División en ingeniería mecánica y automotriz
Ingeniería en mecatrónica
Ingeniería de control
Unidad II
Controladores
T2. Respuesta transitoria
8 de febrero del 2021
Dr. Fernando Gómez Salas
Universidad Politécnica del Valle de México
Ejemplo:
Considérese el siguiente sistema de segundo orden:
𝑌 𝑠
25
= 2
𝑅 𝑠
𝑠 + 6𝑠 + 25
Obtenga el tiempo de subida 𝑡𝑟 , el tiempo pico 𝑡𝑝 , la sobreenlogación máxima 𝑀𝑃 y el
tiempo de asentamiento 𝑡𝑠 para cuando el sistema esta sujeto a una entrada escalón
unitario.
A partir de los valores de 𝜁 = 0.6 y 𝜔𝑛 = 5, tenemos 𝜔𝑑 = 𝜔𝜂 1 − 𝜁 2 = 4 y 𝜎 =
𝜁𝜔𝑛 = 3.
Tiempo de subida:
𝜋 − 𝛽 3.1416 − 𝛽
𝑡𝑟 =
=
𝜔𝑑
4
Donde
𝜔
4
−1 𝑑
−1
𝛽 = tan
= tan
= 0.93𝑟𝑎𝑑
𝜎
3
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Continuamos….
• Tiempo de subida:
• Tiempo pico:
3.1416 − 0.93
𝑡𝑟 =
= 0.55𝑠ⅇg
4
𝑡𝑃 =
𝜋
𝜋
= = 0.785𝑠ⅇ𝑔
𝜔𝑑 4
• Sobreelongación máxima (sobre pico máximo):
−
𝜎
𝜋
𝜔𝑑
3
− 𝜋
ⅇ 4
𝑀𝑝 = ⅇ
=
= 0.095
Por tanto, el porcentaje de sobreelongación máxima es 9.5%.
• Tiempo de asentamiento:
4
4
Para el criterio del 2% se tiene: 𝑡𝑠 = = = 1.33𝑠𝑒𝑔
Para el criterio del 5% se tiene: 𝑡𝑠 =
𝜎
3
𝜎
3
3
3
= = 1 𝑠𝑒𝑔
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Curva de respuesta a escalón unitario
𝑦 𝑡
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Curvas de respuesta a escalón unitario
y(t)
Y(s)
Fig. Sistema de segundo orden
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Script en Matlab:
>> num=[25];
>> den=[1 6 25];
>> y=tf(num,den)
y=
25
-------------s^2 + 6 s + 25
Continuous-time transfer function.
>> step(y)
>> [out,t]=step(y);
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Ejemplo:
Determine la ecuación que describe el comportamiento del sistemas
Fig. Diagrama de un motor de DC controlador por armadura
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Modelo de la parte eléctrica del motor
• La ecuación diferencial para la corriente en armadura
es:
• Desde que el flujo es constante, el torque
desarrollado por el motor es
donde Km es el par constante en N-m/amp. Por lo
tanto,
donde Vb es la f.e.m constante.
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Repaso:
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Ejemplo:
Considere un motor de DC, en serie con un tren de engranes con relación
1:r, conectado a un eslabón
del manipulador , figura 1.
a) Determine el modelo del sistema.
b) Determine la función de transferencia del sistema
c) Determine el diagrama a bloques del sistema
𝜃𝑚 = 𝑟𝜃𝑠
Figura 1. Motor de DC en serie con un tren de engranes
Nota: La relación de transmisión r tiene valores típicos entre 0.05 a 0.005.
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Solución:
Si
y
𝜃𝑚 = 𝑟𝜃𝑠
Entonces,
Figura 1. Motor de DC en serie con un tren de engranes
Parte mecánica:
Parte eléctrica:
−𝑟𝜏𝑙
−𝑟𝜏𝑙
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Dominio de Laplace
−𝑟𝜏𝑙 (𝑠)
Si
Si V=0 , la función de transferencia del torque de carga
a qm es:
−𝒓
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−𝑟𝜏𝑙 (𝑠)
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Diagrama a bloques del sistema
𝑟𝜏𝑙
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Ejemplo:
Considere el siguiente sistema de control:
𝑅 𝑠 +
−
𝐾
𝑠 𝑀𝑠 + (𝐵 + 𝐾𝐾𝑛 )
𝑌 𝑠
Determine los valores de la ganancia 𝐾 y de 𝐾𝑛 para que el sobreimpulso máximo en la
respuesta escalón unitario sea de 0.2 y el tiempo pico sea de 1 segundo. Además, con los
valores obtenidos, obtenga el tiempo de subida 𝑡𝑟 y el tiempo de asentamiento 𝑡𝑠 . Asuma
que M=1kg y que B= 1 N-m/rad/seg .
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Tiempo de asentamiento:
𝑡𝑠 =
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Script MATLAB
•
•
•
•
>> clear
>> num=[12.5];
>> den=[1 3.225 12.5];
>> y=tf(num,den)
•
•
•
•
•
•
•
y=
•
•
>> step(y)
>>
12.5
-------------------s^2 + 3.225 s + 12.5
Continuous-time transfer function.
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Respuesta del ejemplo
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