanto, trió ngulos
rectángulos, lo cual significa que tenían conocimiento de la relación que
existe entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.
Medición de tierras
Sin embargo, Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema que lleva
su nombre, el cual establece la relación entre los lados de un triángulo
rectángulo, aunque los egipcios y babilónicos lo utilizaban en sus cálculos
y construcciones pero sin haberlo demostrado.
15 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Solución de triángulos rectángulos
Dacios tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lacio, encontrar el valor de los datos restantes.
Para los triángulos rectángulos basta conooer el valor de uno de los lacios y algún otro dato, el cual puede ser un
ángulo u otro lacio, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno ele los ángulos
siempre será de 90º.
Cabe destacar que el teorema ele Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos.
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.
S
1 • ••Fn el triángulo ABC, a= 12 cm, b = 9 cm. Resuelve el triángulo.
a.
E
~
Solución
B
a= 12an
A
b=9cm
e
Se proporcionan catetos; entonces, para encontrar la hipotenusa se utiliza el teorema de Pitágoras:
c= Ja
2
2
+b
c = J(12)2 +(9)2 =J144+ 81 =..flli = 15
Por lo tanto c = 15 cm.
Para encontrar los ángulos se utilizan funciones trigonométricas; en este caso, al tener los tres lados se puede
aplicar cualquier función. Por ejemplo, en el caso del ángulo A se aplica la función tangente, entonces:
12
tanA= 9
Se despeja el ángulo A:
LA =are tan
e:}
53° 7' 48"
Para encontrar el tercer ángulo, se tiene que LA+ LB+ L C = 180º, en particular LA+ LB= 90º ya que L C = 90º,
por tanto:
53° 7' 48" + LB = 90º
LB= 90º -53° 7' 48"
LB = 36° 52' 12"
226
CAPÍTULO
15
Trióngulos rectóngulos
2 •••Fn el triángulo MNP, m = 13.4 cm, L P= 40°. Resuelve el triángulo.
Solución
Para hallar el L N, se aplica:
LN+ LP+ LM= 180°
Ya que L M = 90º, entonces,
L N + L P = 90º donde L N = 90º - L P
LN=90º-40º
LN=50º
Ladon
Se elige uno de los ángulos agudos, en este caso L P y se establece la función trigonométrica de acuerdo al lado que
se va a encontrar (n) y el lado conocido (m 13.4), por lo que la función que se busca es el coseno de P, entonces:
=
cosP=
!:
cos 40° = __!!__
13.4
donde
m
Al despejar n:
n = (13.4) (cos 40º) = (13.4) (0.76604) = 10.265 cm
Para hallar el lado restante (p) se utiliza el teorema de Pitágoras:
p=
3
Jm
2
2
2
-n 2 = J(B.4) -(10.26) = .Jl79.56-10S.27 = .J7429 =8.62cm
• •En el triánguloABC, a= 54 cm, A= 36° 20'. Resuelve el triángulo.
Solución
Fn el triángulo ABC:
B
LB=90º -LA
LB= 90º -36° 20'
a =S4cm
LB= 53° 40'
A
e
b
Para hallar el lado b, se utili2a la función tangente de LA:
tan A=~
b
Al despejar b: b =
S4
tan 36º 20' = b
donde
54
= ~ = 73.42 cm
tan36º20'
0.7354
FJ valor de la hipotenusa se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:
c= Ja2 +b2
= J(S4)
2
227
2
+(73.42) =91.14cm
15 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 51
Resuelve el siguíente triángulo rectángulo según los datos proporcionados:
e
a
e
A
B
1. a= 12, b= 17
2. LA =32°, b=4
3. LC=46º20'.a=5
4. a= 32.5, e= 41.3
5. LA =45°, a= 13
6. L C= 54°, b =22.6
7. b = 22.5, e= 18.7
8. LA = 48° 12', b = 34.5
9. L C= 34° 32', e= 56.9
10. a= 18.23, b = 19.86
11. LA= 32° 27', a= 12
12. b= Jl7,a=2
13. L C = 48° 23', b = 23
14. a= 7.5, e = 2.5
15. c=13,LA=25º49'
16. Calcula el valor ele los ángulos agudos si a = ~.
17. Determina el valor ele los ángulos agudos y el valor ele los lados si a = x, b = x + 8 y e = x + 7.
18. Calcula el valor ele los ángulos agudos y el valor ele los lados si a= x + 1, b = x + 2 y e= x.
19. Determina el valor ele los ángulos agudos si a= c.
20. Calcula el valor de los ángulos agudos si b = 3a.
e:> lllrlflca tus r..ultados en la Mecl6n do soluclonu --diento • -----------=~
228
CAPÍTULO
15
Trióngulos rectóngulos
- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Siel ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46° 23',
encuentra la altura del edificio.
Solución
Se representa el problema con un dibujo:
1
h
l
¡------ 20 m
----;
Para hallar la altura del edificio se utiliza la función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto
adyacente a éste, y la altura representa el cateto opuesto al ángulo ciado:
h
tan 46° 23' = -
20
Al de5pejar h:
h = (20) (tan 46° 23') = (20) ( 1.04949) m 21 m
De acuerdo con el dato anterior, la altura del edificio es de 21 m.
2
En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un
túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48 °30' de5de un punto P en un extremo de la montaña,
y bajo un ángulo de 38º de5de el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?
Solución
p
Q
--f
R
1--
a
b
La longitud del túnel e\ltá determinada por a+ b.
Rlra obtener a, se utiliza el triángulo PRTy se aplica la función tangente de L P:
250
tan 48° 30' = -
a
Al de5pejar a
a=
250
250
= - - =221.19m
tan 48"30' 1.1302
Rlra obtenerb,se utili2a el triángulo QRTyse aplica la función tangente de L Q:
250
tan38º= Al de5pejar b
b
250
b=
= ~ =320.02m
tan380º 0.7812
Por tanto, la longitud del túnel es: 221.19 + 320.02 = 541.21 m.
229
15 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 52
Resuelve los siguíentes problemas:
1. En una torre de 40 m que está sobre un peiWco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que
mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se
encuentra el barco?
T
40m
2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcula la altura
001 árbol.
3. Una persona cuyos ojos están a 1.20 metros del suelo, observa una pintura que se encuentra a un metro del suelo y
mide 1.50 metros. Dicha persona se encuentra a dos metros de distancia de la pintura.
b) ¿A qué distancia se debe parar la persona para
que el ángulo de visión sea de 45°?
a) ¿Cuál es el ángulo de visión?
T
T
~
1.5m
1.5m
t
t
lm
¡.---
2m~
lm
l
¡.---
230
d
~
l
CAPÍTULO
15
Trióngulos rectóngulos
4. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando
un ángulo ele 45° con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20
metros ele cuerda.
l
h
5. Determina el ángulo ele elevación del Sol si un poste ele 2.56 metros proyecta una sombra ele 1.85 metros.
6. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de 46° 10'. Calcula la altura a
la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, si la distancia de éste al punto A es ele 50 metros.
231
15 CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
7. Desde lo alto ele una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose de la torre, con un ángulo ele
d:presión de 32°; si un instante después el ángulo es ele 26°, ¿qué distancia se ha desplazado el automóvi I?
1
25m
1
8. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en
la figura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero basta donde se encuentra el delincuente es ele 25° y el ángulo
d: depresión hasta donde se encuentra el patrullero es ele 65°, y su distancia a éste es de 25 metros,
calcula:
La distancia entre el helicóptero y el delincuente.
La distancia entre el patrullero y el delincuente.
La altura del helicóptero.
9. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo ele elevación del topógrafo, así como la distancia a la que se encuentra
ool asta bandera, si se sabe que el asta bandera miele la cuarta parte ele la altura del edificio que es de 16 metros, y la
dstancia entre ambas es de 9 metros.
16m
232
CAPÍTULO
15
Trióngulos rectóngulos
10. Una araña que se encuentra en la base de una caja desea alcanzar una mosca ubicada en la esquina opuesta de la
caja, como se muestra en la figura. Las esquinas están conectadas por un cable tenso, determina cuál es el ángulo de
elevación del cable y la distancia que recorrería la araña hasta llegar a la mosca por el cable.
11. Se tienen dos
poi~
de radios R, r y la distancia entre sus ejes es 1, ¿cuál es la longitud de la cadena de transmisión?
12. Debido a un accidente en unos laboratorios químicos, se tuvieron que desalojar ~casas que estuvieran en un radio
de 500 m de los laboratorios. Una familia vivía a 250 mal este y 195 mal sur de los laboratorios. Determina si la
filmilia desalojó s u casa.
i==i
i==i
DD
D O
e
Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a
233
-----------===-
CAPÍTULO
16
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
strónomo y matemático alemán que realizó
trotados sobre lo trigonometría y lo astronomía, inventor de d iversos herramientas
p:iro lo observación y lo medido del tiempo.
A
Su obro se compone de cinco libros llamados: De
¡publicado en Nuremberg
70 años después de haber sido escrito! Es intere(regicmonJanu$)
sante desde el punto de visto matemático, yo que
1436 . 1476
en el primer libro se establecen los definiciones
básicos de rodio, orcos, igualdad, círculos, cuer·
dos y lo función seno. En el segundo, lo ley de senos poro lo resolución
de problemas con triángulos, y del tercero al quinto libros se expone lo
trigonometría esférico.
Johann Müller Von
Kiinigsberg
tiangulis omnimodis,
16CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Solución de triángulos oblicuángulos
Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos son oblicuos, es decir, no tiene un ángulo recto. &te tipo ele
triángulos se resuelven mediante la ley ele senos, ele cosenos o ele tangentes.
ley de senos
La razón que existe entre un lado ele un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado e> proporcional
a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.
e
Ley ele senos:
a
b
e
sen A sen B sen C
- -= - - =- -
A
e
B
La ley ele senos se utiliza cuando:
e
e
Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno ele ellos.
Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
~EMPLOS~~~~~~~~~~~~-.
..¡ 1 ••·Fn
E
i!-
el triánguloABC, b = 15 cm, LB= 42º y L C = 76º. Calcula la medida ele los lados y ángulos re>tantes.
Solución
Para obtener LA, se aplica LA +LB+ L C = 180°, despejando,
A
LA= 180° -L C- LB= 180° -42° -76° = 62°
Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a dicho lado,
también se proporciona el ángulo C, por tanto, se puede determinar
la medida del lado e,
c
b
-=-sen C sen B
B
Al sustituir L C = 76º, LB = 42º y b = 15 cm, se determina que,
c
15
--=--
sen 76° sen 42°
~
la expresión anterior se despeja e,
c = (15Xsen 76º) = (15)(0.9703) = 2 1.75 cm
sen 42°
0.6691
Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación:
a
b
senA sen B
--=--
donde
a
15
--=--
sen 62° sen 42°
Al despejar a:
a= (15)(sen 62°) _ (15)(0.8829) _ 19.8 cm
sen 42°
0.6691
236
CAPÍTULO 16
Trióngulos obllcuóngulos
2 • ••Fn el triángulo MNP, L P= 76°, p = 12 cm y m = 8 cm. Resuelve el triángulo.
Solución
p
M
p=l2cm
N
Con los datos del problema, se calcula el valor de L M con la siguiente relación:
___!!!__ =_f!_
senM
senP
Al despejar sen M y sustituir los valores, se obtiene:
sen M = msen P = (8)(sen 76°)
p
12
(8)(0.97029) = o.6469
12
Entonces:
L M =are sen (0.6469)
LM=40º 18'
Por otro lado,
L N= 180° - L P-L M = 180° - 76° -40° 18' = 63° 42'
Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n:
_ n_ = _ p_
senN senP
Al despejar n,
p sen N ( 12)(sen 63°42')
n= - - - =
sen P
sen 76°
(12)(0.8965)
0.
= 11.09 cm
9703
Por consiguiente,
L M =40° 18', L N=63º 42' y n = 11.09 cm
237
16CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
3
••·En el triángulo ABC, LA= 46°, LB= 59º y a= 12 cm. Determina los elementos restantes del triángulo.
Solución
e
A
Fn el triángulo:
L C = 180"-LA -LB= 180"-46° -59° = 75°
Para hallar el valor del lado c se utiliza la relación:
c
a
--=-sen C sen A
donde
c = asen e= (12)(sen75°) _ (12)(0.9659) _ . cm
16 11
sen A
sen 46°
0.7193
Asimismo, para obtener el valor del lado b se utiliza la relación:
a
b
--=-sen B senA
donde
b = asenB _ (12)(sen59") = (12)(0.8571) _ . cm
14 3
sen A
sen 46°
0.7193
Finalmente, los elementos restantes son:
L C= 75°, c = 16.11cmyb=14.3 cm
ley de cosenos
El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes,
menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.
e
Ley de cosenos:
a 2 = b 2 + c2 -2/x cos A
b2 = a 2 + c2 - 2ac cos B
c2= a2 + b 2 - 2ab cose
A
238
CAPÍTULO 16
Trióngulos obllcuóngulos
Al despejar
La ley de cosenos se utiliza cuando:
e
e
Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Se tiene el valor de los 3 lados.
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--.
~
E
.~
1
•••Fn el triánguloABC, a= 15 cm, c =18 cm, LB= 70". Resuelve el triángulo.
Solución
e
e= 18 cm
A
Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula:
b2 = 01- + c2-2accos B
Donde,
b= j(l5)2 + (18)2 -2(15)(18)cos 70º = .J225 + 324-2(15)(18)(0.34202) = J364.3
b = 19.09 cm
Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de L A:
s A= b2 +c2 -a2
ce
2bc
2
_
2
2
(19.09) +(18) -(15)
2(19.09)(18)
_
'364.43+ 324-225 = 0.
6743
687.24
Donde: LA= are CQS 0.6743 = 47° 36'
Por último, se determina la medida de L C:
L C = 180"-LA-L B = 180º -47º 36' -70º = 62º 24'
Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son:
b = l9.09cm, LA= 47° 36' y L C= 62° 24'
239
16CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2 • •· Fn el triángulo ABC, a= 50, b = 45, e= 32. Resuelve el triángulo.
Solución
e
Para obtener L A:
e A- b 2 +c2 -a2 _(45)2 +(32)2 -(50)2 _2025+1024-2500_
os
-
2bc
-
2(45)(32)
2880
01906
·
Donde,
LA= are CQS 0.1906 = 79°
Para obtener LB:
CQS
2
2
2
2
2
2
B = a +c -b = (50) +(32) -(45)
2ac
2(50)(32)
_
2500+1024-2025 _ 0.
4684
3200
Donde,
LB= are cos 0.4684 = 62° 4'
Para calcular L C:
L C= 180° -LA-LB= 180° -79º -62° 4' = 38° 56'
R>r consiguiente, los ángulos del triángulo ABC son:
LA= 79º, LB =62° 4' y L C= 38° 56'
ley de tangentes
En todo triángulo oblicuángulo la razón entre la diferencia de 2 lacios y la suma de los mismos, es igual a la razón
entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lacios, y la tangente ele la semisuma
ele dichos ángulos.
Fórmulas:
a-e_
(A-C)
tan - 2
b-c _
(B-C)
tan - 2
a-b _
tan (A-B)
-2
a+c - ~+C
tan - - 'b+c - ~+C
tan - - Ya+b - ~+B
tan - 2
2
240
2
CAPÍTULO 16
Trióngulos obllcuóngulos
•••Fn el triánguloABC, c = 10, A= 68º, C = 36º. Resuelve el triángulo.
Solución
Se determina el L B:
e
LB= 180° - LA - LC= 180° -68°-36° = 76°
Se aplica la ley ele tangentes para encontrar el valor del lado a:
a-c
tan(A-C)
2
a+c =tan( A;C)
Al sustituir los valores de e = 10, LA = 68º y L C = 36°, se obtiene:
e= 10
68"-36°
tan
a
_ -_ 1_0 = -+---2_,_.. = tan 16° = 0.2867 =0.2240
tan 52° 1.2799
a+10 tan 68"+ 36°
2
Entonces, de la expresión resultante:
a-10 =0.2240
a+10
Se despeja a:
a - 10 = 0.2240a + 2.240
a - 0.2240a = 2.240 + 10
0.776a = 12.240
12.240
0.776
a= 15.77 cm
a= - Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado b:
b-c
b+c
tan(T)
tan( B;c)
Al sustituir los valores de e = 10, LB = 76° y L C = 36º, se determina que:
76°-36°
b-10 tan (
2
= tan 200 = 0.3639 = 02454
b+10=
76°+36º
tan 56° 1.4826
tan
2
De la expresión resultante,
b-10 =0.2454
b+10
Se despeja b:
b - 10 = 0.2454b + 2.454
b -0.2454b = 10 + 2.454
0.7546b = 12.454
b= l6.5cm
Por tanto, los elementos restantes del triángulo son:
L B=16º, a= 15.77 cm y b= 16.5 cm
241
16CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
EJERCICIO 53
Resuelve el siguíente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados.
e
A
1. LB= 57° 20', L C= 43° 39', b = 18
2. LA= 63° 24', L C= 37° 20', e= 32.4
3. LA=85º45', LB=26º31',c=43.6
4. LC=49°,LA=54º21',a=72
5. LB= 29°, L C = 84", b = 12.3
6. LA= 32°, LB =49", a= 12
7. a=5, LA=32°,b=8
8. c=13,b=10,LC=35º15'
9. LB=56º35', b= 12.7, a=9.8
10. a=9, e= ll.5,LC=67°21'
11. a= 15, b = 16, e= 26
12. a= 32.4, b = 48.9, e = fl:J.1
13. a= 100, b = 88.7, e= 125.5
14. a = 15, b = 12, e= 20
15. a = 12, b = 15, L e= 68"
16. a= 28, c=32, LB =16º
17. b = 45, e= 75, LA =35°
18. a= 12.6, b = 18.7, Le= 56º
Demuestra que para el triángulo se cumple:
b
e -a= - = -e -
senA
sen B
e a2 =b 2 + c2 -
e
sen C
2Jx cos A
b2 =a2 +c2 -2accosB
e c2 =a'+ b2 -2abcos e
e:)
""rifleª hls r.,ultados en la -cl6n do toluclonu con-o_.dlont• • -----------=~
2.42
CAPÍTULO 16
Trióngulos obllcuóngulos
- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un puntoP a lOOmetros del punto M;
al medir los ángulos resulta que L M = 110" y L P= 40". ¿Cuáles la distancia entre los puntos M y Q?
Solución
Se realiza una figura que represente el problema:
De acuerdo con los datos se determina el valor de L Q:
L Q = 180º - 110° - 40° = 30°
Sea MQ
=d, entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene:
d
sen 40°
100
sen 30º
De la cual se despejad:
d = (lOO)(sen 40") = (100)(0.6427) =
.
128 54
~n30º
0.5
En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.
2
Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edificios, 250 m y 380 m,respectivamente. Si el ángulo
formado por los 2 edificios y el observador es 38" 20', precisa la distancia entre ambos edificios.
Solución
Sea d la distancia entre ambos edificios; entonces, por la ley de cosenos:
d = J(250)2 +(380)2-2(250)(380)cos 38º20' = ..}62500 + 144400-149038.98= 240.55
Finalmente, la distancia entre los edificios es de 240.55 m.
243
16CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
3
Se inscribe un octágono regular de lacio 1 cm en una circunferencia; determina el área del círculo.
Solución
Si se in.$cribe un polígono regular en una circunferencia, la distancia del centro al vértice es el radio, si se trazan 2
radios a 2 vértices se forma un triángulo isósceles yla medida del ángulo centrales
la figura:
~·
= 45°, como lo muestra
Sea x la medida de cada ángulo de la base en un triángulo isósceles, entonces:
2x + 45°
=180°
2x= 135°
X=
l
35
º
2
=67.5°
Rir la ley de senos se tiene la igualdad:
t
--=
sen 45°
r
sen 67.5°
Al despejar r de la expresión anterior:
sen67.5
r= sen 450 =1.3cm
Luego, el área del círculo está dada por la expresión:
A=1tr2
Se sustituye r = 1.3 cm y se obtiene:
A= 1t (1.3 cm)2 = 1.691tcm2
.
EJERCICIO 54
Resuelve los siguíentes problemas:
l. Rtra establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto Bdeéste, un agrimensor selecciona
un punto P a 500 metros del punto A, las medidas de L BAP y L BPAsoo 38° y 47º 32'. Obtén la distancia entre
Ay B.
244
CAPÍTULO 16
Trióngulos obllcuóngulos
2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7
y 1.2 cm. De termina la distancia entre los extremos de dichas
manecilla5 a las 13:30 horas.
3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km/h con dirección sur 30°20'0. Una segunda embarcación sale del mismo
puerto a las 11:30 ha 12 km/h con dirección norte 45°0. ¿Qué
distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?
4. La distancia entre 2 puntos A y Bes de 20 km. Los ángulos de
elevación de un globo con respecto a dichos puntos sonde 58° 20'
y 67º 32'. ¿A qué altura del suelo se encuentra?
5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se
localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con
un ángulo de elevación de 30° y la parte superior de ésta con un
ángulo de 70º. Determina la altura de la antena.
245
16CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
6. ¿Cuál es la longitud de los lados de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 centfme.tros de radio?
7. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un
ángulo de 74º 23'. Después de una hora, uno de ellos se encuentra
a 225 km de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. ¿Cuál
es la distancia entre ambos aviones?
'1'2.~"" --- ------~
',
'
' ,,.,.--., ,
m~;;J
,
( 300km
'' '
8. En un plano inclinado se encuentra un poste vertical de 20 metros
d: altura. Si el ángulo del plano con respecto a la horizontal es de
20°, calcula la longitud de un cable que llegaría de un punto a
300 metros cuesta abajo a la parte superior del poste.
T
20m
/
~
Jl
=--= .:-::-:.ú.!>".. - - - - - - - 9. Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con una velocidad de 70 km por hora. Al mismo tiempo, pero en dirección noreste,
otro buque viaja a razón de 80 km por hora. ¿A qué distancia se
encontrarán uno del otro después de media hora?
N
+
246
CAPÍTULO 16
Trióngulos obllcuóngulos
10. La distancia que hay de un punto hacia los extremos de un lago
son 145 y 215 metros, mientras que el ángulo entre las 2 visuales
es de 56° 10'. Calcula la distancia entre los extremos del lago.
11. En un paralelogramo que tiene un lado que mide 20.8 cm, su diagonal mide 46.3 cm. Determina la longitud del otro lado si se sabe
que el ángulo entre la diagonal y el primer lado es de 28° 30'.
12. Si t. ABC triángulo cualquiera y DE es el diámetro de la circunfurencia, demuestra que:
BC
sen A
AB
DE= - -
sen e
CA
senB
13. Observa la siguiente figura:
R
a) Demuestra que dado un lado y 2 ángulos adyaoentes, el área del triángulo será:
A=?_Q_P=i-P-R=l-R-Q
2sen (Q+P)
2sen (P+R)
2sen (R+Q)
b) Demuestra que el área del triángulo está dada por cualquiera de las siguientes fórmulas:
e
e
A =
21 r
2
sen P sen Q ese R
V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con..ponchnt• .
247
----------~=~
CAPÍTULO
17
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
HISTÓRICA
o
IC
5t
&
A
braham de Moivre es conocido por lo
fórmula de /l/tivre y por su trabajo en la distri·
b.ición normal y probabilidad. Fue amigo
de Isaac Newton y Edmund Halley. En 1697 fue
elegido miembro de Royal Sociely de Londres.
Abraham de Moivre
(1667- 1754)
La fórmula de Moivre afirma que:
V'xeRAV'neZ(cos8 + i sen 8)•= (cos n 8+ i sen n 8)
Esta fórmula es importante porque conecta los nú·
meros imaginarios con la trigonometría.
17CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Forma trigonométrica o polar
Sea el número complejo z =a+ bi, r = lzl = Ja2 +b2 su valor absoluto y 6 =an: tan (!:)el argumento o módulo de
z. entonces su forma trigonométrica o polar se define corno:
a
z= r (cos 6 + i sen 6) = r cis 6 = r!fl con cos 6 + i sen 6 = cis 6
Demostración
Fn el triángulo
Imaginario
a
b
cos6 = - .sen 6= r
z= a+ bi
r
P(a, b)
Al despejar a y b respectivamente
b
a= r cos 6, b = r sen 6
Si sustituyes en z =a + bi, obtienes:
a
Real
z= r cos 6 + ir sen 6 = r(cos 6 + i sen 6) = r cis 6 = rl!l
ª
EJEMPLOS-------------a.
1
E
• • •'Ilansforma el complejo z =4 + 3í a su forma trigonométrica con 0° S: 6 S: 360°.
Solución
i!-
Se obtiene6 y r, entonces:
6=an: tan
Imaginario
z = 4 +3i
z = 5 cis36º 52'
(~)=arctan (¡) =36º 52'
2
2
r= J(4) +(3) =J16+9
=.fi5 =5
R>r tanto, la forma trigonométrica es:
z = 5(cos 36° 52' + i sen 36º 52')
o
z = 5 cis 36º 52' = 5136°52'
2
Real
4
• •Transforma el complejo z = -1 + i a su forma trigonométrica con Oº S: 6 S:360º.
Solución
Se obtiene 6 y r, entonces:
Imaginario
6 = an; tan ( ~l) = 135º
2
2
r= J(-1) +(1) = Jl+l =
z=
J2
1
Real
I\:>r tanto, la forma trigonométrica es:
z=
z=
J2 cis 135º
J2 (cos 135º + i sen 135º)
J2 cis 135º = J21135°
250
CAPÍTULO 17
Formo trigonométrico de los números complejos
Operaciones fundamentales
e
M;ltip/icación
Sean los complejos z 1 = r1(cos 61 +isen61) y Zi =r2 (cos 62 + isen 62), entonces:
z1 • Zi =r1 • r2 [cos (6 1 +IJi) + i sen (6 1 + 62 )) =r1 r2 cis (6 1 + 62 )
EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
S
1
Q..
• • •Si z1=2(cos 60º + isen 60º) y Zi
=..fi. (cos 45º + isen 45º), determina z1• Zi·
E
Solución
&!:-
Se aplica la definición del producto ele dos números complejos
z 1 • Zi= (2)(..fi.) [cos(60°+ 45º) + isen (60º +45º)) = 2..fi. [cos 105º + isen 105º]
2
• • •Determina zt"Zisiz 1 =4cis~
YZi=3cis ~.
1
Solución
Aplicando la definición del producto
z 1 ·Zi =r1 r2 cis(61+62 )=(4)(3)cis
e
(~ +~)=12 cis¡ = 12~
División
Sean los complejos z1 = r1(cos 61 + i sen 91) y Zi = r2 (cos 92 + i sen 82), entonces:
81)) _- -'i [ cos ("0' -1t1,, ) +1sen
.
( 0'
" -0'
,, ) ] r, · ( " ,, ) - 't 19. -R".
-z, -_ 'i (cos 81 +isen
.
1
2
1
2 - - c1s 0'1 -0'2 - -~
z, r,(cos 82 +1sen 82
r,
'2
r2
EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
S 1 • ••Sean z 1= S(cos 50° + i sen 50º) y Zi = 4(cos 15º + i sen 15º), determina ~.
z,
Q..
i_
Solución
Se aplica la definición del cociente de dos números complejos
~ = ! [cos(50º-15º)+i sen(50º-15°)]
¡¡¡
Z2
4
~ = 2[cos 35º + i sen 35º)
z,
2
• • •Encuentra
z,. si z 1 = 12(cos!!...+¡ sen!!...) y Zi = 3(cos!:.+; sen!:.)
z,
15
15
3
3
Solución
Aplicando la definición del cociente:
z,
Z
(n n}. (n
[
3
= 12 cos
3- 15
Simplificando, se obtiene:
1
sen
3- 15
n}¡ sen( 4n]
z, = .!. [cos( 4
z, 4
15
25 1
TC]
15
17CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
.
¡;;2 . 1!
lng . 21!
2 . 1!
3 • • • S1 z = ..¡;. CIS- , Z¡ = "" CIS- , ~ = CIS-
4
3
12
y~=
1 . 51! de
. z. z,
CIS-,
termma - - .
2
6
z, . z,
-
Solución
Se realizan las operaciones del numerador y del denominador por separado:
z·
~= ( J2cis¡ )(2cis :i)= 2J2[cos(¡+ ~ }isen(¡+ ~]
~}i sen(~]
= 2J2[cos(
~
2
5
z1• = ( JScis ; )Gcis : ) =
~[cos(2; + 5:
}¡ sen(2;
5
+ :]
RJr consiguiente la división se define como:
}\!
71!
1
. . -¡¡,entonces:
51!
ro --¡¡ es 1·gua1 a ángul o pos11Jvo
(51!}·1sen(51!]
6
Z·Q
- = 2[ cos z,·z,
6
e
Potencia (fórmula de Moivre)
Dado el complejo z =r(cos 8 + isen 8), entonces,
t' = I' (cos n8 + i sen n8)
EJEMPLOS------------_.,.
aa.
E
L!-
1
• • •Sean z = 2(cos 15° + isen 15º), encuentraz2.
Solución
Aplicando la definición de la potencia para ballar?:
¿. = 22(cos 2(15º) + i sen 2(15º)) = 4(cos 30" + i sen 30")
Fs importante mencionar que algunos de los resultados están expresados en términos de un ángulo notable y se pueden
sustituir por sus valores respectivos.
252
CAPÍTULO 17
Formo trigonométrico de los números complejos
2
• • · Sea z =
~ (cos 36º + i sen 36"), encuentra ~.
Solución
Se aplica la definición de potencia de un número complejo
~ = G)' (cos 5(36º) + isen 5(36º)) = 3~ (cos 180º+ isen 180") = ; 1 (-1 + i(O)) =- 3~
Por tanto ~ = _ _!_
'
32
3
• • •Si z =
~(cos.!:..+;
sen!:..) yz =
'113
12
12
1
fi(cos 3ir +i sen 3ir) determina i.
2
4
z,
4
Solución
Se obtiene la potencia de z:
z2=(~(cos 1~ +i sen 1~)J
.
2ir) = -1(cos -lt +1sen.
ir)
= -1(cos-2it +1sen3
12
12
3
6
6
Se procede a realizar la división, entonces:
1
,
'¡
1. lt'J
z2 = 3 cos6 + sen 6 = J'j(cos(!!.-.!:..}¡ sen(!!._.!!..)~ = J'j(cos.!!..+; sen.!!..)
z,
1 cos.!I.+; sen ir:)
3
6 12
6 12 ~
3
12
12
lt
73'
12
12
e Raíz
Sea el complejo z = r(cos 8+ i sen 8), entonces su raíz enésima se define como:
·r; = ··(
8+2irk
. 8+2irk)
vr cos- -+1sen-~z
n
n
Donde k toma los valores O, 1, 2, 3,. . ., n - 1
~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.
~
E
.~
1
• • •Determina la raíz cúbica ele z= 8 cis240".
Solución
Las raíces se obtienen aplicando la definición y k adopta los valores ele O, 1 y 2, entonces:
Para k=O
lo= ?.f8 ( cos 240º+360º(0) +i sen 240º+360º(0)) = 2(cos 80" + i sen 800)
3
3
Para k= 1
z1 =
?.ís( cos 240°+360º(1) +isen 2400+360º(1)) =2(cos2000+isen2000)
~
•r.:(cos 240º+3600(2) + i sen 2400+360º(2)) = 2(cos 3200 + i sen 3200)
3
3
Parak=2
= "8
3
3
253
17CAPÍTULO
GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2
•••Dacio el número z = 1, determina
'Ji. .
Solución
El número complejo z = 1 en su forma trigonométrica es z =I (cos O"+ i sen O"), luego k adopta los valores de O, 1, 2
y 3, entonce> las rafees son:
Zo =
ifi( cos 0" +360º(0) +i sen 0º+360º(0))
4
z1 = ifi( cos
= 1 (coso• + i sen Oº) = 1
4
0º+360º(1)
0º+360°(1))
+i sen
= 1(cos90º + isen 90°) = i
4
4
Zz =
lfl( cos 0"+360º(2) +i sen 0º+360º(2))
= 1 (cos 180º + i sen 180º) = -1
Zol =
ifi( cos 0º+360º(3) +i sen 0º+360º(3))
= 1 (cos270º + isen 270º) = -i
4
4
4
4
Fn consecuencia, los valores de la raíz cuarta de z = 1 son los complejos Zo = 1, z1 = i, Zz = -1 y Zol = -i.
.
EJERCICIO 55
Transforma a su forma trigonométrica los síguíentes números compleíOs:
l. z=4 -i
2. z=
3.
5. z= -3i
1 2.
6 . z= -+-1
.J3 + i
2 3
z= -2+2i
8. z=-.fj+.!.;
4. z=5
Sean los compleíOs z 1
2
=..fi cis 45", '2 = ./13 cis~, '3 •
2 cls U:/' y z4 =
J2
2
3
cis : , determína:
Zz
12.
Z¡' Zz'Zol
15. ~
18. ~
10. Zz. z,
13.
z1• Zol' Z.
16. ~
19.
17. ~
20.
9.
11.
Z ¡.
Z¡ •
Zol
14. ~
z.
254
z.
z.
z,
z, ·z.
z,. z,
z, ·z,
z.. z,. z,
z,
CAPÍTULO
Formo trigonométrico de los números complejos
Resuelve lo que se te pide.
21. Si z
=3 cis 120", determina z2
22. Encuentra t' si z = 3(cos 25º + i sen 25º)
23. Determina z3 si z = 5 cis 15º
24. Encuentra
.JZ si z = 16(cos; +i sen;)
25. Si z = 64 cis 120", determina
26. Encuentra
27•
Vi.
Vi_ si z = -1
s·1 z = 4 c1s9
. n y z = 2c1s9,
3 . 2n re termma
. <z · z1)2
1
28. Si z = 2(cos 30º + i sen 30") y z1= 4(cos 60" + i sen 60"), determina
"!Jz·z,
29. Encuentra el resultado de: [2(cos32" + isen 32")j. 7(cos36º + i sen36º)
'\J
30. Determina el resultado de: [s(cos .!!..+¡sen.!:...
12
12 ~
e
V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con. .ponchnt• .
255
-----------~
17
,
'
I
CAPÍTUL0 2
19. a)LCOB=30º,LBOA=60º
E.uaao 1
b) LAOB=4Sº,LBOC=30º,LCOD= ISº
l. 40.1708°
S. 9.IS2Sº
9. 18º1S'18"
2. 61.70S8º
6. 98.3791º
10. 29°24' 39"
3. 1.03416°
7. 40°19' 12"
11. 19º S9' 24"
e) LAOB=30º,LBOC=90º,LCOD=60º
4. 73.6777º
8. 61°14' 24"
12. 44° ()()' 36"
f) LAOB = LCOD = 4Sº, LBOC =SSº, LDOE = 3Sº
e) LAOB= SOº, LDOB= 130°
d) LAOB=6Sº,LBOC=4Sº, LCOD =70º
g) LAOB(convexo)= 134°, LAOB(cóncavo)=226º
E.uaao2
h) LAOB(convexo) =SOº, LAOB(cóncavo) = 310°
7
l. Óir md = 3 .fi6S mds
8.
s
3ir rad=S236 mds
9.
2.
s
11
(;ir
2
3
ir
3
md = S .1S9 mds
md = 2.094 mds
3.
¡ir
md=3.927 mds
10.
¡ir
4.
s
2 ir md = 7 .8S4 mds
11.
4.S23
ir rad=0.189 md
18000
2
s. Sir
md = 1.2S6 mds
12.
1283
1800
ir md = 2.239 mds
sir rad = l.74S mds
9
13.
2711
ir rad = 2.628 mds
3240
1
33601
14.
ir rad= 7.330 mds
14400
6.
7.
E.oiERaaO 6
md=2.3S6 mds
s.
2. llS".
6. llSº
3. 8=2Sº, <t=311'
7. 292°30'
4. 063º 18'S,S26º42'0
8. 12:30h
22°30'
9. 48 ir md
10. 3:40h
CAPÍTULO 3
E.oiERaaO 7
l. x = 60°, La.=60°, Lb= 120º
2. x = 46.Sº, La= Lb = Le= 46.Sº, Le= Ld = Lf= 133.Sº
3. x=40º, La =Lb= Le= 80°, Le=Ld= Lf= 100º
4. La= Le= 137º,Lb=43º
6ir rad=0.S23 md
S. La= Le= Ld=Lg=41º, Lb= Le= Lf= 133°
6. x=2Sº
E.uaao3
7. x=26º, La= 128°, Lb=S2º
l. 120°
s.
2. 330°
6. 211'
10. 2711'
3. 13Sº
7. 468°
11. 9'38'34"
4. 240°
8. IS"
12. 64°10' 37"
12611'
9. 90º
13. 360°
11. x=80º,y=60º
12. R = 120º
7. 246° 34' IS"
11. 4°33' 11"
12. ISº41' 18"
3. 49°19' 33"
8. 87Sº 11 '40"
13. 3°21' 41"
108°7' 48"
9. x= l ISº,y=6Sº
10. x=40º,y= 110°
6. 7Sº44'22"
4. S9º 19' 45"
8. LIO = L4= L1=10º,LI = L13=L16=110º
14. 28°38' S2"
E.uaao4
l. SSº 46' SO"
2. 40° 13' IS"
s.
l. l 3S"
9. 383ºS1'21"
14. 13º1S' 18"
13. La= Le= Le= Lf= 126°, Lb= Ld=S4º
14. Ln= Lz=SOº, Lm =Ls =Ly= Lr= 130°
IS. Lx=Lq= Lp=Lk=3Sº, Ly= Lr= Ls= 14Sº
16. Lq=Lz=Ly=60º,Lr=Lw=Lp=120º
17. a),b),d)y/)
10. 227°3' 18"
E.uaao 5
l. Suplemeitarios
6. Complemeitarios
2. CQmplementarios
7. Suplementarios
3. CQnjugados
8. Complemeitarios
4 . CQnjugados
9. Conjugados
S. CQnjugados
10. Suplementarios
11. 10°
13. 811'
IS. 18º
17. 36°
12. S7º
14. 311'
16. 20°
18. 120°
CAPÍTUL0 4
EJEROao
a
l. IOSº, 110°
s.
2. 10°, 80°
6. 8= S4º y /J= 72º
3. 80°, 80°, 20°
7. LA =3Sº,LB=9Sº,LC=S0º
4. SSº, 41 º
8. ABC=69º,BCA = 73°, BAC = 38°,
118°, 38° y 24°; 68°, 711' y 42°
ACD = 107°, CDA = 3Sº, CAD= 38°
258
Soluc i6n o los ejercicios
E.ERaao 9
E.uaao 17
l. Teoremall (LAL)x= 85ºy= l2
2. Teoremalll (ALA)x= 13y=19.8
3. Teoremal (UL)x= 32ºy= 62º
l. 1oo m
E.ERaao 10
m
2. 2.fs m
7. 5 cm
3. 40 cm
8. 8.J3 cm
4. 5.{3 cm
1 a 8. No se incluye la solución por ser demostraciones.
9. 9J2 km
5. 4hm
2J2
m
11. 3m"3
E.ERaao 11
=
l. a=36º,b 8" 4, x=25,y= 14
2. x=15,y=45 5. a=l2º,b=25º
3. x= 15º, y= 20º
12. 2 J4m
2
n
•
2J4n
2
2
m
-
15
w
y2
5
CAPÍTULO
l. x=3
2. x=12
3. x=:1:9
4. x=1,x=O
5. x= :1: 4J2
6. x=2
7.x=:1:6y
8. x=:1:5
9.x=:1:4
10.x=3
5
E.uaao 18
l. LA= LC= 140°, LB =40º
2. LDCA=40°, LCAD=60",LDW LDCB= 100", LD= LB= 80°
3. LADC= LB= 110°,LA =LC=70º
=
E.ERaao 13
4. x=30º,z= 120º, y=60º
l. a'=3,c'=S
2. a=30,b'=16
5. x= 127º, y= 53º
6. x=l20º,y=SSº,z=12Sº
3. l...adosl2y22;x= ll, y=36
4. l...ados 8 y4;x= 7,y= 5
7. x=60º,y= 120º,z=60º
8. x= lSº,y=70º, z= 110º
5. l...ados8 y 6; u=3, t= 10
6. l...ados !Oy9;x=5,y=3
E.uaao 19
1 a 6. No se incluye la solución por ser demostraciones.
E.ERaao 14
9
2. x=2
3. x=6
10. 5J2 cm
2
-
15
E.ERaao 12
l. x= 10
6. J9i m
12
4. x=5
5. x=
7. x=4
25
3
6. x= 16
10.
X=
30
E.olEJlaOO 20
l. x= 4 cm
4. LNP0=24º
7. MN=20u
27
8. x= 22
2. 4 y 8 u
S. x=20º,y=68º
8. AB =a, IJ = b
9. x= 10
3. 41 u
6. AB = 11 cm
9. AE =5
E.ERaao 15
l. 68m
3. 160m
2. 481.6 m
4. 15 m
CAPÍTUL0 6
5. a)28 m
b) 120m
E.ERaao 16
l. c=25
J4i
c= 4JS
2. c=
3.
8. b
=5J2
9. c = 3,[s m
10. b
=5 m
15. Acutángulo
16. Rectángulo
17. Rectángulo
4. e= 1J2
11. c = .J,iij cm
18. Obtusángulo
5. b= 16
12. a= 5J7 dm
19. Rectángulo
6. a= 2J7
13. Obtusángulo
20. Acutángulo
7. c= 8
14. RecW!gulo
21. Rectángulo
22. a)2.JIS, b)5./13, c)2JIO, d) 6./ii
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13.
14.
15.
16.
17.
259
d= 8
Icoságono
d=1
Dodecágono
Nonágono
a) 170,b) 54, c)27, d)9,e)90,j)l4, g) 104,h) 135, 1) 44
He¡úgono
Hexadecágono
He¡:tadecágono
Nonadecágono
He¡úgono
Undecágono
Perrigono
Tridecágono
Dodecágono
~ono
Icooágono
2.
E.uaao22
1. a) 120°,b) 135°, e) 150°, d) 162º,e) 160°,j) 171°25'42"
2. a)540º,b) 1440°, c)2340°,d) 1 080°, e) l 980º,.f)6 300°
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3. Nonágono (nueve lados)
4. Heptágono (siete lados)
'['..._
5. Hexadeclgono (16 lados)
6. Undecágono (11 lados)
7. Hexágono (seis lados)
8. Hexadeclgono (16 lados)
9. Nonágono (nueve lados)
3.
10. Dodecágono (12 lados)
ll.
~ono (ocho
lados)
12. Triángulo
13. Hexágono (seis lados)
14. Pentadecágono (15 lados)
15. Nonágono (nueve lados)
4.
16. Pertágono (cinco lados)
17. 54°, 129.6°, 129.6°, 108° y 118.8°
18. 110°, 100°, ll5º, 135ºy 80°
19. 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 210° y 240°
20. LA =70º, LB=65º, LC= 10º, LD = llOºy LE= 105°
21. LA=54º,LB=64º,LC=116º,LD=64º,
LE= 17ºy LF=45º
CAPÍTULO
7
E.uaao23
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CAPÍTULO
E.uaao32
8
l. a) TS =24cm,b)BC
E.uaao28
LABC=30º,LAOC=60º, LBOC= 104°,AD = 116º
La=1Sº,Lb =SOº, Lc=SSº,L d= SSº, Le =SOº, Lf=1Sº
LABC=27.5º =27°30'
LABC = 8Sº, LDBA = 9Sº
LA=JOSº,LB=9Sº,LC=1Sº,LD=8Sº
a) LA= 30°, b) LA = 40°
La=60º, Lb= ISº, Lc=2Sº,Ld= 30°, Le= SOº
a) LA= ISº, b) LA =40º, e) LA =30º,d)li' =3Sº
e)c = 120°,flé' -íl = 140°, g)a = 70°,h)ii'= 40°
9. Lu= 120°, Lx=60º,Ly=30º, Lw =60°, Lz=90º
JO. La= 90º, Lb = 90º, Le= 90º, Ld = 90º, Le= 2Sº, Lf= 2Sº,
1.
2.
3.
4.
S.
6.
7.
8.
Lg=6Sº,Lh =6Sº, Li=40º
=13 cm,c)P=44cm,A= 14ftl cm2
2. A =84cm'
3. A=2r'(4- tt)
2
4. A =3ttr
6. A =2S(2J3 - 1r)mn2
7. A,=2S(4 - tt)cm2
8. A,= IOOtt dm'
9. A, =64{4 - tt} mm2
10. A,=4(10+tt)dm'
E.uaao29
1. a) I0.8,b)7.8,c)9.4
2. a) J0.09, b) 16.2,c) 17.29
11. A,= 196(4 - tt}cm'
12. A,= 11S2(tt - 2)mm2
E.uaao30
P=96ttmm
1. Exteriores
8. 2u
2. Tangentes exteriores
9. 2./3 u
13. A,= 32(6 - tt}mm2
JO. S cm
3. Inieriores
-
c,c,
4. Secantes
11.
S. Tangentes interiores
12. r
6. Tangentes exteriores
13.
7
1
=ISR, c,c, =(;R
14. A,= 128(tt - 2}mm2
IS. A,= 2S6(4- tt)cm2
16. a) A = 3./3 dm'
.JS R
2
b)A= 2S6f3 dm'
7. 3r
17. A,= 36ttcm2
CAPÍTUL0 9
18. A,=
E.uaao 31
19. A,=2cm',
1. P=8.4m,A=4.2Sm2
A=400cm2
$ 2.6fm2
$72S.5
Altura=36m,base=27m
Altura=IOm
SO círculos, 1280ttcm2
4.
S. P=40.0m,A=110m'
6. P=6S.4m,A=3131Sm 2
IS.
16.
17.
18.
19.
20.
7. P=36cm,A=81 cm'
21. a)l2Ji4 u',b)2Jiii u2,
2. P =24.9 m,A =29.4 m2
3. P=38.6m,A=82.Sm'
P=S2.5m,A=ll8.12m2
8. P=l0m,A=6m'
9. A= ISO m2
JO. A
12. A= 11.S mn2
13. A= 900tt cm'
14. A=81ttcm'
e) IS fiSu'
4
P = 2(1 + tt)cm
s
20. A,=2ttcm'
P = (6 + 4tt)cm
CAPÍTULO ,
E.uaao33
l. Ar= 4../3 cm'. Vr=
~J2 cm3
2. Ar= 3J3 cm'. Vr =
.¡¡,
4 cm3
22. x=9,A=98 m2
={x'- 3x +2)m
11. A=63dm'
1
B
ttcm'
2
23. a)2ttcm',b)
e)
61 ttcm2,
24 ttcm' ' d) ~3 ttcm2
24. a)(tt-2)cm2
b) ~ (tt- ~ .J3 )cm'
2
2
e) 16(tt-2)cm2
3. Ar=12cmZ, Vr=24J3 cm3
4.
Ar= ISO cm', Vr= 12S cm3
s.
Ar=nf3 cm', Vr=12
270
Ji. cm'
o
Soluc i6n o los ejercicios
J3 cm', V,= .J6 cm'
7. A,.= ( roJ2s + 10 JS) cm', v, =(3SO + ISO JS )cm'
14. A,.= 180 + 2sJ3 cm'
2
81
3
8. A,.= ( 12,bs +10 Fs) cm', v,=(30 + 14 JS )cm'
16. AL= 16(1+ fi.}cm2
6. A,.=6
1
9. A,.=1SJ3cm'. V,= ( sJ3:sJii)cm'
e dm', V,=
10. A,.=2SOv~
( 187 s.fi +62s[IO) dm'
6
IS. V,=
2 cm
J6A.'
17. V,=~
R-
18. V,= -
8
11. A,.=9J3cm2
27fi.
19. V,= - -cm'
4
12. V,= 27.J6
4 an'
20.
4 J3
13. h= an
3
16. h
3fi. m,A,.= 6~ m2
2. AL=
3,fj
--¡cm2,A,.=
¡;;
v3 cm', V,=
..fi.
l2 cm'
= 6fi. cm,A,.=72 J3 cm2
3. AL=12"7cm2,A,=(12J1+1J3)an2,
v,= -3sJ3
- cm'
18. v,=36cm 3
19. v,=
•
R
3
1. AL:3./iicm2,A¡.= (9+3.fii)cm2, V,:12cm'
4
17. v,= - an'
3
20
3
E.oaao35
14. v,= 2fi. cm'
IS. L=
AL=
v,=
1sfi. + sJiO
6
3
4. AL=38.4cm2,A,=64cm2, V,=81.92 cm 3
,
an
S. AL= 30J< cm2,A,= 48Jr an2, V,= 4SJ< an 3
6. AL =32J<cm'.A,. =64J<cm2, v,=64J<cm'
(3+JS).ef7SR
180
7. AL= 1.JISO l<cm2,A,= (1Fo+49) l<cm2,
E.naao 34
V,= 147l<cm'
l. AL =SOcm'.A,.=62 an2, v,=30cm'
2
2. AL=72cm'. A,=(72+8"3)cm ,VT=24"3cm'
8. AL=4Ji1,.an2.A,.= (4+4Ji7},.cm2,
32
1Ccm 3
3
3. AL= 16 cm2, A,= 18 anZ, V,= 4 cm'
4. AL=91.Scm2,A,.=
19S +7S"3
2
Vr= -
97S c
2 V,= -gv3
an,
cm'
e)
9. AL= -1s,,5
-J<cm2,A,.= ¡s (S+3v3 J<cm2
4
s. AL= (16fi. +8} cm2,A,.=(24J2 +8} cm2, v,= 16 an'
2SJ3
6
v,= - - J<cm'
6. AL=16cm2.A,.=24anZ,V,=8cm'
7. AL =64 J3 cm2,A,=
(64J3 +24) cm2, v,=96 cm'
8. AL =400 cm2,A,.= 400(2+ fi.}an'. v,=
9. AL= 1200 cm2,A,.=300(4+
10. AL= 16
J3 cm'
11. v,=27u 3
12. AL = 48 cm 2
21
'
13. v,= -¡cm
1000(1+ .J2} cm'
JS} cm2, V,=3000 J3 cm'
10.
2fi.
AL=3J<cm2,A,.=4J<cm2, V,= - - J<cm3
3
11. V,= 12 cm'
12. V,= 8 an 3
13. V,= 12 J.i6 cm 3
14. V,=
S~O an 3
IS. A8 =24J3 cm2
16. v,=24J<cm 3
271
17. AL =101<cm 2
b)
M- 10.Ji49
149
18. VT= 121<cm 3
sen
19. ~=481<cm2
7
ctgM= 10
20.
~=
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18(1
+E)' ,,v/
senN=
EJERaao 36
2S6
l. A =641<cm2, V= -1<cm'
3
2. V=1 80 JS
1<an3
149
149
Jl49
sec M= - 7
cos
N- 10.Ji49
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J149
tanM= IO
7
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csc M= - 10
tanN= !__
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J149
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secN= - 10
cscN= - 7
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3
JS
cosA= 3
2JS
tanA= -
JS
ctgA= 2
3JS
secA= -
3
ese A= 2
JS
sen B= 3
cos B=
2JS
ctg B= -
s
3
secB = 2
J2
cos M= -
e)
3. V=61<an 3
4. V=2101<cm'
S. A =601<cm2
6. A=961<cm2
7. V=
7 Jl49
7Jl49
cos M=
~ 1<cm 3
S2
8. V= - tccm 3
3
s
~
3
s
JS
tanB= 2
3JS
csc B= -
s
9. V= 3391< cm',
d)
A=721<cm2
10. V=
senM= -
~1< cm'
216
2
ctg M= 1
200
11. A= 1<cm2
3
J2
senN= -
2
J2
J2
J2
cosN= secM=
2
12. n=120º
13. V=72
ctg N= 1
J3 1<cm'
2,J6
senil= -
~ 1< cm'
s
.J6
ctgll=-
2
12
CAPÍTULO 11
sen a=
l
S
EJERaao 37
ctg a= 2.J6
Inciso 1)
a)
.-A= 2J\4
9
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sJ\4
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28
s
"'nB= 9
ctgB=
2
J\4
s
J2
J2
csc M=
tanN= 1
J2
cscN=
a)
2
ctgA=
secN=
tan M= 1
Inciso 2)
9
14. r= - cm,A =9Kcm2
V=
2
~
9
2s
2Jl4
tanA= - -
senA=
9Jl4
cscA= - 28
sJ\4
tanB= - -
9Jl4
"'cB= - 28
csc B =
tan 11= 2.J6
sec 6=5
cscll= -
s
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s.J6
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s.J6
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cosA= - 13
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ctg A= 3
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2.Jl3
senB= - 13
3.Jl3
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csc B= -
2
Soluc i6n o los ejercicios
e)
E.uaao38
.J3
cosN= 2
rin N= -.J3
3
agN= .J3
2.J3
secN= 3
ese N=2
.J3
senM= 2
cosM=
.J3
agM= -
secM=2
senN=
.!.2
3
.!.2
l.
s
sena= - 13
rin M= .J3
2.J3
esc M= -
.m
6
Jli
aglJ= -
11
sena= -.J3
6
ag a=
Jli
-s12
sena=
- 65
aga=
¡7
3
.J3
cos IJ= 6
sec IJ= 2.J3
.m
rosa= -
6
2./33
seca= - 11
tan IJ=
12
13
esca= - -
s
cosa=
1$5
-""'6S'
J6S
seca= - 7
tan a=
4
7
J6S
esca= - 4
3.
Jli
tan a= -
13
12
seca= -
4J(;S
Jli
2Jii
csclJ= - 11
s
tan a= -
2.
d)
senlJ= -
aga=
12
cosa= 13
11
ese a= 2.J3
2
3Ji3
sen/3= - 13
ros P=
2
agf3= 3
sec/3= -
Jí3
13
Jí3
2
3
tan/3= 2
Ji3
csc/3= 3
e)
J6
sen/3= 4
.JIO
ros/3= 4
tan/3=
Jl5
s
.JIS
agf3=-
2.JIO
sec/3= - -
2J6
csc/3= -
JW
sena= -
J6
cosa=-¡-
Jl5
tana=
3
3
4
.JIS
s
2.JIO
esca= - 5
.fiii
rin A=
seca= -
sen A= 4 .fi.9
29
ros A =
J1.
roslll=
T
J1.
tanlll=-1
aglll=- 1
sec lll=
J1.
csclll=
2
sena= - 3
rosa= - -
sen<t>= - -
3
2J6
3
aga=s
4.
29
-J1.
s.
j)
4
2
Js
3
2./5
tona= -
s
3Js
seca= - -
ese a= -
sena= - -
2Jli
cosa= - -
tan a= - -
2.J7
aga= --:¡
seca= -
aga=
Ji3
Js
T
s
3
2
13
6.
agA=
sen B=
agB=
4Jl3
.fiii
29
4
m
13
.fiii
secA= 13
cos B =
4
.fi.9
29
.m
secB= -
4
.fi.9
escA= -
fii
4
11
Jl3
rinB= -
ese B =
4
.fiii
13
273
11
Jli
2
.J7
2
fii
esca= - -:¡
GroMmíA y lRIGONONmÍA
7.
e) cos 80º =sen 10°
2.fi.2
13
senP= - -
9.fi.2
44
ag P= - - -
9
rosP= - -
13
13
9
secP= - -
2.fi.2
ti) ese 60° = sec 30°
9
e) sec2º =csc88º
tanP= - - -
ese P =
!3./22
44
8.
f) -sen 60º 37' 2S" = -ros29º22' 3S"
g) -ctg 4Sº =-tan 4Sº
h) tan14º 46' 24" = ctg ISº 13' 36"
J6S
6S
sen et>= - -
8J6S
CQS(t)= - 6S
J6S
agro=- 8
sec(I)= -
8
1
tan(J)= -8
ese ro=
-../65
í) -ros 84º3S' = .....enSº2S'
j) sec 39º 11' 48" =ese so• 48' 12"
k) cscS3º=sec31º
1) -ctg 48° =-tan 42º
9.
m) cos38ºS4' =senSlº6'
12
CQS O= - 13
s
sen o= -
13
s
tan o= - -
n) -sen 28º3S' 24" = -CtJs61°24' 36"
12
Inciso 2)
12
aco= - s
13
seco= - 12
13
ese o= s
10.
senP=
J6
--
.J3
CtJs P= - -
tan P=
J2
secP= - ./3
cscP=- -
3
ac P= -
2
3
J2
J6
2
11.
.J3
sena= aga= -
2
.J3
3
CtJsa= -
1
2
seca= - 2
2
.J3
aga= 3
1
CtJsa= 2
sec a=2
j) -csc90º
b) -ctg 140°
g) CtJs22Sº IS' 46"
e) sec240º
h) -ctgl76º 4S'23"
ti) cos280º
1) secl08º 32'
e) -tan34Sº
¡) .....en228º1S'
Inciso 3)
a)
-sen20º
g) .....enss•
b)
-ctg20º
h) -tan 76° 34' 42"
tan a= - ./3
e) cos 80º
esca=
2./3
ti)
tan4Sº
¡) ag20º
e)
-csc 81 º27' 48"
k) .....ec40º
f)
-secSOº
l) -csc31º26' 19"
tan a= - ./3
esca=
1) CtJs68º 4S' 24"
3
12.
.J3
sena= - -
a) -sen 160°
2./3
-3
Inciso 4)
a) 03090
j) 1.0187
b) 0.96S1
g) 0.9261
e) 1.1034
h) 3.8208
E.oaao39
ti) 0.1219
1) 1.0170
Inciso 1)
e) 0.7S36
¡) 0.491S
a) - .ll!n 30° = -CQS 60°
b) -tan ISº= -ctg1Sº
274
Soluc i6n o los ejercicios
CAPÍTULO
12
E.naao40
o•
o
o
30"
1<
1
2
.J3
1<
.Ji
.Ji
4
2
2
1<
.J3
3
2
1
2
J3
o
No existe
6
45°
60º
90º
120'
135°
ISO'
1<
2
2
21<
.J3
3
2
1
2
31<
4
.Ji
.Ji
2
2
51<
1
6
2
J3
2
o
No existe
J3
3
2
2J3
3
.Ji
../2
2J3
3
2
_.J3
-1
3
51<
../2
../2
4
2
2
240'
41<
3
J3
2
2
.J3
270'
31<
2
-l
o
No existe
51<
.J3
3
_J3
2
t
2
11<
../2
J2
4
2
2
111<
6
1
.J3
.J3
2
2
3
2tt
o
225°
300'
315°
330'
360'
1
-2
.J3
../2
-../2
3
2J3
3
-2
.J3
2
6
2./3
3
No existe
.J3
11<
o
o
1
2
210'
o
- l
2./3
3
-1
_J3
No existe
J3
_.Ji
- .Ji
-l
.J3
No existe
2
-1
"
J3
3
J3
3
o
180'
No existe
2./3
3
-l
-2
J3
3
Noexisie
o
2
.J3
2./3
3
3
-Ji.
Ji.
-1
-2
2./3
3
_.J3
No existe
275
No existe
1.
J3
2.
J3
s.~
2
6
2
3.
3
2
4.
o
9. 1
16
~
J3
10.
. 8
13. -1
4
14.
10.
o
Pe~odo: ~
.
"' "'
Asíntotas verticales: ... , - ¡, ¡
,...
Desplazamiento de fase: no existe
11. Periodo: n:
7. 9
8.
11. 2
J2
IS. 2
•
Asutotas
vem'cal es: ... ,
12. 1
16 a 20. No se incluye la solución por ser demostraciones.
3. Amplitud:
a la der.
Asímotas venicales: .. ., n:, 3n:, .. .
Desplazamiento de fase: 2n: a la der.
14. Periodo: 4n:
~"'
Asíttotas verticales: . .. ,O, 4n:, ...
Desplazamiento de fase: 2n: a la der.
1
2n:
IS. Periodo: n:
~ , Periodo: 3n:
l
3
Asíntotas verticales: ... , 21C , 21C ,...
3
3
Desplazamiento de fase: n:a la der.
9
- ¡-=, ¡"'
Desplazamiento de fase:
~
13. Periodo: 2n:
~, ~"'
Desplazamiento de fase: O,
Sn:
18 '!8 ,...
Desplazamiento de fase:
2. Amplitud: 2, Periodo:
a la izq.
3'
•
. cal es: ... , - "'
As1motasvem
EJEROClO 41
Desplazamiento de fase:
¡
~plazan;:'nto de fase: 12. Penodo:
CAPÍTULO 13
l. Amplitud: 2, Periodo: ~"'
3
3
-¡1C,
¡"' ,...
16.
y
4. Amplitud: S, Periodo: 8n:
Desplazamiento de fase: - 2n:, 6n:
S. Amplitud: 4
Periodo: 2n:
.
3n:
Desplazamiento de fase:
4 , 411 n:
X
6. Amplitud: 3
Periodo: n:
_,
Desplazamiento de fase: O, n:
7. Amplitud:
Periodo:
%
17.
y
~ n:
"' "'
3
Desplazamiento de fase: - 1
10' 10
8. Amplitud:
3
Periodo: 8n:
.
Desplazamiento de fase:
4n: 20n:
-3,
3
9. Amplitud: 1
Periodo: 6n:
Desplazamiento de fase: O, 6n:
276
Soluc i6n o los ejercicios
18.
22.
y
· -- ----- -- ---- -- --- -
2"
------- ------ ------
X
19.
y
X
...
·------- -- ------- -- - ------ ------- ---- -23.
y
20.
~--­
~----
--- -------- ---- ----- -"'2
.
------------------- -,.
2
X
--- ----------------
-·
21.
y
-2"
--------------------- -------------------24.
y
277
2S.
y
11.
~(Jiren8+ ccs 8)
16.
12.
~(sen x - ccsx)
17.
13.
. . .
-¡
6
.
26.
y
- "'!
?
s.
,.
6
6
X
.
l
14. - = cotx
tan x
IS.
l"
sen fJ
2
1-tan fJ
1+tan fJ
i(Jirenx -cosx)
18.
-sec2a>
19.
-tan a
20.
F'3oos a - sen a
J2
2
(sen8 +ccs 8)
E.uaao44
X
- (2 + J3)
6.
2.
2 - J3
7. J3 - 2
4.
J3)
- J2(1+ J3)
s.
2+
3.
Tl.
J6 - J2
l.
8. - (16 - J2)
J2(1+
y
4
J3
9.
J2 - J6
10.
h -J3
Ji3
2
11. sen(a+/J)=6S,ccs(a+/J)= -
18 &
65 ,
1
18
tan(a+ /J!= - 28.
12. sen (a -/J)= -
J2 + J6, ccs(a -/J)= J6 - J2,
4
ton (a- fJ¡ = - (2 +
4
J3)
13. Funciones del ángulo (a +/J)
sen(a+fJ)=- :(2 +Jfii),cos(a+fJ)= :(JS -2.J2)
CAPÍTULO 14
tan (a +/J) =3./2 +2JS,ctg( a +/J) =2JS- 3.J2
E.uaao42
2
1 a 32. No se incluye la solución por ser demostraciones.
J1ec(a +{J) =-(M +2J6),csc(a+/J) = J3-!..f30
2
E.uaao43
l.
2.
3.
J3
2
J2
6.
J6- J2
4
J6 + ,fi
4
4. - 1
7.
Funciones del ángulo (a- fJ¡
2
sen(a - /J)=
~(2- Jiii),ccs(a- /J)= - ~( JS+2fi)
- J3
tan(a -fJ)=2.fs - 3J2 ,ctg(a-fJ)=
8.
- J2
sec(a - /J) =./15 - 216 ,ese(a -
9. 1
2
JS +2 3 fi
/J)= - J3 - !.Jij
2
14 a 34. No se incluye la solución por ser demostraciones.
s.
- J2
10. 1
278
Soluc i6n o los ejercicios
Funciones trigonométricas del ángulo 2a
E.ERaao45
l.
JIS
Funciones trigonométricas del ángulo
h - J2
sen - = - - -
"8
2
etg
!
8
sen2a= - -
!
8
8
eos2a=
= J3 + 2J2
28
see2a=
Jii
tan2a= - eos
8"
J2 + J2
= -2-
see
tan
!
= JJ - 2fi.
ese
8
!
8
!
8
h + fi.
3
-1C = - - 8
2
CQS
J2 - J2
3
- 'IC = - - 8
2
tan itr = h +2fi.
etg
see
7
= J4 - 2fi.
- 1C
8
s
CQS -'IC
8
~"
8
{J
3../13
sen - = - -
~ tr
8
{J
2
:;::; - - -
2../13
13
2
J4 +2fi.
ctg
{J
2
2 = -3
{J
sec 2
=-../13
2
{J
J13
csc-= 2
3
2
120
sen2{J= -
etg
~" =-h - 2fi.
h - fi.
2
see
~"
8
eos2{J=
120
_.!.!2.
169
120
1an2{J= - 119
8
= -J4+2J2
ctg 2/J= _ 119
169
see 2{J = -
8
=-b +2J2
ese
~"
8
169
119
169
ese2{J= 120
4.
Funciones trigonométricas del ángulo
tan~"
f!.2
Funciones trigonométricas del ángulo 2/J
= J4-2 fi.
8
13
{J
3
tan-= - -
~"
=
8
ese~"
2
CQS -
= JJ - 2J2
h + fi.
=- 2
=----
sJii
Funciones trigonométricas del ángulo
8
sen
7
ese2a= - - IS
= J4 +2fi.
Funciones trigonométricas del ángulo~ tr
s
~
3.
Funciones trigonométricas del ángulo
sen
1.Jii
ctg2a= - - IS
= J4-2J2
<l)
.J3
2
4
sen - = -
<l)
ctg
2
~
2
.J39
= -3
Funciones trigonométricas del ángulo ?.."
8
7
h - J2
sen -1C = - - 8
2
CQS
7
h + J2
-'IC = - - - 8
2
J13
<l)
eos
2
etg ?.." =-J3 + 2fi.
8
=--
<l)
../39
2
13
tan - = - see ?.." = - J4-2 fi.
8
4
<l)
ift3
2
13
sec - = - - <l)
4.J3
2
3
ese - = -
Funciones trigonométricas del ángulo 2a>
tan ?..tr= -h - 2fi.
8
ese?.." = J 4+2 fi.
8
s../39
2.
Funciones trigonométricas del ángulo
sen
eos
~2 = .¡¡::;:¡ts
4
a~
2=
4
ag2a>= - 19S
sec2a>= -
~
2
etg
~2 = JJ1 -8 JiS
cos2a>= _]_
32
see
~
= 2J8 +2.Jii
tan2a>= - 7
ese
~
= 2../8 - 2.Jii
2
1../39
sen2a>= - - 32
s../39
279
32
7
32../39
ese2a>= - - 19S
5.
8.
Funciones trigonométricas del ángulo
J98 +28../7
a
sen - =
14
2
cos
a
2
J98-28J7
=
14
a
J33 + 12J7
tan - =
2
3
ag
a
2
Funciones trigonomaricas del ángulo
!:.
2
2.fs
sen a= -
J'J3 -12J7
=
3
.[s
cosa= -
J~+12 J7
a
sec - =
2
4J3
7
3
J3
p
sen - = 2
3
tan2a=
esca= -
p
J6
2
3
cos-=-
J3
ag2a= - -
p
Ji
2
2
ctg /!_ =
2
.!.7
see2a= 7
-4J3
1J3
ese2a= - -
2J2
senP= -
12
6.
..fí.
Funciones trigonométricas del ángulo
a
tan a= - -
tan P=
3
2J2
ctg/J= -
3..fí.
csc P= -
4
Funciones trigonométricas del ángulo
JS78-1 36.Jl7
p
-'------'--- sec 34
2
~-=
= -J34
+ 8 .Jl7
ese
.Jl7
senP= - 17
4.fl7
11
cos P= - - -
S
sec lt>=
3
4
= - J'J3 -8 .[t7
2
4
5
4
-
5
tan et>= - -
!!.
ctg
ese cu= -3
Funciones trigonomaricas del ángulo 2cu
sen 2cu= -
24
25
7
eos2cu= 2S
/!.2 = J~ -8M
Funciones trigonométricas del ángulo
1
tan P= 4
!!.2
3
5
- -
cos cu=
tan!!. = - J33 +8 .fl7
2
J3
sec P= 3
..fí.
1
P= 3
sen (I)=
5
7.
J.578 + t36.Jl7
34
2
p
Funciones trigonomaricas del ángulo cu
2.fs
2
3
sena= -
p
J6
2
ese /!_ =
2
10.
2
p
sec - = -
12
CtJS
sen-=
2
/!.2
tan - = -
funciones trigonométricas del ángulo
cos2a=
.Js
.[s
1
2
funciones trigonométricas del ángulo
J~-12 fi
a
ese - =
Funciones trigonométricas del ángulo 2a
sen2a= - -
erg a=
5
seca=
tan a= 2
9.
3
2
5
a
tan2cu= -
p
24
7
ctg 2CU= _]_
24
25
sec2cu= 7
2S
cse2cu= - 24
Funciones trigonomaricas del ángulo 4cu
ag P=4
336
sen4cu= - 625
.Jl7
secP= - -
cse P=
527
4
cos 4cu= - 625
- Jl7
tan4cu=
336
527
Sl.1
336
ag4cu= -
625
sec 4cu= - -
527
ese 4cu = -
625
336
11a25. No se incluye la solución por ser demostraciones.
280
4
Soluc i6n o los ejercicios
E.ERaao46
J.
E.uaao47
1a14. Nose incluye la soluciónpor ser demostraciones.
Msen(2a)+sen(2P)]
E.uaao48
2.
3.
4.
4[sen(10s•)+sen(1s•)]
l.
-4[cos(2y) - cos(2P)]
HcosGn )+cos(~n
3. 2[Jl'n(t80º)cos(60º)]
)]
s. Hsen(120°)+sen(4Sº)]
6.
4. -2[Jm(411)sen(11)]
-4(cos(4Sº)- cos(30º)]
s. 2[cos(4Sº)cos(7"31 ')]
7. &[-(2x) -sen(2a)]
8.
2[J1tn(120º)·cos(4Sº)]
6.2[cos(~ n}en(¡n)]
&[cos(n)+cos(~n )]
7. 2[cos(¡ n}vs(~ n)]
9. &[sen(4Sº) - sen(30º)]
4[cos( ~ n J+cos(~n )]
11.
-2[cos(4a) -cos(2a)]
12. ~[sen(8a) +sen( 4a)]
13. &[sen(900)- sen(4º)]
14.
8. 2[cos(300)sen(s•)]
1
10.
9. -2[-L~ ")=(~ "J]
10. 2[cos(P)cos( ~n )]
11. 2[
sen(~ n }vs(d4n)]
4[cos~(2a+SP)+cos~(2a-SP)]
12. 2[-(¡(a+P)}vs(¡(a- P))]
16.
2
17.
sen3a+ sena
sen3a- sena
2
18.
n
senn - sen2
19. ms2a- cos2x
ms2a+cos2x
20.
13.
-2[sen( a) sen(¡)]
¡)]
14. 2[sen(P)cos(
IS.
2[J1tn(¡n }vs(a - ¡)]
16. -2[sen(~
Hsen(4a)+sen(2P)]
281
}•n(~ )]
E.uaao49
la 12. No se incluye la solución por ser demostraciones.
E.uaao 50
" 5
!. ¡·¡"
2 . !2. 36° 52' 11"
3
7
23
· 12"' 12"
l
4.
21.
2
5
º· 3"·
3"·"'2"
22.
21C' ¡1C ' ¡1C
23.
21C ' 3"' 3x
24.
3"' 3"
25.
61r' 6x' 31f' 3n
26.
6"' 6"
27.
-
28.
61C, 6"'' 61C, 61C
29.
31r' 31C
30.
3"·"' 3"
1
5
-1<
6 ' 6
5. -1<
1
5
6. _,,
-1<
3 '3
7. o, 1f, 21<
9. o, 21<, 152° 44', 207° 15'
4
5
3
1
2
l
5
7
11
7
1
1
5
l
5
7
11
1C - 1C
12 ' 12
7
11
l
4
1
5
7
3
5
-1< -1< -1<
' 4 ' 4 ' 4
11. .!.,, .!.,, ~"
2 '4 '4
7
3
5
¡"' ¡"
1
10.-1<
l
CAPÍTULO 15
E.uaao 51
l. c=Ji45,A =44º54',LC=45°6'
11
12.
6". 6"
2. a=2.ll,c=339,L C=58º
1
¡"' ¡"
3. c=5.23,b =7.24,LA =43º 40'
13.
5
4. b = 52.55, LA= 38° 11' 40", L C = 51° 48'20"
5. c= l3, b=l3.fi., LC=45º
6. a= 13.28, e= 18.28, LA = 36°
l
15.
7
6"' 6"
7. a= 12.51, LA=33º46'46.,L C=56º 13' 14"
8. a=25.71,c=22.9,LC=41º48'
9. a =82.68, b = 10036, LA =55°28'
1
17.
5
10. e =7.87, LA =66°39' 17", L C=23º20' 43•
¡"' ¡"
11. b=2236,c=l8.86,L C=57º33'
2
4
18.
o, 1f, 21<, 3"' 3"
19.
3"' 3"
1
5
12. e = Ji3 ,LA =29º I' 1•, L C=60º 58' 59•
13. a= 15.27, c=l7.l9,LA=41 º37'
14. b =1.9, LA =71 °33' 54•, LC= 18°26'5•
15. a =6.28,b = 14.44, L C=64º 1 I'
16. LA=26º33'54., LC=63º26'6•
282
Soluc i6n o los ejercicios
17. a= S,b = 13,c= 12, LA =22°37' l t•, L C=67º22' 4g•
17. a=46.0S, LB= 34° s· 24", L C= 110° S4' 36"
18. a =4,b = S,c =3, LA =S3º 7' 49", L C=36º S2' 11•
18. e= IS.6S, LA =41° S2' 18", LB= 82°7' 42"
19. LA=LC=4Sº
E.uaao 54
20. LA =19°28' 16",L C=70º31'44"
l. AB = 369.9S m
7. 322.92km
E.EROao 52
2. l.76 cm
8. 307.4 m
l. 288.4 m
3. 3034km
9. 29.07 km
2. 4.2 m
4. 19.4km
10. 18037 m
3. 38° 44' 4•, l.6Sm
S. 8.03m
11. 29.7 cm
4.
6. 4.7 cm
s.
(10J2+1)m
12 a 13. No se incluye la solución
por ser demostraciones.
S4º g•
6. S2.07 m
7. l l.2S m
CAPÍTULO ,
8. a)S3.6m,b)S9.lm,c)22.6m
E.uaao 55
9. S3º7',3m
l. z= Jüas34Sº37'49"
10. 21°47', l4dm
11.
L=
: [1so-oos-1( R~')]+ ;;;oos-1( R~')+2Jr -(R- r}'
12. sí
CAPÍTULO 16
E.EROao 53
2. z= 2cis30º
3. z = 2J2 cis 13Sº
Seis Oº
4.
t=
s.
z= 3cis270º
6. z=
~ cisS3º7' 48"
6
7. z= cis31Sº
l. a=20.9,c=l4.7,LA=79ºl'
8. z= cislSOº
2. b=S2.4, a=47.7, LB=79º 16'
9.
z1 • z, = .fij, cis7Sº
3. b=21.03,a=46.9,L C=67º44'
IO.
z, ·z4 = .fii, cis 16Sº
4. b=86.21,c=66.87,LB=76º39'
11.
z1 • z, = 2J2 cis !OSº
12.
z1 • z, · z, = 2.fi.6 cisl3Sº
S. a=23.3S,c=2S.23,LA=67º
6. b= l7.09,c=223, LC=99º
7. c=9.43,L B=S7ºS8'Sl",LC=90º1' 8"
8. a= 19.8, LA= 118°23' 3S", LB =26º21' 24"
13. z , · z, ·
14.
z. = 4cis 240º
!!.. = cis270º
z.
9. c=IS.11, LA=40ºS'SO", LC=83º19'9"
10. b= 11.4, LA =46º 14' 2S", L 8=66°24' 34"
11.
IS. :i_ = J'jj, cis 2SSº
z. 2
LA =31°48' 52", L 8:34° 12' SS",L C= 113° SS' 10"
12. LA =27º2S' 16", LB =44º 1' S4", L C= 108°32' SO"
13. LA =S2º 17' 24", L 8:44°33' SS", L C= 83° 8' 41"
14. LA =48°20' SS", LB =36°42' 37",L C=94º S6' 23"
15. e= IS3,LA =46º39' 8", LB =6Sº20' S2"
16. b=37.07,L A =47°7' 45", L C=S6º S2' IS"
16. -z,
z,
.fi.
.
= Cl$
34Sº
2
z, . z, .fi6 . lSº
17. -=a•
z,
2
18. _:i__ = Jii cis210º
z,. z.
2
283
7
19. lo ·z, = Jii cis270º
z, ·z.
20.
21.
Z1 · Z, · Z3
z,
2S. z 1 = 2cis20º,z, = 2cis 80º, z, = 2cis 140º,z, = 2cis200º
z5 = 2cis260º, z,¡ =2cis320º
=2.Ji3 cisO'
i'- =9cis 240º
26.
z 1 = cis60º, Zz =cis 180º,Z] = cis300º
27. (z·z,>2=36cis120º
22. z'= 81cis100º
28. z 1 =2cis30º,z, = 2cis ISOº,z3 = 2cis270º
23. ~= 12Scis4Sº
29. 28cis100º
24. z 1 = 4cis30º, z, = 4cis2 I Oº
30. z 1 = 4cisl0º,z, = 4cis 130º,z3 = 4cis2SOº
284
Anexo: Ejercicios preliminares
Operaciones con números enteros:
l. 6 - 4
17.
- 12
3
2. - 8 +6
18.
15
-5
3. 3+7
19.
- 28
- 14
4. - 5 - 7
20.
- ( - 3)+(5) - 2( - 1)+( -4) +7
5. - 2 - 5+6+4
21.
( - 2) +( +5)
6. - 3 - 6 - 8+5+4+7
22.
-4-( 6 +8-2)
7. 8+6+3 - 5- 9 - 2
23.
7 - ( 5+3 ) - ( -1-9+4 ) +( -8 )
8. 4+5 - 1 +2 - 7 - 3
24.
5- ( -4-3 ) - (1+2- 1)
9. - 2+6 - 8 - 12+10 - 3 - 7
25. 6 - 2(1 - 3 - 4) + (5 - 2 + 7)
10. 1 - 5+9 - 3+16 - 8+13
26.
13 + 15
7
11. 3(- 2)
27.
- 3 - 12- 5
10
12. (- 5X-4)
28.
30 +6
9 +3
13. - 6(5)
29.
14-2
2+4
14. (4X3X5)
30.
8+5+7
6 - 3- 7
15. 2HX- 3l
31.
2(5 - 7) +20
5+ 3
16.
32.
(4-3) +3(2 +4-J)
5(4) - 6(3)
3- ( -4)
Descompón en factores primos los siguientes números'
33. 6
40. 460
34. 8
41. 325
35. 2Xl
42. 576
so
43. 980
36.
37. 72
44. 1000
38. 120
45. 1120
39. 225
46. 1800
O.termina el MCO de los siguiente• números:
47. 24,36y42
50. 18,24, 72 y 144
48. 20, 35 y 70
51. 12, 28,44 y 120
49. 32,28y72
O.termina el mcrn de los siguientes números'
52. 3, 10, 12
55. 8, 12, 16 y 24
53. 8,9, 12 y 18
56. 4,6, 15 y 18
54. 2,3,6 y 12
286
Arrexo: Ejercicios preliminores
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones:
3 7
57. - +2 2
78.
1 3 1
1- + - - 2 4 8
79 .
1~4 +2~6 +32.2
61. 1-+~+15+.!
11 11 11 11
82.
2 -1!-~
.
22.+
5~3 +~3
3
83
42._~
'
17
5
9
5
64
'
13
6
7
6
85.
-x4 7
65
2.!. _ l
4 4
86.
- x-
in.
ix~
4 8
SS. - + 5 5
59.
OO.
62
63
.
()6,
~ + ~ + .!.
7
7
7
2. + ~ + l
4
4
4
1~ - 3!+ 22
8
8
8
.
88.
3 12
4
6
1 9
7 5
6 8
3 8
!x~
6 3
89 . 2~x2.
5 8
6 2
90 .
~x3!
5
4
7 1
4 8
9 1.
1.!.x2~
3 8
71. - +12 3
92.
-x-x-
2
72. l+ 3
93. - x - x 3 6 8
@.
!+~
70. -+-
7
5
1 13
3 6
4
JO
78
1 2
2+ ~3 + 6.!.
94
.
ix_!_x1-x15
3 20 16
74 . .!. + .!. + .!.
2 6 3
95.
!+2
75. !+_!_+_!_
6 15 30
96.
73
.
~+±+_!_
97.
8 4 2
77. -+--5 15 9
98.
76.
2
3
24
287
5
15
~+2.
4 2
~+±
6 3
4 1
15 6
-+-
1 9
99.
2- + 4 8
100 ! +2 !
. 6
102. 4+ .!.!
s
4
Efectúa las siguientes o¡M1racionu:
103.&
11S.
'ef-i7
104.43
116.
efü,
117.
fu
IOS.
(-2)'
3
118. ~
106. (-3)
· vfl82
101.
-s2
119
108.
(-~r
120
109.
-(~)'
121
110.
J4
122.
v9[91
111.
.fii
123.
fiS
~
112.
.J8i
124.
v'/36496
49
113.
J64
12S.
~
fiS
. ~3
180
. ~s
114. ~8
Racionaliza las siguientes expresiones:
l
126.
..fj
6
133. ---¡;:
127.
fi1
2
134. ---,:
128.
T22
13S. ....!..±._
129.
4
76
136.
130.
Ts6
1
137. ~
3
2
138. ---¡;:
4 v3
SvS
2fi
s-j-':
\13 - 1
131. -;::
2v3
1+ v3
6
139. 3- J'i
1
132. ---¡;:
3v2
288
Arrexo: Ejercicios preliminares
1- J3
140.
J;"J3
141.
~
142.
3 - ./2
143.
J3 - ./2
13+J2
2.fs + 3./2
2Ts- Ji
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enundados:
144. Un n6mero aumentado en 6.
145. El triple de un número
146. El doble de un número disminuido en S.
147. El producto de dos números.
148. Un número excedido en 8.
149. Lastrescuartaspartesdeun número.
ISO. La diferencia de dos caliidades.
ISI. El cocieme de dos n6meros.
1S2. Dosnúmeroscuyasumaes4S.
ts3. Elcuadradodeunacaltidad.
1S4. La diferencia de los cuadrados de dos números.
!SS. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
1S6. La mitad de la suma de dos números.
157. Las dos terceras partes de la diferencia de dos números.
1S8. La raíz cuadrada de la suma de dos caltidades.
IS9. Dos números emeros consecutivos.
160. Dos números emeros pares consecutivos.
161. El quíntuple de un número aumemado en 3 unidades equivale a 18.
162. Las dos terceras panes de un número disminuidas en 4 equivalen a 6 .
Encuentra el valor num6rico de las siguientes elCpl'8siones, si x • 3, y• - 2, :r • 1, w • - 4
163. 4x -2
174. l-3(x-y)+2(3w-z)
164. 6y + 8
17S. x2 + 3xz-w2
16S. 4z-3w
176.
x.2 + z
y- w
166. 3x-2y
177.
=-.!..+.!.
y
"' 6
167. y+3z
178. (x + y)' - (3z + w)'
168. 2x+3y-z
179
169. 4x+ y +2w
180.
170. Sx-3y+ 2w
181. y' - w'
171. 2(x-y)
182.
172. Sx- 3(2z- w)
3x - y +2z
183.
w -1
3
173. 4(x-y)-3(z-w)
289
.
3
3
=-.+l...+ •3 -~
3 4 4
\IX2 + w 2
2'yz
"'
Reduce las siguientes expnsionu:
184. 4x-7x+2x
193. dJ2 + 2bc2 +3ab2 - 2bc2 - 4ab2
185. 9y + 3y- y
194. Sx2 / + 2xy2 - 3y' + 4xy2 - 2x2 /
186. Sab2 + 1a1J•-16a1J2
195. -m2 + 7n 3 -9ni'- 13n3 + Sni'- n'
-
2x/
196. 8a2 - ISab + 12b2 + 2a2 + 6ab - 14b2 +So'+ 8ab + 17b2
188. Sx-3y+2t-1x+ 8y-St
197. .¡ab'c' - ¡ab3c' - ab'c'
189. 14a- 8b + 9a + 2b-6a + b
198.
2
s
3x - 6y- t -
1
s
1
2x + 3Y+ 9t
190. 7m2 - IOni' + 8m2 - m2
x2 +4.l)I
6/
::DO. - -y2
- -i- -2.l)I
-+
8
s
9
4
s
3
Realiza las siguientes operaciones con polinomios:
216. (3xy)(- 5.l)I)
Wl. (sx - 7y - 2t) + (x - y +7t)
W2. (3x2 +2.l)l- sy2)+(-2i + 3.l)l- l)
W3. (x +2x -1}+(3x. - 2x +3)
218. (a'c2)(4a'bc6 )
2
W4. (x' - 3x -4) +(x + 2x + 3)
219. (3xV)(- 2x'l)
3
2
3
2
WS. (3x +2x - Sx +6}+(- 2x - x + 7x + l}
220. -{i.l)l (4x y}
2
2
2
2
3
2
3
)(-Sa2bc')
206. (x +6xy+4/)+ (sx - 3.l)l -4/)
221. (2a b'e
W1. (x.3 +x 2 y +Sx/ - 2l)+ (- 3x2 y - 6xy2 +8/)
15 ')
2 2 Yt ) ( -4Yt
222. ( 5x
224. (
(1'
1 3 3) (2 '
1 )
~a3b 2c )( ~a'bc2 )(&oc)(~a4b2 )
)(-~a'c2 )
210. - x - -s r 3 + l ) + ( - x 2 +- x - - + - x +3x3 - 2x2 - - x - S
42
7243
s
225. (¡a2b'c
211. (2x -8y - St) - (x - 6y-4t)
226. (3m3nXSni'-9mn)
212. (6x2 +x - s) - (3x2 - x - s)
227. (4a2b')(-3ab2 + 2a.3b")
213. (4x3 - Sx2 +6x +7} - (2x' - 6x2 +4x +4}
229. (- aX7a' - a3 +1a- S)
2
2
230. - 3a'b'(a' +4a b - ab - Sb'}
290
Arrexo: Ejercicios preliminares
231. (4xyX5x'-6x2-7x)
240. (7x3 - 4x2y+ xy2)(2x2y - 4xy1 +4y3)
232. (- 5a2bXa2 - 3ab + 91>2)
6a•b1
241. - 2a2b5
233. (4r'y'X6'3f - 7.t2y3 + 4xyl)
2 42 . !8x6y3
s3
- 3x y
18
234.
(3x - 5~+7)
243
3 2 •
~
2 3
· 121Jb c
235. (a +6Xa - 9)
2 3
3 2
244. - - x y + - - x y
5
5
236. (-2x + 7X4 - 3x)
245.~
2
2x
2
9a b - 6a3
237.
Gm-4)(11n+~)
246.
238.
(y-4x)Gx2 -4l+~xy)
x3 - 2x2 + 5x
247. - - - -
2
2a
X
239. (x'-6x- 8X3x2 - 8x+I )
D•.......ila los aiguillntH binomioa al cuadra do:
249. (x + 3f
254. (5x + 4y3)2
250. (a- 4)2
255. (9x'-x2y)2
251. (2m - 5)2
252. (3x +4)2
257.
(~-3y2J
253. (3 - 2xf
Obt*I •I NIUltado del producto de binomioa conjugacloa:
259. (x + 5Xx- 5)
264. (3xy- 2zX3xy + 2z)
260. (m - 3Xm + 3)
265. (m - SnXm+ 5n)
261. (7 -xX7
+x)
266. (3p + 5q)(3p - 5q)
262. (3x + 5y)(3x - 5y)
267.
(~x-~y )(~x+~y)
263. (a- 4b)(a +4b)
Factoriza laa aiguillntH expreaionea empleando e l factor común:
274. 6á'b - 3ab
269. 3r-6x
270.
y3 + Y'
275. 12x2y-1&.ty2
271. m'+m•- m2
276. 4.t2y3-Sx'y'+Sx'Y
272. !U3 - 24x2+16x
277. 1Ba'b - 9a'b2 - 6a2b' + 121Jb'
273. !Sa2 + 2Sa3 - 35a'
278. 33x2y'z' +66x2y3 z'-22x2y'z2
29 1
Factoriza las siguientes d'rferencias de cuadrados:
279. x2-16
284. 2Sm' - 81n2
280. 4x2 - 2S
285. 9x'-
281. 16x2 - 9
286 .
282. 81 - 4/
287
283. IOO - x
2
288
.!.z• -.1.,.•
4
25
2
36
-25z
x2
16
6
. Y
'
t
9 - 25/
Factoriza los siguientes trinomios cuadrados ~mctos:
289. á'-lfu+2S
294. 9y2-24y+ 16
290. á'-2ab + ¡;>
295. -+4x+l6
291. y'+ 12y+36
m 2m 9
296. - - - + 2
292. ~ + 'lmn2 + n'
297.
293. t6x2+8x+l
298. 144x +120xy+2S/
x2
4
2
n
9
2
X
n
1
- x+ ¡
2
Factoriza los trinomios de la forma x2 + bx + e
299. x2+9x+20
305. n2-1n-63
300. x2- t4x+24
306. ?-18- 1z
301. ~ + 7m + 12
307. x2-8x-48
302.x2 - 9x+18
308.
303. if+ 4a - 12
309. á'-'Zab-35/Í'
304.y'+y- 20
310.
x2 + x- 132
y+ 2y -
168
Factoriza los trinomios ax2 + bx + e
311. 3x2-14x+8
317. 6b2 +Sb - 2S
312. 6'>2+1a +2
318. 2x2 -3x- 2
313. 4x2 - 13x+3
319. Sy'- 12y+ 4
314.
s.2- 1x+ 2
320. 4x2- llx+ 6
315. 2x2-Sx-12
321. 7y'+ 16y- 1S
2
316. 6m + llm+3
322. 20x2 -x- 1
R111Uelw las siguientes ecuacionH de primer grado:
323. x+6 =4
330. 8x= - 3+Sx
324. y-2=0
331. 9 - !0x.=7x+8x
325. 3x= IS
332. 3(x- S) + 3 = 10
326. 4x. - S =3
333. S + 2 (4x-1) =O
327. 2x +S =6x
:Il4. 6(1 -x)- 2(x - 2)= 10
328. 6x - 2=2x - 12
335. 3(9 + 4x) - 9 = 18
329. 4 +9x- l lx= 6x+ 8
336. 3(4x+9)=6+5(2 -x)
292
Arrexo: Ejercicios preliminores
337.
~=~x. - 1
341. _ 13 _ 17x =x. - I~
3 12
3
338.
-=--==
! _=
12 3 3 4
342.
339.
! _7x. =3 - ~
340.
- - - = ----
s s
4
8
1 2x.
4 7
~(2x - t) - ~{x + 2)=¡(x + l)
4
1 3x.
8
2x. - 3
6
X
344. - -+ - =2
s
4
Resuei... las siguientes ecuaciones de Mgundo grado:
345. i' +7x.+ 12 =0
3Sl.y2+y- 20=0
346. i'- 14x.+24=0
352. á' + 2o.=48
347. x2 +9x+20 =0
353. si' - 7x.+2=0
348. i' +4x- 12 =0
354. 2i' - Sx. - 12 =0
349. x'- - 9x.+ 18 =0
3SS. 7x'- + 16x= IS
350. i'- 2x. - 63 =0
356. 6"+ 7x= - 2
Resuei... los siguiente• sistemas:
357. {x.+ y=4
362. {2x. =y
358. {x.+2y=S
x.+ y=4
363. {X + y=7
359 {3x- y=4
· x+3y= - 2
364 {4x+Sy=2
360. {3x. - 2y=4
x+6y= - 2
365. {6x +2y= - 3
361 {4x- 26= y
. 3x+Sy- 31=0
366 {Sx+8y= - 1
x. - y=2
x=y+2
x - y=3
.
Sx+3y=21
Sx- 3y= - 6
·
293
6y - x=4y- 7
SOLUCIONES A EJERCICIOS PRELIMINARES
Operaciones con números enteros:
l. 2
12. 20
13. - 30
14. 60
IS. 24
16. 7
17. -4
18. - 3
19. 2
20. 13
21. 3
22. - 16
2. - 2
3. 10
4. - 12
s. 3
6. - 1
7. 1
8. o
9. - 16
10.23
11 . -6
23. - 3
24. 4
25. U
26. 4
27. - 2
U.3
29. 2
30. -s
31 . 2
32. 8
Descomp6n en factores primos los siguientes números'
33. 2x 3
34. 2•
3S. 2'xS
36. 2x s'
37. 2' x3 2
45. 2• xsx7
46. 2• x "5'-x 9
O.ternma el MCD ele los siguientes números:
49. 22 = 4
S0. 2x3=6
4$.S
S4. 22 x3
SS. 2 4 x3
=12
=4$
S8. !!. 2!
72.
S9. 6
7
~ - 1~
3
3
73. !1. 2~
6
6
60. ~ - 4~
4
4
74. 1
61. 34 . 3.!.
11
11
7S . .! . ~
30 IS
62. 29 . 9!
3
3
16. ~ . 3I
8
8
63. ~ - 1~
n.
s s
66.
45
8
8
so.
67. - 1
68.
~ - ~ - 1!
4 2
2
81.
9S. ~ - 1.!.
2 2
3S
4$
96. 1. 2!
2
1
9
1
8
s s
99.2
~ - 1~
20
100.
20
91. ~ . 3.!.
6
6
93.
2
98. !. 1 ~
.., ..,
90.
s
16
9
89. u1 . 2E
2.
27
101. ~
IS
s
102. ~ - ~ - ~ - 1!
12 6 3 s
S4
18
103. 36
104. 64
IOS. 16
106. - 27
107. - 25
81
108.
16
?.!. 12
12
126.
.J3
127.
J7
128.
f2
134.
2,/6
3
13S.
~- 6g
129.
E • .!
130.
60 IS
82. .!.
70. !.?. . 1I
8
8
83. ~ - 2.!.
12
12
4
131.
294
132.
3
7
21
69. ~ - ~- 1!
6 3 3
111. s
112. 9
113. 8
114. 2
llS. 3
116. 2
117. 2
118. 3
119. 3
120. s
121. 4
122. .!.
3
123.
!
s
124.
~
125.
2..
7
11
Racionaliza las siguientes expresiones:
12
21
81
16
109.
45
-·~- 1!
94.
3
97.
88.
~ - 1~
2 1
4 2
79.
3
u
110. 2
64.
65.
12
Efemía las siguientes operacionH:
S7. S
s
- 44._!! __33:
1
87.
2
S6. 22 x -J'xs = 180
Efemía las siguientes operaciones con fraccionH:
s
86.
92.
O.tennina el mcrn ele los siguientes números:
S2. 22 x3 xS = 60
S3. 2' x3 2 = 72
8S.
43. 22 xSx?2
44. 23 x s'
38. 2' x3xS
39. 32 xS2
40. 2'xSx23
41. S2 x 13
42. 2 6 x32
47. 2x3=6
84.
6..fs
s
.J3
2
f2
6
133.
.Jj
140. .J3- 2
2
141. - 1- 2./1.
2,/5
142. s - 2,/6
25
J7
136. JS- 1
137.
139. 9+3J1
l3+ 1
2
138. .J3- 1
143. 13 +4 "10
9
Soluciones o ejercicios preliminares
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enundados:
144. x+ 6
14.5. 3x
146. 2x- 5
147. ")'
148. x+ 8
3x
149.
4
150. x - y
152. x, 4.5 - x
153. i'
151. ~
y
157. 2(x-y)
3
154.
158. Ju y
x'-,,'
155. (x-y)
224.
..!..aªb'e'
225.
_!. 1JJc'
159. x,x+ 1
160. 2x, 2x+ 2
2
161. S.+ 3
156. x+ Y
2
162.
4
=18
228. IOa'b-14't'b2 +óa'JJ
229. -7o' +a' -7o' +5a
230. -34 711'-12.!b' +31lfi +15a'b'
~x-4 •6
3
Encuentra el valor num6rico de las siguientes expresionH, si
x • 3, y • -2, r • 1, w • -4
10
231. lllx4 y-24x'y-28x 2y
236. óx 2 -29x+ 28
232. -Sa'b+ 15a3h 2 -45a2 b3
237.
!m• - ~m-10
238.
_!..., +.!.!,,,.'_!y'
233. 24x'y' -28x1y' +16x6y7
6
3
6
234. 3x'+ 16x-3S
12
2
4
163. 10
164. -4
165. 16
166. 13
167. 1
168. - 1
169. 2
170. 13
171. 10
172. - 3
173. 5
174. -40
175. 2
176. 5
178. 0
179. 24
180. 5
181. -4
182. 3
183.
m. -~
13
5
235. o' -Jo-54
240. 14.'y-36x4 y 2 +46x'y'-20x 2y 4 +4.,,'
241. Jo'b'
2AS. !,..3
242. - 6x
246. ~b-34
191. i' - .,. +~
192. ti'+ 211 + t2
193. o
199.
-~•2b+ :?..i,2
12
6
200. - x' - z.,. +y'
8
9
194. 3i'y' + ~ - 3y'
Realiza las siguiente• operacionH con polinomios:
~ ...
2
247. x' -2x+5
244.
~ ..
248.
3
252. 9x' +24x+l6
253. 9-12x+ 4.-'
254. 25x' +40,,,.' +16/
259. i'-25
214. ~ ... _ :?_ ... +x _!
4
8
5
262. 9x' -25y'
206.
6x' +3")'
207.
217. -IS..7y z'
x'-2x'y-xy' +6y'
208. .?.,.2 +!.-_.?.
4
6
2
218.
219. -óx1y 1
209.
-!x>+!x'+!x-~
210.
.!.!.-• +!x'-~x' +~x-~
6
12
6
2
211. x-2y-z
2
7
4tí'bc'
8
10
4
221. -10.'b'c'
222.
4 4b 2 b4
258. -2 - - + a
Ja
9
265. m' -2Sn'
266. 9p2
49-x'
263. o' -lóh1
264. 9x'1 -4i'
216. -15x 2y'
x'- Jxy' +9y4
257. 4
Obt4n el resultado del producto de binomios conjugados:
261.
x' +x' + 2x+7
3
256. ~ .... ~ ...,,.~,,.
9
3
25
251. 4m2 -20m+2S
213. .2x'+x2 +2x+3
205.
6
250. o'-8.+16
202. x 2 +5")'-6y'
x' +x' -x-1
9
255. 81x'-18x'y+x4 y'
260. m 2 -9
204.
!a2 b1 -.!.h' -~b 3
249. x' +6x+9
212. 3x2 + 2x
1
2
Oesarrola los siguientes binomios al cuadrado:
201. 6x-8y+Sz
203. 4:r +2
3
243.
12
Reduce las siguientes expresiones:
184. -X
195. - 5m2- 7,¡i
185. lly
196. 15•'- •h+l5/I
186. -4ail
197. -~o/Je'
187. 5>4yz3
2
188. - 2x + 5y- 3z
198. !,._!.,,_~,
189. 17o - 5b
6 2 9
190. 4,,;
239. 3x -26x'+25x 2 +58x-8
'167.
-
2Stf
~x'-~y'
9
25
n'
m2
'li>8. - - -
4
9
Factoriza las siguientH expresiones empleando el factor
común:
269. 3x(x-2)
274. 3ob(2a-1)
270. y'(y-1)
275. 6.,.(2x-3y)
271. m
2
{nr' + m' -1)
216. x'y' ( 4-S.,. + 5x'y')
3ob(6o' -3o2b-2ob2 +4b')
272. 8x(x-2)(u1)
2n.
273. 5a'(3+5a-7a')
278. lla2y'z 2 {3z 2 +6z-2)
-~x'lz'
2
295
Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados:
Atsuelw las siguientes ecuaciones de primer grado:
285. (3.' -y')(3>' + 1)
279. (x-4)(x+4)
uo. {2x-5)(2u5)
12.. 5 J
286. (1 z • - 3 w•
2
281. (4x-3)(4x+ 3)
282. (9-2y)(9+2y)
287.
283. (to- x)(to+ x)
28$.
284. (5m'-9n)(5m2 +9n)
5
z +
3w•
(r~r' Xy+ ~r')
(X3- 5y
4 lx
4)
3+ 5y
Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
2
293. (4x+l)
289. (•-5)
290.
(•-b)'
291. (y+6)
292.
297.
294. (3y-4)'
2
(m+n2
2
~-H
298. (t2x+ 5y)'
(~+ 4J
296. (~-;J
295.
t
Factoriza los trinomios de la forma
(x+ 5)(u4)
i<- + bx + e
:m. (•+6)(•-2)
'!IJ7. (x-12){u4)
300. (x-12)(x-2)
'!IJ4. (y+5)(y-4)
'!IJS. (x+12)(x-11)
301. (m+4)(m+3)
'!IJ5. (•-9)(•+ 7)
m . (a-7b)(a+Sb)
302. (x-6)(x-3)
'!IJ6. (z-9)(z+ 2)
310. (y+l4)(y-12)
299.
Factoriza los trinomios
311. (3x-2)(x-4)
ax" + bx + e
315. (x-4)(2u3)
323. x= - 2
324. y= 2
32S.x=5
326. x= 2
5
327. x• 4
312. (3a+2)(2a+l)
316. {2m+3)(3m+l)
320. (x-2)(4x-3)
313. (x-3)(4ul)
317 (2b+5)(3b-5)
321. (y+3){7y-5)
314. (x-1){5x-2)
318. (x-2)(2x+ t)
322. (4x-1){5x+l)
x•~
333.
x•-~
5
340. x•-126
25
3
334. x= O
335. x= O
29
n
342. x•-
29
11
%•--
336.
1
329. x•- 2
330. x= -1
9
331. x• 25
7
337. X• 3
338. No hay solución
339. x•-
X•-~
341.
8
328. x•-2
17
343.
X•
-16
30
344. x•7
22
5
Atsuelw las siguientes ecuaciones de segundo grado:
345. x•-4,x•-3
346. x•1Zx•2
353.
x• ~,x•l
347.
348.
349.
350.
351.
352.
354.
x•-~.x•4
355.
X•~7' X•-J
356.
-3·
x•-5,x•-4
:r•-6,x•2
x•6,x•3
X•9,x•-7
y•-5,y•4
a•...S,a•6
Atsuelw
357. :r•3,y•l
358. X•3,y•I
360.
x•ly•-!
•
2
361. x•1,y•2
362. :r•-Zy•-4
296
5
2
2
1
2
los siguientes sistemas:
359. :r•l,y•-1
319. (r2)(5y-2)
332.
363. x•5,y•2
364.
99
74
:r•13,y•-13
365.
x•-~.y•~
4
4
366. :r•J,y•-2
labios
Tabla de valores de las funciones trigonométricas
Grados
Radianes
Sen
o• OO'
.0000
.0029
.0058
.0007
.0116
.0 145
.0000
.0029
.0058
.0087
.01 16
.0145
.0 175
.0204
.0233
.0262
.0291
.0320
.0175
.0204
.0233
.0262
.0291
.0320
10'
20'
30'
40'
50'
.0349
.0378
.0407
.0436
.0465
.0495
.0349
.0378
.0407
.0436
.0465
.0494
3• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.0524
.0553
.0582
.061 1
.0640
.0689
.0698
10'
20'
30'
40'
50'
1• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
2• 00'
""'
.0000
.0029
.0058
.0087
.01 16
.0145
Ctg
Cos
343.77
171.89
114.59
85.940
68.750
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
.9999
.9999
90• oo·
50'
40'
30'
20'
10'
1.5533
1.5504
1.5475
1.5446
1.5417
31.242
.9998
.9998
.9997
.9997
.9996
.9995
1.5388
59• 00'
50'
40'
30'
20'
10'
.0495
28.636
26.432
24.542
22.904
21 .470
20.206
.9994
.9993
.9992
.9990
.9989
.9988
1.5359
1.5330
1.5301
1.5272
1.5243
1.5213
as• oo·
50'
40'
30'
20'
10'
.0523
.0552
.0581
.0610
.0640
.0669
.0524
.0553
.0582
.0612
.0641
.0670
19 .081
18.075
17.169
16 .350
15.605
14 .924
.9986
.9985
.9983
.9981
.9980
.9978
1.5184
1.5155
1.5126
1.5097
1.5068
1.5039
87"00'
50'
40'
30'
20'
10'
.0699
.0729
.0758
.0787
.0816
.0846
14 .301
13.727
13 .197
12.706
12.251
1 1.826
.9976
.9974
.9971
.9969
.9967
.9964
1.501
1.4981
1.4952
1.4923
1.4893
1.4864
85• 00'
50'
40'
30'
20'
10'
1.4835
1.4806
85· oo·
so·
40'
30'
20'
10'
.0175
.0204
.0233
.0262
.0291
.0320
.0349
.0378
.0407
.0437
.0466
57.290
49.104
42.964
38.188
34.368
4• 00'
10·
20'
30'
20'
50'
.0756
.Q785
.0814
.0844
.0698
.0727
.0758
.Q785
.0814
.0843
5• 00'
10·
20'
30'
40'
50'
.0873
.0902
.0931
.0960
.0989
.1018
.0872
.0901
.0929
.0958
.0987
.10 16
.0875
.0904
.0934
.0963
.0992
.1022
11.430
11.059
10 .712
10 .385
10.078
9.7882
.9962
.9959
.9957
.9954
.9951
.9948
5• OD'
10·
20'
30'
40'
50'
.1047
.1076
.1105
.1045
.1074
.1051
.1080
.1110
.9945
.9942
.9939
.9936
.9932
.9929
.0727
1.5708
1.5879
1.5850
1.5821
1.5592
1.5563
1.4777
1.4748
1.4719
1.4690
84• 00'
so·
40'
30'
20'
10'
.1134
.1132
.1 13.g
.1164
.1193
.1 161
.1 169
.1190
.1198
9.5144
9.2553
9.0098
8.7769
8.5555
8.3450
.1219
.1248
.1276
.1305
.1334
.136'.l
.1228
.1257
.1287
.1317
.1346
.1376
8.1443
7.9530
7.7704
7.5958
7.4287
7.2687
.9925
.9922
.9918
.9914
.9911
.9907
.1405
.1435
.1465
50'
.1513
.1542
.1392
.1421
.1449
.1478
.1507
.1536
.1524
.1554
7.1 154
6.9682
6.8269
6.6912
6.5606
6.4348
.9903
.9899
.9894
.9890
.9886
.9881
9• 00'
.1571
.1584
.1584
6.3 138
.9877
1.4137
8 1· 00·
Cos
Ctg
""'
Sen
Radianes
Gtados
7• 00'
10·
20'
30'
40'
50'
8' OD'
10·
20'
30'
40'
. 1222
.1251
.1280
.1309
.1338
.1367
.1396
.1425
1454
. 1484
.1103
.1495
297
1.4661
1.4632
1.4603
1.4573
1.4544
1.4515
1.4486
1.4457
1.4428
1.4399
1.4370
1.4341
1.4312
1.4283
1.4254
1.4224
1.4195
1.4166
83º 00'
50'
40'
30'
20'
10'
82' 00'
50'
40'
30'
20'
10'
Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont.. .)
Grados
Radianes
Sen
9•00·
10'
20'
30'
40'
50'
.1571
.1600
.1629
.1658
. 1687
. 1716
.1564
.1593
.1622
.1650
. 1679
. 1708
tan
.1584
.1614
.1644
. 1673
.1 703
. 1733
Ctg
6 .3 138
6 .1970
6 .0844
5 .9758
5 .8708
5 .7694
Cos
.9877
.9872
.9868
.9863
.9858
.9853
1.4 137
1.4 108
1.4079
1.4050
1.4021
1.3992
51• oo·
51Y
40'
31Y
10· 00'
11Y
20'
30'
40'
50'
.1745
. 1774
.1804
. 1833
.1862
. 1891
. 1736
.1765
.1794
.1822
.1851
. 1880
.1763
. 1793
.1823
. 1853
.1883
.1914
5 .6713
5.5764
5 .4845
5 .3955
5 .3093
5 .2257
.9848
.9843
.9838
.9833
.9827
.9822
1.3963
1.3934
1.3904
1.3875
1.3846
1.3817
so• OIY
11• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.1920
. 1949
.1978
.2007
.2036
.2065
. 1908
.1937
.1965
. 1994
.2022
.2051
. 1944
. 1974
.2004
.2035
.2065
.2095
5 .1446
5.0658
4 .9894
4 .9 152
4 .8430
4 .7729
.9816
.9811
.9805
.9799
.9793
.9787
1.3788
1.3759
1.3730
1.3701
1.3672
1.3643
79• 00'
51Y
41Y
31Y
12' 00'
11Y
20'
30'
40'
50'
.2094
.2123
.2153
.2182
.2211
.2240
.2079
.2 108
.2136
.2 164
.2193
.2221
.2126
.2156
.2186
.2217
.2247
.2278
4 .7046
4 .6382
4 .5736
4 .5107
4 .4494
4 .3897
.9781
.9775
.9769
.9763
.9757
.9750
1.3614
1.3584
1.3555
1.3526
1.3497
1.3468
78• OIY
51Y
40'
30'
13• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.2269
.2298
.2327
.2356
.2385
.2414
.2250
.2278
.2306
.2334
.2363
.2391
.2309
.2339
.2370
.2401
.2432
.2462
4 .3315
4 .2747
4 .2193
4 .1653
4 .1126
4 .0611
.9744
.9737
.9730
.9724
.9717
.9710
1.3439
1.3410
1.3381
1.3352
1.3323
1.3294
77• 00'
51Y
41Y
31Y
14• 00'
11Y
20'
30'
40'
50'
.2443
.24 73
.2502
.2531
.2560
.2589
.2419
.2447
.2476
.2504
.2532
.2560
.2493
.2424
.2555
.2586
.2617
.2648
4 .0108
3 .9617
3 .9 136
3 .8667
3 .8208
3 .7760
.9703
.9696
.9689
.9681
.9674
.9667
1.3265
1.3235
1.3206
1.3177
1.3148
1.31 19
75• OIY
51Y
40'
30'
15• oo·
10'
20'
30'
40'
50'
.2618
.2647
.2676
.2705
.2734
.2763
.2588
.2616
.2644
.2672
.2700
.2728
.2679
.2711
.2742
.2773
.2805
.2836
3 .7321
3 .6891
3 .6470
3 .6059
3 .5656
3 .5261
.9659
.9652
.9644
.9636
.9628
.9621
1.3090
1.3061
1.3032
1.3003
1.2974
1.2945
75• 00'
51Y
41Y
31Y
16·00·
10'
20'
30'
40'
50'
.2793
.2822
.2851
.2880
.2909
.2938
.2756
.2784
.2812
.2840
.2868
.2896
.2867
.2899
.2931
.2962
.2994
.3026
3 .4874
3 .4495
3.4124
3 .3759
3 .3402
3 .3052
.9613
.9605
.9596
.9588
.9580
.9572
1.29 15
1.2886
1.2857
1.2828
1.2799
1.2770
74• OIY
51Y
40'
31Y
17• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.2967
.2996
.3025
.3054
.3083
.3113
.2924
.2952
.2979
.3007
.3035
.3062
.3057
.3089
.3121
.3153
.3185
.3217
3 .2709
3 .2371
3 .2041
3 .1716
3 .1397
3 .1084
.9563
.9555
.9546
.9537
.9528
.9520
1.2741
1.2712
1.2683
1.2654
1.2625
1.2595
73• 00'
51Y
41Y
31Y
15•00·
.3142
.3090
Cos
.3249
3 .0777
.9511
1.2566
12• OIY
Ctg
ian
Sen
Radianes
Grados
298
2IY
10'
51Y
40'
30'
2IY
10'
2IY
10'
2IY
10'
2IY
10'
2IY
10'
2IY
10'
2IY
10'
2IY
10'
labios
Tablo de valores de los funciones trigonométricos (cont.. .)
Radianes
Sen
tan
Ctg
Cos
.3142
.3171
.3200
.3229
.3258
.3287
.3090
.3118
.3145
.3173
.3201
.3228
.3249
.3281
.3314
.3346
.3378
.3411
3.0777
3.0475
3.0178
2.9887
2.9600
2.9319
.9511
.9S02
.9492
.9483
.9474
.9465
1.2566
1.2537
1.2508
1.2479
1.2450
1.2421
72 ' 00
10'
20'
30'
40"
50'
19• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.3316
.3345
.3374
.3403
.3432
.3462
.3256
.3283
.3311
.3338
.3365
.3393
.3443
.3476
.3S08
.3541
.3574
.3607
2.9042
2.8770
2.8502
2.8239
2.7980
2.7725
.9455
.9446
.9436
.9426
.9417
.9407
1.2392
1.2363
1.2334
1.2305
1.2275
1.2246
11• 00'
20' 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.3491
.3520
.3549
.3578
.3607
.3636
.3420
.3448
.3475
.3502
.3529
.3557
.3640
.3673
.3706
.3739
.3772
.3805
2.7475
2.7228
2.6985
2.6746
2.6511
2.6279
.9397
.9387
.9377
.9367
.9356
.9346
1.2217
1.2188
1.2159
1.2130
1.2101
1.2072
70' 00
SO'
40'
30'
20'
10'
21' 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.3665
.3694
.3723
.3752
.3782
.381 1
.3584
.3611
.3638
.3665
.3692
.3719
.3839
.3872
.3906
.3939
.3973
.4006
2.6051
2.5826
2.5605
2.5386
2.5172
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.9336
.9325
.9315
.9304
.92113
.9283
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1.2014
1.1985
1.1956
1.1926
1.1897
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22• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.3840
.3869
.3898
.3927
.3956
.3985
.3746
.3773
.3800
.3827
.3854
.3881
.4040
.4074
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.4176
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2.4342
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2.37SO
.9272
.926 1
.9250
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1.1810
1.1781
1.1752
1.1723
68. 00'
SO'
40'
30'
20'
10'
23' 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.4014
.4043
.4072
.4102
.4131
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.3987
.4014
.4041
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.9171
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1.1606
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50'
40'
30'
20'
10'
24' 00'
10'
20'
30'
40'
50'
,4189
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.4247
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.4173
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,4452
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,9135
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1. 149
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1.1403
1.1374
66'
25' 00'
10'
20'
30'
40'
so·
.4363
.4392
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.4451
.4480
.4S09
.4226
.4253
.4279
.4305
.4331
.4358
.4663
.4699
.4734
.4770
.4806
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1.1257
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1.1199
65° 00'
50'
40'
30'
20'
10'
26' 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.4538
.4567
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.4654
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1.1141
1.1112
1.1083
1.1054
1.1025
64' 00'
SO'
40'
30'
20'
10'
27' 00'
.4712
.4540
.5095
1.9626
.8910
1.0996
63º oo·
C-0$
Clg
tlln
Sen
Radianes
Grados
Grados
18'
oo·
299
so·
40'
30'
20'
10'
so·
40'
30'
20'
10'
so·
40'
30'
20'
10'
oo·
so·
40'
30'
20'
10'
Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont.. .)
Grados
Radianes
Sen
tan
Ctg
Cos
21· 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.4712
.4741
4771
.4800
.4829
.4858
.4540
.4566
.4592
.4617
.4643
.4669
.S095
.5132
.5169
.5206
.5243
.5280
1.9626
1.9486
1.9347
1.9210
1.9074
1.8940
.8910
.8897
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.8870
.8857
.8843
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1.0966
1.0937
1.0908
1.0879
1.08SO
63º 00'
50'
40'
30'
20'
10'
28° 00'
.4887
.4916
.4945
.4974
.S003
.S032
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.4720
.4746
.4772
.4797
.4823
.5317
.5354
.5392
.5430
.5467
.5505
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.8829
.8816
.8802
.8788
.8774
.8760
1.0821
1.0792
1.0763
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50'
.S061
.S091
.5120
.5149
.5178
.5207
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.4874
.4899
.4924
.4950
.4975
.5543
.5581
.5619
.5658
.5696
.5735
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1.7675
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.8675
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1.0617
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1.0501
61º00'
50'
40'
30'
20'
10'
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.5265
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.5323
.5352
.5381
.sooo
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.5812
.5851
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.5930
.5969
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.8601
.8587
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so· oo·
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.5075
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10'
20'
30'
40'
so·
.5411
.5440
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.5527
.5556
.5 150
.5175
.5200
.5225
.5250
.5275
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.8526
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1.0210
1.0181
1.0 152
59• 00'
50'
40'
30'
20'
10'
32• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
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.5614
.5643
.5672
.5701
.5730
.5299
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.5373
.5398
.5422
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.6289
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.6412
.6453
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.8480
.8465
.8450
.8434
.8418
.8403
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1.0094
1.0065
1.0036
1.0007
.9977
58º oo·
50'
40'
30'
20'
10'
33• oo·
10'
20'
30'
,5760
.5789
.5818
.5847
.5876
.5905
,5446
.5471
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,6494
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.6703
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.8307
,9948
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.9832
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50'
40'
30'
20'
10'
34° 00'
10'
20'
30'
40'
so·
.5934
.5963
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.5640
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.6787
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.6916
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.8208
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.9745
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.9657
.9628
55• 00'
50'
40'
30'
20'
10'
35• 00'
10'
20'
30'
40'
50'
.6109
.6138
.6167
.6196
.6225
.6254
.5736
.5760
.5783
.5807
.5831
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.7221
1.4281
1.4193
1.4106
1.4019
1.3934
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.8124
.8107
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.9570
.9541
.9512
.9483
.9454
55• 00·
36° 00'
.6283
.5878
.7265
1.3764
.8090
.9425
54• oo·
Cos
Ct9
tan
Sen
Radianes
Grados
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20'
30'
40'
so·
29º 00'
10'
20'
30'
40'
so·
30º 00'
10'
20'
30'
40'
50'
31° OCY
40'
50'
300
•o·
30'
20'
10'
50'
40'
30'
20'
10'
so·
40'
30'
20'
10'
labios
Tablo de valores de los funciones trigonométricos (cont.. .)
Radianes
Sen
tan
Ctg
Cos
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.6400
.6429
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.5925
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.5995
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.7310
.7355
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.8004
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.9396
.9367
.9338
.9308
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10'
20'
30'
40"
50'
37• 00'
10'
20'
30'
40"
50'
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53° 00'
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30'
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10'
38'00'
10'
20'
30'
40'
50'
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.8050
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30'
20'
10'
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10'
20'
30'
40'
so·
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40° 00'
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50° 00'
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30'
20'
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10'
20'
30'
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50'
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20'
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50'
,7330
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,7431
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.7333
,8378
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.8319
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.8232
48 '
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10'
20'
30'
40'
50'
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.7536
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.7650
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.6841
.6862
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1.0416
.7314
.7294
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.7254
.7234
.7214
.8203
.8174
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.8 116
.8087
.8058
47° 00'
50'
40'
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20'
10'
44'00'
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20'
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50'
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.7709
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.7767
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