7395-MC 25 - Volúmenes 2018 (7 )

Matemáticas
Programa Cuarto Continuación
Material : MC-25
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA X
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un
eje
ESFERA
CILINDRO
CONO
TRONCO DE CILINDRO CON
eje de giro
CONO
DOS CONOS
TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:
Prisma triangular
Prisma trapezoidal
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Cilindro circular recto
EJEMPLOS
1.
Dado un triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura adjunta. ¿Cuál es el cuerpo
generado por la rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa?
C
A
A)
B)
B
C)
D)
E)
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
NOMBRE
PARALELEPÍPED
O
RECTANGULAR
FORMA
h
VOLUMEN
2(ab +bh + ah)
a·b·h
6a2
a3
a
b
a
HEXAEDRO
REGULAR
(CUBO)
a
a
PRISMA RECTO
RECTANGULAR
h
a
b
Volumen
Área de la base
por la altura
B
CILINDRO
RECTO BASE
CIRCULAR
ÁREA
h(a + b + c)+ 2B
B = área basal
Bh
2rh + 2r2
r2 · h
c
h
 r
EJEMPLOS
1.
Si la diagonal del hexaedro regular que muestra la figura adjunta, mide 2 6 cm,
entonces el área de la figura sombreada es
A) 8 cm2
B) 8 2 cm2
C) 6 2 cm2
D) 4 2 cm2
E) 6 cm2
2
2.
Cada una de las caras del hexaedro regular se han achurado como se muestra en la
figura adjunta. Si la superficie total achurada es de 24 cm2, ¿cuál es el volumen de
cubo? (considere  = 3)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
8 cm3
48 cm3
96 cm3
48 6 cm3
64 cm3
La figura adjunta, muestra un tubo cilíndrico de 3 m de altura y de radio 0,5 m. ¿Cuál
es el área del manto del cilindro?
A) 1,5 m2
B) 3 m2
C) 6 m2
3 2
D)
m
2
E) 2 m2
4.
h = 3m
La figura adjunta, muestra un paralelepípedo cuyas aristas miden 2 cm, 3 cm y 6 cm.
De las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s):
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
El área total del cuerpo es 72 cm 2.
El volumen del cuerpo es 36 cm 3.
La mayor longitud rectilínea entre dos vértices del paralelepípedo es 7 cm.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
2 cm
3 cm
6 cm
5.
Al desplazar n cm un triángulo equilátero de altura 3 de la figura adjunta y obtener
un prisma recto de volumen 9 cm3 el valor de n debe ser
A) 81 cm
B) 27 cm
C) 9 3 cm
D) 3 3 cm
E)
3 3
cm
4
n cm
3
NOMBRE
FORMA
PIRÁMIDE
RECTA
BASE
CUADRADA
g
h
a
a
CONO
RECTO
BASE CIRCULAR
ÁREA
h g
VOLUMEN
1 2
2ag + a2
a ·h
g
=
apotema 3
lateral
Volumen
Área de la base
por la altura
dividido por tres
rg + r2
g= generatriz
1 2
r · h
3
r
EJEMPLOS
1.
En la figura adjunta, la pirámide EFGIP está inscrita en el hexaedro regular. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del
volumen de la pirámide.
El volumen del cubo es tres veces el volumen de la pirámide.
El área del cubo es tres veces el área de la pirámide.
P
I
II
I y II
I y III
II y III
E
2.
G
I
F
Al girar en torno al lado AB del rectángulo ABCD de la figura adjunta, se obtiene un
cilindro de volumen
D
A)
B)
C)
D)
E)
32
32
12
16
16
C
2
A
4
4
B
NOMBRE
ESFERA
FORMA
ÁREA

VOLUMEN
4r2
r
4 3
r
3
EJEMPLOS
1.
Para que el volumen de una esfera sea igual a 288 cm3 es necesario que su diámetro
mida
A)
3 cm
B)
6 cm
C)
9 cm
D) 12 cm
E) 16 cm
2.
¿Cuál es el menor volumen del paralelepípedo rectangular de la figura adjunta, que
contiene tres esferas congruentes de volumen 36 cm3 cada una?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
36
27
27
36
36
· 18 cm3
· 9 cm3
· 3 cm3
· 27 cm3
· 3 cm3
En la figura adjunta, ¿qué radio debe tener una esfera para que su volumen y área
sean iguales numéricamente?
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
3
4
5
6
r
5
PUNTOS EN EL ESPACIO
En la figura adjunta observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan
también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.
El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K
está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A
está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene
coordenadas (a, b, c).
Z
c
K
A
L
Y
b
a
M
X
OBSERVACIONES: Dados los puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
(x2  x1)2 + (y2  y1)2 + (z2  z1)2

Distancia entre dos puntos: d
=

Coordenadas del punto medio:
 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 
,
,


2
2
2



Vector AB:
AB
(x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1)
EJEMPLOS
1.
En la figura adjunta, ¿cuál es la distancia entre el punto A (0, 4, 0) y el punto (6, 4, 8)?
z
A)
5
B)
4 5
C) 10
10
D)
E)
8
A
2 13
4
6
x
6
y
2.
El triángulo EFG de la figura adjunta, tiene sus vértices ubicados en las coordenadas
E = (4, 0, 0), F = (0,4, 0) y G = (0, 0, 4). ¿Cuánto mide la superficie de la pirámide de
base triangular que se forma con los ejes coordenados?
z
A) 48 + 8 3
B) 96 + 8 3
C) 48
D) 24 + 8 3
E) 96
G
F
y
E
x
3.
Un hexaedro regular tiene tres de sus vértices ubicados en las coordenadas (3, 1, 0),
(3, 1, 3) y (3, 4, 0) de la figura adjunta. ¿Cuál de las siguientes alternativas podrían
considerarse las coordenadas de los vértices faltantes?
z
A) (3,4 3), (0,1,3) y (0,0,3)
B) (3,4 3), (0,4,3) y (3,1,3)
C) (0,1, 3), (3,1,3) y (3,3,3)
D) (3,4 3), (0,1,3) y (0,4,3)
y
E) (0,4, 3), (0,0,3) y (3,3,3)
x
4.
En el cubo de la figura adjunta, la arista es 4 cm y un vértice está en el origen del
sistema cartesiano. Si el punto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha
dividido en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas del punto B?
A)
B)
C)
D)
E)
(3,
(4,
(3,
(3,
(4,
3,
3,
4,
4,
3,
3)
4)
3)
4)
3)
z
B
y
A
x
7
EJERCICIOS
1.
En la figura adjunta, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser
generado por la rotación de la región
I)
A)
2.
Solo I
B) Solo II
III)
C) Solo III
D) Solo I y II
E)
Solo I y III
Un cuadrado de lado 3 cm se traslada 4 cm apoyado sobre uno de sus lados en un
plano perpendicular a él, como se muestra en la figura adjunto. ¿Cuál es el volumen del
cuerpo generado?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
II)
9 cm3
12 cm3
27 cm3
36 cm3
64 cm3
En la figura adjunta, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo de área 45 cm2 y perímetro
36 cm, entonces el volumen del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto al lado
mayor AD es
D
A)
B)
C)
D)
E)
135
125
108
117
45
C
3
cm
cm3
cm3
cm3
cm3
A
8
B
4.
Con respecto a un cubo que tiene área 108 cm2, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
La mitad del cilindro.
La mitad de la esfera.
La cuarta parte del cilindro.
El doble de la esfera.
Las dos terceras partes del cilindro.
La figura adjunta, muestra una caja rectangular de volumen 128 cm3, que contiene
bombones en forma de esfera, ¿cuál es el área de estos bombones?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
Su volumen es 54 2 cm3.
Se inserta una esfera de radio R en un cilindro cuyas paredes son tangentes a la esfera
como muestra la figura adjunta, el volumen que no ocupa la esfera es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
La diagonal en la cara superior del cubo es 3 2 cm.
La diagonal del cubo es 3 6 cm.
54
36
32
28
24
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
Si el contenido de un cilindro circular recto con un volumen de 175 cm3, se vacía en
un cono recto de base circular de radio y altura iguales a la del cilindro de la figura
adjunta, entonces ¿cuál es la cantidad de líquido que no se alcanza a traspasar?
1
cm3
3
175
B)
cm3
3
175 
C)
cm3
3
350
D)
cm3
3
350
E)
cm3
3
A)
9
8.
El trapecio rectángulo que muestra la figura adjunta se hace girar indefinidamente en
torno al lado AC . Si las medidas de sus bases son 6 cm y 2 cm, respectivamente y su
generatriz mide 5 cm, entonces el volumen del cuerpo generado es
A)
B)
C)
D)
E)
28
30
32
34
52
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
A
5 cm
C
9.
2 cm
6 cm
20a2
cm3 y el perímetro de su base
3
cuadrada es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide?
En la figura adjunta, el volumen de la pirámide es
A)
B)
C)
D)
E)
5
cm
4
2 cm
4 cm
5 cm
10 cm
10. La distancia entre el punto A (0, 5, -5) y el punto B (-5, 0, 5) es
A) 10
B) 15
C) 5 2
D) 5 3
E) 5 6
11. Se tiene un rombo, cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm, el cual se hace rotar
indefinidamente en torno a sus diagonales, entonces la razón entre los volúmenes
generados es
A)
B)
C)
D)
E)
1:3
3:4
2:3
9:8
27 : 64
10
12. Los puntos A, B, C y D de la figura adjunta, son los vértices de la base de una pirámide
de base cuadrada. ¿Cuáles son las coordenadas correspondientes al vértice de la
cúspide de la pirámide para que su volumen sea 48 cm 3?
z
A)
B)
C)
D)
E)
(2,
(3,
(3,
(3,
(4,
1,
2,
6,
4,
9,
7
6
5
4
3
2
1
6)
9)
9)
9)
3)
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
B
C
D
y
A
x
13. Al sumergir completamente un cubo en un tubo cilíndrico de 3 cm de radio, como
muestra la figura adjunta, el nivel del agua sube 3 cm, entonces la arista del cubo
sumergido mide (considere  = 3)
A)
6 cm
B) 3 3 cm
C) 3 3 3 cm
D)
3
6 cm
E) 3 3 6 cm
14. La figura adjunta muestra un triángulo ABC obtusángulo de área 24 cm2 que se gira
indefinidamente en torno al eje y, entonces el volumen del cuerpo geométrico generado
por el área achurada es
y
3
A) 192 cm
A
B) 128 cm3
C) 124 cm3
D) 120 cm3
E)
96 cm3
B
C
0
2
4 x
15. La figura adjunta, muestra una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm y volumen
12 3 cm3, entonces el valor de su apotema es
S
A) 3 3 cm
B) 2 3 cm
C) 3 2 cm
D) 4 cm
E) 5 cm
C
11
A
B
16. En la figura adjunta, se tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular de
lado L y altura 4L. ¿Cuál es el volumen del prisma?
A) 6L3 3
B) 4L3
C) L3 3
3 3
D)
L 3
4
9 3
E)
L
4
4L
L
17. La figura adjunta, representa una piscina generada al trasladar n metros el trapecio
achurado. El largo de la piscina es 8 m y tiene 1,5 m de profundidad mínima y 2,5 m de
profundidad máxima. Para que el volumen de la piscina sea 56 m 3 el valor de n debe
ser
A)
B)
C)
D)
E)
1,5
2,5
3,5
4,0
4,5
m
m
m
m
m
n
18. La figura adjunta muestra un cubo de área 150 cm2, donde M es el punto medio de su
arista AB , entonces el área del triángulo MCD es
A) 25
25
B)
4
25
C)
2
25
D)
2
25
E)
4
5
D
5
D
5
C
3
A
3
M
B
19. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al rotar el triángulo achurado de la
figura adjunta, en torno a la recta L? ( = 3)
4 cm
A) 198 cm3
B) 192 cm3
C) 96 cm3
D) 24 cm3
E) 12 cm3
6 cm
L
12
20. En la figura adjunta se muestra un cuarto de circunferencia y un triángulo rectángulo
isósceles, que se hace girar indefinidamente en torno al eje y, entonces el volumen del
cuerpo generado es
y
A) 192
B) 128
C) 96
D) 64
E) 32
4
x
21. ABCD es un cuadrado de lado a cm y el trapecio EFBA es isósceles AE = BF = a. ¿Cuál
es el volumen del cuerpo de la figura adjunta?
A)  2a2 + 3 a2 3  a cm3
4
B)


3 2 

3
 a + 4 a 3  2a cm


a
C) (1 + 3 3 )2a3 cm3
D)
E)
A
a2
a +
3 a cm3
4
B
2
2+
a
3
3 a3 cm3
2
E
22. El área del manto del cono, se puede determinar, si:
(1) Se conoce la generatriz del cono.
(2) Se conoce la razón entre la generatriz y el radio.
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
13
2a
2a
F
23. Las caras A y B de la caja de la figura adjunta, son cuadradas y el resto son
rectangulares. El volumen de la caja se puede determinar, si:
(1) El área de una de las caras cuadradas es de 36 cm2.
(2) El perímetro de una de las caras rectangulares es de 32 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
B
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
24. Se puede determinar el área total de un paralelepipedo, si:
(1) Tiene su base cuadrada.
(2) Se conoce el área basal del peralelepípedo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
25. Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los
triángulos ABC y DEF de la figura adjunta, al hacerlas girar en torno al eje indicado, si:
(1) ABC  DFE
(2) BC = EF = 2 cm
A)
B)
C)
D)
E)
C
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
F
60°
A
14
60°
B
D
E
EJEMPLOS
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1
2y3
4
5
6y7
1
2
3
4
5
A
D
C
D
C
E
E
A
D
B
E
D
B
D
B
EJERCICIOS PÁGINA 8
RESPUESTAS
1. E
6. C
11. B
16. A
21. E
2. D
7. E
12. D
17. C
22. C
3. A
8. E
13. C
18. B
23. C
4. D
9. D
14. E
19. B
24. E
5. B
10. E
15. B
20. D
25. D
Revisa Tema 9: Geometría III, módulo: Volúmenes de Cuerpo Geométricos, en
www.preupdvonline.cl
MC-25
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web
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