Álgebra y funciones FUNCIÓN CUADRÁTICA JEANETTE BADILLA Natalia Henríquez y Mariana Zurita Aprendamos a graficar una función cuadrática PODEMOS OBSERVAR GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN DISTINTAS SITUACIONES Y OBJETOS DE NUESTRA VIDA COTIDIANA. Una función cuadrática es de la forma: Con a≠0; a,b,c perteneciente a los reales (IR). La función cuadrática se puede graficar en un plano cartesiano y a esta gráfica(dibujo) la llamaremos parábola. MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020 Elementos de una función cuadrática Eje de simetría De esta gráfica podemos determinar multiples elementos, no tan solo los indicados en la gráfica. Como las ramas de la parábola se abren hacia arriba, podemos deducir su concavidad. MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020 Si a>0, se dice que la parábola es cóncava hacia arriba. Concavidad En en caso de las funciones cuadráticas, es decir, de la forma: Si a<0, se dice que la parábola es cóncava hacia abajo. La concavidad en este caso va a estar determinada por el valor del signo de a. MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020 EJEMPLO: Intersección con el eje Y Sea la funcion: En este caso, el valor de c es -10, y la gráfica de la parábola intercepta al eje y en el punto (0,-10) Para determinar la intersección con el eje Y, es necesario analizar la función dada. La intersección de la parábola con el eje y ocurrirá en el punto (0,c) MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020 Discriminante El discriminante nos otorga información muy importante respecto a la gráfica de una función, pues nos permite saber si la parábola intersecta el eje x y en cuantos puntos lo hace. Y se define como: Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas, es decir, la parábola intersecta en dos puntos al eje X MATEMÁTICA Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene una solución real, es decir, la parábola intersecta en un solo punto al eje X Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones real, es decir, la parábola no intersecta al eje X NOVIEMBRE 2020 Intersección con el eje X Para determinar la intersección de una función cuadrática con el eje X, es necesario igualar la función dada a cero, y luego calcular las raíces de la ecuación cuadrática. Es decir, consideramos: Lo que es equivalente a encontrar las soluciones de la ecuación: MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020 Vértice y eje de simetría El vertice nos permite determinar el minimo o máximo de la parábola. Si la parábola es cóncava hacia arriba, el Veamos la función dada por: vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo. El vértice en este caso es el punto (1.-2) y el eje de simetría es la recta x=1 Considerando la función: El vértice está dado por: Y el eje de simetría está dado por: MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020 Veamos algunos ejemplos... 1. Consideremos las siguientes gráficas de funciones cuadráticas: ● ● ● ● ● ● ● ● MATEMÁTICA Podemos observar que la parábola es cóncava hacia arriba. Intersecta al el eje Y en el punto (0,5). Podemos ver también que intersecta al eje X en los puntos (1,0) y (5,0), por lo tanto, tiene dos soluciones reales, x=1 y x=5. El vértice podemos notar que esta en el punto (3,-4) y el eje de simetría en la recta x=3. Podemos observar que la parábola es cóncava hacia abajo. Intersecta al el eje Y en el punto (0,5). Podemos ver también que intersecta al eje X en los puntos (1,0) y (-5,0), por lo tanto, tiene dos soluciones reales, x=1 y x=-5. El vértice podemos notar que esta en el punto (-2,-9) y el eje de simetría en la recta x=-2. NOVIEMBRE 2020 Veamos algunos ejemplos... ● ● ● Concava hacia arriba a=1, a>0 Intersección con el eje Y en el punto (0,-3). Discriminante: ● ● ● Cóncava hacia abajo a=-2, a<0 Intersección con el eje Y en el punto (0,80). Discriminante: por lo tanto tiene dos soluciones reales. por lo tanto tiene dos soluciones reales. ● Intersección con el eje X. ● Intersección con el eje X ● Vértice y eje de simetría Entonces los puntos son (-1,0) y (3,0). ● Vértice y eje de simetría. MATEMÁTICA NOVIEMBRE 2020
