clase 1.1-sem-1-A

ALGEBRA MATRICIAL
CLASE 1.1
4/12/2022
TEMAS
1.Operaciones elementales
2. Matriz escalonada
3.Matriz escalonada reducida
4.Rango de una matriz
5.Espacios generados
2
Notación abreviada para la matriz
También se usa la notación abreviada A = [aij] para
esta matriz.
 a11
a
A   aij    21


 am1
a12
a22
am 2
a1n 
a2 n 


amn 
El elemento aij está en la intersección de la fila i
con la la columna j.
3
Notación por filas de una matriz
Dada la matriz
 a11
a
A   21
 ...

am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 
... a2 n 
... ... 

... amn 
a1   a11 a12 a13 .........a1n 
fila 1
a2   a21 a22 a23 .........a2n 
fila 2
ai   ai1 ai 2 ai 3 .........ain 
fila i
4
Notación por columnas de una matriz
Dada la matriz :
 a11
a
21

A


 am1
a12
a22
am 2
a1n 

a2 n 


amn 
 a1 
a 
A 2 
 
 
 am 
5
Notación por columnas de una matriz
Dada la matriz
 a11
a
A   21
 ...

am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 
... a2 n 
... ... 

... amn 
 a11 
a 
 21 
a1   
 
 
 am1 
 a12 
a 
 22 
a2  
 
 
 am 2 
 a13 
a 
 23 
a3  
 
 
 am 3 
 a1n 
a 
 2n 
an  
 
 
 amn 
columna 1
columna 2
columna 3
columna n
6
Notación por columnas de una matriz
Dada la matriz
 a11
a
A   21
 ...

am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 
... a2 n 
... ... 

... amn 
 a11 
a 
 21 
a1   
 
 
 am1 
 a12 
a 
 22 
a2  
 
 
 am 2 
 a13 
a 
 23 
a3  
 
 
 am 3 
 a1n 
a 
 2n 
an  
 
 
 amn 
columna 1
columna 2
columna 3
columna n
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EJEMPLOS
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Operaciones elementales de filas sobre una matriz
1. Intercambiar dos filas de una matriz
Notación: Fi X Fj
2. Multiplicar cualquier fila de una matriz por una constante
diferente de cero.
Notación : cFi , siendo c ≠ 0.
3. Reemplazar cualquier fila de una matriz por el resultado de
sumarle a ella un múltiplo de cualquier otra fila.
Notación: Fi + cFj , c ≠ 0.
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Ejemplo de las operaciones elementales
1
 0 1 3
 2 3 2
f1  f 2
A   2 3 2 
  0 1 3
 4 2 5 
 4 2 5 
2
 0 1 3 
 0 1 3 
2 f2
 4 6 4
A   2 3 2 


 4 2 5 
 4 2 5 
3
 0 1 3
0 1 3
f3  2 f 2
 2 3 2
A   2 3 2 


 4 2 5 
0 4 1 
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OBSERVACIONES
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Matriz escalonada por filas
Una matriz se llama escalonada por filas si:
1.El primer elemento no nulo(por la izquierda) de cada fila es el pivot
2.Cada pívot ,esta a la derecha de los pivot de las filas anteriores(forma escalonada)
3.Todas las filas nulas si existen se encuentran al final de la matriz.
NOTA: Recomendable que el pivot sea el “1”
Matriz escalonada reducida por filas
1. Es una matriz escalonada
2. Los pivots de las filas es 1.
3.Cada columna que contiene un pivot (1), tiene nulos los demás elementos
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Pivot
de
una
fila
Pivot de la fila i, es el 1er elemento distinto de cero que se encuentra en la
.
fila i de la matriz
0
0 ai ,k
ai ,n 
ai,k≠0 pivot de la fila i
NOTA: Recomendable que el pivot sea el 1
13
Ejemplos de matrices escalonadas por filas
1
2  1 0
0 3 1

0


0 0  1  2
0 1 0 1 
0 0 3 0 


0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 0 0 2 


0 0 0 0 
1 0 0 2 
0 1 0 0 


0 0 0 0 
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Ejemplos de matrices reducidas por filas
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EJEMPLOS
Hallar la forma escalonada de la siguiente matriz
……………Rpta
1
*Si queremos la forma reducida ,desde la matriz E,se anulan los
elementos por encima de los pivots ,a partir del ultimo pivot
Hallar la forma reducida de la siguiente matriz
……………….Rpta
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EJEMPLO 1
Hallar la matriz escalonada y reducida de la matriz A ,si:
 2 1 0 3 


A   1 2 1 2 
 0 3 2 7 
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EJEMPLO 2
Hallar la matriz escalonada y reducida de la matriz A ,si:
 1 1 1 2 


A   1 2 3 5 
 2 1 0 3 
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Rango de una matriz
Llamaremos rango de la matriz A, denotado por rgA, al número de filas
no nulas de la matriz escalonada que se obtenga de la matriz A.
*
5 2 3 
Al escalonar se obtiene 


A   3 6 6 
0

 2 8 9 
0

* *

* *
0 0
*indica que no es valor cero, luego su rango es 2
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CONJUNTO GENERADOR Y ESPACIO GENERADO
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26
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DEMOSTRAR QUE :
DEMOSTRACION :hallamos el espacio generado por:
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Ahora hallamos el espacio generado por:
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Dada la matriz
 a11
a
A   21
 ...

am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 
... a2 n 
... ... 

... amn 
 a11 
a 
 21 
a1   
 
 
 am1 
 a12 
a 
 22 
a2  
 
 
 am 2 
 a13 
a 
 23 
a3  
 
 
 am 3 
 a1n 
a 
 2n 
an  
 
 
 amn 
columna 1
columna 2
columna 3
columna n
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Dada la matriz :
 a11
a
21

A


 am1
a12
a22
am 2
a1n 

a2 n 
 a 1


amn 
a2
a n
34
Dada la matriz :
 a11
a
21

A


 am1
a12
a22
am 2
a1n 

a2 n 


amn 
 a11
a
12
T

A 


 a1n
a21
a22
a2 n
am1 

am 2 


amn 
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NOTAS
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PENSAMIENTO
“Cada día sabemos más y
entendemos
menos”
(Albert Einstein)
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