Análisis de Pórticos con Placas: Elementos Viga-Columna

ANÁLISIS DE PÓRTICOS CON PLACAS
ELEMENTOS VIGA - COLUMNA CON BRAZOS RÍGIDOS
La teoría de vigas es en general suficiente para describir el comportamiento de las vigas o de las
columnas que constituyen los pórticos, siempre que las dimensiones de las secciones
transversales (y por lo tanto las dimensiones de los nudos) sean pequeñas en relación con la
longitud de los elementos.
Hipótesis tales como que "las secciones planas
antes de la deformación siguen siendo planas
después de la deformación" no pueden
estrictamente aplicarse para las zonas de los
nudos, donde se tiene una distribución de
esfuerzos más compleja que aquella en las
luces libres (es decir, entre caras de apoyo) de
los elementos. Si las dimensiones de los
nudos son pequeñas en comparación con la
luz, no se comete mucho error al suponer que
la teoría de vigas es aplicable a todo lo largo.
Sin
embargo,
cuando
los
elementos
transversales son de gran tamaño, si es
necesario modificar las expresiones habituales.
Fig. 1
Una aproximación frecuente consiste en
suponer que las regiones de los nudos tienen
infinita rigidez. Los elementos se modelan
entonces como compuestos por tres partes,
dos brazos laterales infinitamente rígidos y una
porción central flexible, como se muestra en la
figura 2. Esto tampoco es lo exacto, pero
permite obtener fácilmente la matriz de rigidez
de los elementos. Más adelante se mencionan
algunas correcciones que pueden hacerse para
tener en cuenta la (pequeña) flexibilidad de los
nudos.
Fig. 2
En lo que sigue, se denomina L a la longitud de la porción central flexible (es decir, a la distancia
entre caras de apoyo), mientras que a y b son las longitudes de los brazos rígidos (es decir, las
distancias entre las caras de apoyo y los correspondientes ejes de los elementos verticales). La
longitud total del elemento es a+L+b. En las figuras 3a y 3b se muestran las componentes de
desplazamiento y de fuerza a las que se hace referencia en el análisis siguiente:
Desplazamientos:
Fig. 3a
Fuerzas:
Fig. 3b
Para la porción central flexible pueden establecerse las siguientes relaciones entre fuerzas y
desplazamientos:
 12 EI

 (1 + φ ) L3


6 EI

 V1  
2
 M   (1 + φ ) L
 1
 =
 V2   − 12 EI
M 2   (1 + φ ) L3


6 EI

 (1 + φ ) L2


donde φ =
6 EI
(1 + φ ) L2
−
12 EI
(1 + φ ) L3
 4 + φ  EI


 1+φ  L
−
6 EI
(1 + φ ) L2
−
6 EI
(1 + φ ) L2
 2 − φ  EI


 1+φ  L
12 EI
(1 + φ ) L3
−
6 EI
(1 + φ ) L2

6 EI

2
(1 + φ ) L 


 2 − φ  EI 


 v1 
 1 + φ  L  
θ1 
 
6 EI v 2 
−
(1 + φ ) L2 θ 2 


 4 + φ  EI 


 1 + φ  L 

(1)
12 EI
GAs L2
O más sucintamente: K u = f
Los desplazamientos en los extremos de la porción central, flexible, pueden escribirse en función
de aquellos de los extremos. Llamando a y b a las distancias entre las caras de apoyo y los ejes
de las placas a cada lado y refiriéndose a las componentes de desplazamiento indicadas en la
figura 3a:
 v1   1
θ   0
 1 
 =
v 2   0
θ 2   0
0  v i 
 
1 0 0 θ i 
 
0 1 − b  v j 

0 0 1 θ j 
a 0
(2a)
En forma más concisa:
u = H u (e)
(2b)
De otro lado, pueden relacionarse las fuerzas por las condiciones de equilibrio (figura 3b):
 Vi   1
M  
 i  a
  =
 Vj   0
M j   0
 
0 0
1 0
0 1
0 −b
0  V1 

0  M 1 
 
0  V2 

1 M 2 
(3a)
es decir:
f (e) = H T f
(3b)
Las fuerzas y desplazamiento en los extremos de la porción flexible pueden relacionarse mediante
las ecuaciones (1). Sustituyendo (2) en (1), multiplicando por H T y reemplazando (3) se obtiene:
( H T KH ) u ( e ) = f ( e )
(4)
es decir, la matriz de rigidez de la viga con brazos rígidos (figura 2) resulta:
K ( viga ) = H T KH
más explícitamente:
(5a)
K ( viga )
 S1

 S2
=
−S
 1
 S
 3
S2
− S1
S4
− S2
− S2
S1
S5
− S3
S3 

S5 
− S3 

S 6 
(5b)
donde:
S1 =
S 2=
S 3=
12 EI
(1 + φ) L3
6 EI
(1 + φ) L
2
6 EI
(1 + φ) L
2
+
+
12 EI
(1 + φ) L3
12 EI
(1 + φ) L3
a
b
 4 + φ  EI
6 EI
12 EI

S 4=
+
( 2a)+
a2
2
3
1
+
φ
L
(
1
+
φ
)
L
(
1
+
φ
)
L


(5c)
 2-φ  EI
6 EI
12 EI

S 5=
+
(a+b)+
ab
2
(1 + φ) L3
 1 + φ  L (1 + φ) L
 4 + φ  EI
6 EI
12 EI

S 6 = 
+
( 2b)+
b2
2
3
1
+
φ
L
(1 + φ) L
(1 + φ) L


En estas expresiones L es la longitud del tramo central, flexible, a y b son las longitudes de los
brazos rígidos.
Los mismos resultados se obtienen con el argumento que los coeficientes de la columna j de la
matriz de rigidez son las fuerzas requeridas para obtener un desplazamiento unitario en
correspondencia al grado de libertad j, mientras que se mantienen los desplazamientos para los
restantes grados de libertad iguales a cero.
PÓRTICO SOMETIDO A FUERZA LATERAL
Sección transversal de los elementos:
Viga
0.30 m x 0.60 m
Placa
0.30 m x 2.00 m
Columna
0.30 m x 0.60 m
Materiales:
E = 2.5x106 t/m2
G = 0.4 E
Placa:
I placa = 121 bt 3 = 0.2m 4
A placa = bt = 0.6m 2
As placa = 56 bt = 0.5m 2
Φ=
12 EI
4
=
2
3
GAs h
c x = 0, c y = 1
K
( placa )
 12 EI

 (1 + φ )L3


0


6 EI
−
 (1 + φ )L2
=
12 EI
−
3
 (1 + φ )L


0


6 EI
 −
2
 (1 + φ )L
K ( placa )
0
EA
L
0
0
−
EA
L
0
−
6 EI
(1 + φ )L2
−
0
 4 + φ  EI


 1+φ  L
6 EI
(1 + φ )L2
12 EI
0
(1 + φ )L3
0
6 EI
(1 + φ )L2
12 EI
(1 + φ )L3
0
0
 2 − φ  EI


 1+φ  L
(1 + φ )L2
6 EI
−
EA
L
0
0
EA
L
0
−
6 EI



 2 − φ  EI 

 
 1+φ  L 

6 EI

2
(1 + φ )L 


0

 4 + φ  EI 
 

 1+φ  L 
0
0
- 142857 - 95238
0
- 142857 
 95238


0
500000
0
0
- 500000
0


 - 142857
0
380952 142857
0
47619 

=
0
142857 95238
0
142857 
 - 95238


0
- 500000
0
0
500000
0


 - 142857

0
47619
142857
0
380952


Viga (modelo con brazos rígidos, 70% de la inercia de la sección bruta):
a =1 m
b = 0.30 m
⇒
⇒
a = a − h 4 = 0.85 m
b = b − h 4 = 0.15 m
L = 3m − a − b = 2m
I viga = 0.70 x 121 bt 3 = 3.78 ⋅10 −3 m 4
As viga = 56 bt = 0.15m 2
Φ=
12 EI
= 0.189
GAs L2


(1 + φ )L2 
S1 =
12 EI
(1 + φ )L3
6 EI
12 EI
a
+
2
(1 + φ )L (1 + φ )L3
6 EI
12 EI
b
S3 =
+
2
(1 + φ )L (1 + φ )L3
S2 =
 4 + φ  EI
6 EI
12 EI 2

S 4 = 
a
( 2a ) +
+
2
1
φ
L
+
(
)
(
1
φ
L
1
+
+ φ )L3


 2 − φ  EI
6 EI
12 EI

S5 = 
ab
( a + b) +
+
2
1
φ
L
+
(
)
(
1
φ
L
1
+
+ φ )L3


 4 + φ  EI
6 EI
12 EI 2

b
S6 = 
+
(2b) +
2
1
φ
L
+
(
)
(
1
+
φ
L
1
+ φ )L3


K ( viga )
 S1

 S2
=
−S
 1
 S
 3
S2
− S1
S4
− S2
− S2
S1
S5
− S3
S 3   11922 22055 - 11922 13710 
 

S 5   22055 45527 - 22055 20639 
=
− S 3   - 11922 - 22055 11922 - 13710 
 

S 6   13710 20639 - 13710 20492 
Columna:
I columna = 121 bt 3 = 5.4 ⋅10 −3 m 4
Acolumna = bt = 0.18m 2
As columna = 56 bt = 0.15m 2
Φ=
12 EI
3
=
2
25
GAs h
K (columna )
0
- 8036 - 5357
0
- 8036 
 5357


150000
0
0
- 150000
0 
 0
 - 8036
0
16554 8036
0
7554 

=
0
8036 5357
0
8036 
 - 5357


- 150000
0
0
150000
0 
 0
 - 8036
0
7554 8036
0
16554 

Ecuaciones de equilibrio para la estructura:
Ku = f
0  v B   0 
 511922 22055 - 11922 13710

   
 22055 426480 - 22055 20639 142857 θ B   0 
   
 - 11922 - 22055 161922 - 13710
0 v C  =  0 


8036 θ C   0 
 13710 20639 - 13710 37045

   
142857
0
8036 100595  u  10
 0
 0.282542 x 10 -5 

-4 
- 0.642943 x 10 

Desplazamientos: u = - 0.941805 x 10 -5 


 0.102583 x 10 - 4 


 0.191533 x 10 -3 
Fuerzas en los extremos de placa y de columna:
f ( placa )
0
 − 9.056

  − 1.413 

0

 

0
  24.30 
( placa ) 
=K
 0.191533 x 10 -3  =  9.056 

 

 0.282542 x 10 -5   1.413 



-4 
- 0.642943 x 10   2.869 
f ( columna )
0

 − 0.944

 

0

  1.413 
0

  1.369 
= K (columna ) 
=
-3 
0.944 
 0.191533 x 10  

- 0.941805 x 10 -5   - 1.413 

 

 0.102583 x 10 -4   1.462 
Desplazamientos en las caras de apoyo de la viga:
v B '  v B
θ  
 B'  
 =
 v C '  v C
θ C '  
+ a θ B  − 0.614689 x 10 - 4 


θ B   -0.642943 x 10 - 4 
=

− b θ C   − 0.124955 x 10 - 4 
θ C   0.102583 x 10 - 4 
Fuerzas en las caras de apoyo de la viga:
 4 + φ  EI
 2 − φ  EI
6 EI
 θ 1 + 
 θ 2 −
(v − v ) = −2.143
M 12 = 
(1 + φ ) L2 2 1
1+φ  L
 1+φ  L
 2 − φ  EI
 4 + φ  EI
6 EI
 θ 1 + 
 θ 2 −
(v − v ) = −1.542
M 21 = 
(1 + φ ) L2 2 1
1+φ  L
 1+φ  L
M + M 21
= −2.168
V1 = −V 2 = 12
L
ANÁLISIS DE PORTICO CON PLACA - comparación de resultados obtenidos con distintas hipótesis
Brazos Rígidos
Deformación axial columna
Deformación de corte placa
Deformación de corte otros
-h/4
SI
SI
SI
100%
SI
SI
SI
100%
SI
SI
NO
100%
NO
SI
SI
100%
NO
SI
NO
NO
SI
SI
NO
NO
NO
SI
NO
0.1915
-6.43 x 10-5
1.02 x 10-5
0.1793
-5.686 x 10-5
9.939 x 10-6
0.1726
-5.327 x 10-5
1.540 x 10-5
0.1762
-5.496 x 10-5
1.699 x 10-5
0.1685
-5.093 x 10-5
2.375 x 10-5
0.2042
-7.251 x 10-5
-3.491 x 10-5
0.2035
-7.211 x 10-5
-3.283 x 10-5
Corte en la placa (t)
Corte en la columna (t)
9.056
0.944
8.959
1.041
8.826
1.174
8.92
1.08
8.775
1.225
9.089
0.911
9.075
0.925
Momentos flectores (t m)
A (base de la placa)
B (extremo superior de placa)
B (nudo izquierdo en viga)
B' (cara de apoyo izq en viga)
C' (cara de apoyo der en viga)
C (nudo derecho en viga)
C (extremo superior columna)
D (base de columna)
24.30
2.869
2.869
2.143
-1.542
-1.462
1.462
1.369
22.92
3.963
3.963
2.107
-1.049
-1.606
1.606
1.516
22.12
4.361
4.361
2.297
-1.210
-1.830
1.830
1.692
22.54
4.219
4.219
2.247
-1.105
-1.696
1.696
1.543
21.65
4.675
4.675
2.469
-1.282
-1.944
1.944
1.730
25.72
1.548
1.548
0.629
-0.934
-1.209
1.209
1.524
25.63
1.594
1.594
0.649
-0.957
-1.240
1.240
1.536
0.0206
-1.65 x 10-5
3.03 x 10-5
0.0222
-1.747 x 10-5
3.234 x 10-5
0.0221
-1.753 x 10-5
2.946 x 10-5
0.0205
-1.648 x 10-5
3.616 x 10-5
0.0202
-1.642 x 10-5
3.346 x 10-5
0.0000
-3.492 x 10-6
5.560 x 10-5
0.0154
-2.679 x 10-6
5.981 x 10-5
2.153
-3.340
-4.840
-0.515
-0.048
-0.865
0.730
0.458
2.344
-3.481
-4.981
-0.604
-0.047
-0.849
0.714
0.423
2.325
-3.518
-5.018
-0.633
-0.063
-0.863
0.729
0.464
2.146
-3.347
-4.847
-0.527
-0.077
-0.898
0.763
0.438
2.103
-3.371
-4.871
-0.549
-0.099
-0.919
0.784
0.483
-0.169
-1.332
-2.832
0.733
-0.090
-1.136
1.001
0.500
-0.347
-1.240
-2.740
0.774
-0.137
-1.198
1.063
0.524
Resultados del análisis para fuerza lateral de 10 t
Desplazamiento lateral (mm)
Giro en nudo B (rad)
Giro en nudo C (rad)
Resultados del análisis para fuerza vertical de 3 t/m
Desplazamiento lateral (mm)
Giro en nudo B (rad)
Giro en nudo C (rad)
Momentos flectores (t m)
A (base de la placa)
B (extremo superior de placa)
B (nudo izquierdo en viga)
B' (cara de apoyo izq en viga)
C' (cara de apoyo der en viga)
C (nudo derecho en viga)
C (extremo superior columna)
D (base de columna)
Propiedades Efectivas de Secciones de Concreto Armado
(según norma de concreto armado de Nueva Zelandia, 1995)
Tipo de Elemento
Estado Límite Último
(Resistencia)
Estado Límite de Servicio
(Desplazamientos)
µ = 125
.
µ=3
µ=6
Vigas
• rectangulares
0.40 I g
Ig
0.70 I g
0.40 I g
• TóL
0.35 I g
Ig
0.60 I g
0.35 I g
• vigas cortas entre
placas,
con
refuerzo
tradicional
0.40 I g
Ig
0.70 I g
0.40 I g
• vigas cortas entre
placas,
con
refuerzo diagonal
 h
1+ 8  
 L
2
 h
1+ 5 
 L
0.40 I g
 h
17
. + 2.7  
 L
2
 h
1+ 8  
 L
Ig
2
 h
17
. + 13
.  
 L
2
 h
1+ 8  
 L
0.70 I g
2
 h
17
. + 2.7  
 L
2
0.40 I g
2
 h
17
. + 2.7  
 L
2
Columnas
•
Pu f c′ A g > 0.5
0.80 I g
Ig
0.90 I g
0.80 I g
•
Pu f c′ Ag = 0.2
0.60 I g
Ig
0.80 I g
0.60 I g
•
Pu f c′ A g = −0.05
0.40 I g
Ig
0.70 I g
0.40 I g
Muros
•
Pu f c′ A g = 0.2
0.45 I g , 0.80 A g
I g , Ag
0.70 I g , 0.90 A g
0.45 I g , 0.80 A g
•
Pu f c′ Ag = 0
0.25 I g , 050
. Ag
I g , Ag
050
. I g , 0.75 A g
0.25 I g , 050
. Ag
•
Pu f c′ A g = −01
.
015
. I g , 0.30 A g
I g , Ag
0.40 I g , 0.65 A g
015
. I g , 0.30 A g
Notación
Pu
fuerza axial correspondiente a estado límite último
Ag
área de la sección bruta
Ig
momento de segundo orden (de inercia) de la sección bruta
h
L
peralte de la viga
luz libre de viga de conexión
CONDENSACIÓN ESTÁTICA
Eliminación de GDL usando una o más ecuaciones de equilibrio estático, como son las ecuaciones K u = f
ANÁLISIS DE UNA VIGA CONTINUA CON CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS:
K (e )
2 EI 

L 
4 EI 

L 
 4 EI

L
=
 2 EI

 L
f o( e )
 wL2 


=  12 2 
− wL 
 12 
K ( AB ) =
2 EI 1
L1
2

1
1

2 
f o( AB ) =
w1 L12
12
1
 
− 1
K ( BC ) =
2 EI 2
L2
2

1
1

2 
f o( BC ) =
w2 L22
12
1
 
− 1
Ecuaciones de equilibrio:
 4 EI 1

 L1
 2 EI
1

 L
 1
2



 θ A   − w1 L1


  
12
=





2
2
4 EI 1 4 EI 2    w1 L1 w2 L2 
 θ
+
−
L1
L2   B   12
12 
2 EI 1
L1
Equilibrio de momentos en A:
4 EI 1
2 EI 1
w L2
θA +
θB = − 1 1
12
L1
L1
Equilibrio de momentos en B:
 4 EI 1 4 EI 2
2 EI 1
θ A + 
+
L1
L2
 L1

w L2 w L2
 θ B = 1 1 − 2 2
12
12

Despejando θ A de la primera ecuación y remplazando en la segunda:
w L3
1
θ A = − θB − 1 1
2
48 EI 1
2 EI 1
L1
 1
w L3   4 EI 1 4 EI 2
− θB − 1 1  + 
+
 2
48 EI 1   L1
L2

⇓
 3EI 1 4 EI 2

+
L2
 L1

w L2 w L2
 θ B = 1 1 − 2 2
8
12


w L2 w L2
 θ B = 1 1 − 2 2
12
12

Este es un caso particular de condensación estática: se ha utilizado la ecuación de equilibrio de momentos en A
para eliminar el correspondiente grado de libertad.
(e)
La condensación estática en el ámbito de un elemento, empleando f ( e ) = f 0
+ K ( e ) u ( e ) , sólo es factible si alguna
de las fuerzas f ( e ) es conocida. Por ejemplo, para el elemento AB:
f ( AB ) = f 0( AB ) + K ( AB ) u ( AB )
M AB 
2

 w1 L1

=
12
M 
 BA 
1
  2 EI 1
 +
L1
− 1
 
1  θ A 
 
 
2  θ B 
2


1

se conoce M AB = 0. Por lo tanto, de la primera ecuación: 0 =
w1 L12 4 EI 1
2 EI 1
+
θA +
θ B se puede despejar
L1
L1
12
w1 L13
1
θ A = − θB −
y al sustituir ésta en la segunda expresión se obtiene:
2
48 EI 1
M BA = −
w1 L12 3 EI 1
+
θB
L1
8
(e)
Esta expresión es también de la forma f ( e ) = f 0
giro en B.
+ K ( e ) u ( e ) , pero involucra un solo grado de libertad, asociado al
Gracias a esta condensación estática, sólo se requiere considerar un grado de libertad para el análisis de la
estructura. Puede así obtenerse directamente:
 3EI 1 4 EI 2

+
L2
 L1

w L2 w L2
 θ B = 1 1 − 2 2
8
12

EXPRESIÓN MÁS GENERAL
Al escribir las ecuaciones de la forma K u = f los grados de libertad pueden ordenarse de modo que se tenga en
un primer grupo aquellos a eliminarse, a los que corresponden los desplazamientos v y las fuerzas g
(típicamente 0 ), y en un segundo grupo aquellos que se requiere conservar. En lo que sigue se denominan u y
f los desplazamientos y las fuerzas, respectivamente, asociados a estos últimos GDL. Partiendo en forma
consistente la matriz de rigidez se tiene:
 A

 BT

B   v  g 
 = 
C  u  f 
o bien
A v + Bu = g
BT v + C u = f
Del primer grupo de ecuaciones se tiene: v = A −1 (g − B u )
Y sustituyendo en el segundo grupo: B T A −1 (g − B u ) + C u = f
Es decir:
(C − B
K c = C − B T A −1B
respectivamente.
T
) {
}
A −1B u = f − B T A −1g
y
f c = f − B T A −1g se denominan matrices condensadas, de rigidez y de fuerzas,
VIGA CON ARTICULACIÓN EN UN EXTREMO
f ( e ) = f 0( e ) + K ( e ) u ( e )
 12 EI
 Vi   Vi0  
3


 
 L
 
  
 0  M i0   6 EI
  L2
  
 =
+
 V   V 0   − 12 EI
 j  j  
L3
  
 
M   0   6 EI
 j  M j  
 L2
6 EI
2
L
4 EI
L
−
3
−
L
6 EI
L2
12 EI
6 EI
L2
2 EI
L
−
L3
6 EI
L2
Restando de la primera fila la segunda multiplicada por
 Vi  V 0
   i
  
 0  
  
 =
V  
 j 
  
M  
 j  
3
  3 EI
M i0  
3
 L
2L
 
  6 EI
M i0
  L2
+
  − 12 EI
0
Vj
 
L3
 
  6 EI
M 0j
  L2
6 EI 
 v i 
L2   
2 EI   
 θi
L  
 
6 EI   
vj
− 2
L  
 
4 EI   
 θj
L  
12 EI
−
3
:
2L
0
−
4 EI
L
−
−
−
3
  3 EI
M i0   3
 L
2L
 
  6 EI
M i0
  L2
+
3 EI
3
0
+
M i   − 3
L
2L
 
  6 EI
M 0j
  2
 L
−
6 EI
L2
2 EI
L
−
−
4 EI
L
−
3

  3 EI
 Vi  Vi0 −
M i0   3
2L
L
  
 
  
 6 EI

 0  
M i0
  2
  
  L
 =
+
 V  V 0 + 3 M 0   − 3 EI
 j   j 2 L i   L3
  
 
M   0 1 0   3 EI
 j  M j − Mi   2
2

  L
0
4 EI
L
0
0
L3
6 EI
L2
3 EI
3
L
6 EI
L2
3 EI
0
Restando de la cuarta fila la segunda multiplicada por
L
6 EI
3 EI 
 v i 
L2  
2 EI  
 θi
L  
 
6 EI  
vj
− 2
L  
 
4 EI  
 θj
L  
3
:
2L
0
2 EI
L
3
L2
12 EI
Restando de la tercera fila la segunda multiplicada por −
 Vi  V 0
   i
  
 0  
  
 =
V   0
 j  V j
  
M  
 j  
3 EI
−
L3
6 EI
L2
3 EI 
 v i 
L2   
2 EI   
 θi
L  
 
3 EI   
vj
− 2
L  
 
4 EI   
 θj
L  
1
:
2
3 EI
3
−
L
6 EI
L2
3 EI
−
L3
3 EI
L2
3 EI 
 v i 
L2   
2 EI   
 θi
L  
 
3 EI
− 2  v j 
L  
 
3 EI   
 θj
L  
Ignorando la segunda fila, ya utilizada:
3
  3 EI

 Vi  Vi0 −
M i0   3
2L
  
  L
  
  3 EI
3
 
0
M i0  +  − 3
 V j  = V j +
2L
  L
  
   0 1 0   3 EI
M j   M j − M i   2
2
  L

−
3 EI
3
L
3 EI
−
L3
3 EI
L2
3 EI 
 v i 
L2  
 
3 EI  

− 2 v j 
L  

3 EI  
θ j 
L  
Incluyendo los efectos de las deformaciones de corte:


6
 EI
 Vi  Vi0 −
M i0 
 3
(4 + φ) L 
  
 L
  

6
  12   EI
   0
  − 3
M i0  + 
 V j  = V j +
(
)
L
4
4
+
φ
+
φ
 L


  

   0 2−φ 0 
 EI
 M i 
M j   M j − 
2


 L
4+ φ
−
EI
L3
EI
L3
−
EI
L2
EI 
 v i 
L2  
 
EI  
− 2 v j 
L  

EI  
 θ j 
L  
Caso de rótula en el nudo j:
3
  3 EI

 Vi  Vi0 −
M 0j   3
2L
  
  L
  
1 0   3 EI
 
0
=
−
M
M j + 2
M
 i  i
2
  L
  
  3 EI
   0
3
M 0j   − 3
 V j  V j +
2L
  L

3 EI
2
L
3 EI
L
−
3 EI
L2
3 EI 
 v i 
L3  
 
3 EI  
− 2 θ i 
L  

3 EI  
v j 
L3  
−
Fuerzas de empotramiento. Carga uniformemente repartida:
 Vi0   wL 

  2 


 
2
M i0   wL 

  12 

=

 V 0   wL 
 j   2 

 

2
 0   wL 
M j  − 12 
 wL
3
 0
0
M
−
V
i
i
  2 −

2L
 

  wL
 0
3
M i0  = 
+
V j +
2L
  2

 0 1 0   wL2
 M j − M i  −
2
  12

3  wL2    3
   wL 


2 L  12  
8


2


3  wL    5

  =  wL 


2 L  12    8

1  wL2   wL2 
  −
− 

2  12   8 
(para otros casos puede procederse en forma similar)
RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO PLANO
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Pórtico simétrico, de un piso y de un vano
Columnas empotradas en la base
Ignorando efectos de deformaciones axiales
Ignorando efectos de deformaciones de corte
Sin considerar brazos rígidos
Matrices de rigidez de los elementos:
Rigidez relativa: γ =
EI v L
EI c h
 12 EI c 6 EI c

h3
h2
( columna )
= 
K
6 EI c
4 EI c

2
h
 h
 4 EI v 2 EI v 


L
L 
( viga )

K
=
=
 2 EI
4 EI v 
v


L 
 L

 12

 2
 = EI c  h

h  6


 h

 4γ
EI c 

h 
 2γ
6

h

4

2γ 


4γ 
Para la estructura con los 3 GDL indicados:

 4 + 4γ

EI c 
 2γ
h 

 6
 h
2γ
4 + 4γ
6
h
6 
 θ B   0 
h    
6     
 θ C  =  0 
h    

24     
  u   H 
h2 
Condensación estática:
 4 + 4γ
EI c 

h 
 2γ
 6 EI c
 2
 h
6
2 γ  θ B 
0
   EI c  h 
 
 +
 u =  
h 6
0
4 + 4 γ  θ C 
 
 h 
θ B 
6 EI c    24 EI c
u=H
 +
h2   
h3
θ C 
Rigidez lateral del pórtico:
KL =
12 EI c  6 γ + 1 


h 3  3γ + 2 
Casos extremos:
Viga infinitamente rígida:
Lim K L =
γ →∞
Viga infinitamente flexible:
Lim K L =
γ →0
24 EI c
h3
6 EI c
h3
⇒
⇒
θ B 
1
  − 3u h  
 =

θ  2 + 3γ 1

 C
12 EI c  6 γ + 1 

u = H
h 3  3γ + 2 
RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO PLANO
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Pórtico simétrico, de un piso y de un vano
Columnas articuladas en la base
Ignorando efectos de deformaciones axiales
Ignorando efectos de deformaciones de corte
Sin considerar brazos rígidos
Matrices de rigidez de los elementos:
Rigidez relativa: γ =
EI v L
EI c h
3
 3 EI c 3 EI c 
 3
 3

 2

2
h
h
h  EI c  h

( columna )
=
=
K

h  3
3 EI c 3 EI c 




3
h 
 h

 h2
 4 EI v 2 EI v 
 4γ 2γ 



L
L  EI c 
( viga )

K
=
=


 2 EI
h 
4 EI v 

v


2
4
γ
γ


L 
 L
Para la estructura con los 3 GDL indicados:

 3 + 4γ

EI c 
 2γ
h 

 3
 h
2γ
3 + 4γ
3
h
3 
 θ B   0 
h    
3     
 θ C  =  0 
h    

6    
  u   H 
h2 
Condensación estática:
 3 + 4γ
EI c 

h 
 2γ
 3 EI c
 2
 h
3
2 γ  θ B 
0
   EI c  h 
 
 +
 u =  
h 3
0
3 + 4 γ  θ C 
 
 h 
θ B 
3 EI c    6 EI c
 + 3 u=H
h2   
h
θ C 
Rigidez lateral del pórtico:
KL =
12 EI c  γ 


h 3  1 + 2 γ 
Casos extremos:
Viga infinitamente rígida:
Lim K L =
6 EI c
γ →∞
Viga infinitamente flexible:
Lim K L = 0
γ →0
h3
⇒
⇒
θ B 
1
  −u h  
 =

θ  1 + 2 γ 1

 C
12 EI c  γ 

u = H
h 3  1 + 2 γ 