CÁLCULO 221 Ejercicios Temas de examen CPI- FIUNA Teórico y Práctico Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Año 2000 1. Calcular: 𝑙𝑖𝑚 sen 6𝑥 𝑥 → 0 3𝑥 2. Hallar la primera derivada de la función: 𝑦 = ln 1−𝑥 1+𝑥 3. Hallar dos números, cuya suma es 48 y tal que la suma de sus cuadrados sea mínima. 4. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 𝑥 2 + 5𝑦 2 − 45 = 0 en el punto P(5 ; 2) de la misma (GRÁFICO) 5. Hallar: 8𝑥 2 𝑥 3 +2 3 𝑑𝑥 6. Hallar el área limitada por las parábolas de ecuaciones 𝑦 2 − 4𝑥 y 𝑥 2 − 4𝑦 (GRÁFICO) Año 2001 7. Calcular: 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑒 𝑥 𝑥 → 0 1−𝑒 𝑥 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 𝑥−𝑥 𝑥−1 8. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 144 = 0, en el punto P(−5 ; 9/4) de la misma (GRÁFICO) 9. La base y la altura de un triángulo isósceles miden 20 m y 40 m, respectivamente. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscripto en dicho triángulo, sabiendo que tiene dos vértices consecutivos en la base del mismo. 10. Hallar las coordenadas del punto de inflexión de la curva de ecuación 𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 9𝑥 + 5 (GRÁFICO) 11. Hallar: 𝑥𝑑𝑥 9−𝑥 2 12. Hallar el área de la superficie comprendida entre las parábolas de ecuaciones 𝑦 = 𝑥 2 − x (GRÁFICO) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑥 13. Calcular: 𝑙𝑖𝑚 sen 2 4 𝑥 → 0 𝑥2 14. Hallar la primera derivada de la función: 𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥 + 𝑦 Cursillo π 2 2 =0 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 15. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación perpendicular a la recta de ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0. (GRÁFICO) 𝑦 = 𝑥2 que es 16. Hallar los valores máximo y mínimo y las coordenadas del punto de inflexión de la función: 𝑦 = 4𝑥 3 − 48𝑥 2 + 144x (GRÁFICO) 17. Hallar: ∫ 𝑥 3 + 2 2 3𝑥 2 𝑑𝑥 18. Calcular el área comprendida entre la parábola de ecuación 𝑥 2 − 𝑦 = 0 y la recta que pasa por los puntos L(−1 ; −2) y M(4 ; 8). (GRÁFICO) Año 2002 19. Calcular: 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 30° 2 sen 2 𝑥−sen 𝑥 2 cos 𝑥− 3 20. Hallar la primera derivada de la función: 𝑦 = ln 𝑥 2 + 2 + sen2 𝑥 − 4𝑒 2𝑥 21. Calcular el área máxima del rectángulo que tiene dos vértices consecutivos en la recta de ecuación 𝑥 = 9, y los otros vértices en la parábola de ecuación 𝑦 2 = 16𝑥. (GRÁFICO) 22. Hallar la ecuación de las rectas tangentes y normales a la curva de ecuación 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 = 2, en el punto de abscisa 2 y ordenada negativa. 23. Hallar:∫ 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 24. Calcular el área comprendida entre las curvas de ecuaciones (GRÁFICO) 25. Calcular: 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 tg 𝑥−sen 𝑥 𝑥 → 0 𝑥−sen 𝑥 𝑏) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥. 𝑙𝑖𝑚 2𝑥 2 −6𝜋𝑥 +4𝜋 2 𝑥 → 𝜋 𝑥 2 −𝜋 2 26. Hallar la primera derivada de la función: cos 𝑥𝑦 2 = 𝑦 2 + 𝑥 27. Hallar los extremos relativos, el punto de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad 1 de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4. (GRÁFICO) 3 28. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de ecuación 𝑦 = sen 𝑥, en el punto 𝜋 de abscisa 𝑥 = . (GRÁFICO) 6 Cursillo π 3 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 𝑏) ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑎) ∫ sen 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 29. Hallar: 30. Hallar el área limitada por la curva: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ;g 𝑥 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 3 (GRÁFICO) Año 2003 𝑎) 31. Calcular: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥−3 𝑏) 𝑥 2 −9 lim sen 2𝑥 𝑥 → 0 sen 𝑥 2 32. Hallar el valor de la pendiente, en el punto de abscisa 3 y ordenada positiva, de la curva de ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 13 = 0. 33. Determinar el radio y la altura de un recipiente cilíndrico sin tapa, de volumen 8𝜋 𝑑𝑚3 , para que la cantidad de chapa necesaria para su construcción sea la menor posible. 34. Dada la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑥 2 , hallar la ecuación de las rectas tangente y normal en el punto de intersección de la misma con la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 + 6. (Considerar el punto de abscisa positiva) 35. Hallar: 4 sen 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 3 sen 2 𝑥 36. Hallar el área limitada por la parábola de ecuación 𝑥 2 = 2𝑦 y la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 + 4. (GRÁFICO) 37. Calcular: 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 2 −7𝑥−18 𝑥 → 9 𝑥−3 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑥 −cos 𝑥 𝑥 → 0 sen 𝑥 38. Hallar la derivada de la función: 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = 0 . 1 1 3 2 39. Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 12𝑥 + 4 , hallar los valores máximo y mínimo. Además, encontrar las coordenadas del punto de inflexión. 40. Hallar la ecuación de la normal en el punto 𝑃(4; 3) a la curva de ecuación 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 11 = 0 41. Hallar: ∫ 𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 42. Hallar el área limitada por la curva de ecuación 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥 − 1. (GRÁFICO) Cursillo π 4 y la recta de ecuación Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Año 2004 43. Hallar la primera derivada de la función 𝑦 = ln 44. Hallar: 𝑥 2 −1 𝑥2 𝑥𝑑𝑥 cos 2 𝑥 2 45. Hallar el área común a los circulo 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥 . Graficar. 46. ¿En qué punto de la curva 𝑦 = 2𝑥 3 + 13𝑥 2 + 5𝑥 + 9 pasa su tangente por el origen? 47. Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la curva 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 + 9. Construir su gráfico. Año 2005 48. Definir la primera derivada de la 𝑦 = 𝑓(𝑥) y dar la interpretación geométrica de su valor numérico en un punto 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ). (GRÁFICO) 49. Calcular: lim 𝑥 2 +𝑥−12 𝑥 → 3 2− 𝑥−1 50. Hallar las dimensiones del cilindro de volumen dado 𝑉 que tiene área total mínima. 51. Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la curva de ecuación 𝑦 = 4𝑥 3 − 6𝑥 2 − 72𝑥. 52. Hallar: ∫ 𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 53. Calcular el área limitada por la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑥 + 1. (GRÁFICO) 2 2𝑦 = 𝑥 2 − 1 y la recta de ecuación 3 54. Hallar la longitud de la curva de ecuación 𝑦 = 𝑥 2 en el intervalo 3 ≤ 𝑥 ≤ 8. 3 55. Calcular: lim ln cos 𝑥 𝑥 → 0 𝑥2 56. Determinar la ecuación de la tangente a la curva de ecuación 1 3 3 2 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 10𝑥 + 8 trazada por el punto de inflexión de la misma. (GRÁFICO) 57. Hallar Cursillo π 𝑥 2 +3𝑥−4 𝑥 2 −2𝑥−8 𝑑𝑥 5 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 58. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación ordenadas. (GRÁFICO) 3 59. Hallar el área de la longitud del arco de la curva 𝑦 = 2𝑥 2 , en el dominio 𝑦 = 4 − 𝑦 2 y el eje de 1 3 8 ≤𝑥≤ . 9 Año 2006 60. Determinar la ecuación de las tangentes a la curva de ecuación 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 10𝑦 − 25 = 1 0 , que tienen pendiente igual a − . 2 61. En un tanque de forma de cono de revolución, con vértice hacia abajo, de altura 12 dm y radio de base 6 dm, el agua entra a razón de 8 litros por minuto. ¿Con que rapidez sube el agua cuando su altura es 4 dm? 62. Hallar los puntos de la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 2 que estén más próximos al punto 𝑃(0; 2). (GRÁFICO) 2𝑥 3 +𝑥 2 +15𝑥+1 63. Hallar: 2𝑥 2 +𝑥−1 𝑑𝑥 64. Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas de ecuación 𝑦 2 = 8(𝑥 + 2) 𝑦 2 = 32(8 − 𝑥). (GRÁFICO) 2 2 e 2 65. Hallar la longitud del arco de la curva 𝑥 3 + 𝑦 3 = 43 , cuando 𝑥 varia de 0 a 4. lim 𝑒 𝑥 +sen 𝑥−1 𝑥 → 0 ln 1+𝑥 66. Calcular: 67. Hallar el valor numérico de la primera derivada de la función 𝑥 2 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 = 10, en el punto de abscisa 2. 68. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 5, en el punto de la misma de abscisa 1 y ordenada positiva. 69. Hallar la altura del cono de revolución de volumen máximo que puede inscribirse en una superficie esférica de radio igual a R unidades. 70. Hallar los valores máximo y mínimo, el punto de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 . (GRÁFICO) 71. Hallar:𝑎) cos 2𝑥 3 sen 2𝑥 𝑏) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 72. Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas 4𝑦 = 𝑥 2 y 8𝑦 = 𝑥 2 + 16. (GRÁFICO) Cursillo π 6 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Año 2007 73. Hallar los valores máximo y mínimo, el punto de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función 𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥 . 74. Utilizando el concepto de derivada de una función, hallar la ecuación de las rectas tangentes a la elipse de ecuación 𝑥2 30 + 𝑦2 24 = 1, paralelas a la recta de ecuación 4𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0. GRÁFICO 75. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 en el punto de inflexión de la misma. (GRÁFICO) 1 76. Hallar : 𝑎) 0 77. Hallar: 𝑥+2 𝑑𝑥 𝑏) ∫ 𝑥 2 ln𝑥 𝑑𝑥 𝑥+1 lim tg 𝑥−𝑥 𝑥 → 0 𝑥−sen 𝑥 78. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación 𝑦 = 2 − 𝑥 2 y la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 , que se encuentra en el semiplano de las ordenadas positivas. (GRÁFICO) 79. El cable de un puente colgante se ha dispuesto según una parábola. La calzada horizontal, tiene una longitud de 60 𝑚. De los cables de suspensión el más largo mide 18 𝑚 y el más corto 7 𝑚. Hallar la longitud del cable situado a 10 𝑚 del extremo de la calzada. 18 𝑚 7𝑚 10 𝑚 60 𝑚 80. Determinar la ecuación polar de la parábola 𝑦 2 = 4 𝑥 + 2 , sabiendo que el eje polar coincide con el eje de abscisas y el vértice coincide con el polo. 81. Dado el polinomio 𝑃 𝑥 ≡ 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, con 𝑎 , 𝑏 reales y sabiendo que 𝑃 𝑥 + 1 es divisible por 𝑥 + 1 y 𝑃 𝑥 − 1 es divisible por 𝑥 − 1, hallar los valores de 𝑎 y 𝑏. 82. Hallar la función inversa de 𝑓 𝑥 y verificar para 𝑓 𝑓 −1 𝑥 , dada 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +2 𝑥 3 +3 . 83. Hallar la derivada de: 𝑦 = sen cos sen1 2𝑥 84. Hallar la derivada de: 𝑦 = cos arcsen 𝑥 2 Cursillo π 7 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 85. Hallar la derivada de 𝑦 = cos 2 cos cos 2𝑡 86. Hallar la derivada de: 𝑦 = aecsen 5𝑥 2 Año 2008 87. Hallar: lim 𝑥 2 cos 𝑥 𝑥 → 0 cos 𝑥−1 88. Hallar los puntos de la curva de ecuación 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 = 2 donde la tangente es paralela al eje de abscisas. 89. Hallar: ∫ 𝑥 2 sen 𝑥 𝑑𝑥 90. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación 𝑦 2 = 4𝑥 y la recta de ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 4. (GRÁFICO) 𝑥 lim sen 2 3 91. Hallar: 𝑎) 𝑥 → 0 𝑥2 𝑏) 𝑥 1 + 𝑥 𝑑𝑥 92. Determinar la ecuación de las rectas tangentes a la curva de ecuación 6𝑥 2 12𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 4𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0, paralelas a la recta de ecuación 6𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0. 93. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscripto en el área limitada por el arco de la parábola 𝑥 2 = 4𝑦y la recta de ecuación 𝑦 = 3. (GRÁFICO) 94. Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas de ecuación 𝑦 2 = 32(8 − 𝑥). (GRÁFICO) Cursillo π 8 𝑦 2 = 8𝑥 + 16 Ing. Raúl Martínez e TAA-CÁLCULO Año 2011 95. Utilizando las propiedades de la derivada, de las siguientes igualdades: 1) 𝑘 ′ = 𝑘 , 𝑘 ∈ ℜ 2) 𝑥 ′ = 0 3) arcsen 𝑥 ′ =− 4) arcsen 𝑥 ′ =− 1 1 + 𝑥2 1 1 − 𝑥2 Es/son correcta/s: A) Sólo 1 B) Sólo 3 C) Sólo 4 D) 1 y 4 E) 3 y 4 96. El límite lim𝑥→∞ a) b) c) d) e) 𝑎𝑥 − 1 𝑥 cuando 𝑎 es un número entero y positivo mayor que 1, vale: +∞ −∞ 0 1 𝑒 97. La función 𝑓 𝑥 = cosh 𝑥 es: 1) Algebraica 2) Trascendente 3) Exponencial 4) Irracional Es/son correcta/s: A) B) C) D) E) Sólo 1 Sólo 2 1 y 4 2 y 3 2 y 4 98. La función 𝑥 3 𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 3 − 𝑦 4 + 24 = 0 está expresada: A) Paramétricamente B) En coordenadas polares C) Tácitamente D) Explícitamente E) Implícitamente Cursillo π 9 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 99. La función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥2 − 3 presenta: 1) Discontinuidad evitable en 𝑥 = 0 2) Continuidad en 𝑥 = 0 3) Discontinuidad infinita en 𝑥 = ± 3 4) Discontinuidad de segunda especie en 𝑥 = ± 3 Es/son correcta/s: A) B) C) D) E) Sólo 2 Sólo 3 Sólo 4 2 y 4 2 y 3 100. Para cualquier función 𝜌 = 𝑓(𝜑), si 𝛼 es el ángulo que forma la recta tangente a la curva representativa de la función con el eje 𝑥 en un ángulo formado por el radio vector y dicha recta tangente, se verifica siempre que: a) 𝜇 = 𝜑 + 𝛼 b) 𝜇 = 𝜑 × 𝛼 𝛼 c) 𝜇 = 𝜑 𝜇 = 𝛼−𝜑 𝜇 = 𝛼+𝜑 d) e) Dadas dos funciones 𝑓: 𝐼1 → ℜ y 𝑔: 𝐼2 → ℜ, si = 101. 1) 2) 3) 4) 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝑓 𝑔 ∶ 𝐼 → ℜ, se cumple que: = 𝐼1 × 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼2 = 𝐼1 ∪ 𝐼2 = 𝐼1 ∩ 𝐼2 Es/son correcta/s: A) B) C) D) E) Sólo 1 Sólo 2 Sólo 3 Sólo 3 2 y 4 Si lim→∞ 102. a) b) c) d) e) 𝑓1 𝑓1 𝑓2 𝑓2 𝑓1 Cursillo π 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 = ∞ ∞ el teorema de Stolz puede aplicarse cuando: es una función creciente y divergente. es una función creciente y convergente. es una función estrictamente creciente y divergente. es una función estrictamente decreciente y divergente. y 𝑓2 𝑥 son funciones estrictamente decrecientes y convergentes. 10 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 103. La función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 − 3 𝑥 3 − 2 1) Inyectiva 2) Intrayectiva 3) Sobreyectiva 4) Biyectiva es: Es/son correcta/s: A) B) C) D) E) Sólo 1 Sólo 2 Sólo 3 Sólo 4 2 y 4 104. El teorema del incremento finito de Lagrange, para una función 𝑓: ℜ → ℜ continua y con derivada finita en un intervalo 𝑎 , 𝑏 , siendo = 𝑏 − 𝑎 y 0 < 𝜃 < 1, puede expresarse como: A) 𝑓 𝑎 − = 𝑓 𝑎 + × 𝑓 ′ 𝑎 + 𝜃 B) 𝑓 𝑎 + = 𝑓 𝑎 + × 𝑓 ′ 𝑎 + 𝜃 C) 𝑓 𝑎 − = 𝑓 𝑎 − × 𝑓 ′ 𝑎 + 𝜃 D) 𝑓 𝑎 + = 𝑓 𝑎 − × 𝑓 ′ 𝑎 + 𝜃 E) 𝑓 𝑎 + = 𝑓 𝑎 + × 𝑓 ′ 𝑎 − 𝜃 105. Hallar por métodos diferenciales aproximados el valor de cos 60° = 1 2 y sen 60° = 3 Hallar la enésima derivada de la función:𝑦 = 𝑎𝑘𝑥 107. Hallar: 𝑎 𝑥 −𝑏 𝑥 b) lim𝑥→0 𝑥 108. sabiendo que 2 106. a) lim𝑥 →0 cos 62°, 4𝑥 1/𝑥 Hallar el ángulo que forma el radio vector con la recta tangente a la curva representativa de la función 𝜌 = 𝑒 2𝜑 en el punto donde 𝜑 = 𝜋 6 radianes. 109. La función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 5 es: A) Creciente B) Decreciente C) Par D) Impar E) Periódica Cursillo π 11 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 110. Si 𝑓: ℜ → ℜ es 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , su función inversa es: A) 𝑦 2 B) + 𝑥 C) ± 𝑥 D) ± 𝑦 E) No existe 111. Si 𝑓 𝑥 es una función biyectiva diferente a la función identidad, al componer dicha función con su función inversa se obtiene: A )La misma función 𝑓 𝑥 . B )La función inversa de 𝑓 𝑥 . C) El argumento 𝑥. D) 1 E) 0 Si la primera derivada de una función 𝑓: ℜ → ℜ es tal que 𝑓 ′ 𝑥 ≤ 0, en un intervalo 𝑎 , 𝑏 , en dicho intervalo la función es: Creciente. Decreciente. Discontinua. Nula. No existe. 112. A) B) C) D) E) 113. A) 𝑓 𝑐 B) 𝑓 𝑐 C) 𝑓 ′ 𝑐 D) 𝑓 ′ 𝑐 E) 𝑓 ′ 𝑐 Si la función 𝑓: ℜ → ℜ tiene un máximo relativo en 𝑥 = 𝑐, entonces, necesariamente: =∞ =0 =∞ = −∞ =0 114. Si una función 𝑓: ℜ → ℜ es tal que: lim𝑥→𝑐 + 𝑓(𝑥) = 𝐴 y lim𝑥→𝑐 − 𝑓(𝑥) no existe, en 𝑥 = 𝑐 la función posee: A) Una discontinuidad evitable. B) Una discontinuidad infinita. C) Una discontinuidad finita. D) Una discontinuidad asintótica. E) Una discontinuidad de segunda especie. Cursillo π 12 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 115. 1) 0∞ 2) ∞0 3) De las siguientes expresiones, no es una indeterminación matemática: 0 ∞ 4) 00 Es/son correcta/s: A) B) C) D) E) Sólo 1 Sólo 3 1 y 3 1 y 4 3 y 4 Dadas dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝜑 𝑥 , ambas continuas y con derivadas en un intervalo 𝑎 , 𝑏 , para poder aplicar el teorema de Cauchy en dicho intervalo con 𝜑(𝑥) como denominador, siendo 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, no debe ocurrir que: 𝑓 𝑐 =0 𝑓′ 𝑐 = 0 𝜑 𝑐 =0 𝜑′ 𝑐 = 0 𝑓 ′′ 𝑐 = 0 116. A) B) C) D) E) 117. Dadas tres funciones cualesquiera 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) y (𝑥), de las siguientes afirmaciones: 1) 𝑓 − 𝑔 = 𝑔 − 𝑓 2) 𝑓 𝑔 = 𝑔 𝑓 0 3) 𝑓 𝑔 0 = 𝑓 0 𝑔0 4) 𝑓 ∙ 𝑔 + = 𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ Es/son correcta/s: A) B) C) D) E) Sólo 1 Sólo 4 1 y 3 1 y 4 3 y4 118. Se verifica que: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = −∞ si: A) Para todo 𝑀 < 0 existe un 𝑃 ∈ ℜ tal que 𝑥 > 𝑃 implica que 𝑓 𝑥 < 𝑀. B) Para todo 𝑀 > 0 existe un 𝑃 ∈ ℜ tal que 𝑥 > 𝑃 implica que 𝑓 𝑥 > 𝑀. C) Para todo 𝑀 > 0 existe un 𝑃 ∈ ℜ tal que 𝑥 < 𝑃 implica que 𝑓 𝑥 > 𝑀. D) Para todo 𝑀 < 0 existe un 𝑃 ∈ ℜ tal que 𝑥 < 𝑃 implica que 𝑓 𝑥 < 𝑀. E) Para cada 𝑀 ∈ ℜ existe un 𝛿 > 0 tal que si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 implica que 𝑓 𝑥 < 𝑀. Cursillo π 13 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Año 2012 Siendo 𝑓: ℜ → ℜ tal que 𝑓 𝑥 = 119. 4𝑥 2 −6 2𝑥 3 −4 : a) Graficar la función con al menos 15 puntos en el intervalo −4 , 4 . b) Determinar si la función es inyectiva y explicar por qué. c) Determinar si la función es sobreyectiva y explicar por qué. d) Determinar si la función es biyectiva y explicar por qué. e) Clasificar la función según su fórmula analítica. f) Determinar si la función es par o si es impar. g) Determinar si la función es monótona y de qué tipo. h) Demostrar por definición de límite que: lim 5 𝑥→0 𝑥+1=1 120. Dadas las funciones infinitesimales 𝑓 𝑥 = (1 − cos 𝑥) y 𝑔 𝑥 = 𝑥 1) Comparar las funciones en 𝑥 = 0 sin substituirlas por funciones equivalentes. 2) Determinar el grado de superioridad de una en función a la otra, si corresponde. Dadas las funciones 𝑓: ℜ → ℜ y 𝑔: ℜ → ℜ, tales que: 121. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 p/ 5 p/ 𝑥≤0 𝑥>0 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3 p/ 𝑥 ≤ 0 𝑥 2 + 2 p/ 𝑥 > 0 122. Hallar 𝑓°𝑔 y graficar dicha composición en el intervalo −3 , 5 . 123. Para la función 𝑓 𝑥 = 2+𝑥 5𝑥 − 2 : 1) Determinar un dominio para que la función sea biyectiva. 2) Hallar su inversa en dicho dominio. 3) Determinar el dominio de la función inversa. 124. Hallar: a) lim 𝑥→−∞ b) lim 𝑛→∞ 3𝑥 − 4 𝑥 𝑥 𝑛 +2 ln 𝑛+1 𝑥2 + 5 125. Dada la función: 𝑓 𝑥 = 10 𝑥 2 + 20 𝑥 3 − p/ 5 p/ 𝑥 ≠ −1 𝑥 = −1 a) Hallar los puntos donde la función es discontinua. b) Definir qué tipo de discontinuidad presenta la función en dichos puntos. Cursillo π 14 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 126. a) Siendo la función 𝑦 = log 𝑢 𝑣 donde 𝑢 = 𝑓1 (𝑥) y 𝑣 = 𝑓2 (𝑥), demostrar que: 𝑑𝑦 1 𝑑𝑣 ln 𝑣 𝑑𝑢 = . − . 𝑑𝑥 𝑣. ln 𝑢 𝑑𝑥 𝑢. ln 𝑢 2 𝑑𝑥 b) Empleando el concepto de diferencial, demostrar que si 𝑏 es un número pequeño con respecto a 𝑎, se verifica que aproximadamente: 𝑏 𝑎2 + 𝑏 ≈ 𝑎 + 2𝑎 127. Hallar, empleando la Regla de L’Hospital: lim 𝑥→1 𝑥 1 − 𝑥 − 1 ln 𝑥 Hallar el ángulo que forma la tangente a la curva 𝜌 = 128. cos 2𝜑 cos 𝜑 𝜋 en el punto 𝑃, donde 𝜑 = , 8 con el vector de posición 𝑂𝑃 del punto de tangencia. 129. Hallar el ángulo que forman las curvas representativas de la función función 𝑥2 36 + 𝑦2 9 𝑥 = 5 cos 𝑡 y la 𝑦 = 5 sen 𝑡 = 1 en su punto de intersección en el primer cuadrante. 130. Hallar un punto de la curva de ecuación 𝑥𝑦 2 = 1 donde el segmento subtangente y el segmento subnormal tengan igual longitud. Siendo la función 𝑦 = 𝑢𝑣 donde 𝑢 = 𝑓1 (𝑥) y 𝑣 = 𝑓2 𝑥 , demostrar que: 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 . ln 𝑢 . + 𝑢𝑣−1 . 𝑣. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 132. Empleando el concepto de diferencial, hallar el valor aproximado de log 9 , sabiendo que ln 10 ≈ 2,3 131. 133. Hallar empleando la Regla de L’Hospital: 6 𝑎 𝑥 − 𝑎sen 𝑥 lim 𝑥→0 𝑥3 Hallar el ángulo que forma la tangente a la curva 𝜌 = 134. 2. cos 2𝜑 en el punto 𝑃, donde 𝜋 𝜑 = , con el vector de posición 𝑂𝑃 del punto de tangencia. 8 135. Hallar el ángulo que forman las curvas representativas de la función 𝑥 = 6 cos 𝑡 y la 𝑦 = 3 sen 𝑡 función 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 en su punto de intersección en el primer cuadrante. 136. Hallar un punto de la curva de ecuación 𝑥𝑦 2 = 1 donde el segmento tangente y el segmento normal tengan longitud. Cursillo π 15 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 137. Dada la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓 𝑥 = tgh 𝑥, a) Graficar la función en el intervalo −4 , 4 . Explicar brevemente si la función es o no: b) Inyectiva. c) Sobreyectiva. d) Biyectiva. e) Par. f) Impar. g) Simétrica y con respecto a qué. h) Monótona y de qué tipo. i) Convergente o divergente. j) Continua o discontinua y en qué intervalo. 138. Hallar los siguientes límites: a) lim 𝑥→0 b) lim 𝑥→0 c) lim 𝑥→∞ 5𝑥 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏 𝑥 , siendo 𝑎 y 𝑏 constantes mayores que cero. 1 𝑥 𝑥 ln 𝑥 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 139. Siendo 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 140. 1 𝑡 2 +1 𝑡 hallar 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 . 𝑡 2 +1 Dada la función 𝑥 3 . ln 𝑦 − 𝑦. 10𝑥 + 24𝑥𝑦 − 5 = 0, hallar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 y 𝑑𝑥 𝑑𝑦 . 141. Utilizando el Teorema de los incrementos finitos de Lagrange, demostrar que 𝑒 𝑥 ≥ 1 + 𝑥, para todo 𝑥. 142. Hallar la enésima derivada de la función 𝑦 = 𝑎𝑘𝑥 + 𝑒 𝑥 donde 𝑎 y 𝑘 son constantes mayores que cero. Cursillo π 16 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Año 2013 143. a) b) c) d) e) f) g) 144. Siendo 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓 𝑥 = 1 : 𝑥2 −4 Determinar el dominio de definición de 𝑓. Graficar la función con al menos 20 puntos en el intervalo −5, 5 . Determinar si la función es inyectiva y explicar por qué. Determinar si la función es sobreyectiva y explicar por qué. Determinar si la función es biyectiva y explicar por qué. Determinar si la función es par o si es impar. Determinar si la función es monótona y de qué tipo en el intervalo 3, 5 Demostrar, por definición de límites, que: lim 𝑥→−∞ 1 +2 =2 𝑥 145. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 1 − cos 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 a) Comparar las funciones en 𝑥 = 0. b) Determinar el orden de superioridad de una en relación a la otra. c) 146. Dadas las funciones 𝑓: 𝑅 → 𝑅 y 𝑔: 𝑅 → 𝑅, tales que: 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −2 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2𝑠𝑖 𝑥 > 0 Hallar 𝑓 ∘ 𝑔 y graficar dicha composición en el intervalo −4, 5 . 147. 1 Para la función 𝑓 𝑥 = 1+𝑒 1: 𝑥 1. Determinar el dominio y el codominio para que 𝑓 sea una función biyectiva. 2. Hallar su inversa. 3. Determinar el dominio de la función inversa. 148. Hallar: a) lim𝜋 𝑥→ 6 b) lim 𝑛→∞ 149. Dada la función: 𝑓 𝑥 = ln 3−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝜋6 𝑛−1 𝑛+1 𝑛 2 +2 𝑛 −3 𝑥2 −4 𝑥−1 a) Hallar los puntos donde la función es discontinua. b) Definir qué tipo de discontinuidad presenta la función en dichos puntos. Cursillo π 17 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 150. Dada la función 𝑦 = 𝑥 5 − 𝑥 : 1. Graficar la función en el intervalo −5 , 5 2. Determinar si la función: a) Es de qué tipo, según su expresión y su forma analítica. b) Es inyectiva c) Es sobreyectiva d) Es biyectiva e) Es par f) Es impar g) Es simétrica y con respecto a qué h) Es monótona y de qué tipo i) Tiene inversa y cuál es, en el dominio 𝑥 < 5 151. 1. lim 𝑥→0 2. lim 𝑥→0 Determinar los siguientes límites: sen 𝑥 . ln 𝑥 tg 𝑥 𝑒 𝑥 −1 1 𝑥 3. lim 𝑥 152. Hallar el ángulo que forma la recta tangente a la curva representativa de la curva 𝜌 = 𝑥→∞ 𝜋 𝑒 2𝜑 , en el punto donde 𝜑 = con la dirección positiva del eje de abscisas. 6 153. 𝜋 Hallar el valor del segmento subnormal, en el punto donde 𝑡 = , de la curva representativa de la función 154. 4 𝑥 = 𝑡 1 − cos 𝑡 . 𝑦 = 𝑡 ln 𝑡 + 1 Siendo 𝑓: R → R, dada por 𝑓 𝑥 = 1 𝑒𝑥−2 3 𝑥 sen 1−𝑥 , hallar en −𝜋, 𝜋 sus puntos de discontinuidad y definir de qué tipo son. 𝑑 argsenh 𝑥 𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 𝑒𝑥 +𝑒−𝑥 y cosh 𝑥 = , demostrar que 2 2 𝑑𝑥 𝑑 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 1 155. Siendo senh 𝑥 = 156. Demostrar por definición que Cursillo π 𝑑𝑥 18 = 𝑥 = log𝑎 𝑒 Ing. Raúl Martínez 1 1+𝑥 2 . TAA-CÁLCULO Año 2014 157. Siendo 𝑓: 𝐴 ⊂ 𝑅 → 𝑅+ y considerando sólo el valor positivo de las raíces cuadradas, tal que 𝑓 𝑥 = + 3 − 4 − 𝑥 2 . 1.1. Graficar la función con al menos 10 puntos. 1.2. Determinar si la función es biyectiva y explicar por qué. 1.3. Determinar si la función es monótona y de que tipo en el intervalo −1,5 ; 0 158. Demostrar, por definición de limite, que lim𝑥→∞ 3 + 159. Dadas las funciones 𝑓: 𝑅 → 𝑅 y 𝑔: 𝑅 → 𝑅, tales que: 1 𝑥2 = 3. 3 − 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑥 − 2 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 4 3.1 Hallar 𝑔 ° 𝑓 3.2 Graficar dicha composición en el intervalo −2 , 10 . 𝜋 4 se n 𝑥− 160. lim𝑥→𝜋 161. lim𝑥→∞ 162. lim𝑥→0 163. Dada la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que: 𝑓 𝑥 = 4 2−2 cos 𝑥 3𝑥+2 𝑥 5𝑥−1 𝑎 𝑥 −𝑏 𝑥 6𝑥 1 𝑥 −2 1 1+4 𝑥 −1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 7.1 Hallar los puntos donde la función es discontinua. 7.2 Definir que tipo de discontinuidad presenta la función en dichos puntos. 164. Dadas las funciones 𝑓: 𝑅 → 𝑅y 𝑔: 𝑅 → 𝑅, tales que: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 8.1. Comparar las funciones en 𝑥 = 0 8.2. Determinar el orden de superioridad de una función con relación a la otra. 165. Dada la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅tal que: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥: 9.1. Graficar la función en 3, −3 9.2 Hallar su inversa y graficarla. 9.3 ¿Qué propiedad presentan ambas gráficas?. Cursillo π 19 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Dada la función 𝑦 = 𝑣 log 𝑢 donde 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥), demostrar que: 166. 𝑑𝑦 𝑣 log 𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑣 𝑑𝑢 𝑣 log 𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑢 𝑑𝑣 = + 𝑑𝑥 𝑢 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑥 167. Empleando el concepto de diferencial, hallar el valor aproximado de 10 sabiendo que 9 = 3 (Expresar el resultado con tres dígitos decimales). 𝑥 𝑥 168. Hallar: lim𝑥→∞ 169. Hallar la ecuación, en coordenadas cartesianas, de la recta tangente a la curva de ecuación 𝜌 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 cos 2𝜃 𝑥+1 . en el punto donde 𝜃 = 𝜋 4 𝑥 = 10 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 10 𝑠𝑒𝑛𝑡 intersección situado en el primer cuadrante. 170. Hallar el ángulo entre las curvas 171. Dada la función 𝑦 = 𝑥 3 −2𝑥+4 𝑥 2 −3𝑥 y 𝑥2 25 − 𝑦2 9 = 1, en su punto de . Graficar analizando previamente asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimientos/decrecimientos e intervalos de concavidad/convexidad. 172. Dada la función 𝑦 = 2𝑥 2 +3𝑥−4 𝑥2 Determinar: a. Sus asíntotas. b. Sus máximos y mínimos relativos. c. Sus puntos de inflexión. d. Sus intervalos de concavidad y convexidad. e. Su gráfica. ln 𝑥 −1 173. Determinar: lim𝑥→∞ 𝑥 174. Hallar, en coordenadas cartesianas, la ecuación de la recta normal a la curva representativa de la función: 𝑝 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑, en el punto donde 𝜑 = 175. 𝜋 4 El costo total de producción de x unidades diarias de un artículo es 1 1 8 𝑥 2 + 35𝑥 + 25 dólares y el precio de venta de una unidad es 25 − 𝑥 dólares. Determinar que le beneficio por 8 la venta de un artículo tiene un máximo relativo y hallar dicho valor. 176. Deducir la formula, en coordenadas cartesianas, que permite calcular la longitud del segmento normal en un punto de la curva representativa de una función dada en forma explícita. Cursillo π 20 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO Aplicarla para hallar el valor del segmento normal, en el punto donde t = 177. π 4 de la curva x = t(1 + cos t) representativa de la función y = t(ln t − 1) Ejercicios varios 178. La sección transversal de un bebedero tiene la forma de un triángulo isósceles invertido. Si las longitudes de los lados iguales son 15 pulgadas, determinar el tamaño del ángulo formado por estos dos lados que proporcione al bebedero su máxima capacidad. Justificar mediante algún criterio y enunciarlo. 179. Una ventana consiste en un rectángulo cornado por un semicírculo. Si el perímetro es de 32 pies. Determinar cuánto debe medir el radio del semicírculo y la altura del rectángulo de modo que la ventana admita la mayor cantidad de luz. Justificar mediante algún criterio y enunciarlo. 𝑎) Definir: límite de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), en el punto 𝑥 = 𝑎. 180. 𝑏) Definir: Ecuación de la tangente y de la normal a la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 en el punto 𝑀0 𝑥0 ; 𝑦0 . 𝑐) Determinar la acuacion de la tangente y de la normal a la curva 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 en 𝑀0 (3; 4). Graficar. 181. Hallar 𝑑𝑦 si 𝑦 = arc. tg(tg2 𝑥) 𝑑𝑥 182. Hallar el triángulo rectángulo de área máxima si la suma de un cateto y su hipotenusa es constante. 183. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la curva 𝑦 = 𝑥 ln 𝑒 + 184. Hallar 185. Definir: 𝑎) Punto de inflexión, concavidad y convexidad. lim 𝑥→2 1 𝑥−2 − 1 𝑥 3 𝑥 2 −4 𝑏) Encontrar las distancias mínima y máxima del punto 𝑀0 (4; 4) a los puntos de la cia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9. Graficar. 186. 𝑎) Definir: Continuidad de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un punto de su dominio. 𝑏) Determinar los puntos de continuidad y los puntos de discontinuidad de la función 𝑦= Cursillo π 𝑥+2 𝑥 2 −7𝑥−6 . 21 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 187. 𝑎) Definir: Función inversa. 𝑏) Hallar 𝑑𝑥 𝑑𝑦 si 𝑦 = 𝑥 + ln senh 𝑥 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 4𝑦 188. Hallar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva punto 𝑥 = 2 y ordenada positiva. en el 189. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen 𝑉, para que el área de la superficie sea mínima. 190. Hallar el punto de inflexión convexidad. 𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥 . Determinar el intervalo de concavidad y 191. Inscribir en un círculo de radio R dado, un rectángulo de área máxima. 192. Determinar el ángulo de intersección de las curvas 𝑦 = sen 𝑥 ; 𝑦 = cos 𝑥 en 0; 193. Hallar 194. Inscribir en un círculo en triángulo de perímetro mínimo. Justificar 195. Hallar la tangente y la normal a 𝑦 = 𝑒 en el punto 𝑥0 = 196. Inscribir en un círculo dado el radio R, un rectángulo de área máxima. 197. Hallar 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 𝜋 2 si se verifica 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 3𝑥 lim 𝑥→1 1 2 1− 𝑥 − 1 2 1 3 3 1− 𝑥 198. Analizar la curva 𝑦 = 3𝑥 4 − 10𝑥 3 − 12𝑥 2 + 12𝑥 − 7 . Determinando: Punto de inflexión, máximos y mínimos. Concavidad y convexidad (intervalos) Grafica. 199. Determinar las bases del trapecio de área máxima inscripto en un semicírculo de radio R. Supóngase que la base mayor está situada en el diámetro. 200. A las 9 AM un barco B está a 65 millas al este de un barco A. El barco B navega hacia el oeste a 10millas/h y el barco A hacia el sur a 15 millas/h. Si mantienen esos rumbos ¿Cuándo estarán más próximo uno del otro? 201. Hallar el volumen de un cono recto de altura h que tiene por base una elipse de eje mayor 2𝑎 y eje menor 2𝑏. Cursillo π 22 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 202. Hallar las ecuaciones de los tangentes en los puntos de inflexión de la curva 𝑦 = 𝑥 4 − 6𝑥 3 + 12𝑥 2 − 8𝑥 𝑥 − 3 … 𝑆𝑖 𝑥 ≠ 3 2 … … … … 𝑆𝑖 𝑥 = 3 203. Estudiar la continuidad de la función 𝑓 𝑥 = 204. Conociendo que log 200 = 2,30103 . Hallar el valor aproximado de log 200,2 205. Hallar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 si 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 206. Un muchacho se encuentra en una lancha a dos millas de B, el punto más cercano de una playa rectilínea y ve salir humo de su casa que está a 6 millas playa arriba de B. El imagina que puede remar a 6millas por hora y correr a 10 millas por hora. ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mismo tiempo? Justificar por algún criterio. 207. Hallar lim 𝑛(ln 𝑛 + 1 − ln 𝑛) 208. Hallar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 si 𝑦 = 𝑥 𝑥 209. Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo, y 2 pulgadas de margen a los lados; ¿Qué dimensión debe tener el volante para que se gaste la menor cantidad de papel? Justificar por algún criterio. 210. Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbola 𝑥 2 − 𝑦 2 = 16 que pasa por el punto (2; −2). 3 211. Investigar la concavidad y los puntos de inflexión de la curva. 𝑦 = 3𝑥 + 𝑥 + 2 5 . Grafico 212. El radio de una esfera es 𝑟 a los 𝑡 segundos. Hallar el radio cuando los ritmos de crecimiento del área y del radio son nu8mericamente iguales. 213. Demostrar que la ecuación de la tangente a la elipse 𝑏2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏2 en el punto 𝑃0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) sobre la elipse es: 𝑏2 𝑥0 𝑥 + 𝑎2 𝑦0 𝑦 = 𝑎2 𝑏2 214. Hallar la primitiva de la función 𝑓 𝑥 = tg 𝑥 sec 2 𝑥 215. Demostrar que la suma de los cuadrados de las intersecciones son los ejes coordenados 2 2 2 de toda tangente a la curva 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 es contante. 216. Cursillo π Hallar la distancia mínima del punto 𝑀(4; 2) a la parábola 𝑦 2 = 8𝑥 . Graficar 23 Ing. Raúl Martínez TAA-CÁLCULO 217. Aplicando el teorema de L′Hospital. Hallar: 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 − 𝑥 2 − 2 lim 𝑥→0 sen2 𝑥 − 𝑥 2 218. Es preciso fabricar una caldera, compuesta de un cilindro y de dos fondos semiesféricos con paredes de espesor constante, de modo que con el volumen dado 𝑉, tenga una superficie exterior mínima. 219. Un hombre en un bote en P, a 5 millas del punto más próximo A de la playa, desea alcanzar el punto B, a 6 millas de distancia de A a lo largo de la playa, en el tiempo más breve posible. ¿Dónde debe tocar tierra (punto C) si navega a 2 millas/h y camina a 4 millas/h? 220. Hallar 𝜋 2 ∫0 sec 𝑥 𝑑𝑥 221. El papel de un poster ha de tener 18 pies cuadrados de área, las márgenes laterales 6 pies y los márgenes superior e inferior 9 pies; cuales han de ser las dimensiones del papel para hacer máxima el área impresa. Cursillo π 24 Ing. Raúl Martínez
